| MA111 - Cálculo I | Técnicas de Integração | Integração por partes

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Integração por partes

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1770

Calcule $\displaystyle \int x^2 \ln (x+1) \, dx$ utilizando integração por partes.

$\dfrac{1}{18}(6(x^3+1)ln(x+1)-2x^3+3x^2-6x)+C$ .

671

Calcule a integral $\int x^{2}e^{x^{3}}dx$ .

$\dfrac{e^{x^3}}{3}+C$ .

1772

Considere uma força $f(x)$ que atua sobre um corpo no ponto $x$ . A força varia em função do ponto $x$ , segundo a função $f(x)=x^5 \sqrt{x^3+1}$ . Determine o trabalho realizado se o corpo se move do ponto $x=0$ ao ponto $x=1$ .

1628

Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$ , para $m$ inteiro positivo.

1630

Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$ , para $m$ inteiro positivo.

1265

Calcule a seguinte integral:
$\int{x^2e^{2x}dx}.$

$\dfrac{1}{4}e^{2x}(2x^2-2x+1)+C$ .

1660

Calcule a seguinte integral:

$\int{x\sin{\frac{x}{2}}dx}$ .

$4sin(x/2)-2xcos(x/2)+C$

1631

Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$ , para $m$ inteiro positivo.

1875

Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$ .

1879

Discuta a seguinte "demonstração": Dada a integral

$\displaystyle\int (1/x)dx$ , seja

$dv=dx$ e

$u=1/x$ , de modo que

$v=x$ e

$du=(-1/x^2)dx$ . Então

$\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$

1268

Calcule a seguinte integral:
$\int \cos(x)\ln (\sin (x))dx$ .

$sinx(ln(sinx)-1)+C$

1264

Calcule a seguinte integral:
$\int_{0}^{\pi }x^{2}senx dx$ .

$\pi^2-4$

670

Calcule a integral $\int e^{x}\sin xdx$ .

$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$ .

1771

Seja $P(x)$ um polinômio de qualquer grau. Mostre que:

$\displaystyle \int P(x) e^x \, dx = (P - P' + P'' -P''' + \ldots)e^x.$

1269

Calcule a seguinte integral:
$\int e^{x}\sin xdx.$

$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$

668

Calcule a integral $\int x^{2}\ln xdx$ .

$\dfrac{1}{9}x^3(3lnx-1)+C$ .

1878

Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$ .

1661

Calcule a seguinte integral:

$\int{e^x(x^2-2x+1)dx}$ .

$e^x(x^2-4x+5)+C$

1876

Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$ .

1662

Uma força de retardamento freia o movimento de uma massa presa a uma mola alinhada com o eixo $y$ , de modo que a posição da massa no instante $t$ é
$y=3 e^{-t}\cos\ t,\ \ t\geq 0$ .

Calcule o valor médio de $y$ no intervalo $0 \leq y \leq 2\pi$

Aproximadamente $0,2383$ .

1632

Discuta a seguinte "demonstração'':

Dada a integral $\displaystyle\int (1/x)dx$ , seja $dv=dx$ e $u=1/x$ , de modo que $v=x$ e $du=(-1/x^2)dx$ .
Então $\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$

1267

Calcule a seguinte integral:
$\int x^2\sin (\pi x)dx$ .

$\dfrac{(2-\pi^2x^2)cos(\pi x+2 \pi xsin(\pi x)}{\pi^3}+C$ .

1629

Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$ , para $m$ inteiro positivo.

1773

Os gráficos das equações $y=e^x$ , $y=0$ , $x=0$ e $x=\ln 3$ formam uma região delimitada no plano. Calcule o centroide dessa região.

1769

Calcule $\displaystyle \int \sin (\ln x) \, dx$ utilizando integração por partes.

$-\dfrac{1}{2}x(cos(ln x)-sin(ln x))+C$

1266

Calcule a seguinte integral:
$\int{x\cos x dx}.$

$xsinx+cosx+C$

672

Calcule a seguinte integral $\int \ln xdx$ .

$x(lnx-1)+C$

669

Calcule a integral $\int_0^{1} xe^x dx$ .

1877

Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$ .