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Técnicas de Integração
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Na lei logística de crescimento admite-se que, no instante $t$, a taxa de crescimento $f'(t)$ de uma quantidade $f(t)$ seja dada por $f'(t)=Af(t)(B-f(t))$, com $A$ e $B$ constantes. Se $f(0)=C$, mostre que $f(t)=\dfrac{BC}{C+(B-C)e^{-ABt}}$.
Na teoria de eletromagnetismo, o potencial magnético de uma bobina circular em um ponto de seu eixo é dado por:
$$\displaystyle u = \dfrac{2\pi N I r}{k} \int_a^{\infty} \dfrac{dx}{(r^2+x^2)^{3/2}},$$
onde $N$, $I$, $r$, $k$ e $a$ são constantes com significados físicos apropriados. Calcule $u$.
Considere uma força $f(x)$ que atua sobre um corpo no ponto $x$. A força varia em função do ponto $x$, segundo a função $f(x)=x^5 \sqrt{x^3+1}$. Determine o trabalho realizado se o corpo se move do ponto $x=0$ ao ponto $x=1$.
Calcule a integral $\int{\sin2\theta e^{\sin^2\theta}}d\theta.$
$e^{\sin^2\theta}+C$
Calcule a seguinte integral:
$ \int_2^3 \frac{1}{x^2-1}dx$.
$\tanh ^{-1}(2)-\tanh ^{-1}(3)$
Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$.
Calcule a integral $\int \frac{1}{x^2-x} dx$.
Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:
$\int{\frac{dx}{\sqrt{9+x^2}}}$
$sinh^{-1}(x/3)+C$.
Suponha que uma população de piolhos parasitas de aves, representada por $p$, é estimada no começo do ano de $2015$ em $100 000$ em uma certa região. Um modelo matemático de crescimento da população assume que a taxa de crescimento (em milhares) após $t$ anos é dada por
$$p'(t)=(4+0,15t)^{3/2}.$$
Faça uma estimativa para o número de piolhos para o início do ano de 2025.
Calcule a integral $\int x^{2}e^{x^{3}}dx$.
$\dfrac{e^{x^3}}{3}+C$.
Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg} (x) \, dx = \ln |\sin x| + k$.
Calcule a seguinte integral:
$\int{e^{\sqrt{3x+9}}dx}$.
Calcule a seguinte integral:
$\int_{0}^{\pi }x^{2}senx dx$.
$\pi^2-4$
A área de um setor circular com raio $r$ e ângulo central $\theta$ é $A=\frac{1}{2} r^2 \theta$. Demonstre esta fórmula. (Dica: assuma um ângulo $0<\theta<\pi/2$ e considere o círculo centrado na origem, de forma que tenha equação $x^2+y^2=r^2$. Então $A$ é a soma da área de um triângulo e a porção restante do setor cirular. Faça um esboço do gráfico para facilitar.)
Prove que $\displaystyle\int \sqrt{a^2+u^2}du=\dfrac{u}{2}\sqrt{a^2+u^2}+\dfrac{a^2}{2}\ln{|u+\sqrt{a^2+u^2}|}+C$.
Seja $a$ um número real positivo e suponha que $|x|<a.$ Use o método de frações parciais para obter a fórmula $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) +C.$
Calcule a integral a seguir:
$\int{\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^{1/3}}{\sqrt{x}}dx}$
Calcule a integral $\int{\frac{\sin 10x}{4+\cos 10x}dx}.$
$\dfrac{1}{10}ln(cos(10x)+4)+C$
Calcule a seguinte integral:
$\int{x\sin{\frac{x}{2}}dx}$.
$4sin(x/2)-2xcos(x/2)+C$
Calcule a integral $ \int_{4}^{9}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx$.
Considere um tanque de formato cilíndrico que é utilizado para armazenamento de produtos químicos líquidos, com diâmetro de $10$m. Sua posição é tal que suas seções transversais circulares são verticais. Se o produto químico ocupa o cilindro até $7$m de profundidade, qual porcentagem da capacidade total que está sendo utilizada?
Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$.
Calcule a seguinte integral:
$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x^{1,001}}}$
Não converge.
Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:
$\int{\frac{x^3 dx}{\sqrt{x^2+4}}}$
$\dfrac{1}{3}(x^2-8)\sqrt{x^2+4}+C$.
Calcule $\displaystyle \int \dfrac{1}{2+\sin x} \, dx$.
$\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}$
Utilize uma substituição trigonométrica para mostrar que $\displaystyle \int \dfrac{u^2}{\sqrt{u^2 - a^2}} \, du = \dfrac{u}{2}\sqrt{u^2-a^2}+\dfrac{a^2}{2} \ln | u + \sqrt{u^2-a^2} | + C $.
Calcule a integral a seguir:
$\int{\cos 2x\ dx}$
$sin(x)cos(x)+C$
Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$, para $m$ inteiro positivo.
Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$, para $m$ inteiro positivo.
Calcule a seguinte integral:
$\int{\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}dx}.$
Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg}^n (x) \, dx = -\dfrac{\text{cotg}^{n-1} (x) }{n-1} - \int \text{cotg}^{n-2} (x) \, dx, \, n \geq 2$.
Dependendo da função e limites de integração, é possível transformar uma integral imprópria em uma integral ``própria'' com mesmo valor, por meio de uma substituição apropriada.
Ilustre esse processo calculando a integral $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \, dx$ por meio da substituição $u=\sqrt{1-x}$.
Tente calcular diretamente a integral (utilize algum recurso computacional se a integral estiver muito difícil). Compare os resultados obtidos.
Calcule o valor de $p$ para a integral a seguir convergir:
$\int_{1}^{2}{\frac{dx}{x\left(ln\ x\right)^p}}$
Uma força de retardamento freia o movimento de uma massa presa a uma mola alinhada com o eixo $y$, de modo que a posição da massa no instante $t$ é
$y=3 e^{-t}\cos\ t,\ \ t\geq 0$.
Calcule o valor médio de $y$ no intervalo $ 0 \leq y \leq 2\pi$
Aproximadamente $0,2383$.
Verifique que $\displaystyle \int \text{cosec}^n (x) \, dx = -\dfrac{\text{cosec}^{n-2} (x) \text{cotg} (x) }{n-1} + \dfrac{n-2}{n-1} \int \text{cosec}^{n-2} (x) \, dx, \, n \geq 2$.
Calcule a seguinte integral:
$\int \cos ^{3}xdx.$
Calcule $\displaystyle \int x^2 \ln (x+1) \, dx$ utilizando integração por partes.
$\dfrac{1}{18}(6(x^3+1)ln(x+1)-2x^3+3x^2-6x)+C$.
Calcule a integral a seguir:
$\int_{0}^{ln\ 4}{\frac{e^t dt}{\sqrt{e^{2t}+9}}}$
Aproximadamente $0,77116$
Calcule a seguinte integral:
$\int \cos(x)\ln (\sin (x))dx $.
$sinx(ln(sinx)-1)+C$
Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$, para $m$ inteiro positivo.
Calcule a seguinte integral:
$ \int_0^{2\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{16-x^2}}dx$.
Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:
$\int_{0}^{1}{\frac{x^3dx}{x^2 + 2x + 1}}$
Calcule a seguinte integral:
$ \int x^2\sin (\pi x)dx$.
$\dfrac{(2-\pi^2x^2)cos(\pi x+2 \pi xsin(\pi x)}{\pi^3}+C$.
O terremoto de 1952 em Assam teve uma magnitude de 8,7 na escala Richter - a maior registrada até então. Se o maior terremoto em dado ano tem tem magnitude $R$, então a energia $E$ (em Joules) liberada por todos os terremotos naquele ano é estimada pela fórmula
$E=9,13 \times 10^{12} \int_{0}^{R}e^{1,25x}dx$.
Determine $E$ se $R=8$.
Se $f$ for contínua e $\int_{0}^{9}f\left( x\right) dx=9$, calcule $\int_{0}^{3}xf\left( x^{2}\right) dx.$
A velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $v=ds/dt = 6\sin2t\ m/s$ para qualquer $t$. Se $s=0$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=\pi/2\ s$.
Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$, para $m$ inteiro positivo.
Em uma reação química de dois reagentes, a velocidade da reação depende, em geral, da concentração destes. Seja $a$ a quantidade do reagente $A$ e $b$ a quantidade do reagente $B$ em $t=0$, sendo $x$ a quantidade do produto no instante $t$, a velocidade de formação de $x$ pode ser dada pela equação diferencial
$\frac{dx}{dt} = k(a-x)(b-x)$,
sendo que $k$ é uma constante para a reação. Encontre $x(t)$ se:
$a=b$
$a \neq b$
Em ambos os casos, considere $x(t=0)=0$.
Calcule a seguinte integral:
$\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx.$
Calcule a integral $\int{ \frac {1}{x^2+3x-10} dx}.$
Calcule a integral $\int x^{2}\ln xdx$.
$\dfrac{1}{9}x^3(3lnx-1)+C$.
Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:
$\int{\frac{x^2dx}{(x-1)(x^2 + 2x + 1)}}$
Prove que $\displaystyle\int \dfrac{1}{u\sqrt{a^2+u^2}}du=-\dfrac{1}{a}\ln \left|\dfrac{\sqrt{a^2+u^2}+a}{u}\right|+C$.
Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{y} e^{\sqrt{y}}}$.
A velocidade (no instante $t$) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é $\cos^2 (\pi t)$ $m/s$. Qual a distância percorrida pelo ponto em 5 segundos?
Calcule a integral imprópria $\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}dx$
$2$.
Calcule a integral $\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$.
$\frac{1}{4}\pi r^4$
Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{10x^2+9x+1}{2x^3+3x^2+x} \, dx$.
Calcule a integral $\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx$.
Uma cultura de bactérias cresce na taxa de $3e^{0,2t}$ por hora com $t$ em horas e $o\leq t\leq 20$.
- Quantas bactérias novas estarão na cultura depois de cinco horas?
- Quantas bactérias são introduzidas da sexta a décima quarta horas?
- Para que valor aproximado de $t$ a cultura conterá 150 bactérias novas?
Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$.
Calcule a integral $\displaystyle \int (5x-1)^2 \, dx$ elevando ao quadrado e depois integrando as potências de $x$.
Calcule agora a integral utilizando a substituição $u=5x-1$.
As duas respostas obtidas são iguais? São equivalentes de alguma forma? Justifique.
Os gráficos das equações $y=e^x$, $y=0$, $x=0$ e $x=\ln 3$ formam uma região delimitada no plano. Calcule o centroide dessa região.
Calcule $\displaystyle \int \sin (\ln x) \, dx$ utilizando integração por partes.
$-\dfrac{1}{2}x(cos(ln x)-sin(ln x))+C$
Calcule a seguinte integral:
$\int{x^2e^{2x}dx}.$
$\dfrac{1}{4}e^{2x}(2x^2-2x+1)+C$.
Discuta a seguinte "demonstração'':
Dada a integral $\displaystyle\int (1/x)dx$, seja $dv=dx$ e $u=1/x$, de modo que $v=x$ e $du=(-1/x^2)dx$.
Então $\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$
Calcule a seguinte integral:
$\int e^{x}\sin xdx.$
$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$
Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{x^5-x^4-2x^3+4x^2-15x+5}{(x^2+1)^2(x^2+4)} \, dx$.
A aceleração de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $a=d^2s/dt^2 = \pi^2\sin\pi t\ m/s^2$ para qualquer $t$. Se $s=0$ e $v=8m/s$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=1\ s$.
Calcule a seguinte integral $\int \ln xdx$.
$x(lnx-1)+C$
Calcule a seguinte integral:
$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{4-x}}}$
Não converge.
Calcule a integral a seguir:
$\int{\cos^3 x\sin\ x dx}$
$\dfrac{1}{4}cos^4(x)+C$
Demonstre que $\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\ dx}$ pode ser diferente de $\lim\limits_{b \rightarrow \infty }\int_{-b}^{b}{f(x)\ dx}$.
Para isto, mostre que
$\int_{0}^{\infty}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}$
diverge, e, portanto,
$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}$
também diverge. Depois, mostre que
$\lim\limits_{b \rightarrow \infty }\int_{-b}^{b}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}=0$
Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$.
Calcule a integral $\int {\dfrac{x}{\left( x-1\right) \left( x+2\right) }}dx$.
Uma alternativa ao método das frações parciais é calcular integrais da forma
$$\displaystyle \int \dfrac{1}{ax^2+bx} \, dx$$
utilizando a substituição $u=a+\dfrac{b}{x}$. Mostre que com essa substituição a integral se torna:
$$\displaystyle \int \dfrac{1/x^2}{a+b/x} \, dx.$$
Sejam $f$ e $g$ funções contínuas tais que $0 \leq f(x) \leq g(x)$, para $x\geq a$. Utilizando conceitos de área, explique informalmente o porquê dos resultados abaixo serem verdadeiros.
Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ diverge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ diverge.
Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ converge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ converge e $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$.
Obs: estes resultados são chamados de testes de comparação para integrais impróprias.
Calcule a seguinte integral:
$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x^2+1}}$
Para resolver a integral, utilizamos a substituição $x=\tan(u)$, com $dx=\frac{du}{cos^2(u)}$. A integral equivalente, com os limites de integração escolhidos no primeiro quadrante, é:
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{\cos^2(u)\left(\tan^2(u)+1\right)}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1}=u\rvert_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$
Calcule a integral $\int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x}dx.$
A aceleração (no instante $t$) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é $\sin^2 (t)\cos(t)$ $m/s^2$. Em $t=0$, o ponto está na origem e sua velocidade é 10 $m/s$. Determine sua posição no instante $t$.
Sociólogos utilizam a expressão "difusão social" para descrever o modo como a informação se espalha por uma população. A informação pode ser um boato, uma novidade cultural, ou notícias sobre uma inovação técnica Em uma população suficientemente grande, o número de pessoas $x$ que tem a informação é tratado como uma função derivável do tempo $t$, e a taxa de difusão é supostamente proporcional ao número de pessoas que têm a informação multiplicado pelo número de pessoas que não a tem, isto é,
$\frac{dx}{dt} = kx\left(N-x\right)$, sendo que $N$ é o número total de pessoas da população.
Suponha então que $t$ seja medido em dias, $k=1/250$ e que duas pessoas deram início a um boato no momento $t=0$ em uma população tal que $N=1000$.
Determine $x(t)$.
Quando metade da população terá ouvido o boato?
Calcule a integral $\int \dfrac{x+1}{x^{2}-3x+2}dx$.
Seja $P(x)$ um polinômio de qualquer grau. Mostre que:
$$\displaystyle \int P(x) e^x \, dx = (P - P' + P'' -P''' + \ldots)e^x.$$
Se $f$ e $g$ são funções contínuas tais que $0 \leq f(x) \leq g(x)$, para $x\geq a$, temos:
Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ diverge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ diverge.
Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ converge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ converge e $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$.
Mostre (graficamente e algebricamente) que para $x \geq 1$, temos $e^{-x^2} \leq e^{-x}$.
Calcule a integral $\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-x}\, dx$.
O que podemos afirmar sobre a integral $\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-x^2}\, dx$?
Calcule a seguinte integral:
$\int{x\cos x dx}.$
$xsinx+cosx+C$
Calcule a seguinte integral:
$ \int_{-\infty}^{e^4}\frac{\ln (x)}{x}dx$.
A trombeta de Torricelli, também conhecida como trombeta de Gabriel, em referência à passagem da bíblia na qual o arcanjo Gabriel anuncia o dia do julgamento com sua trombeta, é uma figura geométrica bastante interessante. Ela é descrita a partir da rotação da função $1/x$ no domínio $x>1$ em relação ao eixo $x$. Calcule sua área e seu volume.
A área de uma superfície de revolução é dada por:
$A=\int_{a}^b 2 \pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\ dx$
Assim, temos, para a trombeta de Torricelli:
$A= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left(2 \pi \int_{1}^{a}\ \frac{1}{x} \sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\ dx\right)$
Portanto, como $\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}>1$:
$A > \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x} \ dx\right)= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi ln\ a\right)$
para $a\rightarrow \infty$, vemos que a área $A$ tende ao infinito.
Quanto ao volume, temos que:
$V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2}\ dx\right)$
Portanto, obtemos:
$V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\ \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)$
Que para $a\rightarrow \infty$ tende a $V=\pi$.
Calcule a integral $\int_0^{1} xe^x dx$.
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Calcule a integral $\displaystyle \int (1+ \sin t)^9 \cos t \, dt$, utilizando a substituição $u=1+\sin t$.
Calcule a integral $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax^n+bx}dx$.
Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:
$\int{3\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}}}$
$sinh^{-1}(3x)+C$.
Calcule a integral a seguir:
$\int{\frac{9r^2\ dr}{\sqrt{1-r^3}}}$
Calcule a integral imprópria $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx.$
$\pi/2$.
Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:
$\int{\frac{dx}{1-x^2}}$
Podemos escrever:
$\frac{1}{1-x^2}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}=\frac{A+Ax+B-Bx}{1-x^2}=\frac{(A+B)+(A-B)x}{2-x^2}$
Portanto, sabemos que $A+B=1$ e $A-B=0$. Temos, portanto, $A=B=\frac{1}{2}$.
Assim, reescrevemos a integral como
$\int\left(\frac{1/2}{1-x}+\frac{1/2}{1+x}\right)\,dx=\frac{1}{2}ln(1+x)+\frac{1}{2}ln(1-x)$
Calcule o valor de $p$ para a integral a seguir convergir:
$\int_{2}^{\infty}{\frac{dx}{x\left(ln\ x\right)^p}}$
Calcule a integral $\int e^{x}\sin xdx$.
$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$.
A respiração tem um ciclo rítmico que consiste em períodos alternados de inalação e exalação. Em condições normais, um adulto tem um ciclo em média a cada $5$ segundos. Denotando por $V$ o volume de ar nos pulmões no instante $t$, a taxa de fluxo é dada por $\dfrac{dV}{dt}$.
Se a taxa máxima de fluxo é $0,6$ L$/$seg, encontre valores de $a$ e $b$ para que a fórmula $\dfrac{dV}{dt}=a \sin (bt)$ modele a respiração com os dados acima.
Utilize a expressão obtida para estimar a quantidade de ar inalada durante um ciclo completo de respiração.
Utilize uma substituição trigonométrica para mostrar que $\displaystyle \int \dfrac{1}{u^2 \sqrt{a^2 - u^2}} \, du = -\dfrac{1}{a^2 u} \sqrt{a^2-u^2} + C $.
Encontre os valores de $p$ tais que a integral $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{px} \, dx$ converge.
Calcule a seguinte integral:
$\int{e^x(x^2-2x+1)dx}$.
$e^x(x^2-4x+5)+C$
Calcule a integral $\int \cos ^{3}xdx$.
$\frac{3}{4} x \sin (x)+\frac{1}{12} x \sin (3 x)+\frac{3 \cos (x)}{4}+\frac{1}{36} \cos(3 x)$