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669   

Calcule a integral $\int_0^{1} xe^x dx$.


1


1679   

Calcule a seguinte integral:

$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x^2+1}}$



Para resolver a integral, utilizamos a substituição $x=\tan(u)$, com $dx=\frac{du}{cos^2(u)}$. A integral equivalente, com os limites de integração escolhidos no primeiro quadrante, é:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{\cos^2(u)\left(\tan^2(u)+1\right)}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1}=u\rvert_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$


1267   

Calcule a seguinte integral:
  $ \int x^2\sin (\pi x)dx$.


$\dfrac{(2-\pi^2x^2)cos(\pi x+2 \pi xsin(\pi x)}{\pi^3}+C$.


1385   

Uma cultura de bactérias cresce na taxa de $3e^{0,2t}$ por hora com $t$ em horas e $o\leq t\leq 20$.

  1. Quantas bactérias novas estarão na cultura depois de cinco horas?
  2. Quantas bactérias são introduzidas da sexta a décima quarta horas?
  3. Para que valor aproximado de $t$ a cultura conterá 150 bactérias novas?


1663   

Calcule a seguinte integral:

$\int{e^{\sqrt{3x+9}}dx}$.


1269   

Calcule a seguinte integral:
   $\int e^{x}\sin xdx.$


$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$


1631   

Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$, para $m$ inteiro positivo.


1666   

Calcule a integral a seguir:

$\int{\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^{1/3}}{\sqrt{x}}dx}$


1770   

Calcule $\displaystyle \int x^2 \ln (x+1) \, dx$ utilizando integração por partes.


$\dfrac{1}{18}(6(x^3+1)ln(x+1)-2x^3+3x^2-6x)+C$.


1676   

Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:

$\int{\frac{x^2dx}{(x-1)(x^2 + 2x + 1)}}$


1794   

A área de um setor circular com raio $r$ e ângulo central $\theta$ é $A=\frac{1}{2} r^2 \theta$. Demonstre esta fórmula. (Dica: assuma um ângulo $0<\theta<\pi/2$ e considere o círculo centrado na origem, de forma que tenha equação $x^2+y^2=r^2$. Então $A$ é a soma da área de um triângulo e a porção restante do setor cirular. Faça um esboço do gráfico para facilitar.)


671   

Calcule a integral $\int x^{2}e^{x^{3}}dx$.


$\dfrac{e^{x^3}}{3}+C$.


1633   

Prove que $\displaystyle\int \sqrt{a^2+u^2}du=\dfrac{u}{2}\sqrt{a^2+u^2}+\dfrac{a^2}{2}\ln{|u+\sqrt{a^2+u^2}|}+C$.


1661   

Calcule a seguinte integral:

$\int{e^x(x^2-2x+1)dx}$.


$e^x(x^2-4x+5)+C$


1776   

  1. Calcule a integral $\displaystyle \int (5x-1)^2 \, dx$ elevando ao quadrado e depois integrando as potências de $x$.

  2. Calcule agora a integral utilizando a substituição $u=5x-1$.

  3. As duas respostas obtidas são iguais? São equivalentes de alguma forma? Justifique.


1634   

Prove que $\displaystyle\int \dfrac{1}{u\sqrt{a^2+u^2}}du=-\dfrac{1}{a}\ln \left|\dfrac{\sqrt{a^2+u^2}+a}{u}\right|+C$.


1673   

Calcule a integral a seguir:

$\int_{0}^{ln\ 4}{\frac{e^t dt}{\sqrt{e^{2t}+9}}}$


Aproximadamente $0,77116$


1792   

Utilize uma substituição trigonométrica para mostrar que $\displaystyle \int \dfrac{1}{u^2 \sqrt{a^2 - u^2}} \, du = -\dfrac{1}{a^2 u} \sqrt{a^2-u^2} + C $.


1771   

Seja $P(x)$ um polinômio de qualquer grau. Mostre que:

$$\displaystyle \int P(x) e^x \, dx = (P - P' + P'' -P''' + \ldots)e^x.$$


1877   

Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$.



1282   

Calcule a integral $\int{ \frac {1}{x^2+3x-10} dx}.$


670   

Calcule a integral $\int e^{x}\sin xdx$.


$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$.


1629   

Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$, para $m$ inteiro positivo.


1413   

A aceleração (no instante $t$) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é $\sin^2 (t)\cos(t)$ $m/s^2$. Em $t=0$, o ponto está na origem e sua velocidade é 10 $m/s$. Determine sua posição no instante $t$.


1777   

Calcule a integral $\displaystyle \int (1+ \sin t)^9 \cos t \, dt$, utilizando a substituição $u=1+\sin t$.


1876   

Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$.



674   

Calcule a integral $ \int_{4}^{9}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx$.


1878   

Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$.



1684   

Calcule o valor de $p$ para a integral a seguir convergir:

$\int_{2}^{\infty}{\frac{dx}{x\left(ln\ x\right)^p}}$


689   

Calcule a integral $\int \cos ^{3}xdx$.


$\frac{3}{4} x \sin (x)+\frac{1}{12} x \sin (3 x)+\frac{3 \cos (x)}{4}+\frac{1}{36} \cos(3 x)$


1637   

Na lei logística de crescimento admite-se que, no instante $t$, a taxa de crescimento $f'(t)$ de uma quantidade $f(t)$ seja dada por $f'(t)=Af(t)(B-f(t))$, com $A$ e $B$ constantes. Se $f(0)=C$, mostre que $f(t)=\dfrac{BC}{C+(B-C)e^{-ABt}}$.


696   

Calcule a integral $\int {\dfrac{x}{\left( x-1\right) \left( x+2\right) }}dx$.


1664   

A velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $v=ds/dt = 6\sin2t\ m/s$ para qualquer $t$. Se $s=0$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=\pi/2\ s$.


695   

Calcule a integral $\int \frac{1}{x^2-x} dx$.


1264   

Calcule a seguinte integral:
   $\int_{0}^{\pi }x^{2}senx dx$.


$\pi^2-4$


1662   

Uma força de retardamento freia o movimento de uma massa presa a uma mola alinhada com o eixo $y$, de modo que a posição da massa no instante $t$ é
$y=3 e^{-t}\cos\ t,\ \ t\geq 0$.

Calcule o valor médio de $y$ no intervalo $ 0 \leq y \leq 2\pi$


Aproximadamente $0,2383$.


1875   

Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$.



1798   

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{x^5-x^4-2x^3+4x^2-15x+5}{(x^2+1)^2(x^2+4)} \, dx$.


1795   

Considere um tanque de formato cilíndrico que é utilizado para armazenamento de produtos químicos líquidos, com diâmetro de $10$m. Sua posição é tal que suas seções transversais circulares são verticais. Se o produto químico ocupa o cilindro até $7$m de profundidade, qual porcentagem da capacidade total que está sendo utilizada?


1780   

Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg} (x) \, dx = \ln |\sin x| + k$.


1796   

Uma alternativa ao método das frações parciais é calcular integrais da forma

$$\displaystyle \int \dfrac{1}{ax^2+bx} \, dx$$

utilizando a substituição $u=a+\dfrac{b}{x}$. Mostre que com essa substituição a integral se torna:

$$\displaystyle \int \dfrac{1/x^2}{a+b/x} \, dx.$$


1801   

Na teoria de eletromagnetismo, o potencial magnético de uma bobina circular em um ponto de seu eixo é dado por:

$$\displaystyle u = \dfrac{2\pi N I r}{k} \int_a^{\infty} \dfrac{dx}{(r^2+x^2)^{3/2}},$$

onde $N$, $I$, $r$, $k$ e $a$ são constantes com significados físicos apropriados. Calcule $u$.


1769   

Calcule $\displaystyle \int \sin (\ln x) \, dx$ utilizando integração por partes.


$-\dfrac{1}{2}x(cos(ln x)-sin(ln x))+C$


1678   

Em uma reação química de dois reagentes, a velocidade da reação depende, em geral, da concentração destes. Seja $a$ a quantidade do reagente $A$ e $b$ a quantidade do reagente $B$ em $t=0$, sendo $x$ a quantidade do produto no instante $t$, a velocidade de formação de $x$ pode ser dada pela equação diferencial

$\frac{dx}{dt} = k(a-x)(b-x)$,
sendo que $k$ é uma constante para a reação. Encontre $x(t)$ se:

  1. $a=b$

  2. $a \neq b$

Em ambos os casos, considere $x(t=0)=0$.


1681   

Calcule a seguinte integral:

$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{4-x}}}$


Não converge.


1670   

Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:

$\int{\frac{dx}{\sqrt{9+x^2}}}$


$sinh^{-1}(x/3)+C$.


1660   

Calcule a seguinte integral:

$\int{x\sin{\frac{x}{2}}dx}$.


$4sin(x/2)-2xcos(x/2)+C$


1680   

Calcule a seguinte integral:

$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x^{1,001}}}$


Não converge.


1683   

Calcule o valor de $p$ para a integral a seguir convergir:

$\int_{1}^{2}{\frac{dx}{x\left(ln\ x\right)^p}}$


697   

Calcule a integral $\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx$.


1273   

Calcule a seguinte integral:
    $\int{\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}dx}.$


1630   

Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$, para $m$ inteiro positivo.


1275   

Calcule a integral $\int{\sin2\theta e^{\sin^2\theta}}d\theta.$


$e^{\sin^2\theta}+C$


1781   

Verifique que $\displaystyle \int \text{cosec}^n (x) \, dx = -\dfrac{\text{cosec}^{n-2} (x) \text{cotg} (x) }{n-1} + \dfrac{n-2}{n-1} \int \text{cosec}^{n-2} (x) \, dx, \, n \geq 2$.


1802   

Sejam $f$ e $g$ funções contínuas tais que $0 \leq f(x) \leq g(x)$, para $x\geq a$. Utilizando conceitos de área, explique informalmente o porquê dos resultados abaixo serem verdadeiros.

  1. Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ diverge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ diverge.

  2. Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ converge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ converge e $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$.

Obs: estes resultados são chamados de testes de comparação para integrais impróprias.


1636   

Calcule a integral $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax^n+bx}dx$.


1667   

Calcule a integral a seguir:

$\int{\frac{9r^2\ dr}{\sqrt{1-r^3}}}$


1271   

Calcule a seguinte integral:
   $ \int_0^{2\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{16-x^2}}dx$.


1665   

A aceleração de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $a=d^2s/dt^2 = \pi^2\sin\pi t\ m/s^2$ para qualquer $t$. Se $s=0$ e $v=8m/s$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=1\ s$.


1805   

Dependendo da função e limites de integração, é possível transformar uma integral imprópria em uma integral ``própria'' com mesmo valor, por meio de uma substituição apropriada.

  1. Ilustre esse processo calculando a integral $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \, dx$ por meio da substituição $u=\sqrt{1-x}$.

  2. Tente calcular diretamente a integral (utilize algum recurso computacional se a integral estiver muito difícil). Compare os resultados obtidos.


1405   

O terremoto de 1952 em Assam teve uma magnitude de 8,7 na escala Richter - a maior registrada até então. Se o maior terremoto em dado ano tem tem magnitude $R$, então a energia $E$ (em Joules) liberada por todos os terremotos naquele ano é estimada pela fórmula 

$E=9,13 \times 10^{12} \int_{0}^{R}e^{1,25x}dx$.

Determine $E$ se $R=8$.


668   

Calcule a integral $\int x^{2}\ln xdx$.


$\dfrac{1}{9}x^3(3lnx-1)+C$.


698   

Calcule a integral $\int \dfrac{x+1}{x^{2}-3x+2}dx$.


1274   

Calcule a integral $\int{\frac{\sin 10x}{4+\cos 10x}dx}.$


$\dfrac{1}{10}ln(cos(10x)+4)+C$


1772   

Considere uma força $f(x)$ que atua sobre um corpo no ponto $x$. A força varia em função do ponto $x$, segundo a função $f(x)=x^5 \sqrt{x^3+1}$. Determine o trabalho realizado se o corpo se move do ponto $x=0$ ao ponto $x=1$.


1803   

Se $f$ e $g$ são funções contínuas tais que $0 \leq f(x) \leq g(x)$, para $x\geq a$, temos:
Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ diverge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ diverge.

Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ converge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ converge e $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$.

  1. Mostre (graficamente e algebricamente) que para $x \geq 1$, temos $e^{-x^2} \leq e^{-x}$.

  2. Calcule a integral $\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-x}\, dx$.

  3. O que podemos afirmar sobre a integral $\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-x^2}\, dx$?


675   

Calcule a integral $\int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x}dx.$


1279   

Calcule a seguinte integral:
 $ \int_2^3 \frac{1}{x^2-1}dx$.


$\tanh ^{-1}(2)-\tanh ^{-1}(3)$


1797   

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{10x^2+9x+1}{2x^3+3x^2+x} \, dx$.


1672   

Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:

$\int{\frac{x^3 dx}{\sqrt{x^2+4}}}$


$\dfrac{1}{3}(x^2-8)\sqrt{x^2+4}+C$.


1782   

Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg}^n (x) \, dx = -\dfrac{\text{cotg}^{n-1} (x) }{n-1} - \int \text{cotg}^{n-2} (x) \, dx, \, n \geq 2$.


1774   

A respiração tem um ciclo rítmico que consiste em períodos alternados de inalação e exalação. Em condições normais, um adulto tem um ciclo em média a cada $5$ segundos. Denotando por $V$ o volume de ar nos pulmões no instante $t$, a taxa de fluxo é dada por $\dfrac{dV}{dt}$.

  1. Se a taxa máxima de fluxo é $0,6$ L$/$seg, encontre valores de $a$ e $b$ para que a fórmula $\dfrac{dV}{dt}=a \sin (bt)$ modele a respiração com os dados acima.

  2. Utilize a expressão obtida para estimar a quantidade de ar inalada durante um ciclo completo de respiração.


1793   

Utilize uma substituição trigonométrica para mostrar que $\displaystyle \int \dfrac{u^2}{\sqrt{u^2 - a^2}} \, du = \dfrac{u}{2}\sqrt{u^2-a^2}+\dfrac{a^2}{2} \ln | u + \sqrt{u^2-a^2} | + C $.


1632   

Discuta a seguinte "demonstração'':

Dada a integral $\displaystyle\int (1/x)dx$, seja $dv=dx$ e $u=1/x$, de modo que $v=x$ e $du=(-1/x^2)dx$.
Então $\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$


1804   

Encontre os valores de $p$ tais que a integral $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{px} \, dx$ converge.


1791   

Calcule $\displaystyle \int \dfrac{1}{2+\sin x} \, dx$.


$\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}$


1270   

Calcule a seguinte integral:
   $\int \cos ^{3}xdx.$


1879   

Discuta a seguinte "demonstração":  Dada a integral $\displaystyle\int (1/x)dx$, seja $dv=dx$ e $u=1/x$, de modo que $v=x$ e $du=(-1/x^2)dx$. Então $\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$



1674   

Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:

$\int_{0}^{1}{\frac{x^3dx}{x^2 + 2x + 1}}$


1682   

A trombeta de Torricelli, também conhecida como trombeta de Gabriel, em referência à passagem da bíblia na qual o arcanjo Gabriel anuncia o dia do julgamento com sua trombeta,  é uma figura geométrica bastante interessante. Ela é descrita a partir da rotação da função $1/x$ no domínio $x>1$ em relação ao eixo $x$. Calcule sua área e seu volume.



A área de uma superfície de revolução é dada por:

$A=\int_{a}^b 2 \pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\ dx$


Assim, temos, para a trombeta de Torricelli:

$A= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left(2 \pi \int_{1}^{a}\ \frac{1}{x} \sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\ dx\right)$

Portanto, como $\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}>1$:

$A > \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x} \ dx\right)= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi ln\ a\right)$


para $a\rightarrow \infty$, vemos que a área $A$ tende ao infinito.

Quanto ao volume, temos que:

$V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2}\ dx\right)$

Portanto, obtemos:

$V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\ \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)$

Que para $a\rightarrow \infty$ tende a $V=\pi$.


1266   

Calcule a seguinte integral:
   $\int{x\cos x dx}.$


$xsinx+cosx+C$


1412   

A velocidade (no instante $t$) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é $\cos^2 (\pi t)$ $m/s$. Qual a distância percorrida pelo ponto em 5 segundos?


699   

Calcule a integral imprópria $\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}dx$


$2$.


1671   

Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:

$\int{3\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}}}$


$sinh^{-1}(3x)+C$.


1669   

Calcule a integral a seguir:

$\int{\cos^3 x\sin\ x dx}$


$\dfrac{1}{4}cos^4(x)+C$


1778   

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{y} e^{\sqrt{y}}}$.


1268   

Calcule a seguinte integral:
  $\int  \cos(x)\ln (\sin (x))dx   $.


$sinx(ln(sinx)-1)+C$


1685   

Demonstre que $\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\ dx}$ pode ser diferente de $\lim\limits_{b \rightarrow \infty }\int_{-b}^{b}{f(x)\ dx}$.


Para isto, mostre que
$\int_{0}^{\infty}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}$


diverge, e, portanto,
$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}$


também diverge. Depois, mostre que

$\lim\limits_{b \rightarrow \infty }\int_{-b}^{b}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}=0$


1281   

Seja $a$ um número real positivo e suponha que $|x|<a.$ Use o método de frações parciais para obter a fórmula $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) +C.$


1280   

Calcule a seguinte integral:
   $\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx.$


1775   

Suponha que uma população de piolhos parasitas de aves, representada por $p$, é estimada no começo do ano de $2015$ em $100 000$ em uma certa região. Um modelo matemático de crescimento da população assume que a taxa de crescimento (em milhares) após $t$ anos é dada por

$$p'(t)=(4+0,15t)^{3/2}.$$

Faça uma estimativa para o número de piolhos para o início do ano de 2025.


1675   

Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:

$\int{\frac{dx}{1-x^2}}$



Podemos escrever:

$\frac{1}{1-x^2}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}=\frac{A+Ax+B-Bx}{1-x^2}=\frac{(A+B)+(A-B)x}{2-x^2}$

Portanto, sabemos que $A+B=1$ e $A-B=0$. Temos, portanto, $A=B=\frac{1}{2}$.

Assim, reescrevemos a integral como

$\int\left(\frac{1/2}{1-x}+\frac{1/2}{1+x}\right)\,dx=\frac{1}{2}ln(1+x)+\frac{1}{2}ln(1-x)$


1272   

Calcule a seguinte integral:
   $ \int_{-\infty}^{e^4}\frac{\ln (x)}{x}dx$.


673   

Se $f$ for contínua e $\int_{0}^{9}f\left( x\right) dx=9$, calcule $\int_{0}^{3}xf\left( x^{2}\right) dx.$


700   

Calcule a integral imprópria $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx.$


$\pi/2$.


1773   

Os gráficos das equações $y=e^x$, $y=0$, $x=0$ e $x=\ln 3$ formam uma região delimitada no plano. Calcule o centroide dessa região.


1628   

Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$, para $m$ inteiro positivo.


1668   

Calcule a integral a seguir:

$\int{\cos 2x\ dx}$


$sin(x)cos(x)+C$


694   

Calcule a integral $\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$.


$\frac{1}{4}\pi r^4$


672   

Calcule a seguinte integral $\int \ln xdx$.


$x(lnx-1)+C$


1677   

Sociólogos utilizam a expressão "difusão social" para descrever o modo como a informação se espalha por uma população. A informação pode ser um boato, uma novidade cultural, ou notícias sobre uma inovação técnica Em uma população suficientemente grande, o número de pessoas $x$ que tem a informação é tratado como uma função derivável do tempo $t$, e a taxa de difusão é supostamente proporcional ao número de pessoas que têm a informação multiplicado pelo número de pessoas que não a tem, isto é,

$\frac{dx}{dt} = kx\left(N-x\right)$, sendo que $N$ é o número total de pessoas da população.

Suponha então que $t$ seja medido em dias, $k=1/250$ e que duas pessoas deram início a um boato no momento $t=0$ em uma população tal que $N=1000$.

  1. Determine $x(t)$.

  2. Quando metade da população terá ouvido o boato?


1265   

Calcule a seguinte integral:
   $\int{x^2e^{2x}dx}.$


$\dfrac{1}{4}e^{2x}(2x^2-2x+1)+C$.