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A atmosfera da Terra absorve aproximadamente 32% da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente 93% dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modoficações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja I0 a intensidade da radiação do Sol e I a intensidade depois de percorrer uma distância x na atmosfera. Se p(h) é a densidade da atmosfera na altitude h, então a espessura ótica é f(x)=k∫x0p(h)dh, onde k é uma constante de absorção e I é dada por I=I0e−f(x). Mostre que dI/dx=−kp(x)I.
Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
f″ e f'(0)= 5, f(0) = 0
\frac{2 x^4 \ln ^2(2)+2^x+x \ln 2) (\ln 32-1)+\ln ^2(2) \cos (x)-1-\ln ^2(2)}{\ln ^2(2)}
Defina o termo antiderivada com suas próprias palavras.
A antiderivada de uma função f é uma função F cuja derivada é a função f original.
Determine f\left(x\right) sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right) = \sin x-\cos x+x^{5},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}
Demonstre que 2\sqrt{2} \leq \int_{0}^{1}{\sqrt{x+8}dx} \leq 8.
Use o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia para calcular a derivada da função f(x)=\int_1^{\sin x}e^{t^2} dt. Indique claramente a justificativa de cada passagem e, em seguida, calcule f'(\pi).
Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
- \int_{-2}^{-1} f(x)\ dx
- \int_1^2 f(x)\ dx
- \int_{-1}^1 f(x)\ dx
- \int_0^1 f(x)\ dx
- 4
- 4
- -4
- -2
Derive a função q\left( x\right) = \int_{e^{-2x}}^{\mathrm{tg}x}e^{\theta }\cos \theta d\theta.
Demonstre que se k é uma constante positiva, então a área entre o eixo x e um arco da curva y=\sin kx é 2/k.
Mostre que, para toda parábola dada por y=ax^2, com a>0, temos: \displaystyle \int_0^b a x^2 \, dx = a \dfrac{b^3}{3}.
Use este fato para provar que a área do setor parabólico delimitado por y=ax^2 e a reta y=ab^2 é igual a quatro terços da área do triângulo com vértices (0,0), (b,ab^2) e (-b,ab^2). Este resultado é um caso particular do Teorema de Arquimedes sobre a área de um setor parabólico.
Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:
- \int_0^1 (x-1)\ dx
- \int_0^2 (x-1)\ dx
- \int_0^3 (x-1)\ dx
- \int_2^3 (x-1)\ dx
- \int_1^4 (x-1)\ dx
- \int_1^4 \big((x-1)+1\big)\ dx
- -1/2
- 0
- 3/2
- 3/2
- 9/2
- 15/2
Use suas próprias palavras para definir o significado de \int{f(x)}\ dx.
O símbolo \int{f(x)}\ dx é chamado integral indefinida de f e corresponde ao conjunto de todas as antiderivadas da função f.
Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
- \int_{0}^{2} 5x^2\ dx
- \int_0^2 (x^2+3)\ dx
- \int_{1}^3 (x-1)^2\ dx
- \int_2^4 \big((x-2)^2+5\big)\ dx
- 40/3
- 26/3
- 8/3
- 38/3
Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
f'(x) = 4x^3-3x^2 e f(-1)= 9
x^4-x^3+7
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int \frac{5^t}{2}\ dt
\frac{5^t}{2\ln 5}+C
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int 3x^3\ dx
3/4x^4+C
Derive a função g\left( x\right) = \int_{\tan x}^{x^{4}}\dfrac{u^{2}+1}{\sqrt{u^{2}+2u}}du.
Enuncie e demonstre o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.
Seja F(x) tal que F(x)=\displaystyle \int_{\pi/4}^x \cos 2t \, dt.
Use alguma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar F'(x).
Confira se seu resultado anterior foi correto integrando e diferenciando.
Quais valores de a e b minimizam o valor de
\int_a^b\left(x^4-2x^2\right)dx?
Uma superfície é criada a partir de segmentos de reta perpendiculares traçados sobre um círculo de raio a, perpendiculares ao plano do círculo. O comprimento de um segmento correspondente a um ponto p sobre o círculo é ks, sendo k uma constante positiva e s o comprimento de arco do círculo no sentido anti-horário de (a,0) até o ponto p.
Determine a área desta superfície, conforme a figura a seguir, em função de k.
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int (t^2+3)(t^3-2t)\ dt
t^6/6+t^4/4-3t^2+C
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int \sec^2\theta\ d\theta
\tan \theta+C
Um carro está em uma rodovia a uma velocidade constante de 60mi/h quando vê um acidente a frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 242 pés?
Determine f\left(x\right) sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right) = 9e^{3x}+\cos x+x^{6},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =2\text{ .} \end{equation*}
Avalie a integral \displaystyle \int_{-1}^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx sem fazer nenhuma conta.
Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de l'Hospital para calcular o limite abaixo, justificando claramente sua resolução.
\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}\right) \end{equation*}
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int (\sec x\tan x + \csc x\cot x)\ dx
\sec x - \csc x+C
Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
- \int_0^1 f(x)\ dx
- \int_0^2 f(x)\ dx
- \int_0^3 f(x)\ dx
- \int_1^2 -3f(x)\ dx
- -59
- -48
- -27
- -33
Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
f'(x) = \sin x e f(0)= 2
-\cos x+3
Derive a função f\left( x\right) = \int_{x^{2}}^{e^{3x}}\cos t\sin tdt.
Um objeto é solto de um helicóptero. O objeto cai cada vez mais rápido, mas sua aceleração diminui com o passar do tempo devido à resistência do ar. A aceleração foi medida nos primeiros cinco segundos, quando ele atingiu o chão, e o resultado está na tabela a seguir:
\begin{array}{ccccccc} \hline t & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline a & 9,81 & 5,95 & 3,61 & 2,19 & 1,33 & 0,81 \\\hline \end{array}
Faça uma estimativa superior para o módulo da velocidade quando t=5.
Faça uma estimativa superior para o módulo da posição quando t=5.
Faça uma estimativa superior para a altura da queda.
Determine uma primitiva para cada uma das funções:
f(x)=cosx
f(x)=tgx
Seja:
- \int_0^3{s(t)dt} = 10
- \int_3^5{s(t)dt} = 8
- \int_3^5{r(t)dt} = -1 e
- \int_0^5{r(t)dt} = 11
A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:
- \int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt
- \int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt
- \int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt
- Encontre valores para a e b tal que:
\int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0
- 22
- -7
- 0
- b=-\frac{11}{18}a,\quad a\in\mathbb{R}
Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:
- \int_0^1 (-2x+4)\ dx
- \int_0^2 (-2x+4)\ dx
- \int_0^3 (-2x+4)\ dx
- \int_1^3 (-2x+4)\ dx
- \int_2^4 (-2x+4)\ dx
- \int_0^1 (-6x+12)\ dx
- 3
- 4
- 3
- 0
- -4
- 9
Determine f\left(x\right) sabendo que:
\begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right) = \cos 2x+6x+4,\;f\,^{\prime }\left(0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .}\end{equation*}
Primeiramente, calcula-se a integral indefinida
f\,^\prime(x)=\int \left(\cos 2x+6x+4\right)\,dx = 3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+C_1
Pelo dado do enunciado f\, ^\prime(0)=2. Avaliando a expressão acima para x=0, vê-se que C_1=2. Para obter f(x), calcula-se novamente a integral indefinida:
f(x)=\int \left(3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+2\right)\,dx =x^3+2 x^2+2 x-\frac{\cos ^2(x)}{2}+C_2
De acordo com o enunciado, f(0)=0. Assim, obtém-se C_2=\frac{1}{2}.
Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
f'(x) = 3x+2 e f(0)= 7
\frac{3 x^2}{2}+7 x+7
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int (2t+3)^2\ dt
4/3t^3+6t^2+9t+C
Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:
- \int_0^2 f(x)\ dx
- \int_0^3 f(x)\ dx
- \int_0^5 f(x)\ dx
- \int_2^5 f(x)\ dx
- \int_5^3 f(x)\ dx
- \int_0^3 -2f(x)\ dx
- -4
- -5
- -3
- 1
- -2
- 10
Se f(8)=12, f'(x) é contínua e { \int_1^8 f'(x)dx=30}, determine o valor de f(1).
É mais correto se referir a uma antiderivada de f(x) ou a antiderivada de f(x)?
O correto é uma antiderivada, já que existem infinitas antiderivadas para uma dada função.
Derive a função p\left( x\right) = \int_{2x^{-5}}^{\sin 3x}\left( v^{3}-2\right) \cos vdv.
O custo marginal da impressão de um pôster quando x pôsteres são impressos é
\frac{dc}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}} reais.
Determine c(100)-c(1), ou seja, a soma do custo dos pôsteres 2-100.
Determine f\left(x\right) sabendo que: \begin{equation*} f^{\prime \prime }\left( x\right) = \dfrac{1}{x^{2}}+8e^{2x}+2,\;f^{\prime }\left( 2\right) =4e^{4}\text{ e }f\left( 1\right) =2e^{2}\text{.} \end{equation*}
Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de y=x^3 no intervalo [0,b] é b^4/4.
Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.
A atmosfera da Terra absorve aproximadamente 32\% da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente 93\% dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modificações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja I_0 a intensidade da radiação do Sol e I a intensidade depois de percorrer uma distância x na atmosfera. Se p(h) é a densidade da atmosfera na altitude h, então a espessura ótica é f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh, onde k é uma constante de absorção e I é dada por I=I_0e^{-f(x)}. Mostre que dI/dx=-kp(x)I.
Este problema busca analisar o porquê de
\begin{equation*} \int{\frac{1}{x}\ dx} = ln\left|x\right| + C \end{equation*}
- Qual o domínio de y = ln\ x?
- Calcule \frac{d}{dx}(ln\ x)
- Qual o domínio de y = ln(-x)?
- Calcule \frac{d}{dx}\left(ln(-x)\right)
- Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int x^8\ dx
1/9x^9+C
Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
f''(x) = 5 e f'(0)= 7, f(0) = 3
5/2x^2+7x+3
Sendo n um número positivo, mostre que
\displaystyle \int_{-1}^1 x^n \, dx = \left. \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right |_{-1}^1.
Se n for um número negativo diferente de -1, esta expressão continua válida?
Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t) = -32t+64, de uma altura de 48 pés.
- Qual a velocidade máxima do objeto?
- Qual o deslocamento máximo do objeto?
- Em que momento ocorre o maior deslocamento do objeto?
- Em que momento o objeto alcança a altura de 0 pés?
Dica: encontre o momento no qual o deslocamento é -48ft
- 64ft/s
- 64ft
- t=2
- t=2+\sqrt{7}\approx 4.65s.
Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
f'(x) = 7^x e f(2)= 1
7^x/\ln 7 + 1-49/\ln 7
Calcule a seguinte integral:
\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx.
O que é um problema de valor inicial?
Considere y=f(x), para x real, sendo f derivável até a segunda ordem e tal que, para todo x, f''(x)+f(x)=0. Seja g uma função tal que g(x)=f'(x) \sin x - f(x) \cos x. Mostre que g é constante.
Calcule a seguinte integral:
\int_4^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy.
Seja f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função derivável, tal que f'(x)=\alpha f(x) para todo x e sendo \alpha uma constante diferente de zero. Mostre que existe uma constante k tal que, para todo x:
f(x) = k e^{\alpha x}
Seja:
- \int_0^2{f(x)dx} = 5
- \int_0^3{f(x)dx} = 7
- \int_0^2{g(x)dx} = -3 e
- \int_0^3{g(x)dx} = 5
A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:
- \int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx
- \int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx
- \int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx
- Encontre valores para a e b tal que:
\int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0
- 2
- 2
- 22
- a=-\frac{5}{7}b,\quad b\in\mathbb{R}
A antiderivada de uma função aceleração é a função _________.
Velocidade. A taxa de variação com a qual a velocidade varia de acordo com o tempo é, justamente, a aceleração.
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int (10x^2-2)\ dx
10/3x^3-2x+C
De acordo com s primeira lei de Kirchhoff para circuitos elétricos V=RI+L(dI/dt), onde as constantes V, R e L denotam a força eletromotriz, a resistência e a indutância, respectivamente, e I denota a corrente no instante t. Se a força eletromotriz é interrompida no instante t=0 e se a corrente é I_0 no instante da interrupção, prove que I=I_0 e^{-Rt/L}.
Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t) = -32t+96; de uma altura de 64 pés.
- Qual a velocidade inicial do objeto?
- Em que momento o objeto tem deslocamento nulo?
- Quanto tempo leva para o objeto retornar a sua posição inicial?
- Quando o objeto alcançará uma altura de 210 pés?
- 96ft/s.
- 6s.
- 6s.
- Nunca, a altura máxima é 208ft.
Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de y=x^2 no intervalo [0,b] é b^3/3.
Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.
Demonstre que não é possível que o valor de \int_0^1\sin(x^2)\ dx seja 2. Depois, utilizando a desigualdade \sin x \leq x, válida para x \geq 0, determine um limitante superior para esta integral.
Sabemos que \sin x \leq 1,\,\forall\,x\in\mathbb{R}. Assim, como \int_a^b f(x)dx \leq max\_{a \leq x \leq b} f(x) (b-a), podemos dizer que \int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq 1.
Utilizando a desigualdade \sin x \leq x, podemos determinar de maneira ainda mais precisa um limitante superior para a integral.
\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq \int_0^1x^2\ dx = \frac{1}{3}x^3 \vert^1_0=\frac{1}{3}
Mostre que \displaystyle \int_0^x \dfrac{\sin t}{t+1} \, dt > 0
para todo x>0.
Quais valores de a e b maximizam o valor de
\int_a^b\left(x-x^2\right)dx?
a=0 e b=1.
Determine f\left(x\right) sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right) = 12\sin 2x+\cos 3x+1,\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}
Encontre f(\theta) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
f''(\theta) = \sin \theta e f'(\pi)= 2, f(\pi) = 4
\theta-\sin (\theta)-\pi +4
Mostre que a área A de um círculo de raio r é A=\pi r^{2}.
Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
- \int_0^2 f(x)\ dx
- \int_2^4 f(x)\ dx
- \int_0^4 f(x)\ dx
- \int_0^1 f(x)\ dx
- 4/\pi
- -4/\pi
- 0
- 2/\pi
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int e^\pi\ dx
e^\pi x+C
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada da função g(x)={ \int_x^{x^2}\cos (t^2)dt}.
Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
f'(x) = 5e^x e f(0)= 10
5e^x+5
Um foguete decola da superfície terrestre com uma aceleração constante de 20m/s^2. Qual será sua velocidade 1 minuto depois?
Um objeto é atirado do nível do mar para cima com uma velocidade inicial de 100m/s.
Supondo que a gravidade seja a única força que atua sobre este objeto superestime sua veocidade depois de 5 segundos. Use g=10m/s^2.
Calcule uma estimativa inferior para a altura atingida depois de 5s.
Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de y=x no intervalo [0,b] é b^2/2.
Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.
Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:
- \int_0^2 f(x)\ dx
- \int_2^4 f(x)\ dx
- \int_2^4 2f(x)\ dx
- \int_0^1 4x\ dx
- \int_2^3 (2x-4)\ dx
- \int_2^3 (4x-8)\ dx
- 4
- 2
- 4
- 2
- 1
- 2
Durante o primeiro mês de crescimento de produtos como milho, algodão e soja, a taxa de crescimento (em gramas/dia) é proporcional ao peso presente W. Para determinada espécie de algodão, dW/dt=0,21W. Preveja o peso de uma planta no término de um mês (t=30), se a planta pesa 70 miligramas no início do mês.
Avalie a integral \displaystyle \int_{-1}^1 (x^5+3) \sqrt{1-x^2} \, dx sem fazer nenhuma conta.
Determine uma primitiva para cada uma das funções:
f(x)=x^n
f(x)=sen(x)
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int \frac{1}{3t^2}\ dt
-1/(3t)+C
Se F(x)= { \int_1^xf(t)dt} e f(t)={ \int_{x^2}^1\frac{\sqrt{1+u^4}}{u}du}, determine F''(2).
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int \sin\theta\ d\theta
-\cos \theta+C
Considere a área entre a curva y=x^{4} e o eixo x, primeiro no intervalo \left[ -1,1\right] e depois no intervalo \left[1,a\right] . Determinar a\geq 1 tal que estas áreas sejam iguais.
O calor específico de um metal como a prata é constante a temperaturas T acima de 200° K. se a temperatura do metal aumenta de T_1 a T_2, a área sob a curva y=c/T de T_1 a T_2 é chamada variação de entropia \Delta S, que é uma medida da desordem molecular do sistema. Expresse \Delta S em termos de T_1 e T_2,
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int 5e^\theta\ d\theta
5e^\theta+C
Determine uma primitiva para cada uma das funções:
f(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4
f(x)=1+x+x^2+\ldots +x^{1000000}
- F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5
- F(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{x^1000001}{1000001}
Determine um número 0\leq b\leq 2 tal que a reta x=b divide a região delimitada por y=\sqrt{4-x^{2}} e y=0 e x=0 em duas regiões de mesma área.
Derive a função h\left( x\right) = \int_{\cos 5x}^{x^{7/3}}e^{r}\left( r^{2}+1\right) dr.
\item Avalie a seguinte integral indefinida:
\int dt
t+C
Avalie a seguinte integral indefinida:
\int \frac{1}{\sqrt{x}}\ dx
2\sqrt{x}+C
Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:
- \int_0^2 f(x)\ dx
- \int_2^4 f(x)\ dx
- \int_0^4 f(x)\ dx
- \int_0^4 5f(x)\ dx
- \pi
- \pi
- 2\pi
- 10\pi