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1868   

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente 32% da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente 93% dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modoficações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja I0 a intensidade da radiação do Sol e I a intensidade depois de percorrer uma distância x na atmosfera. Se p(h) é a densidade da atmosfera na altitude h, então a espessura ótica é f(x)=kx0p(h)dh, onde k é uma constante de absorção e I é dada por I=I0ef(x). Mostre que dI/dx=kp(x)I


1115   

Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  f e f'(0)= 5, f(0) = 0


\frac{2 x^4 \ln ^2(2)+2^x+x \ln 2) (\ln 32-1)+\ln      ^2(2) \cos (x)-1-\ln ^2(2)}{\ln ^2(2)}



1088   

Defina o termo antiderivada com suas próprias palavras.


A antiderivada de uma função f é uma função F cuja derivada é a função f original.


634   

Determine f\left(x\right) sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \sin x-\cos x+x^{5},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}


1657   

Demonstre que  2\sqrt{2} \leq \int_{0}^{1}{\sqrt{x+8}dx} \leq 8.


661   

Use o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia para calcular a derivada da função f(x)=\int_1^{\sin x}e^{t^2} dt. Indique claramente a justificativa de cada passagem e, em seguida, calcule f'(\pi).


1118   

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
fig_int_definida_3.png

  1. \int_{-2}^{-1} f(x)\ dx
  2. \int_1^2 f(x)\ dx
  3. \int_{-1}^1 f(x)\ dx
  4. \int_0^1 f(x)\ dx


  1. 4
  2. 4
  3. -4
  4. -2


666   

Derive a função q\left( x\right)  = \int_{e^{-2x}}^{\mathrm{tg}x}e^{\theta }\cos \theta d\theta.


1659   

Demonstre que se k é uma constante positiva, então a área entre o eixo x e um arco da curva y=\sin kx é 2/k.


1754   

  1. Mostre que, para toda parábola dada por y=ax^2, com a>0, temos: \displaystyle \int_0^b a x^2 \, dx = a \dfrac{b^3}{3}.

  2. Use este fato para provar que a área do setor parabólico delimitado por y=ax^2 e a reta y=ab^2 é igual a quatro terços da área do triângulo com vértices (0,0), (b,ab^2) e (-b,ab^2). Este resultado é um caso particular do Teorema de Arquimedes sobre a área de um setor parabólico.


1123   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_8.png

  1. \int_0^1 (x-1)\ dx
  2. \int_0^2 (x-1)\ dx
  3. \int_0^3 (x-1)\ dx
  4. \int_2^3 (x-1)\ dx
  5. \int_1^4 (x-1)\ dx
  6. \int_1^4 \big((x-1)+1\big)\ dx


  1. -1/2
  2. 0
  3. 3/2
  4. 3/2
  5. 9/2
  6. 15/2


1089   

Use suas próprias palavras para definir o significado de \int{f(x)}\ dx.


O símbolo \int{f(x)}\ dx é chamado integral indefinida de f e corresponde ao conjunto de todas as antiderivadas da função f.


1119   

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_4.png

  1. \int_{0}^{2} 5x^2\ dx
  2. \int_0^2 (x^2+3)\ dx
  3.  \int_{1}^3 (x-1)^2\ dx
  4.  \int_2^4 \big((x-2)^2+5\big)\ dx


  1. 40/3
  2. 26/3
  3. 8/3
  4. 38/3


1111   

Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  f'(x) = 4x^3-3x^2 e f(-1)= 9


  x^4-x^3+7


1104   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int \frac{5^t}{2}\  dt


  \frac{5^t}{2\ln 5}+C


1092   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int 3x^3\ dx


 3/4x^4+C


663   

Derive a função g\left( x\right)  = \int_{\tan x}^{x^{4}}\dfrac{u^{2}+1}{\sqrt{u^{2}+2u}}du.


1758   

Enuncie e demonstre o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.


1760   

Seja F(x) tal que F(x)=\displaystyle \int_{\pi/4}^x \cos 2t \, dt.

  1. Use alguma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar F'(x).

  2. Confira se seu resultado anterior foi correto integrando e diferenciando.


1655   

Quais valores de a e b minimizam o valor de

\int_a^b\left(x^4-2x^2\right)dx?


1653   

Uma superfície é criada a partir de segmentos de reta perpendiculares traçados sobre um círculo de raio a, perpendiculares ao plano do círculo. O comprimento de um segmento correspondente a um ponto p sobre o círculo é ks, sendo k uma constante positiva e s o comprimento de arco do círculo no sentido anti-horário de (a,0) até o ponto p.

Determine a área desta superfície, conforme a figura a seguir, em função de k.

fig_area_1.png


1102   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int (t^2+3)(t^3-2t)\  dt


t^6/6+t^4/4-3t^2+C


1100   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int \sec^2\theta\  d\theta


 \tan \theta+C


1650   

Um carro está em uma rodovia a uma velocidade constante de 60mi/h quando vê um acidente a frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 242 pés?


632   

Determine f\left(x\right) sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 9e^{3x}+\cos x+x^{6},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =2\text{ .} \end{equation*}


1755   

Avalie a integral \displaystyle \int_{-1}^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx sem fazer nenhuma conta.


667   

Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de l'Hospital para calcular o limite abaixo, justificando claramente sua resolução.
  \begin{equation*}   \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}\right)   \end{equation*}


1099   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int (\sec x\tan x + \csc x\cot x)\  dx


  \sec x - \csc x+C


1116   

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_1.png

  1. \int_0^1 f(x)\ dx
  2. \int_0^2 f(x)\ dx
  3. \int_0^3 f(x)\ dx
  4. \int_1^2 -3f(x)\ dx


  1. -59
  2. -48
  3. -27
  4. -33


1113   

Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  f'(x) = \sin x e f(0)= 2



  -\cos x+3


662   

Derive a função f\left( x\right)  = \int_{x^{2}}^{e^{3x}}\cos t\sin tdt.


1651   

Um objeto é solto de um helicóptero. O objeto cai cada vez mais rápido, mas sua aceleração diminui com o passar do tempo devido à resistência do ar. A aceleração foi medida nos primeiros cinco segundos, quando ele atingiu o chão, e o resultado está na tabela a seguir:


\begin{array}{ccccccc} \hline t & 0    & 1    & 2    & 3    & 4    & 5    \\\hline a & 9,81 & 5,95 & 3,61 & 2,19 & 1,33 & 0,81 \\\hline \end{array}

  1. Faça uma estimativa superior para o módulo da velocidade quando t=5.

  2. Faça uma estimativa superior para o módulo da posição quando t=5.

  3. Faça uma estimativa superior para a altura da queda.


1332   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. f(x)=cosx

  2. f(x)=tgx


1126   

Seja:

  • \int_0^3{s(t)dt} = 10
  • \int_3^5{s(t)dt} = 8
  • \int_3^5{r(t)dt} = -1 e
  • \int_0^5{r(t)dt} = 11

A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

  1. \int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt
  2. \int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt
  3. \int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt
  4. Encontre valores para a e b tal que:
    \int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0


  1. 22
  2. -7
  3. 0
  4. b=-\frac{11}{18}a,\quad a\in\mathbb{R}


1120   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_5.png

  1. \int_0^1 (-2x+4)\ dx
  2. \int_0^2 (-2x+4)\ dx
  3. \int_0^3 (-2x+4)\ dx
  4.  \int_1^3 (-2x+4)\ dx
  5. \int_2^4 (-2x+4)\ dx
  6. \int_0^1 (-6x+12)\ dx


  1. 3
  2. 4
  3. 3
  4. 0
  5. -4
  6. 9


630   

Determine f\left(x\right) sabendo que:
\begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \cos 2x+6x+4,\;f\,^{\prime }\left(0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .}\end{equation*}



Primeiramente, calcula-se a integral indefinida

f\,^\prime(x)=\int  \left(\cos 2x+6x+4\right)\,dx = 3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+C_1

Pelo dado do enunciado f\, ^\prime(0)=2.  Avaliando a expressão acima para x=0, vê-se que C_1=2. Para obter f(x), calcula-se novamente a integral indefinida:

f(x)=\int \left(3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+2\right)\,dx =x^3+2 x^2+2 x-\frac{\cos ^2(x)}{2}+C_2 

De acordo com o enunciado, f(0)=0. Assim, obtém-se C_2=\frac{1}{2}.


1110   

Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  f'(x) = 3x+2 e f(0)= 7


 \frac{3 x^2}{2}+7 x+7


1101   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int (2t+3)^2\  dt


  4/3t^3+6t^2+9t+C


1121   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_6.png

  1. \int_0^2 f(x)\ dx
  2. \int_0^3 f(x)\ dx
  3. \int_0^5 f(x)\ dx
  4. \int_2^5 f(x)\ dx
  5. \int_5^3 f(x)\ dx
  6. \int_0^3 -2f(x)\ dx


  1. -4
  2. -5
  3. -3
  4. 1
  5. -2
  6. 10


1263   

Se f(8)=12, f'(x) é contínua e { \int_1^8 f'(x)dx=30}, determine o valor de f(1).


1090   

É mais correto se referir a uma antiderivada de f(x) ou a antiderivada de f(x)?


O correto é uma antiderivada, já que existem infinitas antiderivadas para uma dada função.


665   

Derive a função p\left( x\right)  = \int_{2x^{-5}}^{\sin 3x}\left( v^{3}-2\right) \cos vdv.


1658   

O custo marginal da impressão de um pôster quando x pôsteres são impressos é
\frac{dc}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}} reais.

Determine c(100)-c(1), ou seja, a soma do custo dos pôsteres 2-100.


631   

Determine f\left(x\right) sabendo que: \begin{equation*} f^{\prime \prime }\left( x\right)  = \dfrac{1}{x^{2}}+8e^{2x}+2,\;f^{\prime }\left( 2\right) =4e^{4}\text{ e }f\left( 1\right) =2e^{2}\text{.} \end{equation*}


1751   

  1. Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de y=x^3 no intervalo [0,b] é b^4/4.

  2. Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.


1626   

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente 32\% da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente 93\% dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modificações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja I_0 a intensidade da radiação do Sol e I a intensidade depois de percorrer uma distância x na atmosfera. Se p(h) é a densidade da atmosfera na altitude h, então a espessura ótica é f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh, onde k é uma constante de absorção e I é dada por I=I_0e^{-f(x)}. Mostre que dI/dx=-kp(x)I.


1107   

Este problema busca analisar o porquê de
  \begin{equation*}     \int{\frac{1}{x}\ dx} = ln\left|x\right| + C   \end{equation*}

  1. Qual o domínio de y = ln\ x?
  2. Calcule \frac{d}{dx}(ln\ x)
  3. Qual o domínio de y = ln(-x)?
  4. Calcule \frac{d}{dx}\left(ln(-x)\right)
  5. Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.



1096   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int x^8\ dx


1/9x^9+C


1112   

Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  f''(x) = 5 e f'(0)= 7, f(0) = 3


  5/2x^2+7x+3


1759   

Sendo n um número positivo, mostre que

\displaystyle \int_{-1}^1 x^n \, dx = \left. \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right |_{-1}^1.


Se n for um número negativo diferente de -1, esta expressão continua válida?


1128   

Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t) = -32t+64, de uma altura de 48 pés.

  1. Qual a velocidade máxima do objeto?
  2. Qual o deslocamento máximo do objeto?
  3. Em que momento ocorre o maior deslocamento do objeto?
  4. Em que momento o objeto alcança a altura de 0 pés?

 Dica: encontre o momento no qual o deslocamento é -48ft


  1. 64ft/s
  2. 64ft
  3. t=2
  4. t=2+\sqrt{7}\approx 4.65s.


1109   

Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  f'(x) = 7^x e f(2)= 1


7^x/\ln 7 + 1-49/\ln 7


1258   

Calcule a seguinte integral:

   \int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx.


1106   

O que é um problema de valor inicial?




1750   

Considere y=f(x), para x real, sendo f derivável até a segunda ordem e tal que, para todo x, f''(x)+f(x)=0. Seja g uma função tal que g(x)=f'(x) \sin x - f(x) \cos x. Mostre que g é constante.


1257   

Calcule a seguinte integral:
  \int_4^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy.


1749   

Seja f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função derivável, tal que f'(x)=\alpha f(x) para todo x e sendo \alpha uma constante diferente de zero. Mostre que existe uma constante k tal que, para todo x:

f(x) = k e^{\alpha x}


1125   

Seja:

  • \int_0^2{f(x)dx} = 5
  • \int_0^3{f(x)dx} = 7
  • \int_0^2{g(x)dx} = -3 e
  • \int_0^3{g(x)dx} = 5

A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

  1. \int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx
  2. \int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx
  3. \int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx
  4. Encontre valores para a e b tal que:
    \int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0



  1. 2
  2. 2
  3. 22
  4. a=-\frac{5}{7}b,\quad b\in\mathbb{R}


1091   

A antiderivada de uma função aceleração é a função _________.





Velocidade. A taxa de variação com a qual a velocidade varia de acordo com o tempo é, justamente, a aceleração.


1093   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int (10x^2-2)\ dx


  10/3x^3-2x+C


1383   

De acordo com s primeira lei de Kirchhoff para circuitos elétricos V=RI+L(dI/dt), onde as constantes V, R e L denotam a força eletromotriz, a resistência e a indutância, respectivamente, e I denota a corrente no instante t. Se a força eletromotriz é interrompida no instante t=0 e se a corrente é I_0 no instante da interrupção, prove que I=I_0 e^{-Rt/L}.


1127   

Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t) = -32t+96; de uma altura de 64 pés.

  1. Qual a velocidade inicial do objeto?
  2. Em que momento o objeto tem deslocamento nulo?
  3. Quanto tempo leva para o objeto retornar a sua posição inicial?
  4. Quando o objeto alcançará uma altura de 210 pés?


  1. 96ft/s.
  2. 6s.
  3. 6s.
  4. Nunca, a altura máxima é 208ft.


1753   

  1. Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de y=x^2 no intervalo [0,b] é b^3/3.

  2. Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.


1656   

Demonstre que não é possível que o valor de \int_0^1\sin(x^2)\ dx seja 2. Depois, utilizando a desigualdade \sin x \leq x, válida para x \geq 0, determine um limitante superior para esta integral.



Sabemos que \sin x \leq 1,\,\forall\,x\in\mathbb{R}. Assim, como \int_a^b f(x)dx \leq max\_{a \leq x \leq b} f(x) (b-a), podemos dizer que \int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq 1.

Utilizando a desigualdade \sin x \leq x, podemos determinar de maneira ainda mais precisa um limitante superior para a integral.

 \int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq \int_0^1x^2\ dx = \frac{1}{3}x^3 \vert^1_0=\frac{1}{3}


1757   

Mostre que \displaystyle \int_0^x \dfrac{\sin t}{t+1} \, dt > 0

para todo x>0.


1654   

Quais valores de a e b maximizam o valor de

\int_a^b\left(x-x^2\right)dx?


a=0 e b=1.


633   

Determine f\left(x\right) sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 12\sin 2x+\cos 3x+1,\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}


1114   

Encontre f(\theta) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  f''(\theta) = \sin \theta e f'(\pi)= 2, f(\pi) = 4


  \theta-\sin (\theta)-\pi +4


659   

Mostre que a área A de um círculo de raio r é A=\pi r^{2}.


1117   

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
fig_int_definida_2.png

  1. \int_0^2 f(x)\ dx
  2. \int_2^4 f(x)\ dx
  3. \int_0^4 f(x)\ dx
  4. \int_0^1 f(x)\ dx


  1. 4/\pi
  2. -4/\pi
  3. 0
  4. 2/\pi


1105   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int e^\pi\  dx


e^\pi x+C


1262   

Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada da função g(x)={ \int_x^{x^2}\cos (t^2)dt}.


1108   

 Encontre f(x) que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:

  f'(x) = 5e^x e f(0)= 10


5e^x+5


1649   

Um foguete decola da superfície terrestre com uma aceleração constante de 20m/s^2. Qual será sua velocidade 1 minuto depois?


1652   

Um objeto é atirado do nível do mar para cima com uma velocidade inicial de 100m/s.

  1. Supondo que a gravidade seja a única força que atua sobre este objeto superestime sua veocidade depois de 5 segundos. Use g=10m/s^2.

  2. Calcule uma estimativa inferior para a altura atingida depois de 5s.


1752   

  1. Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de y=x no intervalo [0,b] é b^2/2.

  2. Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.


1122   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_7.png


  1. \int_0^2 f(x)\ dx
  2. \int_2^4 f(x)\ dx
  3. \int_2^4 2f(x)\ dx
  4. \int_0^1 4x\ dx
  5. \int_2^3 (2x-4)\ dx
  6. \int_2^3 (4x-8)\ dx


  1. 4
  2. 2
  3. 4
  4. 2
  5. 1
  6. 2


1382   

Durante o primeiro mês de crescimento de produtos como milho, algodão e soja, a taxa de crescimento (em gramas/dia) é proporcional ao peso presente W. Para determinada espécie de algodão, dW/dt=0,21W. Preveja o peso de uma planta no término de um mês (t=30), se a planta pesa 70 miligramas no início do mês.


1756   

Avalie a integral \displaystyle \int_{-1}^1 (x^5+3) \sqrt{1-x^2} \, dx sem fazer nenhuma conta.


1331   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. f(x)=x^n

  2. f(x)=sen(x)


1095   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int \frac{1}{3t^2}\  dt


  -1/(3t)+C


1261   

Se F(x)= { \int_1^xf(t)dt} e f(t)={ \int_{x^2}^1\frac{\sqrt{1+u^4}}{u}du}, determine F''(2).


1097   

 Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int \sin\theta\  d\theta


-\cos \theta+C


1334   

Considere a área entre a curva y=x^{4} e o eixo x, primeiro no intervalo \left[ -1,1\right] e depois no intervalo \left[1,a\right] . Determinar a\geq 1 tal que estas áreas sejam iguais.


1393   

O calor específico de um metal como a prata é constante a temperaturas T acima de 200° K. se a temperatura do metal aumenta de T_1 a T_2, a área sob a curva y=c/T de T_1 a T_2 é chamada variação de entropia \Delta S, que é uma medida da desordem molecular do sistema. Expresse \Delta S em termos de T_1 e T_2,


1103   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int 5e^\theta\  d\theta


  5e^\theta+C


1333   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. f(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4

  2. f(x)=1+x+x^2+\ldots +x^{1000000}


  1. F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5
  2. F(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{x^1000001}{1000001}

658   

Determine um número 0\leq b\leq 2 tal que a reta x=b divide a região delimitada por y=\sqrt{4-x^{2}} e y=0 e x=0 em duas regiões de mesma área.


664   

Derive a função h\left( x\right)  = \int_{\cos 5x}^{x^{7/3}}e^{r}\left( r^{2}+1\right) dr.


1094   

 \item Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int  dt



  t+C


1098   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  \int \frac{1}{\sqrt{x}}\  dx



2\sqrt{x}+C


1124   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_9.png

  1. \int_0^2 f(x)\ dx
  2. \int_2^4 f(x)\ dx
  3.  \int_0^4 f(x)\ dx
  4. \int_0^4 5f(x)\ dx


  1. \pi
  2. \pi
  3. 2\pi
  4. 10\pi