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| MA111 - Cálculo I | Integral

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1656   

Demonstre que não é possível que o valor de $\int_0^1\sin(x^2)\ dx$ seja $2$. Depois, utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, válida para $x \geq 0$, determine um limitante superior para esta integral.


Sabemos que $\sin x \leq 1,\,\forall\,x\in\mathbb{R}$. Assim, como $\int_a^b f(x)dx \leq max\_{a \leq x \leq b} f(x) (b-a)$, podemos dizer que $\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq 1$.

Utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, podemos determinar de maneira ainda mais precisa um limitante superior para a integral.

 $\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq \int_0^1x^2\ dx = \frac{1}{3}x^3 \vert^1_0=\frac{1}{3}$

1108   

 Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:

  $f'(x) = 5e^x$ e $f(0)= 10$

$5e^x+5$

1333   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4$

  2. $f(x)=1+x+x^2+\ldots +x^{1000000}$

  1. $F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$
  2. $F(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{x^1000001}{1000001}$

1111   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = 4x^3-3x^2$ e $f(-1)= 9$

  $x^4-x^3+7$

1092   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int 3x^3\ dx$

 $3/4x^4+C$

1262   

Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada da função $g(x)={ \int_x^{x^2}\cos (t^2)dt}$.

662   

Derive a função $f\left( x\right)  = \int_{x^{2}}^{e^{3x}}\cos t\sin tdt$.

1120   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_5.png

  1. $\int_0^1 (-2x+4)\ dx$
  2. $\int_0^2 (-2x+4)\ dx$
  3. $\int_0^3 (-2x+4)\ dx$
  4.  $\int_1^3 (-2x+4)\ dx$
  5. $\int_2^4 (-2x+4)\ dx$
  6. $\int_0^1 (-6x+12)\ dx$

  1. 3
  2. 4
  3. 3
  4. 0
  5. $-4$
  6. 9

1119   

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_4.png

  1. $ \int_{0}^{2} 5x^2\ dx$
  2. $ \int_0^2 (x^2+3)\ dx$
  3. $ \int_{1}^3 (x-1)^2\ dx$
  4. $ \int_2^4 \big((x-2)^2+5\big)\ dx$

  1. $40/3$
  2. $26/3$
  3. $8/3$
  4. $38/3$

664   

Derive a função $h\left( x\right)  = \int_{\cos 5x}^{x^{7/3}}e^{r}\left( r^{2}+1\right) dr$.

1105   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int e^\pi\  dx$

$e^\pi x+C$

1107   

Este problema busca analisar o porquê de
  \begin{equation*}
    \int{\frac{1}{x}\ dx} = ln\left|x\right| + C
  \end{equation*}

  1. Qual o domínio de $y = ln\ x$?
  2. Calcule $\frac{d}{dx}(ln\ x)$
  3. Qual o domínio de $y = ln(-x)$?
  4. Calcule $\frac{d}{dx}\left(ln(-x)\right)$
  5. Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.


1626   

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modificações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$.

1757   

Mostre que $\displaystyle \int_0^x \dfrac{\sin t}{t+1} \, dt > 0$

para todo $x>0$.

1088   

Defina o termo antiderivada com suas próprias palavras.

A antiderivada de uma função $f$ é uma função $F$ cuja derivada é a função $f$ original.

1128   

Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por $v(t) = -32t+64$, de uma altura de $48$ pés.

  1. Qual a velocidade máxima do objeto?
  2. Qual o deslocamento máximo do objeto?
  3. Em que momento ocorre o maior deslocamento do objeto?
  4. Em que momento o objeto alcança a altura de $0$ pés?

 Dica: encontre o momento no qual o deslocamento é $-48ft$

  1. $64ft/s$
  2. $64ft$
  3. $t=2$
  4. $t=2+\sqrt{7}\approx 4.65s$.

1393   

O calor específico de um metal como a prata é constante a temperaturas $T$ acima de 200° K. se a temperatura do metal aumenta de $T_1$ a $T_2$, a área sob a curva $y=c/T$ de $T_1$ a $T_2$ é chamada variação de entropia $\Delta S$, que é uma medida da desordem molecular do sistema. Expresse $\Delta S$ em termos de $T_1$ e $T_2$,

632   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 9e^{3x}+\cos x+x^{6},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =2\text{ .} \end{equation*}

1096   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int x^8\ dx$

$1/9x^9+C$

1654   

Quais valores de $a$ e $b$ maximizam o valor de

$\int_a^b\left(x-x^2\right)dx$?

$a=0$ e $b=1$.

665   

Derive a função $p\left( x\right)  = \int_{2x^{-5}}^{\sin 3x}\left( v^{3}-2\right) \cos vdv$.

1121   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_6.png

  1. $\int_0^2 f(x)\ dx$
  2. $\int_0^3 f(x)\ dx$
  3. $\int_0^5 f(x)\ dx$
  4. $\int_2^5 f(x)\ dx$
  5. $\int_5^3 f(x)\ dx$
  6. $\int_0^3 -2f(x)\ dx$

  1. $-4$
  2. $-5$
  3. $-3$
  4. 1
  5. $-2$
  6. 10

1116   

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_1.png

  1. $\int_0^1 f(x)\ dx$
  2. $\int_0^2 f(x)\ dx$
  3. $\int_0^3 f(x)\ dx$
  4. $\int_1^2 -3f(x)\ dx$

  1. $-59$
  2. $-48$
  3. $-27$
  4. $-33$

633   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 12\sin 2x+\cos 3x+1,\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}

1651   

Um objeto é solto de um helicóptero. O objeto cai cada vez mais rápido, mas sua aceleração diminui com o passar do tempo devido à resistência do ar. A aceleração foi medida nos primeiros cinco segundos, quando ele atingiu o chão, e o resultado está na tabela a seguir:


$
\begin{array}{ccccccc} \hline
t & 0    & 1    & 2    & 3    & 4    & 5    \\\hline
a & 9,81 & 5,95 & 3,61 & 2,19 & 1,33 & 0,81 \\\hline
\end{array}
$

  1. Faça uma estimativa superior para o módulo da velocidade quando $t=5$.

  2. Faça uma estimativa superior para o módulo da posição quando $t=5$.

  3. Faça uma estimativa superior para a altura da queda.

1126   

Seja:

  • $\int_0^3{s(t)dt} = 10$
  • $\int_3^5{s(t)dt} = 8$
  • $\int_3^5{r(t)dt} = -1$ e
  • $\int_0^5{r(t)dt} = 11$

A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

  1. $\int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt$
  2. $\int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt$
  3. $\int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt$
  4. Encontre valores para $a$ e $b$ tal que:
    $\int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0$

  1. $22$
  2. $-7$
  3. $0$
  4. $b=-\frac{11}{18}a,\quad a\in\mathbb{R}$

1114   

Encontre $f(\theta)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(\theta) = \sin \theta$ e $f'(\pi)= 2$, $f(\pi) = 4$

  $\theta-\sin (\theta)-\pi +4$

1093   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (10x^2-2)\ dx$

  $10/3x^3-2x+C$

1112   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(x) = 5$ e $f'(0)= 7$, $f(0) = 3$

  $5/2x^2+7x+3$

1749   

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função derivável, tal que $f'(x)=\alpha f(x)$ para todo $x$ e sendo $\alpha$ uma constante diferente de zero. Mostre que existe uma constante $k$ tal que, para todo $x$:

$$f(x) = k e^{\alpha x}$$

1653   

Uma superfície é criada a partir de segmentos de reta perpendiculares traçados sobre um círculo de raio $a$, perpendiculares ao plano do círculo. O comprimento de um segmento correspondente a um ponto $p$ sobre o círculo é $ks$, sendo $k$ uma constante positiva e $s$ o comprimento de arco do círculo no sentido anti-horário de $(a,0)$ até o ponto $p$.

Determine a área desta superfície, conforme a figura a seguir, em função de $k$.

fig_area_1.png

1091   

A antiderivada de uma função aceleração é a função _________.



Velocidade. A taxa de variação com a qual a velocidade varia de acordo com o tempo é, justamente, a aceleração.

1257   

Calcule a seguinte integral:
 $ \int_4^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy$.

1751   

  1. Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de $y=x^3$ no intervalo $[0,b]$ é $b^4/4$.

  2. Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.

667   

Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de l'Hospital para calcular o limite abaixo, justificando claramente sua resolução.
  \begin{equation*}
  \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}\right)
  \end{equation*}

1097   

 Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \sin\theta\  d\theta$

$-\cos \theta+C$

1750   

Considere $y=f(x)$, para $x$ real, sendo $f$ derivável até a segunda ordem e tal que, para todo $x$, $f''(x)+f(x)=0$. Seja $g$ uma função tal que $g(x)=f'(x) \sin x - f(x) \cos x$. Mostre que $g$ é constante.

1755   

Avalie a integral $\displaystyle \int_{-1}^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx$ sem fazer nenhuma conta.

1100   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \sec^2\theta\  d\theta$

 $\tan \theta+C$

1089   

Use suas próprias palavras para definir o significado de $\int{f(x)}\ dx$.

O símbolo $\int{f(x)}\ dx$ é chamado integral indefinida de $f$ e corresponde ao conjunto de todas as antiderivadas da função $f$.

663   

Derive a função $g\left( x\right)  = \int_{\tan x}^{x^{4}}\dfrac{u^{2}+1}{\sqrt{u^{2}+2u}}du$.

1753   

  1. Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de $y=x^2$ no intervalo $[0,b]$ é $b^3/3$.

  2. Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.

1658   

O custo marginal da impressão de um pôster quando $x$ pôsteres são impressos é
$\frac{dc}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ reais.

Determine $c(100)-c(1)$, ou seja, a soma do custo dos pôsteres 2-100.

1382   

Durante o primeiro mês de crescimento de produtos como milho, algodão e soja, a taxa de crescimento (em gramas/dia) é proporcional ao peso presente $W$. Para determinada espécie de algodão, $dW/dt=0,21W$. Preveja o peso de uma planta no término de um mês ($t=30$), se a planta pesa 70 miligramas no início do mês.

1650   

Um carro está em uma rodovia a uma velocidade constante de $60mi/h$ quando vê um acidente a frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 242 pés?

1332   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. $f(x)=cosx$

  2. $f(x)=tgx$

1094   

 \item Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int  dt$


  $t+C$

1331   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. $f(x)=x^n$

  2. $f(x)=sen(x)$

1103   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int 5e^\theta\  d\theta$

  $5e^\theta+C$

1258   

Calcule a seguinte integral:

   $\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx.$

1095   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \frac{1}{3t^2}\  dt$

  $-1/(3t)+C$

1760   

Seja $F(x)$ tal que $F(x)=\displaystyle \int_{\pi/4}^x \cos 2t \, dt$.

  1. Use alguma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar $F'(x)$.

  2. Confira se seu resultado anterior foi correto integrando e diferenciando.

1263   

Se $f(8)=12$, $f'(x)$ é contínua e ${ \int_1^8 f'(x)dx=30}$, determine o valor de $f(1)$.

1102   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (t^2+3)(t^3-2t)\  dt$

$t^6/6+t^4/4-3t^2+C$

631   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f^{\prime \prime }\left( x\right)  = \dfrac{1}{x^{2}}+8e^{2x}+2,\;f^{\prime }\left( 2\right) =4e^{4}\text{ e }f\left( 1\right) =2e^{2}\text{.} \end{equation*}

1125   

Seja:

  • $\int_0^2{f(x)dx} = 5$
  • $\int_0^3{f(x)dx} = 7$
  • $\int_0^2{g(x)dx} = -3$ e
  • $\int_0^3{g(x)dx} = 5$

A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

  1. $\int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx$
  2. $\int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx$
  3. $\int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx$
  4. Encontre valores para $a$ e $b$ tal que:
    $\int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0$


  1. $2$
  2. $2$
  3. $22$
  4. $a=-\frac{5}{7}b,\quad b\in\mathbb{R}$

1098   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\  dx$


$2\sqrt{x}+C$

1110   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = 3x+2$ e $f(0)= 7$

 $\frac{3 x^2}{2}+7 x+7$

1261   

Se $ F(x)= { \int_1^xf(t)dt}$ e $ f(t)={ \int_{x^2}^1\frac{\sqrt{1+u^4}}{u}du}$, determine $F''(2)$.

1754   

  1. Mostre que, para toda parábola dada por $y=ax^2$, com $a>0$, temos: $$\displaystyle \int_0^b a x^2 \, dx = a \dfrac{b^3}{3}.$$

  2. Use este fato para provar que a área do setor parabólico delimitado por $y=ax^2$ e a reta $y=ab^2$ é igual a quatro terços da área do triângulo com vértices $(0,0)$, $(b,ab^2)$ e $(-b,ab^2)$. Este resultado é um caso particular do Teorema de Arquimedes sobre a área de um setor parabólico.

1868   

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modoficações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$. 

1113   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = \sin x$ e $f(0)= 2$


  $-\cos x+3$

661   

Use o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia para calcular a derivada da função $f(x)=\int_1^{\sin x}e^{t^2} dt$. Indique claramente a justificativa de cada passagem e, em seguida, calcule $f'(\pi)$.

1115   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(x) = 24x^2+2^x-\cos x$ e $f'(0)= 5$, $f(0) = 0$

$\frac{2 x^4 \ln ^2(2)+2^x+x \ln 2) (\ln 32-1)+\ln
     ^2(2) \cos (x)-1-\ln ^2(2)}{\ln ^2(2)}$


1756   

Avalie a integral $\displaystyle \int_{-1}^1 (x^5+3) \sqrt{1-x^2} \, dx$ sem fazer nenhuma conta.

1123   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_8.png

  1. $\int_0^1 (x-1)\ dx$
  2. $\int_0^2 (x-1)\ dx$
  3. $\int_0^3 (x-1)\ dx$
  4. $\int_2^3 (x-1)\ dx$
  5. $\int_1^4 (x-1)\ dx$
  6. $\int_1^4 \big((x-1)+1\big)\ dx$

  1. $-1/2$
  2. $0$
  3. $3/2$
  4. $3/2$
  5. $9/2$
  6. $15/2$

1649   

Um foguete decola da superfície terrestre com uma aceleração constante de $20m/s^2$. Qual será sua velocidade 1 minuto depois?

1117   

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
fig_int_definida_2.png

  1. $ \int_0^2 f(x)\ dx$
  2. $ \int_2^4 f(x)\ dx$
  3. $ \int_0^4 f(x)\ dx$
  4. $ \int_0^1 f(x)\ dx$

  1. $4/\pi$
  2. $-4/\pi$
  3. $0$
  4. $2/\pi$

1655   

Quais valores de $a$ e $b$ minimizam o valor de

$\int_a^b\left(x^4-2x^2\right)dx$?

1109   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = 7^x$ e $f(2)= 1$

$7^x/\ln 7 + 1-49/\ln 7$

659   

Mostre que a área $A$ de um círculo de raio $r$ é $A=\pi r^{2}$.

634   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \sin x-\cos x+x^{5},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}

1101   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (2t+3)^2\  dt$

  $4/3t^3+6t^2+9t+C$

666   

Derive a função $q\left( x\right)  = \int_{e^{-2x}}^{\mathrm{tg}x}e^{\theta }\cos \theta d\theta$.

1127   

Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por $v(t) = -32t+96$; de uma altura de $64$ pés.

  1. Qual a velocidade inicial do objeto?
  2. Em que momento o objeto tem deslocamento nulo?
  3. Quanto tempo leva para o objeto retornar a sua posição inicial?
  4. Quando o objeto alcançará uma altura de $210$ pés?

  1. $96ft/s$.
  2. $6s$.
  3. $6s$.
  4. Nunca, a altura máxima é $208ft$.

1759   

Sendo $n$ um número positivo, mostre que

$$\displaystyle \int_{-1}^1 x^n \, dx = \left. \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right |_{-1}^1.$$


Se $n$ for um número negativo diferente de $-1$, esta expressão continua válida?

1652   

Um objeto é atirado do nível do mar para cima com uma velocidade inicial de $100m/s$.

  1. Supondo que a gravidade seja a única força que atua sobre este objeto superestime sua veocidade depois de $5$ segundos. Use $g=10m/s^2$.

  2. Calcule uma estimativa inferior para a altura atingida depois de $5s$.

1118   

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
fig_int_definida_3.png

  1. $ \int_{-2}^{-1} f(x)\ dx$
  2. $ \int_1^2 f(x)\ dx$
  3. $ \int_{-1}^1 f(x)\ dx$
  4. $ \int_0^1 f(x)\ dx$

  1. $4$
  2. $4$
  3. $-4$
  4. $-2$

1099   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (\sec x\tan x + \csc x\cot x)\  dx$

  $\sec x - \csc x+C$

1659   

Demonstre que se $k$ é uma constante positiva, então a área entre o eixo $x$ e um arco da curva $y=\sin kx$ é $2/k$.

1122   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_7.png


  1. $\int_0^2 f(x)\ dx$
  2. $\int_2^4 f(x)\ dx$
  3. $\int_2^4 2f(x)\ dx$
  4. $\int_0^1 4x\ dx$
  5. $\int_2^3 (2x-4)\ dx$
  6. $\int_2^3 (4x-8)\ dx$

  1. $4$
  2. $2$
  3. $4$
  4. 2
  5. $1$
  6. 2

1758   

Enuncie e demonstre o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.

1657   

Demonstre que  $2\sqrt{2} \leq \int_{0}^{1}{\sqrt{x+8}dx} \leq 8$.

1334   

Considere a área entre a curva $y=x^{4}$ e o eixo $x$, primeiro no intervalo $\left[ -1,1\right] $ e depois no intervalo $\left[1,a\right] $. Determinar $a\geq 1$ tal que estas áreas sejam iguais.

1106   

O que é um problema de valor inicial?


630   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que:
\begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \cos 2x+6x+4,\;f\,^{\prime }\left(0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .}\end{equation*}


Primeiramente, calcula-se a integral indefinida

$f\,^\prime(x)=\int  \left(\cos 2x+6x+4\right)\,dx = 3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+C_1$

Pelo dado do enunciado $f\, ^\prime(0)=2$.  Avaliando a expressão acima para $x=0$, vê-se que $C_1=2$. Para obter $f(x)$, calcula-se novamente a integral indefinida:

$f(x)=\int \left(3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+2\right)\,dx =x^3+2 x^2+2 x-\frac{\cos ^2(x)}{2}+C_2 $

De acordo com o enunciado, $f(0)=0$. Assim, obtém-se $C_2=\frac{1}{2}$.

1383   

De acordo com s primeira lei de Kirchhoff para circuitos elétricos $V=RI+L(dI/dt)$, onde as constantes $V$, $R$ e $L$ denotam a força eletromotriz, a resistência e a indutância, respectivamente, e $I$ denota a corrente no instante $t$. Se a força eletromotriz é interrompida no instante $t=0$ e se a corrente é $I_0$ no instante da interrupção, prove que $I=I_0 e^{-Rt/L}$.

1104   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \frac{5^t}{2}\  dt$

  $\frac{5^t}{2\ln 5}+C$

1752   

  1. Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de $y=x$ no intervalo $[0,b]$ é $b^2/2$.

  2. Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.

1124   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_9.png

  1. $\int_0^2 f(x)\ dx$
  2. $\int_2^4 f(x)\ dx$
  3.  $\int_0^4 f(x)\ dx$
  4. $\int_0^4 5f(x)\ dx$

  1. $\pi$
  2. $\pi$
  3. $2\pi$
  4. $10\pi$

658   

Determine um número $0\leq b\leq 2$ tal que a reta $x=b$ divide a região delimitada por $y=\sqrt{4-x^{2}}$ e $y=0$ e $x=0$ em duas regiões de mesma área.

1090   

É mais correto se referir a uma antiderivada de $f(x)$ ou a antiderivada de $f(x)$?

O correto é uma antiderivada, já que existem infinitas antiderivadas para uma dada função.