574

Estude a função $f\left( x\right) =e^{\dfrac{x-1}{x^{2}}}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

541

Determine $a$ para que a equação $x^{3}+3x^{2}-9x+a=0$ admita uma única raiz real.

Primeiramente, calculamos $f'(x)$ e $f''(x)$. Temos então

$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$

$f''(x)=6x+6$

Pela análise de sinal da segunda derivada, vemos que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1$ e uma concavidade para cima para $x>-1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que há um máximo local em $x=-3$ e um mínimo local em $x=1$. Assim, avaliando a função em $x=-3$ tem-se $f(-3) = 27+ a$. Qualquer valor de $a$ que torne $f(-3)<0$ garante que $f(x)$ terá apenas uma única raiz real. Finalmente, portanto, tem-se:

$a<-27$

1319

A soma dos perímetros de um triângulo equilátero e de um quadrado é $10$. Ache as dimensões do triângulo e do quadrado que produzem a área total mínima.

1606

Um peso de massa $m$ é preso a uma bola suspensa a partir de um suporte. O peso é posto em movimento movendo-se o suporte para cima e para baixo de acordo com a fórmula $h=A \cos(\omega t)$, onde $A$ e $\omega$ são constantes positivas e $t$ é o tempo. Se as forças de atrito são desprezíveis, então o deslocamento $s$ do peso em relação à sua posição inicial no instante $t$ é dada por $s=\dfrac{A \omega^2}{\omega_0^2-\omega^2}(\cos(\omega t)-\cos(\omega_0 t))$ com $\omega_0=\sqrt{k/m}$ para uma constante $k$ e com $\omega \neq \omega_0$. Calcule $\lim\limits_{\omega \to \omega_0}s$ e mostre que as oscilações resultantes aumentam em magnitude.

540

Prove que a equação $x^{3}-3x^{2}+6=0$ admite uma única raiz real, enquanto $x^{3}+x^{2}-5x+1=0$ admite $3$ raízes.

Para $f(x)=x^{3}-3x^{2}+6$ e $g(x)=x^{3}+x^{2}-5x+1$, queremos mostrar que $f(x)=0$ admite uma única raiz real enquanto $g(x)=0$ admite $3$ raízes. Primeiramente, analisemos as raízes de $f(x)=0$. Temos:

$f'(x)= 3x^2-6x=x(x-2)$

$f''(x)=6(x-1)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<1$ e uma concavidade para cima para $x>1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $f(x)$ apresenta um máximo local em $x=0$ e um mínimo local em $x=2$. Como $f(2)=2$, temos que não há raiz alguma para $x>1$, dado que a função é uma concavidade para baixo neste intervalo. A única raiz real, portanto, é algum valor $x<1$. O conhecimento do máximo local em $x=0$ nos permite inclusive dizer que é algum valor $x<0$.

Repetiremos a análise para $g(x). Temos, portanto:

$g'(x)= 2x^2+2x-5=2(x+5/3)(x-1)$

$g''(x)=6(x+1/3)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $g(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1/3$ e uma concavidade para cima para $x>-1/3$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $g(x)$ apresenta um máximo local em $x=-5/3$ e um mínimo local em $x=1$. Como $g(0)=1$ e $g(1)=-2$, sabemos que há duas raízes reais de $g(x)$ no intervalo aberto $x>0$. Como $g(x)$ claramente tende para $-\infty$ para $x\rightarrow \infty$, o valor de $g(0)$ nos diz que a terceira raiz real está localizada no intervalo $x<0$. O conhecimento do máximo local em $x=-5/3$ nos permite inclusive dizer que é algum valor no intervalo aberto $x<-5/3$

621

Um funil de volume especificado deve ter a forma de um cone circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da base para que a quantidade de material empregado em sua fabricaçao seja a menor possível.

1167

Encontre os intervalos abertos nos quais $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$ é crescente e os intervalos abertos nos quais é decrescente.

554

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+1$.

577

1601

Um atleta percorreu as $26,2$ milhas da maratona de Nova York em $2,2$ horas. Demonstre que em pelo menos duas ocasiões o maratonista correu a exatas $11mi/h$, supondo que as velocidades inicial e final tenham sido zero.

1861

Uma bola esférica oca de raio $2m$ tem densidade específica $\dfrac{1}{4}$, de modo que flutua na água deslocando $\dfrac{1}{4}$ de seu próprio volume. Mostre que a profundidade $x$ à qual fica submersa é uma raiz da equação $x^3-6x^2+8=$ e use o método de Newton para calcular essa raiz com duas casas decimais de precisão. Sugestão: o volume de um segmento esférico de altura $h$ retirado de uma esfera de raio $r$ é $\pi h^2 \left(r-\dfrac{h}{3}\right)$.

1564

O efeito da luz sobre a taxa de fotossíntese pode ser descrito por $f(x)=x^a e^{(a/b)(1-x^b)}$ para $x>0$ e constantes positivas $a$ e $b$.

Mostre que $f$ tem um máximo em $x=1$.

Conclua que, se $x_0>0$ e $y_0>0$, então $g(x)=y_0f(x/x_0)$ tem máximo em $g(x_0)=y_0$.

1833

O princípio de Fermat também explica por que um raio de luz passando entre ar e água sofre um desvio de trajetória (refração). Imagine dois meios uniformes (como ar e água) e um raio de luz viajando de uma fonte $A$ em um meio para um observador $B$ em outro meio (figura abaixo). Sabe-se que a luz viaja a uma velocidade constante em um meio uniforme, porém mais vagarosamente no meio mais denso (como a água) do que no meio menos denso (como o ar). Conseqüentemente, o percurso de menor tempo entre $A$ e $B$ não é necessariamente uma reta, mas a união de dois segmentos $AP$ e $PB$, permitindo assim que a luz tome vantagem de sua maior velocidade no meio mais esparso. A Lei de Refração de Snell estabelece que a trajetória do raio de luz é tal que $$ \dfrac{\sin\theta_1}{\nu_1}= \dfrac{\sin\theta_2}{\nu_2}, $$ onde $\nu_1$ é a velocidade da luz no primeiro meio e $\nu_2$ no segundo, $\theta_1$ e $\theta_2$ são os ângulos de incidência e de refração, respectivamente (figura abaixo). Mostre que isso decorre da hipótese de que o caminho de tempo mínimo ocorre quando $\displaystyle dt/dx=0$.

536

Ache os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função $f(x)=x+3x^{2/3}$.

1832

O Princípio de Fermat na óptica estabelece que a luz, viajando de um ponto para outro, segue aquele caminho para o qual o tempo total de percurso é mínimo. Em um meio uniforme, os caminhos de "tempo mínimo" e de "menor distância" vêm a ser iguais; assim sendo, se não obstruída, a luz viaja em linha reta. Suponha que temos uma fonte de luz (ponto $A$), um espelho plano e um observador (ponto $B$) em um meio uniforme. Se um raio de luz deixa a fonte, bate num espelho e vai até o observador, então a sua trajetória consiste de dois segmentos de reta, conforme ilustrado na figura abaixo. De acordo com o princípio de Fermat, a trajetória é tal que o tempo gasto no percurso é mínimo ou, como o meio é uniforme, a trajetória será tal que a distância total percorrida de $A$ para $B$ é a menor possível. Supondo que o mínimo ocorre quando $\displaystyle dt/dx=0$, mostre que o raio de luz irá atingir o espelho em um ponto $P$, tal que o "ângulo de incidência" $\theta_1$ é igual ao "ângulo de reflexão" $\theta_2$.

1810

Mostre que as funções $f(x)=(x-1)^4$ e $g(x)=x^3-3x^2+3x-2$ têm pontos estacionários em $x=1$.
O que o teste da derivada primeira diz sobre a natureza destes pontos?

555

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =x+\dfrac{1}{x^{2}}$.

1247

Seja $ f(x)=\frac{x^3}{|x^2-1|}.$

Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.
Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.
Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.

538

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}+3}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

566

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1607

O modelo logístico de crescimento populacional prevê o tamanho $y(t)$ de uma população no instante $t$ por meio da fórmula $y(t)=\dfrac{k}{1+ce^{-rt}}$, onde $r$ e $k$ são constantes positivas e $c=\dfrac{k-y(0)}{y(0)}$. Os ecologistas denominam $k$ a capacidade de suporte e o interpretam como o número máximo de indivíduos que o ambiente pode sustentar. Calcule $\lim\limits_{t \to \pm \infty}y(t)$ e discuta o significado gráfico desses limites.

544

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

1600

Um caminhoneiro estava em uma estrada cujo limite de velocidade era de $100km/h$. Ao passar no segundo pedágio, distante $120km$ do primeiro, o caminhoneiro recebeu uma multa, pois levou $30$ minutos para ir do primeiro ao segundo pedágio. Ele tentou contestar a multa, mas não obteve sucesso. Por que a multa foi justa?

1248

Seja $ f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}+7x+3}{x^{2}}$

Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.
Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.
Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.

1611

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln{x}}{cotg{x}}$.

1862

Use o método de Newton para calcular a raiz positiva de $x^2+x-1=0$ com duas casas decimais de precisão.

548

Esboce o gráfico de $f(x)=x^4-5x^2+4$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

629

Dentre todos os retângulos de perímetro fixo $L$, determine aquele de maior área. Justifique a resposta.

624

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

1615

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln({\sin(x)})}{\ln({\sin(2x)})}$.

5

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =x+\dfrac{1}{x}$.

1624

Suponha que, em uma aplicação do Método de Newton, o valor de $x_0$ escolhido coincidiu com uma raiz. Suponho que $f'(x_0)$ exista e não seja nula, o que acontecerá com $x_1$ e as aproximações subsequentes?

1829

Seja $f(x)=(x^3+1)/x$. Mostre que o gráfico de $y=f(x)$ tende à curva $y=x^2$ "assintotamente" no sentido de que $$ \lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x^2\right] = 0. $$ Esboce o gráfico de $y=f(x)$ mostrando o seu comportamento assintótico.

1617

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \sin^{-1}(x)}{x- \sin(x)}$.

$-\infty$.

1734

A trajetória de uma mosca é descrita pelas seguintes equações de movimento $$x=\dfrac{\cos t}{2+\sin t}, \quad y=3+\sin(2t)-2\sin^2t\quad (0\leq t\leq 2\pi).$$

Quais são os pontos mais alto e mais baixo do vôo?
A que distância à esquerda e à direita da origem ela voa?

758

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 7}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}$ usando uma estratégia algébrica simples e, em seguida, usando a regra de L'Hospital. Compare os resultados.

537

Seja $g\left( x\right) =\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$, onde $f\left( t\right) $ é a função cujo gráfico encontra-se abaixo.

\begin{equation*} f(t) = \sqrt{|t|}\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \end{equation*}

Determine os pontos de máximo e mínimo local de $g\left( x\right) $. Justifique a sua resposta

1170

Encontre os valores máximo e mínimo da função $f\left(x\right) =xe^{-x}$ no intervalo $\left[ -10,10\right]$.

$f^{\prime}\left( x\right) =e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}\left( 1-x\right) $.

Como $e^{-x}>0$ temos que $f\left( x\right) =0$ se e somente se $1-x=0$, ou seja, se $x=1$.

Os pontos de máximo e mínimo devem ser pontos onde $f^{\prime}\left( x\right) =0$ ou os extremos do intervalo.

Avaliamos:

$f\left( -10\right) =-10e^{10}$

$f\left( 1\right) =\frac{1}{e}$

$f\left( 10\right) =\frac{10}{e^{10}}$

Como

$-10e^{10}<\frac{10}{e^{10}}<\frac{1}{e}$

temos que o valor máximo é $f\left( 1\right) =\frac{1}{e}$ e o valor mínimo é $f\left( -10\right) =-10e^{10}$.

578

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =e^{-x^{2}}$ explicitando domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexdão, assíntotas, máximos e mínimos locais e globais.

1822

As curvas de crescimento logístico modelam a taxa de crescimento de uma certa população em função dos fatores ambientais. Em um período prolongado de tempo, a população tende a um valor limite que representa o máximo número de indivíduos que o espaço ou alimento pode sustentar. Estas curvas são da forma $$ y(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ onde $y$ é a população no momento $t$ ($t\geq 0$) e $A$, $k$ e $L$ são parâmetros positivos.

Fig23_2.original.png

Mostre que o ponto de inflexão da curva de crescimento logístico (figura acima) ocorre no tempo $t$ solução da equação $$ \dfrac{L}{2}=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ para $t$, ou seja, no instante $ t= \dfrac{\ln A}{k}$.

564

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}}{x+1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1317

Será construído um campo de atletismo retangular, com $x$ unidades de comprimento, tendo nas extremidades duas áreas semicirculares com raio $r$. O campo terá em volta uma pista para corrida com $400 m$ de extensão.

Expresse a área da porção retangular do campo só em função de $x$ ou só em função de $r$ (a escolha é sua).
Quais valores de $x$ e de $r$ dão à porção retangular maior área possível?

1168

Considere a função $f$ cuja derivada é $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$.

Quais são os pontos críticos de $f$?
Em quais intervalos $f$ é crescente ou decrescente?
Em quais pontos $f$ assume valores máximos e mínimos locais?

1171

Utilize o Teorema de Valor Médio (ou o caso particular do Teorema de Rolle) para mostrar que, para qualquer valor de $c\in\mathbb{R}$, o polinômio $p\left( x\right) =x^{4}+4x+c$ tem no máximo duas raízes reais.

825

Mostre que $|\cos x-\cos y|\leq |x-y|$ quaisquer que sejam $x$ e $y$ reais, enunciando os teoremas utilizados.

579

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =\dfrac{x^{2}-x+1}{2x-2}$, determinando o domínio, pontos de máximo e de mínimo, pontos de inflexão e assíntotas. Explicite o valor que a função assume nos pontos em questão. Justifique o seu raciocínio.

1625

Algumas curvas são tão planas que, na prática, o Método de Newton não consegue se aproximar da raiz suficientemente para fornecer uma aproximação útil. Tente utilizar o Método de Newton em $f(x)=\left(x-1\right)^{40}$ com a estimativa inicial $x_0=2$ para observar a qualidade das aproximações. Utilizando recursos computacionais, observe o gráfico da função.

1618

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\ln(tg{x}+\cos{x})}{\sqrt{\ln(x^2+1)}}$.

$1$.

1313

Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto deve conter $180000$ metros quadrados para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca se não há necessidade de cerca ao longo do rio?

1174

O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva quadrática? Justifique.

Os pontos de inflexão são os pontos nos quais a curvatura de uma curva troca de sinal, portanto, está associado com trocas de sinal da segunda derivada da função associada à curva. Curvas quadráticas terão derivadas lineares e segundas derivadas constantes. Sendo assim, como a segunda derivada de uma curva quadrática nunca trocará de sinal, uma curva quadrática nunca apresentará pontos de inflexão

1603

O gráfico a seguir mostra a receita mensal da empresa Fidelis Ltda. nos últimos 12 anos. Durante aproximadamente quais intervalos de tempo a receita marginal foi crescente? E decrescente?

1597

A função
$V(x)=x(10-2x)(16-2x),\quad 0<x<5$
modela o volume de uma caixa.

Determine os valores extremos de $V$.
Interprete quaisquer valores encontrados no item anterior em termos do volume da caixa.

1301

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\cos x-\sin x$ . Para fazê-lo, determine:

Domínio da função
Zeros e inteceptos
Simetrias
Assíntotas horizontais e verticais
Intervalos de crescimento e decrescimento
Pontos de máximo e mínimo
Concavidade
Pontos de inflexão

Dom$\left( f\right) =\mathbb{R}$
$f\left( 0\right) =1$ e $f\left( x\right) =0$ se, e somente se, $\cos x=\sin x$ se, e somente se,
$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ com $k\in\mathbb{Z}$
$f$ é periódica, com período $2\pi$
A função não possui assíntotas verticais (pois é contínua na reta) e tampouco horizontais (pois é periódica)
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right)    & =-\sin x-\cos x=0\text{ se, e somente se,}\\
\cos x & =-\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
\mathbb{Z}\text{.}
\end{align*}
Considerando no período $\left[ 0,2\pi\right] $ temos que
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right)    & >0\text{ se }x\in\left( \frac{3\pi}{4}
,\frac{7\pi}{4}\right) \text{ (intervalo de crescimento)}\\
f^{\prime}\left( x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{3\pi}{4}
)\cup(\frac{7\pi}{4},2\pi]\text{ (intervalo de crescimento)}
\end{align*}
Novamente considerando no período $\left[ 0,2\pi\right] $ temos que $\frac{3\pi}{4}$ é ponto de mínimo e $\frac{7\pi}{4}$ é ponto de máximo.
\begin{align*}
f"\left( x\right)    & =-\cos x+\sin x=0\text{ se, e somente se,}\\
\cos x & =\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
\mathbb{Z}\text{.}
\end{align*}
Considerando no período $\left[ 0,2\pi\right] $ temos que
\begin{align*}
f"\left( x\right)    & >0\text{ se }x\in\left( \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}
{4}\right) \text{ (concavidade para cima)}\\
f"\left( x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{\pi}{4})\cup
(\frac{5\pi}{4},2\pi]\text{ (concavidade para baixo)}
\end{align*}
Esboço do Gráfico:

572

Estude a função $f\left( x\right) =e^{x}-e^{3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1614

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \ln{x}}{x+\ln{x}}$.

$\infty$.

557

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}-x^{2}+1}{x}$.

550

Faça um esboço completo do gráfico da função $y=\ln (9-x^{2}).$ Suas derivadas são: $y^{\prime }=-2x/\left( 9-x^{2}\right) $ e $y^{\prime \prime }=-\left( 18+2x^{2}\right) /\left( 9-x^{2}\right) ^{2}$. Determine explicitamente:

Domínio de definição;
Assíntotas verticais e horizontais (se houver);
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Pontos de máximo e mínimo locais e absolutos;
Pontos de inflexão;
Concavidade.

1175

O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva cúbica? Justifique.

1277

Esboce o gŕáfico de $f\left( x\right) =\frac{e^{-x}}{x}$ .Para fazê-lo:

Domínio da função
Zeros e inteceptos
Simetrias
Assíntotas horizontais e verticais
Intervalos de crescimento e decrescimento
Pontos de máximo e mínimo
Concavidade
Pontos de inflexão

Dom$\left( f\right) =\left\{ x\in\mathbb{R}|x\neq0\right\} $
$f\left( x\right) \neq 0,\forall x$
A função não possui simetrias não triviais
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{-x}}{x}=0,\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}-e^{-x}=-\infty$ (este por L'Hôpital), $\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{e^{-x}}{x}=-\infty$ e $\lim_{\times\rightarrow1^{+}}\frac{e^{-x}}{x}=+\infty$
\[
f^{\prime}\left( x\right) =\frac{-e^{-x}x-e^{-x}}{x^{2}}=-e^{-x}\frac
{x+1}{x^{2}}%
\]
e temos que
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right) & >0\Leftrightarrow x<-1\\
f^{\prime}\left( x\right) & <0\Leftrightarrow x>-1
\end{align*}
logo $f$ é crescente para $x<-1$ $\ $e decrescente para $x>-1$ (lembrando que $x\neq0$).
O único ponto crítico de $f$ é $x=-1$, o qual é ponto de máximo, pois a derivada passa de positiva a negativa.
\begin{align*}
f"\left( x\right) & =\frac{\left( e^{-x}x-e^{-x}+e^{-x}\right)
x^{2}-\left( -e^{-x}x-e^{-x}\right) 2x}{x^{4}}\\
& =\frac{e^{-x}x^{3}+2e^{-x}x^{2}+2e^{-x}x}{x^{4}}\\
& =\frac{e^{-x}}{x^{3}}\left( x^{2}+2x+2\right)
\end{align*}

Como $e^{-x}$ e $x^{2}+2x+2$ são sempre positivos, temos que $f"\left( x\right) >0$ se $x>0$ e $f"\left( x\right) <0$ se $x<0$, ou
seja, "concavidade para baixo" se $x<0$ e "concavidade para cima" se $x>0$
Esboço do Gráfico:

1827

As curvas de crescimento logístico modelam a taxa de crescimento de uma certa população em função dos fatores ambientais. Em um período prolongado de tempo, a população tende a um valor limite que representa o máximo número de indivíduos que o espaço ou alimento pode sustentar. Estas curvas são da forma $$ y(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ onde $y$ é a população no momento $t$ ($t\geq 0$) e $A$, $k$ e $L$ são parâmetros positivos. Suponha que uma população $y$ cresce de acordo com o modelo logístico acima.

Qual é a taxa de crescimento de $y$ em $t=0$?
Descreva como a taxa de crescimento de $y$ varia com o tempo.
Em que momento a população cresce mais rapidamente?

573

Estude a função $f\left( x\right) =\sin x+\cos x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1323

Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1,5$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível?

1169

Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo:

$s(t) = 2t^3 + t^2-20t +4$
$f(x) = 4x^3-5x^2-42x + 7$
$g(w) = w^4-32w$

552

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}-5x$.

1173

Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções (se existirem).

$y = 8x^3 -51x^2 -90x +1$
$y = -x^3 – 9x^2 + 81x - 6$

623

Uma página impressa deve ter $24cm^2$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1cm$ nos lados. Quais as dimensões da página de menor área que preenche essas condições?

1249

Seja $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$.

Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.
Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.
Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Considere $\frac{d}{dx}\left( \frac{x^{3}}{x^{2}-1}\right) =x^{2}\frac{x^{2}-3}{\left( x^{2}-1\right) ^{2}}$ e $\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(\frac{x^{3}}{x^{2}-1}\right) =2x\frac{x^{2}+3}{\left( x^{2}-1\right) ^{3}}$

1593

Suponha que em qualquer instante $t$ (em segundos) a corrente $i$ (em amperes) em um circuito de corrente alternada é $i = 2\ cos\ t+2\ sin\ t$. Qual a corrente de pico (magnitude máxim para este circuito?

1735

Seja $f(x)=ax^2+bx+c$, onde $a>0$. Prove que $f(x)\geq 0$ para todo $x$ se, e somente se, $b^2-ac\leq 0$. [Sugestão: ache o mínimo de $f(x)$.]

1814

Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

$\displaystyle f'(x)=x^2(2x+1)(x-1)$;
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{9-4x^2}{\sqrt[3]{x+1}}$.

567

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{3x^{2}+4x}{1+x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

628

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimento $3$ e $4cm$, se dois lados do retângulo estiverem sobre o cateto.

1828

Se uma função racional $P(x)/Q(x)$ é tal que o grau do numerador excede o grau do denominador em $1$, então o gráfico de $P(x)/Q(x)$ terá uma assíntota oblíqua, isto é, uma assíntota que não é nem horizontal nem vertical. Para ver por quê, efetuamos a divisão de $P(x)$ por $Q(x)$ obtendo $$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}= (ax+b) + \dfrac{R(x)}{Q(x)}, $$ onde $(ax+b)$ é o quociente e $R(x)$ é o resto. Use o fato de que o grau do resto $R(x)$ é menor do que o grau do divisor $Q(x)$ para auxiliá-lo a provar que $$ \lim_{x\to \infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0 \quad \text{e} $$ $$ \lim_{x\to -\infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0. $$ Este resultado nos diz que o gráfico da equação $\displaystyle y =P(x)/Q(x)$ "tende" à reta $y=ax+b$ (assíntota oblíqua) quando $x\rightarrow +\infty$ ou $x\rightarrow -\infty$.

562

Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+3x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1622

Para calcular as coordenadas espaciais de um planeta, temos de resolver equações do tipo $x=1+0,5\sin(x)$. O traçado da função $f(x)=x-1-0,5\sin(x)$ sugere que a função possui uma raiz próxima de $x=1,5$. Utilize uma iteração do Método de Newton para melhorar essa estimativa, com $x_0=1,5$.

1826

Uma caixa com base quadrada e sem tampa deve ser feita a partir de uma folha de metal, de forma que o seu volume seja de $500$ cm$^3$. Seja $S$ a área da superfície da caixa e $x$ o comprimento de um lado da base quadrada. Mostre que $\displaystyle S=x^2+2000/x$, para $x>0$, e esboce o gráfico de $S$ em função de $x$ para este caso.

551

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+3x^{2}+1$.

546

Esboce o gráfico de $f(x)= \frac{x^2-2x^3}{x^2-1}$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

1784

Prove que a conclusão do Teorema do Valor Médio de Cauchy pode ser escrita da seguinte forma $$ \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(x)}{g'(x)}, $$ sob as hipóteses adicionais de que $g(b)\neq g(a)$ e que $f'(x)$ e $g'(x)$ nunca são simultaneamente nulas sobre $(a,b)$.

1621

Demonstre que, se $h>0$, aplicando o Método de Newton para

$f(x)=\begin{cases}
\sqrt{x},\quad \ \ x \geq 0\\
\sqrt{-x},\quad x <0
\end{cases}$,
a aproximação tende a $x_1=-h$ se $x_0=h$ e a $x_1=h$ se $x_0=-h$.
Desenhe uma figura para mostrar o que ocorre.

1602

O gráfico a seguir mostra o custo hipotético $c=f(x)$ para fabricar $x$ itens. O chamado custo marginal é a mudança no custo total advinda da produção de uma unidade a mais do produto, para um certo volume de produção. Em aproximadamente qual nível de produção o custo marginal muda de decrescente para crescente?

563

Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}-4}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

558

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$.

1592

A altura de um corpo em movimento vertical é dada por
$s = -\frac{1}{2}gt^2+v_0t+s_0,\quad g>0$
com $s$ em metros e $t$ em segundos. Determine a altura máxima do corpo em função da velocidade inicial $v_0$, da aceleração da gravidade $g$ e da posição inicial $s_0$.

1736

Prove o seguinte resultado: Se $f$ tiver um mínimo absoluto em um intervalo aberto $(a,b)$, então ele precisa ocorrer em um ponto crítico de $f$.

1139

Um agricultor possui $140$ metros de cerca para construir dois currais: um deles quadrado eu outro retangular, com comprimento igual ao quádruplo da largura. Se a soma das áreas dos currais deve ser a menor possível, calcule a área do curral quadrado, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

1324

Ache os extremos da função $f(x)=x+3x^{3/2}$.

1321

Mostre que a funçao $y(x)$ com $y(0)=0$ que é definida implicitamente pela equaçao $y-x^{2}+y^{3}+xy^{2}+x^{2}y=0$ tem um extremo relativo no ponto $x=0$. Identifique esse extremo.

1733

Suponha que as equações do movimento de um avião de papel, durante os $12$ segundos iniciais de vôo, são $$ x=t-2\sin t, \quad y=2-2\cos t\quad(0\leq t\leq 12). $$Quais são os pontos mais alto e mais baixo da trajetória e em que instantes eles são atingidos?

545

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-6x^2 +9x+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

1599

Um termômetro de mercúrio demorou $14s$ para subir de $-19° C$ para $100° C$ após ser retirado de um congelador e colocado em água fervendo. Considerando que, no termômetro em questão, a distância entre dois graus subsequentes é de $1mm$, demonstre que em algum instante a coluna de mercúrio subia a $8,5mm/s$.

1596

Se uma função ímpar $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?

Ela terá um mínimo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação à origem.

576

Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt[3]{x^{3}-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1172

Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções (se existirem).

$y = 6x^3 + 15x^2-12x -5$
$f(x) = - 9x^2 + 14x +15$

1594

A função $f(x)=|x|$ tem valor mínimo absoluto quando $x=0$, mesmo que $f$ não seja derivável em $x=0$. Isto é consistente com o Teorema de Fermat sobre máximos e mínimos locais?

553

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.

625

Uma página impressa deve ter $24$ $cm^{2}$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1 cm$ nos lados. Discuta a existência das dimensões (e calcule quando existir) daquelas que tem área total máxima e área total mínima.

1811

As funções da forma $$f(x)=cx^ne^{-x},\quad x>0,$$ onde $n$ é um inteiro positivo e $c=1/n!$ surgem no estudo estatístico do fluxo de tráfego.

Use um recurso gráfico computacional para gerar o gráfico de $f$ com $n=2,3,4$ e $5$ e faça uma conjectura sobre o número e a localização dos extremos relativos de $f$.
Confirme a sua conjectura usando o teste da derivada primeira.

1863

Mostre que a função $y=f(x)$ definida por $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x-r}, & \text{se} x \geq r \\ -\sqrt{r-x}, & \text{se} x<r \end{array}\right.$ tem a propriedade que para todo número real $a$, se $x_1=r+a$, então $x_2=r+a$ e, por outro lado, $x_1=r-a$, então $x_2=r+a$.

1612

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{e^x}{x^n}$.

$\infty$.

559

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.

1785

Teorema de Rolle: Seja $f$ uma função diferenciável em $(a,b)$ e contínua em $[a,b]$; se $f(a)=f(b)=0$, então há pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ tal que $f'(c)=0$. Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de $c$ naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-2},\quad [-1,1]$;
$\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{4}{3x}+\dfrac{1}{3},\quad [1,3].$

622

Se um corpo de peso $P$ é arrastado ao longo de um piso horizontal por meio de uma força de grandeza $F$ e orientada segundo um ângulo $\theta$ radianos com o plano do piso, então $F=\frac{kP}{k\sin \theta +\cos \theta}$, onde $k$ é uma constante. Encontre $\cos \theta$, quando $F$ for mínimo.

539

Prove que a equação $x^3-4x+2=0$ tem exatamente três raízes reais distintas.

Temos, primeiramente:

$f'(x)=3x^2-4$

$f''(x)=6x-4$

É possível ver portanto que $f(x)$ tem dois pontos críticos: $x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Como $f''(x)>0$ para $x>0$ e $f''(x)<0$ para $x<0$, $f(x)$ tem uma concavidade para baixo em $x=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ e uma concavidade para cima em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Temos que $f(0)=2$. Como na concavidade em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ temos $f(x)<0$, sabemos que a primeira raiz está entre $0$ e $\frac{2}{\sqrt{3}}$. É fácil observar que $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\infty$, o que nos mostra uma segunda raiz. Finalmente, como $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$, temos uma terceira raiz para algum valor $x<0$, provando então que a função em questão tem três raízes distintas.

1278

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{2x^{2}}{3x^{2}-3}$ . Para fazê-lo, determine:

Domínio da função
Zeros e inteceptos
Simetrias
Assíntotas horizontais e verticais
Intervalos de crescimento e decrescimento
Pontos de máximo e mínimo
Concavidade
Pontos de inflexão

Dom$f=\left\{ x\in\mathbb{R}|x\neq\pm1\right\} $
$f\left( x\right) =0$ se, e somente se, $x=0$
A função é par: $f\left( -x\right) =f\left( x\right) $
Usando L'Hopital ou colocando-se $x^{2}$ em evidêncai no numerador e
denominador, obtemos que
\[
\lim_{x\rightarrow\infty}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow-\infty
}f\left( x\right) =2/3
\]
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left( x\right)    & =-\infty\\
\lim_{x\rightarrow-1^{-}}f\left( x\right)    & =\infty\\
\lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left( x\right)    & =\infty\\
\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right)    & =-\infty
\end{align*}
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right) & =\frac{4x\left( 3x^{2}-3\right)
-2x^{2}\left( 6x\right) }{\left( 3x^{2}-3\right) ^{2}}\\
& =\frac{-12x}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{2}}
\end{align*}
logo a derivada é positiva se $x<0$ e negativa se $x>0$, ou seja $f$ é crescente para $x<0$ e decrescente para $x>0$
$x=0$ é ponto de máximo da função.
A função não tem pontos de inflexão pois $\pm1\notin
Dom\left( f\right) $
\begin{align*}
f"\left( x\right) & =\frac{-12\left( 3x^{2}-3\right) ^{2}+12x2\left(
3x^{2}-3\right) 6x}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{4}}\\
& =\frac{-12\left( 3x^{2}-3\right) +12x2\cdot6x}{\left( 3x^{2}-3\right)
^{3}}\\
& =\frac{-36x^{2}+36+12^{2}x^{2}}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{3}}\\
& =\frac{-12x^{2}+12+48x^{2}}{\left( x^{2}-1\right) ^{3}}\\
& =12\frac{3x^{2}+1}{\left( x^{2}-1\right) ^{3}}
\end{align*}
Observando que $3x^{2}+1>0,\forall x$, temos que $f"\left( x\right) >0$ se, e somente se,
$x^{2}-1>0$ se, e somente se, $x>1$ ou $x<-1$ logo $f$ tem concavidade para cima se
$x\in(-\infty,-1)\cup\left( 1,\infty\right) $ e concavidade par baixo se
$x\in\left( -1,1\right) $.
Esboço do Gráfico:

1165

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial $\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right)$ para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo. A constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a soluçao dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?

1566

Em estatística, a função densidade de probabilidade para a distribuição normal é definida por $f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-z^2/2}$ com $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ para números reais $\mu$ e $\sigma>0$ ($\mu$ é a média e $\sigma^2$ é a variância da distribuição). Obtenha os extremos locais de $f$ e determine onde $f$ é crescente ou decrescente. Discuta a concavidade, ache os pontos de inflexão, determine $\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)$ e esboce o gráfico de $f$.

575

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x}{1+\tan x},x\in \lbrack 0,\dfrac{\pi }{2})$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1320

Jane está em um barco a $2 km$ da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea, localizada $6 km$ ao longo de uma linha costeira retilínea desde o ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela rema a $2 km/h$ e caminha a $5 km/h$. Em que ponto da costa ela deve aportar para chegar à cidade no menor tempo possível?

1620

Este exercício pretende se debruçar sobre os limites

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x$ e $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$.

Use a regra de L'Hospital para mostrar que $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$.
Com o auxílio de recursos computacionais, observe as curvas de $f(x)=\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x$ e $g(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ em um único gráfico, para $x \geq 0$. Como o comportamento de $f$ se relaciona com o de $g$? Estime o valor de $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$.
Confirme sua estimativa de $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$ através da regra de L'Hôspital.

1825

Demonstre a Regra de L'Hospital para a indeterminação da forma $\displaystyle\dfrac{0}{0}$.

1325

Dentre todos os retângulos inscritos numa circunferência de raio $R$, quais as dimensões daquele que tem a maior área?

1787

Mostre que se $f$ e $g$ forem funções para as quais $$ f'(x)=g(x) \quad\text{e}\quad g'(x)=f(x)$$ para todo $x$, então $f^2(x)-g^2(x)$ é uma constante.
Mostre que as funções $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ e $\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})$ têm esta propriedade.

534

Dois corredores iniciaram uma corrida ao mesmo tempo e terminaram a corrida empatados. Prove que os dois corredores estiveram à mesma velocidade $v^*$, ainda que talvez em instantes diferentes da corrida.

627

Uma lata cilíndrica, sem tampa (mas com fundo), é feita para receber um volume de $900ml$ . Encontre as dimensoes que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

547

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-x^2+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

626

Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível? Se a lata fosse esférica, o gasto de material seria maior ou menor que o gasto de material da lata cilíndrica que voce encontrou? E se a lata fosse cúbica?

1315

Um retângulo tem sua base no eixo $x$ e seus dois vértices superiores na parábola $y=-x^2$. Qual é a maior área que esse retângulo pode ter? Quais são suas dimensões?

1276

Seja $f\left( x\right) =\frac{2x-1}{x-1}$

Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.
Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.
Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Domínio: Dom$\left( f\right) =\left\{ x|x\neq1\right\} =\left( -\infty,1\right) \cup\left( 1,\infty\right) $
Zeros e inteceptos: $f\left( x\right) =0\iff2x-1=0\iff x=1/2$
Simetrias: Não há.
Assíntotas:
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left( x\right)   & =\lim_{x\rightarrow
\pm\infty}\frac{2x-1}{x-1}\\
& =\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2-1/x}{1-1/x}=2
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right)   & =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
\frac{2x-1}{x-1}=-\infty\\
\lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left( x\right)   & =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
\frac{2x-1}{x-1}=+\infty
\end{align*}
Intervalos de crescimento e decrescimento:
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right) & =\frac{2\left( x-1\right) -\left(
2x-1\right) \left( 1\right) }{\left( x-1\right) ^{2}}\\
& =\frac{-1}{\left( x-1\right) ^{2}}<0,\forall x\in Dom\left( f\right)
\end{align*}
ou seja, $f$ é estritamente decrescente.
Valores máximo e mínimo locais: Não há, pois a derivada não se anula
Concavidade e pontos de Inflexão:

\[
f"\left( x\right) =\frac{2}{\left( x-1\right) ^{3}}>0\iff x-1>0\iff x>1
\]
ou seja, $f$ tem concavidade para cima para $x>1$ e concavidade para baixo para $x<1$
Esboço do Gráfico:

1610

A velocidade, no tempo $t$, de um objeto de massa $m$ em queda é $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k$ é uma constante e $g$ denota a força da gravidade. Calcule $\lim\limits_{m \to \infty}v(t)$ e conclua que $v(t)$ é aproximadamente proporcional ao tempo $t$ se a massa é muito grande.

580

Esboce neste mesmo gráfico a reta $y=2x+3$. Indique a região delimitada por esta reta e pelo gráfico de $f\left(x\right) $, para $2\leq x\leq 3$. Calcule a área desta região.

543

Seja $f\left( x\right) =x^{3}+3x.$

Estude o sinal de $f^{\prime }(x).$
Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) .$
Utilizando as informações acima esboce o gráfico de $f\left( x\right) .$

556

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =e^{2x}-e^{x}$.

1565

O número relativo de moléculas de gás em um recipiente que se movem a uma velocidade de $v$ $cm/s$ pode ser calculado por meio da distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann, $F(v)=cv^2e^{-mv^2/(2kT)}$, sendo que $T$ é a temperatura em Kelvins, $m$ é a molécula e e $c$ e $k$ são constantes positivas. Mostre que o valor máximo de $F$ ocorre quando $v=\sqrt{2kT/m}$.

1318

Você está projetando uma lata (um cilindro de revolução) de $1000 cm^3$ cuja manufatura levará o desperdício em conta. Não há desperdício ao se cortar a lateral de alumínio, mas tanto a base como o topo, ambos de raio $r$, serão recortados de quadrados que medem $2r$ de lado.

Escreva uma fórmula que forneça a quantidade total de alumínio usada para fazer uma lata.
Qual a razão $h/r$ para a lata mais econômica?

1166

Encontre, se existirem, o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função $f(x)= \sqrt[3]{x^3-x^2},$ no intervalo $[0,1].$

1860

Considere uma cápsula esférica de $1cm$ de espessura cujo volume é igual ao volume do espaço oco dentro dela. Use o método de Newton para calcular o raio externo da cápsula com duas casas decimais de precisão.

549

Esboce o gráfico de $f(x)=x^2\sqrt{4-x}$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

1823

Explique por que a regra de L'Hospital não se aplica ao problema $$ \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2\sin(1/x)}{\sin x}. $$
Ache o limite acima.

535

Encontre $a$ e $b$ tais que a função $f(x)=x^3 +ax^2+b$ tenha um extremo relativo em $(2,4)$.

1788

Sejam $f$ e $g$ funções contínuas em $[a,b]$ e diferenciáveis em $(a,b)$. Prove: se $f(a)=g(a)$ e $f(b)=g(b)$, então há um ponto $c$ em $(a,b)$ onde $f'(c)=g'(c)$.

1830

Esboce o gráfico completo da função $\displaystyle f(x)=x\tan x,\ -\pi/2<x<\pi/2$, e localize todos os extremos relativos e pontos de inflexão. Utilize um recurso computacional gráfico a fim verificar seu resultado.

571

Estude a função $f\left( x\right) =x\ln x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

565

Estude a função $f\left( x\right) =xe^{-3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

620

Um fabricante produzirá caixas fechadas (com tampa) de volume igual a $27$ litros e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Encontre as dimensões da caixa de forma que o consumo de material seja mínimo.

560

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =x-e^{x}$.

1824

Discuta as hipóteses necessárias para que se possa aplicar a Regra de L'Hospital.

1322

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

1831

Uma grandeza física desconhecida é medida $n$ vezes, obtendo-se valores $x_1,x_2,\ldots,x_n$, cuja variação depende de fatores imprevisíveis, tais como temperatura, pressão atmosférica etc. Desta forma, o cientista enfrenta o problema de obter uma estimativa $\bar{x}$ de uma grandeza desconhecida $x$. Um método de se obter estimativas está baseado no princípio dos mínimos quadrados, o qual estabelece que a estimativa $\bar{x}$ deve ser escolhida de forma a minimizar a função $$ s= (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots +(x_n-\bar{x})^2, $$que é a soma dos quadrados dos desvios entre a estimativa $\bar{x}$ e os valores medidos. Mostre que a estimativa resultante do princípio dos mínimos quadrados é dada por $$ \bar{x}= \dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n), $$ ou seja, $\bar{x}$ é a média aritmética dos valores observados.

568

Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}-9x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1609

Se uma quantia $P$ é aplicada à taxa de juros de $100r \%$ ao ano, composta $m$ vezes por ano, então o montante, ao cabo de $t$ anos, é dado por $P(1+rm^{-1})^{mt}$. Considerando $m$ como um número real e fazendo m crescer indefinidamente, diz-se que a taxa é composta continuamente. Mostre que, neste caso, o montante após $t$ anos é $Pe^{rt}$.

1813

Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

$\displaystyle f'(x)=x^3(x^2-5)$;
$\displaystyle f'(x)=xe^{-x}$.

1608

A média geométrica de dois números reais positivos $a$ e $b$ é definida como $\sqrt{ab}$. Prove que $\sqrt{ab}=\lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x$.

1821

A figura abaixo mostra o gráfico do polinômio $\displaystyle y=\dfrac{1}{10}x^5(x-1)$ gerado no software Mathematica$^\textrm{TM}$ usando uma janela de $[-2;2,5]\times[-1;5]$.

Mostre que a escolha da escala vertical faz com que o computador perca importantes aspectos do gráfico. Descreva quais são os aspectos perdidos e faça o seu próprio esboço indicando-os.

1613

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{e^x}$.

$0$.

1246

Esboce o gráfico da funçao $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

569

Estude a função $f\left( x\right) =1-e^{-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

570

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1316

Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e, nos outros três lados, por uma cerca elétrica feita de um fio. Com $800 m$ de fio à disposição, qual é a maior área que você pode cercar e quais são suas dimensões?

1595

Se uma função par $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?

Ela também terá um máximo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação ao eixo das ordenadas.

542

Mostre que um polinômio de terceiro grau $p\left( x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\neq 0$) sempre possui uma raiz real. Ilustre através de contra-exemplo que isto não é válido para polinômios de grau par, ou seja, para todo $n=2k$ par, existem polinômios de grau $n$ que não possuem raiz real.

1732

Em cada item, esboce o gráfico de uma função contínua $f$ com as propriedades indicadas no intervalo $(-\infty,+\infty)$.

$f$ não tem extremos relativos nem absolutos.
$f$ tem um mínimo absoluto em $x=0$, mas nenhum máximo absoluto.
$f$ tem um máximo e um mínimo absolutos em $x=-5$ e $x=5$, respectivamente.

1623

Estime $\pi$ através da aplicação do Método de Newton na equação $tg(x)=0$. Qual cuidado deve ser tomado, neste caso, em relação à escolha do valor inicial?

1619

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x+\cosh(x)}{x^2+1}$.

$\infty$.

1859

Calcule $\sqrt{5}$ com duas casas decimais de precisão, resolvendo a equação $x^2-5=0$ e use esse resultado na fórmula quadrática para obter as raízes de $x^2+x-1=0$.

1314

Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de $8 \times 15 pol$ recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o volume?

1783

Prove a seguinte generalização do Teorema do Valor Médio: Se $f$ é contínua e diferenciável sobre o intervalo $(a,b)$ e os limites $\displaystyle \lim_{y\to a^+}f(y)$ e $\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)$ existem, então existe $x\in (a,b)$ tal que $$f'(x)=\dfrac{\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)-\lim_{y\to a^+}f(y)}{b-a}.$$ (Sua prova deve começar mais ou menos assim: "Esta é uma conseqüência do Teorema do Valor Médio porque ...".)

1605

Deixa-se cair de um balão um objeto de massa $m$. Se a força de resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade $v(t)$ do objeto no instante $t$, então pode-se mostrar que $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k>0$ e $g$ é uma constante gravitacional. Determine $\lim\limits_{k \to 0^+}s(t)$.

1786

Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, $$\sqrt{y}-\sqrt{x}<\dfrac{y-x}{2\sqrt{x}},$$ quando $0<x<y$.
Use o resultado anterior para mostrar que se $x$ e $y$ forem positivos, então $$ \sqrt{xy} < \dfrac{1}{2}(x+y).$$ (A média aritmética é maior que a média geométrica).
Tente generalizar o resultado anterior para um conjunto amostral discreto de tamanho $n>2$.

1616

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x-\cos(x)}{x}$.

$1$.

1812

(Teste da Derivada Primeira) Suponha $f$ contínua em um ponto crítico $x_0$.

Se $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)<0$ em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ tem um máximo relativo em $x_0$.
Se $f'(x)<0$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ tem um mínimo relativo em $x_0$.
Se $f'(x)$ tiver o mesmo sinal $\displaystyle [f'(x)>0\ \text{ou}\ f'(x)<0]$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ não tem extremo relativo em $x_0$.

Esboce algumas curvas para mostrar que as três partes do teste da derivada primeira podem ser falsas, sem a hipótese de que $f$ é contínua em $x_0$.

561

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{cc} e^{-\dfrac{1}{x^{2}}} & \text{se }x\neq 0 \\ 0 & \text{se }x=0 \end{array} \right. $

Exercícios

Aplicações da Derivada