| MA111 - Cálculo I | Derivada | Taxas de Variação

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Taxas de Variação

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1728

A naftalina pode ser utilizada como repelente de insetos, embora possa trazer malefícios à saúde. Este composto tem a capacidade de sublimar, isto é: passa do estado sólido diretamente para o gasoso. Se uma bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que o seu raio decresce a uma taxa constante.

1256

O fluxo de um campo magnético através de uma bobina, em função do tempo, é dado por $F=B \cdot l^2 \sin(\omega t)$ , onde $B$ é a intensidade do campo, $l$ o comprimento da espira e $\omega$ a velocidade angular da bobina. Pela "Lei de Faraday'', temos que a tensão $v$ do circuito associado a esse campo é dada por $v=-\frac{dF}{dt}$ .

Escreva a equação do fluxo para $B = 20$ , $l = 2$ e $\omega= 4$ .
Para a equação obtida no item anterior, determine a expressão de v em função de t.

1727

Uma partícula se move na circunferência $x^2 + y^2 = a^2$ de tal modo que a componente $x$ de sua velocidade é $\dfrac{dx}{dt}=-y$ . Encontre $\dfrac{dy}{dt}$ e determine se o sentido do movimento é horário ou anti-horário.

1135

Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$ . Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$ nos seguintes casos:

$y=xy$
$y=x/y$

1726

Seja $x$ uma função de $t$ , isto é, $x=f(t)$ , tal que para $t=0$ , $x=1$ e para $t=1$ , $x=2$ . Suponha que $\dfrac{dx}{dt}>0$ para $t\geq0$ ; $\dfrac{d^2x}{dt^2}<0$ para $0<t<1$ e $\dfrac{d^2x}{dt^2}>0$ para $t>1$ . Como você acha que deve ser o gráfico de $f$ ? Por quê?

1731

Em um reservatório cônico (com vértice para baixo), água é evaporada a uma taxa proporcional à área da superfície exposta ao ar. Mostre que a profundidade da água decresce a uma taxa constante que não depende das dimensões do reservatório.

1729

Um vaso em formato hemisférico de raio $7,5$ cm está sendo enchido de água a uma taxa de $16$ cm $^3/$ s. Quando a profundidade da água está em $2,5$ cm, com que velocidade o nível da água sobe?

519

Enche-se um balão esférico a uma taxa de $4,5$ decímetros cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir $2$ decímetros.

1134

Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$ . Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$ nos seguintes casos:

$y=x$
$y=z$

1730

Suco de maracujá (um bom calmante natural) é derramado a uma taxa uniforme de $20$ cm $^3/$ s em um copo de vidro em forma de um cone truncado (veja a figura abaixo). Se os raios superior e inferior do copo forem de $4$ e $3$ cm e a altura $12$ cm, com que rapidez estará subindo o nível de suco quando ele estiver na metade do copo? (Sugestão: estenda o copo para baixo para formar um cone.)

518

Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado à razão de $6\,cm^3/min$ . A altura do cone é $24cm$ e o raio da base é $12cm$ . Encontre a velocidade com que baixa o nível da água quando está a $10cm$ do fundo.

$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{1}{25 \pi}$ cm/min

1137

Escreva a taxa de crescimento de $y$ em termos das taxas de crescimento de $k$ , $l$ e $m$ para os seguintes casos. Assuma $\beta$ como uma dada constante.

$y=k^{\beta }$
$y=k/m$

1138

Escreva a taxa de crescimento de $y$ em termos das taxas de crescimento das variáveis $k$ , $l$ e $m$ para os seguintes casos. Assuma $\beta$ como uma dada constante.

$y=(klm)^{\beta }$
$y=(kl)^{\beta }(1/m)^{1-\beta }$

1136

Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$ . Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$ , sabendo que $y=x^{\beta }z^{1-\beta }$ , com $\beta =1/2$ .