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LISTA DE DISCIPLINAS

| MA111 - Cálculo I | Derivada | Aproximação Linear e Diferencial

Exercícios

Aproximação Linear e Diferencial

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1722   

A aproximação (1+x)k≈1+kx pode ser utilizada para cálculos rápidos.

  1. Mostre porque esta aproximação é boa e use-a para fazer uma estimativa simples de (1,001)37.

  2. Compare sua estimativa com a obtida por meio de algum recurso computacional (pode ser uma calculdadora científica).

  3. Agora utilize esta aproximação para calcular (1,1)37 e compare com o recurso computacional. O que acontece neste caso? Justifique.

1580   

Dados f(x)=x−1 e x0=0,9, escolha um valor inteiro próximo a x0 tal que f(x0) e f′(x0) sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.


A linearização da função f(x) em torno de um ponto x0 nada mais é do que assumir que ela se comporta como uma reta que passa pelo ponto (x0,f(x0)) com inclinação f′(x0).

Neste caso temos f(x)=x−1 e f′(x)=−x−2. Linearizando a função em torno de 1, temos y−f(1)x−1=f′(1)=y−1x−1=−1 portanto temos

y=2−x

1581   

Dados f(x)=2x2+4x−3 e x0=−0,9, escolha um valor inteiro próximo a x0 tal que f(x0) e f′(x0) sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1583   

Dados f(x)=3√x e x0=8,5, escolha um valor inteiro próximo a x0 tal que f(x0) e f′(x0) sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1584   

Dados f(x)=xx+1 e x0=1,3, escolha um valor inteiro próximo a x0 tal que f(x0) e f′(x0) sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1588   

Mostre que a linearização de f(x)=(1+x)k em x=0 é L(x)=1+kx.

1586   

Dados f(x)=sin−1x e x0=π/12, escolha um valor inteiro próximo a x0 tal que f(x0) e f′(x0) sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1723   

Uma escada de 4m está apoiada em uma parede fazendo um ângulo θ com o chão. Considerando h como a altura do chão até o ponto em que a escada encosta na parede, expresse h em função de θ e, então, use dh para estimar a variação em h se θ varia de 60∘ a 59∘, de 60∘ a 58∘, e de 60∘ a 55∘. Interprete estes resultados.

1582   

Dados f(x)=1+x e x0=8,1, escolha um valor inteiro próximo a x0 tal que f(x0) e f′(x0) sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1585   

Dados f(x)=e−x e x0=−0,1, escolha um valor inteiro próximo a x0 tal que f(x0) e f′(x0) sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1579   

Dados f(x)=x2+2x e x0=0,1, escolha um valor inteiro próximo a x0 tal que f(x0) e f′(x0) sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1587   

Determine a linearização de f(x)=√x+1+sinx em x=0. Como ela se relaciona com as linearizações individuais de √x+1 e sinx em x=0?

1589   

Suponha que y=f(x) seja derivável em x=a e que g(x)=m(x−a)+c seja uma função linear, em que m e c sejam constantes. Se o erro entre f e g, E(x)=f(x)−g(x) for suficientemente pequeno perto de x=a, poderemos pensar em utilizar g como aproximação linear de f ao invés da linearização L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).

  1. Interprete as expressões E(a)=0 e limx→aE(x)x−a=0.
  2. Mostre que impondo as condições E=0 e limx→aE(x)x−a=0, temos g(x)=f(a)+f′(a)(x−a). Interprete o resultado, relacionando com o item anterior.

1255   

 Considere a curva definida pela equação x2y+3ln(1−y)+x4=1. 

  1. Calcule y′.
  2. Encontre a aproximação linear à curva no ponto (1,0).