LISTA DE DISCIPLINAS

| MA111 - Cálculo I | Derivada | Regra da Cadeia

Exercícios

Regra da Cadeia

Selecione os exercícios por

Dificuldade

Categoria

Outros

Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.

1820   

Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$. Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$.

838   

Derive a função $f\left( x\right) =\left( 3^{2x+3}\right)\sqrt{\cos \left( x^{3}+x^{1/3}\right) }.$

$ 2.3^{2 x + 3} \sqrt{\cos(x^3 + x^{1/3})} \log 3 - (3^{2 x + 3} (1/(3 x^{2/3}) + 3 x^2) \sin(x^3 + x^{1/3}))/(2 \sqrt{cos(x^3 + x^{1/3})})$.

1816   

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

  1. $xe^x\cos{x}$.
  2. $e^x \sin{x} \cos{x}$.


  1. $-e^x x^2 \sin (x)+e^x x^2 \cos (x)+2 e^x x \cos (x)$.
  2. $-e^x \sin ^2(x)+e^x \cos ^2(x)+e^x \sin (x) \cos (x)$.

1534   

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

  1. $xe^x\cos{x}$
  2. $e^x \sin{x} \cos{x}$

847   

Calcule a derivada da função:

$y=e^{x^{x}}$.

$y'=e^{x^x} x^x (\log x + 1)$.

839   

Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado:


$f\left( x\right) =e^{2x^{3}}+\cos \left( \sin \left( 3x\right)\right) ;$ avaliar em $f\,^{\prime }\left( 0\right) $.

$f'(x) = 6 e^{2 x^3} x^2 - 3 \sin(\sin(3 x)) \cos(3 x)$.

$f'(0) = 0$.

841   

O que podemos dizer sobre uma função $f\left( x\right) $ tal

que $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }$ para todo $x$?


Pela aplicação direta da Regra da cadeia, temos que:

$\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para $f(x)$, portanto, temos que:

$f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para que a igualdade seja verdadeira, há duas possibilidades. Ou:

$f^{\prime}(x)=0,\,\forall x$

 i.e., a função é uma constante (o que resultaria em $0=0$). Ou: 

$f^{\prime}(x)=1,\,\forall x$

i.e., $f(x)=x+a$, sendo que $a$ é uma constante (o que resultaria em $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)$).

852   

Determine as derivadas das seguintes funções:

  1. $f\left( x\right) =e^{\tan \left( x^{3}\right) }$.

  2. $f\left( x\right) =\left( a\sin x+\cos bx\right)^{3};$

  3. $f\left( x\right) =\dfrac{xe^{-3x}}{1+\cos x}.$

1197   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\cos^{2}\left(  x\right)  +\sin^{2}\left(x\right)  }{\sqrt{x^{3}+1}}.$

1819   

Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.
Estude o sinal de $f'(x)$.
Faça um esboço do gráfico de $f$.


1187   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.$

 $f'\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$

848   

Calcule a derivada da função:


$y=\dfrac{2\left( 4+3\sqrt[3]{x}\right) \left( 2-\sqrt[3]{x}\right)^{3/2}}{5}$.

$y'=-\dfrac{\sqrt{2 - x^{1/3}}}{x^{1/3}}$.

1535   

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

  1. $x^2e^x\cos{x}$
  2. $e^x \sinh{x} \cos^2{x}$

844   

Calcule a derivada da função:

$y=\ln \sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$.

$y' = \sec x$.

1193   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =5^{x\cos\left(  x^{2}\right)  }.$

1194   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\left(  x^{3}+1\right)  ^{5}}{\left(x^{2}+1\right)  ^{4}}.$

$\frac{x \left(x^3+1\right)^4 \left(7 x^3+15 x-8\right)}{\left(x^2+1\right)^5}$

840   

Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado:

$f\left( x\right) =\dfrac{\ln \left( x^{2}\right) +5x^{3}}{1+\cos^{2}x};$ avaliar em $f\,^{\prime }\left( \pi /2\right) .$.

$f'(x) = (15 x^2 + 2/x)/(\cos^2 x + 1) + (2 (5 x^3 + \log(x^2)) \sin x \cos x )/(\cos^2 x + 1)^2$.

$f'(\pi/2) = \dfrac{4}{\pi} + \dfrac{15 \pi^2}{4}$.

818   

Sejam $f\left( x\right) $ e $g\left( x\right) $ funções
diferenciáveis e suponha que esta assuma os seguintes valores:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline x & f\left( x\right)  & g\left( x\right)  & f^{\prime }\left(
x\right)  & g^{\prime }\left( x\right) \\\hline
  0 & 1 & 1 & 5 & 1/3 \\\hline
  1 & 3 & -9 & -1/3 & -8/3 \\\hline
\end{array}$

Encontre as derivadas de:

  1. $f\left( x\right) -3g\left( x\right) $ em $x=0;$

  2. $f\left( g\left( x\right) \right) $ em $x=0;$

  3. $\left( x^{11}+f\left( x\right) \right) ^{-2}$ em $x=1;$

  4. $f\left( e^{\sin \left( x-1\right) }\right) $ em $x=1;$

  1. $4$
  2. $8/9$
  3. $-1/3$
  4. $-1/3$

850   

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{1}{2}\cot ^{2}5x+\ln \sin x.$

$y'=\cot(x) - 5 \cot(5 x) \csc^2(5 x)$.

1533   

Seja $g(x)=x^3+\dfrac{1}{x}$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto correspondente a $x=1$.

$y=2x$.

1188   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\log_{2}\left(  2x\right)  \log_{3}\left(3x\right)  .$

$f'(x) = \dfrac{2 \ln x + \ln 6}{x \ln 2 \ln 3}$.

1537   

Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.

  1. Estude o sinal de $f'(x)$.
  2. Faça um esboço do gráfico de $f$.

1184   

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\ln \left( 3\cos ^{5}\left( 4x\right)\right) .$

$f'(x) = -20\tan(4x)$.

851   

Determine as derivadas das seguintes funções:

  1. $f\left( x\right) =e^{\cos \left( x^{2}\right) }$.

  2. $f\left( x\right) =\left( \sin x+\cos x\right)^{3}$.

  3. $f\left( x\right) =x^{3}e^{-3x}.$

1539   

Suponha que um meteorito pesado está a $s$ quilômetros do centro da Terra, e que sua velocidade de entrada na atmosfera terrestre seja inversamente proporcional a $\sqrt{s}$. Mostre que a aceleração do meteorito é inversamente proporcional a $s^2$ e interprete o resultado.

1186   

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\cos \left( x^{-2}\right)+x^{3}e^{-3x}.$

$f'(x) =  -3 e^{-3 x} x^3 + 3 e^{-3 x} x^2 + (2 \sin(x^{-2}))/x^3$.

1191   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\log_{2}\left(  \cos^{3}\left(  x\right)  \right).$

$f'(x) = -\dfrac{3 \tan x}{\log 2}$.

1195   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\tan\left(  x\right)  \cos^{2}\left(  x\right)  .$

836   

Determine a derivada da função:

$f\left( x\right) =e^{\cos \left( x^{2}\right)}.$


Pela regra da cadeia, temos que
$f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)$
Assim, escolhendo $f(x) = e^x$ e $g(x)=\cos(x^2)$, temos:
$(e^{\cos(x^2)}))' = e^{\cos(x^2)}(\cos(x^2))'$
Para calcular $(\cos(x^2))'$, temos que aplicar novamente a regra da cadeia. Desta vez, podemos escolher $f(x)=\cos(x)$ e $g(x)=x^2$.
Assim, 
$(\cos(x^2))'= -2\sin(x^2)x$
Portanto:
$(e^{\cos(x^2)}))' = -2 e^{\cos(x^2)}x\sin(x^2)$

1818   

Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize.


1189   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\left(  x^{2}-1\right)  ^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}.$

$f'(x) = \dfrac{x(x^2-1)(3x^2+5)}{(x^2+1)^{3/2}}$.

837   

Determine a derivada da função:

$f\left( x\right) =\left( sen x+\cos x\right) ^{3}.$

$3 (\cos (x)-\sin (x)) (\sin (x)+\cos (x))^2$

843   

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{x\tan 3x}{x^{2}+4}$.

$y' =  -(2 x^2 \tan(3 x))/(x^2 + 4)^2 + (\tan(3 x))/(x^2 + 4) + (3 x \sec^2(3 x))/(x^2 + 4)$.

846   

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{e^{\sec \sqrt{x}}}{x}$.

$y'=\dfrac{(\tan x) e^{\sec x} \sec x)}{\sqrt{x}} - \dfrac{e^{\sec x}}{(2 x^{3/2})}$.

1538   

Suponha que em uma máquina um pistão se desloque verticalmente tal que sua posição no instante $t$ (medido em segundos) seja dado por:

$$s=A \cos(2 \pi b t ),$$

onde $A>0$ é a amplitude do movimento, e $b>0$ é a frequência (número de vezes que o pistão se desloca de cima para baixo por segundo). Qual o efeito da duplicação da frequência sobre a velocidade, a aceleração e a sobreaceleração do pistão? Relacione a sua resposta com o fato de que uma máquina quebra quando funciona rápido demais.

1185   

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\left( \left( \sin x\right) \left(\cos x\right) \right) ^{3}.$

$f'(x)=3/8 \sin(2x) \sin(4x)$.

849   

Calcule a derivada da função:

$y=\ln \left(\dfrac{\cos \sqrt{x}}{1+\sin \sqrt{x}}\right)$.

$y'=(\sin(\sqrt{x}) + 1) \sec(\sqrt{x}) \left(-\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)} - \dfrac{\cos^2(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)^2}\right)$.

1536   

Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize.

Dica: Derive a função $Fh$, onde $F=fg$. Use a regra do produto duas vezes. Para generalizar use o princípio da indução finita.

842   

Calcule a derivada da função:

$y=\sqrt{1+\sqrt{x}}$.

$y'=\dfrac{1}{4\sqrt{\sqrt{x}+1}\sqrt{x}}$.

845   

Calcule a derivada da função:

$y=\left( 2+\sin x\right) ^{x}$.

$y' = (\sin x + 2)^x (\log(\sin x + 2) + (x \cos x )/(\sin x + 2))$.

1190   

Calcule a derivada da seguinte função: 
 $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$

$f'(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$.

1196   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =3^{2x}\ln\left(  x^{2}\right)  .$

$2\ 3^{2 x} \log (3) \log \left(x^2\right)+\frac{2\ 3^{2 x}}{x}$

1192   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =x^{3}\ln\left(  x^{2}\right)  .$

1817   

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

  1. $x^2e^x\cos{x}$
  2. $e^x \sinh{x} \cos^2{x}$


1198   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\sqrt{x^{3}+1}}{\left(  x^{2}+1\right)  ^{4}}.$