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Derivadas de funções trigonométricas
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A posição $s$ de uma partícula em um instante $t \geq 0$, se deslocando em um movimento retilíneo, é dada por:
$$s=10\cos(t+\pi/4).$$
- Encontre a posição inicial da partícula. Isto é, a posição em $t=0$.
- Quais são os pontos mais distantes da origem que a partícula pode alcançar? (à direita e à esquerda).
- Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos pontos do item anterior.
- Quando a partícula atinge a origem pela primeira vez? Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração neste instante.
Seja $f(x)=cossec{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
Inicialmente, determinamos a primeira derivada da função $f$:
$f'(x)=-cossec(x)cotg(x)$.
Agora, substituímos $x$ por $\dfrac{\pi}{4}$ e obtemos
$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$=-cossec\(\dfrac{\pi}{4}\)cotg\(\dfrac{\pi}{4}\)=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot 1 = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$.
Um aluno estudioso está sentado em uma sala de aula, ao lado da parede e de frente para a lousa, como na figura abaixo. A lousa tem $3$m de largura e começa a $1$m da parede à qual o aluno está próximo. Mostre que, se a distância da parede for $x$, o ângulo de visão é
$$\alpha = \cot^{-1} \dfrac{x}{15} - \cot^{-1} \dfrac{x}{3}.$$
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=tg{x}$ no ponto de abscissa $0$.
$y=x$
Calcule $f'(x)$ sendo
- $f(x)=tg{x}$
- $f(x)=sec{x}$
1. $f'(x)=sec^2(x)$.
2. $f'(x)=sec(x)tg(x)$.
Demonstre que a derivada da função cosseno é a oposta da função seno.
Seja $f(x)=\sin{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
$f'(x)=\cos(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Demonstre as seguintes regras de derivação:
- $(sec{x})'=sec{x} \cdot tg{x}$
- $(cotg{x})'=-cossec^2{x}$
- $(cossec{x})'=-cossec{x} \cdot cotg{x}$
Uma partícula tem sua posição variando com o tempo de acordo com a relação $s(t)=-2\sin(t)+3\cos(t)$ , onde $s$ é dado em metros e $t$ em segundos.
- Encontre a velocidade da partícula no instante $t$.
- Encontre a velocidade da partícula no instante $t=3$ segundos.
1. $v(t)=-3\sin(t)-2\cos(t)$.
2. $v(3)=-3\sin(3)-2\cos(3)$.
Seja $f(x)=cotg{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
$f'(x)=-cossec^2(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-2$.
Se a velocidade de um objeto em metros por segundo no instante $t$ segundos é $v(t)=-\sin(t)-\cos(t)$, qual a sua posição no instante $t=4$?
$s(t)=\cos(4)-\sin(4)$
Demonstre que a derivada da função seno é a função cosseno.
Demonstre as seguintes regras de derivação:
- $(\sin{x})'=cos{x}$
- $(\cos{x})'=-\sin{x}$
- $(tg{x})'=sec^2{x}$
Demonstre que a derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante.