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Derivada de soma, produto e quociente de funções
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Em um gerenciamento de estoques, o custo médio semanal de pedidos, pagamentos e armazenamento de mercadoria é dado por:
$$A(q)=\dfrac{km}{q}+cm+\dfrac{hq}{2},$$
onde $q$ é a quantidade de produtos pedida em períodos de baixa no estoque; $k$ é o custo (fixo) da colocação de um pedido; $c$ é o custo (também fixo) de cada item; $m$ é a quantidade de itens vendidos por mês; e $h$ é o custo mensal para manter cada item (custos de espaço, seguro, etc). Determine $dA/dq$ e $d^2A/dq^2$. Interprete os resultados.
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$f\left( x\right) =\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$.
$f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sqrt{x}$ pela função $x+1$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:
\[\left( \dfrac{\sqrt{x}}{x+1} \right)^\prime = \dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - \sqrt{x}\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2}.\]
Sabendo que
\[(\sqrt{x})^\prime = \left(x^{1/2}\right)^\prime = \dfrac{1}{2} x^{\left(\tfrac{1}{2}-1\right)} = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\]
e que
\[(x+1)^\prime = (x)^\prime + (1)^\prime = 1 + 0 = 1,\]
podemos usar essas expressões na regra do quociente e, assim, obter que
\[\dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - (\sqrt{x})\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{x}{2 \sqrt{x}} +\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} -\dfrac{x}{\sqrt{x}}}{(x+1)^2}.\]
Disso, podemos concluir que
\[f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}.\]
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$\left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x$.
$f'(x) = \left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x + \dfrac{e^x \tan x}{2 \sqrt{x}} + e^x(\sqrt{x} + 1) \sec^2 x$.
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$f\left( x\right) =\dfrac{\sec x}{3x+2}$.
$f'(x) = \dfrac{\tan x \sec x}{3x+2}-\dfrac{3 \sec x}{(3x+2)^2}$.
Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sec x$ pela função $3x+2$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:
\[\left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2}.\]
Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada:
\[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\]
Por outro lado, sabemos que $(3x+2)^\prime = 3$.
Dessa forma, voltando à primeira igualdade e substituindo $(\sec x)^\prime$ e $(3x+2)^\prime$ pelas expressões encontradas, obtemos:\[\dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2} = \dfrac{\tan(x) \sec(x) (3x+2) - (\sec x)(3)}{(3x+2)^2} .\]
Ou seja,
\[ \left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{\tan(x) \sec(x)}{3x+2} - \dfrac{3\sec(x)}{(3x+2)^2}. \]
A resposta do corpo humano a uma dose de um medicamento pode ser representada pela equação:
$$R=M^2\left(\dfrac{C}{2}-\dfrac{M}{3}\right),$$
onde $C$ é uma constante positiva e $M$ a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue. Se $R$ for uma variação da pressão sanguínea, é medida em milímetros de mercúrio; se for variação de temperatura, é medida em graus. Determine a sensibilidade do organismo ao medicamento, $dR/dM$.
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$f\left( x\right) =\dfrac{1+e^{x}}{1-e^{x}}$.
$f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}$.
Queremos calcular a derivada da divisão da função $1+e^x$ pela função $1-e^x$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:
\[\left( \dfrac{1+e^x}{1-e^x} \right)^\prime = \dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2}.\]
Como
\[(1+e^x)^\prime = (1)^\prime + (e^x)^\prime = 0 + e^x = e^x\]
e, analogamente,
\[(1-e^x)^\prime = -e^x,\]
temos então que
$\dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x (1-e^x)-(1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x(1-e^x)+e^x(1+e^x)}{(1-e^x)^2}$.
Para simplificar o numerador, colocamos o fator comum $e^x$ em evidência: $e^x(1-e^x+1+e^x) = 2e^x$. Portanto, concluímos que
\[f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}.\]
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$\dfrac{x+\sqrt[4]{x}}{x^{2}+3}$.
$f'(x) = \dfrac{3-7x^2}{4 x^{3/4}(x^2+3)^2}$.
Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$.
Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$.
Ache uma fórmula para a soma $1+2x+3x^2 +\cdots +nx^{n-1}$.
$\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}$, $x \neq 1$. Se $x=1$, a soma dá $\dfrac{n(n+1)}{2}$.
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$f\left( x\right) =e^{x}\sin x\cos x$.
$f'(x) = \dfrac{1}{2} e^x ( \sin (2x) + 2 \cos (2x))$.
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$f\left( x\right) =xe^{x}\cos x$.
$f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x)$.
Usando a regra da derivada do produto de duas funções, escolhendo considerar $x e^x$ como uma delas e, consequentemente, $\cos x$ como a outra, obtemos:
\[ (x e^x \cos x)^\prime = (x e^x)^\prime \cdot \cos(x)+ x e^x \cdot (\cos x)^\prime .\]
Para calcular $(x e^x)^\prime$, vamos usar novamente a regra da derivada do produto:
\[(x e^x)^\prime = (x^\prime) \cdot e^x + x\cdot (e^x)^\prime = e^x(1+x),\]
em que usamos que $(x)^\prime=1$ e $(e^x)^\prime=e^x$, além de colocar em evidência o fator comum $e^x$.
Substuindo essas expressões na igualdade inicial, temos que
\[ (x e^x \cos x)^\prime = e^x(1+x)\cos(x) - x e^x \sin x,\]
já que $(\cos x)^\prime = -\sin x$. Ou seja, obtivemos que
\[f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x).\]
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$f\left( x\right) =x^{2}e^{x}$.
$f'(x)=e^x(x^2+2x)$.
Usando a regra da derivada do produto, temos que
\[f^\prime(x) = (x^2 e^x)^\prime = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime.\]
Como $(x^2)^\prime = 2x$ e $(e^x)^\prime = e^x$, então
\[(x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime = 2x e^x + x^2 e^x.\]
Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que
\[f^\prime (x) = e^x (x^2 + 2x).\]
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$f\left( x\right) =4\sec x+\cot x$.
$f'(x) = 4 \sec x \tan x - \csc^2 x$.
Como a derivada da soma de funções é a soma de suas derivadas, temos inicialmente que
\[ (4\sec x+\cot x)^\prime = (4\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime = 4 (\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime .\]
Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada:
\[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\]
De forma análoga, usaremos a regra do quociente para calcular a derivada da função $\cot x$, que é igual a $\frac{\cos x}{\sin x}$:
\[(\cot x)^\prime = \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime = \dfrac{(\cos x)^\prime\cdot \sin(x) - \cos(x)\cdot (\sin x)^\prime}{(\sin x)^2} =\dfrac{(-\sin x) \sin x - \cos(x)(\cos x)}{(\sin x)^2} = -(\csc x)^2,\]
em que usamos a identidade trigonométrica fundamental
\[(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1\]
e a identidade $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ para obter a cossecante.
Substituindo as expressões encontradas para as derivadas de $\sec x$ e de $\cot x$ na primeira igualdade, concluímos que
$f'(x) = 4 \tan(x)\sec(x) - (\csc x)^2$.
Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$f\left( x\right) =e^{x}\cos x$.
$f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$.
Usando a regra da derivada do produto, temos que
\[f^\prime(x) = (e^x \cos x)^\prime = (e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime.\]
Como $(e^x)^\prime = e^x$ e $(\cos x)^\prime = -\sin x$, então
\[(e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime = e^x \cos x + e^x (-\sin x) .\]
Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que
\[f^\prime (x) = e^x (\cos x- \sin x).\]Determine a derivada de $f\left( t\right) =t^{3}e^{-3t}$.
$-3 e^{-3t} (t-1) t^2$.