958

Calcule o limite a seguir, justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}$

0

Para todo $x\neq 0$ temos que
\begin{equation*}
\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{1-\cos x}{x}\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{
1-\cos ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}\text{.}
\end{equation*}
Como $1-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x$ obtemos
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1-\cos x}{x} &=&\dfrac{\sin ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x} \\
&=&\sin x\dfrac{\sin x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}.
\end{eqnarray*}
Mas
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin x &=&0\;\text{(pois }\sin x\text{ é contínua)} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} &=&1\;\text{(limite trigonométrico fundamental)} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x} &=&\dfrac{1}{2}\;\text{(}
\cos x\text{ cont\'{i}nua e }1+\cos \left( 0\right) \neq 0\text{).}
\end{eqnarray*}
Logo,
\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow
0}\sin x\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\lim\limits_{x
\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x}=0.
\end{equation*}

1340

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(7x\right) }{\sin \left( 23x\right) }$.

$7/23$.

960

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{x}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}$

$4$.
$1$.

1809

Resolva os itens:

Prove que existe $r>0$ tal que $\cos{x}-1<\dfrac{\sin{x}}{x}-1<0$ para $0<|x|<r$.
Calcule $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^2}$.

961

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{3}}{\sin x}$

964

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( 1+2x\right)^{\dfrac{1}{x}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x}$

1525

Resolva os itens:

Prove que existe $r>0$ tal que $\cos{x}-1<\dfrac{\sin{x}}{x}-1<0$ para $0<|x|<r$.
Calcule $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^2}$.

690

Calcule o seguinte limite

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+2}$.

1335

Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}.$

Temos que:
$\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}}.$

Lembramos o limite fundamental $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ e, além disso, observamos que
\begin{equation*}
\begin{split}
&\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=0 \\
&\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}=1.
\end{split}
\end{equation*}
Então:
$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}} = 1\cdot\dfrac{3+1}{1+0}=4.$

1337

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{sen(cosx)}{sec(x)}$.

$\sin(1)$.

957

Calcule o limite, caso exista:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\left( x-\sqrt{x^2 + 4x} \right) $

963

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\tan \left( x-p\right) }{x^{2}-p^{2}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\sin x-\sin p}{x-p}$
$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\cos x-\cos p}{x-p}$

1706

Embora limites como $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}$ e $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n$ possam ser avaliados utilizando conhecimentos sobre as funções logaritmo e exponencial, estes não são necessários. Neste exercício vamos calcular esses tipos de limite por meio de argumentos ``elementares''. As ferramentas básicas são desigualdades provenientes do teorema binomial, principalmente:

$$(1+h)^n \geq 1+nh, \text{ para } h > 0.$$

Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n = \infty$ se $a>1$, fazendo $a=1+h$, onde $h>0$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n= 0$ se $0<a<1$.

692

Calcule o seguinte limite

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \dfrac{x+2}{x+1}\right)^{x}$.

$e$.

1339

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{cotg (2x)}{cossec (x)}$.

$1/2$.

1338

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}$.

$1$.

959

Calcule o seguinte limite, caso exista:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) }$

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\sin \left( \pi x\right)}{x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\pi \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{23\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} }. \end{array}$

Fazendo as mudanças de variáveis $y = \pi x$ e $t = 23x$, temos que

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\pi x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( y\right) }{y} = 1 $.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( 23 x\right) }{23 x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( t\right) }{t} = 1 $.

Onde nas últimas passagens usamos o limite fundamental do seno. Desse modo, sabendo que os limites existem, podemos substituí-los na expressão anterior:

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \dfrac{\pi}{23} \dfrac{1}{1} \\ &=& \dfrac{\pi}{23}. \end{array}$

962

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}x\sin \left( \dfrac{1}{x}\right)$
$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\sin \left(x^{2}-p^{2}\right) }{x-p}$

1707

Embora limites como $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}$ e $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n$ possam ser avaliados utilizando conhecimentos sobre as funções logaritmo e exponencial, estes não são necessários. Neste exercício vamos calcular esses tipos de limite por meio de argumentos ``elementares''. As ferramentas básicas são desigualdades provenientes do teorema binomial, principalmente:

$$(1+h)^n \geq 1+nh, \text{ para } h > 0,$$

e, para o item 3 a seguir:

$$(1+h)^n \geq 1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}h^2 \geq \dfrac{n(n-1)}{2}h^2, \text{ para } h>0.$$

Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}= 1$ se $a>1$, fazendo $\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}=1+h$ e estimando $h$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}=1 $ se $1<a<1$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}= 1$.

693

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(10x\right) }{\sin \left( 5x\right) }$.

$2$.

1705

Se você fosse um professor e seu(sua) aluno(a) te perguntasse ``Por que $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$?''

Como você responderia com palavras?
Que bibliografia você recomendaria?
Qual a demonstração formal?

691

Calcule o seguinte limite

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right)^{x}$.

$e^{1/2}$.

1336

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{sen(x-1)}{x^{2}+x-2}$.

$1/3$.

Exercícios

Limites fundamentais