Exercícios
Limites fundamentais
Selecione os exercícios por
Dificuldade
Categoria
Outros
Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.
Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}.$
Temos que:
$\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}}.$
Lembramos o limite fundamental $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ e, além disso, observamos que
\begin{equation*}
\begin{split}
&\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=0 \\
&\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}=1.
\end{split}
\end{equation*}
Então:
$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}} = 1\cdot\dfrac{3+1}{1+0}=4.$
Embora limites como $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}$ e $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n$ possam ser avaliados utilizando conhecimentos sobre as funções logaritmo e exponencial, estes não são necessários. Neste exercício vamos calcular esses tipos de limite por meio de argumentos ``elementares''. As ferramentas básicas são desigualdades provenientes do teorema binomial, principalmente:
$$(1+h)^n \geq 1+nh, \text{ para } h > 0.$$
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n = \infty$ se $a>1$, fazendo $a=1+h$, onde $h>0$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n= 0$ se $0<a<1$.
Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
- $\lim\limits_{x\rightarrow 0}x\sin \left( \dfrac{1}{x}\right)$
- $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\sin \left(x^{2}-p^{2}\right) }{x-p}$
Calcule o seguinte limite
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+2}$.
Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}$.
$1$.
Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{3}}{\sin x}$
Calcule o seguinte limite, caso exista:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) }$
$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\sin \left( \pi x\right)}{x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\pi \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{23\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} }. \end{array}$
Fazendo as mudanças de variáveis $y = \pi x$ e $t = 23x$, temos que
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\pi x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( y\right) }{y} = 1 $.
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( 23 x\right) }{23 x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( t\right) }{t} = 1 $.
Onde nas últimas passagens usamos o limite fundamental do seno. Desse modo, sabendo que os limites existem, podemos substituí-los na expressão anterior:
$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \dfrac{\pi}{23} \dfrac{1}{1} \\ &=& \dfrac{\pi}{23}. \end{array}$
Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(7x\right) }{\sin \left( 23x\right) }$.
$7/23$.
Resolva os itens:
- Prove que existe $r>0$ tal que $\cos{x}-1<\dfrac{\sin{x}}{x}-1<0$ para $0<|x|<r$.
- Calcule $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^2}$.
Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(10x\right) }{\sin \left( 5x\right) }$.
$2$.
Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{cotg (2x)}{cossec (x)}$.
$1/2$.
Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
- $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\tan \left( x-p\right) }{x^{2}-p^{2}}$
- $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\sin x-\sin p}{x-p}$
- $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\cos x-\cos p}{x-p}$
Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{x}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}$
- $4$.
- $1$.
Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
- $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( 1+2x\right)^{\dfrac{1}{x}}$
- $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$
- $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x}$
Resolva os itens:
- Prove que existe $r>0$ tal que $\cos{x}-1<\dfrac{\sin{x}}{x}-1<0$ para $0<|x|<r$.
- Calcule $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^2}$.
Calcule o seguinte limite
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right)^{x}$.
$e^{1/2}$.
Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{sen(cosx)}{sec(x)}$.
$\sin(1)$.
Calcule o limite a seguir, justificando as passagens.
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}$
0
Para todo $x\neq 0$ temos que
\begin{equation*}
\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{1-\cos x}{x}\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{
1-\cos ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}\text{.}
\end{equation*}
Como $1-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x$ obtemos
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1-\cos x}{x} &=&\dfrac{\sin ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x} \\
&=&\sin x\dfrac{\sin x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}.
\end{eqnarray*}
Mas
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin x &=&0\;\text{(pois }\sin x\text{ é contínua)} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} &=&1\;\text{(limite trigonométrico fundamental)} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x} &=&\dfrac{1}{2}\;\text{(}
\cos x\text{ cont\'{i}nua e }1+\cos \left( 0\right) \neq 0\text{).}
\end{eqnarray*}
Logo,
\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow
0}\sin x\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\lim\limits_{x
\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x}=0.
\end{equation*}
Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{sen(x-1)}{x^{2}+x-2}$.
$1/3$.
Calcule o seguinte limite
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \dfrac{x+2}{x+1}\right)^{x}$.
$e$.
Calcule o limite, caso exista:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\left( x-\sqrt{x^2 + 4x} \right) $
Se você fosse um professor e seu(sua) aluno(a) te perguntasse ``Por que $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$?''
Como você responderia com palavras?
Que bibliografia você recomendaria?
Qual a demonstração formal?
Embora limites como $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}$ e $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n$ possam ser avaliados utilizando conhecimentos sobre as funções logaritmo e exponencial, estes não são necessários. Neste exercício vamos calcular esses tipos de limite por meio de argumentos ``elementares''. As ferramentas básicas são desigualdades provenientes do teorema binomial, principalmente:
$$(1+h)^n \geq 1+nh, \text{ para } h > 0,$$
e, para o item 3 a seguir:
$$(1+h)^n \geq 1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}h^2 \geq \dfrac{n(n-1)}{2}h^2, \text{ para } h>0.$$
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}= 1$ se $a>1$, fazendo $\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}=1+h$ e estimando $h$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}=1 $ se $1<a<1$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}= 1$.