LISTA DE DISCIPLINAS

| MA111 - Cálculo I | Limite e continuidade | Propriedades dos limites

Exercícios

Propriedades dos limites

Selecione os exercícios por

Dificuldade

Categoria

Outros

Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.

97   

Calcule os limites:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}$
  3. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

1309   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$.

59   

Explique, usando propriedades de limites, porque $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}\not = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 2} (x^2-4)}{\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x-2)}$.

Note que somente podemos usar as propriedades de limite quando um limite existe e é finito. Além disso, lembre-se que limites que recaem na expressão indeterminada "$\frac{0}{0}$", podem existir ou não. Calcule os seguintes limites.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$

  2. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^2-2x}-\frac{x}{x-2}\right)$

  4.  $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\sqrt{t^2+4}-2}{t^2}$

98   

Calcule os limites:
  1. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( x^{2}+5xh^{2}\right) $
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{1/x-1/2}{x-2}$


1312   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\ln\left(\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}\right)$, onde $n$ é qualquer número natural.

1704   

  1. Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos da função $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$, vide exercício ID 1703, e veja o que acontece.

  2. Você esperaria que um problema similar ocorresse nos arredores de $x=0$ para a função $f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}$? Verifique se tal ocorre. Vide questão ID 958.

58   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -3}\frac{1-x}{\sqrt{x^2+2}}$.


Como a função está definida em $x=-3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$\lim\limits_{x\rightarrow -3}\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{1-(-3)}{\sqrt{(-3)^2+2}} = \dfrac{4}{\sqrt{11}}$.

85   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi/6} cos(sec x)$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \ln(1+x)$

1307   

O limite $\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3(1+\sin x)$ existe? Explique.

82   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to3} x^2-3x+7$

  2. $\lim\limits_{x\to3} x^3-3x-7$


  1. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^2-3x+7 = 3^2 - 3.3 + 7 = 7$.
  2. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^3-3x+7 = 3^3 - 3.3 - 7 = 11$.

1311   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$, onde $n$ é qualquer número natural.

88   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to p}\frac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$


$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\to p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p} &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x^2-p^2)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x+p)(x-p)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} (x^2+p^2)(x+p) \\ &=& (p^2 + p^2)(p+p) \\ &=& 4p^3. \end{array}$

100   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(1\right) }{x-1}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\ 2x-1 & \text{se }x>1 \end{array} \right. $
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(2\right) }{x-2}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x & \text{se }x\geq 2 \\ x^{2}/2 & \text{se }x<2 \end{array} \right. $
  3. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$, com $f\left( x\right) =x^{2}-3x$ e $f\left( x\right) =1/x$


682   

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$.

683   

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$.

79   

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} x = c$.

83   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi} \frac{3x+1}{1-x}$

  2. $\lim\limits_{x\to\pi} \frac{x^2+3x+5}{5x^2-2x-3}$

  3. $\lim\limits_{x\to\pi} \left(\frac{x-3}{x-5}\right)^7$


93   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to -1} \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+5}$.


$3/2$

1310   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{8}-p^{8}}{x-p}$.

77   

Seja $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x-4} &\text{ se } x>4\\8-2x&\text{ if } x<4\end{array}\right.$.

Decida se $\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x)$ existe. Se o limite não existe, explique.

101   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow -1}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+1}{x+1}}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^{2}-1}$


84   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi/4} \cos x\sin x$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \ln x$

  3. $\lim\limits_{x\to3} 4^{x^3-8x}$

86   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to6} \frac{x^2-4 x-12}{x^2-13 x+42}$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \frac{x^2+2 x}{x^2-2 x}$

  3. $\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+6 x-16}{x^2-3 x+2}$


  1. $-8$

  2. $-1$

  3. $10$

76   

Dê exemplo de duas funções, $f$ e $g$, para ilustrar que se $g(x)\le f(x)$ para todo $x$ suficientemente próximo de $a$, então $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\le\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$.

1308   

Mostre que existem funções $f(x)$, $g(x)$ com  $\lim_{x\rightarrow p} f(x) = \lim_{x\rightarrow p} g(x) =0,$ tais que $\lim_{x\rightarrow p} (f(x)/g(x)) =\lambda$, onde $\lambda$ assume qualquer valor em $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$. Escolha o ponto $p$ como achar mais conveniente.

92   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-2x-3}{x^2-4x+3}$.


$2$

96   

Calcule os limites:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\log _{\frac{1}{3}}x$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln \dfrac{x^{2}-1}{x-1}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$


94   

Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$


Seja $u=x-3$. Temos que $u$ tende a $0$ por valores positivos se $x$ tende a $3$ por valores maiores do que $3$. Logo, \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}=\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}\text{.} \end{equation*} Mas dado $M>0$, temos que se $0<u<\dfrac{5}{M},$ então $M<\dfrac{5}{u}$ e temos que, por definição, $\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}=\infty $.

685   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$.

95   

Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens. 

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$



688   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$.

61   

Considere a função $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2x &\text{ se} x\ne -1\\0&\text{ se } x=-1\end{array}\right.$.

  1. Trace o gráfico de $f$.

  2. Usando limites laterais, determine se o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -1}f(x)$ existe ou não.

684   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}$.

1703   

Uma fonte de imprecisão nos cálculos feitos por computadores é a {\it subtração catastrófica}. Tal erro ocorre quando dois números aproximadamente iguais são subtraídos, e o resultado é usado como parte de outro cálculo.
Um exemplo: $(0,123456789012345-0,123456789012344)\times 10^{15}=1$.
Mas, na calculadora, obteríamos zero como resposta a esse cálculo pois ela armazena apenas 14 dígitos e os 14 primeiros dígitos são idênticos. Por vezes, pode-se evitar a subtração catastrófica fazendo um rearranjo algébrico das fórmulas. De todo modo, o melhor é estar atento à sua ocorrência, portanto, tome cuidado para resolver este exercício.


  1. Seja $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$. Faça uma conjectura sobre o limite de $f$ quando $x \to 0^+$ calculando $f$ nos pontos $x=0,1$, $0,01$, $0,001$, $0,0001$.

  2. Calcule $f$ nos pontos $x=0,00001$, $0,000001$, $0,0000001$, $0,00000001$, $0,000000001$, $0,0000000001$, e faça outra conjectura.

  3. Que falha isso revela sobre o uso da evidência numérica para fazer conjecturas sobre limites?

  4. Se você dispuser de um sistema de computação algébrica, um programa que pode efetuar cálculos numéricos ou simbólicos, use-o para mostrar que o valor exato desse limite é $\dfrac{1}{6}$. (Aqui, eu não posso pedir para calcular o limite à mão, de fato?)

99   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 4}\sqrt{x}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$
  4. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$


89   

Calcule os seguintes limites:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow p} \frac{\sin \left(x^{2}-p^{2}\right) }{x-p}$
  2. $\lim\limits_{y\rightarrow 3} \frac{\sin \left(y^{2}-9\right) }{y-3}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 4} \frac{\cos \left(x^{2}-16\right) }{x-4}$

78   

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} b = b$.

91   

Mostre $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}$ não existe.

90   

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}.$

80   

O que significa dizer, em termos de limites, que uma função é "bem comportada"?

1701   

  1. Prove que $\lim_{x\to a}f(x)=l$ se, e somente se, $\lim_{x\to a}[f(x)-l]=0$. Sugestão: Primeiro, compreenda por qual razão a afirmação anterior é óbvia; então dê uma prova formal.

  2. Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to a}f(x-a)$.

  3. Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}f(x^3)$.

  4. Dê um exemplo em que $\lim_{x\to 0}f(x^2)$ existe, mas $\lim_{x\to 0}f(x)$ não existe.

1702   

  1. Prove que se $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=l$ e $b\neq 0 $, então $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(bx)}{x}=bl$. Dica: Escreva $\dfrac{f(bx)}{x}=b\dfrac{f(bx)}{bx}$.

  2. O que acontece se $b=0$?

  3. O item 1. nos permite determinar $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2x)}{x}$ em termos de $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}$. Determine este limite de um outro modo.

1306   

Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}$ ou prove que não existe.


Racionalizando e aplicando diferença de quadrados temos:
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} =
 \frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}.
\end{equation*}
Logo,
$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}.$

687   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{-x^{4}-2x+1}{2x^{4}+2x+3}$.

57   

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sqrt x$.

$0$.

81   

Suponha que você tenha as seguintes informações sobre duas funções $f$ e $g$:

  1. $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = 0$

  2. $\lim\limits_{x\to 1} g(x) = 0$

  3. $\lim\limits_{x\to 1} f(x)/g(x) = 2$

O que você pode dizer sobre o valor de $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ quando $x \approx 1$?

686   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{3x^{3}+2}\right) $.

87   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2-10 x+16}{x^2-x-2}$

  2. $\lim\limits_{x\to-2} \frac{x^2-5 x-14}{x^2+10 x+16}$

  3. $\lim\limits_{x\to-1} \frac{x^2+9 x+8}{x^2-6 x-7}$


  1. $-2$
  2. $-3/2$
  3. $-7/8$