LISTA DE DISCIPLINAS

| MA111 - Cálculo I | Limite e continuidade | Limites no infinito e Assíntotas horizontais

Exercícios

Limites no infinito e Assíntotas horizontais

Selecione os exercícios por

Dificuldade

Categoria

Outros

Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.

1709   

Encontre os seguintes limites em termos do número $\alpha = \displaystyle \lim_{n \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$.

  1. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x}$.

  2. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)$.

6   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 5+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\right)$.

$5$

30   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{4}-2x+1}{4x^{4}+2x+3}$.

$5/4$

54   

Calcule os seguintes limites. Pode ser útil usar a relação de inversão que há em relação às funções logarítmicas e exponenciais (isto é, $\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x$) e/ou gráficos.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log_3 x$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\ln x$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}e^x$

53   

Calcule os limites indicados dividindo o numerador e o denominador por uma potência conveniente de $x$. Como esses limites se relacionam com as mais altas potências do numerador e do denominador?

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^4-2}{3x^4-x^3+1}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{2x^6-2x+1}}{x^3-x^2+2}$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{x^2-3}}{x+1}$

55   

Sabemos que limites que tomam a forma indeterminada ``$\infty-\infty$" exigem um pouco mais de trabalho para serem calculados. Calcule, de forma adequada, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{2x^2-7}-x\right)$.

52   

Construa os gráficos das funções indicadas e calcule os limites:

  1. $ f(x)=x^2$ quando $x\rightarrow\infty$

  2. $ h(x)=3x^5$  quando $x\rightarrow -\infty$

  3. $g(y)=\tan^{-1}(y)$ quando $y\rightarrow\infty$

  4. $f(x)=\frac{1}{x}$  quando $x\rightarrow -\infty$

  5. $f(x)=\frac{1}{x^7}$  quando $x\rightarrow \infty$

  6. $f(x)=\frac{1}{x^{-2}}$  quando $x\rightarrow \infty$

725   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }3^{x}$.

$\infty$.

36   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{3}+2}\right)$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+2}\right)$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x+2}\right)$

  1.   $-\infty$
  2. $0$
  3. $\infty$

730   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\log _{3}x$.

$\infty$.

31   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt[3]{3x^{3}+2x-1}}{\sqrt{x^{2}+x+4}}$.

  $\sqrt[3]{3}$

43   

Considere a função $f(x) = 2^x+10$. Calcule os seguintes limites e, depois, discuta se a função $f(x)$ tem assíntotas horizontais.

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$.

  2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$.

1. $10$.

2. $\infty$

Possui assíntota horizontal de equação $y=10$,

49   

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

$f(x) = \frac{1}{e^x+1}$

fig_assintotas_horizontais_21.png

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$

  3. $\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$

  4. $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$

727   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 0,27\right) ^{x}$.

$0$.

56   

Verifique se os seguintes limites existem. Explique.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}2^{1/x}$.

  2. $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\sin x$.

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 2^-}\tan^{-1}\left(\frac{1}{2x-4}\right)$.

731   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\ln \dfrac{x}{x+1}$.

$0$

50   

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

  $f(x) = x^2\sin (\pi x)$

fig_assintotas_horizontais_22.png

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$

728   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{1-2^{x}}{1-3^{x}}$.

$0$.

45   

A função $f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2-1 & & x < 3 \\x+5 & & x\geq 3 \end{array}\right.$ é contínua em todo o seu domínio? Justifique.

Sim, é. O único ponto em que não poderia  (inicialmente) ser contínua é em $x=3$. Todavia, temos $\lim\limits_{x\to 3^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=f(3)=8$.

39   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right)$.

$\infty$.

1711   

É possível mostrar que, sob certas condições, a velocidade $v(t)$ de uma gota de chuva caindo no instante $t$ é:

$$v(t) = v^\star \left(1-\exp\left(-\dfrac{gt}{v} \right)\right),$$

onde $g$ é a aceleração da gravidade e $v^\star$ é a velocidade final da gota.

  1. Calcule a velocidade para um tempo muito grande, isto é, calcule $\displaystyle \lim_{t \to \infty} v(t)$.

  2. Considerando $v^\star = 1$m$/$s e $g=9,8$m$/$s$^2$, faça o gráfico de $v(t)$. Quanto tempo levará para a velocidade da gota atingir $99\%$ de sua velocidade final?

724   

Calcule o limite:


$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

$-\infty$.

47   

O gráfico da função $f(x)=\frac{x^3+2x^2+1}{5-x^2}$ possui alguma assíntota horizontal?

Não possui.

33   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 5-3x+4x^{2}-x^{3}\right)$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{3}-6x-3}{6x^{3}+2}$

  1. $-\infty$
  2. $5/6$

41   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)  ^{x+2}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right) ^{x}  $

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \dfrac{x+2}{x+1}\right)  ^{x}$

48   

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

  1. Se $ \lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 5$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.

  2. $\infty/0$ não é uma forma indeterminada.

  1. Verdadeira

  2. Verdadeira

1713   

O gráfico a seguir representa o número de indivíduos de uma população ao longo do tempo.

  1. Pode-se dizer que há uma assíntota horizontal para essa população? Justifique.

  2. O que essa assíntota representa em termos biológicos? (Isto é, qual a interpretação da assíntota em função da população?)

fig_assintotas_populacao.png

37   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }3^{x}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 2^{x}-3^{x}\right)$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 0,27\right) ^{x}$

1. $\infty$.

2. $-1$.

3. $0$.

1712   

  1. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N,+\infty)$, os valores da função $f(x)=1/x^2$ estejam no máximo a $0,1$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

  2. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N,+\infty)$, os valores da função $f(x)=x/(x+1)$ estejam no máximo a $0,01$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

  3. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(-\infty,N)$, os valores da função $f(x)=1/x^3$ estejam no máximo a $0,001$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

  4. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo  $(-\infty,N)$, os valores da função $f(x)=x/(x+1)$ estejam no máximo a $0,001$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

32   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+3}\right)$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+3}\right)$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\right)$

  1. $0$
  2. $-\infty$
  3. $0$

38   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{1-2^{x}}{1-3^{x}}$.

$0$.

46   

Sabendo que $\lim\limits_{x\to2} f(x) = 3$ e $\lim\limits_{x\to2} g(x) = -1$, calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\to2}(f+g)(x)$

  2. $\lim\limits_{x\to2}(fg)(x)$

  3. $\lim\limits_{x\to2}(f/g)(x)$

  4. $\lim\limits_{x\to2}f(x)^{g(x)}$

1708   

Defina ``$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = l$''.

  1. Ache $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{a_n x^n + \ldots + a_0}{b_m x^m + \ldots + b_0}$.

  2. Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} -f(x)$.

  3. Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

51   

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

$f(x) = \cos (x)$

fig_assintotas_horizontais_23.png

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$

729   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right) $.

$-\infty$.

723   

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

$-2$.

726   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 2^{x}-3^{x}\right) $.

$-\infty$.

1710   

  1. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo $30$g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de $25$ L$/$min. Considerando o tempo $t$ em minutos, mostre que a concentração de sal $C$ em função de $t$ (em gramas por litro) é dada por:$$C(t) = \dfrac{30 t}{200+t}.$$

  2. O que acontece com a concentração para um tempo muito grande, isto é, para $t \to \infty$?

34   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{3}-6x-3}{6x^{2}+28x+2}$.

  $\infty$

40   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\log _{3}x$.

$\infty$.

42   

Determine todas as assíntotas horizontais da função $f(x) = \frac{x^2-1}{-x^2-1}$.

$y=-1$.

44   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to e} \ln x$, em que $e$ é o número de Euler.

$1$.

35   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\dfrac{5-x}{2x+3}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+3}$

  1.   $-1/2$
  2.   $0$