LISTA DE DISCIPLINAS

| MA111 - Cálculo I | Limite e continuidade | Limites laterais

Exercícios

Limites laterais

Selecione os exercícios por

Dificuldade

Categoria

Outros

Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.

1522   

Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto $I$ e $p \in I$. Suponha que $f(x) \leq f(p)$ para todo $x \in I$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}=0$, desde que o limite exista.

220   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{3-x};$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 3^{-}}\dfrac{5}{3-x};$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{x^{2}-x};$

  4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{5}{x^{2}-x};$

  5. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{\sin x}{x^{3}-x^{2}};$

  6. $\lim\limits_{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac{3x^{2}-4}{1-x^{2}}$

211   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes


$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\frac{|x|}{x}, & & \text{ se } x\neq 0 \\
0, & & \text{ se }  x=0
\end{array}
\right.$

  1. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$
  4. $f(0)$

  1. $-1$
  2. $1$
  3. Não existe.
  4. $0$


1521   

Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $2$, mas que $\lim\limits_{x \to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^-}f(x)$.

1806   

Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $a$, mas que $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=\lim\limits_{x \to a^-}f(x)$.

218   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
2x^2+5x-1, & & \text{ se }  x<0 \\
\sin x, & & \text{ se }  x\geq 0
\end{array}
\right.$

  1. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$

  2. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$

  3. $ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$

  4. $f(0)$

  1. $-1$
  2. 0
  3. Não existe.
  4. 0

221   

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-6}$:

  1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

  3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$


  1. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $2.9$ & $-15.1224$ \\

    $2.99$ & $-159.12$ \\

    $2.999$ & $-1599.12$

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.

  2. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $ 3.1$ & $16.8824$ \\

    $3.01$ & $160.88$ \\

    $3.001$ & $1600.88$

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.

  3. Ao analisar as duas tabelas, parece que  $\lim\limits_{x\to3}f(x)$ não existe.

208   

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

fig_lim_lat_8.png

  1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
  4. $f(1)$


  1. $2$
  2. $0$
  3. Não existe.
  4. $1$


212   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
a(x-b)^2+c, & & \text{ se }  x<b \\
a(x-b)+c, & & x \text{ se } \geq b
\end{array}
\right.,$
sendo que $a$, $b$ e $c$ são números reais.

  1. $ \lim\limits_{x\to b^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to b^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to b} f(x)$
  4. $f(b)$

  1. $c$
  2. $c$
  3. $c$
  4. $c$


216   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\cos x, & & \text{ se }  x<\pi \\
\sin x, & & \text{ se }  x\geq \pi
\end{array}
\right.$

  1. $ \lim\limits_{x\to \pi^-} f(x)$

  2. $ \lim\limits_{x\to \pi^+} f(x)$

  3. $ \lim\limits_{x\to \pi} f(x)$

  4. $f(\pi)$

  1. $-1$
  2. 0
  3. Não existe.
  4. 0


203   

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

fig_lim_lat_12.png

Seja $-3\leq a\leq 3$ um número inteiro


  1. $ \lim\limits_{x\to a^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to a^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to a} f(x)$
  4. $f(a)$

  1. $a-1$
  2. $a$
  3. Não existe.
  4. $a$

946   

Mostre que

  1. o limite de $f(x)=\dfrac{x-2}{|\,x-2|}$, quando $x\to 2$, não existe.
  2. o limite de $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+2, & x\geq -1 \\ 2x+1, & x<-1 \\ \end{array}\right.$, quando $x\to -1$, não existe.

215   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
1-\cos^2 x, & & \text{ se }  x<a \\
\sin^2 x, & & \text{ se }  x\geq a
\end{array},
\right.$
sendo que $a$ é um número real.

  1. $ \lim\limits_{x\to a^-} f(x)$

  2. $ \lim\limits_{x\to a^+} f(x)$

  3. $ \lim\limits_{x\to a} f(x)$

  4. $f(a)$

  1. $1-\cos^2 a = \sin^2 a$
  2. $\sin^2 a$
  3. $\sin^2 a$
  4. $\sin ^2 a$

1305   

Resolva os itens:

  1. Mostre que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\left( x\ln x\right) =0$;
  2. Utilize o item anterior para avaliar $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{x}.$

223   

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$:

  1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

  3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$


  1. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $2.9$ & $132.857$ \\

    $2.99$ & $12124.4$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =\infty$.

  2. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $ 3.1$ & $108.039$ \\

    $3.01$ & $11876.4$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.

  3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =\infty$.


217   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x^2-1, & & \text{ se }  x<-1 \\
x^3+1, & & \text{ se }  -1\leq x\leq 1\\
x^2+1, & & \text{ se }  x>1
\end{array}
\right.$

  1. $ \lim\limits_{x\to -1^-} f(x)$

  2. $ \lim\limits_{x\to -1^+} f(x)$

  3. $ \lim\limits_{x\to -1} f(x)$

  4. $f(-1)$

  5. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$

  6. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

  7. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$

  8. $f(1)$

  1. 0
  2. 0
  3. 0
  4. 0
  5. 2
  6. 2
  7. 2
  8. 2

222   

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$:

  1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

  3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$


  1. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $2.9$ & $-335.64$ \\

    $2.99$ & $-30350.6$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.

  2. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $ 3.1$ & $-265.61$ \\

    $3.01$ & $-29650.6$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-\infty$.

  3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-\infty$.

    213   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    x^2, & &  \text{ se } x<2 \\
    x+1,  & &  \text{ se } x=2\\
    -x^2+2x+4, & & \text{ se }  x>2
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to 2} f(x)$

    4. $f(2)$

    1. 4
    2. 4
    3. 4
    4. 3

    204   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_11.png

    1. $ \lim\limits_{x\to -2^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to -2^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to -2} f(x)$
    4. $f(-2)$
    5. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
    6. $ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$
    7. $ \lim\limits_{x\to 2} f(x)$
    8. $f(2)$


    1. $2$
    2. $2$
    3. $2$
    4. $0$
    5. $2$
    6. $2$
    7. $2$
    8. Indefinido


    1808   

    Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau) é uma função singular e descontínua, com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Seja $H$ a função de Heaviside. Prove, usando a definição de limite, que $\lim\limits_{x \to 0}H(x)$ não existe.

    heaviside.png

    214   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    x+1, & &  \text{ se } x<1 \\
    1,  & & \text{ se }  x=1\\
    x-1, & &  \text{ se } x>1
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$

    4. $f(1)$

    1. 2
    2. 0
    3. Não existe
    4. 1

    207   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_7.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$
    5. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
    6. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$


    1. Não existe.
    2. Não existe.
    3. Não existe.
    4. Indefinido.
    5. $0$
    6. $0$

    210   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_5.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$
    5. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
    6. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$


    1. $2$
    2. $2$
    3. $2$
    4. $1$
    5. Como $f$ não é definida para $x<0$, esse limite é indefinido.
    6. $1$

    205   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_10.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$
    4. $f(0)$

    1. $4$
    2. $-4$
    3. Não existe.
    4. $0$

    209   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_6.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$
    5. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
    6. $ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$


    1. $1$
    2. $2$
    3. Não existe.
    4. $2$
    5. $0$
    6. Como $f$ não é definida para $x>2$, esse limite é indefinido.

    681   

    Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

    $-2$

    1524   

    De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto parece, a um observador, depender da velocidade relativa entre este e o objeto. Se o observador estabelecer o comprimento do objeto, em repouso, como $L_0$, então o comprimento, a uma velocidade $v$, parecerá:
    $L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.
    Esta equação é chamada Fórmula de Contração de Lorentz, sendo que $c$ é a velocidade da luz no vácuo, em torno de $3\times10^8m/s$. Qual o comportamento de $L$ conforme $v$ aumenta?
    Determine $\lim\limits_{v\rightarrow c^- }L$. Por que o limite lateral à esquerda foi necessário, e como esta necessidade se relaciona com as Leis da Física?



    224   

    Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$:

    1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

    2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

    3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$


    1. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $2.9$ & $-0.632$ \\

      $2.99$ & $-0.6032$ \\

      $2.999$ & $-0.60032$ \\

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.

    2. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $ 3.1$ & $-0.5686$ \\

      $3.01$ & $-0.5968$ \\

      $3.001$ & $-0.59968$ \\

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.

    3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.

    680   

    Calcule os seguintes limites laterais (justifique cada passo da resolução):

    1. $\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.$

    2. $\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.$

    1807   

    Em matemática, a função piso, denotada por $\lfloor x\rfloor$, converte um número real ${\displaystyle x}$ no maior número inteiro menor ou igual a ${\displaystyle x}$ Essa função é importante em computação para truncamento ou arredondamento de números. Considere a função $f(x)=\lfloor 1/x\rfloor$, $x \neq 0$. Esboce o gráfico dessa função para $\dfrac{1}{4} \leq x \leq 2$ e também para $-2 \leq x \leq -\dfrac{1}{4}$. Como se comporta $f(x)$ quando $x$ tende a zero pelo lado direito? E pelo lado esquerdo? O limite $\lim\limits_{x \to 0}f(x)$ existe?


    206   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_9.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$


    1. $2$
    2. $2$
    3. $2$
    4. $2$

    219   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    x+1, & &  \text{ se } x\leq 1 \\
    x^2-5, & & \text{ se }  x>1
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$

    4. $f(1)$

    1. 2

    2. $-4$

    3. Não existe.

    4. 2

    1523   

    Suponha $g(x) \neq 0$, para todo $x \in Dom(g)$, $L \neq 0$ e $\lim\limits_{x \to p}g(x)=L$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{1}{L}$.


     Veja Guidorizzi, volume $1$, página $87$.