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| MA111 - Cálculo I | Limite e continuidade | Limites laterais

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Limites laterais

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680   

Calcule os seguintes limites laterais (justifique cada passo da resolução):

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.$

223   

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$:

  1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

  3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$


  1. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $2.9$ & $132.857$ \\

    $2.99$ & $12124.4$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =\infty$.

  2. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $ 3.1$ & $108.039$ \\

    $3.01$ & $11876.4$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.

  3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =\infty$.


1523   

Suponha $g(x) \neq 0$, para todo $x \in Dom(g)$, $L \neq 0$ e $\lim\limits_{x \to p}g(x)=L$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{1}{L}$.


 Veja Guidorizzi, volume $1$, página $87$.

207   

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

fig_lim_lat_7.png

  1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
  4. $f(1)$
  5. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
  6. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$


  1. Não existe.
  2. Não existe.
  3. Não existe.
  4. Indefinido.
  5. $0$
  6. $0$

204   

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

fig_lim_lat_11.png

  1. $ \lim\limits_{x\to -2^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to -2^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to -2} f(x)$
  4. $f(-2)$
  5. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
  6. $ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$
  7. $ \lim\limits_{x\to 2} f(x)$
  8. $f(2)$


  1. $2$
  2. $2$
  3. $2$
  4. $0$
  5. $2$
  6. $2$
  7. $2$
  8. Indefinido


208   

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

fig_lim_lat_8.png

  1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
  4. $f(1)$


  1. $2$
  2. $0$
  3. Não existe.
  4. $1$


205   

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

fig_lim_lat_10.png

  1. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$
  4. $f(0)$

  1. $4$
  2. $-4$
  3. Não existe.
  4. $0$

217   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x^2-1, & & \text{ se }  x<-1 \\
x^3+1, & & \text{ se }  -1\leq x\leq 1\\
x^2+1, & & \text{ se }  x>1
\end{array}
\right.$

  1. $ \lim\limits_{x\to -1^-} f(x)$

  2. $ \lim\limits_{x\to -1^+} f(x)$

  3. $ \lim\limits_{x\to -1} f(x)$

  4. $f(-1)$

  5. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$

  6. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

  7. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$

  8. $f(1)$

  1. 0
  2. 0
  3. 0
  4. 0
  5. 2
  6. 2
  7. 2
  8. 2

224   

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$:

  1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

  3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$


  1. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $2.9$ & $-0.632$ \\

    $2.99$ & $-0.6032$ \\

    $2.999$ & $-0.60032$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.

  2. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $ 3.1$ & $-0.5686$ \\

    $3.01$ & $-0.5968$ \\

    $3.001$ & $-0.59968$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.

  3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.

214   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x+1, & &  \text{ se } x<1 \\
1,  & & \text{ se }  x=1\\
x-1, & &  \text{ se } x>1
\end{array}
\right.$

  1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$

  2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

  3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$

  4. $f(1)$

  1. 2
  2. 0
  3. Não existe
  4. 1

211   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes


$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\frac{|x|}{x}, & & \text{ se } x\neq 0 \\
0, & & \text{ se }  x=0
\end{array}
\right.$

  1. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$
  4. $f(0)$

  1. $-1$
  2. $1$
  3. Não existe.
  4. $0$


1521   

Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $2$, mas que $\lim\limits_{x \to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^-}f(x)$.

222   

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$:

  1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

  3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$


  1. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $2.9$ & $-335.64$ \\

    $2.99$ & $-30350.6$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.

  2. \begin{tabular}{cc}

    $x$ & $f(x)$ \\ \hline

    $ 3.1$ & $-265.61$ \\

    $3.01$ & $-29650.6$ \\

    \end{tabular}

    A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-\infty$.

  3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-\infty$.

    216   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    \cos x, & & \text{ se }  x<\pi \\
    \sin x, & & \text{ se }  x\geq \pi
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to \pi^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to \pi^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to \pi} f(x)$

    4. $f(\pi)$

    1. $-1$
    2. 0
    3. Não existe.
    4. 0


    203   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_12.png

    Seja $-3\leq a\leq 3$ um número inteiro


    1. $ \lim\limits_{x\to a^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to a^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to a} f(x)$
    4. $f(a)$

    1. $a-1$
    2. $a$
    3. Não existe.
    4. $a$

    946   

    Mostre que

    1. o limite de $f(x)=\dfrac{x-2}{|\,x-2|}$, quando $x\to 2$, não existe.
    2. o limite de $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+2, & x\geq -1 \\ 2x+1, & x<-1 \\ \end{array}\right.$, quando $x\to -1$, não existe.

    681   

    Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

    $-2$

    1808   

    Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau) é uma função singular e descontínua, com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Seja $H$ a função de Heaviside. Prove, usando a definição de limite, que $\lim\limits_{x \to 0}H(x)$ não existe.

    heaviside.png

    1522   

    Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto $I$ e $p \in I$. Suponha que $f(x) \leq f(p)$ para todo $x \in I$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}=0$, desde que o limite exista.

    221   

    Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-6}$:

    1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

    2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

    3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$


    1. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $2.9$ & $-15.1224$ \\

      $2.99$ & $-159.12$ \\

      $2.999$ & $-1599.12$

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.

    2. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $ 3.1$ & $16.8824$ \\

      $3.01$ & $160.88$ \\

      $3.001$ & $1600.88$

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.

    3. Ao analisar as duas tabelas, parece que  $\lim\limits_{x\to3}f(x)$ não existe.

    1524   

    De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto parece, a um observador, depender da velocidade relativa entre este e o objeto. Se o observador estabelecer o comprimento do objeto, em repouso, como $L_0$, então o comprimento, a uma velocidade $v$, parecerá:
    $L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.
    Esta equação é chamada Fórmula de Contração de Lorentz, sendo que $c$ é a velocidade da luz no vácuo, em torno de $3\times10^8m/s$. Qual o comportamento de $L$ conforme $v$ aumenta?
    Determine $\lim\limits_{v\rightarrow c^- }L$. Por que o limite lateral à esquerda foi necessário, e como esta necessidade se relaciona com as Leis da Física?



    215   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes

    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    1-\cos^2 x, & & \text{ se }  x<a \\
    \sin^2 x, & & \text{ se }  x\geq a
    \end{array},
    \right.$
    sendo que $a$ é um número real.

    1. $ \lim\limits_{x\to a^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to a^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to a} f(x)$

    4. $f(a)$

    1. $1-\cos^2 a = \sin^2 a$
    2. $\sin^2 a$
    3. $\sin^2 a$
    4. $\sin ^2 a$

    1807   

    Em matemática, a função piso, denotada por $\lfloor x\rfloor$, converte um número real ${\displaystyle x}$ no maior número inteiro menor ou igual a ${\displaystyle x}$ Essa função é importante em computação para truncamento ou arredondamento de números. Considere a função $f(x)=\lfloor 1/x\rfloor$, $x \neq 0$. Esboce o gráfico dessa função para $\dfrac{1}{4} \leq x \leq 2$ e também para $-2 \leq x \leq -\dfrac{1}{4}$. Como se comporta $f(x)$ quando $x$ tende a zero pelo lado direito? E pelo lado esquerdo? O limite $\lim\limits_{x \to 0}f(x)$ existe?


    209   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_6.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$
    5. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
    6. $ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$


    1. $1$
    2. $2$
    3. Não existe.
    4. $2$
    5. $0$
    6. Como $f$ não é definida para $x>2$, esse limite é indefinido.

    212   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    a(x-b)^2+c, & & \text{ se }  x<b \\
    a(x-b)+c, & & x \text{ se } \geq b
    \end{array}
    \right.,$
    sendo que $a$, $b$ e $c$ são números reais.

    1. $ \lim\limits_{x\to b^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to b^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to b} f(x)$
    4. $f(b)$

    1. $c$
    2. $c$
    3. $c$
    4. $c$


    206   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_9.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$


    1. $2$
    2. $2$
    3. $2$
    4. $2$

    210   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_5.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$
    5. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
    6. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$


    1. $2$
    2. $2$
    3. $2$
    4. $1$
    5. Como $f$ não é definida para $x<0$, esse limite é indefinido.
    6. $1$

    220   

    Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

    1. $\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{3-x};$

    2. $\lim\limits_{x\rightarrow 3^{-}}\dfrac{5}{3-x};$

    3. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{x^{2}-x};$

    4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{5}{x^{2}-x};$

    5. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{\sin x}{x^{3}-x^{2}};$

    6. $\lim\limits_{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac{3x^{2}-4}{1-x^{2}}$

    213   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    x^2, & &  \text{ se } x<2 \\
    x+1,  & &  \text{ se } x=2\\
    -x^2+2x+4, & & \text{ se }  x>2
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to 2} f(x)$

    4. $f(2)$

    1. 4
    2. 4
    3. 4
    4. 3

    1806   

    Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $a$, mas que $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=\lim\limits_{x \to a^-}f(x)$.

    218   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    2x^2+5x-1, & & \text{ se }  x<0 \\
    \sin x, & & \text{ se }  x\geq 0
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$

    4. $f(0)$

    1. $-1$
    2. 0
    3. Não existe.
    4. 0

    219   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    x+1, & &  \text{ se } x\leq 1 \\
    x^2-5, & & \text{ se }  x>1
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$

    4. $f(1)$

    1. 2

    2. $-4$

    3. Não existe.

    4. 2

    1305   

    Resolva os itens:

    1. Mostre que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\left( x\ln x\right) =0$;
    2. Utilize o item anterior para avaliar $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{x}.$