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| MA111 - Cálculo I | Funções | Modos de representar funções

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Modos de representar funções

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637   

Dada a função $f\left( x\right) =$ $\left| x\right| -2x$, calcule $f\left( -1\right) $, $f\left( 1/2\right) $, $f\left( -2/3\right) $. Mostre que $f\left( \left| a\right| \right) =-\left| a\right| $.

652   

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

  1. $y=\frac{2|x+1|}{3}$

  2. $y=\sqrt{5-x^{2}}$

651   

Sejam $f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g(x)=\sqrt{x}$. Dê o domínio de cada uma das funções $f$, $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.

920   

Um fabricante de refrigerante quer produzir latas cilíndricas para seu produto. A lata dever ter um volume de $360 ml$. Expresse a área superficial total da lata em função do seu raio e dê o domínio da função.


Sejam $r$ o raio da base do cilindro e $h$ a sua altura. O volume $V$ do cilindro é dado por $V=\pi r^2 h$. Como $V=360$, obtemos $\pi r^2 h=360$, isto é, $h=\dfrac{360}{\pi r^2}$. A área superficial $A$ do cilindro é $A=2 \pi r^2+2 \pi r h$. Substituindo $h$ por $\dfrac{360}{\pi r^2}$ chegamos a $A=2 \pi r^2+2 \pi r \dfrac{360}{\pi r^2}$, ou seja, $A=2 \pi r^2+ \dfrac{360}{r}$. O domínio da função $A(r)$ é $\mathbb{R}^+$.


653   

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

  1. $y=-\sqrt{7-x^{2}}$

  2. $y=1+\sqrt{10-x^{2}}$

650   

Se $f(x+1)=\frac{x-1}{\pi -x}$, ache $f(x)$ e encontre o domínio de $f$.

656   

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

  1. $y=|x|+x$

  2. $y=1-x$ se $x\leq 0$ e $y=\sqrt{1-x^{2}}$ se $0\leq x\leq 1$.

636   

Sejam $f\left( x\right) =\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g\left(x\right) =\sqrt{x}$. Dê o domínio das seguintes funções: $f,$ $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.

640   

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

  1. $y=\sqrt{x-2}$

  2. $y=\sqrt{2-x}$


  1. O domínio de $y$ é o conjunto de números reais em que o valor dentro da raiz é positivo. Calculando esses valores:
    $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
    Portanto o domínio de $y$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x >2\}$.
  2. O domínio de $y$ é o conjunto de números reais em que o valor dentro da raiz é positivo. Calculando esses valores:
    $2-x > 0 \Rightarrow x < 2$.
    Portanto o domínio de $y$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x <2\}$.

654   

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

  1. $y=2-\sqrt{16-x^{2}}$

  2. $y=-1+\sqrt{6-(x-1)^{2}}$

635   

Se $f(x+1)=\frac{x-1}{\pi -x},$ ache $f\left( x\right) $ e encontre o domínio de $f$.


Calculando $f((x-1)+1)$:
$f((x-1)+1)=\dfrac{(x-1)-1}{\pi-(x-1)}$
$f(x) = \dfrac{x-2}{\pi+1-x}$.
O domínio de $f$ é o conjunto de números reais menos os pontos em que o denominador é zero. Calculando esses valores:
$\pi + 1 - x  = 0 \Rightarrow x = \pi + 1$.
Portanto o domínio de $f$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x \neq \pi + 1\}$.

645   

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

  1. $y=\sqrt{x^{2}-4x+3}$

  2. $y=\sqrt{x^{2}+3x-10}$

922   

Partindo do gráfico de $h(x)=x^2$, esboce os gráficos de $f(x) =(x-1)^2$ e $ g(x) = (x +1)^2.$


657   

Seja $f(x)=\frac{1+x}{1-x}$. Mostre que $f\left(\frac{1}{1+x}\right)=\frac{2+x}{x}$, $f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{x-2}{x}$, $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$, $f(1/x)=-f(x)$,  $f(f(x))=-1/x$.

919   

Esboce o gráfico de $f(x) = |x-1|+3.$


643   

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

  1. $y=\sqrt[3]{x-2}$

  2. $y=\displaystyle{\frac{1}{x^{2}-4}}$

638   

Seja $f\left( x\right) =\left| x\right| -x$. Mostre que $f\left( x\right) =0$ para $x\geq 0$ e $f\left( x\right) =-2x$ para $x<0$. Faça o gráfico dessa função.

647   

Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas.

  1. $f(x)=\sin x$

  2. $f(x)=\cos x$


  1. A função $\sin x$ é ímpar pois $f(-x) = \sin (-x) = -\sin(x) = -f(x)$.
  1. A função $\cos x$ é par pois $f(-x) = \cos (-x) = \cos(x) = f(x)$.

646   

Seja $f\left( x\right) =\frac{1+x}{1-x}$. Mostre que $f\left( \frac{1}{1+x}\right) =\frac{2+x}{x}$, $f\left( \frac{1}{1-x}\right) =\frac{x-2}{x}$, $f\left( -x\right) =\frac{1}{f\left( x\right) }$, $f\left( 1/x\right)=-f\left( x\right) $ e que $f\left( f\left( x\right) \right) =-1/x$.

655   

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

  1. $y=\sqrt{9-(2-x)^{2}}$

  2. $y=7/2-\sqrt{13-(2+x)^{2}}$

660   

Considere o gráfico da função $f$:


$f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{c}-2x-2,-4\leq x\leq -2 \\x+4,-2\leq x\leq 1 \\6-x,1\leq x\leq 4\end{array}\right.$

fig_modos_representar_funcoes_26.png

Esboce, a partir deste, os gráficos das seguintes funções:

  1. $y=f\left( x+4\right) $

  2. $y=f\left( x\right) +4$

  3. $y=2f\left( x\right) $

  4. $y=-\dfrac{1}{2}f\left( x\right) +3.$

924   

Uma caixa retangular aberta com volume de $2 m^3$ tem a base quadrada. Expresse a área superficial da caixa como função de um dos lados da base.



Sejam $x$ a medida do lado da base da caixa e $z$ sua altura. O volume $V$ dessa caixa é dado por $V=x^2z$. Como $V=2$, temos $z=\dfrac{2}{x^2}$. A área superficial $A$ da caixa (sem tampa!) é $A=x^2+4xz$. Substituindo $z$ por $\dfrac{2}{x^2}$ obtemos $A=x^2+\dfrac{8}{x}$. 

649   

Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas.

  1. $f(x)=x^{3}+x$

  2. $f(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}$


  1. $f(-x)=(-x)^{3}+(-x) = -x^3-x = -(x^3+x) = -f(x)$, logo a função é ímpar.
  1. $f(-x)=(-x)^{4}+2(-x)^{3}+(-x)^{2} = x^4-2x^3+x^2$, que não é igual a $f(x)$ nem $-f(x)$, logo a função não é par nem ímpar.

642   

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

  1. $y=\sqrt[3]{x}$

  2. $y=\sqrt[3]{-x}$

  1. $\mathbb{R}$.
  2. $\mathbb{R}$.

641   

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

  1. $y=\sqrt{x^{2}-9}$

  2. $y=\sqrt{-x}$

  1. $\{x \in \mathbb{R}; x<-3 \text{ ou }x>3\}$.
  2. $\{x \in \mathbb{R}; x<0\}$.

921   

Esboce os gráficos de $f(x) =x^2-1$ e $ g(x) = x^2 +1.$

648   

Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas.

  1. $f(x)=\tan x$

  2. $f(x)=x^{2}+1$

925   

A área superficial de uma caixa retangular fechada de base quadrada é igual a $20 m^2$. Determine o volume desta caixa em função do comprimento do lado de sua base.

923   

Esboce o gráfico de $f(x) =x^2+6x+10.$ Use completamento de quadrados.


644   

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

  1. $y=\sqrt{x+5}$

  2. $y=\sqrt{3-2x}$


  1. $[-5,\infty[$
  2. $]-\infty,\frac{3}{2}]$

639   

Sejam $f(x)=\sqrt{\displaystyle{\frac{x+3}{x-3}}}$ e $g(x)=\displaystyle{\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}}$. Determine o domínio da função $f$ e o domínio da função $g$. É verdade que $f=g$?