| MA111 - Cálculo I | Números reais | Módulo de um número real

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Módulo de um número real

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596

Mostre que $x\neq y\Longrightarrow x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$ .

Note que $(x-y)^2+y^2>0$ sempre que $x\neq y$ . Daí, $x^2-2xy+y^2+y^2>0$ , que é equivalente a $2x^2+2y^2-x^2-2xy>0$ , que, por sua vez, é equivalente a x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.

886

Resolva a equação $|2x+1|=3$ .

Se $2x+1\geq0$ : $|2x+1| = 2x+1$ , logo $2x+1=3 \Rightarrow x = 1$ .
Se $2x+1<0$ : $|2x+1| = -(2x+1)$ , logo $-2x-1=3 \Rightarrow x = -2$ .
Portanto $x=1$ ou $x=-2$ .

600

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre-a, se verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.

$x<y\Longleftrightarrow 1/y<1/x$ .
$\sqrt{x^{2}}=x,\forall x\in \mathbb{R}$ .

1463

Prove que $|x+y|=|x|+|y| \Leftrightarrow xy \geq 0$ .

890

Dadas $a$ e $b$ constantes reais não nulas, esboce um gráfico da família de funções $f(x)=min\{|x-a|,|x-b|\}$ .

598

Mostre que $|x-y|<1/2,|x+2|<1/3\Longrightarrow |y+2|<5/6$ .

893

Enuncie e prove a desigualdade triangular envolvendo números reais.

888

Determine o conjunto solução da equação $|x|^2-5|x|+6=0$ .

896

Esboce o gráfico da função $f(x)=|(x-1)^2-3|$ .

597

Mostre que $|x|<x^{2}+1,\forall x\in \mathbb{R}$ .

894

Resolva as equações:

$|x-2|^2-5|x-2| =-6$

$|x-2|-|x-1| =0$

898

Qual o conjunto solução da equação $|x-2|-|x-1|+|x+3|=0$ ?

599

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre-a, se verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.

$|x-y|\leq |x|+|y|,\forall x,y\in \mathbb{R}$ .
$x<y\Longrightarrow x^{2}<y^{2}$ .

1462

Nos primórdios da geração comercial de eletricidade, havia uma disputa bastante acirrada entre duas formas de se distribuir energia elétrica: A disputa entre corrente alternada e corrente contínua. A corrente alternada provou-se mais eficiente para transmissão a longas distâncias, principalmente pela facilidade com que é possível elevar os níveis de tensão (e, portanto, para uma mesma potência transmitida, diminuir a corrente e consequentemente os diâmetros dos fios utilizados na transmissão, implicando em significativa economia).

Com o advento da eletrônica, na segunda metade do século XX, a corrente contínua reconquistou um papel fundamental no dia a dia da sociedade contemporânea, dado que circuitos eletrônicos são alimentados com corrente contínua. A conversão de corrente alternada é feita a partir de dispositivos chamados retificadores. Infelizmente, o funcionamento destes dispositivos foge do escopo desta disciplina.

As figuras abaixo representam uma corrente $i(t)$ antes e depois de um circuito:

Responda:

Dado que a função original seja $i_0(t)= \sin(2\pi\ 60\ t)$ , qual a relação entre o seu período $T_0$ e o período da corrente retificada $i_1(t)$ ?
Quais operações sobre a função $i_0(t)$ você realizaria para obter $i_1(t)$ ?
Qual o valor médio, em um período, de $i_0(t)$ ? Qual seria sua estimativa para o valor médio de $i_1(t)$ ?

899

Esboce o gráfico da função $f(x)=||(x-1)^2-3|-1|$ .

897

Esboce o gráfico da função $f(x)=|x^3+3x^2+3x-2|$ .

601

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre-a, se verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.

$x\neq y\Longrightarrow |x|\neq |y|$ .
$|x-y|\geq |x|-|y| \forall x,y\in \mathbb{R}$

1923

O volume de água em um tanque varia de acordo com a função $V(t)= 10 - |4-2t| -|2t - 6|$ , onde $V$ é o volume medido em $m^3$ após $t$ horas, contadas a partir de $8$ h da manhã.

Atribua um domínio para $V(t)$ , considerando que um volume negativo não tem sentido na realidade.
Faça o gráfico de $V(t)$ com $t$ no domínio estabelecido no item anterior.
Para que valores de $t$ o tanque está enchendo?
Para que valores de $t$ o tanque está esvaziando?
Em qual horário o volume do tanque é constante?

1724

Obtenha a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer no plano cartesiano. Use o teorema de Pitágoras. Veja o livro: Simmons, página $11$ .

887

Resolva a inequação $|ax-b|<r$ na variável x, com $r>0$ e $a\neq 0$ .

Se $ax-b\geq0$ : $|ax-b| = ax-b$ , logo $ax-b=r \Rightarrow x = \dfrac{b+r}{a}$ .
Se $ax-b<0$ : $|ax-b| = -(ax-b)$ , logo $-ax+b=r \Rightarrow x = \dfrac{b-r}{a}$ .
Portanto $x=\dfrac{b+r}{a}$ ou $x=\dfrac{b-r}{a}$ .

895

Resolva as equações:

$|x-1|^2-2|x-1| =-1$

$|x-10|-|x+10| =0$

892

Resolva a equação modular $||x-2|-|x-1|+1| =2$ .

891

Resolva a equação modular $|x-2|-|x-1| =2$ .

889

Dados dois números reais distintos $a$ e $b$ , podemos definir uma função $f(x)$ que chamaremos "distância ao conjunto $\left\lbrace a,b \right\rbrace$ " da seguinte forma: $f(x)$ é igual ao menor dos números $|x-a|$ ou $|x-b|$ . Se $a=-b=1$ , construa o gráfico de $f(x)$ .

884

Para quaisquer $x,y\in \mathbb{R},$ mostre que vale $|xy|=|x||y|.$

900

Sabendo que $x$ é um número negativo, simplifique a expressão $\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{x^2}+\sqrt{(4-3x)^2}$ .

885

Mostre que a equação $|ax-b|=r$ , com $r\geq 0$ e $a\neq 0$ , tem como soluções os elementos do conjunto $\left\lbrace \frac{b+r}{a},\frac{b-r} {a}\right\rbrace$ .

Temos duas possibilidades: $ax-b=r$ ou $ax-b=-r$ . Da primeira equação obtemos $x=\dfrac{b+r}{a}$ e da segunda $x=\dfrac{b-r}{a}$ .

595

Resolva a equação $\left| {\frac{3x+8}{2x-3}}\right| =4$ .

Temos duas possibilidades: $\frac{3x+8}{2x-3}=4$ ou $\frac{3x+8}{2x-3}=-4$ . Da primeira equação obtemos $3x+8=8x-12$ , i. e., $x=4$ . Da segunda equação obtemos $3x+8=-8x+12$ , que fornece $x=4/11$ .

1725

Substitua as interrogações por expressões envolvendo $\epsilon, x_0$ e $y_0$ de modo que a afirmação abaixo seja verdadeira. Se $y_0 \neq 0$ , $|y-y_0|<??$ e $|x-x_0|<??$ , então $y \neq 0$ e $\left| \dfrac {x}{y}-\dfrac{x_0}{y_0}\right|<\epsilon$ .