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Comprimento de arco
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Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.
$y=\int_{-2}^{x}{\sqrt{3t^4-1}dt},\quad -2 \leq x \leq -1$
Prove que o comprimento de um arco de ciclóide é igual a $8$ vezes o tamanho do raio do seu círculo gerador. A figura abaixo mostra dois arcos e meio de ciclóide.
- Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de uma astróide usando $a=1$.
- Ache o comprimento exato de uma astróide.
Ache o comprimento exato do arco formado pela curva $x=\dfrac{1}{8}y^4+\dfrac{1}{4}y^{-2}$ de $y=1$ até $y=4$.
Utilize a fórmula
\[
s\left( x\right) =\int_{a}^{x}\sqrt{1+\left( f^{\prime}\left( t\right)
\right) ^{2}}dt
\]
para mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio $R$ é $2\pi R$.
Uma circunferência de raio $R$ centrada na origem pode ser vista como a união dos gráficos das funções $f\left(t\right) =\sqrt{R^{2}-t^{2}}$ e $g\left( t\right) =-\sqrt{R^{2}-t^{2}}$, com $t\in\left[ -R,R\right] $ Por simetria, estes dois arcos têm o mesmo comprimento, digamos $L$, e o perímetro $p$ é dado por $p=2L$.
Considerando $f\left( t\right) =\sqrt{R^{2}-t^{2}}$ temos
que:
\[
f^{\prime}\left( t\right) =-\frac{t}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}\text{.}%
\]
Usando a fórmula acima temos que:
\begin{align*}
L & =\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\left( f^{\prime}\left( t\right) \right) ^{2}%
}dt\\
& =\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\frac{t^{2}}{R^{2}-t^{2}}}dt\\
& =\int_{-R}^{R}\sqrt{\frac{\left( R^{2}-t^{2}\right) +t^{2}}{R^{2}-t^{2}}%
}dt\\
& =\int_{-R}^{R}\sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-t^{2}}}dt\\
& =R\int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}dt
\end{align*}
Fazendo a mudança de variável $t=R\sin\theta$, com $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$, temos que:
\begin{align*}
\sqrt{R^{2}-t^{2}} & =\sqrt{R^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}\\
& =R\sqrt{1-\sin^{2}\theta}\\
& =R\cos\theta,\\
dt & =R\cos\theta d\theta
\end{align*}
Obtemos assim que:
\begin{align*}
L & =R\int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}dt\\
& =R\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{R\cos\theta}{R\cos\theta}d\theta\\
& =R\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\\
& \left. R\theta\right\vert _{-\pi/2}^{\pi/2}\\
& =\pi R
\end{align*}
e concluimos que:
\[
p=2L=2\pi R
\]
Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.
$y=(3/4)x^{4/3}-(3/8)x^{2/3}+5,\quad 0 \leq x \leq 3$
Mostre que o comprimento de arco total da elipse $x=a \cos t$, $y=b \sin t$, $0 \leq t \leq 2\pi$, para $a>b>0$ é dado por $4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1+3\sin^3 t}dt$.
Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.
$y=(1/3)\left(x^2+2\right)^{3/2},\quad 0 \leq x \leq 3$
Existe uma curva continuamente derivável $y=f(x)$ cujo comprimento ao longo do intervalo $0\leq x\leq a$ seja sempre $\sqrt{2}a$?
Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.
$y=x^{3/2},\quad 0 \leq x \leq 4$
A ciclóide é um caminho traçado por um ponto na borda de uma roda que gira ao longo de uma reta. Use as equações paramétricas de uma ciclóide para mostrar que o comprimento $L$ de um arco de uma ciclóide é dado pela integral $L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos\theta)}d \theta$
Lembrando que o comprimento do traçado de um gráfico de uma função $f(x)$ no intervalo $[a,b]$ é dado por $\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$, calcule o comprimento da circunferência de raio $r=1$.
Seja $y=f(x)$ uma curva suave em $\left[a,b\right]$. Prove que se houver números não-negativos $m$ e $M$, tais que $m \leq f'(x) \leq M$ para todo $x$ em $\left[a,b\right]$, então o comprimento de arco $L$ de $y=f(x)$ satisfaz a desigualdade $(b-a)\sqrt{1+m^2} \leq L \leq (b-a) \sqrt{1+M^2}$.