1383

De acordo com s primeira lei de Kirchhoff para circuitos elétricos $V=RI+L(dI/dt)$, onde as constantes $V$, $R$ e $L$ denotam a força eletromotriz, a resistência e a indutância, respectivamente, e $I$ denota a corrente no instante $t$. Se a força eletromotriz é interrompida no instante $t=0$ e se a corrente é $I_0$ no instante da interrupção, prove que $I=I_0 e^{-Rt/L}$.

1124

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^2 f(x)\ dx$
$\int_2^4 f(x)\ dx$
$\int_0^4 f(x)\ dx$
$\int_0^4 5f(x)\ dx$

$\pi$
$\pi$
$2\pi$
$10\pi$

1116

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^1 f(x)\ dx$
$\int_0^2 f(x)\ dx$
$\int_0^3 f(x)\ dx$
$\int_1^2 -3f(x)\ dx$

$-59$
$-48$
$-27$
$-33$

1123

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^1 (x-1)\ dx$
$\int_0^2 (x-1)\ dx$
$\int_0^3 (x-1)\ dx$
$\int_2^3 (x-1)\ dx$
$\int_1^4 (x-1)\ dx$
$\int_1^4 \big((x-1)+1\big)\ dx$

$-1/2$
$0$
$3/2$
$3/2$
$9/2$
$15/2$

1125

Seja:

$\int_0^2{f(x)dx} = 5$
$\int_0^3{f(x)dx} = 7$
$\int_0^2{g(x)dx} = -3$ e
$\int_0^3{g(x)dx} = 5$

A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

$\int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx$
$\int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx$
$\int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx$
Encontre valores para $a$ e $b$ tal que:
$\int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0$

$2$
$2$
$22$
$a=-\frac{5}{7}b,\quad b\in\mathbb{R}$

1656

Demonstre que não é possível que o valor de $\int_0^1\sin(x^2)\ dx$ seja $2$. Depois, utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, válida para $x \geq 0$, determine um limitante superior para esta integral.

Sabemos que $\sin x \leq 1,\,\forall\,x\in\mathbb{R}$. Assim, como $\int_a^b f(x)dx \leq max\_{a \leq x \leq b} f(x) (b-a)$, podemos dizer que $\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq 1$.

Utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, podemos determinar de maneira ainda mais precisa um limitante superior para a integral.

$\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq \int_0^1x^2\ dx = \frac{1}{3}x^3 \vert^1_0=\frac{1}{3}$

1120

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^1 (-2x+4)\ dx$
$\int_0^2 (-2x+4)\ dx$
$\int_0^3 (-2x+4)\ dx$
$\int_1^3 (-2x+4)\ dx$
$\int_2^4 (-2x+4)\ dx$
$\int_0^1 (-6x+12)\ dx$

3
4
3
0
$-4$
9

1119

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

$ \int_{0}^{2} 5x^2\ dx$
$ \int_0^2 (x^2+3)\ dx$
$ \int_{1}^3 (x-1)^2\ dx$
$ \int_2^4 \big((x-2)^2+5\big)\ dx$

$40/3$
$26/3$
$8/3$
$38/3$

1258

Calcule a seguinte integral:

$\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx.$

1127

Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por $v(t) = -32t+96$; de uma altura de $64$ pés.

Qual a velocidade inicial do objeto?
Em que momento o objeto tem deslocamento nulo?
Quanto tempo leva para o objeto retornar a sua posição inicial?
Quando o objeto alcançará uma altura de $210$ pés?

$96ft/s$.
$6s$.
$6s$.
Nunca, a altura máxima é $208ft$.

1657

Demonstre que $2\sqrt{2} \leq \int_{0}^{1}{\sqrt{x+8}dx} \leq 8$.

1121

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^2 f(x)\ dx$
$\int_0^3 f(x)\ dx$
$\int_0^5 f(x)\ dx$
$\int_2^5 f(x)\ dx$
$\int_5^3 f(x)\ dx$
$\int_0^3 -2f(x)\ dx$

$-4$
$-5$
$-3$
1
$-2$
10

1122

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^2 f(x)\ dx$
$\int_2^4 f(x)\ dx$
$\int_2^4 2f(x)\ dx$
$\int_0^1 4x\ dx$
$\int_2^3 (2x-4)\ dx$
$\int_2^3 (4x-8)\ dx$

$4$
$2$
$4$
2
$1$
2

1654

Quais valores de $a$ e $b$ maximizam o valor de

$\int_a^b\left(x-x^2\right)dx$?

$a=0$ e $b=1$.

1868

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modoficações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$.

1755

Avalie a integral $\displaystyle \int_{-1}^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx$ sem fazer nenhuma conta.

1393

O calor específico de um metal como a prata é constante a temperaturas $T$ acima de 200° K. se a temperatura do metal aumenta de $T_1$ a $T_2$, a área sob a curva $y=c/T$ de $T_1$ a $T_2$ é chamada variação de entropia $\Delta S$, que é uma medida da desordem molecular do sistema. Expresse $\Delta S$ em termos de $T_1$ e $T_2$,

1117

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

$ \int_0^2 f(x)\ dx$
$ \int_2^4 f(x)\ dx$
$ \int_0^4 f(x)\ dx$
$ \int_0^1 f(x)\ dx$

$4/\pi$
$-4/\pi$
$0$
$2/\pi$

1382

Durante o primeiro mês de crescimento de produtos como milho, algodão e soja, a taxa de crescimento (em gramas/dia) é proporcional ao peso presente $W$. Para determinada espécie de algodão, $dW/dt=0,21W$. Preveja o peso de uma planta no término de um mês ($t=30$), se a planta pesa 70 miligramas no início do mês.

1756

Avalie a integral $\displaystyle \int_{-1}^1 (x^5+3) \sqrt{1-x^2} \, dx$ sem fazer nenhuma conta.

1757

Mostre que $\displaystyle \int_0^x \dfrac{\sin t}{t+1} \, dt > 0$

para todo $x>0$.

1257

Calcule a seguinte integral:
$ \int_4^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy$.

1128

Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por $v(t) = -32t+64$, de uma altura de $48$ pés.

Qual a velocidade máxima do objeto?
Qual o deslocamento máximo do objeto?
Em que momento ocorre o maior deslocamento do objeto?
Em que momento o objeto alcança a altura de $0$ pés?

Dica: encontre o momento no qual o deslocamento é $-48ft$

$64ft/s$
$64ft$
$t=2$
$t=2+\sqrt{7}\approx 4.65s$.

1126

Seja:

$\int_0^3{s(t)dt} = 10$
$\int_3^5{s(t)dt} = 8$
$\int_3^5{r(t)dt} = -1$ e
$\int_0^5{r(t)dt} = 11$

A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

$\int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt$
$\int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt$
$\int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt$
Encontre valores para $a$ e $b$ tal que:
$\int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0$

$22$
$-7$
$0$
$b=-\frac{11}{18}a,\quad a\in\mathbb{R}$

1118

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

$ \int_{-2}^{-1} f(x)\ dx$
$ \int_1^2 f(x)\ dx$
$ \int_{-1}^1 f(x)\ dx$
$ \int_0^1 f(x)\ dx$

$4$
$4$
$-4$
$-2$

1626

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modificações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$.

1655

Quais valores de $a$ e $b$ minimizam o valor de

$\int_a^b\left(x^4-2x^2\right)dx$?

Exercícios

A integral definida