| MA111 - Cálculo I | Aplicações da Derivada | Método de Newton

Exercícios

Método de Newton

Selecione os exercícios por

Dificuldade

Categoria

Outros

Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.

1621

Demonstre que, se $h>0$ , aplicando o Método de Newton para

$f(x)=\begin{cases} \sqrt{x},\quad \ \ x \geq 0\\ \sqrt{-x},\quad x <0 \end{cases}$ ,
a aproximação tende a $x_1=-h$ se $x_0=h$ e a $x_1=h$ se $x_0=-h$ .
Desenhe uma figura para mostrar o que ocorre.

1863

Mostre que a função $y=f(x)$ definida por $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x-r}, & \text{se} x \geq r \\ -\sqrt{r-x}, & \text{se} x<r \end{array}\right.$ tem a propriedade que para todo número real $a$ , se $x_1=r+a$ , então $x_2=r+a$ e, por outro lado, $x_1=r-a$ , então $x_2=r+a$ .

1862

Use o método de Newton para calcular a raiz positiva de $x^2+x-1=0$ com duas casas decimais de precisão.

1860

Considere uma cápsula esférica de $1cm$ de espessura cujo volume é igual ao volume do espaço oco dentro dela. Use o método de Newton para calcular o raio externo da cápsula com duas casas decimais de precisão.

1623

Estime $\pi$ através da aplicação do Método de Newton na equação $tg(x)=0$ . Qual cuidado deve ser tomado, neste caso, em relação à escolha do valor inicial?

1625

Algumas curvas são tão planas que, na prática, o Método de Newton não consegue se aproximar da raiz suficientemente para fornecer uma aproximação útil. Tente utilizar o Método de Newton em $f(x)=\left(x-1\right)^{40}$ com a estimativa inicial $x_0=2$ para observar a qualidade das aproximações. Utilizando recursos computacionais, observe o gráfico da função.

1861

Uma bola esférica oca de raio $2m$ tem densidade específica $\dfrac{1}{4}$ , de modo que flutua na água deslocando $\dfrac{1}{4}$ de seu próprio volume. Mostre que a profundidade $x$ à qual fica submersa é uma raiz da equação $x^3-6x^2+8=$ e use o método de Newton para calcular essa raiz com duas casas decimais de precisão. Sugestão: o volume de um segmento esférico de altura $h$ retirado de uma esfera de raio $r$ é $\pi h^2 \left(r-\dfrac{h}{3}\right)$ .

1622

Para calcular as coordenadas espaciais de um planeta, temos de resolver equações do tipo $x=1+0,5\sin(x)$ . O traçado da função $f(x)=x-1-0,5\sin(x)$ sugere que a função possui uma raiz próxima de $x=1,5$ . Utilize uma iteração do Método de Newton para melhorar essa estimativa, com $x_0=1,5$ .

1624

Suponha que, em uma aplicação do Método de Newton, o valor de $x_0$ escolhido coincidiu com uma raiz. Suponho que $f'(x_0)$ exista e não seja nula, o que acontecerá com $x_1$ e as aproximações subsequentes?

1859

Calcule $\sqrt{5}$ com duas casas decimais de precisão, resolvendo a equação $x^2-5=0$ e use esse resultado na fórmula quadrática para obter as raízes de $x^2+x-1=0$ .