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Teste da Derivada Primeira
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Seja $g\left( x\right) =\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$, onde $f\left( t\right) $ é a função cujo gráfico encontra-se abaixo.
\begin{equation*} f(t) = \sqrt{|t|}\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \end{equation*}
Determine os pontos de máximo e mínimo local de $g\left( x\right) $. Justifique a sua resposta
Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo:
$s(t) = 2t^3 + t^2-20t +4$
$f(x) = 4x^3-5x^2-42x + 7$
$g(w) = w^4-32w$
Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
$\displaystyle f'(x)=x^2(2x+1)(x-1)$;
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{9-4x^2}{\sqrt[3]{x+1}}$.
Mostre que as funções $f(x)=(x-1)^4$ e $g(x)=x^3-3x^2+3x-2$ têm pontos estacionários em $x=1$.
O que o teste da derivada primeira diz sobre a natureza destes pontos?
O efeito da luz sobre a taxa de fotossíntese pode ser descrito por $f(x)=x^a e^{(a/b)(1-x^b)}$ para $x>0$ e constantes positivas $a$ e $b$.
Mostre que $f$ tem um máximo em $x=1$.
Conclua que, se $x_0>0$ e $y_0>0$, então $g(x)=y_0f(x/x_0)$ tem máximo em $g(x_0)=y_0$.
O gráfico a seguir mostra a receita mensal da empresa Fidelis Ltda. nos últimos 12 anos. Durante aproximadamente quais intervalos de tempo a receita marginal foi crescente? E decrescente?
Considere a função $f$ cuja derivada é $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$.
Quais são os pontos críticos de $f$?
Em quais intervalos $f$ é crescente ou decrescente?
Em quais pontos $f$ assume valores máximos e mínimos locais?
Ache os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função $f(x)=x+3x^{2/3}$.
As funções da forma $$f(x)=cx^ne^{-x},\quad x>0,$$ onde $n$ é um inteiro positivo e $c=1/n!$ surgem no estudo estatístico do fluxo de tráfego.
Use um recurso gráfico computacional para gerar o gráfico de $f$ com $n=2,3,4$ e $5$ e faça uma conjectura sobre o número e a localização dos extremos relativos de $f$.
Confirme a sua conjectura usando o teste da derivada primeira.
O número relativo de moléculas de gás em um recipiente que se movem a uma velocidade de $v$ $cm/s$ pode ser calculado por meio da distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann, $F(v)=cv^2e^{-mv^2/(2kT)}$, sendo que $T$ é a temperatura em Kelvins, $m$ é a molécula e e $c$ e $k$ são constantes positivas. Mostre que o valor máximo de $F$ ocorre quando $v=\sqrt{2kT/m}$.
Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
$\displaystyle f'(x)=x^3(x^2-5)$;
$\displaystyle f'(x)=xe^{-x}$.
(Teste da Derivada Primeira) Suponha $f$ contínua em um ponto crítico $x_0$.
Se $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)<0$ em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ tem um máximo relativo em $x_0$.
Se $f'(x)<0$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ tem um mínimo relativo em $x_0$.
Se $f'(x)$ tiver o mesmo sinal $\displaystyle [f'(x)>0\ \text{ou}\ f'(x)<0]$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ não tem extremo relativo em $x_0$.
Esboce algumas curvas para mostrar que as três partes do teste da derivada primeira podem ser falsas, sem a hipótese de que $f$ é contínua em $x_0$.
Encontre $a$ e $b$ tais que a função $f(x)=x^3 +ax^2+b$ tenha um extremo relativo em $(2,4)$.
O gráfico a seguir mostra o custo hipotético $c=f(x)$ para fabricar $x$ itens. O chamado custo marginal é a mudança no custo total advinda da produção de uma unidade a mais do produto, para um certo volume de produção. Em aproximadamente qual nível de produção o custo marginal muda de decrescente para crescente?
Encontre os intervalos abertos nos quais $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$ é crescente e os intervalos abertos nos quais é decrescente.
Encontre os valores máximo e mínimo da função $f\left(x\right) =xe^{-x}$ no intervalo $\left[ -10,10\right]$.
$f^{\prime}\left( x\right) =e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}\left( 1-x\right) $.
Como $e^{-x}>0$ temos que $f\left( x\right) =0$ se e somente se $1-x=0$, ou seja, se $x=1$.
Os pontos de máximo e mínimo devem ser pontos onde $f^{\prime}\left( x\right) =0$ ou os extremos do intervalo.
Avaliamos:
$f\left( -10\right) =-10e^{10}$
$f\left( 1\right) =\frac{1}{e}$
$f\left( 10\right) =\frac{10}{e^{10}}$
Como
$-10e^{10}<\frac{10}{e^{10}}<\frac{1}{e}$
temos que o valor máximo é $f\left( 1\right) =\frac{1}{e}$ e o valor mínimo é $f\left( -10\right) =-10e^{10}$.