Exercícios
Funções polinomiais
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Encontre todos os números naturais $k$ para os quais a seguinte afirmação é verdadeira: Se $F(x)$ é um polinômio com coeficientes inteiros que satisfaz $0\leq F(c)\leq k$ para todo $c\in\{0,1,\ldots,k+1\}$ então $F(0)=F(1)=\cdots=F(k+1).$
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
Mestre Florindo, raizeiro famoso, vende suas garrafas medicinais por 5 reais, na feira de Caruaru.
Se ele vende $q$ unidades, então $R(q) = 5q$, que é a sua função receita.
Se ele tem um custo em torno de $40\%$ de sua receita, o seu custo pode ser estimado pela equação $C(q) = 2q$.
Se, além disso, o mestre gastou $R\$ 900,00$ em materiais para confecção do seu famoso produto, ele deverá vender $300$ garrafas para recuperar o seu custo total.
O lucro do mestre é dado pela função afim $L(q)=5q-900$.
- Verdadeiro.
- Verdadeiro.
- Verdadeiro, pois o lucro total $L(q)$ é $L(q)=R(q)-C(q)-900=3q-900$ e temos que $T(q)=0$ se $q=300$.
- Falso, $L(q)=3q-900$.
Na fabricação de um lote de peças de certo produto, o custo total é igual à soma de um valor fixo de $R\$ 400,00$ com o custo de produção unitário de $R\$ 0,50$. Se o preço unitário de venda dessas peças for de $R\$ 0,85$, qual o número mínimo de peças que devem ser fabricadas e vendidas para que se comece a ter lucro?
Encontre o número de polinômios de grau $5$ com coeficientes distintos pertencentes ao conjunto $\{1,2,\ldots,9\}$ que são divisíveis por $x^2-x+1$.
Um encanador $A$ cobra por serviço feito um valor fixo de $R\$ 60,00$, mais $R\$ 10,00$ por hora de trabalho. Um outro encanador $B$ cobra um valor fixo de $R\$40,00$ mais $R\$15,00$ por hora de trabalho. Considerando o menor custo para a realização de um trabalho, avalie a decisão de se contratar um ou outro encanador.
Enuncie e prove o Algoritmo de Briot-Ruffini. Dê exemplos.
Se $a$, $b$, $c$ são as raízes de $x^3-x-1=0$, calcule o valor de $\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}.$
Uma pequena indústria vende normalmente, a cada semana, $60$ caixas de certo produto, por $30$ reais a caixa. Foi feita uma experiência e observou-se que cada real de desconto nesse preço fez as vendas aumentarem em $5$ caixas. Assim, a experiência mostrou que, dentro de certos limites, a quantidade $C$ de caixas vendidas é uma função do desconto $x$, em reais. Determine uma expressão para essa função.
Enuncie o Teorema Fundamental da Álgebra (de Gauss).
"Qualquer polinômio $p(z)$ com coeficientes complexos de uma variável e de grau $n \geq 1$ tem alguma raiz complexa."
Um ponto no plano cartesiano é chamado ponto misto se uma de suas coordenadas é racional e a outra irracional. Encontre todos os polinômios com coeficientes reais tais que seus gráficos não contêm nenhum ponto misto.
Seja $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$, onde $n>1$ é um inteiro. Prove que $f(x)$ não pode ser expressa como um produto de polinômios não constantes com coeficientes inteiros.
Seja $P(x)$ um polinômio de coeficientes inteiros com grau $d>0$. Seja $n$ o número de inteiros distintos $k$ tais que $(P(k))^2=1$. Prove que $n\leq d+2.$
Sejam $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$, $b_1,b_2,\ldots,b_{100}$ números reais distintos. Uma tabela de dimensões $100\times 100$ é preenchida com esses números tal que o número $a_i+b_j$ é inserido na célula situada exatamente abaixo da interseção da $i$-ésima linha com a $j$-ésima coluna. Dado que em cada coluna o produto de todos os números é igual a $1$, prove que em cada linha o produto de todos os números é $-1$.
Encontre as raízes do polinômio $x^4-10x^3+17x^2-17x+6.$
Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais.
Demonstre a fórmula de Báskhara usada para resolução de equações polinomiais de grau $2$.
Uma das raízes da equação $x^2+mx+m^2-m-12=0$ é nula, e a outra é positiva. Qual o valor do parâmetro $m$?
Seja $P(x)$ um polinômio de grau $n$ tal que $P(k)=k/(k+1)$ para $k=0,1,\ldots n$. Encontre $P(n+1)$.
Encontre todos os pares de inteiros $m,n\geq 3$ tais que existem infinitos inteiros positivos $a$ para os quais
$\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$ é um inteiro.
Seja $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ um polinômio não nulo com coeficientes inteiros tal que $P(r)=P(s)=0$ para certos inteiros $r$ e $s$, com $0<r<s$. Prove que $a_k\leq -s$ para algum $k$.
Mensalmente, pago pela prestação de minha casa $1/5$ do meu salário; metade do resto gasto em alimento e $1/3$ do que sobra coloco na poupança, restando-me ainda $R\$ 800,00$ para gastos diversos. Qual o valor colocado na poupança?
Mostre que a equação $x^2=x$ tem exatamente duas raízes reais.
A equação pode ser escrita na forma $x^2-x=0$, i.e, $x(x-1)=0$. As suas únicas raízes reais são $x=0$ e $x=1$. Uma outra forma de atacar este problema é perceber que os gráficos de $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ se intersectam exatamente duas vezes!
Encontre todas as funções polinomiais $f$ com coeficientes reais tais que $(x-27)f(3x)=27(x-1)f(x)$ para todo número real $x$.
O consumo de combustível de um automóvel é função da sua velocidade média. Para certo automóvel, essa função é aproximadamente dada por $y = 0,03x^2-2x + 20$, sendo $y$ o consumo de combustível, em mililitros por quilômetros por hora. Nessas condições, para esse automóvel, qual velocidade média corresponde a um consumo de $120 ml/km$?
Encontre as raízes do polinômio $x^4-6x^3+13x^2-12x+4.$
Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais
Uma das raízes da equação $x^2-x-a = 0$ é também raiz da equação $x^2+x-(a + 20)=0$. Qual é o valor de $a$?
Qual o número de raízes distintas da equação $(x^2 – 14x + 38)^2 = 11^2$?
$3$
Encontre as raízes do polinômio $x^4-7x^3+35x^2-50x+24.$
Duas pequenas fábricas de calçados, $A$ e $B$, têm fabricado, respectivamente, $3000$ e $1100$ pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica $A$ aumentar sucessivamente a produção em $70$ pares por mês e a fábrica $B$ aumentar sucessivamente a produção em $290$ pares por mês, em que mês a produção da fábrica $B$ superará a produção de $A$ pela primeira vez?
Seja $P(x)$ um polinômio com coeficientes inteiros. Suponha que existam quatro inteiros distintos $a,b,c$ e $d$ tais que $P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=5$. Prove que não existe inteiro $k$ tal que $P(k)=8$.