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Definição de função contínua
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Dê um exemplo para mostrar que o produto de uma função contínua por uma função descontínua, pode ser uma função contínua.
Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} 1, & & \text{se } x=0\\ \frac{\sin x}{x}, & &\text{se } x>0 \end{array}\right.$
- $x=0$
- $x=\pi$
- Sim.
- Sim.
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ g(x) = \frac{1}{1+x^2}$.
$(-\infty,\infty)$
Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\frac{x^2+5x+4}{x^2+3x+2}, & & \text{se } x\neq -1\\
3, & &\text{se } x=-1
\end{array}\right.$
- $x=-1$
- $x=10$
- Sim.
- Sim.
Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\frac{x^2-64}{x^2-11 x+24}, & & \text{se } x\neq 8\\
5, & & \text{se } x=8
\end{array}\right.$
- $x=0$
- $x=8$
- Sim.
- Não. $\lim_{x\to 8} f(x) = 16/5 \neq f(8) = 5$.
Mostre que a função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x}$ é contínua em seu domínio.
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ g(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$.
$(-1,1)$
Mostre que a função $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-8}{x-2}, & \text{se }x\neq 2 \\ 12, & \text{se }x=2 \end{array}\right. $ é contínua em seu domínio.
Responda os itens:
- Dada $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina (em termos de $\varepsilon $ e $\delta $) $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) =L.$ Ilustre elaborando um gráfico para uma função genérica.
- Qual é a condição sobre esse limite para que a função seja contínua?
Mostre, usando a definição, que a função dada por $f(x) = 3x$ é contínua para todo $x$ real.
Calcule $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2}{x} - 5\cos(\frac{1}{x^2+2x})}{-\frac{5}{x} + 2\cos(\frac{1}{x^2+2x})}$.
Existe algum número real $a$ tal que a função $f(x) = \left\{\begin{array}{ccl}\displaystyle\frac{\frac{2}{x} - 5\cos(\frac{1}{x^2+2x})}{-\frac{5}{x} + 2\cos(\frac{1}{x^2+2x})},& \mbox{se} & x\neq 0\\ a, & \mbox{se} & x=0 \end{array} \right.$ seja contínua?
Considere uma função contínua $\phi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que
\[ \forall \quad {x \in \mathbb{R}},\quad \phi(x)\geq x^2.\]
Mostre que existe $a\geq 0$ tal que $\left[a,+\infty\right[$ é o contradomínio de $\phi$.
Determine os valores para os quais a função \begin{align*} f(x) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+1,\text{ se }x\leq0 \\ \cos x, \text{ se } 0<x<1 \\ x^{2}+1, \text{ se }1 \leq x \end{array} \right.\end{align*} é contínua. Justifique sua resposta.
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$f(x) = x^2-3x+9$.
$(-\infty,\infty)$
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ f(t) = \sqrt{5t^2-30}$.
$(-\infty,-\sqrt{6}]\cup [\sqrt{6},\infty)$
$f$ não é contínua em $x=0$.
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ g(s) = \ln s$.
$(0,\infty)$
Conforme $x$ aumenta, tanto $1/x$ quanto $1/(ln\ x)$ tendem a zero. Dada a função: $f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{1/(ln\ x)}$ avalie $f(x)$ para valores cada vez maiores de $x$. Qual o padrão observado? Com o auxílio de recursos computacionais, observe o gráfico de $f(x)$ para valores grandes de $x$.
Sugestão: Procure, no site, o exercício 1527. Compare os resultados obtidos.
Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ a função
definida por
\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\
2x-1 & \text{se }x>1
\end{array}
\right. ,
\end{equation*}
e defina $g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow h}\dfrac{f\left(
x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$. Mostre que $g\left( x\right) $ é contínua.
Se você investir $1000$ reais em uma aplicação que paga $7$% de juros compostos em $n$ vezes por ano, então em $10$ anos sua aplicação terá no total $1000(1+0,07/n)^{10n}$ reais.
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta trimestralmente ($n=4$)?
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ($n=12$)?
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ($n=365$)?
Pesquise a taxa de juros paga pela poupança, e o período em que ela é composta. Calcule a quantidade de dinheiro que você terá se investir uma certa quantia de dinheiro (pense no dinheiro você tem disponível para investir) em $1$, $2$, $5$ e $10$ anos com essa taxa e período de composição. Interprete os resultados pensando em seu futuro!
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se os juros forem compostos continuamente, isto é, se $n\to\infty$?
$f(x)=1, x \neq 0$; $f(0)=2$.
Dê exemplo de uma função $f$ que seja descontínua, mas tal que $|f|$ seja contínua.
Prove que se $f$ e $g$ são ambas funções contínuas, então $f+g$ é contínua.
Seja $f$ uma função contínua e decrescente em $\left[a,b\right]$. Mostre que $f$ tem uma inversa decrescente em $\left[f(b),f(a)\right]$.
A afirmação: $`` \lim\limits_{x\rightarrow p^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow p^-} f(x)\Rightarrow f \mbox{ contínua em } p. "$ é verdadeira ou falsa? Justifique.
É falsa. Só seria verdadeira se o valor dos limites laterais fosse igual a $f(p)$.
Suponha que $\left| f\left( x\right) -f\left( 1\right) \right| \leq \left( x-1\right) ^{2}$. Demonstre que $f\left( x\right) $ é contínua em $1$.
Calcule:
- $ \lim\limits_{x\to 5^-} f(x)$
- $ \lim\limits_{x\to 5^+} f(x)$
- $ \lim\limits_{x\to 5} f(x)$
- $f(5)$
- $f$ é contínua em $x=5$?
1. $20$.
2. $25$.
3. Não existe.
4. $25$
5. Não.
Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x^3-x, & & \text{se } x<1\\
x-2, & & \text{se } x\geq 1
\end{array}\right.$
- $x=0$.
- $x=1$.
- Sim.
- Não: Os limites pela direita e pela esquerda não são iguais em $x=1$.
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ f(x) = \sin(e^x+x^2)$.
$(-\infty,\infty)$
Considere a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} a-x, & \text{se } x<-1 \\ x, & \text{se } -1\leq x<1 \\ \dfrac{2}{x}+b, & \text{se } 1\leq x \end{array} \right. . \end{align*}
- Encontre os limites laterais a direita e a esquerda de $f$ nos pontos $1$ e $-1.$
- Determine os valores de $a$ e $b$ que tornam $f$ contínua em toda a reta.
- Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left(x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\;\infty }f\left( x\right) $.
Justifique sua resposta.
$c=-1$ ou $c=2$.
Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ a função
definida por
\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2}, & \text{se }x\leq 1 \\
2x-1, & \text{se }x>1
\end{array}
\right. ,
\end{equation*}
e defina $g\left( x\right) =\lim\limits_{x \rightarrow h}\dfrac{f \left(x+h \right) -f \left( x\right) }{h}$.
Mostre que $g\left( x\right) $ é contínua.
\begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left( x+h\right) ^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2hx+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( 2x+h\right) =2x. \end{eqnarray*}
Já para $x>1$ temos que
\begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( x+h\right) -1\right] - \left[ 2x-1\right] }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2. \end{eqnarray*}
Para $x=1$ temos que
\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( 1+h\right) -1 \right] -1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2 \\ \lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{\left( 1+h\right) ^{2}-1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{2h+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\left( 2+h\right) =2. \end{eqnarray*}
Temos então que $g$ é bem definida também no ponto $x=1$ e, de modo geral, $g$ pode ser expressa por \begin{equation*} g\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} 2x & \text{se }x\leq 1 \\ 2 & \text{se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \end{equation*}
Como as funções $h\left( x\right) =2x$ e $p\left( x\right) \equiv 2$ são contínuas, temos que $g\left( x\right) $ é contínua para todo $x\neq 1$.
Além disto, como $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 1}2x=2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}g\left( x\right) $, segue que $\lim\limits_{x\rightarrow 1}g\left(x\right) =2$. Mas como $g\left( 1\right) =2$, segue que a função $ g\left( x\right) $ também é contínua no ponto $x=1$.
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ h(t) = \cos t$.
$(-\infty,\infty)$
Dê um exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$ que não seja contínua em $0$ mas que $\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}f\left( x\right) .$
Mostre que a função $f\left( x\right) =\sqrt[n]{x}$ é contínua em seu domínio.
A função pode tender a valores diferentes pela esquerda e pela direita, a função pode crescer de maneira ilimitada, ou a função pode oscilar em torno de um valor.
- Se $f$ é contínua em $[0,1)$ e $[1,2)$, então $f$ é contínua em $[0,2)$.
- A soma de funções contínuas também é contínua
- Se $f$ é contínua em $[a,b]$, então $\lim_{x\to a^-}f(x) = f(a)$.
- Falso
- Verdadeiro
- Falso
É verdade que, ao se esticar um elástico puxando-o por suas extremidades em direções opostas, algum ponto do elástico permanecerá em sua posição inicial? Justifique sua resposta.
Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.
f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-tg x} \end{align*}
- Determine o domínio de $f$.
- Estude $f$ quanto a continuidade.
Dê um exemplo de uma função que seja contínua em todos os pontos da reta, exceto nos pontos da forma $k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
$f(x)=1$, se $x=k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$; $f(x)=0$, caso contrário.
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ h(k) = \sqrt{1-k}+\sqrt{k+1}$.
$[-1,1]$
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ g(x) = \sqrt{x^2-4}$.
$(-\infty,-2]\cup [2,\infty)$
Mostre que a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-4x}{x^{2}-4}, & \text{se } x\neq \pm 2 \\ 2, & \text{se } x=2 \\ -3, & \text{se } x=-2 \end{array} \right. \end{align*} é contínua em todos os pontos, com exceção do ponto $x=-2$.
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ f(k) = \sqrt{1-e^k}$.
$(-\infty,0]$
Mostre que a função $f\left( x\right) =x^{n}$ é contínua em seu domínio.
O domínio da função é $\mathbb{R}$. Logo, para $x \in \mathbb{R}$, temos:
$\lim_\limits{x \to a} x^n = a^n$
e
$f(a) = a^n$.
Isto é, $\lim_\limits{x \to a} f(x) = f(a)$, e portanto a função é contínua.
Mostre, usando a definição, que a função $f\left( x\right) =ax+b$ é contínua em seu domínio.
$f$ é contínua em $x=0$.
Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:
$ f(x) = e^x$.
$(-\infty,\infty)$
Mostre que função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x^2}$ é contínua em seu domínio.
Dada uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina sua continuidade no ponto $p\in \mathbb{R}.$
Dê um exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$ que não seja contínua em $2$ mas que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left( x\right) .$
Uma das propriedades da potenciação é que $a^0=1$, $\forall a \neq 0$. Além disso, também sabe-se que $0^n=0,\quad \forall n>0$. A extensão destas regras para incluir, respectivamente, $a=0$ e $n=0$ levam a resultados conflitantes quanto ao valor de $0^0$(O que não implica em contradição, dado que as propriedades não foram estabelecidas para $a=0$ e $n=0$).
Sendo assim, avalie $x^x$ para $x=0,1;0,01;0,001;\ldots$. Qual o padrão observado? Com o auxílio de recursos computacionais, observe o gráfico de $y=x^x$ para valores positivos de $x$, se aproximando da origem. Para qual valor a função parece convergir para $x=0$?
Sugestão: Procure, no site, o exercício 1528. Compare os resultados obtidos.
- Se $f$ é contínua em $c$, então $\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c)$.
- Se $f$ é contínua em $c$, então $\lim_{x\to c}f(x)$ existe.
- Se $f$ é definida em um intervalo aberto contendo $c$, e $ \lim_{x\to c}f(x)$ existe, então $f$ é contínua em $c$.
- Verdadeiro
- Verdadeiro
- Falso
É possível que uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
seja tal que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left(x\right)$ e ao mesmo tempo não seja contínua em $2$? Justifique e/ou dê um exemplo.