Exercícios
Números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais
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Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{7x+9}$ é real.
Este número será real se o valor dentro da raiz for maior ou igual a zero.
$\begin{array}{rcl} 7x+9 &\geq& 0 \\ 7x &\geq& -9 \\ x &\geq& -\dfrac{9}{7}. \end{array}$
Portanto o conjunto dos valores de $x$ tais que $\sqrt{7x+9}$ é real é $\{x \in \mathbb{R} ; x \geq -9/7\}$.
Prove que $\sqrt{p}$, onde $p$ é primo, é um número irracional.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional? Justifique.
É irracional.
O produto das idades de três amigos adolescentes (entre $12$ e $19$ anos) corresponde a $4080$ anos. Qual a soma das três idades, em anos?
Decompondo o número $4080$ em fatores primos encontramos $4080=2^4 \cdot 15 \cdot 17=15 \cdot 16 \cdot 17$. Analisando essa decomposição, obtemos automaticamente que a única possibilidade que atende as exigências do enunciado é que as idades sejam $15,16$ e $17$ anos. A soma dessas idades é $15+16+17=48$ anos.
Classifique cada uma das afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas.
Nem todo primo é ímpar.
Todo inteiro par pode ser escrito na forma $n^2+2, n \in N$.
A soma de dois inteiros ímpares é sempre um inteiro par.
Todo inteiro ímpar pode ser escrito na forma $2n-9, n \in N$.
Se $n$ é um inteiro ímpar, então $n^2$ também é ímpar.
V
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V
V
Prove que $\log2+\log3$ é um número irracional.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Dica: Note que $\log2+\log3=\log6$. Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log6=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.
Encontre a fração geratriz das dízimas seguintes:
- 2,001111...
- 2,1010101010...
- 1,23333333...
- $\begin{array}{rcl} 2,001111... &=& 2 + 0,00111... \\ &=& 2 + \dfrac{0,111...}{100} \\ &=& 2 + \dfrac{1}{100} \dfrac{1}{9} \\&=& 2 + \dfrac{1}{900} \\ &=& \dfrac{1800+1}{900} \\ &=& \dfrac{1801}{900}. \end{array} $
- $\begin{array}{rcl} 2,101010... &=& 2 + 0,101010... \\ &=& 2 + \dfrac{10}{99} \\ &=& \dfrac{198+10}{99} \\ &=& \dfrac{208}{99}. \end{array} $
- $\begin{array}{rcl} 1,2333... &=& 1,2 + 0,0333... \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{1}{10}\dfrac{3}{9} \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{3}{90} \\&=& \dfrac{108+3}{90} \\ &=& \dfrac{111}{90}. \end{array} $
Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, qual o maior?
Note que todo múltiplo de $5$ pode ser escrito na forma $5n$, onde $n$ é algum número natural. Com essa ideia, podemos representar três múltiplos consecutivos de $5$ por: $5(n-1)$, $5n$ e $5(n+1)$. Como o triplo do menor é igual ao dobro do maior obtemos a equação $15(n-1)=10(n+1)$. Resolvendo essa equação encontramos $n=5$ e o maior número dentre os três é $5 \cdot 6=30$.
Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas.
No conjunto dos números inteiros existe um elemento que é menor do que todos os outros.
O número real representado por 0,37222... é um número racional.
Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
O quadrado de qualquer número real é um número racional.
F
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F
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A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Dica: Suponha que exista um número inteiro $n$ tal que $0<n<1$. Então...
Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{{\frac{5x-2}{x^{2}-4}}}$ é real.
Considere o número inteiro $P = 100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot \ldots \cdot 200$, produto de $101$ números inteiros sucessivos. Ao escrever-se $P$ como um produto de fatores primos, qual o número de vezes que o fator $7$ aparece?
Se duas torneiras, de igual vazão, enchem uma piscina em $5$ horas, quanto tempo três torneiras, de mesma vazão que as primeiras, encherão a piscina?
Como duas torneiras de igual vazão enchem a piscina em $5$ horas, uma única torneira encheria em $10$ horas. Ora, $3$ torneiras de igual vazão trabalhando juntas reduziriam esse tempo de $10$ horas dividindo-o por $3$. A resposta é $10/3$ horas.
Considere os números inteiros ``$abc$'' e ``$bac$'', em que $a$, $b$ e $c$ são algarismos distintos e diferentes de zero e $a>b$. A diferença $abc-bac$ é sempre um múltiplo de determinado número. Que número é esse?
Note que "$abc$"$=100a+10b+c$ e que "$bac$"$=100b+10a+c$. Assim, "$abc$"-"$bac$"$=90a-90b=90(a-b)$, que é um número sempre múltiplo de $90$ e de todos os divisores de $90$.
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.
A soma de dois números racionais é sempre um número racional.
A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.
V
F
V
Seja o número inteiro $AB$, no qual $A$ e $B$ são os algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos $A$ e $B$, obtém-se um número que excede $AB$ em $27$ unidades. Se $A+B$ é um quadrado perfeito, qual o valor de $B$?
Temos que "$BA-AB$"$=10B+A-10A-B=9B-9A$. De acordo com o enunciado essa diferença é igual a $27$. Logo, $B-A=3$. Temos, portanto, $7$ possibilidades: "$BA$"$=30, 41, 52, 63, 74, 85$ ou $96$. Dentre essas possibilidades, a única em que $A+B$ é um quadrado perfeito é o caso $B=6$, $A=3$.
Prove que $\sqrt{2}$ é irracional.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Determine qual o último número $N$, escrito na sucessão dos números naturais $12345678910111213...N$, sabendo que foram escritos $3849$ algarismos.
Mostre que qualquer intervalo de $R$ contém algum número irracional.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Existem, para doação a escolas, $2000$ ingressos de um espetáculo e $1575$ de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetáculos e todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se todos os ingressos, qual o número mínimo de escolas que poderão ser contempladas nessa doação?
Prove que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ é irracional.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Prove que a soma de um racional com um irracional é um irracional.
Quatro números inteiros positivos e distintos, $m, n, p$ e $q$, satisfazem a equação $(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4$.
Calcule a soma $m+n+p+q$.
A única maneira de escrevermos $4$ como produto de inteiros positivos, a menos de ordem dos fatores, é $4=1 \cdot 1\cdot 2 \cdot 2$. Assim, uma possibilidade é $m=n=6, p=q=5$. Há várias outras possibilidades, mas que não alterarão a soma $m+n+p+q=22$. De fato, se mudássemos os valores de $m,n,p$ e $q$, eles continuaríam sendo $1,1,2$ e $2$ em alguma ordem e a soma não mudaria, já que a adição é comutativa e associativa.
Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt[4]{{\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-4x-3}}}$ é real.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
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Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.
Um número racional qualquer tem sempre um numero finito de ordens (casas) decimais.
Um número racional qualquer tem sempre um numero infinito de ordens (casas) decimais.
Um número racional qualquer não pode expressar-se em forma decimal exata.
Um número racional qualquer nunca se expressa em forma de uma decimal inexata.
F
F
F
F
Se $0<x<y$ prove que $\sqrt[3]{y-x}>\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{x}$.
Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{x^{2}+x+3}$ é real.
Este número será real se o valor dentro da raiz for maior ou igual a zero. Como $x^2 + x + 3$ têm raízes complexas e concavidade para cima, seu valor é sempre maior que zero. Portanto $\sqrt{x^2 + x + 3}$ é real para qualquer $x$ real.
Prove que $\sqrt{3}$ é irracional.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Mostre que $x^{2}-xy+y^{2}\geq 0$, $\forall x,y\in \mathbb{R}^+$ e que vale a igualdade se e somente se $x=y=0$.
Note que $x^{2}-xy+y^{2}=x^2-2xy+y^2+xy=(x-y)^2+xy \geq 0$, pois $(x-y)^2 \geq 0$ e $xy \geq 0$. O único modo de ocorrer a igualdade é quando as duas parcelas forem iguais a zero, o que ocorre se, e somente se, $x=y=0$.
Prove que $\log3$ é um número irracional.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Dica: Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log3=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.
Calcule o valor de $\frac{2}{0,666 \ldots}$.
$$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{0.666 \ldots} &=& \dfrac{2}{\dfrac{6}{9}} \\ &=& 2 \dfrac{9}{6} \\ &=& \dfrac{9}{3} \\ &=& 3. \end{array}$$
Prove que $\log2$ é um número irracional.
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Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Dica: Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log2=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Dica: Pesquise sobre a diagonal de Cantor!
Seja $n$ um número natural dado por $n= 2000 \cdot x$. Determine um possível valor para $x$ que torna $n$ um quadrado perfeito.
Sabemos que quando decompomos um quadrado perfeito em fatores primos, os expoentes dos números primos na decomposição são necessariamente múltiplos de $2$. Ora, decompondo $2000$ obtemos $2000=2^4 \cdot 5^3$. Se multiplicarmos $2000$ por $5$ obteremos $10000=2^4 \cdot 5^4$, que é um quadrado perfeito, a saber $100^2$. Neste caso tomamos $x=5$, mas há infinitas outras possibilidades!
Prove que $\sqrt{6}$ é irracional.
Sejam $a, b$ racionais positivos. Prove que $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ é racional se, e somente se, $\sqrt{a}$ e $\sqrt{b}$ forem ambos racionais. (Sugestão: multiplique por $\sqrt{a}-\sqrt{b}$).
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
O princípio da Boa Ordenação diz que todo subconjunto não-vazio de $N$ possui elemento mínimo. Demonstre que $N$, com a relação $\leq$, verifica o Princípio da Boa Ordenação.
A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).
Se $a$ é racional e $b$ é irracional então podemos afirmar alguma coisa sobre $a+b$ em termos de racionalidade ou irracionalidade?
Podemos afirmar que $a+b$ sempre será irracional.