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MA111 - Cálculo I

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1621   

Demonstre que, se $h>0$, aplicando o Método de Newton para

$f(x)=\begin{cases}
\sqrt{x},\quad \ \ x \geq 0\\
\sqrt{-x},\quad x <0
\end{cases}$,
a aproximação tende a $x_1=-h$ se $x_0=h$ e a $x_1=h$ se $x_0=-h$.
Desenhe uma figura para mostrar o que ocorre.


676   

Mostre que a equação $x^2=x$ tem exatamente duas raízes reais.



A equação pode ser escrita na forma $x^2-x=0$, i.e, $x(x-1)=0$. As suas únicas raízes reais são $x=0$ e $x=1$. Uma outra forma de atacar este problema é perceber que os gráficos de $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ se intersectam exatamente duas vezes!


1383   

De acordo com s primeira lei de Kirchhoff para circuitos elétricos $V=RI+L(dI/dt)$, onde as constantes $V$, $R$ e $L$ denotam a força eletromotriz, a resistência e a indutância, respectivamente, e $I$ denota a corrente no instante $t$. Se a força eletromotriz é interrompida no instante $t=0$ e se a corrente é $I_0$ no instante da interrupção, prove que $I=I_0 e^{-Rt/L}$.


742   

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
  $y=x^{2},y^{2}=x$, ao redor do eixo $x$.


568   

Estude a função  $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}-9x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


889   

Dados dois números reais distintos $a$ e $b$, podemos definir uma função $f(x)$ que chamaremos "distância ao conjunto $\left\lbrace a,b \right\rbrace$" da seguinte forma: $f(x)$ é igual ao menor dos números $|x-a|$ ou $|x-b|$. Se $a=-b=1$, construa o gráfico de $f(x)$.



66   

Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} \cos x & x\leq 0 \\ x^2+3x+1 & x>0 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$.


1


1520   

Sabe-se que $f$ é contínua em $1$ e que $f(1)=2$. Mostre que existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in D_f$  vale $1-\delta<x<1+\delta \rightarrow \dfrac{3}{2}<f(x)<\dfrac{5}{2}$.


632   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 9e^{3x}+\cos x+x^{6},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =2\text{ .} \end{equation*}


204   

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

fig_lim_lat_11.png

  1. $ \lim\limits_{x\to -2^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to -2^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to -2} f(x)$
  4. $f(-2)$
  5. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
  6. $ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$
  7. $ \lim\limits_{x\to 2} f(x)$
  8. $f(2)$



  1. $2$
  2. $2$
  3. $2$
  4. $0$
  5. $2$
  6. $2$
  7. $2$
  8. Indefinido



1314   

Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de $8 \times 15 pol$ recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o volume?


1679   

Calcule a seguinte integral:

$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x^2+1}}$



Para resolver a integral, utilizamos a substituição $x=\tan(u)$, com $dx=\frac{du}{cos^2(u)}$. A integral equivalente, com os limites de integração escolhidos no primeiro quadrante, é:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{\cos^2(u)\left(\tan^2(u)+1\right)}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1}=u\rvert_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$


53   

Calcule os limites indicados dividindo o numerador e o denominador por uma potência conveniente de $x$. Como esses limites se relacionam com as mais altas potências do numerador e do denominador?

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^4-2}{3x^4-x^3+1}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{2x^6-2x+1}}{x^3-x^2+2}$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{x^2-3}}{x+1}$


1320   

Jane está em um barco a $2 km$ da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea, localizada $6 km$ ao longo de uma linha costeira retilínea desde o ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela rema a $2 km/h$ e caminha a $5 km/h$. Em que ponto da costa ela deve aportar para chegar à cidade no menor tempo possível?


1165   

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial $\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right)$ para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo. A  constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a soluçao dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?


652   

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

  1. $y=\frac{2|x+1|}{3}$

  2. $y=\sqrt{5-x^{2}}$


347   

Encontre o número de polinômios de grau $5$ com coeficientes distintos pertencentes ao conjunto $\{1,2,\ldots,9\}$ que são divisíveis por $x^2-x+1$.


594   

Prove que $\sqrt{6}$ é irracional.


678   

Encontre as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de $f(x)=\sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2-1}}$.


40   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\log _{3}x$.


$\infty$.


1637   

Na lei logística de crescimento admite-se que, no instante $t$, a taxa de crescimento $f'(t)$ de uma quantidade $f(t)$ seja dada por $f'(t)=Af(t)(B-f(t))$, com $A$ e $B$ constantes. Se $f(0)=C$, mostre que $f(t)=\dfrac{BC}{C+(B-C)e^{-ABt}}$.


1753   

  1. Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de $y=x^2$ no intervalo $[0,b]$ é $b^3/3$.

  2. Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.


1901   

A ciclóide é um caminho traçado por um ponto na borda de uma roda que gira ao longo de uma reta. Use as equações paramétricas de uma ciclóide para mostrar que o comprimento $L$ de um arco de uma ciclóide é dado pela integral $L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos\theta)}d \theta$
Cicloide


1797   

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{10x^2+9x+1}{2x^3+3x^2+x} \, dx$.


531   

Se uma bola de neve derrete de tal forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de $1cm^{2}/\min $, encontre a taxa segundo qual o diâmetro decresce quando o diâmetro for $5 cm$.


 


665   

Derive a função $p\left( x\right)  = \int_{2x^{-5}}^{\sin 3x}\left( v^{3}-2\right) \cos vdv$.


1730   

Suco de maracujá (um bom calmante natural) é derramado a uma taxa uniforme de $20$cm$^3/$s em um copo de vidro em forma de um cone truncado (veja a figura abaixo). Se os raios superior e inferior do copo forem de $4$ e $3$cm e a altura $12$cm, com que rapidez estará subindo o nível de suco quando ele estiver na metade do copo? (Sugestão: estenda o copo para baixo para formar um cone.)

suquinho.png


607   

Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

  1. ${\frac{3}{x}}+{\frac{x-3}{x-1}}<{\frac{2}{x-1}}$

  2. ${\frac{1}{x}}+{\frac{3}{2x}}\geq 5$


1575   

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2/x$.


1120   

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

fig_int_definida_5.png

  1. $\int_0^1 (-2x+4)\ dx$
  2. $\int_0^2 (-2x+4)\ dx$
  3. $\int_0^3 (-2x+4)\ dx$
  4.  $\int_1^3 (-2x+4)\ dx$
  5. $\int_2^4 (-2x+4)\ dx$
  6. $\int_0^1 (-6x+12)\ dx$


  1. 3
  2. 4
  3. 3
  4. 0
  5. $-4$
  6. 9


88   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to p}\frac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$



$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\to p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p} &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x^2-p^2)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x+p)(x-p)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} (x^2+p^2)(x+p) \\ &=& (p^2 + p^2)(p+p) \\ &=& 4p^3. \end{array}$


885   

Mostre que a equação $|ax-b|=r$, com $r\geq 0$ e $a\neq 0$, tem como soluções os elementos do conjunto $\left\lbrace \frac{b+r}{a},\frac{b-r} {a}\right\rbrace$.




Temos duas possibilidades: $ax-b=r$ ou $ax-b=-r$. Da primeira equação obtemos $x=\dfrac{b+r}{a}$ e da segunda$x=\dfrac{b-r}{a}$. 


829   

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$.


$f'(x)=1-ln(x)$.


1832   

O Princípio de Fermat na óptica estabelece que a luz, viajando de um ponto para outro, segue aquele caminho  para o qual o tempo total de percurso é mínimo. Em um meio uniforme, os caminhos de "tempo mínimo" e de "menor distância" vêm a ser iguais; assim sendo, se não obstruída, a luz viaja em linha reta. Suponha que temos uma fonte de luz (ponto $A$), um espelho plano e um observador (ponto $B$) em um meio uniforme. Se um raio de luz deixa a fonte, bate num espelho e vai até o observador, então a sua trajetória consiste de dois segmentos de reta, conforme ilustrado na figura abaixo. De acordo com o princípio de Fermat, a trajetória é tal que o tempo gasto no percurso é mínimo ou, como o meio é uniforme, a trajetória será tal que a distância total percorrida de $A$ para $B$ é a menor possível. Supondo que o mínimo ocorre quando $\displaystyle dt/dx=0$, mostre que o raio de luz irá atingir o espelho em um ponto $P$, tal que o "ângulo de incidência" $\theta_1$ é igual ao "ângulo de reflexão" $\theta_2$.

Fig26_1.png


81   

Suponha que você tenha as seguintes informações sobre duas funções $f$ e $g$:

  1. $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = 0$

  2. $\lim\limits_{x\to 1} g(x) = 0$

  3. $\lim\limits_{x\to 1} f(x)/g(x) = 2$

O que você pode dizer sobre o valor de $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ quando $x \approx 1$?


806   

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =e^{x}\sin x\cos x$.


$f'(x) = \dfrac{1}{2} e^x ( \sin (2x) + 2 \cos (2x))$.


1189   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\left(  x^{2}-1\right)  ^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}.$


$f'(x) = \dfrac{x(x^2-1)(3x^2+5)}{(x^2+1)^{3/2}}$.


675   

Calcule a integral $\int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x}dx.$


1618   

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\ln(tg{x}+\cos{x})}{\sqrt{\ln(x^2+1)}}$.


$1$.


735   

Calcule o volume da esfera de raio $R$ de duas maneiras diferentes: a primeira através da rotação de um gráfico em torno do eixo $x$ e a segunda através da rotação de um gráfico em torno do eixo $y$.



1767   

Prove que $\log_{10} 2$ é irracional.


528   

Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento em ângulo reto, um seguindo a direção leste a uma velocidade de $90 km/h$ e o outro seguindo a direção sul, a $60 km/h$. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a $0,2 km$ do cruzamento e o segundo a $0,15 km$?




90   

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}.$


754   

É possível que uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
  seja tal que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left(x\right)$ e ao mesmo tempo não seja contínua em $2$? Justifique e/ou dê um exemplo.


1131   

Aproxime numericamente o seguinte limite

  $ f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$



  1.   \begin{array}{cc}
      x & f(x) \\ \hline
      2.9 & 132.857 \\
       2.99 & 12124.4 \\
        \end{array}
       A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =\infty$.
  2.     \begin{array}{cc}
      x & f(x) \\ \hline
       3.1 & 108.039 \\
       3.01 & 11876.4 \\
        \end{array}
        A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.
  3.   As tabelas parecem indicar que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =\infty$.


1905   

Seja $y=f(x)$ uma curva suave em $\left[a,b\right]$. Prove que se houver números não-negativos $m$ e $M$, tais que $m \leq f'(x) \leq M$ para todo $x$ em $\left[a,b\right]$, então o comprimento de arco $L$ de $y=f(x)$ satisfaz a desigualdade $(b-a)\sqrt{1+m^2} \leq L \leq (b-a) \sqrt{1+M^2}$.



818   

Sejam $f\left( x\right) $ e $g\left( x\right) $ funções
diferenciáveis e suponha que esta assuma os seguintes valores:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline x & f\left( x\right)  & g\left( x\right)  & f^{\prime }\left(
x\right)  & g^{\prime }\left( x\right) \\\hline
  0 & 1 & 1 & 5 & 1/3 \\\hline
  1 & 3 & -9 & -1/3 & -8/3 \\\hline
\end{array}$

Encontre as derivadas de:

  1. $f\left( x\right) -3g\left( x\right) $ em $x=0;$

  2. $f\left( g\left( x\right) \right) $ em $x=0;$

  3. $\left( x^{11}+f\left( x\right) \right) ^{-2}$ em $x=1;$

  4. $f\left( e^{\sin \left( x-1\right) }\right) $ em $x=1;$


  1. $4$
  2. $8/9$
  3. $-1/3$
  4. $-1/3$

942   

O que há de errado com a seguinte ``definição'' de limite?

"O limite de $f(x)$, quando $x$ tende a $a$, é $K$'' significa que para qualquer $\delta>0$, existe $\epsilon>0$ tal que $|f(x)-K|< \epsilon$, tem-se $|x-a|<\delta$."



$\epsilon$ deve ser apresentado antes, e a restrição $|x-a|<\delta$ implica em $|f(x)-K|< \epsilon$, e não o contrário.



1176   

Mostre que $x^{2}-xy+y^{2}\geq 0$, $\forall x,y\in R$ e que vale a igualdade se e somente se $x=y=0$.



1876   

Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$.



569   

Estude a função  $f\left( x\right) =1-e^{-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


1089   

Use suas próprias palavras para definir o significado de $\int{f(x)}\ dx$.


O símbolo $\int{f(x)}\ dx$ é chamado integral indefinida de $f$ e corresponde ao conjunto de todas as antiderivadas da função $f$.


1540   

Seja $f(x)=\sin{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.


$f'(x)=\cos(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.


330   

Uma das raízes da equação $x^2-x-a = 0$ é também raiz da equação $x^2+x-(a + 20)=0$. Qual é o valor de $a$?


786   

Calcule os valores de $a,b$ e $c$ de modo que as parábolas $y=x^2+ax+b$ e $y=-x^2 +cx$ sejam tangentes uma a outra no ponto $(1,2)$.


340   

Sejam $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$, $b_1,b_2,\ldots,b_{100}$ números reais distintos. Uma tabela de dimensões $100\times 100$ é preenchida com esses números tal que o número $a_i+b_j$ é inserido na célula situada exatamente abaixo da interseção da $i$-ésima linha com a $j$-ésima coluna. Dado que em cada coluna o produto de todos os números é igual a $1$, prove que em cada linha o produto de todos os números é $-1$.



1508   

Uma droga é administrada por via intravenosa para combater a dor. A função
$f(t)=90-52\ ln(1+t), \quad 0 \leq t\leq4$ 
fornece o número de unidades da droga que permanecem no corpo após $t$ horas.

  1. Qual foi o número inicial de unidades administradas?
  2. Quanto estará presente após $2$ horas?
  3. Esboce o gráfico de $f(t)$


793   

Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

$f\left( x\right) =\sqrt{x},\;p=9$.


$y=\dfrac{x+9}{6}$.


325   

Mensalmente, pago pela prestação de minha casa $1/5$ do meu salário; metade do resto gasto em alimento e $1/3$ do que sobra coloco na poupança, restando-me ainda $R\$ 800,00$ para gastos diversos. Qual o valor colocado na poupança?


72   

 Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função

  $f(x)=\frac{2 x^2-2 x-4}{x^2+x-20}$.


Assíntota horizontal em $y=2$; assíntotas verticais em $x=-5$ e $x=4$.


1289   

Utilize a fórmula

  \[
  s\left(  x\right)  =\int_{a}^{x}\sqrt{1+\left(  f^{\prime}\left(  t\right)
  \right)  ^{2}}dt
  \]
para mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio $R$ é $2\pi R$.



Uma circunferência de raio $R$ centrada na origem pode ser vista como a união dos gráficos das funções $f\left(t\right)  =\sqrt{R^{2}-t^{2}}$ e  $g\left(  t\right)  =-\sqrt{R^{2}-t^{2}}$, com $t\in\left[  -R,R\right]  $ Por simetria, estes dois arcos têm o mesmo comprimento, digamos $L$, e o perímetro $p$ é dado por $p=2L$.
  Considerando $f\left(  t\right)  =\sqrt{R^{2}-t^{2}}$ temos
  que:
  \[
  f^{\prime}\left(  t\right)  =-\frac{t}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}\text{.}%
  \]
  Usando a fórmula acima temos que:
  \begin{align*}
  L  & =\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\left(  f^{\prime}\left(  t\right)  \right)  ^{2}%
  }dt\\
  & =\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\frac{t^{2}}{R^{2}-t^{2}}}dt\\
  & =\int_{-R}^{R}\sqrt{\frac{\left(  R^{2}-t^{2}\right)  +t^{2}}{R^{2}-t^{2}}%
  }dt\\
  & =\int_{-R}^{R}\sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-t^{2}}}dt\\
  & =R\int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}dt
  \end{align*}

  Fazendo a mudança de variável $t=R\sin\theta$, com  $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$, temos que:
  \begin{align*}
  \sqrt{R^{2}-t^{2}}  & =\sqrt{R^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}\\
  & =R\sqrt{1-\sin^{2}\theta}\\
  & =R\cos\theta,\\
  dt  & =R\cos\theta d\theta
  \end{align*}

  Obtemos assim que:
  \begin{align*}
  L  & =R\int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}dt\\
  & =R\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{R\cos\theta}{R\cos\theta}d\theta\\
  & =R\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\\
  & \left.  R\theta\right\vert _{-\pi/2}^{\pi/2}\\
  & =\pi R
  \end{align*}
  e concluimos que:
  \[
  p=2L=2\pi R
  \]


1343   

Obtenha as assíntotas verticais de $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.




$x=0$.


198   

Mostre que $Q$ é um conjunto enumerável.


A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


Dica: Pesquise sobre a diagonal de Cantor!


1774   

A respiração tem um ciclo rítmico que consiste em períodos alternados de inalação e exalação. Em condições normais, um adulto tem um ciclo em média a cada $5$ segundos. Denotando por $V$ o volume de ar nos pulmões no instante $t$, a taxa de fluxo é dada por $\dfrac{dV}{dt}$.

  1. Se a taxa máxima de fluxo é $0,6$ L$/$seg, encontre valores de $a$ e $b$ para que a fórmula $\dfrac{dV}{dt}=a \sin (bt)$ modele a respiração com os dados acima.

  2. Utilize a expressão obtida para estimar a quantidade de ar inalada durante um ciclo completo de respiração.


1574   

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=1/x$.


$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, $f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$ e $f'''(x)=-\dfrac{6}{x^4}$.


553   

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.


1253   

Calcule a derivada de ordem $n$ da função $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$.


133   

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

  $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
  x^3-x,  & & \text{se } x<1\\
x-2, & & \text{se } x\geq 1
\end{array}\right.$

  1.  $x=0$.
  2. $x=1$.



  1. Sim.
  2. Não: Os limites pela direita e pela esquerda não são iguais em $x=1$.


1115   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(x) = 24x^2+2^x-\cos x$ e $f'(0)= 5$, $f(0) = 0$


$\frac{2 x^4 \ln ^2(2)+2^x+x \ln 2) (\ln 32-1)+\ln
     ^2(2) \cos (x)-1-\ln ^2(2)}{\ln ^2(2)}$



93   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to -1} \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+5}$.



$3/2$


1594   

A função $f(x)=|x|$ tem valor mínimo absoluto quando $x=0$, mesmo que $f$ não seja derivável em $x=0$. Isto é consistente com o Teorema de Fermat sobre máximos e mínimos locais?


1602   

O gráfico a seguir mostra o custo hipotético $c=f(x)$ para fabricar $x$ itens. O chamado custo marginal é a mudança no custo total advinda da produção de uma unidade a mais do produto, para um certo volume de produção. Em aproximadamente qual nível de produção o custo marginal muda de decrescente para crescente?

fig_deriv_prim_1.png


548   

Esboce o gráfico de $f(x)=x^4-5x^2+4$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.



520   

Uma escada de $10$ metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente a uma taxa constante de $0,6 m/s$, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a $6 m$ do solo?




216   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\cos x, & & \text{ se }  x<\pi \\
\sin x, & & \text{ se }  x\geq \pi
\end{array}
\right.$

  1. $ \lim\limits_{x\to \pi^-} f(x)$

  2. $ \lim\limits_{x\to \pi^+} f(x)$

  3. $ \lim\limits_{x\to \pi} f(x)$

  4. $f(\pi)$


  1. $-1$
  2. 0
  3. Não existe.
  4. 0



923   

Esboce o gráfico de $f(x) =x^2+6x+10.$ Use completamento de quadrados.



1525   

Resolva os itens:

  1. Prove que existe $r>0$ tal que $\cos{x}-1<\dfrac{\sin{x}}{x}-1<0$ para $0<|x|<r$.
  2. Calcule $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^2}$.


132   

 Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

  $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}  1,  & & \text{se } x=0\\  \frac{\sin x}{x}, & &\text{se } x>0  \end{array}\right.$

  1.  $x=0$
  2.  $x=\pi$


  1. Sim.
  2. Sim.


1414   

Um toro em forma de um cilindro circular reto de raio $a$ está apoiado sobre um lado. Remove-se do toro uma cunha fazendo-se um corte vertical e outro corte a um ângulo de 45°; ambos os cortes se interceptam no centro do toro (veja a figura). Ache o volume da cunha.

fig_vol_solido_qualquer_1.png


1196   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =3^{2x}\ln\left(  x^{2}\right)  .$


$2\ 3^{2 x} \log (3) \log \left(x^2\right)+\frac{2\ 3^{2 x}}{x}$


1652   

Um objeto é atirado do nível do mar para cima com uma velocidade inicial de $100m/s$.

  1. Supondo que a gravidade seja a única força que atua sobre este objeto superestime sua veocidade depois de $5$ segundos. Use $g=10m/s^2$.

  2. Calcule uma estimativa inferior para a altura atingida depois de $5s$.


843   

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{x\tan 3x}{x^{2}+4}$.


$y' =  -(2 x^2 \tan(3 x))/(x^2 + 4)^2 + (\tan(3 x))/(x^2 + 4) + (3 x \sec^2(3 x))/(x^2 + 4)$.


99   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 4}\sqrt{x}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$
  4. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$



1188   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\log_{2}\left(  2x\right)  \log_{3}\left(3x\right)  .$


$f'(x) = \dfrac{2 \ln x + \ln 6}{x \ln 2 \ln 3}$.


624   

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.


913   

Determine o conjunto de todos os números reais para os quais a expressão $\frac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt[3]{x-1}}$ está definida.



1581   

Dados $f(x) = 2x^2+4x-3$ e $x_0 = -0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.


1694   

Uma empresa deseja lançar uma tigela esmaltada de branco por dentro e de vermelho por fora. A camada de esmalte terá $0,5mm$ de espessura antes de ir ao forno. O departamento de produção quer saber a quantidade de cada esmalte que precisará dispor para produzir $5000$ tigelas. Ignorando desperdício e matéria prima não utilizada, dê a sua resposta em litros. Lembre-se de que $1\ cm^3 = 1m\ell$, logo $1\ell=1000cm^3$.

fig_area_rev_1.png


842   

Calcule a derivada da função:

$y=\sqrt{1+\sqrt{x}}$.


$y'=\dfrac{1}{4\sqrt{\sqrt{x}+1}\sqrt{x}}$.


837   

Determine a derivada da função:

$f\left( x\right) =\left( sen x+\cos x\right) ^{3}.$


$3 (\cos (x)-\sin (x)) (\sin (x)+\cos (x))^2$


1669   

Calcule a integral a seguir:

$\int{\cos^3 x\sin\ x dx}$


$\dfrac{1}{4}cos^4(x)+C$


1271   

Calcule a seguinte integral:
   $ \int_0^{2\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{16-x^2}}dx$.


1573   

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2x$.


$f'(x)=16x^3+2$, $f''(x)=48x^2$ e $f'''(x)=96x$.


635   

Se $f(x+1)=\frac{x-1}{\pi -x},$ ache $f\left( x\right) $ e encontre o domínio de $f$.



Calculando $f((x-1)+1)$:
$f((x-1)+1)=\dfrac{(x-1)-1}{\pi-(x-1)}$
$f(x) = \dfrac{x-2}{\pi+1-x}$.
O domínio de $f$ é o conjunto de números reais menos os pontos em que o denominador é zero. Calculando esses valores:
$\pi + 1 - x  = 0 \Rightarrow x = \pi + 1$.
Portanto o domínio de $f$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x \neq \pi + 1\}$.


134   

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

  $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\frac{x^2+5x+4}{x^2+3x+2}, & &  \text{se } x\neq -1\\
3, & &\text{se }  x=-1
\end{array}\right.$

  1. $x=-1$
  2. $x=10$


  1. Sim.
  2. Sim.


102   

Mostre que a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-4x}{x^{2}-4}, & \text{se } x\neq \pm 2 \\ 2, & \text{se } x=2 \\ -3, & \text{se } x=-2 \end{array} \right. \end{align*} é contínua em todos os pontos, com exceção do ponto $x=-2$.


963   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\tan \left( x-p\right) }{x^{2}-p^{2}}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\sin x-\sin p}{x-p}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\cos x-\cos p}{x-p}$


592   

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{7x+9}$ é real.



Este número será real se o valor dentro da raiz for maior ou igual a zero.
$\begin{array}{rcl} 7x+9 &\geq& 0 \\ 7x &\geq& -9 \\ x &\geq& -\dfrac{9}{7}. \end{array}$
Portanto o conjunto dos valores de $x$ tais que $\sqrt{7x+9}$ é real é $\{x \in \mathbb{R} ; x \geq -9/7\}$.


1751   

  1. Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de $y=x^3$ no intervalo $[0,b]$ é $b^4/4$.

  2. Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.


746   

Ache as assíntotas verticais e inclinadas; depois calcule os limites laterais nas assíntotas verticais da função $f\left( x\right) =\frac{x^{3}-3x-1}{x^{2}-x}.$


117   

Prove que se $f$ e $g$ são ambas funções contínuas, então $f+g$ é contínua.


839   

Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado:


$f\left( x\right) =e^{2x^{3}}+\cos \left( \sin \left( 3x\right)\right) ;$ avaliar em $f\,^{\prime }\left( 0\right) $.


$f'(x) = 6 e^{2 x^3} x^2 - 3 \sin(\sin(3 x)) \cos(3 x)$.

$f'(0) = 0$.


59   

Explique, usando propriedades de limites, porque $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}\not = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 2} (x^2-4)}{\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x-2)}$.

Note que somente podemos usar as propriedades de limite quando um limite existe e é finito. Além disso, lembre-se que limites que recaem na expressão indeterminada "$\frac{0}{0}$", podem existir ou não. Calcule os seguintes limites.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$

  2. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^2-2x}-\frac{x}{x-2}\right)$

  4.  $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\sqrt{t^2+4}-2}{t^2}$


941   

Calcule, por meio da definição, o limite $\lim_{x\to 2} x^3-1 = 7$.



Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-2|<\delta$, $|f(x)-7|<\epsilon$.
Considere $|f(x)-7|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-2|$:
\begin{gather*}
|f(x) -7 | < \epsilon \\
|x^3-1 -7 |<\epsilon \\
| x^3-8 | < \epsilon \\
| x-2 |\cdot|x^2+2x+4| < \epsilon \\
| x-3 | < \epsilon/|x^2+2x+4| \\
\end{gather*}
Como $x$ está próximo de $2$, podemos considerar $1<x<3$. Portanto
\begin{gather*}
1^2+2\cdot1+4<x^2+2x+4<3^2+2\cdot3+4 \\
7 < x^2+2x+4 < 19 \\
\frac{1}{19} < \frac{1}{x^2+2x+4} < \frac{1}{7} \\
\frac{\epsilon}{19} < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4} < \frac{\epsilon}{7} \\
\end{gather*}
Seja $\delta =\frac{\epsilon}{19}$. Então:
\begin{gather*}
|x-2|<\delta \\
|x-2| < \frac{\epsilon}{19}\\
|x-2| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\\
|x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot|x^2+2x+4|\\
\end{gather*}
Assumindo $x$ próximo de $2$, $x^2+2x+4$ é positivo e podemos eliminar o módulo do lado direito da equação.
\begin{gather*}
|x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot(x^2+2x+4)\\
|x^3-8| < \epsilon\\
|(x^3-1) - 7| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que desejávamos provar.


157   

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ contínua e tal que $f(x).f(f(x))=1$, para todo $x$. Se $f(1000)=999$, calcule $f(500)$.


534   

Dois corredores iniciaram uma corrida ao mesmo tempo e terminaram a corrida empatados. Prove que os dois corredores estiveram à mesma velocidade $v^*$, ainda que talvez em instantes diferentes da corrida.



87   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2-10 x+16}{x^2-x-2}$

  2. $\lim\limits_{x\to-2} \frac{x^2-5 x-14}{x^2+10 x+16}$

  3. $\lim\limits_{x\to-1} \frac{x^2+9 x+8}{x^2-6 x-7}$



  1. $-2$
  2. $-3/2$
  3. $-7/8$


841   

O que podemos dizer sobre uma função $f\left( x\right) $ tal

que $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }$ para todo $x$?



Pela aplicação direta da Regra da cadeia, temos que:

$\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para $f(x)$, portanto, temos que:

$f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para que a igualdade seja verdadeira, há duas possibilidades. Ou:

$f^{\prime}(x)=0,\,\forall x$

 i.e., a função é uma constante (o que resultaria em $0=0$). Ou: 

$f^{\prime}(x)=1,\,\forall x$

i.e., $f(x)=x+a$, sendo que $a$ é uma constante (o que resultaria em $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)$).


182   

Se duas torneiras, de igual vazão, enchem uma piscina em $5$ horas,  quanto tempo três torneiras, de mesma vazão que as primeiras, encherão a piscina?



Como duas torneiras de igual vazão enchem a piscina em $5$ horas,  uma única torneira encheria em $10$ horas. Ora, $3$ torneiras de igual vazão trabalhando juntas reduziriam esse tempo de $10$ horas dividindo-o por $3$. A resposta é $10/3$ horas.


1494   

Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

  1.  $f(x)=1/x^2$
  2.  $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$


38   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{1-2^{x}}{1-3^{x}}$.


$0$.


1731   

Em um reservatório cônico (com vértice para baixo), água é evaporada a uma taxa proporcional à área da superfície exposta ao ar. Mostre que a profundidade da água decresce a uma taxa constante que não depende das dimensões do reservatório.


532   

O raio $r$ e a altura $h$ de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume $V$. Num determinado instante, $h=3cm$ e $r=1cm$ e, neste instante, a altura está variando a uma taxa de $0,2cm/s$. A que taxa está variando o volume neste instante?


1549   

Se uma droga é injetada em uma corrente sanguínea, sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $C(t)=\frac{k}{a-b}(e^{-bt}-e^{-at})$, para constantes positivas $a$, $b$ e $k$.

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima?
  2. Que se pode dizer sobre a concentração após um longo período de tempo? 


1507   

Demonstre que $x^{ln(2)}=2^{ln(x)}$ utilizando propriedades de logaritmos e exponenciais. Utilizando recursos computacionais, observe os gráficos das duas funções, assim como a diferença entre elas. Qual seria uma explicação para o comportamento observado no gráfico de $f(x)=x^{ln(2)}-2^{ln(x)}$?


890   

Dadas $a$ e $b$ constantes reais não nulas, esboce um gráfico da família de funções $f(x)=min\{|x-a|,|x-b|\}$.



1758   

Enuncie e demonstre o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.


1553   

A corrente $I(t)$ em um circuito elétrico composto de um resistor e um indutor, no instante $t$, é dada por $I(t)=I_0e^{-Rt/L}$, onde $R$ é a resistência, $L$ a indutância e $I_0$ é a corrente no instante $t=0$. Mostre que a taxa de variação da corrente no instante $t$ é proporcional a $I(t)$.


547   

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-x^2+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.


1601   

Um atleta percorreu as $26,2$ milhas da maratona de Nova York em $2,2$ horas. Demonstre que em pelo menos duas ocasiões o maratonista correu a exatas $11mi/h$, supondo que as velocidades inicial e final tenham sido zero.


1728   

A naftalina pode ser utilizada como repelente de insetos, embora possa trazer malefícios à saúde. Este composto tem a capacidade de sublimar, isto é: passa do estado sólido diretamente para o gasoso. Se uma bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que o seu raio decresce a uma taxa constante.


700   

Calcule a integral imprópria $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx.$


$\pi/2$.


43   

Considere a função $f(x) = 2^x+10$. Calcule os seguintes limites e, depois, discuta se a função $f(x)$ tem assíntotas horizontais.

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$.

  2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$.


1. $10$.

2. $\infty$

Possui assíntota horizontal de equação $y=10$,


1909   

A cápsula cônica de reentrada de um veículo espacial é desenhada de tal forma que uma secção transversal tomada $x$ pés da ponta e perpendicular ao eixo de simetria é um círculo de raio $\dfrac{1}{4}x^2$ pés. Ache o volume do cone sabendo que o seu comporimento é de $20$ pés.



1903   

Uma hipociclóide de quatro cúspides (também chamada astróide) é a curva dada paramétricamente pelas equações $x=a\cos^3 \theta$ e $y=a \sin^3 \theta$.
  1. Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de uma astróide usando $a=1$.
  2. Ache o comprimento exato de uma astróide.



1785   

Teorema de Rolle: Seja $f$ uma função diferenciável em $(a,b)$ e contínua em $[a,b]$; se $f(a)=f(b)=0$, então há pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ tal que $f'(c)=0$. Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de $c$ naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.

  1.  $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-2},\quad [-1,1]$;

  2.  $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{4}{3x}+\dfrac{1}{3},\quad [1,3].$


1922   

Ache a área da superfície gerada fazendo girar a curva paramétrica $x=t^2,y=2t,0 \leq t\leq 4$, em torno do eixo $x$.


1307   

O limite $\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3(1+\sin x)$ existe? Explique.


194   

Dados os números naturais $a, b$, prove que existe um número natural $m$ tal que $m \cdot a > b$.


A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


1560   

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=e^x$ no ponto de abscissa $0$.


1616   

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x-\cos(x)}{x}$.


$1$.


1804   

Encontre os valores de $p$ tais que a integral $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{px} \, dx$ converge.


1249   

Seja $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$.

  1.   Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.

  2.   Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.

  3.   Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.

  4.   Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

  5.   Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.


  Considere $\frac{d}{dx}\left( \frac{x^{3}}{x^{2}-1}\right) =x^{2}\frac{x^{2}-3}{\left( x^{2}-1\right) ^{2}}$ e $\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(\frac{x^{3}}{x^{2}-1}\right) =2x\frac{x^{2}+3}{\left( x^{2}-1\right) ^{3}}$


575   

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x}{1+\tan x},x\in \lbrack 0,\dfrac{\pi }{2})$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


1665   

A aceleração de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $a=d^2s/dt^2 = \pi^2\sin\pi t\ m/s^2$ para qualquer $t$. Se $s=0$ e $v=8m/s$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=1\ s$.


144   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ h(t) = \cos t$.


  $(-\infty,\infty)$


1829   

Seja $f(x)=(x^3+1)/x$. Mostre que o gráfico de $y=f(x)$ tende à curva $y=x^2$ "assintotamente" no sentido de que $$ \lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x^2\right] = 0. $$ Esboce o gráfico de $y=f(x)$ mostrando o seu comportamento assintótico.


107   

Mostre que a função $f\left( x\right) =x^{n}$ é contínua em seu domínio.



O domínio da função é $\mathbb{R}$. Logo, para $x \in \mathbb{R}$, temos:

$\lim_\limits{x \to a} x^n = a^n$

e

$f(a) = a^n$.

Isto é, $\lim_\limits{x \to a} f(x) = f(a)$, e portanto a função é contínua.


613   

Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

$f\left( x\right) =\dfrac{\left( x-3\right) }{x^{2}+1}<0$.


1545   

 Demonstre as seguintes regras de derivação:

  1. $(\sin{x})'=cos{x}$
  2. $(\cos{x})'=-\sin{x}$
  3. $(tg{x})'=sec^2{x}$


1619   

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x+\cosh(x)}{x^2+1}$.


$\infty$.


744   

Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com lado $L$ e altura $h$.


1250   

Compute a derivada $f''(x)$ de $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.


$f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$.


1754   

  1. Mostre que, para toda parábola dada por $y=ax^2$, com $a>0$, temos: $$\displaystyle \int_0^b a x^2 \, dx = a \dfrac{b^3}{3}.$$

  2. Use este fato para provar que a área do setor parabólico delimitado por $y=ax^2$ e a reta $y=ab^2$ é igual a quatro terços da área do triângulo com vértices $(0,0)$, $(b,ab^2)$ e $(-b,ab^2)$. Este resultado é um caso particular do Teorema de Arquimedes sobre a área de um setor parabólico.


946   

Mostre que

  1. o limite de $f(x)=\dfrac{x-2}{|\,x-2|}$, quando $x\to 2$, não existe.
  2. o limite de $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+2, & x\geq -1 \\ 2x+1, & x<-1 \\ \end{array}\right.$, quando $x\to -1$, não existe.


143   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ g(s) = \ln s$.


  $(0,\infty)$


1564   

O efeito da luz sobre a taxa de fotossíntese pode ser descrito por $f(x)=x^a e^{(a/b)(1-x^b)}$ para $x>0$ e constantes positivas $a$ e $b$.

Mostre que $f$ tem um máximo em $x=1$.

Conclua que, se $x_0>0$ e $y_0>0$, então $g(x)=y_0f(x/x_0)$ tem máximo em $g(x_0)=y_0$.


556   

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =e^{2x}-e^{x}$.


844   

Calcule a derivada da função:

$y=\ln \sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$.


$y' = \sec x$.


1662   

Uma força de retardamento freia o movimento de uma massa presa a uma mola alinhada com o eixo $y$, de modo que a posição da massa no instante $t$ é
$y=3 e^{-t}\cos\ t,\ \ t\geq 0$.

Calcule o valor médio de $y$ no intervalo $ 0 \leq y \leq 2\pi$


Aproximadamente $0,2383$.


669   

Calcule a integral $\int_0^{1} xe^x dx$.


1


1688   

Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.

$y=(3/4)x^{4/3}-(3/8)x^{2/3}+5,\quad 0 \leq x \leq 3$


205   

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

fig_lim_lat_10.png

  1. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$
  4. $f(0)$


  1. $4$
  2. $-4$
  3. Não existe.
  4. $0$


848   

Calcule a derivada da função:


$y=\dfrac{2\left( 4+3\sqrt[3]{x}\right) \left( 2-\sqrt[3]{x}\right)^{3/2}}{5}$.


$y'=-\dfrac{\sqrt{2 - x^{1/3}}}{x^{1/3}}$.


1614   

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \ln{x}}{x+\ln{x}}$.


$\infty$.


1805   

Dependendo da função e limites de integração, é possível transformar uma integral imprópria em uma integral ``própria'' com mesmo valor, por meio de uma substituição apropriada.

  1. Ilustre esse processo calculando a integral $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \, dx$ por meio da substituição $u=\sqrt{1-x}$.

  2. Tente calcular diretamente a integral (utilize algum recurso computacional se a integral estiver muito difícil). Compare os resultados obtidos.


679   

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo $t$ ):$\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right) ,$ onde a constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a solução dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?


214   

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x+1, & &  \text{ se } x<1 \\
1,  & & \text{ se }  x=1\\
x-1, & &  \text{ se } x>1
\end{array}
\right.$

  1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$

  2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

  3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$

  4. $f(1)$


  1. 2
  2. 0
  3. Não existe
  4. 1


774   

Determine uma reta que seja tangente à elipse $x^{2}+2y^{2}=9$ e que intecepte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada $9/4$.


921   

Esboce os gráficos de $f(x) =x^2-1$ e $ g(x) = x^2 +1.$


1580   

Dados $f(x) = x^{-1}$ e $x_0 = 0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.



A linearização da função $f(x)$ em torno de um ponto $x_0$ nada mais é do que assumir que ela se comporta como uma reta que passa pelo ponto $(x_0,f(x_0))$ com inclinação $f'(x_0)$.

Neste caso temos $f(x)=x^{-1}$ e $f'(x)=-x^{-2}$. Linearizando a função em torno de $1$, temos $\frac{y-f(1)}{x-1}=f'(1)=\frac{y-1}{x-1}= -1$ portanto temos

$y=2-x$


1918   

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante quando se faz girar a área entre as curvas $y=2x-1$, $y=-2x+3$ e $x=2$ em torno do eixo $y$.


1914   

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante quando se faz girar a área entre as curvas $y=\cos(x^2)$, $x-0$, $x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi}$ e $y=0$ em torno do eixo $y$.



167   

Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.

Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.

Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.

Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.

O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:

  1. $f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
  2. $f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
  3. $f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.

O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).

Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = \cos x -\sin x$ no intervalo $[0.7,0.8]$.


A raiz aproximada é $x=0.78$.

  Os intervalos utilizados são:

  $[0.7,0.8] \quad [0.75,0.8] \quad [0.775,0.8]$

  $[0.775,0.7875]\quad [0.78125,0.7875]$

  (Alguns passos a mais mostrariam que $0.79$ é melhor, dado que a raiz é $\pi/4 \approx 0.78539$.)


1192   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =x^{3}\ln\left(  x^{2}\right)  .$


1328   

Sejam $x_0,c\in\mathbb R$ e considere a função $f(x)=e^{cx}$. Encontre $f'(x_0)$ usando a definição de derivada.


$ce^{cx_0}$.


931   

Esboce o gráfico das funções $f(x) = \log_2 x $ e $ f(x) = \log_\frac{1}{2} x$ num mesmo sistema cartesiano. Qual relação você observa entre os gráficos? Explique.



1803   

Se $f$ e $g$ são funções contínuas tais que $0 \leq f(x) \leq g(x)$, para $x\geq a$, temos:
Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ diverge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ diverge.

Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ converge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ converge e $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$.

  1. Mostre (graficamente e algebricamente) que para $x \geq 1$, temos $e^{-x^2} \leq e^{-x}$.

  2. Calcule a integral $\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-x}\, dx$.

  3. O que podemos afirmar sobre a integral $\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-x^2}\, dx$?


1822   

As curvas de crescimento logístico modelam a taxa de crescimento de uma certa população em função dos fatores ambientais. Em um período prolongado de tempo, a população tende a um valor limite que representa o máximo número de indivíduos que o espaço ou alimento pode sustentar. Estas curvas são da forma $$ y(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ onde $y$ é a população no momento $t$ ($t\geq 0$) e $A$, $k$ e $L$ são parâmetros positivos.

Fig23_2.original.png

Mostre que o ponto de inflexão da curva de crescimento logístico (figura acima) ocorre no tempo $t$ solução da equação $$ \dfrac{L}{2}=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ para $t$, ou seja, no instante $ t= \dfrac{\ln A}{k}$. 


1506   

Se Fidelis investisse $R\$1500$ em uma conta aposentadoria que rende $8\%$ de juros compostos anualmente, em quanto tempo este investimento isoladamente aumentará para $R\$5000$?


137   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ g(x) = \sqrt{x^2-4}$.



$(-\infty,-2]\cup [2,\infty)$


1672   

Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:

$\int{\frac{x^3 dx}{\sqrt{x^2+4}}}$


$\dfrac{1}{3}(x^2-8)\sqrt{x^2+4}+C$.


1800   

Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricasse um disco de metal circular com área de $1000cm^2$.

  1. Qual o raio do disco produzido?
  2. Se for permitido ao torneiro uma tolerância do erro de $\pm 5 cm^2$ na área do disco, quão próximo do raio ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio?
  3. Em termos da definição $\epsilon, \delta$ de $\lim\limits_{x \to a} f(x)=L$, o que é $x$? O que é $f(x)$? O que é $a$? O que é $L$? Qual valor de $\epsilon$ é dado? Qual o valor correspondente de $\delta$?



1685   

Demonstre que $\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\ dx}$ pode ser diferente de $\lim\limits_{b \rightarrow \infty }\int_{-b}^{b}{f(x)\ dx}$.


Para isto, mostre que
$\int_{0}^{\infty}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}$


diverge, e, portanto,
$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}$


também diverge. Depois, mostre que

$\lim\limits_{b \rightarrow \infty }\int_{-b}^{b}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}=0$


1919   

O laço de de $9y^2=x(3-x)^2$ é girado ao redor do eixo $y$. Calcule a área da superfície gerada por essa maneira.



1712   

  1. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N,+\infty)$, os valores da função $f(x)=1/x^2$ estejam no máximo a $0,1$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

  2. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N,+\infty)$, os valores da função $f(x)=x/(x+1)$ estejam no máximo a $0,01$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

  3. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(-\infty,N)$, os valores da função $f(x)=1/x^3$ estejam no máximo a $0,001$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

  4. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo  $(-\infty,N)$, os valores da função $f(x)=x/(x+1)$ estejam no máximo a $0,001$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.


1500   

Esboce as curvas exponenciais transladadas:
$y=2^x-1$ e $y=2^{-x}-1$.


123   

Classifique a veracidade das afirmações a seguir
  1. Se $f$ é contínua em $[0,1)$ e $[1,2)$, então $f$ é contínua em $[0,2)$.
  2. A soma de funções contínuas também é contínua
  3. Se $f$ é contínua em $[a,b]$, então $\lim_{x\to a^-}f(x) = f(a)$.



  1. Falso
  2. Verdadeiro
  3. Falso

196   

Prove que todo conjunto não-vazio de inteiros limitado superiormente contém um elemento máximo.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


901   

Resolva a equação $x^4-13x^2 + 36 = 0$.




Chamando $x^2=y$, transformamos a equação para:
$y^2 -13y + 36=0$. Resolvendo esta equação:
$\Delta = 13^2-4.1.36 = 25.$
$y = \dfrac{13 \pm \sqrt{25}}{2}.$ 
Assim as soluções são: $y = 9$ ou $y = 4$.
Substituindo em $y=x^2$:
$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Portanto as soluções são $x=-2$, $x=2$, $x=-3$ e $x=3$.


1875   

Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$.



1724   

Obtenha a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer no plano cartesiano. Use o teorema de Pitágoras. Veja o livro: Simmons, página $11$.


76   

Dê exemplo de duas funções, $f$ e $g$, para ilustrar que se $g(x)\le f(x)$ para todo $x$ suficientemente próximo de $a$, então $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\le\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$.


887   

Resolva a inequação $|ax-b|<r$ na variável x, com $r>0$ e $a\neq 0$.




Se $ax-b\geq0$: $|ax-b| = ax-b$, logo $ax-b=r \Rightarrow x = \dfrac{b+r}{a}$.
Se $ax-b<0$: $|ax-b| = -(ax-b)$, logo $-ax+b=r \Rightarrow x = \dfrac{b-r}{a}$.
Portanto $x=\dfrac{b+r}{a}$ ou $x=\dfrac{b-r}{a}$.


584   

Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das  desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

  1. $|2x-3|<5$

  2. $|4-x|\geq 1$


1384   

Um invertimento de \$500,00 da juro de 7% ao ano, capitalizado continuamente, e apót $t$ anos o investimento valerá $500e^{0,07t}$.

  1. Aproximadamente, quando o investimento valerá \$1000,00?
  2. Quando o valor do investimento estará crescendo à razão de \$50,00 por ano?


184   

Prove que $\sqrt{2}$ é irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


629   

Dentre todos os retângulos de perímetro fixo $L$, determine aquele de maior área. Justifique a resposta.


559   

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.


674   

Calcule a integral $ \int_{4}^{9}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx$.


609   

Sejam $x$ e $y$ dois números reais positivos. Demonstre que $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}.$



Elevando ambos os membros da expressão $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ ao quadrado obtemos $xy\leq \dfrac{x^2+2xy+y^2}{4}$. Simplificando chegamos a $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq0$. Como a última expressão obtida é verdadeira e todas as expressões são equivalentes entre si, segue o resultado. Esse resultado diz que a média geométrica entre dois dois números reais positivos é sempre menor que, ou igual, à média aritmética entre eles.


606   

Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

  1. $(2-5x)^{20}>0$

  2. ${\frac{x-3}{x-5}}>0$


185   

Prove que $\sqrt{3}$ é irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


142   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ f(x) = e^x$.



  $(-\infty,\infty)$


77   

Seja $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x-4} &\text{ se } x>4\\8-2x&\text{ if } x<4\end{array}\right.$.

Decida se $\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x)$ existe. Se o limite não existe, explique.


1609   

Se uma quantia $P$ é aplicada à taxa de juros de $100r \%$ ao ano, composta $m$ vezes por ano, então o montante, ao cabo de $t$ anos, é dado por $P(1+rm^{-1})^{mt}$. Considerando $m$ como um número real e fazendo m crescer indefinidamente, diz-se que a taxa é composta continuamente. Mostre que, neste caso, o montante após $t$ anos é $Pe^{rt}$.


741   

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
  $y=x^{2}-6x+10,y=-x^{2}+6x-6$, ao redor do eixo $y.$


1899   

Prove que se $f$ é contínua em $\left[a,b\right]$ , então $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)$ para algum $\xi \in \left[a,b\right]$.


731   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\ln \dfrac{x}{x+1}$.


$0$


695   

Calcule a integral $\int \frac{1}{x^2-x} dx$.


930   

Calcule, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

  1. $log_6 (36) +log_3 (6^4)$
  2. $8^{\frac {2} {3}}+\sqrt{log_2 (16)}+2^{2^3}+(2^2)^{3}$



748   

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$.


$2$.


540   

Prove que a equação $x^{3}-3x^{2}+6=0$ admite uma única raiz real, enquanto $x^{3}+x^{2}-5x+1=0$ admite $3$ raízes.



Para $f(x)=x^{3}-3x^{2}+6$ e $g(x)=x^{3}+x^{2}-5x+1$, queremos mostrar que $f(x)=0$ admite uma única raiz real enquanto $g(x)=0$ admite $3$ raízes.  Primeiramente, analisemos as raízes de $f(x)=0$. Temos:

$f'(x)= 3x^2-6x=x(x-2)$

$f''(x)=6(x-1)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<1$ e uma concavidade para cima para $x>1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $f(x)$  apresenta um máximo local em $x=0$ e um mínimo local em $x=2$. Como $f(2)=2$, temos que não há raiz alguma para $x>1$, dado que a função é uma concavidade para baixo neste intervalo. A única raiz real, portanto, é algum valor $x<1$. O conhecimento do máximo local em $x=0$ nos permite inclusive dizer que é algum valor $x<0$.


Repetiremos a análise para $g(x). Temos, portanto:

$g'(x)= 2x^2+2x-5=2(x+5/3)(x-1)$

$g''(x)=6(x+1/3)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $g(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1/3$ e uma concavidade para cima para $x>-1/3$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $g(x)$ apresenta um máximo local em $x=-5/3$ e um mínimo local em $x=1$. Como $g(0)=1$ e $g(1)=-2$, sabemos que há duas raízes reais  de $g(x)$ no intervalo aberto $x>0$. Como $g(x)$ claramente tende para $-\infty$ para $x\rightarrow \infty$, o valor de $g(0)$ nos diz que a terceira raiz real está localizada no intervalo $x<0$. O conhecimento do máximo local em $x=-5/3$ nos permite inclusive dizer que é algum valor no intervalo aberto $x<-5/3$


1114   

Encontre $f(\theta)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(\theta) = \sin \theta$ e $f'(\pi)= 2$, $f(\pi) = 4$


  $\theta-\sin (\theta)-\pi +4$


84   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi/4} \cos x\sin x$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \ln x$

  3. $\lim\limits_{x\to3} 4^{x^3-8x}$


1100   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \sec^2\theta\  d\theta$


 $\tan \theta+C$


1626   

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modificações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$.


1786   

  1.  Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, $$\sqrt{y}-\sqrt{x}<\dfrac{y-x}{2\sqrt{x}},$$ quando $0<x<y$.

  2.  Use o resultado anterior para mostrar que se $x$ e $y$ forem positivos, então $$ \sqrt{xy} < \dfrac{1}{2}(x+y).$$ (A média aritmética é maior que a média geométrica). 

  3.  Tente generalizar o resultado anterior para um conjunto amostral discreto de tamanho $n>2$.



964   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( 1+2x\right)^{\dfrac{1}{x}}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x}$


570   

Estude a função  $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


1166   

Encontre, se existirem, o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função $f(x)= \sqrt[3]{x^3-x^2},$ no intervalo $[0,1].$


1305   

Resolva os itens:

  1. Mostre que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\left( x\ln x\right) =0$;
  2. Utilize o item anterior para avaliar $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{x}.$


1650   

Um carro está em uma rodovia a uma velocidade constante de $60mi/h$ quando vê um acidente a frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 242 pés?


1663   

Calcule a seguinte integral:

$\int{e^{\sqrt{3x+9}}dx}$.


1659   

Demonstre que se $k$ é uma constante positiva, então a área entre o eixo $x$ e um arco da curva $y=\sin kx$ é $2/k$.


151   

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função derivável cuja derivada é sempre positiva e tal que $f(0)=1$ e $f(4)=2$. Use o TVM para mostrar que $f(2) \neq 2$.


58   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -3}\frac{1-x}{\sqrt{x^2+2}}$.



Como a função está definida em $x=-3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$\lim\limits_{x\rightarrow -3}\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{1-(-3)}{\sqrt{(-3)^2+2}} = \dfrac{4}{\sqrt{11}}$.


1710   

  1. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo $30$g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de $25$ L$/$min. Considerando o tempo $t$ em minutos, mostre que a concentração de sal $C$ em função de $t$ (em gramas por litro) é dada por:$$C(t) = \dfrac{30 t}{200+t}.$$

  2. O que acontece com a concentração para um tempo muito grande, isto é, para $t \to \infty$?


1502   

Esboce as curvas exponenciais transladadas:
$y=1-e^x$ e $y=1-e^{-x}$.


1513   

Dê os domínios e esboce os gráficos de $f+g$ e $\dfrac{g}{f}$ nos seguintes casos:

  1. $f(x)=x$ e $g(x)=x^2-1$.
  2. $f(x)=x$ e $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.


1684   

Calcule o valor de $p$ para a integral a seguir convergir:

$\int_{2}^{\infty}{\frac{dx}{x\left(ln\ x\right)^p}}$


1127   

Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por $v(t) = -32t+96$; de uma altura de $64$ pés.

  1. Qual a velocidade inicial do objeto?
  2. Em que momento o objeto tem deslocamento nulo?
  3. Quanto tempo leva para o objeto retornar a sua posição inicial?
  4. Quando o objeto alcançará uma altura de $210$ pés?


  1. $96ft/s$.
  2. $6s$.
  3. $6s$.
  4. Nunca, a altura máxima é $208ft$.


48   

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

  1. Se $ \lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 5$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.

  2. $\infty/0$ não é uma forma indeterminada.


  1. Verdadeira

  2. Verdadeira


518   

Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado à razão de $6\,cm^3/min$. A altura do cone é $24cm$ e o raio da base é $12cm$. Encontre a velocidade com que baixa o nível da água quando está a $10cm$ do fundo.


$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{1}{25 \pi}$ cm/min


1178   

Mostre que:

  1. $x\neq y\Longrightarrow x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.
  2. $|x|<x^{2}+1,\forall x \in \mathbb{R}$.



917   

Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função $f(x)=\frac{22x}{500+2x}$, em que $x$ é o número de residências e $f(x)$ é o número de carteiros. Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, qual o número de residências desse bairro, que as receberam?



Substituindo $f(x) = 6$ na expressão da função:

$6 = \dfrac{22 x}{500+2x}$
$\Rightarrow 6(500+2x) = 22x$
$\Rightarrow 3000 + 12x = 22x$
$\Rightarrow 10x = 3000$
$\Rightarrow x = 300$ residências.


181   

Seja o número inteiro $AB$, no qual $A$ e $B$ são os algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos $A$ e $B$, obtém-se um número que excede $AB$ em $27$ unidades. Se $A+B$ é um quadrado perfeito, qual o valor de $B$?



Temos que "$BA-AB$"$=10B+A-10A-B=9B-9A$. De acordo com o enunciado essa diferença é igual a $27$. Logo, $B-A=3$. Temos, portanto,  $7$ possibilidades: "$BA$"$=30, 41, 52, 63, 74, 85$ ou $96$. Dentre essas possibilidades, a única em que $A+B$ é um quadrado perfeito é o caso $B=6$, $A=3$.


625   

Uma página impressa deve ter $24$ $cm^{2}$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1 cm$ nos lados. Discuta a existência das dimensões (e calcule quando existir) daquelas que tem área total máxima e área total mínima.


55   

Sabemos que limites que tomam a forma indeterminada ``$\infty-\infty$" exigem um pouco mais de trabalho para serem calculados. Calcule, de forma adequada, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{2x^2-7}-x\right)$.


1801   

Na teoria de eletromagnetismo, o potencial magnético de uma bobina circular em um ponto de seu eixo é dado por:

$$\displaystyle u = \dfrac{2\pi N I r}{k} \int_a^{\infty} \dfrac{dx}{(r^2+x^2)^{3/2}},$$

onde $N$, $I$, $r$, $k$ e $a$ são constantes com significados físicos apropriados. Calcule $u$.


796   

Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição:

$f\left( x\right) =x^{2}+x$.


$f'(x)=2x + 1$.


1204   

Demonstre que a derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante.


1709   

Encontre os seguintes limites em termos do número $\alpha = \displaystyle \lim_{n \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$.

  1. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x}$.

  2. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)$.


1596   

Se uma função ímpar $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?


Ela terá um mínimo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação à origem.


1624   

Suponha que, em uma aplicação do Método de Newton, o valor de $x_0$ escolhido coincidiu com uma raiz. Suponho que $f'(x_0)$ exista e não seja nula, o que acontecerá com $x_1$ e as aproximações subsequentes?


758   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 7}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}$ usando uma estratégia algébrica simples e, em seguida, usando a regra de L'Hospital. Compare os resultados.


1323   

Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1,5$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível?


35   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\dfrac{5-x}{2x+3}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+3}$


  1.   $-1/2$
  2.   $0$

1273   

Calcule a seguinte integral:
    $\int{\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}dx}.$


1907   

Um retângulo com os lados paralelos aos eixos coordenados tem um vértice na origem e o vértice diagonalmente oposto está sobre a curva $y=kx^m$ no ponto onde $x=b$ ($b>0$, $k>0$, $m \geq 0$). Mostre que o quociente entre a área do retângulo compreendida entre a curva e o eixo $x$ depende de $m$, mas não depende de $k$ ou $b$.



31   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt[3]{3x^{3}+2x-1}}{\sqrt{x^{2}+x+4}}$.


  $\sqrt[3]{3}$


643   

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

  1. $y=\sqrt[3]{x-2}$

  2. $y=\displaystyle{\frac{1}{x^{2}-4}}$


1522   

Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto $I$ e $p \in I$. Suponha que $f(x) \leq f(p)$ para todo $x \in I$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}=0$, desde que o limite exista.


1118   

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
fig_int_definida_3.png

  1. $ \int_{-2}^{-1} f(x)\ dx$
  2. $ \int_1^2 f(x)\ dx$
  3. $ \int_{-1}^1 f(x)\ dx$
  4. $ \int_0^1 f(x)\ dx$


  1. $4$
  2. $4$
  3. $-4$
  4. $-2$


897   

Esboce o gráfico da função $f(x)=|x^3+3x^2+3x-2|$.



1267   

Calcule a seguinte integral:
  $ \int x^2\sin (\pi x)dx$.


$\dfrac{(2-\pi^2x^2)cos(\pi x+2 \pi xsin(\pi x)}{\pi^3}+C$.


554   

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+1$.


1495   

Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

  1.  $f(x)=|x|+1/x$
  2.  $f(x)=\sqrt{|x|}$


1247   

Seja $ f(x)=\frac{x^3}{|x^2-1|}.$

  1. Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.
  2. Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.
  3. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.
  4. Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
  5. Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.

32   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+3}\right)$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+3}\right)$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\right)$


  1. $0$
  2. $-\infty$
  3. $0$

1715   

Se você investir $1000$ reais em uma aplicação que paga $7$% de juros compostos em $n$ vezes por ano, então em $10$ anos sua aplicação terá no total $1000(1+0,07/n)^{10n}$ reais.

  1. Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta trimestralmente ($n=4$)?

  2. Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ($n=12$)?

  3. Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ($n=365$)?

  4. Pesquise a taxa de juros paga pela poupança, e o período em que ela é composta. Calcule a quantidade de dinheiro que você terá se investir uma certa quantia de dinheiro (pense no dinheiro você tem disponível para investir) em $1$, $2$, $5$ e $10$ anos com essa taxa e período de composição. Interprete os resultados pensando em seu futuro!

  5. Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se os juros forem compostos continuamente, isto é, se $n\to\infty$?


802   

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =x^{2}e^{x}$.


$f'(x)=e^x(x^2+2x)$.



Usando a regra da derivada do produto, temos que

\[f^\prime(x) = (x^2  e^x)^\prime = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime.\]

Como $(x^2)^\prime = 2x$ e $(e^x)^\prime = e^x$, então

\[(x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime = 2x e^x + x^2 e^x.\]

Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que

\[f^\prime (x) = e^x (x^2 + 2x).\]


1543   

Seja $f(x)=cossec{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.



Inicialmente, determinamos a primeira derivada da função $f$:

$f'(x)=-cossec(x)cotg(x)$.
Agora, substituímos $x$ por $\dfrac{\pi}{4}$ e obtemos

$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$=-cossec\(\dfrac{\pi}{4}\)cotg\(\dfrac{\pi}{4}\)=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot 1 = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$.





1526   

É verdade que, ao se esticar um elástico puxando-o por suas extremidades em direções opostas, algum ponto do elástico permanecerá em sua posição inicial? Justifique sua resposta.


115   

Considere uma função contínua $\phi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que

 \[ \forall \quad {x \in \mathbb{R}},\quad \phi(x)\geq x^2.\]


Mostre que existe $a\geq 0$ tal que $\left[a,+\infty\right[$ é o contradomínio de $\phi$.


784   

Consideremos a curva $y=-x^4 +2x^2+x$ e o ponto $P=(1,2)$ nessa curva. Verifique que a reta tangente a essa curva no ponto $P$ também é tangente à curva em outro ponto. Ache esse outro ponto.


1703   

Uma fonte de imprecisão nos cálculos feitos por computadores é a {\it subtração catastrófica}. Tal erro ocorre quando dois números aproximadamente iguais são subtraídos, e o resultado é usado como parte de outro cálculo.
Um exemplo: $(0,123456789012345-0,123456789012344)\times 10^{15}=1$.
Mas, na calculadora, obteríamos zero como resposta a esse cálculo pois ela armazena apenas 14 dígitos e os 14 primeiros dígitos são idênticos. Por vezes, pode-se evitar a subtração catastrófica fazendo um rearranjo algébrico das fórmulas. De todo modo, o melhor é estar atento à sua ocorrência, portanto, tome cuidado para resolver este exercício.


  1. Seja $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$. Faça uma conjectura sobre o limite de $f$ quando $x \to 0^+$ calculando $f$ nos pontos $x=0,1$, $0,01$, $0,001$, $0,0001$.

  2. Calcule $f$ nos pontos $x=0,00001$, $0,000001$, $0,0000001$, $0,00000001$, $0,000000001$, $0,0000000001$, e faça outra conjectura.

  3. Que falha isso revela sobre o uso da evidência numérica para fazer conjecturas sobre limites?

  4. Se você dispuser de um sistema de computação algébrica, um programa que pode efetuar cálculos numéricos ou simbólicos, use-o para mostrar que o valor exato desse limite é $\dfrac{1}{6}$. (Aqui, eu não posso pedir para calcular o limite à mão, de fato?)


145   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ f(k) = \sqrt{1-e^k}$.


$(-\infty,0]$


932   

Seja $a>0$. Esboce o gráfico das funções $f(x) = \log_a x $ e $ f(x) = \log_\frac{1}{a} x$ num mesmo sistema cartesiano. Qual relação você observa entre os gráficos? Explique.


1902   

Prove que o comprimento de um arco de ciclóide é igual a $8$ vezes o tamanho do raio do seu círculo gerador. A figura abaixo mostra dois arcos e meio de ciclóide.

Cicloide



339   

Encontre as raízes do polinômio $x^4-7x^3+35x^2-50x+24.$



1528   

Conforme $x$ aumenta, tanto $1/x$ quanto $1/(ln\ x)$ tendem a zero. Dada a função: $f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{1/(ln\ x)}$ avalie $f(x)$ para valores cada vez maiores de $x$. Qual o padrão observado? Com o auxílio de recursos computacionais, observe o gráfico de $f(x)$ para valores grandes de $x$.

Sugestão: Procure, no site, o exercício 1527. Compare os resultados obtidos.


836   

Determine a derivada da função:

$f\left( x\right) =e^{\cos \left( x^{2}\right)}.$



Pela regra da cadeia, temos que
$f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)$
Assim, escolhendo $f(x) = e^x$ e $g(x)=\cos(x^2)$, temos:
$(e^{\cos(x^2)}))' = e^{\cos(x^2)}(\cos(x^2))'$
Para calcular $(\cos(x^2))'$, temos que aplicar novamente a regra da cadeia. Desta vez, podemos escolher $f(x)=\cos(x)$ e $g(x)=x^2$.
Assim, 
$(\cos(x^2))'= -2\sin(x^2)x$
Portanto:
$(e^{\cos(x^2)}))' = -2 e^{\cos(x^2)}x\sin(x^2)$


1554   

 O modelo Jenss é considerado geralmente como a fórmula mais precisa para predizer a altura de uma criança em idade pré-escolar. Se $h(x)$ denota a altura (em cm) na idade $x$ (em anos) para $\frac{1}{4} \leq x \leq 6$, então $h(x)$ pode ser aproximada por $h(x)=79,041+6,39x-e^{3,261-0,993x}$.

  1. Preveja a altura e a taxa de crescimento quando uma criança atinge a idade de $1$ ano.
  2. Quando é maior e quando é menor a taxa de crescimento?


1670   

Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:

$\int{\frac{dx}{\sqrt{9+x^2}}}$


$sinh^{-1}(x/3)+C$.


756   

Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.


562   

Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+3x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


724   

Calcule o limite:


$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.


$-\infty$.


1532   

Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$. 



Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$.


1108   

 Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:

  $f'(x) = 5e^x$ e $f(0)= 10$


$5e^x+5$


1796   

Uma alternativa ao método das frações parciais é calcular integrais da forma

$$\displaystyle \int \dfrac{1}{ax^2+bx} \, dx$$

utilizando a substituição $u=a+\dfrac{b}{x}$. Mostre que com essa substituição a integral se torna:

$$\displaystyle \int \dfrac{1/x^2}{a+b/x} \, dx.$$


581   

Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

  1. $|x+5|\geq \sqrt{2}$

  2. $|x-1|\leq |x+1|$


1094   

 \item Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int  dt$



  $t+C$


135   

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

  $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
 \frac{x^2-64}{x^2-11 x+24}, & &  \text{se } x\neq 8\\
5, & & \text{se } x=8
\end{array}\right.$

  1. $x=0$
  2. $x=8$


  1. Sim.
  2. Não. $\lim_{x\to 8} f(x) = 16/5 \neq f(8) = 5$.


598   

Mostre que $|x-y|<1/2,|x+2|<1/3\Longrightarrow |y+2|<5/6$.


1698   

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva a seguir em torno do eixo indicado.

$y=\sqrt{2x-x^2}$,  $0,5\leq x \leq 1,5$, eixo $x$


892   

Resolva a equação modular $||x-2|-|x-1|+1| =2$.



1107   

Este problema busca analisar o porquê de
  \begin{equation*}
    \int{\frac{1}{x}\ dx} = ln\left|x\right| + C
  \end{equation*}

  1. Qual o domínio de $y = ln\ x$?
  2. Calcule $\frac{d}{dx}(ln\ x)$
  3. Qual o domínio de $y = ln(-x)$?
  4. Calcule $\frac{d}{dx}\left(ln(-x)\right)$
  5. Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.



54   

Calcule os seguintes limites. Pode ser útil usar a relação de inversão que há em relação às funções logarítmicas e exponenciais (isto é, $\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x$) e/ou gráficos.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log_3 x$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\ln x$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}e^x$


1897   

Se $f_{med}[a,b]$ denota o valor médio de $f$ no intervalo $\left[a,b\right]$ e $a<c<b$, mostre que
\begin{equation*}
f_{med}[a,b]=\dfrac{c-a}{b-a}f_{med}[a,c]+\dfrac{b-c}{b-a}f_{med}[c,b]
\end{equation*}



538   

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}+3}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.




1381   

Usa-se a técnica do carbono-14 para determinar a idade de espécimes arqueológicos ou geológicos. Este método baseia-se no fato de que o carbono-14, isótopo instável ($^{14}C$) está presente no $CO_2$ na atmosfera. As plantas assimilam carbono da atmosfera; quando morrem o $^{14}C$ acumulado começa a decair, com uma meia vida de aproximadamente 5700 anos. Medindo-se a quantidade de $^{14}C$ que resta em um espécime, é possível determinar quando o organismo morreu. Suponha que um osso fóssil acuse 20\% da quantidade de $^{14}C$ presente em um osso dos dias atuais. Dê uma aproximação da idade do osso fóssil.


1333   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4$

  2. $f(x)=1+x+x^2+\ldots +x^{1000000}$


  1. $F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$
  2. $F(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{x^1000001}{1000001}$

682   

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$.


654   

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

  1. $y=2-\sqrt{16-x^{2}}$

  2. $y=-1+\sqrt{6-(x-1)^{2}}$


1311   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$, onde $n$ é qualquer número natural.


593   

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{x^{2}+x+3}$ é real.



Este número será real se o valor dentro da raiz for maior ou igual a zero. Como $x^2 + x + 3$ têm raízes complexas e concavidade para cima, seu valor é sempre maior que zero. Portanto $\sqrt{x^2 + x + 3}$ é real para qualquer $x$ real.


617   

Determine o domínio da seguinte função:

$f\left( x\right) =\sqrt[4]{\dfrac{x}{x+4}}$.


$\left\{ x\geq 0\right\} \cup \left\{ x<-4\right\} $.


601   

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre-a, se verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.

  1. $x\neq y\Longrightarrow |x|\neq |y|$.

  2. $|x-y|\geq |x|-|y| \forall x,y\in \mathbb{R}$


1747   

Seja

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin(x)}{x}, &\text{ se } x\neq0,\\1, &\text{ se } x=0\end{array}\right..$$

Começando com o polinômio de Taylor de ordem $2n+1$ para $\sin x$, junto com a estimativa para o termo de resto $R_{n,1}(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-a){n+1}$, mostre que:

$$f(x) = \left( 1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!} + R_{2n,0,f}(x) \right),$$

onde:

$$|R_{2n,0,f}(x)| \leq \dfrac{|x|^{2n+1}}{(2n+2)!}.$$


544   

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.


733   

Calcule a área no plano entre os gráficos de $f\left( x\right) =x^{3}-x$ e $g\left( x\right) =sen\left( \pi x\right) $ no intervalo $[0,1]$.



Sabemos que, no intervalo $[0,1]$, $g(x)=\sin(\pi x)>0$. Uma análise das raízes de $f(x)=x^3-x$ nos mostra que no intervalo referido, $f(x)<0$. Assim,como não há mudança de sinal de $f(x)-g(x)$, o cálculo da área entre as curvas se resumo ao cálculo da integral definida

$\int_0^1 \left(g(x)-f(x)\right)\,dx= \left.\left(-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}-\frac{\cos (\pi  x)}{\pi }\right) \right\vert_0^1=\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi }$


644   

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

  1. $y=\sqrt{x+5}$

  2. $y=\sqrt{3-2x}$



  1. $[-5,\infty[$
  2. $]-\infty,\frac{3}{2}]$

653   

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

  1. $y=-\sqrt{7-x^{2}}$

  2. $y=1+\sqrt{10-x^{2}}$


1504   

Utilizando as leis de exponenciação, simplifique a expressão a seguir:
$9^{1/3}\cdot9^{1/6}$


1653   

Uma superfície é criada a partir de segmentos de reta perpendiculares traçados sobre um círculo de raio $a$, perpendiculares ao plano do círculo. O comprimento de um segmento correspondente a um ponto $p$ sobre o círculo é $ks$, sendo $k$ uma constante positiva e $s$ o comprimento de arco do círculo no sentido anti-horário de $(a,0)$ até o ponto $p$.

Determine a área desta superfície, conforme a figura a seguir, em função de $k$.

fig_area_1.png


110   

Mostre que a função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x}$ é contínua em seu domínio.


561   

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da função  $f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{cc} e^{-\dfrac{1}{x^{2}}} & \text{se }x\neq 0 \\ 0 & \text{se }x=0 \end{array} \right. $


1337   

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{sen(cosx)}{sec(x)}$.



$\sin(1)$.


542   

Mostre que um polinômio de terceiro grau $p\left( x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\neq 0$) sempre possui uma raiz real. Ilustre através de contra-exemplo que isto não é válido para polinômios de grau par, ou seja, para todo $n=2k$ par, existem polinômios de grau $n$ que não possuem raiz real.


39   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right)$.


$\infty$.


574   

Estude a função $f\left( x\right) =e^{\dfrac{x-1}{x^{2}}}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


515   

Considere as funções trigonométricas hiperbólicas:

\begin{equation*}  \sinh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2};\;\cosh x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\text{.} \end{equation*}

  1. Mostre que $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$.

  2. Mostre que $\left( \sinh ^{\prime }x\right) ^{2}-\left( \cosh^{\prime }x\right) ^{2}=1$.


612   

Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

$f\left( x\right) =\left( 2x-3\right) \left( x^{2}+1\right) <0$.


101   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow -1}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+1}{x+1}}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^{2}-1}$



651   

Sejam $f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g(x)=\sqrt{x}$. Dê o domínio de cada uma das funções $f$, $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.


755   

Dê um exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$ que não seja contínua em $0$ mas que $\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}f\left( x\right) .$


52   

Construa os gráficos das funções indicadas e calcule os limites:

  1. $ f(x)=x^2$ quando $x\rightarrow\infty$

  2. $ h(x)=3x^5$  quando $x\rightarrow -\infty$

  3. $g(y)=\tan^{-1}(y)$ quando $y\rightarrow\infty$

  4. $f(x)=\frac{1}{x}$  quando $x\rightarrow -\infty$

  5. $f(x)=\frac{1}{x^7}$  quando $x\rightarrow \infty$

  6. $f(x)=\frac{1}{x^{-2}}$  quando $x\rightarrow \infty$


752   

Dada uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina sua continuidade no ponto $p\in \mathbb{R}.$


1630   

Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$, para $m$ inteiro positivo.


1135   

Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$. Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$ nos seguintes casos:

  1.    $y=xy$  
  2.    $y=x/y$


621   

Um funil de volume especificado deve ter a forma de um cone circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da base para que a quantidade de material empregado em sua fabricaçao seja a menor possível.


1593   

Suponha que em qualquer instante $t$ (em segundos) a corrente $i$ (em amperes) em um circuito de corrente alternada é $i = 2\ cos\ t+2\ sin\ t$. Qual a corrente de pico (magnitude máxim para este circuito?


1794   

A área de um setor circular com raio $r$ e ângulo central $\theta$ é $A=\frac{1}{2} r^2 \theta$. Demonstre esta fórmula. (Dica: assuma um ângulo $0<\theta<\pi/2$ e considere o círculo centrado na origem, de forma que tenha equação $x^2+y^2=r^2$. Então $A$ é a soma da área de um triângulo e a porção restante do setor cirular. Faça um esboço do gráfico para facilitar.)


1279   

Calcule a seguinte integral:
 $ \int_2^3 \frac{1}{x^2-1}dx$.


$\tanh ^{-1}(2)-\tanh ^{-1}(3)$


187   

Prove que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ é irracional.


A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


543   

Seja $f\left( x\right) =x^{3}+3x.$

  1. Estude o sinal de $f^{\prime }(x).$

  2. Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) .$

  3. Utilizando as informações acima esboce o gráfico de $f\left( x\right) .$




1789   

Prove que a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x, & \text{se x é racional}\\
-x, & \text{se x é irracional}
\end{array}\right.$ é contínua em $0$.



1184   

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\ln \left( 3\cos ^{5}\left( 4x\right)\right) .$


$f'(x) = -20\tan(4x)$.


1175   

O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva cúbica? Justifique.


1181   

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre se verdadeiro
ou dê contra-exemplo se for falso.

  1. $\sqrt{x^{2}}=x,\forall x \in \mathbb{R}$.
  2. $x\neq y\Longrightarrow |x|\neq |y|$.
  3. $|x-y|\geq |x|-|y| \forall x,y\in \mathbb{R}$.


1138   

Escreva a taxa de crescimento de $y$ em termos das taxas de crescimento das variáveis $k$, $l$ e $m$ para os seguintes casos. Assuma $\beta$ como uma dada constante.

  1.    $y=(klm)^{\beta }$  
  2.    $y=(kl)^{\beta }(1/m)^{1-\beta }$


605   

Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

  1. $(x-1)^{2}<1-x$

  2. $(2x-1)^{15}\leq 0$


335   

Seja $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$, onde $n>1$ é um inteiro. Prove que $f(x)$ não pode ser expressa como um produto de polinômios não constantes com coeficientes inteiros.


344   

Um ponto no plano cartesiano é chamado ponto misto se uma de suas coordenadas é racional e a outra irracional. Encontre todos os polinômios com coeficientes reais tais que seus gráficos não contêm nenhum ponto misto.


616   

Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

 $f\left( x\right) =\left\vert 2x^{2}-1\right\vert <1$.


519   

Enche-se um balão esférico a uma taxa de $4,5$ decímetros cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir $2$ decímetros.



1793   

Utilize uma substituição trigonométrica para mostrar que $\displaystyle \int \dfrac{u^2}{\sqrt{u^2 - a^2}} \, du = \dfrac{u}{2}\sqrt{u^2-a^2}+\dfrac{a^2}{2} \ln | u + \sqrt{u^2-a^2} | + C $.


641   

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

  1. $y=\sqrt{x^{2}-9}$

  2. $y=\sqrt{-x}$


  1. $\{x \in \mathbb{R}; x<-3 \text{ ou }x>3\}$.
  2. $\{x \in \mathbb{R}; x<0\}$.

74   

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função

  $f(x)=\frac{x^2+x-12}{7 x^3-14 x^2-21 x}$.


 Assíntota horizontal em $y=0$; assíntotas verticais em $x=-1$ e $x=0$.



56   

Verifique se os seguintes limites existem. Explique.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}2^{1/x}$.

  2. $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\sin x$.

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 2^-}\tan^{-1}\left(\frac{1}{2x-4}\right)$.


41   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)  ^{x+2}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right) ^{x}  $

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \dfrac{x+2}{x+1}\right)  ^{x}$


537   

Seja $g\left( x\right) =\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$, onde $f\left( t\right) $ é a função cujo gráfico encontra-se abaixo.

fig_deriv_prim_3.png







\begin{equation*} f(t) = \sqrt{|t|}\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \end{equation*}

Determine os pontos de máximo e mínimo local de $g\left( x\right) $. Justifique a sua resposta


1113   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = \sin x$ e $f(0)= 2$



  $-\cos x+3$


745   

Encontre o volume de um tronco de cone circular reto de altura $h$, raio da base inferior $R$ e raio da base superior $r.$


 


1916   

Em $1635$, Bonaventura Cavalieri, um aluno de Galileu, estabeleceu o seguinte resultado, chamado Princípio de Cavalieiri: se dois sólidos tiverem a mesma altura, e se as áreas de suas seções transversais tomadas paralelas e a iguais distâncias de suas bases forem sempre iguais, então os sólidos têm o mesmo volume. Use esse resultado para achar o volume do cilindro oblíquo da figura.



57   

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sqrt x$.


$0$.


1565   

O número relativo de moléculas de gás em um recipiente que se movem a uma velocidade de $v$ $cm/s$ pode ser calculado por meio da distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann, $F(v)=cv^2e^{-mv^2/(2kT)}$, sendo que $T$ é a temperatura em Kelvins, $m$ é a molécula e  e $c$ e $k$ são constantes positivas. Mostre que o valor máximo de $F$ ocorre quando $v=\sqrt{2kT/m}$.


1714   

  1. Defina $\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$ e $\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \infty$. Se estiver muito difícil, escreva em palavras.

  2. Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = \infty$.

  3. Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \infty$ se e somente se $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f\left(\dfrac{1}{x}\right) = \infty$.


1277   

Esboce o gŕáfico de $f\left(  x\right)  =\frac{e^{-x}}{x}$ .Para fazê-lo:

  1. Domínio da função

  2. Zeros e inteceptos

  3. Simetrias

  4. Assíntotas horizontais e verticais

  5. Intervalos de crescimento e decrescimento

  6. Pontos de máximo e mínimo

  7. Concavidade

  8. Pontos de inflexão



    1. Dom$\left(  f\right)  =\left\{  x\in\mathbb{R}|x\neq0\right\}  $

    2. $f\left(  x\right)  \neq 0,\forall x$

    3. A função não possui simetrias não triviais

    4. $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{-x}}{x}=0,\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}-e^{-x}=-\infty$ (este por L'Hôpital), $\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{e^{-x}}{x}=-\infty$ e $\lim_{\times\rightarrow1^{+}}\frac{e^{-x}}{x}=+\infty$


    5. \[
        f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{-e^{-x}x-e^{-x}}{x^{2}}=-e^{-x}\frac
        {x+1}{x^{2}}%
        \]
        e temos que
        \begin{align*}
        f^{\prime}\left(  x\right)    & >0\Leftrightarrow x<-1\\
        f^{\prime}\left(  x\right)    & <0\Leftrightarrow x>-1
        \end{align*}
        logo $f$ é crescente para $x<-1$ $\ $e decrescente para $x>-1$ (lembrando que $x\neq0$).
    6. O único ponto crítico de $f$ é $x=-1$, o qual é ponto de máximo, pois a derivada passa de positiva a negativa.


    7. \begin{align*}
        f"\left(  x\right)    & =\frac{\left(  e^{-x}x-e^{-x}+e^{-x}\right)
        x^{2}-\left(  -e^{-x}x-e^{-x}\right)  2x}{x^{4}}\\
        & =\frac{e^{-x}x^{3}+2e^{-x}x^{2}+2e^{-x}x}{x^{4}}\\
        & =\frac{e^{-x}}{x^{3}}\left(  x^{2}+2x+2\right)
        \end{align*}


        Como $e^{-x}$ e $x^{2}+2x+2$ são sempre positivos, temos que $f"\left(  x\right)  >0$ se $x>0$ e $f"\left(  x\right)  <0$ se $x<0$, ou
        seja, "concavidade para baixo" se $x<0$ e "concavidade para cima" se $x>0$
    8. Esboço do Gráfico:
      fig_graficos_3.png

    109   

    Mostre que a função $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-8}{x-2}, & \text{se }x\neq 2 \\ 12, & \text{se }x=2 \end{array}\right. $ é contínua em seu domínio.


    798   

    Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição:

    $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x+1}$.


    $f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}$.


    1727   

    Uma partícula se move na circunferência $x^2 + y^2 = a^2$ de tal modo que a componente $x$ de sua velocidade é $\dfrac{dx}{dt}=-y$. Encontre $\dfrac{dy}{dt}$ e determine se o sentido do movimento é horário ou anti-horário.


    1413   

    A aceleração (no instante $t$) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é $\sin^2 (t)\cos(t)$ $m/s^2$. Em $t=0$, o ponto está na origem e sua velocidade é 10 $m/s$. Determine sua posição no instante $t$.


    203   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_12.png

    Seja $-3\leq a\leq 3$ um número inteiro


    1. $ \lim\limits_{x\to a^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to a^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to a} f(x)$
    4. $f(a)$


    1. $a-1$
    2. $a$
    3. Não existe.
    4. $a$


    1605   

    Deixa-se cair de um balão um objeto de massa $m$. Se a força de resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade $v(t)$ do objeto no instante $t$, então pode-se mostrar que $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k>0$ e $g$ é uma constante gravitacional. Determine $\lim\limits_{k \to 0^+}s(t)$.


    1734   

    A trajetória de uma mosca é descrita pelas seguintes equações de movimento $$x=\dfrac{\cos t}{2+\sin t}, \quad y=3+\sin(2t)-2\sin^2t\quad (0\leq t\leq 2\pi).$$

    1.  Quais são os pontos mais alto e mais baixo do vôo?

    2.  A que distância à esquerda e à direita da origem ela voa?


    1859   

    Calcule $\sqrt{5}$ com duas casas decimais de precisão, resolvendo a equação $x^2-5=0$ e use esse resultado na fórmula quadrática para obter as raízes de $x^2+x-1=0$.



    6   

    Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 5+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\right)$.


    $5$


    826   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

      $f\left( x\right) =2^{x}$.


    $f'(x)=ln(2)2^x$.


    82   

    Calcule os limites:

    1. $\lim\limits_{x\to3} x^2-3x+7$

    2. $\lim\limits_{x\to3} x^3-3x-7$



    1. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
      $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^2-3x+7 = 3^2 - 3.3 + 7 = 7$.
    2. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
      $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^3-3x+7 = 3^3 - 3.3 - 7 = 11$.


    728   

    Calcule o seguinte limite:

    $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{1-2^{x}}{1-3^{x}}$.


    $0$.


    1101   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int (2t+3)^2\  dt$


      $4/3t^3+6t^2+9t+C$


    1488   

    Prove que a soma de um racional com um irracional é um irracional.


    888   

    Determine o conjunto solução da equação $|x|^2-5|x|+6=0$.



    1765   

    Prove que $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!} \leq e^x$. Conclua que $\lim\limits_{x \to \infty} e^x/x^n=\infty$.


    1775   

    Suponha que uma população de piolhos parasitas de aves, representada por $p$, é estimada no começo do ano de $2015$ em $100 000$ em uma certa região. Um modelo matemático de crescimento da população assume que a taxa de crescimento (em milhares) após $t$ anos é dada por

    $$p'(t)=(4+0,15t)^{3/2}.$$

    Faça uma estimativa para o número de piolhos para o início do ano de 2025.


    685   

    Calcule o limite justificando as passagens.

    $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$.


    597   

    Mostre que $|x|<x^{2}+1,\forall x\in \mathbb{R}$.


    188   

    Encontre a fração geratriz das dízimas seguintes:

    1. 2,001111...     
    2. 2,1010101010...   
    3. 1,23333333...



    1. $\begin{array}{rcl} 2,001111... &=& 2 + 0,00111... \\ &=& 2 + \dfrac{0,111...}{100} \\ &=& 2 +   \dfrac{1}{100} \dfrac{1}{9} \\&=& 2 + \dfrac{1}{900} \\  &=& \dfrac{1800+1}{900} \\  &=& \dfrac{1801}{900}. \end{array} $
    2. $\begin{array}{rcl} 2,101010... &=& 2 + 0,101010... \\ &=& 2 + \dfrac{10}{99} \\ &=& \dfrac{198+10}{99} \\  &=& \dfrac{208}{99}. \end{array} $
    3. $\begin{array}{rcl} 1,2333... &=& 1,2 + 0,0333... \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{1}{10}\dfrac{3}{9} \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{3}{90} \\&=& \dfrac{108+3}{90} \\  &=& \dfrac{111}{90}. \end{array} $


    1757   

    Mostre que $\displaystyle \int_0^x \dfrac{\sin t}{t+1} \, dt > 0$

    para todo $x>0$.


    1779   

    Seja $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$. Determine:

    1. $f(f(x))$
    2. $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$
    3. $f(cx)$
    4. $f(x+y)$
    5. $f(x)+f(y)$


    1806   

    Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $a$, mas que $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=\lim\limits_{x \to a^-}f(x)$.


    1615   

    Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln({\sin(x)})}{\ln({\sin(2x)})}$.


    1600   

    Um caminhoneiro estava em uma estrada cujo limite de velocidade era de $100km/h$. Ao passar no segundo pedágio, distante $120km$ do primeiro, o caminhoneiro recebeu uma multa, pois levou $30$ minutos para ir do primeiro ao segundo pedágio. Ele tentou contestar a multa, mas não obteve sucesso. Por que a multa foi justa?


    197   

    Sejam $a, b$ racionais positivos. Prove que $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ é racional se, e somente se, $\sqrt{a}$ e $\sqrt{b}$ forem ambos racionais. (Sugestão: multiplique por $\sqrt{a}-\sqrt{b}$).

    A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

    Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


    582   

    Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

    1. $|2x+1|\leq 1$

    2. $\left| {\frac{x}{x^{2}+1}}\right| \leq 1$


    807   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

    $\left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x$.


    $f'(x) = \left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x + \dfrac{e^x \tan x}{2 \sqrt{x}} + e^x(\sqrt{x} + 1) \sec^2 x$.


    1330   

    Considere a seguinte função:
    \begin{equation*}
      f(x)= \begin{cases}
            (x-b)^2 -2, \quad x\geq 0 
            a\sin x,\quad x<0.
            \end{cases}
    \end{equation*}

    1.  Encontre os valores de $a$ e $b$ tais que $f(x)$ seja contínua e diferenciável para todo $x\in\mathbb{R}.$
    2.  Encontre o valor de $b$ tal que a reta tangente $t$ à curva $f(x)$ no ponto $x=1$ possui inclinação 2. Escreva a equação de $t.$
    3.  Encontre o valor de $a$ tal que a reta $s$ normal à reta tangente à $f(x)$ no ponto $x=-\pi$ possui inclinação $-\frac{1}{2}$. Escreva a equação de $s$.



     Observamos que para todo $x\geq 0$ a função $(x-b)^2 -2$ é contínua e que para todo $x<0$ também a função $a\sin x$ é contínua. Logo, temos que verificar a continuidade no ponto $x=0$, isto é, deve acontecer que

    $\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x),$

    ou seja,

    $\lim_{x\rightarrow 0^-}a\sin x=\lim_{x\rightarrow 0^+} (x-b)^2 -2.$

    A relação anterior implica que $0= b^2-2$, ou seja $b=\pm\sqrt{2}.$ \\

    Afim de achar o valor de $a$, encontramos a derivada de $f(x)$. Observamos que, sendo $a\sin x$ e $(x-b)^2 -2$ funções diferenciáveis para todo $x\in \mathbb{R}$, a derivada de $f(x)$ é a seguinte:

    $f'(x)= \begin{cases}     
    2(x-b), \quad x> 0 
    a\cos x,\quad x<0.
    \end{cases}$

    Como queremos que $f(x)$ seja diferenciável no ponto $x=0$ também, temos que impor

    $\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)= \lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x),$

    ou seja,

    $\lim_{x\rightarrow 0^-}a\cos x= \lim_{x\rightarrow 0^+}2(x-b).$

    A relação anterior implica que $a= -2b$, então as duplas de valores para os quais $f(x)$ é contínua e diferenciável para todo $x\in \mathbb{R}$, são $(a,b)= (2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ ou $(a,b)=(-2\sqrt{2}, \sqrt{2}).$

    Usando a função derivada calculada no ponto anterior, temos que $f'(1)= 2(1-b),$ então, como a inclinação da reta tangente deve ser 2, obtemos $2(1-b)=2$ e logo $b= 1$. A equação de $t$ é $y= f(1)+ f'(1)(x-1)$, isto é $y= -2+1\cdot(x-1)=x-3.$

    Usando a função derivada calculada no ponto anterior, temos que $f'(-\pi)= a\cos (-\pi)= -a,$ então, como a inclinação da reta normal $s$ é $-\frac{1}{2}$, deve ser $-a=2$, ou seja $a=-2$. A equação de $s$ é $y= f(-\pi)-\frac{1}{2}(x+\pi)$, isto é $y= -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}\pi.$



    1325   

    Dentre todos os retângulos inscritos numa circunferência de raio $R$, quais as dimensões daquele que tem a maior área?


    328   

    Na fabricação de um lote de peças de certo produto, o custo total é igual à soma de um valor fixo de $R\$ 400,00$ com o custo de produção unitário de $R\$ 0,50$. Se o preço unitário de venda dessas peças for de $R\$ 0,85$, qual o número mínimo de peças que devem ser fabricadas e vendidas para que se comece a ter lucro?


    1823   

    1.  Explique por que a regra de L'Hospital  não se aplica ao problema $$ \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2\sin(1/x)}{\sin x}.  $$

    2.  Ache o limite acima.


    599   

    Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre-a, se verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.

    1. $|x-y|\leq |x|+|y|,\forall x,y\in \mathbb{R}$.

    2. $x<y\Longrightarrow x^{2}<y^{2}$.


    1563   

    Seja $g(x)=a^x$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=a^x \ln{a}$.


    1721   

    Imagine uma estrada em que o limite de velocidade é especificado a cada ponto dela. Isto é, existe uma certa função $L$ tal que o limite de velocidade no quilômetro $x$ da estrada é $L(x)$. Dois carros, $A$ e $B$, estão viajando nesta estrada; o carro $A$ com posição $a(t)$ e o $B$ com posição $b(t)$.

    1. Escreva uma equação para o fato de que o carro $A$ sempre anda no limite de velocidade. (A resposta não é $a'(t)=L(t)$.)

    2. Suponha que $A$ sempre ande no limite de velocidade, e que a posição de $B$ no tempo $t$ é a posição de $A$ no tempo $t-1$. Mostre que $B$ também anda no limite da velocidade em todo o tempo.

    3. Suponha agora que $B$ anda sempre a uma distância fixa atrás de $A$. Sobre quais condições $B$ sempre irá andar no limite de velocidade?


    1733   

    Suponha que as equações do movimento de um avião de papel, durante os $12$ segundos iniciais de vôo, são $$ x=t-2\sin t, \quad y=2-2\cos t\quad(0\leq t\leq 12). $$Quais são os pontos mais alto e mais baixo da trajetória  e em que instantes eles são atingidos?



    50   

    Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

      $f(x) = x^2\sin (\pi x)$

    fig_assintotas_horizontais_22.png

    1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$

    2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$


    1300   

    Como o parabolóide é obtido pela rotação ao redor do eixo $y$ temos que o raio $r:=d/2=4$ corresponde a variação de $x$ e a altura corresponde a variação de $y$, ou seja, para $x=4$ devemos ter $y=ax^{2}=4$ donde obtemos que $a=y/x^{2}=4/4^{2}=1/4$, e consideramos a parábola $y=\frac{x^{2}}{4}$.



    Como o parabolóide é obtido pela rotação ao redor do eixo $y$ devemos considerar $x$ como funçao de $y$, ou seja, $x=x\left(  y\right)  =2\sqrt{y}$. Temos então que:
      \begin{align*}
      x^{\prime}\left(  y\right)    & =\frac{1}{\sqrt{y}}\\
      \sqrt{1+\left(  x^{\prime}\left(  y\right)  \right)  ^{2}}  & =\sqrt
      {1+\frac{1}{y}}=\frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt{y}}%
      \end{align*}
      Temos então que a área $S$ da superfície é dada por:
      \begin{align*}
      S  & =\int_{0}^{4}2\pi\left(  2\sqrt{y}\right)  \frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt{y}%
      }dy\\
      & =4\pi\int_{0}^{4}\sqrt{y+1}dy
      \end{align*}
      Substituindo $u=y+1,~du=dy$ obtemos:
      \begin{align*}
      S  & =4\pi\int_{1}^{5}\sqrt{u}du\\
      & =4\pi\frac{2}{3}\left.  u^{3/2}\right\vert _{1}^{5}\\
      & =\frac{8\pi}{3}\left(  5^{3/2}-1\right)
      \end{align*}


    1491   

    Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

    1. $f(x)=2/x$
    2. $f(x)=\dfrac{2}{x-1}$


    618   

    Determine o domínio da seguinte função:

    $f\left( x\right) =\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.


    $\left\{ 1\leq x\leq 3\right\} $.


    219   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    x+1, & &  \text{ se } x\leq 1 \\
    x^2-5, & & \text{ se }  x>1
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$

    4. $f(1)$


    1. 2

    2. $-4$

    3. Não existe.

    4. 2


    578   

    Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =e^{-x^{2}}$ explicitando domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexdão, assíntotas, máximos e mínimos locais e globais.


    680   

    Calcule os seguintes limites laterais (justifique cada passo da resolução):

    1. $\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.$

    2. $\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.$


    945   

    Mostre, usando a definição de limite, que $\displaystyle \lim_{x\to 5} 3-x = -2$



    Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que, quando$|x-5|<\delta$, $|f(x)-(-2)|<\epsilon$.
    Considerando $|f(x)-(-2)|<\epsilon$:
    \begin{gather*}
    |f(x) + 2 | < \epsilon \\
    |(3-x) + 2 |<\epsilon \\
    | 5-x | < \epsilon \\
    -\epsilon < 5-x < \epsilon \\
    -\epsilon < x-5 < \epsilon. \\
    \end{gather*}
    Isso implica que podemos estabelecer $\delta =\epsilon$. Portanto:
    \begin{gather*}
    |x-5|<\delta \\
    -\delta < x-5 < \delta\\
    -\epsilon < x-5 < \epsilon\\
    -\epsilon < (x-3)-2 < \epsilon \\
    -\epsilon < (-x+3)-(-2) < \epsilon \\
    |3-x - (-2)| < \epsilon,
    \end{gather*}

    que é o que buscávamos provar.


    172   

    Calcule o limite a seguir:

      $\lim\limits_{x \to -\infty } e^x \sin(x)$



    Observe que $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ e, portanto, como $e^x \geq 0$, $-e^x \leq e^x \sin(x) \leq e^x$.


      Como $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ e $\lim\limits_{x \to -\infty} -e^x = 0$, então, pelo Teorema do Confronto temos $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x \sin(x) = 0$


    112   

    Suponha que $\left| f\left( x\right) -f\left( 1\right) \right| \leq \left( x-1\right) ^{2}$. Demonstre que $f\left( x\right) $ é contínua em $1$.


    799   

    Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição:

    $f\left( x\right) =1/x^{2}$.


    $f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}$.


    179   

    Considere os números inteiros ``$abc$'' e ``$bac$'', em que $a$, $b$ e $c$ são algarismos distintos e diferentes de zero e $a>b$. A diferença $abc-bac$ é sempre um múltiplo de determinado número. Que número é esse?



    Note que "$abc$"$=100a+10b+c$ e que "$bac$"$=100b+10a+c$. Assim, "$abc$"-"$bac$"$=90a-90b=90(a-b)$, que é um número sempre múltiplo de $90$ e de todos os divisores de $90$.


    165   

    Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.

    Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.

    Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.

    Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.

    O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:

    1. $f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
    2. $f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
    3. $f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.

    O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).

    Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = \sin x - 1/2$ no intervalo $[0.5,0.55]$.


     A raiz aproximada é $x=0.52$.

    Os intervalos utilizados são:

    $[0.5,0.55] \quad [0.5,0.525] \quad [0.5125,0.525]$

    $[0.51875,0.525]\quad [0.521875,0.525]$.


    579   

    Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =\dfrac{x^{2}-x+1}{2x-2}$, determinando o domínio, pontos de máximo e de mínimo, pontos de inflexão e assíntotas. Explicite o valor que a função assume nos pontos em questão. Justifique o seu raciocínio.


    1276   

    Seja $f\left(  x\right)  =\frac{2x-1}{x-1}$

    1.   Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.

    2.   Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.

    3.   Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.

    4.   Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

    5.   Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.



    1. Domínio: Dom$\left(  f\right)  =\left\{  x|x\neq1\right\}  =\left(  -\infty,1\right)  \cup\left(  1,\infty\right)  $

    2. Zeros e inteceptos: $f\left(  x\right)  =0\iff2x-1=0\iff  x=1/2$

    3. Simetrias: Não há.

    4. Assíntotas:

      \begin{align*}
        \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(  x\right)   &  =\lim_{x\rightarrow
        \pm\infty}\frac{2x-1}{x-1}\\
        &  =\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2-1/x}{1-1/x}=2
        \end{align*}
        \begin{align*}
        \lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left(  x\right)   &  =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
        \frac{2x-1}{x-1}=-\infty\\
        \lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left(  x\right)   &  =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
        \frac{2x-1}{x-1}=+\infty
        \end{align*}
    5. Intervalos de crescimento e decrescimento:

       \begin{align*}
        f^{\prime}\left(  x\right)   &  =\frac{2\left(  x-1\right)  -\left(
        2x-1\right)  \left(  1\right)  }{\left(  x-1\right)  ^{2}}\\
        &  =\frac{-1}{\left(  x-1\right)  ^{2}}<0,\forall x\in Dom\left(  f\right)
        \end{align*}

        ou seja, $f$ é estritamente decrescente.

    6. Valores máximo e mínimo locais: Não há, pois a derivada não se anula

    7. Concavidade e pontos de Inflexão:


        \[

        f"\left(  x\right)  =\frac{2}{\left(  x-1\right)  ^{3}}>0\iff x-1>0\iff x>1

        \]

        ou seja, $f$ tem concavidade para cima para $x>1$ e concavidade para baixo para $x<1$

    8. Esboço do Gráfico:
      fig_graficos_2.png


    1878   

    Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$.



    1269   

    Calcule a seguinte integral:
       $\int e^{x}\sin xdx.$


    $\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$


    1629   

    Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$, para $m$ inteiro positivo.


    199   

    Mostre que qualquer intervalo de $R$ contém algum número irracional.


    A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

    Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


    1501   

    Esboce as curvas exponenciais transladadas:
    $y=3^x+2$ e $y=3^{-x}+2$.


    178   

    Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas.

    1. No conjunto dos números inteiros existe um elemento que é menor do que todos os outros.

    2. O número real representado por 0,37222... é um número racional.

    3. Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.

    4. O quadrado de qualquer número real é um número racional.


    1. F

    2. V

    3. F

    4. F


    1547   

    Um aluno estudioso está sentado em uma sala de aula, ao lado da parede e de frente para a lousa, como na figura abaixo. A lousa tem $3$m de largura e começa a $1$m da parede à qual o aluno está próximo. Mostre que, se a distância da parede for $x$, o ângulo de visão é

    $$\alpha = \cot^{-1} \dfrac{x}{15} - \cot^{-1} \dfrac{x}{3}.$$

    fig_trig_1.png


    530   

    Suponha que uma gota de neblina seja uma esfera perfeita e que, por condensação, capte umidade a uma taxa proporcional à área de sua superfície. Mostre que nessas circunstâncias o raio da gota cresce a uma taxa constante.




    1259   

    Resolva a equação $\ln\left(  x^{2}+2x+1\right)  =3$.
      



    Como a função exponencial é estritamente monótona, temos que $\ln\left(  x^{2}+2x+1\right)  =3$ se, e somente se, $e^{\ln\left(x^{2}+2x+1\right)  }=x^{2}+2x+1=e^{3}$. Mas $ x^{2}+2x+1=\left(  x+1\right)  ^{2}$. Logo $\ln\left(  x^{2}+2x+1\right)  =3\Leftrightarrow\left(  x+1\right)^{2}=e^{3}\Leftrightarrow x+1=\pm e^{3/2}\Leftrightarrow x=\pm e^{3/2}-1$.


    1583   

    Dados $f(x) = \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}3]{x}$ e $x_0 = 8,5$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.


    694   

    Calcule a integral $\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$.


    $\frac{1}{4}\pi r^4$


    690   

    Calcule o seguinte limite


    $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+2}$.


    1701   

    1. Prove que $\lim_{x\to a}f(x)=l$ se, e somente se, $\lim_{x\to a}[f(x)-l]=0$. Sugestão: Primeiro, compreenda por qual razão a afirmação anterior é óbvia; então dê uma prova formal.

    2. Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to a}f(x-a)$.

    3. Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}f(x^3)$.

    4. Dê um exemplo em que $\lim_{x\to 0}f(x^2)$ existe, mas $\lim_{x\to 0}f(x)$ não existe.


    1717   

    Dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada curva de uma família for ortogonal a cada curva da outra. Faça um esboço de gráfico da família de curvas $xy=c$ e da família $x^2-y^2=k$ no mesmo plano cartesiano, para alguns valores de $c$ e $k$ reais (se necessário, utilize algum recurso computacional). Mostre que estas famílias (de hipérboles) são ortogonais uma da outra. (Sugestão: retas tangentes são perpendiculares em um ponto de interseção se as suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra.)


    1588   

    Mostre que a linearização de $f(x)=(1+x)^k$ em $x=0$ é $L(x)=1+kx$.


    1546   

    Demonstre as seguintes regras de derivação:

    1. $(sec{x})'=sec{x} \cdot tg{x}$
    2. $(cotg{x})'=-cossec^2{x}$
    3. $(cossec{x})'=-cossec{x} \cdot cotg{x}$


    202   

    Prove que $\log2+\log3$ é um número irracional.


    A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

    Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


    Dica: Note que $\log2+\log3=\log6$. Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log6=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.


    564   

    Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}}{x+1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


    693   

    Calcule o seguinte limite:


    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(10x\right) }{\sin \left( 5x\right) }$.


    $2$.


    79   

    Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} x = c$.


    1711   

    É possível mostrar que, sob certas condições, a velocidade $v(t)$ de uma gota de chuva caindo no instante $t$ é:

    $$v(t) = v^\star \left(1-\exp\left(-\dfrac{gt}{v} \right)\right),$$

    onde $g$ é a aceleração da gravidade e $v^\star$ é a velocidade final da gota.

    1. Calcule a velocidade para um tempo muito grande, isto é, calcule $\displaystyle \lim_{t \to \infty} v(t)$.

    2. Considerando $v^\star = 1$m$/$s e $g=9,8$m$/$s$^2$, faça o gráfico de $v(t)$. Quanto tempo levará para a velocidade da gota atingir $99\%$ de sua velocidade final?


    1308   

    Mostre que existem funções $f(x)$, $g(x)$ com  $\lim_{x\rightarrow p} f(x) = \lim_{x\rightarrow p} g(x) =0,$ tais que $\lim_{x\rightarrow p} (f(x)/g(x)) =\lambda$, onde $\lambda$ assume qualquer valor em $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$. Escolha o ponto $p$ como achar mais conveniente.


    937   

    Determine a função inversa de:

    1. $f(x) = x^2$
    2. $f(x) = x^3 + 2.$



    174   

    Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, qual o maior?



    Note que todo múltiplo de $5$ pode ser escrito na forma $5n$, onde $n$ é algum número natural. Com essa ideia, podemos representar três múltiplos consecutivos de $5$ por: $5(n-1)$, $5n$ e $5(n+1)$. Como o triplo do menor é igual ao dobro do maior obtemos a equação $15(n-1)=10(n+1)$. Resolvendo essa equação encontramos $n=5$ e o maior número dentre os três é $5 \cdot 6=30$.


    1915   

    Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante quando se faz girar a área entre as curvas $y=\dfrac{1}{x^2+1}$, $x=0$, $x=1$ e $y=0$ em torno do eixo $y$.



    1173   

    Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções (se existirem).

    1. $y = 8x^3 -51x^2 -90x +1$

    2. $y = -x^3 – 9x^2 + 81x - 6$


    1631   

    Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$, para $m$ inteiro positivo.


    1280   

    Calcule a seguinte integral:
       $\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx.$


    170   

    Seja $g$ uma função contínua em $[-3,7]$, sendo que $g(0) = 0$ e $g(2) = 25$. Existe um valor $-3<c<7$ tal que $g(c) = 15$? Por quê?



     Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário. Na realidade, é possível ser ainda mais preciso e afirmar não só que um valor $c$ existe em $(3,7)$, mas ainda que existe um valor $x$ contido em $(0,2)$.


    1750   

    Considere $y=f(x)$, para $x$ real, sendo $f$ derivável até a segunda ordem e tal que, para todo $x$, $f''(x)+f(x)=0$. Seja $g$ uma função tal que $g(x)=f'(x) \sin x - f(x) \cos x$. Mostre que $g$ é constante.


    899   

    Esboce o gráfico da função $f(x)=||(x-1)^2-3|-1|$.



    560   

    Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =x-e^{x}$.



    1329   

    Encontre os pontos sobre o gráfico de $p(x)=x^3-2x^2-8x+3$ nos quais a reta tangente é paralela à reta $y=4-9x.$


    1818   

    Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize.



    1116   

    Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

    fig_int_definida_1.png

    1. $\int_0^1 f(x)\ dx$
    2. $\int_0^2 f(x)\ dx$
    3. $\int_0^3 f(x)\ dx$
    4. $\int_1^2 -3f(x)\ dx$


    1. $-59$
    2. $-48$
    3. $-27$
    4. $-33$


    1245   

    Calcule a derivada da seguinte função:
         $f\left(  x\right)  =\arcsin\left(  \cos\left(  x\right)  \right)  .$


    -\frac{\sin (x)}{\sqrt{1-\cos ^2(x)}}


    1295   

    A região limitada pelo triângulo de vértices $(1,0),$ $(2,1)$ e $(1,1)$ gira em torno do eixo $y$ gerando um sólido $S.$ Calcule o volume de $S.$


    1776   

    1. Calcule a integral $\displaystyle \int (5x-1)^2 \, dx$ elevando ao quadrado e depois integrando as potências de $x$.

    2. Calcule agora a integral utilizando a substituição $u=5x-1$.

    3. As duas respostas obtidas são iguais? São equivalentes de alguma forma? Justifique.


    646   

    Seja $f\left( x\right) =\frac{1+x}{1-x}$. Mostre que $f\left( \frac{1}{1+x}\right) =\frac{2+x}{x}$, $f\left( \frac{1}{1-x}\right) =\frac{x-2}{x}$, $f\left( -x\right) =\frac{1}{f\left( x\right) }$, $f\left( 1/x\right)=-f\left( x\right) $ e que $f\left( f\left( x\right) \right) =-1/x$.


    186   

    Prove que $\sqrt{p}$, onde $p$ é primo, é um número irracional.

    A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
    Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


    1105   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int e^\pi\  dx$


    $e^\pi x+C$


    1319   

    A soma dos perímetros de um triângulo equilátero e de um quadrado é $10$. Ache as dimensões do triângulo e do quadrado que produzem a área total mínima.


    633   

    Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 12\sin 2x+\cos 3x+1,\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}


    193   

    O princípio da Boa Ordenação diz que todo subconjunto não-vazio de $N$ possui elemento mínimo. Demonstre que $N$, com a relação $\leq$, verifica o Princípio da Boa Ordenação.

    A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

    Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


    526   

    Uma escada de $8 m$ está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de $2 m/s$, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a $3 m$ da parede?




    113   

    Considere a função real de variável real definida por \begin{align*}
    f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-tg x} \end{align*}
    1. Determine o domínio de $f$.
    2. Estude $f$ quanto a continuidade.

    1778   

    Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{y} e^{\sqrt{y}}}$.


    1819   

    Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.
    Estude o sinal de $f'(x)$.
    Faça um esboço do gráfico de $f$.



    350   

    Enuncie o Teorema Fundamental da Álgebra (de Gauss).





    "Qualquer polinômio $p(z)$ com coeficientes complexos de uma variável e de grau $n \geq 1$ tem alguma raiz complexa."


    787   

    Encontre o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de $y=x-\frac{1}{x}$ no ponto $(1,0)$ com o eixo $y$.


    $(1,0)$.


    1097   

     Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int \sin\theta\  d\theta$


    $-\cos \theta+C$


    1296   

    A região no plano $xy$ limitada pela curva $y=x^2+1$ e pela reta $y=-x+3$ gira em torno do eixo $x$ gerando um sólido $S.$ Calcule o volume de $S.$


    1671   

    Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:

    $\int{3\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}}}$


    $sinh^{-1}(3x)+C$.


    78   

    Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} b = b$.


    516   

    Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma função.

    1. Defina continuidade de $f$ no ponto $p\in \mathbb{R}$.
    2. Defina a derivada de $f$ no ponto $p\in \mathbb{R}$. O que é a função derivada $f^{\prime }\left( x\right) ?$
    3. Calcule, pela definição, a derivada $g^{\prime }\left( 0\right) $ onde    \begin{equation*}    g\left( x\right) =\left\{    \begin{array}{cc}    x^{2}\sin \left( \dfrac{1}{x^{2}}\right)  & \text{se }x\neq 0 \\    0 & \text{ se }x=0    \end{array}    \right.    \end{equation*}



    129   

    Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ a função definida por \begin{equation*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x^{2}, & \text{se }x\leq 1 \\ 2x-1, & \text{se }x>1 \end{array} \right. , \end{equation*} e defina $g\left( x\right) =\lim\limits_{x \rightarrow h}\dfrac{f \left(x+h \right) -f \left( x\right) }{h}$. 
    Mostre que $g\left( x\right) $ é contínua.



    Observe que para $x<1$ temos que 

    \begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left( x+h\right) ^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2hx+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( 2x+h\right) =2x. \end{eqnarray*} 

    Já para $x>1$ temos que 

    \begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( x+h\right) -1\right] - \left[ 2x-1\right] }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2. \end{eqnarray*} 


    Para $x=1$ temos que 

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( 1+h\right) -1 \right] -1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2 \\ \lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{\left( 1+h\right) ^{2}-1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{2h+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\left( 2+h\right) =2. \end{eqnarray*} 


     Temos então que $g$ é bem definida também no ponto $x=1$ e, de modo geral, $g$ pode ser expressa por \begin{equation*} g\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} 2x & \text{se }x\leq 1 \\ 2 & \text{se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \end{equation*} 


    Como as funções $h\left( x\right) =2x$ e $p\left( x\right) \equiv 2$ são contínuas, temos que $g\left( x\right) $ é contínua para todo $x\neq 1$. 


    Além disto, como $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 1}2x=2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}g\left( x\right) $, segue que $\lim\limits_{x\rightarrow 1}g\left(x\right) =2$. Mas como $g\left( 1\right) =2$, segue que a função $ g\left( x\right) $ também é contínua no ponto $x=1$.


    1140   

    Considere a função $f(x)=\sin x.$

    1.  Escreva o polinômio de Taylor de $f(x)$ até a terceira ordem.
    2.  Usando o polinômio de Taylor, encontre o valor do seguinte limite: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x+2x}{3x^5}.$


    1104   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int \frac{5^t}{2}\  dt$


      $\frac{5^t}{2\ln 5}+C$


    903   

    Resolva a equação $\sqrt{9x+4} + \sqrt{3x-4} = 2 \sqrt{3x}$.


    1699   

    Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva a seguir em torno do eixo indicado.

    $x=\frac{(e^y+e^{-y})}{2}$,  $0\leq y \leq ln\ 2$, eixo $y$


    49   

    Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

    $f(x) = \frac{1}{e^x+1}$

    fig_assintotas_horizontais_21.png

    1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$

    2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$

    3. $\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$

    4. $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$


    44   

    Calcule o limite $\lim\limits_{x\to e} \ln x$, em que $e$ é o número de Euler.


    $1$.


    797   

    Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição:

    $f\left( x\right) =1/x$.


    $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.


    1798   

    Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{x^5-x^4-2x^3+4x^2-15x+5}{(x^2+1)^2(x^2+4)} \, dx$.


    908   

    Resolva a equação $|2x+1|=3$.




    Temos dois casos: $2x+1=3$ ou $2x+1=-3$. Resolvendo cada uma dessas equações de primeiro grau obtemos $x=1$ e $x=-2$.


    1792   

    Utilize uma substituição trigonométrica para mostrar que $\displaystyle \int \dfrac{1}{u^2 \sqrt{a^2 - u^2}} \, du = -\dfrac{1}{a^2 u} \sqrt{a^2-u^2} + C $.


    1309   

    Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$.


    63   

    Calcule, quando existirem, os seguintes limites:

    1. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{  \left( x-2\right) ^{3}}$

    2.  $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{  3-x}-1}$

    3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\sqrt{3x+4}-\sqrt{3x}.$


    1505   

    Utilizando as leis de exponenciação, simplifique a expressão a seguir:
    $6^{1/3}\cdot18^{1/6}$


    1264   

    Calcule a seguinte integral:
       $\int_{0}^{\pi }x^{2}senx dx$.


    $\pi^2-4$


    757   

      Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ a função
      definida por
      \begin{equation*}
      f\left( x\right) =\left\{
      \begin{array}{cc}
      x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\
      2x-1 & \text{se }x>1
      \end{array}
      \right. ,
      \end{equation*}
      e defina $g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow h}\dfrac{f\left(
      x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$. Mostre que $g\left( x\right) $ é contínua.


    585   

    Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

    1. $|6+4x|<\left| 2-{\frac{x}{2}}\right| $

    2. $\left| {\frac{5}{3x-2}}\right| \geq \left| {\frac{2}{x-1}}\right| $


    1788   

    Sejam $f$ e $g$  funções contínuas em $[a,b]$ e diferenciáveis em $(a,b)$. Prove:  se $f(a)=g(a)$ e $f(b)=g(b)$, então há um ponto $c$ em $(a,b)$ onde $f'(c)=g'(c)$.


    535   

    Encontre $a$ e $b$ tais que a função $f(x)=x^3 +ax^2+b$ tenha um extremo relativo em $(2,4)$.


    809   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

    $f\left( x\right) =4\sec x+\cot x$.


    $f'(x) = 4 \sec x \tan x - \csc^2 x$.



    Como a derivada da soma de funções é a soma de suas derivadas, temos inicialmente que

    \[ (4\sec x+\cot x)^\prime = (4\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime = 4 (\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime .\]

    Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada:

    \[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\]

    De forma análoga, usaremos a regra do quociente para calcular a derivada da função $\cot x$, que é igual a $\frac{\cos x}{\sin x}$:

    \[(\cot x)^\prime = \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime = \dfrac{(\cos x)^\prime\cdot \sin(x) - \cos(x)\cdot (\sin x)^\prime}{(\sin x)^2} =\dfrac{(-\sin x) \sin x - \cos(x)(\cos x)}{(\sin x)^2} = -(\csc x)^2,\]

    em que usamos a identidade trigonométrica fundamental

    \[(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1\]

    e a identidade $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ para obter a cossecante.

    Substituindo as expressões encontradas para as derivadas de $\sec x$ e de $\cot x$ na primeira igualdade, concluímos que

    $f'(x) = 4 \tan(x)\sec(x) - (\csc x)^2$.




    1519   

    Sabe-se que $f$ é contínua em $2$ e que $f(2)=8$. Mostre que existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in D_f$  vale $2-\delta<x<2+\delta \rightarrow f(x)>7$.





    Considere $\epsilon =1$. Como $f$ é contínua em $2$, sabemos que existe $\delta >0$ tal que, para $|x-2|<\delta $ temos que $|f(x)-f(2)|<\epsilon =1$. Mas $|x-2|<\delta $ se, e somente se, $2-\delta<x<2+\delta$ e $|f(x)-f(2)|=|f(x)-8|<1$ se, e somente se, $7< f(x)<9$.


    1275   

    Calcule a integral $\int{\sin2\theta e^{\sin^2\theta}}d\theta.$


    $e^{\sin^2\theta}+C$


    1678   

    Em uma reação química de dois reagentes, a velocidade da reação depende, em geral, da concentração destes. Seja $a$ a quantidade do reagente $A$ e $b$ a quantidade do reagente $B$ em $t=0$, sendo $x$ a quantidade do produto no instante $t$, a velocidade de formação de $x$ pode ser dada pela equação diferencial

    $\frac{dx}{dt} = k(a-x)(b-x)$,
    sendo que $k$ é uma constante para a reação. Encontre $x(t)$ se:

    1. $a=b$

    2. $a \neq b$

    Em ambos os casos, considere $x(t=0)=0$.


    42   

    Determine todas as assíntotas horizontais da função $f(x) = \frac{x^2-1}{-x^2-1}$.


    $y=-1$.


    697   

    Calcule a integral $\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx$.


    1911   

    Considere uma calota esférica de raio $s$ e altura $h$ cortada de uma esfera de raio $r$. Mostre que o volume $V$ da calota esférica pode ser expresso como $V=\dfrac{1}{3}\pi h^2(3r-h)$ ou $V=\dfrac{1}{6}\pi h(3 s^2+h^2)$.Calota_esfera



    1098   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\  dx$



    $2\sqrt{x}+C$


    573   

    Estude a função $f\left( x\right) =\sin x+\cos x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


    692   

    Calcule o seguinte limite

    $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \dfrac{x+2}{x+1}\right)^{x}$.


    $e$.


    1538   

    Suponha que em uma máquina um pistão se desloque verticalmente tal que sua posição no instante $t$ (medido em segundos) seja dado por:

    $$s=A \cos(2 \pi b t ),$$

    onde $A>0$ é a amplitude do movimento, e $b>0$ é a frequência (número de vezes que o pistão se desloca de cima para baixo por segundo). Qual o efeito da duplicação da frequência sobre a velocidade, a aceleração e a sobreaceleração do pistão? Relacione a sua resposta com o fato de que uma máquina quebra quando funciona rápido demais.


    1268   

    Calcule a seguinte integral:
      $\int  \cos(x)\ln (\sin (x))dx   $.


    $sinx(ln(sinx)-1)+C$


    1536   

    Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize.


    Dica: Derive a função $Fh$, onde $F=fg$. Use a regra do produto duas vezes. Para generalizar use o princípio da indução finita.


    1737   

    Usando as fórmulas do seno da soma e do cosseno da soma de dois ângulos, obtenha fórmulas para:

     $\sin(2x), \cos(2x), \sin(3x)$ e $\cos(3x)$.



    $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.

    $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

    $\sin(3x) = \sin x (2 (\cos^2 x - \sin^2 x) + 1)$.

    $\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \sin^2 x \cos x$.


    342   

    Encontre as raízes do polinômio $x^4-10x^3+17x^2-17x+6.$
    Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais.


    1405   

    O terremoto de 1952 em Assam teve uma magnitude de 8,7 na escala Richter - a maior registrada até então. Se o maior terremoto em dado ano tem tem magnitude $R$, então a energia $E$ (em Joules) liberada por todos os terremotos naquele ano é estimada pela fórmula 

    $E=9,13 \times 10^{12} \int_{0}^{R}e^{1,25x}dx$.

    Determine $E$ se $R=8$.


    794   

    Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

    $f\left( x\right) =1/x^{2},\;p=1$.


    $y=-2x+3$.


    1917   

    Um buraco redondo de raio $a$ é feito através do centro de uma esfera sólida de raio $r$. Use camadas cilíndricas para encontrar o volume da parte removida (suponha $r>a$).



    611   

    Suponha que $x$ e $y$ sejam notas de provas bimestrais. Mostre que a chamada {\it média geométrica} entre $x$ e $y$, dada por $\sqrt{xy}$, poderia, se adotada como critério avaliativo, prejudicar a nota final de alguns alunos, isto é, elaé menor que ou igual à chamada {\it média aritmética} entre $x$ e $y$, que é dada por $\frac{x+y}{2}.$



    Elevando ambos os membros da expressão $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ ao quadrado obtemos $xy\leq \dfrac{x^2+2xy+y^2}{4}$. Simplificando chegamos a $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq0$. Como a última expressão obtida é verdadeira e todas as expressões são equivalentes entre si, segue o resultado. Esse resultado diz que a média geométrica entre dois dois números reais positivos é sempre menor que, ou igual, à média aritmética entre eles. Sendo assim, se o professor adotar como critério de avaliação a média geométrica em vez da aritmética, ele pode prejudicar a nota final dos alunos que tivessem a nota $x$ diferente da $y$, pois quando $x=y$ as duas médias são iguais.


    1666   

    Calcule a integral a seguir:

    $\int{\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^{1/3}}{\sqrt{x}}dx}$


    164   

    Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.

    Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.

    Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.

    Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.

    O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:

    1. $f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
    2. $f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
    3. $f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.

    O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).

    Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = x^2+2x-4$ no intervalo $[1,1.5]$.


    A raiz aproximada é $x=1.23$.

      Os intervalos utilizados são:

      $[1,1.5] \quad [1,1.25] \quad [1.125,1.25]$

      $[1.1875,1.25]\quad [1.21875,1.25]\quad [1.234375,1.25]$

      $[1.234375,1.2421875]\quad [1.234375,1.2382813]$.


    944   

    Calcule, através da definição de limite, $\displaystyle \lim_{x\to 0} e^{2x}-1 = 0$.



    Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos $\delta >0$ tal que, quO IMECC é responsável pelos cursando $|x-0|<\delta$, $|f(x)-0|<\epsilon$.
    Considerando $|f(x)-0|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-0|$ (i.e., $|x|$):
    \begin{gather*}
    |f(x) -0 | < \epsilon \\
    |e^{2x}-1 |<\epsilon \\
    -\epsilon< e^{2x}-1 < \epsilon \\
    1-\epsilon< e^{2x} < 1+\epsilon \\
    \ln (1-\epsilon) < 2x < \ln (1+\epsilon) \\
    \frac{\ln (1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln (1+\epsilon)}{2} \\
    \end{gather*}
    Seja $\delta = \min\left\{\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right|,\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\right\}=\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}.$
    Portanto:
    \begin{gather*}
    |x| < \delta \\
    |x| <\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}<\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right| \\
    \frac{\ln(1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\\
    \ln(1-\epsilon)< 2x < \ln(1+\epsilon)\\
    1-\epsilon < e^{2x} < 1+\epsilon\\
    -\epsilon < e^{2x}-1 < \epsilon\\
    |e^{2x}-1-(0)| < \epsilon,
    \end{gather*}

    que é o que buscávamos provar.


    1771   

    Seja $P(x)$ um polinômio de qualquer grau. Mostre que:

    $$\displaystyle \int P(x) e^x \, dx = (P - P' + P'' -P''' + \ldots)e^x.$$


    1695   

    Demonstre que, ao se cortar uma cebola em fatias de igual largura, todas as fatias terão a mesma quantidade de casca.
    Para isso, considere o semicírculo dado pela equação $y=\sqrt{r^2-x^2}$. A rotação deste em torno do eixo $x$ resultará numa esfera. Se escolhermos $x_0 >0$ e $h>0$ tal que $-r \leq x_0 < r$ e $x_0+h \geq r$, e o arco $AB$ localizado acima deste intervalo.

    Demonstre que a área gerada pela rotação do arco $AB$ não depende de $x_0$, apenas de $h$.

    fig_area_rev_2.png


    563   

    Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}-4}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


    962   

    Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

    1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}x\sin \left( \dfrac{1}{x}\right)$
    2. $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\sin \left(x^{2}-p^{2}\right) }{x-p}$


    1607   

    O modelo logístico de crescimento populacional prevê o tamanho $y(t)$ de uma população no instante $t$ por meio da fórmula $y(t)=\dfrac{k}{1+ce^{-rt}}$, onde $r$ e $k$ são constantes positivas e $c=\dfrac{k-y(0)}{y(0)}$. Os ecologistas denominam $k$ a capacidade de suporte e o interpretam como o número máximo de indivíduos que o ambiente pode sustentar. Calcule $\lim\limits_{t \to \pm \infty}y(t)$ e discuta o significado gráfico desses limites.


    1661   

    Calcule a seguinte integral:

    $\int{e^x(x^2-2x+1)dx}$.


    $e^x(x^2-4x+5)+C$


    210   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_5.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$
    5. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
    6. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$



    1. $2$
    2. $2$
    3. $2$
    4. $1$
    5. Como $f$ não é definida para $x<0$, esse limite é indefinido.
    6. $1$


    83   

    Calcule os limites:

    1. $\lim\limits_{x\to\pi} \frac{3x+1}{1-x}$

    2. $\lim\limits_{x\to\pi} \frac{x^2+3x+5}{5x^2-2x-3}$

    3. $\lim\limits_{x\to\pi} \left(\frac{x-3}{x-5}\right)^7$



    1242   

    Encontre os dois pontos onde a curva $x^2+xy+y^2=7$  cruza o eixo x e mostre que as tangentes à curva nesses pontos são paralelas. Qual é o coeficiente angular comum dessas retas?


    111   

    Mostre, usando a definição, que a função dada por $f(x) = 3x$ é contínua para todo $x$ real.


    627   

    Uma lata cilíndrica, sem tampa (mas com fundo), é feita para receber um volume de $900ml$ . Encontre as dimensoes que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.


    1743   

    Escreva o número $\sin 1/2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-20}$.


    1179   

    Mostre que:

    1. $|x-y|<1/2, |x+2|<1/3 \Longrightarrow |y+2|<5/6$
    2. $\sqrt{xy}\leq {\frac{x+y}{2}}$, $\forall x,y\geq 0$.



    1745   

    Escreva o número $e^2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-5}$.


    152   

     Determine um intervalo de comprimento $\pi/2$ cuja equação $$2x^3+3x^2-\sqrt{|\cos(x)|}=0$$ admita uma solução real.


    911   

    Sabendo-se que $\frac{x-a}{x^2+1} > \frac{x+a}{x^2}$ para todo $x$ real, determine o intevalo a que pertence o número real $a$.



    1493   

    Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

    1.  $f(x)=-2+ 1/x$
    2.  $f(x)=-\dfrac{1}{x}$


    566   

    Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


    527   

    A base $x$ e a altura $y$ de um retângulo estão variando com o tempo. Em um dado instante, $x$ mede $3 cm$  e cresce a uma taxa de $2 cm/s$, enquanto $y$ mede $4 cm$ e decresce a uma taxa de $1 cm/s$. Determine, nesse instante, a taxa de variação da área $A$ do retângulo em relação ao tempo.




    1769   

    Calcule $\displaystyle \int \sin (\ln x) \, dx$ utilizando integração por partes.


    $-\dfrac{1}{2}x(cos(ln x)-sin(ln x))+C$


    166   

    Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.

    Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.

    Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.

    Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.

    O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:

    1. $f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
    2. $f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
    3. $f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.

    O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).

     Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = e^x - 2$ no intervalo $[0.65,0.7]$.


    A raiz aproximada é $x=0.69$.

      Os intervalos utilizados são:

      $[0.65,0.7] \quad [0.675,0.7] \quad [0.6875,0.7]$

      $[0.6875,0.69375]\quad [0.690625,0.69375]$


    1498   

    Esboce juntas as curvas dadas no plano cartesiano e identifique cada uma com sua equação:
    $y=2^x$, $y=4^x$,$y=3^{-x}$, e $y=\left( 1/2 \right)^{x}$.


    1732   

    Em cada item, esboce o gráfico de uma função contínua $f$ com as propriedades indicadas no intervalo $(-\infty,+\infty)$.

    1. $f$ não tem extremos relativos nem absolutos.

    2. $f$ tem um mínimo absoluto em $x=0$, mas nenhum máximo absoluto.

    3.  $f$ tem um máximo e um mínimo absolutos em $x=-5$ e $x=5$, respectivamente.



    1603   

    O gráfico a seguir mostra a receita mensal da empresa Fidelis Ltda. nos últimos 12 anos. Durante aproximadamente quais intervalos de tempo a receita marginal foi crescente? E decrescente?

    fig_deriv_prim_2.png


    1535   

    Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

    1. $x^2e^x\cos{x}$
    2. $e^x \sinh{x} \cos^2{x}$


    65   

     Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2-x+1 & x\leq 3 \\ 2x+1 & x>3 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 3} f(x)$.


    7


    1552   

    Uma substância radioativa decai de acordo com a fórmula $q(t)=q_0e^{-ct}$, onde $q_0$ é a quantidade inicial da substância, $c$ é uma constante positiva, e $q(t)$ é a quantidade remanescente após o tempo $t$. Mostre que a taxa na qual a substância decai é proporcional a $q(t)$.


    939   

    Calcule, pela definição, o limite $ \lim_{x\to 4} x^2+x-5 = 15$



    Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-4|<\delta$, $|f(x)-15|<\epsilon$.
    Considere $|f(x)-15|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-4|$:
    \begin{gather*}
    |f(x) -15 | < \epsilon \\
    |x^2+x-5 -15 |<\epsilon \\
    | x^2+x-20 | < \epsilon \\
    | x-4 |\cdot|x+5| < \epsilon \\
    | x-4 | < \epsilon/|x+5| \\
    \end{gather*}
    Assumindo $x$ próximo de $4$, podemos assumir, por exemplo, que, $3<x<5$. Portanto
    \begin{gather*}
    3+5<x+5<5+5 \\
    8 < x+5 < 10 \\
    \frac{1}{10} < \frac{1}{x+5} < \frac{1}{8} \\
    \frac{\epsilon}{10} < \frac{\epsilon}{x+5} < \frac{\epsilon}{8} \\
    \end{gather*}
    Seja $\delta =\frac{\epsilon}{10}$. Então:
    \begin{gather*}
    |x-4|<\delta \\
    |x-4| < \frac{\epsilon}{10}\\
    |x-4| < \frac{\epsilon}{x+5}\\
    |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot|x+5|\\
    \end{gather*}
    Assumindo $x$ próximo de 4, $x+5$ é positivo e podemos eliminar o módulo do lado direito da equação.
    \begin{gather*}
    |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot(x+5)\\
    |x^2+x-20| < \epsilon\\
    |(x^2+x-5) -15| < \epsilon,
    \end{gather*}

    que é o que desejávamos provar.


    658   

    Determine um número $0\leq b\leq 2$ tal que a reta $x=b$ divide a região delimitada por $y=\sqrt{4-x^{2}}$ e $y=0$ e $x=0$ em duas regiões de mesma área.


    1514   

     Dê os domínios e esboce os gráficos de $f+g$ e $\dfrac{g}{f}$ nos seguintes casos:

    1. $f(x)=1$ e $g(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}$.
    2. $f(x)=1$ e $g(x)=\sqrt{x-1}$.


    1244   

    Calcule a derivada da seguinte função:
        $f\left(  x\right)  =\sin\left(  \arccos\left(  x\right)  \right)  .$


    60   

    Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas ou forneça um contra exemplo.

    1.    Se $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\infty $ e $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0$, então $  \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }  =\infty $. 

    2.    Sejam $p\left( x\right) $ e $q\left( x\right) $ polinômios de grau $m$ e $n$ respectivamente. Se $\lim\limits_{x\rightarrow \infty  }\dfrac{p\left( x\right) }{q\left( x\right) }=0$, então $m\geq n$.

    3.    Se $\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f\left( x\right)  g\left( x\right) \right) $ existe, então $\lim\limits_{x\rightarrow   a}f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) $   existem e $\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f\left( x\right) g\left(   x\right) \right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right)  \right) \left( \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \right) .$

    4.   Se $f\left( x\right) $ e $g\left( x\right) $ são contínuas em $a$, então $\left( f+g\right) \left( x\right) $ também é contínua em $a$.



    1301   

    Esboce o gráfico da função $f\left(  x\right)  =\cos x-\sin x$ . Para fazê-lo, determine:

    1. Domínio da função

    2. Zeros e inteceptos

    3. Simetrias

    4. Assíntotas horizontais e verticais

    5. Intervalos de crescimento e decrescimento

    6. Pontos de máximo e mínimo

    7. Concavidade

    8. Pontos de inflexão



    1. Dom$\left(  f\right)  =\mathbb{R}$
    2. $f\left(  0\right)  =1$ e $f\left(  x\right)  =0$ se, e somente se, $\cos x=\sin x$ se, e somente se,
        $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ com $k\in\mathbb{Z}$
    3. $f$ é periódica, com período $2\pi$
    4. A função não possui assíntotas verticais (pois é contínua na reta) e tampouco horizontais (pois é periódica)
    5. \begin{align*}
        f^{\prime}\left(  x\right)    & =-\sin x-\cos x=0\text{ se, e somente se,}\\
        \cos x  & =-\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
        \mathbb{Z}\text{.}
        \end{align*}
        Considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que
        \begin{align*}
        f^{\prime}\left(  x\right)    & >0\text{ se }x\in\left(  \frac{3\pi}{4}
        ,\frac{7\pi}{4}\right)  \text{ (intervalo de crescimento)}\\
        f^{\prime}\left(  x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{3\pi}{4}
        )\cup(\frac{7\pi}{4},2\pi]\text{ (intervalo de crescimento)}
        \end{align*}
    6. Novamente considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que $\frac{3\pi}{4}$ é ponto de mínimo e $\frac{7\pi}{4}$ é ponto de máximo.
    7. \begin{align*}
        f"\left(  x\right)    & =-\cos x+\sin x=0\text{ se, e somente se,}\\
        \cos x  & =\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
        \mathbb{Z}\text{.}
        \end{align*}
        Considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que
        \begin{align*}
        f"\left(  x\right)    & >0\text{ se }x\in\left(  \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}
        {4}\right)  \text{ (concavidade para cima)}\\
        f"\left(  x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{\pi}{4})\cup
        (\frac{5\pi}{4},2\pi]\text{ (concavidade para baixo)}
        \end{align*}
    8. Esboço do Gráfico:
      fig_graficos_5.png

    916   

    Determine o conjunto solução da equação $|x|^2+|x|-6=0$.


    92   

    Calcule o limite $\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-2x-3}{x^2-4x+3}$.



    $2$


    1610   

    A velocidade, no tempo $t$, de um objeto de massa $m$ em queda é $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k$ é uma constante e $g$ denota a força da gravidade. Calcule $\lim\limits_{m \to \infty}v(t)$ e conclua que $v(t)$ é aproximadamente proporcional ao tempo $t$ se a massa é muito grande.


    128   

    Descreva três situações nas quais $\displaystyle \lim\limits_{x\to c}f(x)$ não existe.




    A função pode tender a valores diferentes pela esquerda e pela direita, a função pode crescer de maneira ilimitada, ou a função pode oscilar em torno de um valor.


    1393   

    O calor específico de um metal como a prata é constante a temperaturas $T$ acima de 200° K. se a temperatura do metal aumenta de $T_1$ a $T_2$, a área sob a curva $y=c/T$ de $T_1$ a $T_2$ é chamada variação de entropia $\Delta S$, que é uma medida da desordem molecular do sistema. Expresse $\Delta S$ em termos de $T_1$ e $T_2$,


    1523   

    Suponha $g(x) \neq 0$, para todo $x \in Dom(g)$, $L \neq 0$ e $\lim\limits_{x \to p}g(x)=L$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{1}{L}$.



     Veja Guidorizzi, volume $1$, página $87$.


    1255   

     Considere a curva definida pela equação $x^2y+3\ln(1-y)+x^4=1.$ 

    1. Calcule $y'.$
    2. Encontre a aproximação linear à curva no ponto $(1,0).$



    154   

    Sejam  $f$  uma função contínua num intervalo  $I$,  $a$  e  $b$  valores em  $I$. Se $f(a)$ e $f(b)$ são valores com sinais contrários, mostre que a equação $f(x)=0$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $\left[a,b\right]$.


    586   

    Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

    1. $7+|x|<{\frac{1}{x+2}}$

    2. $\left| {\frac{2x-3}{x+1}}\right| \leq {\frac{1}{2}}$


    636   

    Sejam $f\left( x\right) =\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g\left(x\right) =\sqrt{x}$. Dê o domínio das seguintes funções: $f,$ $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.


    1760   

    Seja $F(x)$ tal que $F(x)=\displaystyle \int_{\pi/4}^x \cos 2t \, dt$.

    1. Use alguma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar $F'(x)$.

    2. Confira se seu resultado anterior foi correto integrando e diferenciando.


    1590   

    Uma criança empina uma pipa a uma altura de $50$m. O vento age sobre a pipa horizontalmente a uma velocidade de $7$m$/$s em relação à criança. Com que velocidade a criança deve soltar a linha quando a pipa estiver a $100$m de distância?


    1187   

    Calcule a derivada da seguinte função:
     $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.$


     $f'\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$


    51   

    Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

    $f(x) = \cos (x)$

    fig_assintotas_horizontais_23.png

    1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$

    2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$


    602   

    Encontre os intervalos da reta real nos quais vale a desigualdade $\left| \frac{2x-3}{x+1}\right| \leq \frac{1}{2}.$


    1254   

    Determine a derivada de ordem $999$ da função $f(x)=\sin(x)+\cos(x)$.


    177   

    Considere o número inteiro $P = 100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot \ldots \cdot 200$, produto de $101$ números inteiros sucessivos. Ao escrever-se $P$ como um produto de fatores primos, qual o número de vezes que o fator $7$ aparece?


    845   

    Calcule a derivada da função:

    $y=\left( 2+\sin x\right) ^{x}$.


    $y' = (\sin x + 2)^x (\log(\sin x + 2) + (x \cos x )/(\sin x + 2))$.


    545   

    Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-6x^2 +9x+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.


    1497   

    Sejam $a$ e $b$ reais quaisquer. Verifique que:

    1. $\sin{a}\cos{b}=\dfrac{1}{2}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$
    2. $\cos{a}\cos{b}=\dfrac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$



    1. $\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} ( \sin(a+b) + \sin(a-b) ) &=& \frac{1}{2} ( \sin a \cos b + \sin b \cos a + \sin a \cos b - \sin b \cos a )  \\ &=& \frac{1}{2} ( 2 \sin a \cos b) \\ &=& \sin a \cos b .\end{array}$
    1. $\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} ( \cos(a+b) + \cos(a-b) ) &=& \frac{1}{2} ( \cos a \cos b + \sin a \sin b + \cos a \cos b - \sin a \sin b )  \\ &=& \frac{1}{2} ( 2 \cos a \cos b) \\ &=& \cos a \cos b .\end{array}$



    1726   

    Seja $x$ uma função de $t$, isto é, $x=f(t)$, tal que para $t=0$, $x=1$ e para $t=1$, $x=2$. Suponha que $\dfrac{dx}{dt}>0$ para $t\geq0$; $\dfrac{d^2x}{dt^2}<0$ para $0<t<1$ e $\dfrac{d^2x}{dt^2}>0$ para $t>1$. Como você acha que deve ser o gráfico de $f$? Por quê?


    1117   

    Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:
    fig_int_definida_2.png

    1. $ \int_0^2 f(x)\ dx$
    2. $ \int_2^4 f(x)\ dx$
    3. $ \int_0^4 f(x)\ dx$
    4. $ \int_0^1 f(x)\ dx$


    1. $4/\pi$
    2. $-4/\pi$
    3. $0$
    4. $2/\pi$


    683   

    Calcule o limite:

    $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$.


    1109   

    Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
      $f'(x) = 7^x$ e $f(2)= 1$


    $7^x/\ln 7 + 1-49/\ln 7$


    1742   

    Escreva o número $\sin 2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-12}$.


    1122   

    Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

    fig_int_definida_7.png


    1. $\int_0^2 f(x)\ dx$
    2. $\int_2^4 f(x)\ dx$
    3. $\int_2^4 2f(x)\ dx$
    4. $\int_0^1 4x\ dx$
    5. $\int_2^3 (2x-4)\ dx$
    6. $\int_2^3 (4x-8)\ dx$


    1. $4$
    2. $2$
    3. $4$
    4. 2
    5. $1$
    6. 2


    1246   

    Esboce o gráfico da funçao $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.


    1278   

    Esboce o gráfico da função $f\left(  x\right)  =\frac{2x^{2}}{3x^{2}-3}$ . Para fazê-lo, determine:

    1. Domínio da função

    2. Zeros e inteceptos

    3. Simetrias

    4. Assíntotas horizontais e verticais

    5. Intervalos de crescimento e decrescimento

    6. Pontos de máximo e mínimo

    7. Concavidade

    8. Pontos de inflexão



    1. Dom$f=\left\{  x\in\mathbb{R}|x\neq\pm1\right\}  $

    2. $f\left(  x\right)  =0$ se, e somente se, $x=0$

    3. A função é par: $f\left(  -x\right)  =f\left(  x\right)  $

    4. Usando L'Hopital ou colocando-se $x^{2}$ em evidêncai no numerador e
        denominador, obtemos que
        \[
        \lim_{x\rightarrow\infty}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow-\infty
        }f\left(  x\right)  =2/3
        \]
        \begin{align*}
        \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(  x\right)    & =-\infty\\
        \lim_{x\rightarrow-1^{-}}f\left(  x\right)    & =\infty\\
        \lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left(  x\right)    & =\infty\\
        \lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left(  x\right)    & =-\infty
        \end{align*}

    5. \begin{align*}
        f^{\prime}\left(  x\right)    & =\frac{4x\left(  3x^{2}-3\right)
        -2x^{2}\left(  6x\right)  }{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{2}}\\
        & =\frac{-12x}{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{2}}
        \end{align*}
        logo a derivada é positiva se $x<0$ e negativa se $x>0$, ou seja $f$ é crescente para $x<0$ e decrescente para $x>0$

    6. $x=0$ é ponto de máximo da função.

    7. A função não tem pontos de inflexão pois $\pm1\notin
        Dom\left(  f\right)  $
        \begin{align*}
        f"\left(  x\right)    & =\frac{-12\left(  3x^{2}-3\right)  ^{2}+12x2\left(
        3x^{2}-3\right)  6x}{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{4}}\\
        & =\frac{-12\left(  3x^{2}-3\right)  +12x2\cdot6x}{\left(  3x^{2}-3\right)
        ^{3}}\\
        & =\frac{-36x^{2}+36+12^{2}x^{2}}{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{3}}\\
        & =\frac{-12x^{2}+12+48x^{2}}{\left(  x^{2}-1\right)  ^{3}}\\
        & =12\frac{3x^{2}+1}{\left(  x^{2}-1\right)  ^{3}}
        \end{align*}
        Observando que $3x^{2}+1>0,\forall x$, temos que $f"\left(  x\right)  >0$ se, e somente se,
        $x^{2}-1>0$ se, e somente se, $x>1$ ou $x<-1$ logo $f$ tem concavidade para cima se
        $x\in(-\infty,-1)\cup\left(  1,\infty\right)  $ e concavidade par baixo se
        $x\in\left(  -1,1\right)  $.

    8. Esboço do Gráfico:
      fig_graficos_4.png


    1512   

    Sejam $f(x)=log_x(2)$ e $g(x)=log_2(x)$:

    1. Utilize a propriedade de quociente de logaritmos para expressar $f(x)$ e $g(x)$ em termos de logaritmos naturais.
    2. Com o auxílio de recursos computacionais, compare os gráficos de $f(x)$ e $g(x)$.


    808   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

    $f\left( x\right) =\dfrac{\sec x}{3x+2}$.


    $f'(x) = \dfrac{\tan x \sec x}{3x+2}-\dfrac{3 \sec x}{(3x+2)^2}$.



    Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sec x$ pela função $3x+2$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:

    \[\left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2}.\]

    Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada:

    \[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\]

    Por outro lado, sabemos que $(3x+2)^\prime = 3$.

    Dessa forma, voltando à primeira igualdade e substituindo $(\sec x)^\prime$ e $(3x+2)^\prime$ pelas expressões encontradas, obtemos:

    \[\dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2} = \dfrac{\tan(x) \sec(x) (3x+2) - (\sec x)(3)}{(3x+2)^2} .\]

    Ou seja,

    \[ \left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{\tan(x) \sec(x)}{3x+2} - \dfrac{3\sec(x)}{(3x+2)^2}. \]


    672   

    Calcule a seguinte integral $\int \ln xdx$.


    $x(lnx-1)+C$


    737   

    Mostre que o volume de uma esfera de raio $R$ é $\dfrac{4}{3}\pi R^{3}$.



    1510   

    Se $(ln\ x)/x = (ln\ 2)/2$, é necessário que $x=2$? Se $(ln\ x)/x=-2ln\ 2$, é necessário que $x=\frac{1}{2}$? Justifique suas respostas.


    1628   

    Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$, para $m$ inteiro positivo.


    140   

    Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

    $ g(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$.


      $(-1,1)$


    1200   

    Uma partícula tem sua posição variando com o tempo de acordo com a relação $s(t)=-2\sin(t)+3\cos(t)$ , onde $s$ é dado em metros e $t$ em segundos.

    1. Encontre a velocidade da partícula no instante $t$.
    2. Encontre a velocidade da partícula no instante $t=3$ segundos.


    1. $v(t)=-3\sin(t)-2\cos(t)$.

    2. $v(3)=-3\sin(3)-2\cos(3)$.


    638   

    Seja $f\left( x\right) =\left| x\right| -x$. Mostre que $f\left( x\right) =0$ para $x\geq 0$ e $f\left( x\right) =-2x$ para $x<0$. Faça o gráfico dessa função.


    639   

    Sejam $f(x)=\sqrt{\displaystyle{\frac{x+3}{x-3}}}$ e $g(x)=\displaystyle{\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}}$. Determine o domínio da função $f$ e o domínio da função $g$. É verdade que $f=g$?


    1817   

    Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

    1. $x^2e^x\cos{x}$
    2. $e^x \sinh{x} \cos^2{x}$



    1489   

    O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional? Justifique.


    É irracional.


    1913   

    A região entre a curva $y^2=kx$ e a reta $x=\dfrac{1}{4}k$ é feita girar em torno da reta $x=\dfrac{1}{2}k$. Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante.



    $\frac{\pi  k^4}{48}$


    1334   

    Considere a área entre a curva $y=x^{4}$ e o eixo $x$, primeiro no intervalo $\left[ -1,1\right] $ e depois no intervalo $\left[1,a\right] $. Determinar $a\geq 1$ tal que estas áreas sejam iguais.


    743   

    Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por $y=x-x^{2}$ e $y=0$ ao redor da reta $x=2$.


    840   

    Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado:

    $f\left( x\right) =\dfrac{\ln \left( x^{2}\right) +5x^{3}}{1+\cos^{2}x};$ avaliar em $f\,^{\prime }\left( \pi /2\right) .$.


    $f'(x) = (15 x^2 + 2/x)/(\cos^2 x + 1) + (2 (5 x^3 + \log(x^2)) \sin x \cos x )/(\cos^2 x + 1)^2$.

    $f'(\pi/2) = \dfrac{4}{\pi} + \dfrac{15 \pi^2}{4}$.


    1595   

    Se uma função par $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?


    Ela também terá um máximo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação ao eixo das ordenadas.


    670   

    Calcule a integral $\int e^{x}\sin xdx$.


    $\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$.


    323   

    Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:

    Mestre Florindo, raizeiro famoso, vende suas garrafas medicinais por 5 reais, na feira de Caruaru.

    1. Se ele vende $q$ unidades, então $R(q) = 5q$, que é a sua função receita.

    2. Se ele tem um custo em torno de $40\%$ de sua receita, o seu custo pode ser estimado pela equação $C(q) = 2q$.

    3. Se, além disso, o mestre gastou $R\$ 900,00$ em materiais para confecção do seu famoso produto, ele deverá vender $300$ garrafas para recuperar o seu custo total.

    4. O lucro do mestre é dado pela função afim $L(q)=5q-900$.


    1. Verdadeiro.
    2. Verdadeiro.
    3. Verdadeiro, pois o lucro total $L(q)$ é $L(q)=R(q)-C(q)-900=3q-900$ e temos que $T(q)=0$ se $q=300$.
    4. Falso, $L(q)=3q-900$.

    940   

    Calcule, pela definição, o limite $ \lim_{x\to 0} \sin x= 0$ (Dica: use o fato que $|\sin x| \leq |x|$, sendo uma igualdade apenas para $x=0$.)



    Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-0|<\delta$, $|f(x)-0|<\epsilon$. Em termos simples, queremos mostrar que quando $|x|<\delta$, $|\sin x| < \epsilon$.

    Considere $\delta = \epsilon$. Podemos presumir que $|x|<\delta$. Usando a dica do enunciado, temos que $|\sin x | < |x| < \delta = \epsilon$. Portanto, se $|x|<\delta$, sabemos imediatamente que $|\sin x| < \epsilon$.


    1599   

    Um termômetro de mercúrio demorou $14s$ para subir de $-19° C$ para $100° C$ após ser retirado de um congelador e colocado em água fervendo. Considerando que, no termômetro em questão, a distância entre dois graus subsequentes é de $1mm$, demonstre que em algum instante a coluna de mercúrio subia a $8,5mm/s$.


    1313   

    Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto deve conter $180000$ metros quadrados para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca se não há necessidade de cerca ao longo do rio?


    148   

    Mostre que a equação

      \begin{equation*}
      x^{26}+x^{2}-320=0
      \end{equation*}

      possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.


    1716   

    Dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada curva de uma família for ortogonal a cada curva da outra. Faça um esboço de gráfico da família de curvas $x^2+(y-c)^2=c^2$ e da família $(x-k)^2+y^2=k^2$ no mesmo plano cartesiano, para alguns valores de $c$ e $k$ reais (se necessário, utilize algum recurso computacional). Mostre que estas famílias (de círculos) são ortogonais uma da outra. (Sugestão: retas tangentes são perpendiculares em um ponto de interseção se as suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra.)


    1608   

    A média geométrica de dois números reais positivos $a$ e $b$ é definida como $\sqrt{ab}$. Prove que $\sqrt{ab}=\lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x$.


    33   

    Calcule os seguintes limites:

    1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 5-3x+4x^{2}-x^{3}\right)$

    2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{3}-6x-3}{6x^{3}+2}$


    1. $-\infty$
    2. $5/6$

    168   

    Seja $f$ uma função contínua em $[-1,1]$ sendo que $f(-1) = -10$ e $f(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $f(c) = 11$? Por quê?



    Não se pode dizer. O Teorema do Valor Intermediário apenas se aplica, neste caso, para valores entre $-10$ e $10$; como $11$ não pertence a este intervalo, o teorema não nos permite afirmar nada sobre a possibilidade da existência de $c$.


    1572   

    Prove que se $f$ for derivável em $p$, então $f$ será contínua em $p$. 



    Veja Guidorizzi, volume $1$, página $152$.


    73   

    Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função  $f(x)=\frac{-3 x^2-9 x-6}{5 x^2-10 x-15}$.


     Assíntota horizontal em $y=-3/5$; assíntota vertical em $x=3$.


    1499   

    Esboce juntas as curvas dadas no plano cartesiano e identifique cada uma com sua equação:
    $y=3^x$, $y=8^x$,$y=2^{-x}$, e $y=\left( 1/4 \right)^{x}$.


    1332   

    Determine uma primitiva para cada uma das funções:

    1. $f(x)=cosx$

    2. $f(x)=tgx$


    1272   

    Calcule a seguinte integral:
       $ \int_{-\infty}^{e^4}\frac{\ln (x)}{x}dx$.


    655   

    Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

    1. $y=\sqrt{9-(2-x)^{2}}$

    2. $y=7/2-\sqrt{13-(2+x)^{2}}$


    565   

    Estude a função   $f\left( x\right) =xe^{-3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


    546   

    Esboce o gráfico de $f(x)= \frac{x^2-2x^3}{x^2-1}$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.




    536   

    Ache os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função $f(x)=x+3x^{2/3}$.


    1111   

    Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
      $f'(x) = 4x^3-3x^2$ e $f(-1)= 9$


      $x^4-x^3+7$


    161   

    Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua que satisfaz as seguintes propriedades:

    1. $f(n)=0$, para todo inteiro $n$;
    2. Se $f(a)=0$ e $f(b)=0$ então $f \left(\frac{a+b}{2} \right)$.

      Mostre que $f(x)=0$, para todo real $x$.


    1529   

    O projetista de um balão esférico (um projetista excêntrico) de ar quente com $10m$ de diâmetro quer suspender uma gôndola a $2m$ abaixo da parte inferior do balão, presa por cabos tangentes à superfície deste. Dado que os cabos, saindo da lateral do balão, tangenciam a superfície do mesmo nos pontos $(4,-3)$ e $(-4,-3)$, qual deve ser a largura da gôndola?

    fig_tangente_1.png


    959   

    Calcule o seguinte limite, caso exista:

    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) }$



    $\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\sin \left( \pi x\right)}{x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\pi \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{23\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} }. \end{array}$


    Fazendo as mudanças de variáveis $y = \pi x$ e $t = 23x$, temos que 


    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\pi x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( y\right) }{y} = 1 $.


    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( 23 x\right) }{23 x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( t\right) }{t} = 1 $.


    Onde nas últimas passagens usamos o limite fundamental do seno. Desse modo, sabendo que os limites existem, podemos substituí-los na expressão anterior:


    $\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \dfrac{\pi}{23} \dfrac{1}{1} \\ &=& \dfrac{\pi}{23}. \end{array}$


    1194   

    Calcule a derivada da seguinte função:
     $f\left(  x\right)  =\frac{\left(  x^{3}+1\right)  ^{5}}{\left(x^{2}+1\right)  ^{4}}.$


    $\frac{x \left(x^3+1\right)^4 \left(7 x^3+15 x-8\right)}{\left(x^2+1\right)^5}$


    595   

    Resolva a equação $\left| {\frac{3x+8}{2x-3}}\right| =4$.



    Temos duas possibilidades: $\frac{3x+8}{2x-3}=4$ ou $\frac{3x+8}{2x-3}=-4$. Da primeira equação obtemos $3x+8=8x-12$, i. e., $x=4$. Da segunda equação obtemos $3x+8=-8x+12$, que fornece $x=4/11$.


    343   

    Encontre todos os pares de inteiros $m,n\geq 3$ tais que existem infinitos inteiros positivos $a$ para os quais

    $\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$ é um inteiro.


    215   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes

    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    1-\cos^2 x, & & \text{ se }  x<a \\
    \sin^2 x, & & \text{ se }  x\geq a
    \end{array},
    \right.$
    sendo que $a$ é um número real.

    1. $ \lim\limits_{x\to a^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to a^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to a} f(x)$

    4. $f(a)$


    1. $1-\cos^2 a = \sin^2 a$
    2. $\sin^2 a$
    3. $\sin^2 a$
    4. $\sin ^2 a$


    790   

    Dê a definição de derivada de uma função $f$ no ponto $p\in \mathbb{R}.$ O que é a função derivada $f^{\prime }(x)$?


    558   

    Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$.


    896   

    Esboce o gráfico da função $f(x)=|(x-1)^2-3|$.



    589   

    Se $0<x<y$ prove que $\sqrt[3]{y-x}>\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{x}$.


    195   

    Prove que não existe inteiro entre $0$ e $1$.


    A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

    Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


    Dica: Suponha que exista um número inteiro $n$ tal que $0<n<1$. Então...


    1682   

    A trombeta de Torricelli, também conhecida como trombeta de Gabriel, em referência à passagem da bíblia na qual o arcanjo Gabriel anuncia o dia do julgamento com sua trombeta,  é uma figura geométrica bastante interessante. Ela é descrita a partir da rotação da função $1/x$ no domínio $x>1$ em relação ao eixo $x$. Calcule sua área e seu volume.



    A área de uma superfície de revolução é dada por:

    $A=\int_{a}^b 2 \pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\ dx$


    Assim, temos, para a trombeta de Torricelli:

    $A= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left(2 \pi \int_{1}^{a}\ \frac{1}{x} \sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\ dx\right)$

    Portanto, como $\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}>1$:

    $A > \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x} \ dx\right)= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi ln\ a\right)$


    para $a\rightarrow \infty$, vemos que a área $A$ tende ao infinito.

    Quanto ao volume, temos que:

    $V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2}\ dx\right)$

    Portanto, obtemos:

    $V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\ \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)$

    Que para $a\rightarrow \infty$ tende a $V=\pi$.


    341   

    Encontre todos os números naturais $k$ para os quais a seguinte afirmação é verdadeira: Se $F(x)$ é um polinômio com coeficientes inteiros que satisfaz $0\leq F(c)\leq k$ para todo $c\in\{0,1,\ldots,k+1\}$ então $F(0)=F(1)=\cdots=F(k+1).$


    622   

    Se um corpo de peso $P$ é arrastado ao longo de um piso horizontal  por meio de uma força de grandeza $F$ e orientada segundo um  ângulo $\theta$ radianos com o plano do piso, então $F=\frac{kP}{k\sin \theta +\cos \theta}$, onde $k$ é  uma constante. Encontre $\cos \theta$, quando $F$ for mínimo.


    1299   

    Utilize a fórmula
      \[
      S=\int_{a}^{b}2\pi f\left(  x\right)  \sqrt{1+\left(  f^{\prime}\left(
      x\right)  \right)  ^{2}}dx
      \]
      para mostrar que a superfície de uma esfera de raio $R$ é $4\pi
      R^{2}$.



    Uma esfera de raio $R$ centrada na origem pode ser obtida pela rotação ao redor do eixo $x$ do semicírculo $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ com $y\geq0$. Este semicírculo pode ser visto como o gráfico da função $f\left(  x\right)  =\sqrt{R^{2}-x^{2}}$, com $t\in\left[-R,R\right]  $.
      Considerando $f\left(  x\right)  =\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ temos que:
      \[
      f^{\prime}\left(  x\right)  =-\frac{t}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\text{.}%
      \]
      Usando a fórmula acima temos que:
      \begin{align*}
      S  & =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{1+\left(  f^{\prime}\left(
      x\right)  \right)  ^{2}}dx\\
      & =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\\
      & =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{\frac{\left(  R^{2}-x^{2}\right)
      +x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\\
      & =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\\
      & =\int_{-R}^{R}2\pi R\frac{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}dx\\
      & =\int_{-R}^{R}2\pi Rdx
      \end{align*}
      Temos então que:
      \begin{align*}  S  & =\int_{-R}^{R}2\pi Rdx\\  & =\left.  2\pi Rx\right\vert _{-R}^{R}\\  & =4\pi R^{2}  \end{align*}


    1287   

    Determine os intervalos para os quais a função
      \begin{equation*} f\left(  x\right)  =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+1\text{ se }x\leq0\\ \cos x\text{ se }0<x<1\\ x^{2}+1\text{ se }1\leq x \end{array} \right. \end{equation*} é contínua. Justifique sua resposta.




    As funções $x^{2}+1$ e $\cos x$ são ambas contínuas e por isto $f\left(  x\right)  $ é contínua para todo $x\neq0,1$. É necessário verificar a continuidade nos pontos $x=0$ e $x=1$.

    Para $x=0$ temos que $\lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\left(  x^{2}+1\right)  =1$ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\cos x=1$, logo $f\left(  x\right)  $ é contínua em $x=0$, pois ambos oslimites laterais existem, são iguais e coincidem com o valor da função no ponto.

    Para $x=1$ temos que $\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\cos x=\cos\left(  1\right)  $ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(x^{2}+1\right)  =2$, e como $\cos\left(  1\right)  \neq2$ temos que $f\left(x\right)  $ não é contínua em $x=1$, pois apesar dos limites laterais existirem estes são distintos.


    1180   

    Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre se verdadeiro
    ou dê contra-exemplo se for falso.

    1. $|x-y|\leq |x|+|y|,\forall x,y\in \mathbb{R}$.
    2. $x<y\Longrightarrow x^{2}<y^{2}$.
    3. $x<y\Longleftrightarrow 1/y<1/x$.


    1795   

    Considere um tanque de formato cilíndrico que é utilizado para armazenamento de produtos químicos líquidos, com diâmetro de $10$m. Sua posição é tal que suas seções transversais circulares são verticais. Se o produto químico ocupa o cilindro até $7$m de profundidade, qual porcentagem da capacidade total que está sendo utilizada?


    333   

    Encontre todas as funções polinomiais $f$ com coeficientes reais tais que $(x-27)f(3x)=27(x-1)f(x)$ para todo número real $x$.


    891   

    Resolva a equação modular $|x-2|-|x-1| =2$.



    104   

    Determine os valores para os quais a função \begin{align*} f(x) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+1,\text{ se }x\leq0 \\ \cos x, \text{ se } 0<x<1 \\ x^{2}+1, \text{ se }1 \leq x \end{array} \right.\end{align*} é contínua. Justifique sua resposta.




    1195   

    Calcule a derivada da seguinte função:
     $f\left(  x\right)  =\tan\left(  x\right)  \cos^{2}\left(  x\right)  .$


    150   

     Mostre que $f(x) = \cos x - \frac{x}{10}$ tem pelo menos dois zeros em $[0, 2\pi]$.


    918   

    Para tranformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula $C=\dfrac{5(F-32)}{9}$, em que $F$ é o número de graus Fahrenheit e $C$ é o número de graus centígrados.

    1. Transforme $35$ graus centígrados em graus Fahrenheit.
    2. Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados?


    200   

    Prove que $\log2$ é um número irracional.

    A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

    Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


    Dica: Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log2=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.


    803   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

    $f\left( x\right) =e^{x}\cos x$.


    $f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$.



    Usando a regra da derivada do produto, temos que

    \[f^\prime(x) = (e^x \cos x)^\prime = (e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime.\]

    Como $(e^x)^\prime = e^x$ e $(\cos x)^\prime = -\sin x$, então

    \[(e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime = e^x \cos x + e^x (-\sin x) .\]

    Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que

    \[f^\prime (x) = e^x (\cos x- \sin x).\]

    1183   

    Prove que para todo $x>0$ vale $x+\frac{1}{x}\geq 2$. Para quais números $x>0$ vale a igualdade?


    212   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    a(x-b)^2+c, & & \text{ se }  x<b \\
    a(x-b)+c, & & x \text{ se } \geq b
    \end{array}
    \right.,$
    sendo que $a$, $b$ e $c$ são números reais.

    1. $ \lim\limits_{x\to b^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to b^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to b} f(x)$
    4. $f(b)$


    1. $c$
    2. $c$
    3. $c$
    4. $c$



    1263   

    Se $f(8)=12$, $f'(x)$ é contínua e ${ \int_1^8 f'(x)dx=30}$, determine o valor de $f(1)$.


    1124   

    Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

    fig_int_definida_9.png

    1. $\int_0^2 f(x)\ dx$
    2. $\int_2^4 f(x)\ dx$
    3.  $\int_0^4 f(x)\ dx$
    4. $\int_0^4 5f(x)\ dx$


    1. $\pi$
    2. $\pi$
    3. $2\pi$
    4. $10\pi$


    1130   

    Aproxime numericamente o seguinte limite
      $ f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$



    1.  \begin{array}{cc}
        x & f(x) \\ \hline
        2.9 & -335.64 \\
         2.99 & -30350.6 \\
          \end{array}
         A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.  
    2.   \begin{array}{cc}
        x & f(x) \\ \hline
         3.1 & -265.61 \\
         3.01 & -29650.6 \\
          \end{array}
          A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-\infty$.
    3. As tabelas parecem indicar que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-\infty$.


    663   

    Derive a função $g\left( x\right)  = \int_{\tan x}^{x^{4}}\dfrac{u^{2}+1}{\sqrt{u^{2}+2u}}du$.


    1524   

    De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto parece, a um observador, depender da velocidade relativa entre este e o objeto. Se o observador estabelecer o comprimento do objeto, em repouso, como $L_0$, então o comprimento, a uma velocidade $v$, parecerá:
    $L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.
    Esta equação é chamada Fórmula de Contração de Lorentz, sendo que $c$ é a velocidade da luz no vácuo, em torno de $3\times10^8m/s$. Qual o comportamento de $L$ conforme $v$ aumenta?
    Determine $\lim\limits_{v\rightarrow c^- }L$. Por que o limite lateral à esquerda foi necessário, e como esta necessidade se relaciona com as Leis da Física?





    1569   

    Seja $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    x+1, & \text{se } x<2 \\
    1, & \text{se } x \geq 2
    \end{array}\right.$

    1. $f$ é contínua em $2$. Por quê?
    2. $f$ é derivável em $2$. Por quê?


    1. Não.
    2. Não


    1763   

    Prove que $\cosh'(x)=\sinh(x)$.


    648   

    Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas.

    1. $f(x)=\tan x$

    2. $f(x)=x^{2}+1$


    1681   

    Calcule a seguinte integral:

    $\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{4-x}}}$


    Não converge.


    957   

    Calcule o limite, caso exista:

    $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\left( x-\sqrt{x^2 + 4x} \right) $


    919   

    Esboce o gráfico de $f(x) = |x-1|+3.$



    1464   

    A Lei de Ohm para circuitos elétricos, afirma  que a queda de tensão em um resistor $R$ sob corrente $I$ é $V=RI$. Uma empresa recebeu pedidos de fornecimento de resistores para um circuito como o da figura a seguir. Neste circuito, $V=120V$ e, para atender as especificações de segurança e de funcionamento desejado do circuito, a corrente deve ser $I=5\pm0,1A$. Em que intervalo $R$ deve ficar para que $I$ esteja dentro da margem de segurança?

    fig_intervalo_1.reduzida.png



    Pela Lei de Ohm, conseguimos escrever que $I=\frac{V}{R}$. Para $V=120V$ fixo, a corrente depende portanto apenas do valor da resistência, sendo inversamente proporcional a esta. 

    A corrente deve estar no intervalo $4,9 \leq I \ leq 5,1$. Temos que $R_{max}=\frac{120}{I_{min}}\approx 24,49$ e $R_{min}=\frac{120}{I_{max}}\approx 23,53 \Omega$.

    Portanto, $23,53 \leq R \leq 24,49$.


    684   

    Calcule o limite justificando as passagens.

    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}$.


    1722   

    A aproximação $(1+x)^k \approx 1+kx$ pode ser utilizada para cálculos rápidos.

    1. Mostre porque esta aproximação é boa e use-a para fazer uma estimativa simples de $(1,001)^{37}$.

    2. Compare sua estimativa com a obtida por meio de algum recurso computacional (pode ser uma calculdadora científica).

    3. Agora utilize esta aproximação para calcular $(1,1)^{37}$ e compare com o recurso computacional. O que acontece neste caso? Justifique.


    1092   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int 3x^3\ dx$


     $3/4x^4+C$


    915   

    Determine o conjunto de todos os números reais para os quais a expressão $\sqrt{x}{1-x^2}$ está definida.


    789   

    Demonstre que as retas tangentes às curvas $4y^3-x^2y-x+5y=0$ e $x^4-4y^3+5x+y=0$ na origem são perpendiculares.


    1620   

    Este exercício pretende se debruçar sobre os limites

    $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x$ e $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$.

    1. Use a regra de L'Hospital para mostrar que $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$.
    2. Com o auxílio de recursos computacionais, observe as curvas de $f(x)=\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x$ e $g(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ em um único gráfico, para $x \geq 0$. Como o comportamento de $f$ se relaciona com o de $g$? Estime o valor de $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$.
    3. Confirme sua estimativa de $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$ através da regra de L'Hôspital.


    1291   

    Calcule a área no plano entre os gráficos de $f\left( x\right) =x^{3}-x$ e $g\left( x\right) =sen\left( \pi x\right) $ no intervalo $[0,1]$.


    1735   

    Seja $f(x)=ax^2+bx+c$, onde $a>0$. Prove que $f(x)\geq 0$ para todo $x$ se, e somente se, $b^2-ac\leq 0$. [Sugestão: ache o mínimo de $f(x)$.]



    732   

    Encontre a área limitada pela elipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\text{.}$


    153   

    Mostre que toda equação polinomial de grau ímpar, tem pelo menos uma raiz real.


    801   

    Ache uma fórmula para a soma $1+2x+3x^2 +\cdots +nx^{n-1}$.


    $\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}$, $x \neq 1$. Se $x=1$, a soma dá $\dfrac{n(n+1)}{2}$.


    688   

    Calcule o limite justificando as passagens.

    $\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$.


    739   

    Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
      $y=x^{2},0\leq x\leq 2,y=4,x-0$ ao redor do eixo $y.$



    326   

    Duas pequenas fábricas de calçados, $A$ e $B$, têm fabricado, respectivamente, $3000$ e $1100$ pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica $A$ aumentar sucessivamente a produção em $70$ pares por mês e a fábrica $B$ aumentar sucessivamente a produção em $290$ pares por mês, em que mês a produção da fábrica $B$ superará a produção de $A$ pela primeira vez?


    1265   

    Calcule a seguinte integral:
       $\int{x^2e^{2x}dx}.$


    $\dfrac{1}{4}e^{2x}(2x^2-2x+1)+C$.


    1723   

    Uma escada de $4$m está apoiada em uma parede fazendo um ângulo $\theta$ com o chão. Considerando $h$ como a altura do chão até o ponto em que a escada encosta na parede, expresse $h$ em função de $\theta$ e, então, use $dh$ para estimar a variação em $h$ se $\theta$ varia de $60^\circ$ a $59^\circ$, de $60^\circ$ a $58^\circ$, e de $60^\circ$ a $55^\circ$. Interprete estes resultados.


    661   

    Use o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia para calcular a derivada da função $f(x)=\int_1^{\sin x}e^{t^2} dt$. Indique claramente a justificativa de cada passagem e, em seguida, calcule $f'(\pi)$.


    1530   

    A resposta do corpo humano a uma dose de um medicamento pode ser representada pela equação:
    $$R=M^2\left(\dfrac{C}{2}-\dfrac{M}{3}\right),$$
    onde $C$ é uma constante positiva e $M$ a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue. Se $R$ for uma variação da pressão sanguínea, é medida em milímetros de mercúrio; se for variação de temperatura, é medida em graus. Determine a sensibilidade do organismo ao medicamento,  $dR/dM$.


    1262   

    Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada da função $g(x)={ \int_x^{x^2}\cos (t^2)dt}$.


    524   

    Dois automóveis movem-se em direção a um cruzamento em ângulo reto, um dirigindo-se para o leste à razão de $72 km/h$ e o outro para o sul à razão de $54 km/h$. Com que velocidade os carros aproximam-se um do outro no instante em que o primeiro está a $400 m$ e o segundo a $300 m$ do cruzamento?




    1090   

    É mais correto se referir a uma antiderivada de $f(x)$ ou a antiderivada de $f(x)$?


    O correto é uma antiderivada, já que existem infinitas antiderivadas para uma dada função.


    103   

    Considere a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} a-x, & \text{se } x<-1 \\ x, & \text{se } -1\leq x<1 \\ \dfrac{2}{x}+b, & \text{se } 1\leq x \end{array} \right. . \end{align*}

    1. Encontre os limites laterais a direita e a esquerda de $f$ nos pontos $1$ e $-1.$
    2. Determine os valores de $a$ e $b$ que tornam $f$ contínua em toda a reta.
    3. Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left(x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\;\infty }f\left( x\right) $.


    98   

    Calcule os limites:
    1. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( x^{2}+5xh^{2}\right) $
    2. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{1/x-1/2}{x-2}$



    631   

    Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f^{\prime \prime }\left( x\right)  = \dfrac{1}{x^{2}}+8e^{2x}+2,\;f^{\prime }\left( 2\right) =4e^{4}\text{ e }f\left( 1\right) =2e^{2}\text{.} \end{equation*}


    659   

    Mostre que a área $A$ de um círculo de raio $r$ é $A=\pi r^{2}$.


    1811   

    As funções da forma $$f(x)=cx^ne^{-x},\quad x>0,$$ onde $n$ é um inteiro positivo e $c=1/n!$ surgem no estudo estatístico do fluxo de tráfego.

    1.  Use um recurso gráfico computacional  para gerar o gráfico de $f$ com $n=2,3,4$ e $5$ e faça uma conjectura sobre o número e a localização dos extremos relativos de $f$.

    2.  Confirme a sua conjectura usando o teste da derivada primeira.


    1802   

    Sejam $f$ e $g$ funções contínuas tais que $0 \leq f(x) \leq g(x)$, para $x\geq a$. Utilizando conceitos de área, explique informalmente o porquê dos resultados abaixo serem verdadeiros.

    1. Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ diverge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ diverge.

    2. Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ converge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ converge e $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$.

    Obs: estes resultados são chamados de testes de comparação para integrais impróprias.


    1655   

    Quais valores de $a$ e $b$ minimizam o valor de

    $\int_a^b\left(x^4-2x^2\right)dx$?


    116   

    Responda os seguintes itens:
    1. Calcule $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2}{x} - 5\cos(\frac{1}{x^2+2x})}{-\frac{5}{x} + 2\cos(\frac{1}{x^2+2x})}$.

    2. Existe algum número real $a$ tal que a função $f(x) = \left\{\begin{array}{ccl}\displaystyle\frac{\frac{2}{x} - 5\cos(\frac{1}{x^2+2x})}{-\frac{5}{x} + 2\cos(\frac{1}{x^2+2x})},& \mbox{se} & x\neq 0\\ a, & \mbox{se} & x=0 \end{array} \right.$ seja contínua?


    1521   

    Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $2$, mas que $\lim\limits_{x \to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^-}f(x)$.


    190   

    Quatro números inteiros positivos e distintos, $m, n, p$ e $q$, satisfazem a equação $(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4$.

    Calcule a soma $m+n+p+q$.


    A única maneira de escrevermos $4$ como produto de inteiros positivos, a menos de ordem dos fatores,  é $4=1 \cdot 1\cdot 2 \cdot 2$. Assim, uma possibilidade é $m=n=6, p=q=5$. Há várias outras possibilidades, mas que não alterarão a soma $m+n+p+q=22$. De fato, se mudássemos os valores de $m,n,p$ e $q$, eles continuaríam sendo $1,1,2$ e $2$ em alguma ordem e a soma não mudaria, já que a adição é comutativa e associativa.


    852   

    Determine as derivadas das seguintes funções:

    1. $f\left( x\right) =e^{\tan \left( x^{3}\right) }$.

    2. $f\left( x\right) =\left( a\sin x+\cos bx\right)^{3};$

    3. $f\left( x\right) =\dfrac{xe^{-3x}}{1+\cos x}.$


    334   

    Seja $P(x)$ um polinômio com coeficientes inteiros. Suponha que existam quatro inteiros distintos $a,b,c$ e $d$ tais que $P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=5$. Prove que não existe inteiro $k$ tal que $P(k)=8$.


    541   

    Determine $a$ para que a equação $x^{3}+3x^{2}-9x+a=0$ admita uma única raiz real.



    Primeiramente, calculamos $f'(x)$ e $f''(x)$. Temos então

    $f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$

    $f''(x)=6x+6$

    Pela análise de sinal da segunda derivada, vemos que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1$ e uma concavidade para cima para $x>-1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que há um máximo local em $x=-3$ e um mínimo local em $x=1$. Assim, avaliando a função em $x=-3$ tem-se $f(-3) = 27+ a$. Qualquer valor de $a$ que torne $f(-3)<0$ garante que $f(x)$ terá apenas uma única raiz real. Finalmente, portanto, tem-se:

    $a<-27$


    97   

    Calcule os limites:
    1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}$
    2. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}$
    3. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

    156   

     Seja $f:[a,b] \to [a,b]$ uma função contínua. Prove que $f$ possui um ponto fixo, ou seja, algum valor de $x$ tal que $f(x)=x$.


    1748   

    1. Mostre que se $f''(a)$ existe, então $f''(a) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - 2f(a) + f(a-h)}{h^2}.$ (Sugestão: use o polinômio de Taylor $P_{2,a}(x)$ com $x=a+h$ e com $x=a-h$).

    2. Conclua que $\dfrac{f(a+h) - 2f(a) + f(a-h)}{h^2}$ é uma boa aproximação para $f''(a)$, para $h$ pequeno.

    3. Sabendo que a posição de uma partícula em função do tempo $x(t)$ é tal que $x(0)=2$, $x(1)=4$ e $x(2)=5$, utilizando a fórmula acima obtenha uma aproximação para a aceleração da partícula entre os tempos $t=0$ e $t=2$. (Escolha apropriadamente os valores de $a$ e $h$).


    163   

    Enuncie e demonstre o Teorema do Confronto.


    1199   

    Resolva a equação $\left| {\frac{3x+8}{2x-3}}\right| =4$.


    1557   

    Um modelo de densidade urbana é uma fórmula que relaciona a densidade populacional (em número de habitantes por $km^2$) com a distância $r$ (em $km$) do centro da cidade. É considerada apropriada  para certas cidades a fórmula $D=ae^{-br+cr^2}$, com $a,b$ e $c$ constantes positivas. Determine a forma do gráfico de $D$ para $r \geq 0$.


    1828   

    Se uma função racional $P(x)/Q(x)$ é tal que o grau do numerador excede o grau do denominador em $1$, então o gráfico de $P(x)/Q(x)$ terá uma assíntota oblíqua, isto é, uma assíntota que não é nem horizontal nem vertical. Para ver por quê, efetuamos a divisão de $P(x)$ por $Q(x)$ obtendo $$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}= (ax+b) + \dfrac{R(x)}{Q(x)}, $$ onde $(ax+b)$ é o quociente e $R(x)$ é o resto. Use o fato de que o grau do resto $R(x)$ é menor do que o grau do divisor $Q(x)$ para auxiliá-lo a provar que $$ \lim_{x\to \infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0 \quad \text{e} $$ $$ \lim_{x\to -\infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0. $$ Este resultado nos diz que o gráfico da equação $\displaystyle y =P(x)/Q(x)$ "tende"  à reta $y=ax+b$ (assíntota oblíqua) quando $x\rightarrow +\infty$ ou $x\rightarrow -\infty$.


    1511   

    O quociente $(log_4\ x)/(log_2\ x)$ possui um valor constante. Qual valor é este?


    45   

    A função $f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2-1 & & x < 3 \\x+5 & & x\geq 3 \end{array}\right.$ é contínua em todo o seu domínio? Justifique.


    Sim, é. O único ponto em que não poderia  (inicialmente) ser contínua é em $x=3$. Todavia, temos $\lim\limits_{x\to 3^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=f(3)=8$.


    1266   

    Calcule a seguinte integral:
       $\int{x\cos x dx}.$


    $xsinx+cosx+C$


    810   

      Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

      $f\left( x\right) =\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$.


    $f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.



    Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sqrt{x}$ pela função $x+1$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:

    \[\left( \dfrac{\sqrt{x}}{x+1} \right)^\prime = \dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - \sqrt{x}\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2}.\]

    Sabendo que

    \[(\sqrt{x})^\prime = \left(x^{1/2}\right)^\prime = \dfrac{1}{2} x^{\left(\tfrac{1}{2}-1\right)} = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\]

    e que

    \[(x+1)^\prime = (x)^\prime + (1)^\prime = 1 + 0 = 1,\]

    podemos usar essas expressões na regra do quociente e, assim, obter que

    \[\dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - (\sqrt{x})\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{x}{2 \sqrt{x}} +\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} -\dfrac{x}{\sqrt{x}}}{(x+1)^2}.\]

    Disso, podemos concluir que

    \[f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}.\]


    1110   

    Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
      $f'(x) = 3x+2$ e $f(0)= 7$


     $\frac{3 x^2}{2}+7 x+7$


    1764   

    Prove que $\sinh'(x)=\cosh(x)$.



    572   

    Estude a função $f\left( x\right) =e^{x}-e^{3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


    729   

    Calcule o seguinte limite:

    $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right) $.


    $-\infty$.


    1531   

    Em um gerenciamento de estoques, o custo médio semanal de pedidos, pagamentos e armazenamento de mercadoria é dado por:
    $$A(q)=\dfrac{km}{q}+cm+\dfrac{hq}{2},$$
    onde $q$ é a quantidade de produtos pedida em períodos de baixa no estoque; $k$ é o custo (fixo) da colocação de um pedido; $c$ é o custo (também fixo) de cada item; $m$ é a quantidade de itens vendidos por mês; e $h$ é o custo mensal para manter cada item (custos de espaço, seguro, etc). Determine $dA/dq$ e $d^2A/dq^2$. Interprete os resultados.


    68   

    Suponha que para todo $x$, $\left| f\left( x\right) \right| \leq x^{4}$. Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x\right) }{x}.$


    1517   

    Prove que a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    x, & \text{se x é racional} \\
    -x, & \text{se x é irracional}  
    \end{array}\right.$ é contínua em $0$.


    155   

    Determine todas as funções contínuas $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tais que $f(x+y)=f(x)f(y)$ para quaisquer x, y reais.


    201   

    Prove que $\log3$ é um número irracional.

    A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

    Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).


    Dica: Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log3=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.


    130   

    Mostre que  função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x^2}$ é contínua em seu domínio.


    1123   

    Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

    fig_int_definida_8.png

    1. $\int_0^1 (x-1)\ dx$
    2. $\int_0^2 (x-1)\ dx$
    3. $\int_0^3 (x-1)\ dx$
    4. $\int_2^3 (x-1)\ dx$
    5. $\int_1^4 (x-1)\ dx$
    6. $\int_1^4 \big((x-1)+1\big)\ dx$


    1. $-1/2$
    2. $0$
    3. $3/2$
    4. $3/2$
    5. $9/2$
    6. $15/2$


    1515   

    Determine $f$ de modo que $g(f(x))=x$ para todo $x \in D_f$, sendo $g$ dada por:

    1. $g(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}$
    2. $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$


    1534   

    Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

    1. $xe^x\cos{x}$
    2. $e^x \sin{x} \cos{x}$


    1541   

    Calcule $f'(x)$ sendo

    1. $f(x)=tg{x}$
    2. $f(x)=sec{x}$


    1. $f'(x)=sec^2(x)$.

    2. $f'(x)=sec(x)tg(x)$.


    1137   

    Escreva a taxa de crescimento de $y$ em termos das taxas de crescimento de $k$, $l$ e $m$ para os seguintes casos. Assuma $\beta$ como uma dada constante.

    1. $y=k^{\beta }$ 
    2. $y=k/m$


    1790   

    Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ e suponha que exista $M>0$ tal que $|f(x)-f(p)|\leq M|x-p|$ para todo $x$. Prove que $f$ é contínua em $p$.


    1749   

    Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função derivável, tal que $f'(x)=\alpha f(x)$ para todo $x$ e sendo $\alpha$ uma constante diferente de zero. Mostre que existe uma constante $k$ tal que, para todo $x$:

    $$f(x) = k e^{\alpha x}$$


    1625   

     Algumas curvas são tão planas que, na prática, o Método de Newton não consegue se aproximar da raiz suficientemente para fornecer uma aproximação útil. Tente utilizar o Método de Newton em $f(x)=\left(x-1\right)^{40}$ com a estimativa inicial $x_0=2$ para observar a qualidade das aproximações. Utilizando recursos computacionais, observe o gráfico da função.


    610   

    Mostre que $\sqrt{xy}\leq {\frac{x+y}{2}}$$\forall x,y\geq 0$.



    Elevando ambos os membros da expressão $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ ao quadrado obtemos $xy\leq \dfrac{x^2+2xy+y^2}{4}$. Simplificando chegamos a $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq0$. Como a última expressão obtida é verdadeira e todas as expressões são equivalentes entre si, segue o resultado. Esse resultado diz que a média geométrica entre dois dois números reais positivos é sempre menor que, ou igual, à média aritmética entre eles.


    1898   

    Prove que se $f$ é integrável em $\left[a,b\right]$ e $m \leq f(x) <M$ para todo $x$ em $\left[a,b\right]$, então $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)\mu$ para algum $\mu$ tal que $m < \mu <M$.



    71   

    Construa uma função com uma assíntota vertical em $x=5$ e uma assíntota horizontal em $y=5$.


    1030   

    Utilizando o gráfico, avalie os seguintes limites para a  função

    $ f(x) = \frac{1}{(x-3)(x-5)^2}$.

    fig_assintotas_verticais_2.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 3^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to 3^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to 3} f(x)$

    4. $ \lim\limits_{x\to 5^-} f(x)$

    5. $ \lim\limits_{x\to 5^+} f(x)$

    6. $ \lim\limits_{x\to 5} f(x)$


    1. $-\infty$
    2. $\infty$
    3. O limite não existe
    4. $\infty$
    5. $\infty$
    6. $\infty$

    630   

    Determine $f\left(x\right)$ sabendo que:
    \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \cos 2x+6x+4,\;f\,^{\prime }\left(0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .}\end{equation*}



    Primeiramente, calcula-se a integral indefinida

    $f\,^\prime(x)=\int  \left(\cos 2x+6x+4\right)\,dx = 3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+C_1$

    Pelo dado do enunciado $f\, ^\prime(0)=2$.  Avaliando a expressão acima para $x=0$, vê-se que $C_1=2$. Para obter $f(x)$, calcula-se novamente a integral indefinida:

    $f(x)=\int \left(3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+2\right)\,dx =x^3+2 x^2+2 x-\frac{\cos ^2(x)}{2}+C_2 $

    De acordo com o enunciado, $f(0)=0$. Assim, obtém-se $C_2=\frac{1}{2}$.


    738   

    Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
      $y=e^{x},y=0,x=0,x=1$ ao redor do eixo $x.$


    1315   

    Um retângulo tem sua base no eixo $x$ e seus dois vértices superiores na parábola $y=-x^2$. Qual é a maior área que esse retângulo pode ter? Quais são suas dimensões?


    1674   

    Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:

    $\int_{0}^{1}{\frac{x^3dx}{x^2 + 2x + 1}}$


    327   

    Uma pequena indústria vende normalmente, a cada semana, $60$ caixas de certo produto, por $30$ reais a caixa. Foi feita uma experiência e observou-se que cada real de desconto nesse preço fez as vendas aumentarem em $5$ caixas. Assim, a experiência mostrou que, dentro de certos limites, a quantidade $C$ de caixas vendidas é uma função do desconto $x$, em reais. Determine uma expressão para essa função.


    1324   

    Ache os extremos da função $f(x)=x+3x^{3/2}$.


    1787   

    1.  Mostre que se $f$ e $g$ forem funções para as quais $$ f'(x)=g(x) \quad\text{e}\quad g'(x)=f(x)$$ para todo $x$, então $f^2(x)-g^2(x)$ é uma constante.

    2.  Mostre que as funções $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ e $\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})$  têm esta propriedade.


    1191   

    Calcule a derivada da seguinte função:
     $f\left(  x\right)  =\log_{2}\left(  \cos^{3}\left(  x\right)  \right).$


    $f'(x) = -\dfrac{3 \tan x}{\log 2}$.


    1487   

    Sejam $a<b$ dois reais e $p \in \left]a,b \right[$. Determine $r>0$ de modo que $\left]p-r,p+r \right[ \subset \left]a,b \right[$.


    1879   

    Discuta a seguinte "demonstração":  Dada a integral $\displaystyle\int (1/x)dx$, seja $dv=dx$ e $u=1/x$, de modo que $v=x$ e $du=(-1/x^2)dx$. Então $\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$



    1571   

    Seja $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    -x+3, & \text{se } x<3 \\
    x-3, & \text{se } x \geq 3  
    \end{array}\right.$

    1. $f$ é contínua em $3$. Por quê?
    2. $f$ é derivável em $3$. Por quê?


    1. Sim

    2. Não


    224   

    Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$:

    1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

    2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

    3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$



    1. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $2.9$ & $-0.632$ \\

      $2.99$ & $-0.6032$ \\

      $2.999$ & $-0.60032$ \\

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.

    2. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $ 3.1$ & $-0.5686$ \\

      $3.01$ & $-0.5968$ \\

      $3.001$ & $-0.59968$ \\

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.

    3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.


    1318   

    Você está projetando uma lata (um cilindro de revolução) de $1000 cm^3$ cuja manufatura levará o desperdício em conta. Não há desperdício ao se cortar a lateral de alumínio, mas tanto a base como o topo, ambos de raio $r$, serão recortados de quadrados que medem $2r$ de lado.

    1. Escreva uma fórmula que forneça a quantidade total de alumínio usada para fazer uma lata.

    2. Qual a razão $h/r$ para a lata mais econômica?


    926   

    Calcule o valor das seguintes expressões:

    1. $sen(45^0)+cos(45^0)$
    1. $\dfrac {cos(30^0)sen(60^0)} {tg(45^0)}$
    1. $[sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)] \times cotg(45^0)$



    1. Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen(45^0)+cos(45^0)$ é $1$.

    2. Este item se resolve por substituição direta: $cos(30^0)=sen(60^0)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $tg(45^0)=1$:$\dfrac {cos(30^0)sen(60^0)} {tg(45^0)}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \times 1=\dfrac{3}{4}$.

    3. Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)$ é $1$. Além disso, temos que $cotg(45^0)=\dfrac{1}{tg(45^0)}=\dfrac{1}{1}=1$. Então:\\ $[sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)] \times cotg(45^0)=1 \times 1=1$.



    1518   

    Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ e suponha que exista $M>0$ tal que $|f(x)-f(p)|\leq M|x-p|$ para todo $x$. Prove que $f$ é contínua em $p$.


    127   

    A afirmação: $`` \lim\limits_{x\rightarrow p^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow p^-} f(x)\Rightarrow f \mbox{ contínua em } p. "$  é verdadeira ou falsa?  Justifique.



    É falsa. Só seria verdadeira se o valor dos limites laterais fosse igual a $f(p)$.


    1739   

    Escreva o polinômio $p(x)=x^2-4x-9$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?)


    898   

    Qual o conjunto solução da equação $|x-2|-|x-1|+|x+3|=0$?



    1648   

    Mostre que $\pi^e < e^\pi$. Sugestão: Analise a função $ln(x)/x$.



    Pelas propriedades do logaritmo, podemos escrever:

    $
    ln(e^\pi)=\pi
    $

    e

    $
    ln(\pi^e) = e\ ln(\pi)
    $

    Como $\pi > e$, pode-se escrever $\pi = ae,\ a > 1$. Assim, a primeira equação pode ser escrita como:

    $
    ln(e^\pi)=ae
    $

    E a segunda equação como:

    $
    ln(\pi^e) = e\ ln(a\ e) = e\ ln(a)ln(e)=e\ ln(a)
    $

    Assim, podemos escrever a razão entre as equações como:

    $
    \frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a}
    $

    Analisando a equação $ln(x)/x$, vemos que para $x>1$ ela é estritamente decrescente, dado que em $x=1$ o denominador é igual a um e o numerador igual a zero e como $\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}$ e $\frac{d(x)}{dx}=1$, o denominador cresce mais rapidamente para $x>1$. Assim, como $a>1$, sabemos que:

    $
    \frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a} < 1
    $

    Portanto:

    $
    ln(\pi^e) < ln(e^\pi)
    $

    Como $\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}>0$ para $x>0$, a função logaritmo é monotônica no intervalo desejado, e portanto podemos concluir que:

    $\pi^e < e^\pi$


    1863   

    Mostre que a função $y=f(x)$ definida por $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x-r}, & \text{se} x \geq r \\ -\sqrt{r-x}, & \text{se} x<r \end{array}\right.$ tem a propriedade que para todo número real $a$, se $x_1=r+a$,  então $x_2=r+a$ e, por outro lado, $x_1=r-a$, então $x_2=r+a$. 


    1634   

    Prove que $\displaystyle\int \dfrac{1}{u\sqrt{a^2+u^2}}du=-\dfrac{1}{a}\ln \left|\dfrac{\sqrt{a^2+u^2}+a}{u}\right|+C$.


    1691   

    Determine a área da região no primeiro quadrante limitada à esquerda pelo eixo $y$, abaixo pela curva $x=2\sqrt{y}$, acima à esquerda pela curva $x=\left(y-1\right)^2$ e acima à direita pela reta $x=3-y$.

    fig_area_entre_curvas_1.png



    Primeiramente, devemos escrever as curvas na forma $y=f(x)$, tomando cuidado com o sinal. Após este procedimento, uma análise da figura nos permite resumir o cálculo da área $A$ como $A=A_1+A_2$, sendo que:

    $A_1=\int_0^1\left (1+\sqrt{x}-\frac{1}{4}x^2\right)\,dx$

    $A_2=\int_1^2\left (3-x-\frac{1}{4}x^2\right)\,dx$

    Assim, temos

    $A_1=\left.\left(x + \frac{2}{3} x^{3/2} - x^3/12\right)\right\vert_0^1=\frac{19}{12}$

    $A_2=\left.\left(-\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+3 x\right)\right\vert_1^2=\frac{11}{12}$

    O que nos leva a $A=\frac{5}{2}=2.5$


    1704   

    1. Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos da função $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$, vide exercício ID 1703, e veja o que acontece.

    2. Você esperaria que um problema similar ocorresse nos arredores de $x=0$ para a função $f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}$? Verifique se tal ocorre. Vide questão ID 958.


    1385   

    Uma cultura de bactérias cresce na taxa de $3e^{0,2t}$ por hora com $t$ em horas e $o\leq t\leq 20$.

    1. Quantas bactérias novas estarão na cultura depois de cinco horas?
    2. Quantas bactérias são introduzidas da sexta a décima quarta horas?
    3. Para que valor aproximado de $t$ a cultura conterá 150 bactérias novas?


    1252   

    Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=\sin{kx}, k \in R$.


    $f^{1000}(x)=k^{1000}\sin{kx}$


    1597   

     A função
    $V(x)=x(10-2x)(16-2x),\quad 0<x<5$
    modela o volume de uma caixa.

    1. Determine os valores extremos de $V$.
    2. Interprete quaisquer valores encontrados no item anterior em termos do volume da caixa.


    1516   

    Dê os domínios e esboce os gráficos de $f+g$ e $\dfrac{g}{f}$ no seguinte caso:

    $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    1, & \text{se x é racional} \\
    -1, & \text{se x é irracional}  \end{array}\right.$ 

    e

    $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    -1, & \text{se x é racional} \\
    1, & \text{se x é irracional}  \end{array}\right.$


    1132   

    Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

    1.      Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.
    2.      Se $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$, então $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \infty$.
    3.      Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então $f$ tem uma assíntota vertical em $x=5$.
    4.      $\infty/0$ não é uma forma indeterminada.


        


    1.  Falsa.
    2.  Falsa
    3.  Verdadeira
    4.  Verdadeira


    80   

    O que significa dizer, em termos de limites, que uma função é "bem comportada"?


    642   

    Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

    1. $y=\sqrt[3]{x}$

    2. $y=\sqrt[3]{-x}$


    1. $\mathbb{R}$.
    2. $\mathbb{R}$.

    620   

    Um fabricante produzirá caixas fechadas (com tampa) de volume igual a $27$ litros e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Encontre as dimensões da caixa de forma que o consumo de material seja mínimo.


    958   

    Calcule o limite a seguir, justificando as passagens.

    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}$


    0



    Para todo $x\neq 0$ temos que
    \begin{equation*}
    \dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{1-\cos x}{x}\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{
    1-\cos ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}\text{.}
    \end{equation*}
    Como $1-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x$ obtemos
    \begin{eqnarray*}
    \dfrac{1-\cos x}{x} &=&\dfrac{\sin ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x} \\
    &=&\sin x\dfrac{\sin x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}.
    \end{eqnarray*}
    Mas
    \begin{eqnarray*}
    \lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin x &=&0\;\text{(pois }\sin x\text{ é contínua)} \\
    \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} &=&1\;\text{(limite trigonométrico fundamental)} \\
    \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x} &=&\dfrac{1}{2}\;\text{(}
    \cos x\text{ cont\'{i}nua e }1+\cos \left( 0\right) \neq 0\text{).}
    \end{eqnarray*}
    Logo,
    \begin{equation*}
    \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow
    0}\sin x\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\lim\limits_{x
    \rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x}=0.
    \end{equation*}


    521   

    A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical de raio $2$ metros se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de $3000$ litros por minuto?




    221   

    Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-6}$:

    1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

    2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

    3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$



    1. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $2.9$ & $-15.1224$ \\

      $2.99$ & $-159.12$ \\

      $2.999$ & $-1599.12$

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.

    2. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $ 3.1$ & $16.8824$ \\

      $3.01$ & $160.88$ \\

      $3.001$ & $1600.88$

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.

    3. Ao analisar as duas tabelas, parece que  $\lim\limits_{x\to3}f(x)$ não existe.


    1312   

    Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\ln\left(\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}\right)$, onde $n$ é qualquer número natural.


    698   

    Calcule a integral $\int \dfrac{x+1}{x^{2}-3x+2}dx$.


    1241   

    Seja $x(t)$ a posição horizontal e $y(t)$ a posição vertical de um objeto no tempo $t$. Com $x(0)=y(0)=0$ e velocidade iniciais horizontal $v_x$ e vertical $v_y$, a   trajetória do objeto pode ser representada pelas equações $x(t)=v_xt$ e $y(t)=-5t^2+v_y t$. Suponha que o módulo da velocidade inicial seja igual a $1$.  Neste caso, o ângulo $\theta$ entre a linha horizontal (eixo $x$) e a tangente à parábola na origem $(0,0)$ satisfaz $v_x=\cos(\theta)$ e $v_y=\sin(\theta).$


    1. Use a identidade $\sin(\theta_1+\theta_2)=\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)+\sin(\theta_2)\cos(\theta_1)$ para provar que $\cos(\theta)\sin(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta).$
    2. Para $v_x>0$, $v_y>0$, determine o tempo $t_f>0$ tal que $y(t_f)=0$. Escreva $t_f(\theta)$ como função de $\theta$ com domínio $]0,\frac{\pi}{2}[$.
    3. Definimos uma função $x_f$, também com dominio $]0,\frac{\pi}{2}[$, por $x_f(\theta)=x(t_f(\theta))$. Escreva $t_f(\theta)$ como função de $\theta$ e simplifique.
    4. Qual é a imagem de $x_f$?
    5. Quais são os ângulos $\theta\in\,]0,\frac{\pi}{2}[$ com valores $x_f(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{20}$, $x_f(\theta)=\frac{1}{10}$ e $x_f(\theta)=\frac{1}{5}$?



    1689   

    Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.

    $y=\int_{-2}^{x}{\sqrt{3t^4-1}dt},\quad -2 \leq x \leq -1$


    1201   

    Se a velocidade de um objeto em metros por segundo no instante $t$ segundos é $v(t)=-\sin(t)-\cos(t)$, qual a sua posição no instante $t=4$?


    $s(t)=\cos(4)-\sin(4)$


    1900   

    Ache o comprimento exato do arco formado pela curva $x=\dfrac{1}{8}y^4+\dfrac{1}{4}y^{-2}$ de $y=1$ até $y=4$.



    30   

    Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{4}-2x+1}{4x^{4}+2x+3}$.


    $5/4$


    1654   

    Quais valores de $a$ e $b$ maximizam o valor de

    $\int_a^b\left(x-x^2\right)dx$?


    $a=0$ e $b=1$.


    1346   

    Mostre que existe um número real que é igual a soma de seu cubo e de seu quadrado mais um. Justifique sua resposta.




    Dizer que um número é igual a soma de seu cubo e de seu quadrado mais um significa dizer que $x=x^{3}+x^{2}+1$ ou, equivalentemente, que $f\left(  x\right)  =x^{3}+x^{2}-x+1=0.$


    Mas $f\left(  -2\right)  =\left(  -2\right)^{3}+\left(  -2\right)  ^{2}-\left(  -2\right)  +1=-1$ e $f\left(  0\right)=1$.


    Como $f\left(  x\right)  $ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $-2<x<0$ tal que $f\left( x\right)  =0$.

    Resolução Alternativa:


    Uma vez definida $f(x)$, pode-se ver que $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)=+\infty$ e $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(  x\right)  =-\infty $. Como $f\left(  x\right)$ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $x$ tal que $f\left(x\right)  =0$.



    924   

    Uma caixa retangular aberta com volume de $2 m^3$ tem a base quadrada. Expresse a área superficial da caixa como função de um dos lados da base.




    Sejam $x$ a medida do lado da base da caixa e $z$ sua altura. O volume $V$ dessa caixa é dado por $V=x^2z$. Como $V=2$, temos $z=\dfrac{2}{x^2}$. A área superficial $A$ da caixa (sem tampa!) é $A=x^2+4xz$. Substituindo $z$ por $\dfrac{2}{x^2}$ obtemos $A=x^2+\dfrac{8}{x}$. 


    1741   

    Escreva o número $\sin 1$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-17}$.


    1783   

    Prove a seguinte generalização do Teorema do Valor Médio: Se $f$ é contínua e diferenciável sobre o intervalo $(a,b)$ e os limites $\displaystyle \lim_{y\to a^+}f(y)$ e $\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)$ existem, então existe $x\in (a,b)$ tal que $$f'(x)=\dfrac{\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)-\lim_{y\to a^+}f(y)}{b-a}.$$ (Sua prova deve começar mais ou menos assim: "Esta é uma conseqüência do Teorema do Valor Médio porque ...".)


    645   

    Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

    1. $y=\sqrt{x^{2}-4x+3}$

    2. $y=\sqrt{x^{2}+3x-10}$


    1326   

    O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abscissa x, ao gráfico de $y=f\left( x\right) $, é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que $f\left( 0\right) =1$ e que $f\left(1\right) =1/\sqrt{2}$, determine $f$.


    1172   

    Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções (se existirem).

    1. $y = 6x^3 + 15x^2-12x -5$

    2. $f(x) = - 9x^2 + 14x +15$


    828   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

    $f\left( x\right) =\log _{a}x,\;a>0$ e $a\neq 1$.


    $f'(x)=\dfrac{1}{xln(a)}


    960   

    Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{x}$

    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}$


    1. $4$.
    2. $1$.


    1761   

    Prove que $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$.



    $\begin{array}{rcl} \cosh^2x - \sinh^2 x &=& \left(\dfrac{e^{-x} + e^x}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{e^{x} - e^-x}{2}\right)^2 \\ &=& \dfrac{1}{4} (e^{-2x} + 2 e^{-x}e^x + e^{2x}) - \dfrac{1}{4} (e^{2x} - 2 e^xe^{-x} + e^{-2x}) \\ &=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \\ &=& 1.\end{array}$


    936   

    Se $ f(x) = \sqrt{x} $ e $ g(x) =\sqrt{2-x},$ encontre e determine o domínio das funções:

    1. $f \circ g (x).$
    2. $g \circ f(x).$
    3. $f \circ f (x).$
    4. $g \circ g(x).$



    662   

    Derive a função $f\left( x\right)  = \int_{x^{2}}^{e^{3x}}\cos t\sin tdt$.


    1270   

    Calcule a seguinte integral:
       $\int \cos ^{3}xdx.$


    1556   

    Os impulsos nervosos no corpo humano caminham ao longo de fibras nervosas que consistem em um axônio, que transporta o impulso, envolvido por uma camada de mielina. A fibra nervosa é semelhante a um cabo cilíndrico isolado, para o qual a velocidade $v$ de um impulso é dada por $v=-k(r/R)^2 \ln(r/R)$, onde $r$ é o raio do cabo e $R$ é o raio de isolamento. Ache o valor de $r/R$ que maximize $v$. Na maioria das fibras nervosas, $r/R$ vale aproximadamente $0,6$.

    fig_deriv_1.png



    1705   

    Se você fosse um professor e seu(sua) aluno(a) te perguntasse ``Por que $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$?''

    1. Como você responderia com palavras?

    2. Que bibliografia você recomendaria?

    3. Qual a demonstração formal?


    1718   

    1. Dê um exemplo de função contínua em seu domínio mas que não é diferenciável em algum(ns) ponto(s).

    2. Qual a relação entre a continuidade e a diferenciabilidade de uma função? Demonstre.


    180   

    Seja $n$ um número natural dado por $n= 2000 \cdot x$. Determine um possível valor para $x$ que torna $n$ um quadrado perfeito.



    Sabemos que quando decompomos um quadrado perfeito em fatores primos, os expoentes dos números primos na decomposição são necessariamente múltiplos de $2$. Ora, decompondo $2000$ obtemos $2000=2^4 \cdot 5^3$. Se multiplicarmos $2000$ por $5$ obteremos $10000=2^4 \cdot 5^4$, que é um quadrado perfeito, a saber $100^2$. Neste caso tomamos $x=5$, mas há infinitas outras possibilidades!


    1091   

    A antiderivada de uma função aceleração é a função _________.





    Velocidade. A taxa de variação com a qual a velocidade varia de acordo com o tempo é, justamente, a aceleração.


    1561   

    Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\ln{x}$ no ponto de abscissa $1$. Esboce os gráficos de $f$ e da reta tangente.


    727   

    Calcule o seguinte limite:

    $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 0,27\right) ^{x}$.


    $0$.


    122   

    De acordo com o gráfico de $f(x)$, avalie a continuidade da função em $x=0$. 


    fig_def_cont_2.png


    $f$ não é contínua em $x=0$.


    1660   

    Calcule a seguinte integral:

    $\int{x\sin{\frac{x}{2}}dx}$.


    $4sin(x/2)-2xcos(x/2)+C$


    523   

    Uma escada de $5 m$ de altura está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a $3 m/s$, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede quando a base encontra-se a $3 m$ da parede?




    159   

    Prove que a única função contínua $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfaz $f(f(f(x)))=x$ é a função identidade $f(x)=x$. (Sugestão: Prove que se uma função é injetiva e contínua então ela é monótona).


    1611   

    Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln{x}}{cotg{x}}$.


    1548   

    A posição $s$ de uma partícula em um instante $t \geq 0$, se deslocando em um movimento retilíneo, é dada por:

    $$s=10\cos(t+\pi/4).$$

    1. Encontre a posição inicial da partícula. Isto é, a posição em $t=0$.
    2. Quais são os pontos mais distantes da origem que a partícula pode alcançar? (à direita e à esquerda).
    3. Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos pontos do item anterior.
    4. Quando a partícula atinge a origem pela primeira vez? Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração neste instante.


    1667   

    Calcule a integral a seguir:

    $\int{\frac{9r^2\ dr}{\sqrt{1-r^3}}}$


    1302   

    Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $f:\mathbb{R\rightarrow R},$ da por:
      \[
      f\left( x\right) =\left\{
      \begin{array}{c}
      x^{2}+\lambda x\mbox{ se }x\leq 1 \\
      \left( \lambda x\right) ^{2}-1=\lambda ^{2}x^{2}-1\mbox{ se }x>1
      \end{array}
      \right. \mbox{.}
      \]


    1463   

    Prove que $|x+y|=|x|+|y| \Leftrightarrow xy \geq 0$.


    1752   

    1. Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de $y=x$ no intervalo $[0,b]$ é $b^2/2$.

    2. Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.


    567   

    Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{3x^{2}+4x}{1+x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


    687   

    Calcule o limite justificando as passagens.

    $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{-x^{4}-2x+1}{2x^{4}+2x+3}$.


    1826   

    Uma caixa com base quadrada e sem tampa deve ser feita a partir de uma folha de metal, de forma que o seu volume seja de $500$ cm$^3$. Seja $S$ a área da superfície da caixa e $x$ o comprimento de um lado da base quadrada. Mostre que $\displaystyle S=x^2+2000/x$, para $x>0$, e esboce o gráfico de $S$ em função de $x$ para este caso.


    119   

    Dê exemplo de uma função $f$ que seja descontínua, mas tal que $|f|$ seja contínua.


    1738   

    Usando as fórmulas pra $\sin(2x), \cos(2x), \sin(3x)$ e $\cos(3x)$, calcule $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, $tg\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ e $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. 


    $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

    $tg\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$.

    $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$.

    $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 


    1920   

    Mostre que a a área lateral $S$ de um cone circular reto de altura $h$ e raio da base $r$ é $S=\pi r \sqrt{r^2+h^2}$.



    1256   

    O fluxo de um campo magnético através de uma bobina, em função do tempo, é dado por  $F=B \cdot l^2 \sin(\omega t)$ , onde $B$ é a intensidade do campo, $l$ o comprimento da espira e $\omega$ a velocidade angular da bobina. Pela "Lei de Faraday'', temos que a tensão $v$ do circuito associado a esse campo é dada por $v=-\frac{dF}{dt}$.

    1. Escreva a equação do fluxo para $B = 20$, $l = 2$ e  $\omega= 4$.
    2. Para a equação obtida no item anterior, determine a expressão de v em função de t.


    961   

    Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}$
    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{3}}{\sin x}$


    1290   

    Calcule a área do conjunto $A$ dos pontos $\left( x,y\right)$ tais que $x^{2}-1\leq y\leq x+1.$


    838   

    Derive a função $f\left( x\right) =\left( 3^{2x+3}\right)\sqrt{\cos \left( x^{3}+x^{1/3}\right) }.$


    $ 2.3^{2 x + 3} \sqrt{\cos(x^3 + x^{1/3})} \log 3 - (3^{2 x + 3} (1/(3 x^{2/3}) + 3 x^2) \sin(x^3 + x^{1/3}))/(2 \sqrt{cos(x^3 + x^{1/3})})$.


    1203   

    Demonstre que a derivada da função cosseno é a oposta da função seno.


    1106   

    O que é um problema de valor inicial?




    1587   

    Determine a linearização de $f(x) = \sqrt{x+1} + \sin x$ em $x=0$. Como ela se relaciona com as linearizações individuais de $\sqrt{x+1}$ e $\sin x$ em $x=0$?


    206   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_9.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$



    1. $2$
    2. $2$
    3. $2$
    4. $2$


    1729   

    Um vaso em formato hemisférico de raio $7,5$cm está sendo enchido de água a uma taxa de $16$cm$^3/$s. Quando a profundidade da água está em $2,5$cm, com que velocidade o nível da água sobe?


    1673   

    Calcule a integral a seguir:

    $\int_{0}^{ln\ 4}{\frac{e^t dt}{\sqrt{e^{2t}+9}}}$


    Aproximadamente $0,77116$


    85   

    Calcule os limites:

    1. $\lim\limits_{x\to\pi/6} cos(sec x)$

    2. $\lim\limits_{x\to0} \ln(1+x)$


    1492   

    Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

    1.  $f(x)=1+1/x$
    2.  $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$


    1345   

    Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação $\tan x= 2-4x$ possui uma solução no intervalo $\bigl(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigr).$



    1283   

    Sejam $f$ e $g$ funções contínuas. Demonstre que $h(x)=\max(f(x),g(x))$ é contínua.


    1617   

    Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \sin^{-1}(x)}{x- \sin(x)}$.


    $-\infty$.


    552   

    Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}-5x$.


    1762   

    Prove que $\tanh^2(x)+\dfrac{1}{\cosh^2(x)}=1$.


    1551   

    Se $p$ denota o preço de venda de um artigo e $x$ é a procura correspondente (em número de artigos vendidos por di, então a relação entre $p$ e $x$ pode ser dada por $p(x)=p_0e^{-ax}$ para constantes positivas $p_0$ e $a$. Suponha $p(x)=300e^{-0,02x}$. Determine o preço de venda que maximize a receita diária.


    1335   

    Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}.$


       



    Temos que:
      $\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}}.$

    Lembramos o limite fundamental $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ e, além disso, observamos que
      \begin{equation*}
      \begin{split}
      &\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=0 \\
      &\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}=1.
      \end{split}
      \end{equation*}
      Então:
      $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}} = 1\cdot\dfrac{3+1}{1+0}=4.$



    628   

    Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimento $3$ e $4cm$, se dois lados do retângulo estiverem sobre o cateto.


    1687   

    Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.

    $y=x^{3/2},\quad 0 \leq x \leq 4$


    121   

    De acordo com o gráfico de $f(x)$, avalie a continuidade da função em $x=0$

    fig_def_cont_1.png


    $f$ é contínua em $x=0$.


    811   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

    $\dfrac{x+\sqrt[4]{x}}{x^{2}+3}$.


    $f'(x) = \dfrac{3-7x^2}{4 x^{3/4}(x^2+3)^2}$.


    1813   

    Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

    1.  $\displaystyle f'(x)=x^3(x^2-5)$;

    2.  $\displaystyle f'(x)=xe^{-x}$.


    1877   

    Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$.



    747   

    Calcule o seguinte limite:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( 1+2x\right) ^{\dfrac{1}{x}}$.


    $e^2$.


    689   

    Calcule a integral $\int \cos ^{3}xdx$.


    $\frac{3}{4} x \sin (x)+\frac{1}{12} x \sin (3 x)+\frac{3 \cos (x)}{4}+\frac{1}{36} \cos(3 x)$


    580   

    Esboce neste mesmo gráfico a reta $y=2x+3$. Indique a região delimitada por esta reta e pelo gráfico de $f\left(x\right) $, para $2\leq x\leq 3$. Calcule a área desta região.


    1274   

    Calcule a integral $\int{\frac{\sin 10x}{4+\cos 10x}dx}.$


    $\dfrac{1}{10}ln(cos(10x)+4)+C$


    1029   

    Utilizando o gráfico, avalie os seguintes limites para a  função

    fig_assintotas_verticais_1.png
    $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$

    1. $ \lim\limits_{x\to -1^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to -1^+} f(x)$


    1. $\infty$
    2.  $\infty$

    656   

    Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

    1. $y=|x|+x$

    2. $y=1-x$ se $x\leq 0$ e $y=\sqrt{1-x^{2}}$ se $0\leq x\leq 1$.


    1171   

    Utilize o Teorema de Valor Médio (ou o caso particular do Teorema de   Rolle) para mostrar que, para qualquer valor de $c\in\mathbb{R}$, o   polinômio $p\left(  x\right)  =x^{4}+4x+c$ tem no máximo duas raízes reais.


    189   

    Determine qual o último número $N$, escrito na sucessão dos números naturais $12345678910111213...N$, sabendo que foram escritos $3849$ algarismos.


    1908   

    Ache uma reta vertical $x=k$ que divida a área entre as curvas $y=x^2$ e $y=9$ em duas partes iguais.


    $x=k=0$


    100   

    Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
    1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(1\right) }{x-1}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\ 2x-1 & \text{se }x>1 \end{array} \right. $
    2. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(2\right) }{x-2}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x & \text{se }x\geq 2 \\ x^{2}/2 & \text{se }x<2 \end{array} \right. $
    3. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$, com $f\left( x\right) =x^{2}-3x$ e $f\left( x\right) =1/x$



    1651   

    Um objeto é solto de um helicóptero. O objeto cai cada vez mais rápido, mas sua aceleração diminui com o passar do tempo devido à resistência do ar. A aceleração foi medida nos primeiros cinco segundos, quando ele atingiu o chão, e o resultado está na tabela a seguir:


    $
    \begin{array}{ccccccc} \hline
    t & 0    & 1    & 2    & 3    & 4    & 5    \\\hline
    a & 9,81 & 5,95 & 3,61 & 2,19 & 1,33 & 0,81 \\\hline
    \end{array}
    $

    1. Faça uma estimativa superior para o módulo da velocidade quando $t=5$.

    2. Faça uma estimativa superior para o módulo da posição quando $t=5$.

    3. Faça uma estimativa superior para a altura da queda.


    1690   

    Existe uma curva continuamente derivável $y=f(x)$ cujo comprimento ao longo do intervalo $0\leq x\leq a$ seja sempre $\sqrt{2}a$?


    1462   

    Nos primórdios da geração comercial de eletricidade, havia uma disputa bastante acirrada entre duas formas de se distribuir energia elétrica: A disputa entre corrente alternada e corrente contínua. A corrente alternada provou-se mais eficiente para transmissão a longas distâncias, principalmente pela facilidade com que é possível elevar os níveis de tensão (e, portanto, para uma mesma potência transmitida, diminuir a corrente e consequentemente os diâmetros dos fios utilizados na transmissão, implicando em significativa economia).

      Com o advento da eletrônica, na segunda metade do século XX, a corrente contínua reconquistou um papel fundamental no dia a dia da sociedade contemporânea, dado que circuitos eletrônicos são alimentados com corrente contínua. A conversão de corrente alternada é feita a partir de dispositivos chamados retificadores. Infelizmente, o funcionamento destes dispositivos foge do escopo desta disciplina.

    As figuras abaixo representam uma corrente $i(t)$ antes e depois de um circuito:

    fig_valor_absoluto_1_1.png

    fig_valor_absoluto_1_2.png

    Responda:

    1. Dado que a função original seja $i_0(t)= \sin(2\pi\ 60\ t)$, qual a relação entre o seu período $T_0$ e o período da corrente retificada $i_1(t)$?
    2. Quais operações sobre a função $i_0(t)$ você realizaria para obter $i_1(t)$?
    3. Qual o valor médio, em um período, de $i_0(t)$? Qual seria sua estimativa para o valor médio de $i_1(t)$?



    750   

    Calcule o seguinte limite:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\log _{\dfrac{1}{3}}x$.


    $\infty$.


    933   

    Calcule:

    1. $log_2 (8)$
    1. $log_3 (27)$




    1. $\log_2(8) = x$
      $2^x = 8$
      $2^x = 2^3$
      $x = 3$.
    2. $\log_3(27) = x$
      $3^x = 27$
      $3^x = 3^3$
      $x = 3$.


    893   

    Enuncie e prove a desigualdade triangular envolvendo números reais.



    677   

    Mostre que a equação $\sin x +\cos x =0$ tem exatamente duas raízes reais.


    1294   

    Encontre a área da região limitada pela elipse $x^2+\frac{y^2}{4}=1.$



    Primeiramente, escreve-se a equação da elipse na forma $y=\pm f(x)$: 

    $y=\pm 2\sqrt{1-x^2}$

    Observação: Nesta forma, é possível ver mais facilmente que a elipse não apresenta nenhum ponto com $\left\vert x\right\vert >1$.

    Se denotarmos $f_1(x)= 2\sqrt{1-x^2}$ e $f_2(x)=- 2\sqrt{1-x^2} $, a área da região limitada pela elipse é portanto 

    $\int_{-1}^{1}f_1(x)-f_2(x)\,dx=2\int_{-1}^{1}f_1(x)\,dx=2 \left(\sqrt{1-x^2} x+\sin ^{-1}(x)\right)=2\pi$


    827   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

      $f\left( x\right) =\pi ^{x}$.


    $f'(x)=ln(\pi)\pi^x$.


    1202   

    Demonstre que a derivada da função seno é a função cosseno.


    91   

    Mostre $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}$ não existe.


    209   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_6.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$
    5. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
    6. $ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$



    1. $1$
    2. $2$
    3. Não existe.
    4. $2$
    5. $0$
    6. Como $f$ não é definida para $x>2$, esse limite é indefinido.


    208   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_8.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$



    1. $2$
    2. $0$
    3. Não existe.
    4. $1$



    1185   

    Determine a derivada da seguinte função:
      $f\left( x\right) =\left( \left( \sin x\right) \left(\cos x\right) \right) ^{3}.$


    $f'(x)=3/8 \sin(2x) \sin(4x)$.


    5   

    Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =x+\dfrac{1}{x}$.


    1755   

    Avalie a integral $\displaystyle \int_{-1}^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx$ sem fazer nenhuma conta.


    1680   

    Calcule a seguinte integral:

    $\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x^{1,001}}}$


    Não converge.


    906   

    Perguntei a idade de minha professora de Matemática. Ela me contou e falou também a idade da filha, mas disse isso de modo enigmático por meio da expressão: "A soma de minha idade com a da minha filha é 44 anos. Dez anos atrás, eu tinha o triplo da idade dela."

    1. "Traduza" a primeira frase da expressão da professora por uma equação, representando por $x$ a idade da professora e por $y$, a idade de sua filha.
    2. Faça o mesmo com a segunda frase.
    3. Resolva o sistema obtido e dê a idade da professora e a de sua filha.




    Seja $x$ a idade da professora e $y$ a idade da filha. Temos, portanto

    1. $x+y=44$
    2. $x-10=3(y-10)$, ou, reescrevendo com as incógnitas do lado esquerdo, $x-3y=-20$
    3. Resolver $\begin{pmatrix}  1 & 1 \\ 1 &-3 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}  44 \\ -20 \end{pmatrix}$ nos dá $\begin{pmatrix}  x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}  28 \\ 16 \end{pmatrix}$


    1589   

    Suponha que $y=f(x)$ seja derivável em $x=a$ e que $g(x)=m(x-a)+c$ seja uma função linear, em que $m$ e $c$ sejam constantes. Se o erro entre $f$ e $g$, $E(x) = f(x)-g(x)$ for suficientemente pequeno perto de $x=a$, poderemos pensar em utilizar $g$ como aproximação linear de $f$ ao invés da linearização $L(x) = f(a)+f'(a)(x-a)$.

    1. Interprete as expressões $E(a)=0$ e $lim_{x\to a} \dfrac{E(x)}{x-a}=0$.
    2. Mostre que impondo as condições $E=0$ e $lim_{x\to a} \dfrac{E(x)}{x-a}=0$, temos $g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$. Interprete o resultado, relacionando com o item anterior.


    338   

    Seja $P(x)$ um polinômio de coeficientes inteiros com grau $d>0$. Seja $n$ o número de inteiros distintos $k$ tais que $(P(k))^2=1$. Prove que $n\leq d+2.$


    1128   

    Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por $v(t) = -32t+64$, de uma altura de $48$ pés.

    1. Qual a velocidade máxima do objeto?
    2. Qual o deslocamento máximo do objeto?
    3. Em que momento ocorre o maior deslocamento do objeto?
    4. Em que momento o objeto alcança a altura de $0$ pés?

     Dica: encontre o momento no qual o deslocamento é $-48ft$


    1. $64ft/s$
    2. $64ft$
    3. $t=2$
    4. $t=2+\sqrt{7}\approx 4.65s$.


    1186   

    Determine a derivada da seguinte função:
      $f\left( x\right) =\cos \left( x^{-2}\right)+x^{3}e^{-3x}.$


    $f'(x) =  -3 e^{-3 x} x^3 + 3 e^{-3 x} x^2 + (2 \sin(x^{-2}))/x^3$.


    1282   

    Calcule a integral $\int{ \frac {1}{x^2+3x-10} dx}.$


    67   

    Mostre que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) =L$ se e somente se $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left( f\left( x\right) -L\right) =0$.

    1.  Suponha que $f\left( x\right) \leq g\left( x\right) $ para todo $x$.   Demonstre que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) \leq   \lim\limits_{x\rightarrow p}g\left( x\right) $ sempre que os limites   existirem.

    2.  Suponha agora que $f\left( x\right) <g\left( x\right) $ para todo $x$. Podemos afirmar que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right)   <\lim\limits_{x\rightarrow p}g\left( x\right) $ sempre que os limites  existirem?


    191   

    Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.

    1. Um número racional qualquer tem sempre um numero finito de ordens (casas) decimais.

    2. Um número racional qualquer tem sempre um numero infinito de ordens (casas) decimais.

    3. Um número racional qualquer não pode expressar-se em forma decimal exata.

    4. Um número racional qualquer nunca se expressa em forma de uma decimal inexata. 


    1. F

    2. F

    3. F

    4. F


    220   

    Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

    1. $\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{3-x};$

    2. $\lim\limits_{x\rightarrow 3^{-}}\dfrac{5}{3-x};$

    3. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{x^{2}-x};$

    4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{5}{x^{2}-x};$

    5. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{\sin x}{x^{3}-x^{2}};$

    6. $\lim\limits_{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac{3x^{2}-4}{1-x^{2}}$


    64   

    Considere a função $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x+2 & x\leq 2 \\ 3x-5 & x>2 \end{array}\right.$. Mostre que $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$ não existe.


    46   

    Sabendo que $\lim\limits_{x\to2} f(x) = 3$ e $\lim\limits_{x\to2} g(x) = -1$, calcule os seguintes limites:

    1. $\lim\limits_{x\to2}(f+g)(x)$

    2. $\lim\limits_{x\to2}(fg)(x)$

    3. $\lim\limits_{x\to2}(f/g)(x)$

    4. $\lim\limits_{x\to2}f(x)^{g(x)}$


    623   

    Uma página impressa deve ter $24cm^2$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1cm$ nos lados. Quais as dimensões da página de menor área que preenche essas condições?


    664   

    Derive a função $h\left( x\right)  = \int_{\cos 5x}^{x^{7/3}}e^{r}\left( r^{2}+1\right) dr$.


    514   

    Determine o domínio de definição das funções trigonométricas inversas a seguir e expresse suas derivadas em termos de funções polinomiais:

    1. $g\left( x\right) =\mathrm{\arccos }\left( x\right) $;
    2. $g\left( x\right) =\mathrm{arcsec}\left( x\right) $;
    3. $g\left( x\right) =\mathrm{arccot}\left( x\right) $.


    1292   

    Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pela curva $y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}.$


    1338   

    Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}$.



    $1$.


    1676   

    Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:

    $\int{\frac{x^2dx}{(x-1)(x^2 + 2x + 1)}}$


    1537   

    Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.

    1. Estude o sinal de $f'(x)$.
    2. Faça um esboço do gráfico de $f$.


    835   

    Determine a derivada de $f\left( t\right) =t^{3}e^{-3t}$.


    $-3 e^{-3t} (t-1) t^2$.


    667   

    Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de l'Hospital para calcular o limite abaixo, justificando claramente sua resolução.
      \begin{equation*}
      \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}\right)
      \end{equation*}


    336   

    Se $a$, $b$, $c$ são as raízes de $x^3-x-1=0$, calcule o valor de $\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}.$


    1719   

    A função de Heaviside (também conhecida como função degrau), cujo gráfico pode ser visto abaixo, é muito utilizada para modelar chaves que ligam e desligam em circuitos elétricos (e também diversas aplicações). O que você tem a dizer sobre a continuidade dessa função? E sobre a diferenciabilidade?

    heaviside.png


    591   

    Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt[4]{{\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-4x-3}}}$ é real.


    905   

    Resolva a equação modular $|x-1|-2|x-2| =-3$.



    1895   

    Mostre que se $f$ é contínua e côncava para cima em $\left[a,b\right]$, então $f_{med}>f\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$, onde $f_{med}$ é o valor médio da função $f$ no intervalo $\left[a,b\right]$.


    788   

    Encontre as equações das retas que passam pelo ponto $(-1,1)$ e são tangentes à curva $x^2+4y^2-4x-8y+3=0.$


    1331   

    Determine uma primitiva para cada uma das funções:

    1. $f(x)=x^n$

    2. $f(x)=sen(x)$


    34   

    Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{3}-6x-3}{6x^{2}+28x+2}$.


      $\infty$


    668   

    Calcule a integral $\int x^{2}\ln xdx$.


    $\dfrac{1}{9}x^3(3lnx-1)+C$.


    108   

    Mostre que a função $f\left( x\right) =\sqrt[n]{x}$ é contínua em seu domínio.


    1577   

    Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    x^2+3x, & \text{se} x \leq 1 \\
    5x-1, & \text{se} x>1  
    \end{array}\right.$.


    1720   

    1. Se uma massa cai uma distância $s(t)$ em $t$ segundos, e $s'$ é proporcional a $s$, então mostre que $s$ não pode ser uma função da forma $s(t)=ct^2$.

    2. Se $s(t)=\dfrac{a}{2} t^2$, mostre que $s''(t)=a$ (a aceleração é constante) e que $[s'(t)]^2=2as(t)$ (observe que obtivemos isso trocando ligeiramente a expressão de $s(t)$).

    3. Assumindo $a=9,8$m$/$s$^2$ (aceleração da gravidade), quantos segundos você tem para fugir de um lustre em um castelo que cai de um teto de $100$m? Se você não conseguir fugir, quão rápido o lustre vai estar quando te atingir? A que altura estava o lustre quando estava se movendo com metade desta velocidade?


    783   

    Encontre a equação da reta tangente à curva $y=2x^2+3$ que seja paralela à reta $8x-y+3=0$.


    $y=8x+3$.


    62   

    Calcule, quando existirem, os seguintes limites (caso um limite tenda a $\pm \infty $ justifique a resposta):

    1.   $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{\left( x-2\right) ^{3}}$

    2.    $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\dfrac{5x^{5}+7x^{2}+3x+\pi }{\sqrt{7}x^{5}+4x+2}$

    3.    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{3}\cos \left( \frac{1}{x}\right)e^{x^{2}+1}$


    725   

    Calcule o seguinte limite:

    $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }3^{x}$.


    $\infty$.


    1119   

    Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

    fig_int_definida_4.png

    1. $ \int_{0}^{2} 5x^2\ dx$
    2. $ \int_0^2 (x^2+3)\ dx$
    3. $ \int_{1}^3 (x-1)^2\ dx$
    4. $ \int_2^4 \big((x-2)^2+5\big)\ dx$


    1. $40/3$
    2. $26/3$
    3. $8/3$
    4. $38/3$


    69   

    Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x \rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $ \lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.


    1744   

    Escreva o número $e$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-4}$.


    1770   

    Calcule $\displaystyle \int x^2 \ln (x+1) \, dx$ utilizando integração por partes.


    $\dfrac{1}{18}(6(x^3+1)ln(x+1)-2x^3+3x^2-6x)+C$.


    1664   

    A velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $v=ds/dt = 6\sin2t\ m/s$ para qualquer $t$. Se $s=0$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=\pi/2\ s$.


    1912   

    Usando a fórmula do volume de uma calota esférica, encontre o volume do sólido que sobra quando um buraco de raio $\dfrac{r}{2}$ é feito através do centro de uma esfera de raio $r$ e verifique a sua resposta por integração. 


    1860   

    Considere uma cápsula esférica de $1cm$ de espessura cujo volume é igual ao volume do espaço oco dentro dela. Use o método de Newton para calcular o raio externo da cápsula com duas casas decimais de precisão.



    213   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    x^2, & &  \text{ se } x<2 \\
    x+1,  & &  \text{ se } x=2\\
    -x^2+2x+4, & & \text{ se }  x>2
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to 2} f(x)$

    4. $f(2)$


    1. 4
    2. 4
    3. 4
    4. 3


    95   

    Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens. 

    $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$





    1261   

    Se $ F(x)= { \int_1^xf(t)dt}$ e $ f(t)={ \int_{x^2}^1\frac{\sqrt{1+u^4}}{u}du}$, determine $F''(2)$.


    1303   

    Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $g: \left( 0,\pi\right)\mathbb{\rightarrow R},$ dada por
      \[
      g\left( x\right) =\left\{
      \begin{array}{c}
      \tan \left( x\right) \mbox{ se }x\neq \dfrac{\pi }{2} \\
      \lambda \mbox{ se }x =  \dfrac{\pi }{2}
      \end{array}
      \right.
      \]


    604   

    Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

    1. $2\leq {\frac{2}{3x-1}}\leq {\frac{20}{3}}$

    2. ${\frac{1}{2x+3}}\leq {\frac{x-1}{3}}\leq {\frac{1}{5}}$



    37   

    Calcule os seguintes limites:

    1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }3^{x}$

    2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 2^{x}-3^{x}\right)$

    3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 0,27\right) ^{x}$


    1. $\infty$.

    2. $-1$.

    3. $0$.


    1910   

    Ache o volume do sólido cuja base é a região limitada pelas curvas $y=x$ e $y=x^2$ cujas secções transversais perpendiculares ao eixo $x$ são quadrados.



    550   

    Faça um esboço completo do gráfico da função $y=\ln (9-x^{2}).$ Suas derivadas são: $y^{\prime }=-2x/\left( 9-x^{2}\right) $ e $y^{\prime \prime }=-\left( 18+2x^{2}\right) /\left( 9-x^{2}\right) ^{2}$. Determine explicitamente:

    1. Domínio de definição;

    2. Assíntotas verticais e horizontais (se houver);

    3. Intervalos de crescimento e decrescimento;

    4. Pontos de máximo e mínimo locais e absolutos;

    5. Pontos de inflexão;

    6. Concavidade.


    1306   

    Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}$ ou prove que não existe.



    Racionalizando e aplicando diferença de quadrados temos:
    \begin{equation*}
    \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} =
     \frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}.
    \end{equation*}
    Logo,
    $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}.$


    914   

    Qual a solução geral da dupla desigualdade $-2<x^2-3<\frac{1}{5}$?



    734   

    Considere um cilindro com base de diâmetro $2R$ e altura também $2R$. Considere, inscrito neste cilindro, uma esfera de raio $R$ e um cone de base circular com diâmetro $2R$ e altura $2R$. Denote por $V_{cil}$, $V_{esf}$ e $V_{cone}$, respectivamente, os volumes desses sólidos.

    1. Verifique as relações $V_{esf}= \frac{2}{3}V_{cil}$ e $V_{cone}=\frac{1}{3}V_{cil}.$
    2. Calcule $V_{cil}$, $V_{esf}$ e $V_{cone}$ usando integrais. Explicite o método que está usando.




    800   

    Resolva os itens.

    1. Considere a parábola $y=x^{2}$ e faça a seguinte construção: para cada $a\neq 0$ trace a reta normal à parábola no ponto $\left( a,a^{2}\right) $ e seja $P$ o ponto onde essa normal encontra o eixo $y$. Calcule o limite do ponto $P$ quando $a$ tende a zero.

    2. Calcule o mesmo limite fazendo a mesma construção para a curva quártica $y=x^{4}$ em lugar da parábola.


    615   

    Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

     $f\left( x\right) =\left\vert x-1\right\vert -\left\vert x+2\right\vert >x$.


    910   

    Quais os valores de $x$ que satisfazem a inequação $\frac{x-3}{x-2}\leq x-1$?



    1713   

    O gráfico a seguir representa o número de indivíduos de uma população ao longo do tempo.

    1. Pode-se dizer que há uma assíntota horizontal para essa população? Justifique.

    2. O que essa assíntota representa em termos biológicos? (Isto é, qual a interpretação da assíntota em função da população?)

    fig_assintotas_populacao.png


    346   

    Seja $P(x)$ um polinômio de grau $n$ tal que $P(k)=k/(k+1)$ para $k=0,1,\ldots n$. Encontre $P(n+1)$.


    1112   

    Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
      $f''(x) = 5$ e $f'(0)= 7$, $f(0) = 3$


      $5/2x^2+7x+3$


    1126   

    Seja:

    • $\int_0^3{s(t)dt} = 10$
    • $\int_3^5{s(t)dt} = 8$
    • $\int_3^5{r(t)dt} = -1$ e
    • $\int_0^5{r(t)dt} = 11$

    A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

    1. $\int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt$
    2. $\int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt$
    3. $\int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt$
    4. Encontre valores para $a$ e $b$ tal que:
      $\int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0$


    1. $22$
    2. $-7$
    3. $0$
    4. $b=-\frac{11}{18}a,\quad a\in\mathbb{R}$


    96   

    Calcule os limites:
    1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\log _{\frac{1}{3}}x$
    2. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln \dfrac{x^{2}-1}{x-1}$
    3. $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$



    884   

    Para quaisquer $x,y\in \mathbb{R},$ mostre que vale $|xy|=|x||y|.$



    1833   

    O princípio de Fermat também explica por que um raio de luz passando entre ar e água sofre um desvio de trajetória (refração). Imagine dois meios uniformes (como ar e água) e um raio de luz viajando de uma fonte $A$ em um meio para um observador $B$ em outro meio (figura abaixo). Sabe-se que a luz viaja a uma velocidade constante em um meio uniforme, porém mais vagarosamente no meio mais denso (como a água) do que no meio menos denso (como o ar). Conseqüentemente, o percurso de menor tempo entre $A$ e $B$ não é necessariamente uma reta, mas a união de dois segmentos $AP$ e $PB$, permitindo assim que a luz tome vantagem de sua maior velocidade no meio mais esparso. A Lei de Refração de Snell estabelece que a trajetória do raio de luz é tal que $$ \dfrac{\sin\theta_1}{\nu_1}= \dfrac{\sin\theta_2}{\nu_2}, $$ onde $\nu_1$ é a velocidade da luz no primeiro meio  e $\nu_2$ no segundo, $\theta_1$ e $\theta_2$ são os ângulos de incidência e de refração, respectivamente (figura abaixo). Mostre que isso decorre da hipótese de que o caminho de tempo mínimo ocorre quando $\displaystyle dt/dx=0$.

    Fig26_2.png



    1258   

    Calcule a seguinte integral:

       $\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx.$


    596   

    Mostre que $x\neq y\Longrightarrow x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.



    Note que $(x-y)^2+y^2>0$ sempre que $x\neq y$. Daí, $x^2-2xy+y^2+y^2>0$, que é equivalente a $2x^2+2y^2-x^2-2xy>0$, que, por sua vez, é equivalente a x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.


    577   

    Esboce o gráfico e encontre os zeros da função $f\left( x\right) =\left| x-3\right| -\left| x+4\right| +\left| 5-x\right| $.



    131   

    Dê um exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$ que não seja contínua em $2$ mas que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left( x\right) .$


    1248   

      Seja $ f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}+7x+3}{x^{2}}$

    1.   Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.

    2.   Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.

    3.   Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.

    4.   Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

    5.   Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.


    608   

    Use a desigualdade triangular $\left| a+b\right| \leq \left| a\right|+\left| b\right| $\emph{ }para mostrar que $\left| x-y\right| \geq \left|x\right| -\left| y\right| $ para todo $x,y\in \mathbb{R}$. Em particular, conclua que $\left| x-y^{2}\right| \geq \left| x\right| -y^{2}.$


    1304   

    Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função

    \begin{equation*} f\left(  x\right)  =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+cx\text{ se }x\leq1\\ \left(  cx\right)  ^{2}-1=c^{2}x^{2}-1\text{ se }x>1 \end{array} \right.  \text{.} \end{equation*}


    533   

    Verifique que, para todo $x>0$, verificam-se as desigualdades:

    1. $e^{x}>x+1;$
    2. $\cos x>1-\dfrac{x^{2}}{2};$
    3. $\sin x<x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}.$



    1544   

    Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=tg{x}$ no ponto de abscissa $0$.


    $y=x$


    895   

    Resolva as equações:

    1. $|x-1|^2-2|x-1| =-1$
    1. $|x-10|-|x+10| =0$



    1686   

    Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.

    $y=(1/3)\left(x^2+2\right)^{3/2},\quad 0 \leq x \leq 3$


    1592   

    A altura de um corpo em movimento vertical é dada por
    $s = -\frac{1}{2}gt^2+v_0t+s_0,\quad g>0$
    com $s$ em metros e $t$ em segundos. Determine a altura máxima do corpo em função da velocidade inicial $v_0$, da aceleração da gravidade $g$ e da posição inicial $s_0$.


    1285   

    Quais das seguintes funções f têm descontinuidade removível em $a$? Se a descontinuidade for removível em $a$, encontre a função $g$ que é igual a $f$ para $x\neq a$ e contínua em $a$.


    $f(x)=\frac{x^{2}+2x-8}{x+2}$, $a=-2$.
    $f(x)=\frac{x-7}{\vert x-7 \vert}$, $a=7$.
    $f(x)=\frac{3- \sqrt{x}}{9-x}$, $a=9$.



    1781   

    Verifique que $\displaystyle \int \text{cosec}^n (x) \, dx = -\dfrac{\text{cosec}^{n-2} (x) \text{cotg} (x) }{n-1} + \dfrac{n-2}{n-1} \int \text{cosec}^{n-2} (x) \, dx, \, n \geq 2$.


    1093   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int (10x^2-2)\ dx$


      $10/3x^3-2x+C$


    1585   

    Dados $f(x) = e^{-x}$ e $x_0 = -0,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.


    894   

    Resolva as equações:

    1. $|x-2|^2-5|x-2| =-6$
    1. $|x-2|-|x-1| =0$


    1133   

    Seja $f(x)=2x^2-3$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ nos pontos:

    1. $(0,f(0))$
    2. $(2,f(2))$


    650   

    Se $f(x+1)=\frac{x-1}{\pi -x}$, ache $f(x)$ e encontre o domínio de $f$.


    337   

    Enuncie e prove o Algoritmo de Briot-Ruffini. Dê exemplos.


    557   

    Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}-x^{2}+1}{x}$.

     


    909   

    Resolva a inequação $|ax-b|<r$ na variável x, com $r>0$ e $a\neq 0$.




    Se $ax-b\geq0$: $|ax-b| = ax-b$, logo $ax-b<r \Rightarrow x < \dfrac{b+r}{a}$.
    Se $ax-b<0$: $|ax-b| = -(ax-b)$, logo $-ax+b<r \Rightarrow x > \dfrac{b-r}{a}$.
    Portanto $x<\dfrac{b+r}{a}$ ou $x>\dfrac{b-r}{a}$.


    551   

    Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+3x^{2}+1$.


    1820   

    Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$. Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$.


    696   

    Calcule a integral $\int {\dfrac{x}{\left( x-1\right) \left( x+2\right) }}dx$.


    118   

    Dê um exemplo para mostrar que o produto de uma função contínua por uma função descontínua, pode ser uma função contínua.


    539   

    Prove que a equação $x^3-4x+2=0$ tem exatamente três raízes reais distintas.





    Temos, primeiramente:

    $f'(x)=3x^2-4$

    $f''(x)=6x-4$

    É possível ver portanto que $f(x)$ tem dois pontos críticos: $x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Como $f''(x)>0$ para $x>0$ e $f''(x)<0$ para $x<0$, $f(x)$ tem uma concavidade para baixo em $x=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ e uma concavidade para cima em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$. 

    Temos que $f(0)=2$. Como na concavidade em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ temos $f(x)<0$, sabemos que a primeira raiz está entre $0$ e $\frac{2}{\sqrt{3}}$. É fácil observar que $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\infty$, o que nos mostra uma segunda raiz. Finalmente, como $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$, temos uma terceira raiz para algum valor $x<0$, provando então que a função em questão tem três raízes distintas.


    1578   

    Determine a derivada de ordem $n$ de:

    1. $f(x)=e^x$
    2. $f(x)=\cos{x}$
    3. $f(x)=\sin{x}$
    4. $f(x)=\ln{x}$


    158   

    Sejam $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funções contínuas tais que $f(a)<g(a)$ e $f(b)>g(b)$. Mostre que existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c)=g(c)$.


    1766   

    Mostre, diretamente da definição, que $\log_a'(x)=\dfrac{1}{x} \cdot log_a\left(\lim\limits_{k \to 0}(1+k)^{1/k}\right)$.


    1649   

    Um foguete decola da superfície terrestre com uma aceleração constante de $20m/s^2$. Qual será sua velocidade 1 minuto depois?


    1170   

    Encontre os valores máximo e mínimo da função $f\left(x\right)  =xe^{-x}$ no intervalo $\left[  -10,10\right]$.



    $f^{\prime}\left(  x\right)  =e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}\left(  1-x\right)  $.

    Como $e^{-x}>0$ temos que $f\left(  x\right)  =0$ se e somente se $1-x=0$, ou seja, se $x=1$.

    Os pontos de máximo e mínimo devem ser pontos onde $f^{\prime}\left(  x\right)  =0$ ou os extremos do intervalo.

    Avaliamos:

    $f\left(  -10\right)     =-10e^{10}$

    $f\left(  1\right)    =\frac{1}{e}$

    $f\left(  10\right)     =\frac{10}{e^{10}}$

    Como

    $-10e^{10}<\frac{10}{e^{10}}<\frac{1}{e}$

    temos que o valor máximo é $f\left(  1\right)  =\frac{1}{e}$ e o valor mínimo é $f\left(  -10\right)  =-10e^{10}$.


    149   

    Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua no intervalo $\left[2,6 \right]$ com $f(2)=3$ e $f(6)=5$. Use o Teorema de Weierstrass e o Teorema do Valor Intermediário pra mostrar que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.


    1668   

    Calcule a integral a seguir:

    $\int{\cos 2x\ dx}$


    $sin(x)cos(x)+C$


    1566   

    Em estatística, a função densidade de probabilidade para a distribuição normal é definida por $f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-z^2/2}$ com $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ para números reais $\mu$ e $\sigma>0$ ($\mu$ é a média e $\sigma^2$ é a variância da distribuição). Obtenha os extremos locais de $f$ e determine onde $f$ é crescente ou decrescente. Discuta a concavidade, ache os pontos de inflexão, determine $\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)$ e esboce o gráfico de $f$.


    1831   

    Uma grandeza física desconhecida é medida $n$ vezes, obtendo-se valores $x_1,x_2,\ldots,x_n$, cuja variação  depende de fatores imprevisíveis, tais como temperatura, pressão atmosférica etc. Desta forma, o cientista  enfrenta o problema de obter uma estimativa $\bar{x}$ de uma grandeza desconhecida $x$. Um método de se  obter estimativas está baseado no princípio dos mínimos quadrados, o qual estabelece que a estimativa $\bar{x}$  deve ser escolhida de forma a minimizar a função  $$ s= (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots +(x_n-\bar{x})^2, $$que é a soma dos quadrados dos desvios entre a estimativa $\bar{x}$ e os valores medidos.  Mostre que a estimativa resultante do princípio dos mínimos quadrados é dada por  $$ \bar{x}= \dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n), $$  ou seja, $\bar{x}$ é a média aritmética dos valores observados.


    634   

    Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \sin x-\cos x+x^{5},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}


    146   

    Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

     $ f(x) = \sin(e^x+x^2)$.


    $(-\infty,\infty)$


    1542   

    Seja $f(x)=cotg{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.


    $f'(x)=-cossec^2(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-2$.


    329   

    Qual o número de raízes distintas da equação $(x^2 – 14x + 38)^2 = 11^2$?


    $3$


    1906   

    A figura mostra as curvas aceleração versus tempo para dois carros movendo-se em uma pista reta, começando alinhados e acelerando a partir do repouso. O que representa a área $A$ entre as curvas no intervalo $0 \leq t \leq T$? Justifique.Acelera_carrinhos




    Para uma aceleração $a(t)$ qualquer, $\int_0^Ta(t)\,dt$ representa a velocidade adquirida desde o instante $t=0$, ou seja, $v(T)= v_0+\int_0^Ta(t)\,dt$. Sendo assim, a área entre as curvas representa $v_1(T)-v_2(T)$, a diferença de velocidade entre os carros no instante $t=T$.


    1297   

    Seja $S$ a região entre as curvas $y=x^n$ e $y=x^{n+1}$, onde $n$ é um inteiro, $n\geq 1$.
      Considere o sólido $A_r$ obtido pela rotação de $S$ ao redor do eixo $x=r, r>1$ e considere o sólido $B_r$ obtido pela rotação de $S$ ao redor do eixo $y=r, r>1$. \\
      Calcule o volume $V(A_r)$ de $A_r$, o volume $V(B_r)$ de $B_r$.  Determine, se existir, ${\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{V(A_r)}{V(B_r)}}$.


    348   

    Demonstre a fórmula de Báskhara usada para resolução de equações polinomiais de grau $2$.


    1613   

    Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{e^x}$.


    $0$.


    1821   

    A figura abaixo mostra o gráfico do polinômio $\displaystyle y=\dfrac{1}{10}x^5(x-1)$ gerado no software Mathematica$^\textrm{TM}$ usando uma janela de $[-2;2,5]\times[-1;5]$.

    Fig23_1.png

    Mostre que a escolha da escala vertical faz com que o computador perca importantes aspectos do gráfico. Descreva quais são os aspectos perdidos e faça o seu próprio esboço indicando-os.


    1784   

    Prove que a conclusão do Teorema do Valor Médio de Cauchy pode ser escrita da seguinte forma $$ \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(x)}{g'(x)}, $$ sob as hipóteses adicionais de que $g(b)\neq g(a)$ e que $f'(x)$ e $g'(x)$ nunca são simultaneamente nulas sobre $(a,b)$.


    1139   

    Um agricultor possui $140$ metros de cerca para construir dois currais: um deles quadrado eu outro retangular, com comprimento igual ao quádruplo da largura. Se a soma das áreas dos currais deve ser a menor possível, calcule a área do curral quadrado, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.


    1768   

    Escreva $a^x$ em função de $e^x$. Use esse resultado para escrever $\log_a(x)$ em função de $\ln(x)$.


    1862   

    Use o método de Newton para calcular a raiz positiva de $x^2+x-1=0$ com duas casas decimais de precisão.


    175   

    Calcule o valor de $\frac{2}{0,666 \ldots}$.



    $$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{0.666 \ldots} &=& \dfrac{2}{\dfrac{6}{9}} \\ &=& 2 \dfrac{9}{6} \\ &=& \dfrac{9}{3} \\ &=& 3. \end{array}$$


    525   

    Se o raio de um círculo cresce à taxa de $30 cm/s$, a que taxa cresce a sua área em relação ao tempo, em função do raio? Dica: Use a fórmula da área do círculo.




    1861   

    Uma bola esférica oca de raio $2m$ tem densidade específica $\dfrac{1}{4}$, de modo que flutua na água deslocando $\dfrac{1}{4}$ de seu próprio volume. Mostre que a profundidade $x$ à qual fica submersa é uma raiz da equação $x^3-6x^2+8=$ e use o método de Newton para calcular essa raiz com duas casas decimais de precisão. Sugestão: o volume de um segmento esférico de altura $h$ retirado de uma esfera de raio $r$ é $\pi h^2 \left(r-\dfrac{h}{3}\right)$.



    626   

    Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível? Se a lata fosse esférica, o gasto de material seria maior ou menor que o gasto de material da lata cilíndrica que voce encontrou? E se a lata fosse cúbica?


    1327   

    Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=12\sqrt[6]{x}-\frac{1}{2x^2}+\log_5(x)$ no ponto cuja coordenada horizontal é $3$.


    139   

    Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

     $ f(t) = \sqrt{5t^2-30}$.


     $(-\infty,-\sqrt{6}]\cup [\sqrt{6},\infty)$


    162   

    Use o Teorema do Confronto para demonstrar que $\lim\limits_{x \to 0} \cos{x} = 1$.


    1339   

    Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{cotg (2x)}{cossec (x)}$.


      


    $1/2$.


    1736   

    Prove o seguinte resultado: Se $f$ tiver um mínimo absoluto em um intervalo aberto $(a,b)$, então ele precisa ocorrer em um ponto crítico de $f$.


    1197   

    Calcule a derivada da seguinte função:
     $f\left(  x\right)  =\frac{\cos^{2}\left(  x\right)  +\sin^{2}\left(x\right)  }{\sqrt{x^{3}+1}}.$


    934   

    Calcule:

    1. $log_3 (36) +log_3 (6)$
    2. $8^{\frac {2} {3}}+\sqrt{100}+2^{2^3}+2^{(2^3)}$



    603   

    Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

    1. $(2-x)(x-1)$

    2. $1-x^{2}<0$


    1921   

    Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio $r$ é $4 \pi r^2$.



    2   

    Seja  $\ell$ a reta que passa pela origem do plano cartesiano e tangencia a curva $y = x^3 + x + 16$. Qual a inclinação de $\ell$?



    Dado que $\ell$ é uma reta que passa pela origem, sabemos que sua equação é do tipo $\ell(x)=ax$. Como ela tangencia a curva $y(x)$, sabemos que há um ponto $x^*$ tal que $\ell(x^*)=y(x^*)$.

    Além disso, sabemos que em $x^*$ a inclinação de $\ell$ é a mesma inclinação de $y$ (por quê?), o que é equivalente a $\ell'(x^*)=y'(x^*)$.

    Assim, temos:

    \begin{cases}
        \left.x^*\right.^3+x^*+16 = ax^* \\
        3\left.x^*\right.^2+1=a
        \end{cases}

    Resolvendo o sistema de equações obtemos:

    \begin{align*}
    x^* = 2\\
    a = 13
    \end{align*}


    Sendo, portanto, $a=13$ a resposta desejada.


    681   

    Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.


    $-2$


    1623   

    Estime $\pi$ através da aplicação do Método de Newton na equação $tg(x)=0$. Qual cuidado deve ser tomado, neste caso, em relação à escolha do valor inicial?


    583   

    Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

    1. ${\frac{|x-3|}{|x+7|}}>0$

    2. $|x+4|\geq |x+1|$


    723   

    Calcule o limite:

    $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.


    $-2$.


    1096   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int x^8\ dx$


    $1/9x^9+C$


    89   

    Calcule os seguintes limites:
    1. $\lim\limits_{x\rightarrow p} \frac{\sin \left(x^{2}-p^{2}\right) }{x-p}$
    2. $\lim\limits_{y\rightarrow 3} \frac{\sin \left(y^{2}-9\right) }{y-3}$
    3. $\lim\limits_{x\rightarrow 4} \frac{\cos \left(x^{2}-16\right) }{x-4}$

    1825   

    Demonstre a Regra de L'Hospital para a indeterminação da forma $\displaystyle\dfrac{0}{0}$.


    1260   

    Resolva a equação $e^{ax}=Ce^{bx}$, onde $a\neq b$.



    Usando as propriedades básicas da função exponencial temos que:
      \begin{align*}
      e^{ax}  & =Ce^{bx}\\
      & \Leftrightarrow e^{-ax}e^{ax}=e^{-ax}Ce^{bx}\\
      & \Leftrightarrow1=Ce^{(b-a)x}\\
      & \Leftrightarrow\frac{1}{C}=e^{(b-a)x}\\
      & \Leftrightarrow\ln\left(  \frac{1}{C}\right)  =\ln\left(  e^{(b-a)x}\right)
      =\left(  b-a\right)  x\\
      & \Leftrightarrow\frac{-\ln C}{b-a}=\frac{\ln C}{a-b}=x
      \end{align*}


    1134   

    Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$. Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$ nos seguintes casos:

    1.    $y=x$  
    2.    $y=z$
      


    331   

    Uma das raízes da equação $x^2+mx+m^2-m-12=0$ é nula, e a outra é positiva. Qual o valor do parâmetro $m$?


    1322   

    Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.


    614   

    Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

     $f\left( x\right) =\left\vert x-2\right\vert +\left\vert x-1\right\vert >1$.


    86   

    Calcule os limites:

    1. $\lim\limits_{x\to6} \frac{x^2-4 x-12}{x^2-13 x+42}$

    2. $\lim\limits_{x\to0} \frac{x^2+2 x}{x^2-2 x}$

    3. $\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+6 x-16}{x^2-3 x+2}$



    1. $-8$

    2. $-1$

    3. $10$


    576   

    Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt[3]{x^{3}-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


    722   

    Lembrando que o comprimento do traçado de um gráfico de uma função $f(x)$ no intervalo $[a,b]$ é dado por $\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$, calcule o comprimento da circunferência de raio $r=1$.


    1533   

    Seja $g(x)=x^3+\dfrac{1}{x}$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto correspondente a $x=1$.


    $y=2x$.


    571   

    Estude a função $f\left( x\right) =x\ln x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.


    1496   

     Resolva os itens:

    1. Verifique que $\sqrt{1+x^2}-|x|=\dfrac{1}{|x|+\sqrt{1+x^2}}$. Conclua que à medida que $|x|$ resce a diferença $\sqrt{1+x^2}-|x|$ se aproxima de zero.
    2. Esboce o gráfico de $y=\sqrt{1+x^2}$.


    619   

    Determine o domínio da seguinte função:

    $f\left( x\right) =\sqrt{x-\sqrt{x}}$.


    $\left\{ x\geq 1\right\} $.


    1772   

    Considere uma força $f(x)$ que atua sobre um corpo no ponto $x$. A força varia em função do ponto $x$, segundo a função $f(x)=x^5 \sqrt{x^3+1}$. Determine o trabalho realizado se o corpo se move do ponto $x=0$ ao ponto $x=1$.


    217   

    Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
    $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
    x^2-1, & & \text{ se }  x<-1 \\
    x^3+1, & & \text{ se }  -1\leq x\leq 1\\
    x^2+1, & & \text{ se }  x>1
    \end{array}
    \right.$

    1. $ \lim\limits_{x\to -1^-} f(x)$

    2. $ \lim\limits_{x\to -1^+} f(x)$

    3. $ \lim\limits_{x\to -1} f(x)$

    4. $f(-1)$

    5. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$

    6. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

    7. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$

    8. $f(1)$


    1. 0
    2. 0
    3. 0
    4. 0
    5. 2
    6. 2
    7. 2
    8. 2


    1636   

    Calcule a integral $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax^n+bx}dx$.


    1814   

    Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

    1.  $\displaystyle f'(x)=x^2(2x+1)(x-1)$;

    2.  $\displaystyle f'(x)=\dfrac{9-4x^2}{\sqrt[3]{x+1}}$.


    1799   

    Um $n$-ágono regular é um polígono de $n$ lados que possui todos os lados iguais e todos os ângulos de mesma medida.

    1. Encontre o perímetro de um $n$-ágono regular inscrito num círculo de raio $r$.
    2. O perímetro do $n$-ágono se aproxima de algum valor quando $n$ cresce?
    3. Deduza a fórmula do comprimento de uma circunferência de raio $r$.



    1570   

    Seja $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    x^2, & \text{se } x \leq 0 \\
    -x^2, & \text{se } x>0  
    \end{array}\right.$

    1. $f$ é contínua em $0$. Por quê?
    2. $f$ é derivável em $0$. Por quê?


    1. Sim.
    2. Sim.


    1696   

    Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva a seguir em torno do eixo indicado.

    $y=x^3/9$,  $0\leq x \leq 2$, eixo $x$


    1539   

    Suponha que um meteorito pesado está a $s$ quilômetros do centro da Terra, e que sua velocidade de entrada na atmosfera terrestre seja inversamente proporcional a $\sqrt{s}$. Mostre que a aceleração do meteorito é inversamente proporcional a $s^2$ e interprete o resultado.


    600   

    Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre-a, se verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.

    1. $x<y\Longleftrightarrow 1/y<1/x$.

    2. $\sqrt{x^{2}}=x,\forall x\in \mathbb{R}$.


    851   

    Determine as derivadas das seguintes funções:

    1. $f\left( x\right) =e^{\cos \left( x^{2}\right) }$.

    2. $f\left( x\right) =\left( \sin x+\cos x\right)^{3}$.

    3. $f\left( x\right) =x^{3}e^{-3x}.$


    1103   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int 5e^\theta\  d\theta$


      $5e^\theta+C$


    590   

    Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{{\frac{5x-2}{x^{2}-4}}}$ é real.


    1562   

    Seja $g(x)=log_a{x}$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=\dfrac{1}{x \ln{a}}$.


    886   

    Resolva a equação $|2x+1|=3$.




    Se $2x+1\geq0$: $|2x+1| = 2x+1$, logo $2x+1=3 \Rightarrow x = 1$.
    Se $2x+1<0$: $|2x+1| = -(2x+1)$, logo $-2x-1=3 \Rightarrow x = -2$.
    Portanto $x=1$ ou $x=-2$.


    938   

    Calcule $f^{-1}$ para a função $f(x)=1+3x.$



    Seja $y = f(x)$. Então:
    $y = 1 + 3 x$.
    Isolando $x$:
    $3 x = y - 1$
    $x = \dfrac{y-1}{3}$.
    Logo:
    $f^{-1}(x) = \dfrac{x-1}{3}$.


    1782   

    Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg}^n (x) \, dx = -\dfrac{\text{cotg}^{n-1} (x) }{n-1} - \int \text{cotg}^{n-2} (x) \, dx, \, n \geq 2$.


    749   

    Calcule o seguinte limite:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x}$.


    $0$.


    1702   

    1. Prove que se $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=l$ e $b\neq 0 $, então $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(bx)}{x}=bl$. Dica: Escreva $\dfrac{f(bx)}{x}=b\dfrac{f(bx)}{bx}$.

    2. O que acontece se $b=0$?

    3. O item 1. nos permite determinar $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2x)}{x}$ em termos de $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}$. Determine este limite de um outro modo.


    699   

    Calcule a integral imprópria $\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}dx$


    $2$.


    1198   

    Calcule a derivada da seguinte função:
     $f\left(  x\right)  =\frac{\sqrt{x^{3}+1}}{\left(  x^{2}+1\right)  ^{4}}.$


    1382   

    Durante o primeiro mês de crescimento de produtos como milho, algodão e soja, a taxa de crescimento (em gramas/dia) é proporcional ao peso presente $W$. Para determinada espécie de algodão, $dW/dt=0,21W$. Preveja o peso de uma planta no término de um mês ($t=30$), se a planta pesa 70 miligramas no início do mês.


    1129   

    Aproxime numericamente o seguinte limite
      $ f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$


    1.  \begin{array}{cc}
        x & f(x) \\ \hline
        2.9 & -0.632 \\
        2.99 & -0.6032 \\
        2.999 & -0.60032 \\
        \end{array}
      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.
    2.  \begin{array}{cc}
        x & f(x) \\ \hline
         3.1 & -0.5686 \\
        3.01 & -0.5968 \\
        3.001 & -0.59968 \\
          \end{array}
      A tabela parece indicar que   $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.
    3. As tabelas parecem indicar que   $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.


    138   

    Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

       $ h(k) = \sqrt{1-k}+\sqrt{k+1}$.


    $[-1,1]$


    849   

    Calcule a derivada da função:

    $y=\ln \left(\dfrac{\cos \sqrt{x}}{1+\sin \sqrt{x}}\right)$.


    $y'=(\sin(\sqrt{x}) + 1) \sec(\sqrt{x}) \left(-\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)} - \dfrac{\cos^2(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)^2}\right)$.


    126   

    Seja $f(x)= \left\{\begin{array}{ccc} x^2-5, & &\text{se } x<5 \\ 5x, & &\text{se } x \geq 5 \end{array}\right.$.
    Calcule:
    1. $ \lim\limits_{x\to 5^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 5^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 5} f(x)$
    4. $f(5)$
    5. $f$ é contínua em $x=5$?

    1. $20$.

    2. $25$.

    3. Não existe.

    4. $25$

    5. Não.


    846   

    Calcule a derivada da função:

    $y=\dfrac{e^{\sec \sqrt{x}}}{x}$.


    $y'=\dfrac{(\tan x) e^{\sec x} \sec x)}{\sqrt{x}} - \dfrac{e^{\sec x}}{(2 x^{3/2})}$.


    1606   

    Um peso de massa $m$ é preso a uma bola suspensa a partir de um suporte. O peso é posto em movimento movendo-se o suporte para cima e para baixo de acordo com a fórmula $h=A \cos(\omega t)$, onde $A$ e $\omega$  são constantes positivas e $t$ é o tempo. Se as forças de atrito são desprezíveis, então o deslocamento $s$ do peso em relação à sua posição inicial no instante $t$ é dada por $s=\dfrac{A \omega^2}{\omega_0^2-\omega^2}(\cos(\omega t)-\cos(\omega_0 t))$ com $\omega_0=\sqrt{k/m}$ para uma constante $k$ e com $\omega \neq \omega_0$. Calcule $\lim\limits_{\omega \to \omega_0}s$ e mostre que as oscilações resultantes aumentam em magnitude.


    1177   

    Se $0<x<y$ prove que $\sqrt[3]{y-x}>\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{x}$.


    1336   

    Usando os limites fundamentais, encontre o limite  $\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{sen(x-1)}{x^{2}+x-2}$.
     


    $1/3$.


    1125   

    Seja:

    • $\int_0^2{f(x)dx} = 5$
    • $\int_0^3{f(x)dx} = 7$
    • $\int_0^2{g(x)dx} = -3$ e
    • $\int_0^3{g(x)dx} = 5$

    A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

    1. $\int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx$
    2. $\int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx$
    3. $\int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx$
    4. Encontre valores para $a$ e $b$ tal que:
      $\int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0$



    1. $2$
    2. $2$
    3. $22$
    4. $a=-\frac{5}{7}b,\quad b\in\mathbb{R}$


    1174   

    O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva quadrática? Justifique.



    Os pontos de inflexão são os pontos nos quais a curvatura de uma curva troca de sinal, portanto, está associado com trocas de sinal da segunda derivada da função associada à curva. Curvas quadráticas terão derivadas lineares e segundas derivadas constantes. Sendo assim, como a segunda derivada de uma curva quadrática nunca trocará de sinal, uma curva quadrática nunca apresentará pontos de inflexão


    1298   

    Utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume de um cone circular reto de altura $h$ e base com raio $r$.



    Podemos pensar no cone como a superfície de revolução obtida pela rotação de um segmento de reta. A reta em questão pode ser equacionada, por semelhança de triângulos, como
      \[
      \frac{y}{x}=\frac{h}{r}\text{ ou }y:=y\left(  x\right)  =\frac{h}{r}x\text{.}%
      \]
      O segmento de reta é determinado ao restringirmos $x\in\left[  0,r\right]$. Observamos que, dado $x\in\left[  0,r\right]  $ temos que a altura $h\left(  x\right)  $ correspondente ao cilindro contido no cone é $h\left(  x\right)  =h-y\left(  x\right)  $. Chamando o volume de $V$, pelo método das cascas cilíndricas, obtemos que:
      \begin{align*}
      V  & =\int_{0}^{r}\left(  2\pi x\right)  \left(  h-\frac{h}{r}x\right)  dx\\
      & =\int_{0}^{r}2\pi h\left(  x-\frac{x^{2}}{r}\right)  dx\\
      & =2\pi h\left.  \left(  \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3r}\right)  \right\vert
      _{0}^{r}\\
      & =2\pi h\left(  \frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3r}\right)  \\
      & =2\pi h\frac{r^{2}}{6}\\
      & =\frac{\pi hr^{2}}{3}.
      \end{align*}


    114   

    Dê um exemplo de uma função que seja contínua em todos os pontos da reta, exceto nos pontos da forma $k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.


    $f(x)=1$, se $x=k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$; $f(x)=0$, caso contrário.


    912   

    Resolva a inequação $\frac{x^2+2x-1}{x^2-1} \geq \frac{1}{x+1}$.


    1555   

    Para uma população de elefantas africanas, o peso $W(t)$ (em quilogramas) e a idade $t$ (em anos) pode ser aproximado por uma função de crescimento de Fertanlanffy $W$ tal que $W(t)=2600(1-0,51e^{-0,075t})^3$.

    1. Dê uma aproximação do peso e da taxa de crescimento de um elefante recém-nascido.
    2. Supondo que uma elefanta adulta pese $1800$ $kg$, estime sua idade e sua taxa de crescimento presente.
    3. Calcule e interprete $\lim\limits_{t \to \infty}W(t)$.
    4. Mostre que a taxa de crescimento é máxima entre as idades de $5$ e $6$ anos.


    47   

    O gráfico da função $f(x)=\frac{x^3+2x^2+1}{5-x^2}$ possui alguma assíntota horizontal?


    Não possui.


    1868   

    A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modoficações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$. 


    1812   

    (Teste da Derivada Primeira) Suponha $f$ contínua em um ponto crítico $x_0$.

    1.  Se $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)<0$ em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ tem um máximo relativo em $x_0$.

    2.  Se $f'(x)<0$ em um intervalo aberto  ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se  à direita de $x_0$, então $f$ tem um mínimo relativo em $x_0$. 

    3.  Se $f'(x)$ tiver o mesmo sinal $\displaystyle [f'(x)>0\ \text{ou}\ f'(x)<0]$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ não tem extremo relativo em $x_0$.

    Esboce algumas curvas para mostrar que as três partes do teste da derivada primeira podem ser falsas, sem a hipótese de que $f$ é contínua em $x_0$.


    649   

    Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas.

    1. $f(x)=x^{3}+x$

    2. $f(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}$



    1. $f(-x)=(-x)^{3}+(-x) = -x^3-x = -(x^3+x) = -f(x)$, logo a função é ímpar.
    1. $f(-x)=(-x)^{4}+2(-x)^{3}+(-x)^{2} = x^4-2x^3+x^2$, que não é igual a $f(x)$ nem $-f(x)$, logo a função não é par nem ímpar.


    1182   

    Demonstre para todos números reais $a,b$ que $\max(a,b)=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}|b-a|,$ onde $\max(a,b)=a$ se $a\geq b$ e $\max(a,b)=b$ se $a<b$.



    147   

    Use o teorema do valor intermediário para mostrar que $f(x)=4x^3-6x^2+3x-4$ possui um zero no intervalo $[1,2]$.



    Como $f(1) = -3 < 0$ e $f(2) = 10 > 0$, temos que a função $f$ muda de sinal no intervalo $[1,2]$, e portanto, pelo teorema do valor intermediário, $f$ possui um zero nesse intervalo.


    171   

    Seja $h$ uma função definida em $[-1,1]$, sendo que $h(-1) = -10$ e $h(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $h(c) = 0$? Por quê?


    Não é possível dizer: O Teorema do Valor Intermediário só se aplica para funções contínuas, e nada foi afirmado sobre a continuidade de $h$.


    1099   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int (\sec x\tan x + \csc x\cot x)\  dx$


      $\sec x - \csc x+C$


    1725   

    Substitua as interrogações por expressões envolvendo $\epsilon, x_0$ e $y_0$ de modo que a afirmação abaixo seja verdadeira. Se $y_0 \neq 0$, $|y-y_0|<??$ e $|x-x_0|<??$, então $y \neq 0$ e $\left| \dfrac {x}{y}-\dfrac{x_0}{y_0}\right|<\epsilon$.


    1317   

    Será construído um campo de atletismo retangular, com $x$ unidades de comprimento, tendo nas extremidades duas áreas semicirculares com raio $r$. O campo terá em volta uma pista para corrida com $400 m$ de extensão.

    1. Expresse a área da porção retangular do campo só em função de $x$ ou só em função de $r$ (a escolha é sua).

    2. Quais valores de $x$ e de $r$ dão à porção retangular maior área possível?


    1904   

    Mostre que o comprimento de arco total da elipse $x=a \cos t$, $y=b \sin t$, $0 \leq t \leq 2\pi$, para $a>b>0$ é dado por $4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1+3\sin^3 t}dt$.



    124   

    Classifique a veracidade das afirmações a seguir
    1. Se $f$ é contínua em $c$, então $\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c)$.
    2. Se $f$ é contínua em $c$, então $\lim_{x\to c}f(x)$ existe.
    3. Se $f$ é definida em um intervalo aberto contendo $c$, e $ \lim_{x\to c}f(x)$ existe, então $f$ é contínua em $c$.

    1. Verdadeiro
    2. Verdadeiro
    3. Falso


    1923   

    O volume de água em um tanque varia de acordo com a função $V(t)= 10 - |4-2t| -|2t - 6|$, onde $V$ é o volume medido em $m^3$ após $t$ horas, contadas a partir de $8$ h da manhã. 

    1. Atribua um domínio para $V(t)$, considerando que um volume negativo não tem sentido na realidade. 
    2. Faça o gráfico de $V(t)$ com $t$ no domínio estabelecido no item anterior.
    3. Para que valores de $t$ o tanque está enchendo?
    4. Para que valores de $t$ o tanque está esvaziando?
    5. Em qual horário o volume do tanque é constante?


    36   

    Calcule os seguintes limites:

    1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{3}+2}\right)$

    2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+2}\right)$

    3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x+2}\right)$


    1.   $-\infty$
    2. $0$
    3. $\infty$

    1136   

    Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$. Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$, sabendo que $y=x^{\beta }z^{1-\beta }$, com $\beta =1/2$.


    1791   

    Calcule $\displaystyle \int \dfrac{1}{2+\sin x} \, dx$.


    $\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}$


    1310   

    Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{8}-p^{8}}{x-p}$.


    927   

    A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de $30^0$. Caminhando $23$m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de $60^0$. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio.


    850   

    Calcule a derivada da função:

    $y=\dfrac{1}{2}\cot ^{2}5x+\ln \sin x.$


    $y'=\cot(x) - 5 \cot(5 x) \csc^2(5 x)$.


    795   

    Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

    $f\left( x\right) =\sqrt[3]{x},\;p=1$.


    $y=\dfrac{x+2}{3}$.


    1088   

    Defina o termo antiderivada com suas próprias palavras.


    A antiderivada de uma função $f$ é uma função $F$ cuja derivada é a função $f$ original.


    691   

    Calcule o seguinte limite

    $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right)^{x}$.


    $e^{1/2}$.


    928   

    Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação $P(t)=P(0) \cdot 2^{-0,25t}$. Sendo $P(0)$ uma constante que representa a população inicial dessa região e $P(t)$ a população $t$ anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da inicial.



    Para que essa população fique reduzida à quarta parte da inicial devemos ter:
    $P(t) = \dfrac{1}{4} P_0$.
    Substituindo a expressão de $P(t)$:
    $P_0 2^{-0,25 t} = 0,25 P_0$.
    Com essa expressão podemos encontrar o valor de $t$.
    $2^{-0,25 t} = 0,25$.
    Aplicando $log_2$ dos dois lados:
    $\log_2 (2^{-0,25 t}) = \log_2(0,25)$.
    Utilizando propriedade de $\log$:
    $-0,25 t \log_2 2 = \log_2(0,25)$.
    $t = \dfrac{\log_2(0,25)}{-0,25}$.
    $t = 8$ anos.



    1740   

    Escreva o polinômio $p(x)=x^4-12x^3+44x^2+2x+1$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?)


    1896   

    Prove o teorema do valor médio para integrais aplicando o teorema do valor médio para derivadas(consulte Stewart, seção 4.2, para obter mais informações sobre a função $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)dt$.



    529   

    Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de $1$ pé por segundo. Quando ele está a $65$ pés acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de $17$ pés por segundo  passa por baixo dele. A que taxa a distância $s(t)$ entre a bicicleta e o balão aumentará três segundos depois?




    1756   

    Avalie a integral $\displaystyle \int_{-1}^1 (x^5+3) \sqrt{1-x^2} \, dx$ sem fazer nenhuma conta.


    791   

    Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

    $f\left( x\right) =x^{2},\;p=2$.


    $y=4x-4$.


    1657   

    Demonstre que  $2\sqrt{2} \leq \int_{0}^{1}{\sqrt{x+8}dx} \leq 8$.


    223   

    Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$:

    1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

    2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

    3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$



    1. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $2.9$ & $132.857$ \\

      $2.99$ & $12124.4$ \\

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =\infty$.

    2. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $ 3.1$ & $108.039$ \\

      $3.01$ & $11876.4$ \\

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.

    3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =\infty$.



    160   

    Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua tal que, para todo real x, tenhamos $f(f(f(x))) = x^2 + 1$. Prove que $f$  é par.


    1777   

    Calcule a integral $\displaystyle \int (1+ \sin t)^9 \cos t \, dt$, utilizando a substituição $u=1+\sin t$.


    61   

    Considere a função $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2x &\text{ se} x\ne -1\\0&\text{ se } x=-1\end{array}\right.$.

    1. Trace o gráfico de $f$.

    2. Usando limites laterais, determine se o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -1}f(x)$ existe ou não.


    588   

    Se $a$ é racional e $b$ é irracional então podemos afirmar alguma coisa sobre $a+b$ em termos de racionalidade ou irracionalidade?


    Podemos afirmar que $a+b$ sempre será irracional.


    1579   

    Dados $f(x) = x^2+2x$ e $x_0 = 0,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.


    183   

    Existem, para doação a escolas, $2000$ ingressos de um espetáculo e $1575$ de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetáculos e todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se todos os ingressos, qual o número mínimo de escolas que poderão ser contempladas nessa doação?


    1412   

    A velocidade (no instante $t$) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é $\cos^2 (\pi t)$ $m/s$. Qual a distância percorrida pelo ponto em 5 segundos?


    324   

    Um encanador $A$ cobra por serviço feito um valor fixo de $R\$ 60,00$, mais $R\$ 10,00$ por hora de trabalho. Um outro encanador $B$ cobra um valor fixo de $R\$40,00$ mais $R\$15,00$ por hora de trabalho. Considerando o menor custo para a realização de um trabalho, avalie a decisão de se contratar um ou outro encanador.


    125   

    Dê um exemplo de uma função $f(x)$ para a qual $\ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$ não exista.


    $f(x)=1, x \neq 0$; $f(0)=2$.


    1675   

    Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:

    $\int{\frac{dx}{1-x^2}}$



    Podemos escrever:

    $\frac{1}{1-x^2}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}=\frac{A+Ax+B-Bx}{1-x^2}=\frac{(A+B)+(A-B)x}{2-x^2}$

    Portanto, sabemos que $A+B=1$ e $A-B=0$. Temos, portanto, $A=B=\frac{1}{2}$.

    Assim, reescrevemos a integral como

    $\int\left(\frac{1/2}{1-x}+\frac{1/2}{1+x}\right)\,dx=\frac{1}{2}ln(1+x)+\frac{1}{2}ln(1-x)$


    804   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
    $f\left( x\right) =\dfrac{1+e^{x}}{1-e^{x}}$.



    $f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}$.



    Queremos calcular a derivada da divisão da função $1+e^x$ pela função $1-e^x$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:

    \[\left( \dfrac{1+e^x}{1-e^x} \right)^\prime = \dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2}.\]

    Como

    \[(1+e^x)^\prime = (1)^\prime + (e^x)^\prime = 0 + e^x = e^x\]

    e, analogamente,

    \[(1-e^x)^\prime = -e^x,\]

    temos então que

    $\dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x (1-e^x)-(1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x(1-e^x)+e^x(1+e^x)}{(1-e^x)^2}$.

    Para simplificar o numerador, colocamos o fator comum $e^x$ em evidência: $e^x(1-e^x+1+e^x) = 2e^x$. Portanto, concluímos que

    \[f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}.\]




    105   

    Determine os valores de $c$ que tornam contínua a função \[ f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+cx,\text{ se }x\leq1\\ \left( cx\right) ^{2}-1=c^{2}x^{2}-1,\text{ se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \]

    Justifique sua resposta.


    $c=-1$ ou $c=2$.


    1340   

    Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(7x\right) }{\sin \left( 23x\right) }$.


    $7/23$.


    522   

    Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que, no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a $0,6 km$ ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a $0,8 km$ a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a $20 km/h$. Se a viatura está se deslocando a 60 km/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?




    192   

    Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.

    1. A soma de dois números racionais é sempre um número racional.

    2. A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.

    3. A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.


    1. V

    2. F

    3. V


    922   

    Partindo do gráfico de $h(x)=x^2$, esboce os gráficos de $f(x) =(x-1)^2$ e $ g(x) = (x +1)^2.$



    943   

    Calcule, através da definição, o limite $ \lim_{x\to 2} 5 = 5$



    Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que, quando $|x-2|<\delta$, $|f(x)-5|<\epsilon$. Entretanto, como $f(x)=5$ é uma função constante, a segunda inequação é simplesmente $|5-5|<\epsilon$, o que é sempre verdade. Assim, pode-se escolher um $\delta$ qualquer; arbitrariamente, escolhe-se $\delta =\epsilon$.



    660   

    Considere o gráfico da função $f$:


    $f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{c}-2x-2,-4\leq x\leq -2 \\x+4,-2\leq x\leq 1 \\6-x,1\leq x\leq 4\end{array}\right.$

    fig_modos_representar_funcoes_26.png

    Esboce, a partir deste, os gráficos das seguintes funções:

    1. $y=f\left( x+4\right) $

    2. $y=f\left( x\right) +4$

    3. $y=2f\left( x\right) $

    4. $y=-\dfrac{1}{2}f\left( x\right) +3.$


    1591   

    Em uma esteira transportadora, areia é derrubada a uma taxa de $10$m$^3/$min no topo de um monte em formato de cone. A relação entre a altura do monte e o diâmetro da base é sempre de $3/8$.

    1. Qual a taxa de variação da altura?
    2. Qual a taxa de variação do raio, se o monte tiver $4$m de altura?


    1746   

    1. Mostre que o polinômio de Taylor de $f(x)=\sin(x^2)$ de grau $4n+2$ em $0$ é:$$x^2-\dfrac{x^6}{3!}+\dfrac{x^{10}}{5!}-\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.$$ Dica: se $p$ é o polinômio de Taylor de grau $2n+1$ para $\sin$ em $0$, então $\sin x=P(x) + R(x)$, onde $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{R(x)}{x^{2n+1}}=0$. O que isto implica em $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{R(x^2)}{x^{4n+2}}$?

    2. Calcule $f^{(k)}(0)$ para todo $k$.

    3. Em geral, se $f(x)=g(x^m)$, calcule $f^{(k)}(0)$ em termos das derivadas de $g$ em $0$.


    1121   

    Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

    fig_int_definida_6.png

    1. $\int_0^2 f(x)\ dx$
    2. $\int_0^3 f(x)\ dx$
    3. $\int_0^5 f(x)\ dx$
    4. $\int_2^5 f(x)\ dx$
    5. $\int_5^3 f(x)\ dx$
    6. $\int_0^3 -2f(x)\ dx$


    1. $-4$
    2. $-5$
    3. $-3$
    4. 1
    5. $-2$
    6. 10


    1288   

    Considere:

    1.  Um cilindro $CI_r$ de raio $r$ e altura $r$.
    2.  Um cone  $CO_r$ de raio $r$ e altura $r$.
    3.  Uma pirâmide $P_r$ de base quadrada com diagonal de comprimento $2r$ e altura $r$.

    Para cada um destes três sólidos, expresse o volume em forma de integral e demonstre que a relação (proporção) entre estes volumes não depende do parâmetro $r$.


    1827   

    As curvas de crescimento logístico modelam a taxa de crescimento de uma certa população em função dos fatores ambientais. Em um período prolongado de tempo, a população tende a um valor limite que representa o máximo número de indivíduos que o espaço ou alimento pode sustentar. Estas curvas são da forma $$ y(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ onde $y$ é a população no momento $t$ ($t\geq 0$) e $A$, $k$ e $L$ são parâmetros positivos. Suponha que uma população $y$ cresce de acordo com o modelo logístico acima.

    1.  Qual é a taxa de crescimento de $y$ em $t=0$?

    2.  Descreva como a taxa de crescimento de $y$ varia com o tempo.

    3.  Em que momento a população cresce mais rapidamente?


    1095   

    Avalie a seguinte integral indefinida:
      $\int \frac{1}{3t^2}\  dt$


      $-1/(3t)+C$


    1582   

    Dados $f(x) = 1+x$ e $x_0 = 8,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.


    1656   

    Demonstre que não é possível que o valor de $\int_0^1\sin(x^2)\ dx$ seja $2$. Depois, utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, válida para $x \geq 0$, determine um limitante superior para esta integral.



    Sabemos que $\sin x \leq 1,\,\forall\,x\in\mathbb{R}$. Assim, como $\int_a^b f(x)dx \leq max\_{a \leq x \leq b} f(x) (b-a)$, podemos dizer que $\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq 1$.

    Utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, podemos determinar de maneira ainda mais precisa um limitante superior para a integral.

     $\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq \int_0^1x^2\ dx = \frac{1}{3}x^3 \vert^1_0=\frac{1}{3}$


    1677   

    Sociólogos utilizam a expressão "difusão social" para descrever o modo como a informação se espalha por uma população. A informação pode ser um boato, uma novidade cultural, ou notícias sobre uma inovação técnica Em uma população suficientemente grande, o número de pessoas $x$ que tem a informação é tratado como uma função derivável do tempo $t$, e a taxa de difusão é supostamente proporcional ao número de pessoas que têm a informação multiplicado pelo número de pessoas que não a tem, isto é,

    $\frac{dx}{dt} = kx\left(N-x\right)$, sendo que $N$ é o número total de pessoas da população.

    Suponha então que $t$ seja medido em dias, $k=1/250$ e que duas pessoas deram início a um boato no momento $t=0$ em uma população tal que $N=1000$.

    1. Determine $x(t)$.

    2. Quando metade da população terá ouvido o boato?


    736   

    Considere a região no plano com limite inferior dado por  $y=1+x^2$ e limite superior $y=2$. Calcule os volumes quando rotacionamos essa região:

    1. Ao redor do eixo $x$.
    1. Ao redor do eixo $y$.


    686   

    Calcule o limite justificando as passagens.

    $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{3x^{3}+2}\right) $.


    1281   

    Seja $a$ um número real positivo e suponha que $|x|<a.$ Use o método de frações parciais para obter a fórmula $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) +C.$


    141   

    Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

      $ g(x) = \frac{1}{1+x^2}$.


    $(-\infty,\infty)$


    1830   

    Esboce o gráfico completo da função $\displaystyle f(x)=x\tan x,\ -\pi/2<x<\pi/2$, e localize todos os extremos relativos e pontos de inflexão. Utilize um recurso computacional gráfico a fim verificar seu resultado.


    929   

    Calcule, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

    1. $log_2 (1024)+sen^2(40)+cos^2(40)$
    2. $log_\pi [sen(30^0)+cos(60^0)]$



    1808   

    Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau) é uma função singular e descontínua, com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Seja $H$ a função de Heaviside. Prove, usando a definição de limite, que $\lim\limits_{x \to 0}H(x)$ não existe.

    heaviside.png


    925   

    A área superficial de uma caixa retangular fechada de base quadrada é igual a $20 m^2$. Determine o volume desta caixa em função do comprimento do lado de sua base.


    1509   

    Utilizando a aproximação $ln\ 2 \approx 0,7$, pode-se derivar uma regra popular, conhecida como regra dos 70, que diz: "Para estimar quantos anos uma determinada quantia em dinheiro dobre ao ser investida a uma porcentagem $r$ composta continuamente, divida $r$ por $70$". Por exemplo, uma quantia em dinheiro investida a $7\%$ dobrará em cerca de $70/7=10$ anos. Se, em vez disso, você quiser que ela dobre em $5$ anos, deve investí-la a $70/5=14\%$. Mostre a dedução da regra dos 70.


    345   

    Encontre as raízes do polinômio $x^4-6x^3+13x^2-12x+4.$
    Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais


    647   

    Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas.

    1. $f(x)=\sin x$

    2. $f(x)=\cos x$



    1. A função $\sin x$ é ímpar pois $f(-x) = \sin (-x) = -\sin(x) = -f(x)$.
    1. A função $\cos x$ é par pois $f(-x) = \cos (-x) = \cos(x) = f(x)$.


    1344   

    Verifique que a equação $x^{179}+\frac{163}{1+x^2+\sin^2x}=119$ possui pelo menos uma solução.



    1692   

    Qual das integrais a seguir, se houver alguma, serve para calcular a área da região sombreada mostrada aqui? Justifique sua resposta.

    1. fig_area_entre_curvas_2.png$\int_{-1}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx} = \int_{-1}^{1} {2x\ dx}$
    2. $\int_{-1}^{1} {\left(-x-x\right)dx} = \int_{-1}^{1} {-2x\ dx}$


    Uma análise do resultado de ambas as integrais nos mostra, de imediato, que nenhuma delas é a adequada para o cálculo da área da figura. A segunda integral nada mais é do que a primeira integral com o sinal invertido, e portanto ambas são iguais a zero.

    A questão é que no caso, se denotarmos $f_1(x)=x$ e $f_2(x)=-x$, é fácil observar que para $x>0$ $f_1(x)>f_2(x)$, e para $x<0$ $f_2(x)>f_1(x)$. Portanto, o cálculo correto da área se daria através de duas integrais, na forma 

    $A=\int_{-1}^{0} {\left(-x-x\right)dx}+\int_{0}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx}$

    Ou ainda, fazendo uso da simetria, poderia também se fazer:

    $A=2\int_{0}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx}=4\int_{0}^{1} {x\,dx}=2$


    1316   

    Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e, nos outros três lados, por uma cerca elétrica feita de um fio. Com $800 m$ de fio à disposição, qual é a maior área que você pode cercar e quais são suas dimensões?


    517   

    Calcule, pela definição, a derivada das seguntes funções:

    1. $f\left( x\right) =ax+b$
    2. $g\left( x\right) =ax^{2}+bx+c$.


    1. $f'(x)=a$.

    2.$f'(x)=2ax+b$.


    1633   

    Prove que $\displaystyle\int \sqrt{a^2+u^2}du=\dfrac{u}{2}\sqrt{a^2+u^2}+\dfrac{a^2}{2}\ln{|u+\sqrt{a^2+u^2}|}+C$.


    1773   

    Os gráficos das equações $y=e^x$, $y=0$, $x=0$ e $x=\ln 3$ formam uma região delimitada no plano. Calcule o centroide dessa região.


    120   

    Seja $f$ uma função contínua e decrescente em $\left[a,b\right]$. Mostre que $f$ tem uma inversa decrescente em $\left[f(b),f(a)\right]$.


    1190   

    Calcule a derivada da seguinte função: 
     $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$


    $f'(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$.


    1243   

    Calcule a derivada da seguinte função:
       $f\left(  x\right)  =\tan\left(  x\right)  \arcsin\left(  x^{2}\right).$


    640   

    Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

    1. $y=\sqrt{x-2}$

    2. $y=\sqrt{2-x}$



    1. O domínio de $y$ é o conjunto de números reais em que o valor dentro da raiz é positivo. Calculando esses valores:
      $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
      Portanto o domínio de $y$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x >2\}$.
    2. O domínio de $y$ é o conjunto de números reais em que o valor dentro da raiz é positivo. Calculando esses valores:
      $2-x > 0 \Rightarrow x < 2$.
      Portanto o domínio de $y$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x <2\}$.


    1169   

    Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo:

    1. $s(t) = 2t^3 + t^2-20t +4$

    2. $f(x) = 4x^3-5x^2-42x + 7$

    3. $g(w) = w^4-32w$


    1558   

    A taxa de crescimento $R$ de certo tipo de tumor pode ser relacionada com seu tamanho $x$, de modo aproximado, pela equação $R=r\cdot x\cdot ln(K/x)$, em que $r$ e $K$ são constantes positivas. Mostre que o tumor cresce mais rapidamente quando $x=e^{-1}K$.


    1632   

    Discuta a seguinte "demonstração'':

    Dada a integral $\displaystyle\int (1/x)dx$, seja $dv=dx$ e $u=1/x$, de modo que $v=x$ e $du=(-1/x^2)dx$.
    Então $\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$


    792   

    Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

    $f\left( x\right) =x^{2}-x;\;p=1$.


    $y=x-1$.


    1683   

    Calcule o valor de $p$ para a integral a seguir convergir:

    $\int_{1}^{2}{\frac{dx}{x\left(ln\ x\right)^p}}$


    847   

    Calcule a derivada da função:

    $y=e^{x^{x}}$.


    $y'=e^{x^x} x^x (\log x + 1)$.


    1693   

    Um projetista, incumbido da tarefa de projetar uma bacia com cerca de $3L$ de capacidade, resolveu fazê-la nos moldes de uma tampa de uma casca esférica de $r=16cm$, com $9cm$ de profundidade, conforme a figura abaixo. Calcule o volume da bacia projetada e veja se a estimativa do projetista foi adequada, dado que a margem de erro do volume estabelecida pela empresa era de $15\%$.

    fig_area_rev_1.png



    Podemos calcular o volume da bacia através da seguinte integral:


    $V=\int_{7}^{16}\pi\left(\sqrt{16^2-x^2}\right)^2\,dx=\left.\left[\pi(256x-\frac{x^3}{3})\right]\right\vert_7^{16}=1053\pi$

    Lembrando que $1L=1000cm^3$ e supondo $\pi\approx3$, temos $V=3159cm^3$ (O valor real é próximo de $V=3308cm^3$). Como a margem de erro do projetista era de $15\%$, vemos que este acertou em seus cálculos.


    207   

    Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

    fig_lim_lat_7.png

    1. $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
    2. $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
    3. $ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
    4. $f(1)$
    5. $ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
    6. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$



    1. Não existe.
    2. Não existe.
    3. Não existe.
    4. Indefinido.
    5. $0$
    6. $0$


    673   

    Se $f$ for contínua e $\int_{0}^{9}f\left( x\right) dx=9$, calcule $\int_{0}^{3}xf\left( x^{2}\right) dx.$


    805   

    Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

    $f\left( x\right) =xe^{x}\cos x$.


    $f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x)$.



    Usando a regra da derivada do produto de duas funções, escolhendo considerar $x e^x$ como uma delas e, consequentemente, $\cos x$ como a outra, obtemos:

    \[ (x e^x \cos x)^\prime = (x e^x)^\prime \cdot \cos(x)+ x e^x \cdot (\cos x)^\prime .\]

    Para calcular $(x e^x)^\prime$, vamos usar novamente a regra da derivada do produto:

    \[(x e^x)^\prime = (x^\prime) \cdot e^x + x\cdot (e^x)^\prime = e^x(1+x),\]

    em que usamos que $(x)^\prime=1$ e $(e^x)^\prime=e^x$, além de colocar em evidência o fator comum $e^x$.

    Substuindo essas expressões na igualdade inicial, temos que

    \[ (x e^x \cos x)^\prime = e^x(1+x)\cos(x)  - x e^x \sin x,\]

    já que $(\cos x)^\prime = -\sin x$. Ou seja, obtivemos que

    \[f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x).\]


    785   

    Mostre que qualquer reta tangente ao gráfico da hipérbole $xy=a^2$ determina com as assíntotas um triângulo de área igual a $2a^2$.


    1708   

    Defina ``$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = l$''.

    1. Ache $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{a_n x^n + \ldots + a_0}{b_m x^m + \ldots + b_0}$.

    2. Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} -f(x)$.

    3. Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.


    920   

    Um fabricante de refrigerante quer produzir latas cilíndricas para seu produto. A lata dever ter um volume de $360 ml$. Expresse a área superficial total da lata em função do seu raio e dê o domínio da função.



    Sejam $r$ o raio da base do cilindro e $h$ a sua altura. O volume $V$ do cilindro é dado por $V=\pi r^2 h$. Como $V=360$, obtemos $\pi r^2 h=360$, isto é, $h=\dfrac{360}{\pi r^2}$. A área superficial $A$ do cilindro é $A=2 \pi r^2+2 \pi r h$. Substituindo $h$ por $\dfrac{360}{\pi r^2}$ chegamos a $A=2 \pi r^2+2 \pi r \dfrac{360}{\pi r^2}$, ou seja, $A=2 \pi r^2+ \dfrac{360}{r}$. O domínio da função $A(r)$ é $\mathbb{R}^+$.



    222   

    Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$:

    1. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$

    2. $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$

    3. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$



    1. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $2.9$ & $-335.64$ \\

      $2.99$ & $-30350.6$ \\

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.

    2. \begin{tabular}{cc}

      $x$ & $f(x)$ \\ \hline

      $ 3.1$ & $-265.61$ \\

      $3.01$ & $-29650.6$ \\

      \end{tabular}

      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-\infty$.

    3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-\infty$.


      1102   

      Avalie a seguinte integral indefinida:
        $\int (t^2+3)(t^3-2t)\  dt$


      $t^6/6+t^4/4-3t^2+C$


      1658   

      O custo marginal da impressão de um pôster quando $x$ pôsteres são impressos é
      $\frac{dc}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ reais.

      Determine $c(100)-c(1)$, ou seja, a soma do custo dos pôsteres 2-100.


      1612   

      Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{e^x}{x^n}$.


      $\infty$.


      1759   

      Sendo $n$ um número positivo, mostre que

      $$\displaystyle \int_{-1}^1 x^n \, dx = \left. \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right |_{-1}^1.$$


      Se $n$ for um número negativo diferente de $-1$, esta expressão continua válida?


      1697   

      Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva a seguir em torno do eixo indicado.

      $y=\sqrt{2}$,  $3/4\leq x \leq 15/4$, eixo $x$


      900   

      Sabendo que $x$ é um número negativo, simplifique a expressão $\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{x^2}+\sqrt{(4-3x)^2}$.


      1824   

      Discuta as hipóteses necessárias para que se possa aplicar a Regra de L'Hospital.


      211   

      Avalie os seguintes limites para a função definida por partes


      $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
      \frac{|x|}{x}, & & \text{ se } x\neq 0 \\
      0, & & \text{ se }  x=0
      \end{array}
      \right.$

      1. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
      2. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
      3. $ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$
      4. $f(0)$


      1. $-1$
      2. $1$
      3. Não existe.
      4. $0$



      349   

      Seja $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ um polinômio não nulo com coeficientes inteiros tal que $P(r)=P(s)=0$ para certos inteiros $r$ e $s$, com $0<r<s$. Prove que $a_k\leq -s$ para algum $k$.


      935   

      A intensidade $I$ de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de $I=0$ até $I=8,9$ para o maior terremoto conhecido. $I$ é dado pela fórmula $I=\dfrac{2}{3} log {\left(\dfrac{E}{E_0}\right)}$, em que $E$ é a energia liberada pelo terremoto em quilowatt-hora e $E_0=7 \times 10^{-3}$ kwh.

      1. Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
      2. Aumentando uma unidade na intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?


      1584   

      Dados $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ e $x_0 = 1,3$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.


      666   

      Derive a função $q\left( x\right)  = \int_{e^{-2x}}^{\mathrm{tg}x}e^{\theta }\cos \theta d\theta$.


      637   

      Dada a função $f\left( x\right) =$ $\left| x\right| -2x$, calcule $f\left( -1\right) $, $f\left( 1/2\right) $, $f\left( -2/3\right) $. Mostre que $f\left( \left| a\right| \right) =-\left| a\right| $.


      751   

      Calcule o seguinte limite:
      $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln \dfrac{x^{2}-1}{x-1}$.


      $ln2$.


      70   

      Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

      1. Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então estamos implicitamente afirmando que o    limite em questão existe.

      2.  Se $ \lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 5$, então estamos implicitamente afirmando que o     limite em questão existe.

      3.  Se $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$, então $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \infty$.

      4.  Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então $f$ tem uma assíntota vertical em $x=5$.

      5.  $\infty/0$ não é uma forma indeterminada.


      1.  Falsa.

      2. Verdadeira

      3. Falsa

      4. Verdadeira

      5. Verdadeira


      1284   

      Admitindo-se que $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ existe, prove que
        $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}f(a+h).$


      169   

      Seja $f$ uma função contínua em $[1,5]$, sendo que $f(1) = -2$ e $f(5) = -10$. Existe um valor $1<c<5$ tal que $f(c) = -9$? Por quê?


       Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário.


      1576   

      Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=x|x|$.


      555   

      Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =x+\dfrac{1}{x^{2}}$.


      1809   

      Resolva os itens:

      1. Prove que existe $r>0$ tal que $\cos{x}-1<\dfrac{\sin{x}}{x}-1<0$ para $0<|x|<r$.
      2. Calcule $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^2}$.


      740   

      Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
        $y=e^{-x^{2}},y=0,x=0,x=1$, ao redor do eixo $y.$


      1286   

      Seja $f:I \rightarrow \mathbb{R}$, contínua, onde I é um intervalo fechado qualquer. Prove que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.



      218   

      Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
      $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
      2x^2+5x-1, & & \text{ se }  x<0 \\
      \sin x, & & \text{ se }  x\geq 0
      \end{array}
      \right.$

      1. $ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$

      2. $ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$

      3. $ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$

      4. $f(0)$


      1. $-1$
      2. 0
      3. Não existe.
      4. 0


      1622   

      Para calcular as coordenadas espaciais de um planeta, temos de resolver equações do tipo $x=1+0,5\sin(x)$. O traçado da função $f(x)=x-1-0,5\sin(x)$ sugere que a função possui uma raiz próxima de $x=1,5$. Utilize uma iteração do Método de Newton para melhorar essa estimativa, com $x_0=1,5$.


      106   

      Mostre, usando a definição, que a função $f\left( x\right) =ax+b$ é contínua em seu domínio.


      1341   

      Obtenha as assíntotas verticais de $f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$.



      As assíntotas verticais são os pontos $x$ tais que o limite é infinito.

      Para $f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$ temos que:

      $\lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2+1}{(x-1)^2} = \infty$,

      Logo $x=1$ é uma assíntota vertical de $f$. Como não há mais pontos no domínio de $f$ que podem levar a um limite infinito, esta é a única assíntota.


      1167   

      Encontre os intervalos abertos nos quais $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$ é crescente e os intervalos abertos nos quais é decrescente.


      1168   

      Considere a função $f$ cuja derivada é $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$.

      1. Quais são os pontos críticos de $f$?

      2. Em quais intervalos $f$ é crescente ou decrescente?

      3. Em quais pontos $f$ assume valores máximos e mínimos locais?


      1503   

      Utilizando as leis de exponenciação, simplifique a expressão a seguir:
      $16^2\cdot16^{1,75}$


      1807   

      Em matemática, a função piso, denotada por $\lfloor x\rfloor$, converte um número real ${\displaystyle x}$ no maior número inteiro menor ou igual a ${\displaystyle x}$ Essa função é importante em computação para truncamento ou arredondamento de números. Considere a função $f(x)=\lfloor 1/x\rfloor$, $x \neq 0$. Esboce o gráfico dessa função para $\dfrac{1}{4} \leq x \leq 2$ e também para $-2 \leq x \leq -\dfrac{1}{4}$. Como se comporta $f(x)$ quando $x$ tende a zero pelo lado direito? E pelo lado esquerdo? O limite $\lim\limits_{x \to 0}f(x)$ existe?



      753   

        Responda os itens:

      1.   Dada $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina (em termos de $\varepsilon $  e $\delta $) $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) =L.$ Ilustre elaborando um gráfico para uma função genérica.
      2.   Qual é a condição sobre esse limite para que a função seja contínua?


      1810   

      1.  Mostre que as funções $f(x)=(x-1)^4$ e $g(x)=x^3-3x^2+3x-2$ têm pontos estacionários em $x=1$.

      2.  O que o teste da derivada primeira diz sobre a natureza destes pontos?


      1465   

      Uma empresa de motores solicitou a fabricação de cilindros com área de seção transversal $A=9cm^2$ (Ou seja, com diâmetro $D=3,385cm^2$). Entretanto, o funcionário que respondeu à solicitação perguntou qual era a margem de erro permitida no diâmetro do cilindro.
      Dado que para o correto funcionamento dos motores o cilindro deve ter uma área $A$ tal que $|A-9|<0,01 cm^2$, e que a área da seção transversal do cilindro é dada por $A=\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2$, em qual intervalo deve estar o valor do diâmetro do cilindro para atender tal especificação?


      726   

      Calcule o seguinte limite:

      $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 2^{x}-3^{x}\right) $.


      $-\infty$.


      1321   

      Mostre que a funçao $y(x)$ com $y(0)=0$ que é definida implicitamente pela equaçao $y-x^{2}+y^{3}+xy^{2}+x^{2}y=0$ tem um extremo relativo no ponto $x=0$. Identifique esse extremo.


      1293   

      Seja $\mathcal{A}$ o subconjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\sin x$ e $y=\cos x$. Faça um esboço do conjunto $\mathcal{A}$ e calcule sua área. 


      176   

      O produto das idades de três amigos adolescentes (entre $12$ e $19$ anos) corresponde a $4080$ anos. Qual a soma das três idades, em anos?



      Decompondo o número $4080$ em fatores primos encontramos $4080=2^4 \cdot 15 \cdot 17=15 \cdot 16 \cdot 17$. Analisando essa decomposição, obtemos automaticamente que a única possibilidade que atende as exigências do enunciado é que as idades sejam $15,16$ e $17$ anos. A soma dessas idades é $15+16+17=48$ anos.


      904   

      Resolva a equação $|x + 1| = 3$.



      Temos dois casos: $x+1=3$ ou $x+1=-3$. Resolvendo cada uma dessas equações de primeiro grau obtemos $x=2$ e $x=-4$.


      1490   

      Reescreva a função $f(x)=|x-1|+|x+2|$ usando desigualdades e representação por partes. Esboce o gráfico de $f$


      75   

      Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais da função $ f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-5x+11}}{4x-7}$.


      902   

      Resolva a equação $\displaystyle \frac{x}{1-x} + \frac{x-2}{x}-1 = 0$.



      1706   

      Embora limites como $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}$ e $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n$ possam ser avaliados utilizando conhecimentos sobre as funções logaritmo e exponencial, estes não são necessários. Neste exercício vamos calcular esses tipos de limite por meio de argumentos ``elementares''. As ferramentas básicas são desigualdades provenientes do teorema binomial, principalmente:

      $$(1+h)^n \geq 1+nh, \text{ para } h > 0.$$

      1. Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n = \infty$ se $a>1$, fazendo $a=1+h$, onde $h>0$.

      2. Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n= 0$ se $0<a<1$.


      760   

      Mostre que a equação
        \begin{equation*}
        x^{26}+x^{2}-320=0
        \end{equation*}
        possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.


      1707   

      Embora limites como $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}$ e $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n$ possam ser avaliados utilizando conhecimentos sobre as funções logaritmo e exponencial, estes não são necessários. Neste exercício vamos calcular esses tipos de limite por meio de argumentos ``elementares''. As ferramentas básicas são desigualdades provenientes do teorema binomial, principalmente:

      $$(1+h)^n \geq 1+nh, \text{ para } h > 0,$$

      e, para o item 3 a seguir:

      $$(1+h)^n \geq 1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}h^2 \geq \dfrac{n(n-1)}{2}h^2, \text{ para } h>0.$$

      1. Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}= 1$ se $a>1$, fazendo $\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}=1+h$ e estimando $h$.

      2. Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}=1 $ se $1<a<1$.

      3. Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}= 1$.


      671   

      Calcule a integral $\int x^{2}e^{x^{3}}dx$.


      $\dfrac{e^{x^3}}{3}+C$.


      136   

      Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

       $f(x) = x^2-3x+9$.


      $(-\infty,\infty)$


      1257   

      Calcule a seguinte integral:
       $ \int_4^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy$.


      173   

      Classifique cada uma das afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas.

      1. Nem todo primo é ímpar.

      2. Todo inteiro par pode ser escrito na forma $n^2+2, n \in N$. 

      3. A soma de dois inteiros ímpares é sempre um inteiro par.

      4. Todo inteiro ímpar pode ser escrito na forma $2n-9, n \in N$. 

      5. Se $n$ é um inteiro ímpar, então $n^2$ também é ímpar.


      1. V

      2. F

      3. V

      4. V

      5. V


      730   

      Calcule o seguinte limite:

      $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\log _{3}x$.


      $\infty$.


      94   

      Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens.

      $\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$



      Seja $u=x-3$. Temos que $u$ tende a $0$ por valores positivos se $x$ tende a $3$ por valores maiores do que $3$. Logo, \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}=\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}\text{.} \end{equation*} Mas dado $M>0$, temos que se $0<u<\dfrac{5}{M},$ então $M<\dfrac{5}{u}$ e temos que, por definição, $\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}=\infty $.


      587   

      Mostre que $x^{2}-xy+y^{2}\geq 0$, $\forall x,y\in \mathbb{R}^+$ e que vale a  igualdade se e somente se $x=y=0$.



      Note que $x^{2}-xy+y^{2}=x^2-2xy+y^2+xy=(x-y)^2+xy \geq 0$, pois $(x-y)^2 \geq 0$ e $xy \geq 0$. O único modo de ocorrer a igualdade é quando as duas parcelas forem iguais a zero, o que ocorre se, e somente se, $x=y=0$.


      1527   

      Uma das propriedades da potenciação é que $a^0=1$, $\forall a \neq 0$. Além disso, também sabe-se que $0^n=0,\quad \forall n>0$. A extensão destas regras para incluir, respectivamente, $a=0$ e $n=0$ levam a resultados conflitantes quanto ao valor de $0^0$(O que não implica em contradição, dado que as propriedades não foram estabelecidas para $a=0$ e $n=0$).

      Sendo assim, avalie $x^x$ para $x=0,1;0,01;0,001;\ldots$. Qual o padrão observado? Com o auxílio de recursos computacionais, observe o gráfico de $y=x^x$ para valores positivos de $x$, se aproximando da origem. Para qual valor a função parece convergir para $x=0$?

      Sugestão: Procure, no site, o exercício 1528. Compare os resultados obtidos.


      773   

      Determine uma reta que seja paralela a $x+y=1$ e tangente à curva $x^{2}+xy+y^{2}=3$


      549   

      Esboce o gráfico de $f(x)=x^2\sqrt{4-x}$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.


      1559   

      As distribuições gamma, importantes em teoria das probabilidades, são determinadas por $f(x)=cx^ne^{-ax}$ para $x>0$, um inteiro positivo $n$, uma constante positiva $a$ e $c=\dfrac{a^{n+1}}{n!}$.

      1. Mostre que $f$ tem exatamente um máximo local.
      2. Supondo $n=4$, determine onde $f(x)$ cresce mais rapidamente.


      759   

      Use o Teorema do Confronto para calcular $\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sqrt{x} \,e^{\sin\left(  \pi/x\right)  }\text{.}$
        Lembre-se de justificar porque o Teorema do Confronto pode ser útil.


      1342   

      Obtenha as assíntotas verticais de $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$.




      $x=1$.


      1193   

      Calcule a derivada da seguinte função:
       $f\left(  x\right)  =5^{x\cos\left(  x^{2}\right)  }.$


      657   

      Seja $f(x)=\frac{1+x}{1-x}$. Mostre que $f\left(\frac{1}{1+x}\right)=\frac{2+x}{x}$, $f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{x-2}{x}$, $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$, $f(1/x)=-f(x)$,  $f(f(x))=-1/x$.


      332   

      O  consumo  de  combustível  de um automóvel  é  função  da  sua velocidade média. Para  certo  automóvel, essa   função é aproximadamente dada por $y = 0,03x^2-2x + 20$, sendo $y$ o consumo de combustível, em mililitros por quilômetros por hora. Nessas condições, para esse automóvel, qual velocidade média corresponde a um consumo de $120 ml/km$?


      1586   

      Dados $f(x) =\sin^{-1}x$ e $x_0 = \pi/12$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.


      1816   

      Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

      1. $xe^x\cos{x}$.
      2. $e^x \sin{x} \cos{x}$.



      1. $-e^x x^2 \sin (x)+e^x x^2 \cos (x)+2 e^x x \cos (x)$.
      2. $-e^x \sin ^2(x)+e^x \cos ^2(x)+e^x \sin (x) \cos (x)$.


      1550   

      Se um raio de luz de intensidade $k$ é projetado verticalmente para baixo na água, então a sua intensidade $I(x)$ à profundidade de $x$ metros é $I(x)=ke^{-1,4x}$.

      1. A que taxa de intensidade o raio de luz está variando em relação à profundidade a $1$ metro?
      2. A que profundidade a intensidade é a metade de seu valor na superfície?


      825   

      Mostre que $|\cos x-\cos y|\leq |x-y|$ quaisquer que sejam $x$ e $y$ reais, enunciando os teoremas utilizados.


      1780   

      Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg} (x) \, dx = \ln |\sin x| + k$.


      1251   

      Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=e^{kx}, k \in R$.


      $f^{1000}(x)=k^{1000}e^{kx}$