557

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}-x^{2}+1}{x}$.

826

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =2^{x}$.

$f'(x)=ln(2)2^x$.

1923

O volume de água em um tanque varia de acordo com a função $V(t)= 10 - |4-2t| -|2t - 6|$, onde $V$ é o volume medido em $m^3$ após $t$ horas, contadas a partir de $8$ h da manhã.

Atribua um domínio para $V(t)$, considerando que um volume negativo não tem sentido na realidade.
Faça o gráfico de $V(t)$ com $t$ no domínio estabelecido no item anterior.
Para que valores de $t$ o tanque está enchendo?
Para que valores de $t$ o tanque está esvaziando?
Em qual horário o volume do tanque é constante?

1718

Dê um exemplo de função contínua em seu domínio mas que não é diferenciável em algum(ns) ponto(s).
Qual a relação entre a continuidade e a diferenciabilidade de uma função? Demonstre.

642

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

$y=\sqrt[3]{x}$
$y=\sqrt[3]{-x}$

$\mathbb{R}$.
$\mathbb{R}$.

347

Encontre o número de polinômios de grau $5$ com coeficientes distintos pertencentes ao conjunto $\{1,2,\ldots,9\}$ que são divisíveis por $x^2-x+1$.

1515

Determine $f$ de modo que $g(f(x))=x$ para todo $x \in D_f$, sendo $g$ dada por:

$g(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}$
$g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

1531

Em um gerenciamento de estoques, o custo médio semanal de pedidos, pagamentos e armazenamento de mercadoria é dado por:
$$A(q)=\dfrac{km}{q}+cm+\dfrac{hq}{2},$$
onde $q$ é a quantidade de produtos pedida em períodos de baixa no estoque; $k$ é o custo (fixo) da colocação de um pedido; $c$ é o custo (também fixo) de cada item; $m$ é a quantidade de itens vendidos por mês; e $h$ é o custo mensal para manter cada item (custos de espaço, seguro, etc). Determine $dA/dq$ e $d^2A/dq^2$. Interprete os resultados.

1313

Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto deve conter $180000$ metros quadrados para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca se não há necessidade de cerca ao longo do rio?

1123

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^1 (x-1)\ dx$
$\int_0^2 (x-1)\ dx$
$\int_0^3 (x-1)\ dx$
$\int_2^3 (x-1)\ dx$
$\int_1^4 (x-1)\ dx$
$\int_1^4 \big((x-1)+1\big)\ dx$

$-1/2$
$0$
$3/2$
$3/2$
$9/2$
$15/2$

1902

Prove que o comprimento de um arco de ciclóide é igual a $8$ vezes o tamanho do raio do seu círculo gerador. A figura abaixo mostra dois arcos e meio de ciclóide.

Cicloide

348

Demonstre a fórmula de Báskhara usada para resolução de equações polinomiais de grau $2$.

957

Calcule o limite, caso exista:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\left( x-\sqrt{x^2 + 4x} \right) $

1322

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

1672

Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:

$\int{\frac{x^3 dx}{\sqrt{x^2+4}}}$

$\dfrac{1}{3}(x^2-8)\sqrt{x^2+4}+C$.

332

O consumo de combustível de um automóvel é função da sua velocidade média. Para certo automóvel, essa função é aproximadamente dada por $y = 0,03x^2-2x + 20$, sendo $y$ o consumo de combustível, em mililitros por quilômetros por hora. Nessas condições, para esse automóvel, qual velocidade média corresponde a um consumo de $120 ml/km$?

1914

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante quando se faz girar a área entre as curvas $y=\cos(x^2)$, $x-0$, $x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi}$ e $y=0$ em torno do eixo $y$.

1607

O modelo logístico de crescimento populacional prevê o tamanho $y(t)$ de uma população no instante $t$ por meio da fórmula $y(t)=\dfrac{k}{1+ce^{-rt}}$, onde $r$ e $k$ são constantes positivas e $c=\dfrac{k-y(0)}{y(0)}$. Os ecologistas denominam $k$ a capacidade de suporte e o interpretam como o número máximo de indivíduos que o ambiente pode sustentar. Calcule $\lim\limits_{t \to \pm \infty}y(t)$ e discuta o significado gráfico desses limites.

164

Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.

Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.

Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.

Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.

O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:

$f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
$f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
$f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.

O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).

Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = x^2+2x-4$ no intervalo $[1,1.5]$.

A raiz aproximada é $x=1.23$.

Os intervalos utilizados são:

$[1,1.5] \quad [1,1.25] \quad [1.125,1.25]$

$[1.1875,1.25]\quad [1.21875,1.25]\quad [1.234375,1.25]$

$[1.234375,1.2421875]\quad [1.234375,1.2382813]$.

944

Calcule, através da definição de limite, $\displaystyle \lim_{x\to 0} e^{2x}-1 = 0$.

Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos $\delta >0$ tal que, quO IMECC é responsável pelos cursando $|x-0|<\delta$, $|f(x)-0|<\epsilon$.
Considerando $|f(x)-0|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-0|$ (i.e., $|x|$):
\begin{gather*}
|f(x) -0 | < \epsilon \\
|e^{2x}-1 |<\epsilon \\
-\epsilon< e^{2x}-1 < \epsilon \\
1-\epsilon< e^{2x} < 1+\epsilon \\
\ln (1-\epsilon) < 2x < \ln (1+\epsilon) \\
\frac{\ln (1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln (1+\epsilon)}{2} \\
\end{gather*}
Seja $\delta = \min\left\{\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right|,\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\right\}=\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}.$
Portanto:
\begin{gather*}
|x| < \delta \\
|x| <\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}<\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right| \\
\frac{\ln(1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\\
\ln(1-\epsilon)< 2x < \ln(1+\epsilon)\\
1-\epsilon < e^{2x} < 1+\epsilon\\
-\epsilon < e^{2x}-1 < \epsilon\\
|e^{2x}-1-(0)| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que buscávamos provar.

1803

Se $f$ e $g$ são funções contínuas tais que $0 \leq f(x) \leq g(x)$, para $x\geq a$, temos:
Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ diverge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ diverge.

Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ converge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ converge e $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$.

Mostre (graficamente e algebricamente) que para $x \geq 1$, temos $e^{-x^2} \leq e^{-x}$.
Calcule a integral $\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-x}\, dx$.
O que podemos afirmar sobre a integral $\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-x^2}\, dx$?

533

Verifique que, para todo $x>0$, verificam-se as desigualdades:

$e^{x}>x+1;$
$\cos x>1-\dfrac{x^{2}}{2};$
$\sin x<x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}.$

53

Calcule os limites indicados dividindo o numerador e o denominador por uma potência conveniente de $x$. Como esses limites se relacionam com as mais altas potências do numerador e do denominador?

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^4-2}{3x^4-x^3+1}$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{2x^6-2x+1}}{x^3-x^2+2}$
$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{x^2-3}}{x+1}$

1573

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2x$.

$f'(x)=16x^3+2$, $f''(x)=48x^2$ e $f'''(x)=96x$.

1798

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{x^5-x^4-2x^3+4x^2-15x+5}{(x^2+1)^2(x^2+4)} \, dx$.

58

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -3}\frac{1-x}{\sqrt{x^2+2}}$.

Como a função está definida em $x=-3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$\lim\limits_{x\rightarrow -3}\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{1-(-3)}{\sqrt{(-3)^2+2}} = \dfrac{4}{\sqrt{11}}$.

1559

As distribuições gamma, importantes em teoria das probabilidades, são determinadas por $f(x)=cx^ne^{-ax}$ para $x>0$, um inteiro positivo $n$, uma constante positiva $a$ e $c=\dfrac{a^{n+1}}{n!}$.

Mostre que $f$ tem exatamente um máximo local.
Supondo $n=4$, determine onde $f(x)$ cresce mais rapidamente.

1097

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int \sin\theta\ d\theta$

$-\cos \theta+C$

531

Se uma bola de neve derrete de tal forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de $1cm^{2}/\min $, encontre a taxa segundo qual o diâmetro decresce quando o diâmetro for $5 cm$.

1800

Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricasse um disco de metal circular com área de $1000cm^2$.

Qual o raio do disco produzido?
Se for permitido ao torneiro uma tolerância do erro de $\pm 5 cm^2$ na área do disco, quão próximo do raio ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio?
Em termos da definição $\epsilon, \delta$ de $\lim\limits_{x \to a} f(x)=L$, o que é $x$? O que é $f(x)$? O que é $a$? O que é $L$? Qual valor de $\epsilon$ é dado? Qual o valor correspondente de $\delta$?

1580

Dados $f(x) = x^{-1}$ e $x_0 = 0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

A linearização da função $f(x)$ em torno de um ponto $x_0$ nada mais é do que assumir que ela se comporta como uma reta que passa pelo ponto $(x_0,f(x_0))$ com inclinação $f'(x_0)$.

Neste caso temos $f(x)=x^{-1}$ e $f'(x)=-x^{-2}$. Linearizando a função em torno de $1$, temos $\frac{y-f(1)}{x-1}=f'(1)=\frac{y-1}{x-1}= -1$ portanto temos

$y=2-x$

1811

As funções da forma $$f(x)=cx^ne^{-x},\quad x>0,$$ onde $n$ é um inteiro positivo e $c=1/n!$ surgem no estudo estatístico do fluxo de tráfego.

Use um recurso gráfico computacional para gerar o gráfico de $f$ com $n=2,3,4$ e $5$ e faça uma conjectura sobre o número e a localização dos extremos relativos de $f$.
Confirme a sua conjectura usando o teste da derivada primeira.

1769

Calcule $\displaystyle \int \sin (\ln x) \, dx$ utilizando integração por partes.

$-\dfrac{1}{2}x(cos(ln x)-sin(ln x))+C$

194

Dados os números naturais $a, b$, prove que existe um número natural $m$ tal que $m \cdot a > b$.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

963

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\tan \left( x-p\right) }{x^{2}-p^{2}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\sin x-\sin p}{x-p}$
$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\cos x-\cos p}{x-p}$

518

Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado à razão de $6\,cm^3/min$. A altura do cone é $24cm$ e o raio da base é $12cm$. Encontre a velocidade com que baixa o nível da água quando está a $10cm$ do fundo.

$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{1}{25 \pi}$ cm/min

1279

Calcule a seguinte integral:
$ \int_2^3 \frac{1}{x^2-1}dx$.

$\tanh ^{-1}(2)-\tanh ^{-1}(3)$

637

1134

Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$. Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$ nos seguintes casos:

$y=x$
$y=z$

111

Mostre, usando a definição, que a função dada por $f(x) = 3x$ é contínua para todo $x$ real.

1786

Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, $$\sqrt{y}-\sqrt{x}<\dfrac{y-x}{2\sqrt{x}},$$ quando $0<x<y$.
Use o resultado anterior para mostrar que se $x$ e $y$ forem positivos, então $$ \sqrt{xy} < \dfrac{1}{2}(x+y).$$ (A média aritmética é maior que a média geométrica).
Tente generalizar o resultado anterior para um conjunto amostral discreto de tamanho $n>2$.

1170

Encontre os valores máximo e mínimo da função $f\left(x\right) =xe^{-x}$ no intervalo $\left[ -10,10\right]$.

$f^{\prime}\left( x\right) =e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}\left( 1-x\right) $.

Como $e^{-x}>0$ temos que $f\left( x\right) =0$ se e somente se $1-x=0$, ou seja, se $x=1$.

Os pontos de máximo e mínimo devem ser pontos onde $f^{\prime}\left( x\right) =0$ ou os extremos do intervalo.

Avaliamos:

$f\left( -10\right) =-10e^{10}$

$f\left( 1\right) =\frac{1}{e}$

$f\left( 10\right) =\frac{10}{e^{10}}$

Como

$-10e^{10}<\frac{10}{e^{10}}<\frac{1}{e}$

temos que o valor máximo é $f\left( 1\right) =\frac{1}{e}$ e o valor mínimo é $f\left( -10\right) =-10e^{10}$.

1631

Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$, para $m$ inteiro positivo.

1329

Encontre os pontos sobre o gráfico de $p(x)=x^3-2x^2-8x+3$ nos quais a reta tangente é paralela à reta $y=4-9x.$

349

Seja $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ um polinômio não nulo com coeficientes inteiros tal que $P(r)=P(s)=0$ para certos inteiros $r$ e $s$, com $0<r<s$. Prove que $a_k\leq -s$ para algum $k$.

1602

O gráfico a seguir mostra o custo hipotético $c=f(x)$ para fabricar $x$ itens. O chamado custo marginal é a mudança no custo total advinda da produção de uma unidade a mais do produto, para um certo volume de produção. Em aproximadamente qual nível de produção o custo marginal muda de decrescente para crescente?

1744

Escreva o número $e$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-4}$.

1098

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\ dx$

$2\sqrt{x}+C$

94

Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$

Seja $u=x-3$. Temos que $u$ tende a $0$ por valores positivos se $x$ tende a $3$ por valores maiores do que $3$. Logo, \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}=\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}\text{.} \end{equation*} Mas dado $M>0$, temos que se $0<u<\dfrac{5}{M},$ então $M<\dfrac{5}{u}$ e temos que, por definição, $\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}=\infty $.

1269

Calcule a seguinte integral:
$\int e^{x}\sin xdx.$

$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$

1497

Sejam $a$ e $b$ reais quaisquer. Verifique que:

$\sin{a}\cos{b}=\dfrac{1}{2}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$
$\cos{a}\cos{b}=\dfrac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} ( \sin(a+b) + \sin(a-b) ) &=& \frac{1}{2} ( \sin a \cos b + \sin b \cos a + \sin a \cos b - \sin b \cos a ) \\ &=& \frac{1}{2} ( 2 \sin a \cos b) \\ &=& \sin a \cos b .\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} ( \cos(a+b) + \cos(a-b) ) &=& \frac{1}{2} ( \cos a \cos b + \sin a \sin b + \cos a \cos b - \sin a \sin b ) \\ &=& \frac{1}{2} ( 2 \cos a \cos b) \\ &=& \cos a \cos b .\end{array}$

178

Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas.

No conjunto dos números inteiros existe um elemento que é menor do que todos os outros.
O número real representado por 0,37222... é um número racional.
Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
O quadrado de qualquer número real é um número racional.

F
V
F
F

1901

A ciclóide é um caminho traçado por um ponto na borda de uma roda que gira ao longo de uma reta. Use as equações paramétricas de uma ciclóide para mostrar que o comprimento $L$ de um arco de uma ciclóide é dado pela integral $L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos\theta)}d \theta$
Cicloide

797

Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição:

$f\left( x\right) =1/x$.

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.

919

Esboce o gráfico de $f(x) = |x-1|+3.$

803

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =e^{x}\cos x$.

$f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$.

Usando a regra da derivada do produto, temos que

\[f^\prime(x) = (e^x \cos x)^\prime = (e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime.\]

Como $(e^x)^\prime = e^x$ e $(\cos x)^\prime = -\sin x$, então

\[(e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime = e^x \cos x + e^x (-\sin x) .\]

Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que

\[f^\prime (x) = e^x (\cos x- \sin x).\]

632

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right) = 9e^{3x}+\cos x+x^{6},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =2\text{ .} \end{equation*}

1656

Demonstre que não é possível que o valor de $\int_0^1\sin(x^2)\ dx$ seja $2$. Depois, utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, válida para $x \geq 0$, determine um limitante superior para esta integral.

Sabemos que $\sin x \leq 1,\,\forall\,x\in\mathbb{R}$. Assim, como $\int_a^b f(x)dx \leq max\_{a \leq x \leq b} f(x) (b-a)$, podemos dizer que $\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq 1$.

Utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, podemos determinar de maneira ainda mais precisa um limitante superior para a integral.

$\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq \int_0^1x^2\ dx = \frac{1}{3}x^3 \vert^1_0=\frac{1}{3}$

1711

É possível mostrar que, sob certas condições, a velocidade $v(t)$ de uma gota de chuva caindo no instante $t$ é:

$$v(t) = v^\star \left(1-\exp\left(-\dfrac{gt}{v} \right)\right),$$

onde $g$ é a aceleração da gravidade e $v^\star$ é a velocidade final da gota.

Calcule a velocidade para um tempo muito grande, isto é, calcule $\displaystyle \lim_{t \to \infty} v(t)$.
Considerando $v^\star = 1$m$/$s e $g=9,8$m$/$s$^2$, faça o gráfico de $v(t)$. Quanto tempo levará para a velocidade da gota atingir $99\%$ de sua velocidade final?

787

Encontre o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de $y=x-\frac{1}{x}$ no ponto $(1,0)$ com o eixo $y$.

$(1,0)$.

215

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
1-\cos^2 x, & & \text{ se } x<a \\
\sin^2 x, & & \text{ se } x\geq a
\end{array},
\right.$
sendo que $a$ é um número real.

$ \lim\limits_{x\to a^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to a^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to a} f(x)$
$f(a)$

$1-\cos^2 a = \sin^2 a$
$\sin^2 a$
$\sin^2 a$
$\sin ^2 a$

899

Esboce o gráfico da função $f(x)=||(x-1)^2-3|-1|$.

1327

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=12\sqrt[6]{x}-\frac{1}{2x^2}+\log_5(x)$ no ponto cuja coordenada horizontal é $3$.

1126

Seja:

$\int_0^3{s(t)dt} = 10$
$\int_3^5{s(t)dt} = 8$
$\int_3^5{r(t)dt} = -1$ e
$\int_0^5{r(t)dt} = 11$

A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

$\int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt$
$\int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt$
$\int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt$
Encontre valores para $a$ e $b$ tal que:
$\int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0$

$22$
$-7$
$0$
$b=-\frac{11}{18}a,\quad a\in\mathbb{R}$

1694

Uma empresa deseja lançar uma tigela esmaltada de branco por dentro e de vermelho por fora. A camada de esmalte terá $0,5mm$ de espessura antes de ir ao forno. O departamento de produção quer saber a quantidade de cada esmalte que precisará dispor para produzir $5000$ tigelas. Ignorando desperdício e matéria prima não utilizada, dê a sua resposta em litros. Lembre-se de que $1\ cm^3 = 1m\ell$, logo $1\ell=1000cm^3$.

1334

Considere a área entre a curva $y=x^{4}$ e o eixo $x$, primeiro no intervalo $\left[ -1,1\right] $ e depois no intervalo $\left[1,a\right] $. Determinar $a\geq 1$ tal que estas áreas sejam iguais.

1659

Demonstre que se $k$ é uma constante positiva, então a área entre o eixo $x$ e um arco da curva $y=\sin kx$ é $2/k$.

1167

Encontre os intervalos abertos nos quais $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$ é crescente e os intervalos abertos nos quais é decrescente.

577

1128

Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por $v(t) = -32t+64$, de uma altura de $48$ pés.

Qual a velocidade máxima do objeto?
Qual o deslocamento máximo do objeto?
Em que momento ocorre o maior deslocamento do objeto?
Em que momento o objeto alcança a altura de $0$ pés?

Dica: encontre o momento no qual o deslocamento é $-48ft$

$64ft/s$
$64ft$
$t=2$
$t=2+\sqrt{7}\approx 4.65s$.

1492

Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

$f(x)=1+1/x$
$f(x)=\dfrac{2}{x+1}$

1572

Prove que se $f$ for derivável em $p$, então $f$ será contínua em $p$.

Veja Guidorizzi, volume $1$, página $152$.

84

Calcule os limites:

$\lim\limits_{x\to\pi/4} \cos x\sin x$
$\lim\limits_{x\to0} \ln x$
$\lim\limits_{x\to3} 4^{x^3-8x}$

1500

Esboce as curvas exponenciais transladadas:
$y=2^x-1$ e $y=2^{-x}-1$.

620

Um fabricante produzirá caixas fechadas (com tampa) de volume igual a $27$ litros e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Encontre as dimensões da caixa de forma que o consumo de material seja mínimo.

147

Use o teorema do valor intermediário para mostrar que $f(x)=4x^3-6x^2+3x-4$ possui um zero no intervalo $[1,2]$.

Como $f(1) = -3 < 0$ e $f(2) = 10 > 0$, temos que a função $f$ muda de sinal no intervalo $[1,2]$, e portanto, pelo teorema do valor intermediário, $f$ possui um zero nesse intervalo.

941

Calcule, por meio da definição, o limite $\lim_{x\to 2} x^3-1 = 7$.

Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-2|<\delta$, $|f(x)-7|<\epsilon$.
Considere $|f(x)-7|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-2|$:
\begin{gather*}
|f(x) -7 | < \epsilon \\
|x^3-1 -7 |<\epsilon \\
| x^3-8 | < \epsilon \\
| x-2 |\cdot|x^2+2x+4| < \epsilon \\
| x-3 | < \epsilon/|x^2+2x+4| \\
\end{gather*}
Como $x$ está próximo de $2$, podemos considerar $1<x<3$. Portanto
\begin{gather*}
1^2+2\cdot1+4<x^2+2x+4<3^2+2\cdot3+4 \\
7 < x^2+2x+4 < 19 \\
\frac{1}{19} < \frac{1}{x^2+2x+4} < \frac{1}{7} \\
\frac{\epsilon}{19} < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4} < \frac{\epsilon}{7} \\
\end{gather*}
Seja $\delta =\frac{\epsilon}{19}$. Então:
\begin{gather*}
|x-2|<\delta \\
|x-2| < \frac{\epsilon}{19}\\
|x-2| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\\
|x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot|x^2+2x+4|\\
\end{gather*}
Assumindo $x$ próximo de $2$, $x^2+2x+4$ é positivo e podemos eliminar o módulo do lado direito da equação.
\begin{gather*}
|x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot(x^2+2x+4)\\
|x^3-8| < \epsilon\\
|(x^3-1) - 7| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que desejávamos provar.

1405

O terremoto de 1952 em Assam teve uma magnitude de 8,7 na escala Richter - a maior registrada até então. Se o maior terremoto em dado ano tem tem magnitude $R$, então a energia $E$ (em Joules) liberada por todos os terremotos naquele ano é estimada pela fórmula

$E=9,13 \times 10^{12} \int_{0}^{R}e^{1,25x}dx$.

Determine $E$ se $R=8$.

1674

Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:

$\int_{0}^{1}{\frac{x^3dx}{x^2 + 2x + 1}}$

80

O que significa dizer, em termos de limites, que uma função é "bem comportada"?

1243

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\tan\left( x\right) \arcsin\left( x^{2}\right).$

1794

A área de um setor circular com raio $r$ e ângulo central $\theta$ é $A=\frac{1}{2} r^2 \theta$. Demonstre esta fórmula. (Dica: assuma um ângulo $0<\theta<\pi/2$ e considere o círculo centrado na origem, de forma que tenha equação $x^2+y^2=r^2$. Então $A$ é a soma da área de um triângulo e a porção restante do setor cirular. Faça um esboço do gráfico para facilitar.)

1609

Se uma quantia $P$ é aplicada à taxa de juros de $100r \%$ ao ano, composta $m$ vezes por ano, então o montante, ao cabo de $t$ anos, é dado por $P(1+rm^{-1})^{mt}$. Considerando $m$ como um número real e fazendo m crescer indefinidamente, diz-se que a taxa é composta continuamente. Mostre que, neste caso, o montante após $t$ anos é $Pe^{rt}$.

1877

Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$.

100

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(1\right) }{x-1}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\ 2x-1 & \text{se }x>1 \end{array} \right. $
$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(2\right) }{x-2}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x & \text{se }x\geq 2 \\ x^{2}/2 & \text{se }x<2 \end{array} \right. $
$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$, com $f\left( x\right) =x^{2}-3x$ e $f\left( x\right) =1/x$

1093

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int (10x^2-2)\ dx$

$10/3x^3-2x+C$

44

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to e} \ln x$, em que $e$ é o número de Euler.

$1$.

1748

Mostre que se $f''(a)$ existe, então $f''(a) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - 2f(a) + f(a-h)}{h^2}.$ (Sugestão: use o polinômio de Taylor $P_{2,a}(x)$ com $x=a+h$ e com $x=a-h$).
Conclua que $\dfrac{f(a+h) - 2f(a) + f(a-h)}{h^2}$ é uma boa aproximação para $f''(a)$, para $h$ pequeno.
Sabendo que a posição de uma partícula em função do tempo $x(t)$ é tal que $x(0)=2$, $x(1)=4$ e $x(2)=5$, utilizando a fórmula acima obtenha uma aproximação para a aceleração da partícula entre os tempos $t=0$ e $t=2$. (Escolha apropriadamente os valores de $a$ e $h$).

127

A afirmação: $`` \lim\limits_{x\rightarrow p^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow p^-} f(x)\Rightarrow f \mbox{ contínua em } p. "$ é verdadeira ou falsa? Justifique.

É falsa. Só seria verdadeira se o valor dos limites laterais fosse igual a $f(p)$.

885

Mostre que a equação $|ax-b|=r$, com $r\geq 0$ e $a\neq 0$, tem como soluções os elementos do conjunto $\left\lbrace \frac{b+r}{a},\frac{b-r} {a}\right\rbrace$.

Temos duas possibilidades: $ax-b=r$ ou $ax-b=-r$. Da primeira equação obtemos $x=\dfrac{b+r}{a}$ e da segunda$x=\dfrac{b-r}{a}$.

572

Estude a função $f\left( x\right) =e^{x}-e^{3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1663

Calcule a seguinte integral:

$\int{e^{\sqrt{3x+9}}dx}$.

193

O princípio da Boa Ordenação diz que todo subconjunto não-vazio de $N$ possui elemento mínimo. Demonstre que $N$, com a relação $\leq$, verifica o Princípio da Boa Ordenação.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

1385

Uma cultura de bactérias cresce na taxa de $3e^{0,2t}$ por hora com $t$ em horas e $o\leq t\leq 20$.

Quantas bactérias novas estarão na cultura depois de cinco horas?
Quantas bactérias são introduzidas da sexta a décima quarta horas?
Para que valor aproximado de $t$ a cultura conterá 150 bactérias novas?

339

Encontre as raízes do polinômio $x^4-7x^3+35x^2-50x+24.$

1487

Sejam $a<b$ dois reais e $p \in \left]a,b \right[$. Determine $r>0$ de modo que $\left]p-r,p+r \right[ \subset \left]a,b \right[$.

1807

Em matemática, a função piso, denotada por $\lfloor x\rfloor$, converte um número real ${\displaystyle x}$ no maior número inteiro menor ou igual a ${\displaystyle x}$ Essa função é importante em computação para truncamento ou arredondamento de números. Considere a função $f(x)=\lfloor 1/x\rfloor$, $x \neq 0$. Esboce o gráfico dessa função para $\dfrac{1}{4} \leq x \leq 2$ e também para $-2 \leq x \leq -\dfrac{1}{4}$. Como se comporta $f(x)$ quando $x$ tende a zero pelo lado direito? E pelo lado esquerdo? O limite $\lim\limits_{x \to 0}f(x)$ existe?

140

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ g(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$.

$(-1,1)$

1168

Considere a função $f$ cuja derivada é $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$.

Quais são os pontos críticos de $f$?
Em quais intervalos $f$ é crescente ou decrescente?
Em quais pontos $f$ assume valores máximos e mínimos locais?

617

Determine o domínio da seguinte função:

$f\left( x\right) =\sqrt[4]{\dfrac{x}{x+4}}$.

$\left\{ x\geq 0\right\} \cup \left\{ x<-4\right\} $.

1636

Calcule a integral $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax^n+bx}dx$.

43

Considere a função $f(x) = 2^x+10$. Calcule os seguintes limites e, depois, discuta se a função $f(x)$ tem assíntotas horizontais.

$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$.
$\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$.

1. $10$.

2. $\infty$

Possui assíntota horizontal de equação $y=10$,

150

Mostre que $f(x) = \cos x - \frac{x}{10}$ tem pelo menos dois zeros em $[0, 2\pi]$.

684

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}$.

641

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

$y=\sqrt{x^{2}-9}$
$y=\sqrt{-x}$

$\{x \in \mathbb{R}; x<-3 \text{ ou }x>3\}$.
$\{x \in \mathbb{R}; x<0\}$.

82

Calcule os limites:

$\lim\limits_{x\to3} x^2-3x+7$
$\lim\limits_{x\to3} x^3-3x-7$

Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^2-3x+7 = 3^2 - 3.3 + 7 = 7$.
Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^3-3x+7 = 3^3 - 3.3 - 7 = 11$.

87

Calcule os limites:

$\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2-10 x+16}{x^2-x-2}$
$\lim\limits_{x\to-2} \frac{x^2-5 x-14}{x^2+10 x+16}$
$\lim\limits_{x\to-1} \frac{x^2+9 x+8}{x^2-6 x-7}$

$-2$
$-3/2$
$-7/8$

586

Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

$7+|x|<{\frac{1}{x+2}}$
$\left| {\frac{2x-3}{x+1}}\right| \leq {\frac{1}{2}}$

606

Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

$(2-5x)^{20}>0$
${\frac{x-3}{x-5}}>0$

915

Determine o conjunto de todos os números reais para os quais a expressão $\sqrt{x}{1-x^2}$ está definida.

600

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre-a, se verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.

$x<y\Longleftrightarrow 1/y<1/x$.
$\sqrt{x^{2}}=x,\forall x\in \mathbb{R}$.

800

Resolva os itens.

Considere a parábola $y=x^{2}$ e faça a seguinte construção: para cada $a\neq 0$ trace a reta normal à parábola no ponto $\left( a,a^{2}\right) $ e seja $P$ o ponto onde essa normal encontra o eixo $y$. Calcule o limite do ponto $P$ quando $a$ tende a zero.
Calcule o mesmo limite fazendo a mesma construção para a curva quártica $y=x^{4}$ em lugar da parábola.

898

Qual o conjunto solução da equação $|x-2|-|x-1|+|x+3|=0$?

56

Verifique se os seguintes limites existem. Explique.

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}2^{1/x}$.
$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\sin x$.
$\lim\limits_{x\rightarrow 2^-}\tan^{-1}\left(\frac{1}{2x-4}\right)$.

1692

Qual das integrais a seguir, se houver alguma, serve para calcular a área da região sombreada mostrada aqui? Justifique sua resposta.

$\int_{-1}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx} = \int_{-1}^{1} {2x\ dx}$
$\int_{-1}^{1} {\left(-x-x\right)dx} = \int_{-1}^{1} {-2x\ dx}$

Uma análise do resultado de ambas as integrais nos mostra, de imediato, que nenhuma delas é a adequada para o cálculo da área da figura. A segunda integral nada mais é do que a primeira integral com o sinal invertido, e portanto ambas são iguais a zero.

A questão é que no caso, se denotarmos $f_1(x)=x$ e $f_2(x)=-x$, é fácil observar que para $x>0$ $f_1(x)>f_2(x)$, e para $x<0$ $f_2(x)>f_1(x)$. Portanto, o cálculo correto da área se daria através de duas integrais, na forma

$A=\int_{-1}^{0} {\left(-x-x\right)dx}+\int_{0}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx}$

Ou ainda, fazendo uso da simetria, poderia também se fazer:

$A=2\int_{0}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx}=4\int_{0}^{1} {x\,dx}=2$

849

Calcule a derivada da função:

$y=\ln \left(\dfrac{\cos \sqrt{x}}{1+\sin \sqrt{x}}\right)$.

$y'=(\sin(\sqrt{x}) + 1) \sec(\sqrt{x}) \left(-\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)} - \dfrac{\cos^2(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)^2}\right)$.

1679

Calcule a seguinte integral:

$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x^2+1}}$

Para resolver a integral, utilizamos a substituição $x=\tan(u)$, com $dx=\frac{du}{cos^2(u)}$. A integral equivalente, com os limites de integração escolhidos no primeiro quadrante, é:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{\cos^2(u)\left(\tan^2(u)+1\right)}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1}=u\rvert_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$

66

Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} \cos x & x\leq 0 \\ x^2+3x+1 & x>0 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$.

1

1343

Obtenha as assíntotas verticais de $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.

$x=0$.

116

Responda os seguintes itens:

Calcule $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2}{x} - 5\cos(\frac{1}{x^2+2x})}{-\frac{5}{x} + 2\cos(\frac{1}{x^2+2x})}$.
Existe algum número real $a$ tal que a função $f(x) = \left\{\begin{array}{ccl}\displaystyle\frac{\frac{2}{x} - 5\cos(\frac{1}{x^2+2x})}{-\frac{5}{x} + 2\cos(\frac{1}{x^2+2x})},& \mbox{se} & x\neq 0\\ a, & \mbox{se} & x=0 \end{array} \right.$ seja contínua?

754

É possível que uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
seja tal que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left(x\right)$ e ao mesmo tempo não seja contínua em $2$? Justifique e/ou dê um exemplo.

1821

A figura abaixo mostra o gráfico do polinômio $\displaystyle y=\dfrac{1}{10}x^5(x-1)$ gerado no software Mathematica$^\textrm{TM}$ usando uma janela de $[-2;2,5]\times[-1;5]$.

Mostre que a escolha da escala vertical faz com que o computador perca importantes aspectos do gráfico. Descreva quais são os aspectos perdidos e faça o seu próprio esboço indicando-os.

1724

Obtenha a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer no plano cartesiano. Use o teorema de Pitágoras. Veja o livro: Simmons, página $11$.

585

Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

$|6+4x|<\left| 2-{\frac{x}{2}}\right| $
$\left| {\frac{5}{3x-2}}\right| \geq \left| {\frac{2}{x-1}}\right| $

1592

A altura de um corpo em movimento vertical é dada por
$s = -\frac{1}{2}gt^2+v_0t+s_0,\quad g>0$
com $s$ em metros e $t$ em segundos. Determine a altura máxima do corpo em função da velocidade inicial $v_0$, da aceleração da gravidade $g$ e da posição inicial $s_0$.

548

Esboce o gráfico de $f(x)=x^4-5x^2+4$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

180

Seja $n$ um número natural dado por $n= 2000 \cdot x$. Determine um possível valor para $x$ que torna $n$ um quadrado perfeito.

Sabemos que quando decompomos um quadrado perfeito em fatores primos, os expoentes dos números primos na decomposição são necessariamente múltiplos de $2$. Ora, decompondo $2000$ obtemos $2000=2^4 \cdot 5^3$. Se multiplicarmos $2000$ por $5$ obteremos $10000=2^4 \cdot 5^4$, que é um quadrado perfeito, a saber $100^2$. Neste caso tomamos $x=5$, mas há infinitas outras possibilidades!

1293

Seja $\mathcal{A}$ o subconjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\sin x$ e $y=\cos x$. Faça um esboço do conjunto $\mathcal{A}$ e calcule sua área.

1792

Utilize uma substituição trigonométrica para mostrar que $\displaystyle \int \dfrac{1}{u^2 \sqrt{a^2 - u^2}} \, du = -\dfrac{1}{a^2 u} \sqrt{a^2-u^2} + C $.

330

Uma das raízes da equação $x^2-x-a = 0$ é também raiz da equação $x^2+x-(a + 20)=0$. Qual é o valor de $a$?

552

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}-5x$.

208

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$

$2$
$0$
Não existe.
$1$

120

Seja $f$ uma função contínua e decrescente em $\left[a,b\right]$. Mostre que $f$ tem uma inversa decrescente em $\left[f(b),f(a)\right]$.

68

Suponha que para todo $x$, $\left| f\left( x\right) \right| \leq x^{4}$. Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x\right) }{x}.$

45

A função $f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2-1 & & x < 3 \\x+5 & & x\geq 3 \end{array}\right.$ é contínua em todo o seu domínio? Justifique.

Sim, é. O único ponto em que não poderia (inicialmente) ser contínua é em $x=3$. Todavia, temos $\lim\limits_{x\to 3^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=f(3)=8$.

224

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$:

$\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$
$\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$
$\lim\limits_{x \to 3} f(x)$

\begin{tabular}{cc}
$x$ & $f(x)$ \\ \hline
$2.9$ & $-0.632$ \\
$2.99$ & $-0.6032$ \\
$2.999$ & $-0.60032$ \\
\end{tabular}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.
\begin{tabular}{cc}
$x$ & $f(x)$ \\ \hline
$ 3.1$ & $-0.5686$ \\
$3.01$ & $-0.5968$ \\
$3.001$ & $-0.59968$ \\
\end{tabular}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.
Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.

159

Prove que a única função contínua $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfaz $f(f(f(x)))=x$ é a função identidade $f(x)=x$. (Sugestão: Prove que se uma função é injetiva e contínua então ela é monótona).

345

Encontre as raízes do polinômio $x^4-6x^3+13x^2-12x+4.$
Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais

1132

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.
Se $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$, então $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \infty$.
Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então $f$ tem uma assíntota vertical em $x=5$.
$\infty/0$ não é uma forma indeterminada.

Falsa.
Falsa
Verdadeira
Verdadeira

1088

Defina o termo antiderivada com suas próprias palavras.

A antiderivada de uma função $f$ é uma função $F$ cuja derivada é a função $f$ original.

602

Encontre os intervalos da reta real nos quais vale a desigualdade $\left| \frac{2x-3}{x+1}\right| \leq \frac{1}{2}.$

119

Dê exemplo de uma função $f$ que seja descontínua, mas tal que $|f|$ seja contínua.

561

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{cc} e^{-\dfrac{1}{x^{2}}} & \text{se }x\neq 0 \\ 0 & \text{se }x=0 \end{array} \right. $

773

Determine uma reta que seja paralela a $x+y=1$ e tangente à curva $x^{2}+xy+y^{2}=3$

1296

A região no plano $xy$ limitada pela curva $y=x^2+1$ e pela reta $y=-x+3$ gira em torno do eixo $x$ gerando um sólido $S.$ Calcule o volume de $S.$

551

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+3x^{2}+1$.

1311

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$, onde $n$ é qualquer número natural.

1519

Sabe-se que $f$ é contínua em $2$ e que $f(2)=8$. Mostre que existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in D_f$ vale $2-\delta<x<2+\delta \rightarrow f(x)>7$.

Considere $\epsilon =1$. Como $f$ é contínua em $2$, sabemos que existe $\delta >0$ tal que, para $|x-2|<\delta $ temos que $|f(x)-f(2)|<\epsilon =1$. Mas $|x-2|<\delta $ se, e somente se, $2-\delta<x<2+\delta$ e $|f(x)-f(2)|=|f(x)-8|<1$ se, e somente se, $7< f(x)<9$.

1501

Esboce as curvas exponenciais transladadas:
$y=3^x+2$ e $y=3^{-x}+2$.

1118

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

$ \int_{-2}^{-1} f(x)\ dx$
$ \int_1^2 f(x)\ dx$
$ \int_{-1}^1 f(x)\ dx$
$ \int_0^1 f(x)\ dx$

$4$
$4$
$-4$
$-2$

1779

Seja $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$. Determine:

$f(f(x))$
$f\left(\dfrac{1}{x}\right)$
$f(cx)$
$f(x+y)$
$f(x)+f(y)$

327

Uma pequena indústria vende normalmente, a cada semana, $60$ caixas de certo produto, por $30$ reais a caixa. Foi feita uma experiência e observou-se que cada real de desconto nesse preço fez as vendas aumentarem em $5$ caixas. Assim, a experiência mostrou que, dentro de certos limites, a quantidade $C$ de caixas vendidas é uma função do desconto $x$, em reais. Determine uma expressão para essa função.

675

Calcule a integral $\int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x}dx.$

1262

Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada da função $g(x)={ \int_x^{x^2}\cos (t^2)dt}$.

1605

Deixa-se cair de um balão um objeto de massa $m$. Se a força de resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade $v(t)$ do objeto no instante $t$, então pode-se mostrar que $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k>0$ e $g$ é uma constante gravitacional. Determine $\lim\limits_{k \to 0^+}s(t)$.

576

Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt[3]{x^{3}-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

185

Prove que $\sqrt{3}$ é irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

326

Duas pequenas fábricas de calçados, $A$ e $B$, têm fabricado, respectivamente, $3000$ e $1100$ pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica $A$ aumentar sucessivamente a produção em $70$ pares por mês e a fábrica $B$ aumentar sucessivamente a produção em $290$ pares por mês, em que mês a produção da fábrica $B$ superará a produção de $A$ pela primeira vez?

1117

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

$ \int_0^2 f(x)\ dx$
$ \int_2^4 f(x)\ dx$
$ \int_0^4 f(x)\ dx$
$ \int_0^1 f(x)\ dx$

$4/\pi$
$-4/\pi$
$0$
$2/\pi$

1745

Escreva o número $e^2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-5}$.

1317

Será construído um campo de atletismo retangular, com $x$ unidades de comprimento, tendo nas extremidades duas áreas semicirculares com raio $r$. O campo terá em volta uma pista para corrida com $400 m$ de extensão.

Expresse a área da porção retangular do campo só em função de $x$ ou só em função de $r$ (a escolha é sua).
Quais valores de $x$ e de $r$ dão à porção retangular maior área possível?

1338

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}$.

$1$.

609

Sejam $x$ e $y$ dois números reais positivos. Demonstre que $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}.$

Elevando ambos os membros da expressão $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ ao quadrado obtemos $xy\leq \dfrac{x^2+2xy+y^2}{4}$. Simplificando chegamos a $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq0$. Como a última expressão obtida é verdadeira e todas as expressões são equivalentes entre si, segue o resultado. Esse resultado diz que a média geométrica entre dois dois números reais positivos é sempre menor que, ou igual, à média aritmética entre eles.

1860

Considere uma cápsula esférica de $1cm$ de espessura cujo volume é igual ao volume do espaço oco dentro dela. Use o método de Newton para calcular o raio externo da cápsula com duas casas decimais de precisão.

1099

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int (\sec x\tan x + \csc x\cot x)\ dx$

$\sec x - \csc x+C$

350

Enuncie o Teorema Fundamental da Álgebra (de Gauss).

"Qualquer polinômio $p(z)$ com coeficientes complexos de uma variável e de grau $n \geq 1$ tem alguma raiz complexa."

148

Mostre que a equação

\begin{equation*}
x^{26}+x^{2}-320=0
\end{equation*}

possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.

1176

Mostre que $x^{2}-xy+y^{2}\geq 0$, $\forall x,y\in R$ e que vale a igualdade se e somente se $x=y=0$.

1393

O calor específico de um metal como a prata é constante a temperaturas $T$ acima de 200° K. se a temperatura do metal aumenta de $T_1$ a $T_2$, a área sob a curva $y=c/T$ de $T_1$ a $T_2$ é chamada variação de entropia $\Delta S$, que é uma medida da desordem molecular do sistema. Expresse $\Delta S$ em termos de $T_1$ e $T_2$,

1326

O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abscissa x, ao gráfico de $y=f\left( x\right) $, é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que $f\left( 0\right) =1$ e que $f\left(1\right) =1/\sqrt{2}$, determine $f$.

1759

Sendo $n$ um número positivo, mostre que

$$\displaystyle \int_{-1}^1 x^n \, dx = \left. \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right |_{-1}^1.$$

Se $n$ for um número negativo diferente de $-1$, esta expressão continua válida?

124

Classifique a veracidade das afirmações a seguir

Se $f$ é contínua em $c$, então $\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c)$.
Se $f$ é contínua em $c$, então $\lim_{x\to c}f(x)$ existe.
Se $f$ é definida em um intervalo aberto contendo $c$, e $ \lim_{x\to c}f(x)$ existe, então $f$ é contínua em $c$.

Verdadeiro
Verdadeiro
Falso

562

Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+3x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

640

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

$y=\sqrt{x-2}$
$y=\sqrt{2-x}$

O domínio de $y$ é o conjunto de números reais em que o valor dentro da raiz é positivo. Calculando esses valores:
$x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
Portanto o domínio de $y$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x >2\}$.
O domínio de $y$ é o conjunto de números reais em que o valor dentro da raiz é positivo. Calculando esses valores:
$2-x > 0 \Rightarrow x < 2$.
Portanto o domínio de $y$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x <2\}$.

788

Encontre as equações das retas que passam pelo ponto $(-1,1)$ e são tangentes à curva $x^2+4y^2-4x-8y+3=0.$

1110

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
$f'(x) = 3x+2$ e $f(0)= 7$

$\frac{3 x^2}{2}+7 x+7$

1597

A função
$V(x)=x(10-2x)(16-2x),\quad 0<x<5$
modela o volume de uma caixa.

Determine os valores extremos de $V$.
Interprete quaisquer valores encontrados no item anterior em termos do volume da caixa.

1529

O projetista de um balão esférico (um projetista excêntrico) de ar quente com $10m$ de diâmetro quer suspender uma gôndola a $2m$ abaixo da parte inferior do balão, presa por cabos tangentes à superfície deste. Dado que os cabos, saindo da lateral do balão, tangenciam a superfície do mesmo nos pontos $(4,-3)$ e $(-4,-3)$, qual deve ser a largura da gôndola?

1384

Um invertimento de \$500,00 da juro de 7% ao ano, capitalizado continuamente, e apót $t$ anos o investimento valerá $500e^{0,07t}$.

Aproximadamente, quando o investimento valerá \$1000,00?
Quando o valor do investimento estará crescendo à razão de \$50,00 por ano?

186

Prove que $\sqrt{p}$, onde $p$ é primo, é um número irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

1383

De acordo com s primeira lei de Kirchhoff para circuitos elétricos $V=RI+L(dI/dt)$, onde as constantes $V$, $R$ e $L$ denotam a força eletromotriz, a resistência e a indutância, respectivamente, e $I$ denota a corrente no instante $t$. Se a força eletromotriz é interrompida no instante $t=0$ e se a corrente é $I_0$ no instante da interrupção, prove que $I=I_0 e^{-Rt/L}$.

1107

Este problema busca analisar o porquê de
\begin{equation*}
\int{\frac{1}{x}\ dx} = ln\left|x\right| + C
\end{equation*}

Qual o domínio de $y = ln\ x$?
Calcule $\frac{d}{dx}(ln\ x)$
Qual o domínio de $y = ln(-x)$?
Calcule $\frac{d}{dx}\left(ln(-x)\right)$
Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.

1312

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\ln\left(\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}\right)$, onde $n$ é qualquer número natural.

1249

Seja $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$.

Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.
Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.
Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Considere $\frac{d}{dx}\left( \frac{x^{3}}{x^{2}-1}\right) =x^{2}\frac{x^{2}-3}{\left( x^{2}-1\right) ^{2}}$ e $\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(\frac{x^{3}}{x^{2}-1}\right) =2x\frac{x^{2}+3}{\left( x^{2}-1\right) ^{3}}$

1827

As curvas de crescimento logístico modelam a taxa de crescimento de uma certa população em função dos fatores ambientais. Em um período prolongado de tempo, a população tende a um valor limite que representa o máximo número de indivíduos que o espaço ou alimento pode sustentar. Estas curvas são da forma $$ y(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ onde $y$ é a população no momento $t$ ($t\geq 0$) e $A$, $k$ e $L$ são parâmetros positivos. Suponha que uma população $y$ cresce de acordo com o modelo logístico acima.

Qual é a taxa de crescimento de $y$ em $t=0$?
Descreva como a taxa de crescimento de $y$ varia com o tempo.
Em que momento a população cresce mais rapidamente?

1911

Considere uma calota esférica de raio $s$ e altura $h$ cortada de uma esfera de raio $r$. Mostre que o volume $V$ da calota esférica pode ser expresso como $V=\dfrac{1}{3}\pi h^2(3r-h)$ ou $V=\dfrac{1}{6}\pi h(3 s^2+h^2)$. Calota_esfera

1715

Se você investir $1000$ reais em uma aplicação que paga $7$% de juros compostos em $n$ vezes por ano, então em $10$ anos sua aplicação terá no total $1000(1+0,07/n)^{10n}$ reais.

Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta trimestralmente ($n=4$)?
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ($n=12$)?
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ($n=365$)?
Pesquise a taxa de juros paga pela poupança, e o período em que ela é composta. Calcule a quantidade de dinheiro que você terá se investir uma certa quantia de dinheiro (pense no dinheiro você tem disponível para investir) em $1$, $2$, $5$ e $10$ anos com essa taxa e período de composição. Interprete os resultados pensando em seu futuro!
Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se os juros forem compostos continuamente, isto é, se $n\to\infty$?

338

Seja $P(x)$ um polinômio de coeficientes inteiros com grau $d>0$. Seja $n$ o número de inteiros distintos $k$ tais que $(P(k))^2=1$. Prove que $n\leq d+2.$

1332

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

$f(x)=cosx$
$f(x)=tgx$

1196

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =3^{2x}\ln\left( x^{2}\right) .$

$2\ 3^{2 x} \log (3) \log \left(x^2\right)+\frac{2\ 3^{2 x}}{x}$

1203

Demonstre que a derivada da função cosseno é a oposta da função seno.

1339

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{cotg (2x)}{cossec (x)}$.

$1/2$.

118

Dê um exemplo para mostrar que o produto de uma função contínua por uma função descontínua, pode ser uma função contínua.

1916

Em $1635$, Bonaventura Cavalieri, um aluno de Galileu, estabeleceu o seguinte resultado, chamado Princípio de Cavalieiri: se dois sólidos tiverem a mesma altura, e se as áreas de suas seções transversais tomadas paralelas e a iguais distâncias de suas bases forem sempre iguais, então os sólidos têm o mesmo volume. Use esse resultado para achar o volume do cilindro oblíquo da figura.

741

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
$y=x^{2}-6x+10,y=-x^{2}+6x-6$, ao redor do eixo $y.$

566

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

550

Faça um esboço completo do gráfico da função $y=\ln (9-x^{2}).$ Suas derivadas são: $y^{\prime }=-2x/\left( 9-x^{2}\right) $ e $y^{\prime \prime }=-\left( 18+2x^{2}\right) /\left( 9-x^{2}\right) ^{2}$. Determine explicitamente:

Domínio de definição;
Assíntotas verticais e horizontais (se houver);
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Pontos de máximo e mínimo locais e absolutos;
Pontos de inflexão;
Concavidade.

1331

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

$f(x)=x^n$
$f(x)=sen(x)$

514

Determine o domínio de definição das funções trigonométricas inversas a seguir e expresse suas derivadas em termos de funções polinomiais:

$g\left( x\right) =\mathrm{\arccos }\left( x\right) $;
$g\left( x\right) =\mathrm{arcsec}\left( x\right) $;
$g\left( x\right) =\mathrm{arccot}\left( x\right) $.

1264

Calcule a seguinte integral:
$\int_{0}^{\pi }x^{2}senx dx$.

$\pi^2-4$

1581

Dados $f(x) = 2x^2+4x-3$ e $x_0 = -0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1652

Um objeto é atirado do nível do mar para cima com uma velocidade inicial de $100m/s$.

Supondo que a gravidade seja a única força que atua sobre este objeto superestime sua veocidade depois de $5$ segundos. Use $g=10m/s^2$.
Calcule uma estimativa inferior para a altura atingida depois de $5s$.

1511

O quociente $(log_4\ x)/(log_2\ x)$ possui um valor constante. Qual valor é este?

1680

Calcule a seguinte integral:

$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x^{1,001}}}$

Não converge.

845

Calcule a derivada da função:

$y=\left( 2+\sin x\right) ^{x}$.

$y' = (\sin x + 2)^x (\log(\sin x + 2) + (x \cos x )/(\sin x + 2))$.

958

Calcule o limite a seguir, justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}$

0

Para todo $x\neq 0$ temos que
\begin{equation*}
\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{1-\cos x}{x}\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{
1-\cos ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}\text{.}
\end{equation*}
Como $1-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x$ obtemos
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1-\cos x}{x} &=&\dfrac{\sin ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x} \\
&=&\sin x\dfrac{\sin x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}.
\end{eqnarray*}
Mas
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin x &=&0\;\text{(pois }\sin x\text{ é contínua)} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} &=&1\;\text{(limite trigonométrico fundamental)} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x} &=&\dfrac{1}{2}\;\text{(}
\cos x\text{ cont\'{i}nua e }1+\cos \left( 0\right) \neq 0\text{).}
\end{eqnarray*}
Logo,
\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow
0}\sin x\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\lim\limits_{x
\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x}=0.
\end{equation*}

1181

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre se verdadeiro
ou dê contra-exemplo se for falso.

$\sqrt{x^{2}}=x,\forall x \in \mathbb{R}$.
$x\neq y\Longrightarrow |x|\neq |y|$.
$|x-y|\geq |x|-|y| \forall x,y\in \mathbb{R}$.

1613

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{e^x}$.

$0$.

213

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x^2, & &  \text{ se } x<2 \\
x+1, & &  \text{ se } x=2\\
-x^2+2x+4, & & \text{ se }  x>2
\end{array}
\right.$

$ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 2} f(x)$
$f(2)$

4
4
4
3

752

Dada uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina sua continuidade no ponto $p\in \mathbb{R}.$

153

Mostre que toda equação polinomial de grau ímpar, tem pelo menos uma raiz real.

1648

Mostre que $\pi^e < e^\pi$. Sugestão: Analise a função $ln(x)/x$.

Pelas propriedades do logaritmo, podemos escrever:

$
ln(e^\pi)=\pi
$

e

$
ln(\pi^e) = e\ ln(\pi)
$

Como $\pi > e$, pode-se escrever $\pi = ae,\ a > 1$. Assim, a primeira equação pode ser escrita como:

$
ln(e^\pi)=ae
$

E a segunda equação como:

$
ln(\pi^e) = e\ ln(a\ e) = e\ ln(a)ln(e)=e\ ln(a)
$

Assim, podemos escrever a razão entre as equações como:

$
\frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a}
$

Analisando a equação $ln(x)/x$, vemos que para $x>1$ ela é estritamente decrescente, dado que em $x=1$ o denominador é igual a um e o numerador igual a zero e como $\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}$ e $\frac{d(x)}{dx}=1$, o denominador cresce mais rapidamente para $x>1$. Assim, como $a>1$, sabemos que:

$
\frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a} < 1
$

Portanto:

$
ln(\pi^e) < ln(e^\pi)
$

Como $\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}>0$ para $x>0$, a função logaritmo é monotônica no intervalo desejado, e portanto podemos concluir que:

$\pi^e < e^\pi$

527

A base $x$ e a altura $y$ de um retângulo estão variando com o tempo. Em um dado instante, $x$ mede $3 cm$ e cresce a uma taxa de $2 cm/s$, enquanto $y$ mede $4 cm$ e decresce a uma taxa de $1 cm/s$. Determine, nesse instante, a taxa de variação da área $A$ do retângulo em relação ao tempo.

1116

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^1 f(x)\ dx$
$\int_0^2 f(x)\ dx$
$\int_0^3 f(x)\ dx$
$\int_1^2 -3f(x)\ dx$

$-59$
$-48$
$-27$
$-33$

828

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =\log _{a}x,\;a>0$ e $a\neq 1$.

$f'(x)=\dfrac{1}{xln(a)}

934

Calcule:

$log_3 (36) +log_3 (6)$
$8^{\frac {2} {3}}+\sqrt{100}+2^{2^3}+2^{(2^3)}$

189

Determine qual o último número $N$, escrito na sucessão dos números naturais $12345678910111213...N$, sabendo que foram escritos $3849$ algarismos.

1755

Avalie a integral $\displaystyle \int_{-1}^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx$ sem fazer nenhuma conta.

1687

Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.

$y=x^{3/2},\quad 0 \leq x \leq 4$

1622

Para calcular as coordenadas espaciais de um planeta, temos de resolver equações do tipo $x=1+0,5\sin(x)$. O traçado da função $f(x)=x-1-0,5\sin(x)$ sugere que a função possui uma raiz próxima de $x=1,5$. Utilize uma iteração do Método de Newton para melhorar essa estimativa, com $x_0=1,5$.

181

Seja o número inteiro $AB$, no qual $A$ e $B$ são os algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos $A$ e $B$, obtém-se um número que excede $AB$ em $27$ unidades. Se $A+B$ é um quadrado perfeito, qual o valor de $B$?

Temos que "$BA-AB$"$=10B+A-10A-B=9B-9A$. De acordo com o enunciado essa diferença é igual a $27$. Logo, $B-A=3$. Temos, portanto, $7$ possibilidades: "$BA$"$=30, 41, 52, 63, 74, 85$ ou $96$. Dentre essas possibilidades, a única em que $A+B$ é um quadrado perfeito é o caso $B=6$, $A=3$.

37

Calcule os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }3^{x}$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 2^{x}-3^{x}\right)$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 0,27\right) ^{x}$

1. $\infty$.

2. $-1$.

3. $0$.

553

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.

619

Determine o domínio da seguinte função:

$f\left( x\right) =\sqrt{x-\sqrt{x}}$.

$\left\{ x\geq 1\right\} $.

587

Mostre que $x^{2}-xy+y^{2}\geq 0$, $\forall x,y\in \mathbb{R}^+$ e que vale a igualdade se e somente se $x=y=0$.

Note que $x^{2}-xy+y^{2}=x^2-2xy+y^2+xy=(x-y)^2+xy \geq 0$, pois $(x-y)^2 \geq 0$ e $xy \geq 0$. O único modo de ocorrer a igualdade é quando as duas parcelas forem iguais a zero, o que ocorre se, e somente se, $x=y=0$.

190

Quatro números inteiros positivos e distintos, $m, n, p$ e $q$, satisfazem a equação $(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4$.

Calcule a soma $m+n+p+q$.

A única maneira de escrevermos $4$ como produto de inteiros positivos, a menos de ordem dos fatores, é $4=1 \cdot 1\cdot 2 \cdot 2$. Assim, uma possibilidade é $m=n=6, p=q=5$. Há várias outras possibilidades, mas que não alterarão a soma $m+n+p+q=22$. De fato, se mudássemos os valores de $m,n,p$ e $q$, eles continuaríam sendo $1,1,2$ e $2$ em alguma ordem e a soma não mudaria, já que a adição é comutativa e associativa.

605

Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

$(x-1)^{2}<1-x$
$(2x-1)^{15}\leq 0$

1799

Um $n$-ágono regular é um polígono de $n$ lados que possui todos os lados iguais e todos os ângulos de mesma medida.

Encontre o perímetro de um $n$-ágono regular inscrito num círculo de raio $r$.
O perímetro do $n$-ágono se aproxima de algum valor quando $n$ cresce?
Deduza a fórmula do comprimento de uma circunferência de raio $r$.

567

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{3x^{2}+4x}{1+x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

70

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.
Se $ \lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 5$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.
Se $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$, então $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \infty$.
Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então $f$ tem uma assíntota vertical em $x=5$.
$\infty/0$ não é uma forma indeterminada.

Falsa.
Verdadeira
Falsa
Verdadeira
Verdadeira

1733

Suponha que as equações do movimento de um avião de papel, durante os $12$ segundos iniciais de vôo, são $$ x=t-2\sin t, \quad y=2-2\cos t\quad(0\leq t\leq 12). $$Quais são os pontos mais alto e mais baixo da trajetória e em que instantes eles são atingidos?

1684

Calcule o valor de $p$ para a integral a seguir convergir:

$\int_{2}^{\infty}{\frac{dx}{x\left(ln\ x\right)^p}}$

160

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua tal que, para todo real x, tenhamos $f(f(f(x))) = x^2 + 1$. Prove que $f$ é par.

121

De acordo com o gráfico de $f(x)$, avalie a continuidade da função em $x=0$

$f$ é contínua em $x=0$.

175

Calcule o valor de $\frac{2}{0,666 \ldots}$.

$$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{0.666 \ldots} &=& \dfrac{2}{\dfrac{6}{9}} \\ &=& 2 \dfrac{9}{6} \\ &=& \dfrac{9}{3} \\ &=& 3. \end{array}$$

728

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{1-2^{x}}{1-3^{x}}$.

$0$.

662

Derive a função $f\left( x\right) = \int_{x^{2}}^{e^{3x}}\cos t\sin tdt$.

1685

Demonstre que $\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\ dx}$ pode ser diferente de $\lim\limits_{b \rightarrow \infty }\int_{-b}^{b}{f(x)\ dx}$.

Para isto, mostre que
$\int_{0}^{\infty}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}$

diverge, e, portanto,
$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}$

também diverge. Depois, mostre que

$\lim\limits_{b \rightarrow \infty }\int_{-b}^{b}{\frac{2x\ dx}{x^2 +1}\ dx}=0$

1165

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial $\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right)$ para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo. A constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a soluçao dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?

1382

Durante o primeiro mês de crescimento de produtos como milho, algodão e soja, a taxa de crescimento (em gramas/dia) é proporcional ao peso presente $W$. Para determinada espécie de algodão, $dW/dt=0,21W$. Preveja o peso de uma planta no término de um mês ($t=30$), se a planta pesa 70 miligramas no início do mês.

32

Calcule os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+3}\right)$
$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+3}\right)$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\right)$

$0$
$-\infty$
$0$

1563

Seja $g(x)=a^x$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=a^x \ln{a}$.

546

Esboce o gráfico de $f(x)= \frac{x^2-2x^3}{x^2-1}$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

199

Mostre que qualquer intervalo de $R$ contém algum número irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

1611

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln{x}}{cotg{x}}$.

115

Considere uma função contínua $\phi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que

\[ \forall \quad {x \in \mathbb{R}},\quad \phi(x)\geq x^2.\]

Mostre que existe $a\geq 0$ tal que $\left[a,+\infty\right[$ é o contradomínio de $\phi$.

575

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x}{1+\tan x},x\in \lbrack 0,\dfrac{\pi }{2})$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

110

Mostre que a função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x}$ é contínua em seu domínio.

1664

A velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $v=ds/dt = 6\sin2t\ m/s$ para qualquer $t$. Se $s=0$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=\pi/2\ s$.

1810

Mostre que as funções $f(x)=(x-1)^4$ e $g(x)=x^3-3x^2+3x-2$ têm pontos estacionários em $x=1$.
O que o teste da derivada primeira diz sobre a natureza destes pontos?

1614

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \ln{x}}{x+\ln{x}}$.

$\infty$.

1727

Uma partícula se move na circunferência $x^2 + y^2 = a^2$ de tal modo que a componente $x$ de sua velocidade é $\dfrac{dx}{dt}=-y$. Encontre $\dfrac{dy}{dt}$ e determine se o sentido do movimento é horário ou anti-horário.

599

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre-a, se verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.

$|x-y|\leq |x|+|y|,\forall x,y\in \mathbb{R}$.
$x<y\Longrightarrow x^{2}<y^{2}$.

904

Resolva a equação $|x + 1| = 3$.

Temos dois casos: $x+1=3$ ou $x+1=-3$. Resolvendo cada uma dessas equações de primeiro grau obtemos $x=2$ e $x=-4$.

1739

Escreva o polinômio $p(x)=x^2-4x-9$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?)

1633

Prove que $\displaystyle\int \sqrt{a^2+u^2}du=\dfrac{u}{2}\sqrt{a^2+u^2}+\dfrac{a^2}{2}\ln{|u+\sqrt{a^2+u^2}|}+C$.

201

Prove que $\log3$ é um número irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

Dica: Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log3=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.

943

Calcule, através da definição, o limite $ \lim_{x\to 2} 5 = 5$

Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que, quando $|x-2|<\delta$, $|f(x)-5|<\epsilon$. Entretanto, como $f(x)=5$ é uma função constante, a segunda inequação é simplesmente $|5-5|<\epsilon$, o que é sempre verdade. Assim, pode-se escolher um $\delta$ qualquer; arbitrariamente, escolhe-se $\delta =\epsilon$.

940

Calcule, pela definição, o limite $ \lim_{x\to 0} \sin x= 0$ (Dica: use o fato que $|\sin x| \leq |x|$, sendo uma igualdade apenas para $x=0$.)

1276

Seja $f\left( x\right) =\frac{2x-1}{x-1}$

Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.
Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.
Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Domínio: Dom$\left( f\right) =\left\{ x|x\neq1\right\} =\left( -\infty,1\right) \cup\left( 1,\infty\right) $
Zeros e inteceptos: $f\left( x\right) =0\iff2x-1=0\iff x=1/2$
Simetrias: Não há.
Assíntotas:
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left( x\right)   & =\lim_{x\rightarrow
\pm\infty}\frac{2x-1}{x-1}\\
& =\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2-1/x}{1-1/x}=2
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right)   & =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
\frac{2x-1}{x-1}=-\infty\\
\lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left( x\right)   & =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
\frac{2x-1}{x-1}=+\infty
\end{align*}
Intervalos de crescimento e decrescimento:
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right) & =\frac{2\left( x-1\right) -\left(
2x-1\right) \left( 1\right) }{\left( x-1\right) ^{2}}\\
& =\frac{-1}{\left( x-1\right) ^{2}}<0,\forall x\in Dom\left( f\right)
\end{align*}
ou seja, $f$ é estritamente decrescente.
Valores máximo e mínimo locais: Não há, pois a derivada não se anula
Concavidade e pontos de Inflexão:

\[
f"\left( x\right) =\frac{2}{\left( x-1\right) ^{3}}>0\iff x-1>0\iff x>1
\]
ou seja, $f$ tem concavidade para cima para $x>1$ e concavidade para baixo para $x<1$
Esboço do Gráfico:

1294

Encontre a área da região limitada pela elipse $x^2+\frac{y^2}{4}=1.$

Primeiramente, escreve-se a equação da elipse na forma $y=\pm f(x)$:

$y=\pm 2\sqrt{1-x^2}$

Observação: Nesta forma, é possível ver mais facilmente que a elipse não apresenta nenhum ponto com $\left\vert x\right\vert >1$.

Se denotarmos $f_1(x)= 2\sqrt{1-x^2}$ e $f_2(x)=- 2\sqrt{1-x^2} $, a área da região limitada pela elipse é portanto

$\int_{-1}^{1}f_1(x)-f_2(x)\,dx=2\int_{-1}^{1}f_1(x)\,dx=2 \left(\sqrt{1-x^2} x+\sin ^{-1}(x)\right)=2\pi$

841

O que podemos dizer sobre uma função $f\left( x\right) $ tal

que $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }$ para todo $x$?

Pela aplicação direta da Regra da cadeia, temos que:

$\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para $f(x)$, portanto, temos que:

$f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para que a igualdade seja verdadeira, há duas possibilidades. Ou:

$f^{\prime}(x)=0,\,\forall x$

i.e., a função é uma constante (o que resultaria em $0=0$). Ou:

$f^{\prime}(x)=1,\,\forall x$

i.e., $f(x)=x+a$, sendo que $a$ é uma constante (o que resultaria em $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)$).

1119

Dado que os números no gráfico representam o valor das áreas demarcadas, avalie as seguintes integrais:

$ \int_{0}^{2} 5x^2\ dx$
$ \int_0^2 (x^2+3)\ dx$
$ \int_{1}^3 (x-1)^2\ dx$
$ \int_2^4 \big((x-2)^2+5\big)\ dx$

$40/3$
$26/3$
$8/3$
$38/3$

98

Calcule os limites:

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( x^{2}+5xh^{2}\right) $
$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{1/x-1/2}{x-2}$

727

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 0,27\right) ^{x}$.

$0$.

1251

Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=e^{kx}, k \in R$.

$f^{1000}(x)=k^{1000}e^{kx}$

50

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

$f(x) = x^2\sin (\pi x)$

$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$
$\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$

744

Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com lado $L$ e altura $h$.

79

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} x = c$.

1666

Calcule a integral a seguir:

$\int{\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^{1/3}}{\sqrt{x}}dx}$

328

Na fabricação de um lote de peças de certo produto, o custo total é igual à soma de um valor fixo de $R\$ 400,00$ com o custo de produção unitário de $R\$ 0,50$. Se o preço unitário de venda dessas peças for de $R\$ 0,85$, qual o número mínimo de peças que devem ser fabricadas e vendidas para que se comece a ter lucro?

760

Mostre que a equação
\begin{equation*}
x^{26}+x^{2}-320=0
\end{equation*}
possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.

1906

A figura mostra as curvas aceleração versus tempo para dois carros movendo-se em uma pista reta, começando alinhados e acelerando a partir do repouso. O que representa a área $A$ entre as curvas no intervalo $0 \leq t \leq T$? Justifique. Acelera_carrinhos

Para uma aceleração $a(t)$ qualquer, $\int_0^Ta(t)\,dt$ representa a velocidade adquirida desde o instante $t=0$, ou seja, $v(T)= v_0+\int_0^Ta(t)\,dt$. Sendo assim, a área entre as curvas representa $v_1(T)-v_2(T)$, a diferença de velocidade entre os carros no instante $t=T$.

1523

Suponha $g(x) \neq 0$, para todo $x \in Dom(g)$, $L \neq 0$ e $\lim\limits_{x \to p}g(x)=L$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{1}{L}$.

Veja Guidorizzi, volume $1$, página $87$.

1534

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

$xe^x\cos{x}$
$e^x \sin{x} \cos{x}$

836

Determine a derivada da função:

$f\left( x\right) =e^{\cos \left( x^{2}\right)}.$

Pela regra da cadeia, temos que
$f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)$
Assim, escolhendo $f(x) = e^x$ e $g(x)=\cos(x^2)$, temos:
$(e^{\cos(x^2)}))' = e^{\cos(x^2)}(\cos(x^2))'$
Para calcular $(\cos(x^2))'$, temos que aplicar novamente a regra da cadeia. Desta vez, podemos escolher $f(x)=\cos(x)$ e $g(x)=x^2$.
Assim,
$(\cos(x^2))'= -2\sin(x^2)x$
Portanto:
$(e^{\cos(x^2)}))' = -2 e^{\cos(x^2)}x\sin(x^2)$

624

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

205

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$
$f(0)$

$4$
$-4$
Não existe.
$0$

1653

Uma superfície é criada a partir de segmentos de reta perpendiculares traçados sobre um círculo de raio $a$, perpendiculares ao plano do círculo. O comprimento de um segmento correspondente a um ponto $p$ sobre o círculo é $ks$, sendo $k$ uma constante positiva e $s$ o comprimento de arco do círculo no sentido anti-horário de $(a,0)$ até o ponto $p$.

Determine a área desta superfície, conforme a figura a seguir, em função de $k$.

1767

Prove que $\log_{10} 2$ é irracional.

188

Encontre a fração geratriz das dízimas seguintes:

2,001111...
2,1010101010...
1,23333333...

$\begin{array}{rcl} 2,001111... &=& 2 + 0,00111... \\ &=& 2 + \dfrac{0,111...}{100} \\ &=& 2 + \dfrac{1}{100} \dfrac{1}{9} \\&=& 2 + \dfrac{1}{900} \\ &=& \dfrac{1800+1}{900} \\ &=& \dfrac{1801}{900}. \end{array} $
$\begin{array}{rcl} 2,101010... &=& 2 + 0,101010... \\ &=& 2 + \dfrac{10}{99} \\ &=& \dfrac{198+10}{99} \\ &=& \dfrac{208}{99}. \end{array} $
$\begin{array}{rcl} 1,2333... &=& 1,2 + 0,0333... \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{1}{10}\dfrac{3}{9} \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{3}{90} \\&=& \dfrac{108+3}{90} \\ &=& \dfrac{111}{90}. \end{array} $

1781

Verifique que $\displaystyle \int \text{cosec}^n (x) \, dx = -\dfrac{\text{cosec}^{n-2} (x) \text{cotg} (x) }{n-1} + \dfrac{n-2}{n-1} \int \text{cosec}^{n-2} (x) \, dx, \, n \geq 2$.

1879

Discuta a seguinte "demonstração": Dada a integral $\displaystyle\int (1/x)dx$, seja $dv=dx$ e $u=1/x$, de modo que $v=x$ e $du=(-1/x^2)dx$. Então $\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$

334

Seja $P(x)$ um polinômio com coeficientes inteiros. Suponha que existam quatro inteiros distintos $a,b,c$ e $d$ tais que $P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=5$. Prove que não existe inteiro $k$ tal que $P(k)=8$.

895

Resolva as equações:

$|x-1|^2-2|x-1| =-1$

$|x-10|-|x+10| =0$

655

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

$y=\sqrt{9-(2-x)^{2}}$
$y=7/2-\sqrt{13-(2+x)^{2}}$

1671

Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:

$\int{3\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}}}$

$sinh^{-1}(3x)+C$.

670

Calcule a integral $\int e^{x}\sin xdx$.

$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$.

1585

Dados $f(x) = e^{-x}$ e $x_0 = -0,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

2

Seja $\ell$ a reta que passa pela origem do plano cartesiano e tangencia a curva $y = x^3 + x + 16$. Qual a inclinação de $\ell$?

Dado que $\ell$ é uma reta que passa pela origem, sabemos que sua equação é do tipo $\ell(x)=ax$. Como ela tangencia a curva $y(x)$, sabemos que há um ponto $x^*$ tal que $\ell(x^*)=y(x^*)$.

Além disso, sabemos que em $x^*$ a inclinação de $\ell$ é a mesma inclinação de $y$ (por quê?), o que é equivalente a $\ell'(x^*)=y'(x^*)$.

Assim, temos:

\begin{cases}
    \left.x^*\right.^3+x^*+16 = ax^* \\
    3\left.x^*\right.^2+1=a
    \end{cases}

Resolvendo o sistema de equações obtemos:

\begin{align*}
x^* = 2\\
a = 13
\end{align*}

Sendo, portanto, $a=13$ a resposta desejada.

1095

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int \frac{1}{3t^2}\ dt$

$-1/(3t)+C$

1104

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int \frac{5^t}{2}\ dt$

$\frac{5^t}{2\ln 5}+C$

1682

A trombeta de Torricelli, também conhecida como trombeta de Gabriel, em referência à passagem da bíblia na qual o arcanjo Gabriel anuncia o dia do julgamento com sua trombeta, é uma figura geométrica bastante interessante. Ela é descrita a partir da rotação da função $1/x$ no domínio $x>1$ em relação ao eixo $x$. Calcule sua área e seu volume.

A área de uma superfície de revolução é dada por:

$A=\int_{a}^b 2 \pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\ dx$

Assim, temos, para a trombeta de Torricelli:

$A= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left(2 \pi \int_{1}^{a}\ \frac{1}{x} \sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\ dx\right)$

Portanto, como $\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}>1$:

$A > \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x} \ dx\right)= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi ln\ a\right)$

para $a\rightarrow \infty$, vemos que a área $A$ tende ao infinito.

Quanto ao volume, temos que:

$V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2}\ dx\right)$

Portanto, obtemos:

$V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\ \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)$

Que para $a\rightarrow \infty$ tende a $V=\pi$.

1488

Prove que a soma de um racional com um irracional é um irracional.

1524

De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto parece, a um observador, depender da velocidade relativa entre este e o objeto. Se o observador estabelecer o comprimento do objeto, em repouso, como $L_0$, então o comprimento, a uma velocidade $v$, parecerá:
$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.
Esta equação é chamada Fórmula de Contração de Lorentz, sendo que $c$ é a velocidade da luz no vácuo, em torno de $3\times10^8m/s$. Qual o comportamento de $L$ conforme $v$ aumenta?
Determine $\lim\limits_{v\rightarrow c^- }L$. Por que o limite lateral à esquerda foi necessário, e como esta necessidade se relaciona com as Leis da Física?

1302

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $f:\mathbb{R\rightarrow R},$ da por:
\[
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}+\lambda x\mbox{ se }x\leq 1 \\
\left( \lambda x\right) ^{2}-1=\lambda ^{2}x^{2}-1\mbox{ se }x>1
\end{array}
\right. \mbox{.}
\]

1765

Prove que $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!} \leq e^x$. Conclua que $\lim\limits_{x \to \infty} e^x/x^n=\infty$.

929

Calcule, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

$log_2 (1024)+sen^2(40)+cos^2(40)$
$log_\pi [sen(30^0)+cos(60^0)]$

333

Encontre todas as funções polinomiais $f$ com coeficientes reais tais que $(x-27)f(3x)=27(x-1)f(x)$ para todo número real $x$.

1626

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modificações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$.

1321

Mostre que a funçao $y(x)$ com $y(0)=0$ que é definida implicitamente pela equaçao $y-x^{2}+y^{3}+xy^{2}+x^{2}y=0$ tem um extremo relativo no ponto $x=0$. Identifique esse extremo.

1169

Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo:

$s(t) = 2t^3 + t^2-20t +4$
$f(x) = 4x^3-5x^2-42x + 7$
$g(w) = w^4-32w$

1897

Se $f_{med}[a,b]$ denota o valor médio de $f$ no intervalo $\left[a,b\right]$ e $a<c<b$, mostre que
\begin{equation*}
f_{med}[a,b]=\dfrac{c-a}{b-a}f_{med}[a,c]+\dfrac{b-c}{b-a}f_{med}[c,b]
\end{equation*}

1195

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\tan\left( x\right) \cos^{2}\left( x\right) .$

1921

Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio $r$ é $4 \pi r^2$.

654

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

$y=2-\sqrt{16-x^{2}}$
$y=-1+\sqrt{6-(x-1)^{2}}$

1758

Enuncie e demonstre o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.

1136

Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$. Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$, sabendo que $y=x^{\beta }z^{1-\beta }$, com $\beta =1/2$.

1868

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modoficações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$.

691

Calcule o seguinte limite

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right)^{x}$.

$e^{1/2}$.

1678

Em uma reação química de dois reagentes, a velocidade da reação depende, em geral, da concentração destes. Seja $a$ a quantidade do reagente $A$ e $b$ a quantidade do reagente $B$ em $t=0$, sendo $x$ a quantidade do produto no instante $t$, a velocidade de formação de $x$ pode ser dada pela equação diferencial

$\frac{dx}{dt} = k(a-x)(b-x)$,
sendo que $k$ é uma constante para a reação. Encontre $x(t)$ se:

$a=b$
$a \neq b$

Em ambos os casos, considere $x(t=0)=0$.

579

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =\dfrac{x^{2}-x+1}{2x-2}$, determinando o domínio, pontos de máximo e de mínimo, pontos de inflexão e assíntotas. Explicite o valor que a função assume nos pontos em questão. Justifique o seu raciocínio.

532

O raio $r$ e a altura $h$ de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume $V$. Num determinado instante, $h=3cm$ e $r=1cm$ e, neste instante, a altura está variando a uma taxa de $0,2cm/s$. A que taxa está variando o volume neste instante?

331

Uma das raízes da equação $x^2+mx+m^2-m-12=0$ é nula, e a outra é positiva. Qual o valor do parâmetro $m$?

1259

Resolva a equação $\ln\left( x^{2}+2x+1\right) =3$.

Como a função exponencial é estritamente monótona, temos que $\ln\left( x^{2}+2x+1\right) =3$ se, e somente se, $e^{\ln\left(x^{2}+2x+1\right) }=x^{2}+2x+1=e^{3}$. Mas $ x^{2}+2x+1=\left( x+1\right) ^{2}$. Logo $\ln\left( x^{2}+2x+1\right) =3\Leftrightarrow\left( x+1\right)^{2}=e^{3}\Leftrightarrow x+1=\pm e^{3/2}\Leftrightarrow x=\pm e^{3/2}-1$.

1830

Esboce o gráfico completo da função $\displaystyle f(x)=x\tan x,\ -\pi/2<x<\pi/2$, e localize todos os extremos relativos e pontos de inflexão. Utilize um recurso computacional gráfico a fim verificar seu resultado.

843

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{x\tan 3x}{x^{2}+4}$.

$y' = -(2 x^2 \tan(3 x))/(x^2 + 4)^2 + (\tan(3 x))/(x^2 + 4) + (3 x \sec^2(3 x))/(x^2 + 4)$.

1917

Um buraco redondo de raio $a$ é feito através do centro de uma esfera sólida de raio $r$. Use camadas cilíndricas para encontrar o volume da parte removida (suponha $r>a$).

796

Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição:

$f\left( x\right) =x^{2}+x$.

$f'(x)=2x + 1$.

1590

Uma criança empina uma pipa a uma altura de $50$m. O vento age sobre a pipa horizontalmente a uma velocidade de $7$m$/$s em relação à criança. Com que velocidade a criança deve soltar a linha quando a pipa estiver a $100$m de distância?

1202

Demonstre que a derivada da função seno é a função cosseno.

1787

Mostre que se $f$ e $g$ forem funções para as quais $$ f'(x)=g(x) \quad\text{e}\quad g'(x)=f(x)$$ para todo $x$, então $f^2(x)-g^2(x)$ é uma constante.
Mostre que as funções $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ e $\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})$ têm esta propriedade.

530

Suponha que uma gota de neblina seja uma esfera perfeita e que, por condensação, capte umidade a uma taxa proporcional à área de sua superfície. Mostre que nessas circunstâncias o raio da gota cresce a uma taxa constante.

1323

Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1,5$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível?

144

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ h(t) = \cos t$.

$(-\infty,\infty)$

1540

Seja $f(x)=\sin{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

$f'(x)=\cos(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

1763

Prove que $\cosh'(x)=\sinh(x)$.

1696

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva a seguir em torno do eixo indicado.

$y=x^3/9$, $0\leq x \leq 2$, eixo $x$

67

Mostre que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) =L$ se e somente se $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left( f\left( x\right) -L\right) =0$.

Suponha que $f\left( x\right) \leq g\left( x\right) $ para todo $x$. Demonstre que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) \leq \lim\limits_{x\rightarrow p}g\left( x\right) $ sempre que os limites existirem.
Suponha agora que $f\left( x\right) <g\left( x\right) $ para todo $x$. Podemos afirmar que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) <\lim\limits_{x\rightarrow p}g\left( x\right) $ sempre que os limites existirem?

811

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$\dfrac{x+\sqrt[4]{x}}{x^{2}+3}$.

$f'(x) = \dfrac{3-7x^2}{4 x^{3/4}(x^2+3)^2}$.

848

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{2\left( 4+3\sqrt[3]{x}\right) \left( 2-\sqrt[3]{x}\right)^{3/2}}{5}$.

$y'=-\dfrac{\sqrt{2 - x^{1/3}}}{x^{1/3}}$.

41

Calcule os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{x}\right) ^{x+2}$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right) ^{x} $
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \dfrac{x+2}{x+1}\right) ^{x}$

1736

Prove o seguinte resultado: Se $f$ tiver um mínimo absoluto em um intervalo aberto $(a,b)$, então ele precisa ocorrer em um ponto crítico de $f$.

1333

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

$f(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4$
$f(x)=1+x+x^2+\ldots +x^{1000000}$

$F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$
$F(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{x^1000001}{1000001}$

1561

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\ln{x}$ no ponto de abscissa $1$. Esboce os gráficos de $f$ e da reta tangente.

623

Uma página impressa deve ter $24cm^2$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1cm$ nos lados. Quais as dimensões da página de menor área que preenche essas condições?

1295

A região limitada pelo triângulo de vértices $(1,0),$ $(2,1)$ e $(1,1)$ gira em torno do eixo $y$ gerando um sólido $S.$ Calcule o volume de $S.$

1788

Sejam $f$ e $g$ funções contínuas em $[a,b]$ e diferenciáveis em $(a,b)$. Prove: se $f(a)=g(a)$ e $f(b)=g(b)$, então há um ponto $c$ em $(a,b)$ onde $f'(c)=g'(c)$.

930

Calcule, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

$log_6 (36) +log_3 (6^4)$
$8^{\frac {2} {3}}+\sqrt{log_2 (16)}+2^{2^3}+(2^2)^{3}$

1173

Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções (se existirem).

$y = 8x^3 -51x^2 -90x +1$
$y = -x^3 – 9x^2 + 81x - 6$

1319

A soma dos perímetros de um triângulo equilátero e de um quadrado é $10$. Ache as dimensões do triângulo e do quadrado que produzem a área total mínima.

130

Mostre que função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x^2}$ é contínua em seu domínio.

1713

O gráfico a seguir representa o número de indivíduos de uma população ao longo do tempo.

Pode-se dizer que há uma assíntota horizontal para essa população? Justifique.
O que essa assíntota representa em termos biológicos? (Isto é, qual a interpretação da assíntota em função da população?)

47

O gráfico da função $f(x)=\frac{x^3+2x^2+1}{5-x^2}$ possui alguma assíntota horizontal?

Não possui.

910

Quais os valores de $x$ que satisfazem a inequação $\frac{x-3}{x-2}\leq x-1$?

693

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(10x\right) }{\sin \left( 5x\right) }$.

$2$.

1818

Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize.

219

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x+1, & & \text{ se } x\leq 1 \\
x^2-5, & & \text{ se } x>1
\end{array}
\right.$

$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$

2
$-4$
Não existe.
2

1094

\item Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int dt$

$t+C$

1728

A naftalina pode ser utilizada como repelente de insetos, embora possa trazer malefícios à saúde. Este composto tem a capacidade de sublimar, isto é: passa do estado sólido diretamente para o gasoso. Se uma bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que o seu raio decresce a uma taxa constante.

63

Calcule, quando existirem, os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{ \left( x-2\right) ^{3}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{ 3-x}-1}$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\sqrt{3x+4}-\sqrt{3x}.$

344

Um ponto no plano cartesiano é chamado ponto misto se uma de suas coordenadas é racional e a outra irracional. Encontre todos os polinômios com coeficientes reais tais que seus gráficos não contêm nenhum ponto misto.

1505

Utilizando as leis de exponenciação, simplifique a expressão a seguir:
$6^{1/3}\cdot18^{1/6}$

1795

Considere um tanque de formato cilíndrico que é utilizado para armazenamento de produtos químicos líquidos, com diâmetro de $10$m. Sua posição é tal que suas seções transversais circulares são verticais. Se o produto químico ocupa o cilindro até $7$m de profundidade, qual porcentagem da capacidade total que está sendo utilizada?

756

Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.

1919

O laço de de $9y^2=x(3-x)^2$ é girado ao redor do eixo $y$. Calcule a área da superfície gerada por essa maneira.

1539

Suponha que um meteorito pesado está a $s$ quilômetros do centro da Terra, e que sua velocidade de entrada na atmosfera terrestre seja inversamente proporcional a $\sqrt{s}$. Mostre que a aceleração do meteorito é inversamente proporcional a $s^2$ e interprete o resultado.

136

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$f(x) = x^2-3x+9$.

$(-\infty,\infty)$

896

Esboce o gráfico da função $f(x)=|(x-1)^2-3|$.

1521

Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $2$, mas que $\lim\limits_{x \to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^-}f(x)$.

909

Resolva a inequação $|ax-b|<r$ na variável x, com $r>0$ e $a\neq 0$.

Se $ax-b\geq0$: $|ax-b| = ax-b$, logo $ax-b<r \Rightarrow x < \dfrac{b+r}{a}$.
Se $ax-b<0$: $|ax-b| = -(ax-b)$, logo $-ax+b<r \Rightarrow x > \dfrac{b-r}{a}$.
Portanto $x<\dfrac{b+r}{a}$ ou $x>\dfrac{b-r}{a}$.

729

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right) $.

$-\infty$.

668

Calcule a integral $\int x^{2}\ln xdx$.

$\dfrac{1}{9}x^3(3lnx-1)+C$.

671

Calcule a integral $\int x^{2}e^{x^{3}}dx$.

$\dfrac{e^{x^3}}{3}+C$.

107

Mostre que a função $f\left( x\right) =x^{n}$ é contínua em seu domínio.

O domínio da função é $\mathbb{R}$. Logo, para $x \in \mathbb{R}$, temos:

$\lim_\limits{x \to a} x^n = a^n$

e

$f(a) = a^n$.

Isto é, $\lim_\limits{x \to a} f(x) = f(a)$, e portanto a função é contínua.

633

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right) = 12\sin 2x+\cos 3x+1,\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}

536

Ache os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função $f(x)=x+3x^{2/3}$.

1579

Dados $f(x) = x^2+2x$ e $x_0 = 0,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1242

Encontre os dois pontos onde a curva $x^2+xy+y^2=7$ cruza o eixo x e mostre que as tangentes à curva nesses pontos são paralelas. Qual é o coeficiente angular comum dessas retas?

1520

Sabe-se que $f$ é contínua em $1$ e que $f(1)=2$. Mostre que existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in D_f$ vale $1-\delta<x<1+\delta \rightarrow \dfrac{3}{2}<f(x)<\dfrac{5}{2}$.

1816

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

$xe^x\cos{x}$.
$e^x \sin{x} \cos{x}$.

$-e^x x^2 \sin (x)+e^x x^2 \cos (x)+2 e^x x \cos (x)$.
$-e^x \sin ^2(x)+e^x \cos ^2(x)+e^x \sin (x) \cos (x)$.

1284

Admitindo-se que $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ existe, prove que
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}f(a+h).$

933

Calcule:

$log_2 (8)$

$log_3 (27)$

$\log_2(8) = x$
$2^x = 8$
$2^x = 2^3$
$x = 3$.
$\log_3(27) = x$
$3^x = 27$
$3^x = 3^3$
$x = 3$.

926

Calcule o valor das seguintes expressões:

$sen(45^0)+cos(45^0)$

$\dfrac {cos(30^0)sen(60^0)} {tg(45^0)}$

$[sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)] \times cotg(45^0)$

Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen(45^0)+cos(45^0)$ é $1$.
Este item se resolve por substituição direta: $cos(30^0)=sen(60^0)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $tg(45^0)=1$:$\dfrac {cos(30^0)sen(60^0)} {tg(45^0)}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \times 1=\dfrac{3}{4}$.
Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)$ é $1$. Além disso, temos que $cotg(45^0)=\dfrac{1}{tg(45^0)}=\dfrac{1}{1}=1$. Então:\\ $[sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)] \times cotg(45^0)=1 \times 1=1$.

625

Uma página impressa deve ter $24$ $cm^{2}$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1 cm$ nos lados. Discuta a existência das dimensões (e calcule quando existir) daquelas que tem área total máxima e área total mínima.

613

Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

$f\left( x\right) =\dfrac{\left( x-3\right) }{x^{2}+1}<0$.

1782

Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg}^n (x) \, dx = -\dfrac{\text{cotg}^{n-1} (x) }{n-1} - \int \text{cotg}^{n-2} (x) \, dx, \, n \geq 2$.

740

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
$y=e^{-x^{2}},y=0,x=0,x=1$, ao redor do eixo $y.$

923

Esboce o gráfico de $f(x) =x^2+6x+10.$ Use completamento de quadrados.

1796

Uma alternativa ao método das frações parciais é calcular integrais da forma

$$\displaystyle \int \dfrac{1}{ax^2+bx} \, dx$$

utilizando a substituição $u=a+\dfrac{b}{x}$. Mostre que com essa substituição a integral se torna:

$$\displaystyle \int \dfrac{1/x^2}{a+b/x} \, dx.$$

1753

Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de $y=x^2$ no intervalo $[0,b]$ é $b^3/3$.
Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.

1179

Mostre que:

$|x-y|<1/2, |x+2|<1/3 \Longrightarrow |y+2|<5/6$
$\sqrt{xy}\leq {\frac{x+y}{2}}$, $\forall x,y\geq 0$.

196

Prove que todo conjunto não-vazio de inteiros limitado superiormente contém um elemento máximo.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

658

Determine um número $0\leq b\leq 2$ tal que a reta $x=b$ divide a região delimitada por $y=\sqrt{4-x^{2}}$ e $y=0$ e $x=0$ em duas regiões de mesma área.

1188

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\log_{2}\left( 2x\right) \log_{3}\left(3x\right) .$

$f'(x) = \dfrac{2 \ln x + \ln 6}{x \ln 2 \ln 3}$.

1566

Em estatística, a função densidade de probabilidade para a distribuição normal é definida por $f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-z^2/2}$ com $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ para números reais $\mu$ e $\sigma>0$ ($\mu$ é a média e $\sigma^2$ é a variância da distribuição). Obtenha os extremos locais de $f$ e determine onde $f$ é crescente ou decrescente. Discuta a concavidade, ache os pontos de inflexão, determine $\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)$ e esboce o gráfico de $f$.

62

Calcule, quando existirem, os seguintes limites (caso um limite tenda a $\pm \infty $ justifique a resposta):

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{\left( x-2\right) ^{3}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\dfrac{5x^{5}+7x^{2}+3x+\pi }{\sqrt{7}x^{5}+4x+2}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{3}\cos \left( \frac{1}{x}\right)e^{x^{2}+1}$

920

Um fabricante de refrigerante quer produzir latas cilíndricas para seu produto. A lata dever ter um volume de $360 ml$. Expresse a área superficial total da lata em função do seu raio e dê o domínio da função.

Sejam $r$ o raio da base do cilindro e $h$ a sua altura. O volume $V$ do cilindro é dado por $V=\pi r^2 h$. Como $V=360$, obtemos $\pi r^2 h=360$, isto é, $h=\dfrac{360}{\pi r^2}$. A área superficial $A$ do cilindro é $A=2 \pi r^2+2 \pi r h$. Substituindo $h$ por $\dfrac{360}{\pi r^2}$ chegamos a $A=2 \pi r^2+2 \pi r \dfrac{360}{\pi r^2}$, ou seja, $A=2 \pi r^2+ \dfrac{360}{r}$. O domínio da função $A(r)$ é $\mathbb{R}^+$.

1175

O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva cúbica? Justifique.

964

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( 1+2x\right)^{\dfrac{1}{x}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x}$

1252

Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=\sin{kx}, k \in R$.

$f^{1000}(x)=k^{1000}\sin{kx}$

46

Sabendo que $\lim\limits_{x\to2} f(x) = 3$ e $\lim\limits_{x\to2} g(x) = -1$, calcule os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\to2}(f+g)(x)$
$\lim\limits_{x\to2}(fg)(x)$
$\lim\limits_{x\to2}(f/g)(x)$
$\lim\limits_{x\to2}f(x)^{g(x)}$

1301

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\cos x-\sin x$ . Para fazê-lo, determine:

Domínio da função
Zeros e inteceptos
Simetrias
Assíntotas horizontais e verticais
Intervalos de crescimento e decrescimento
Pontos de máximo e mínimo
Concavidade
Pontos de inflexão

Dom$\left( f\right) =\mathbb{R}$
$f\left( 0\right) =1$ e $f\left( x\right) =0$ se, e somente se, $\cos x=\sin x$ se, e somente se,
$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ com $k\in\mathbb{Z}$
$f$ é periódica, com período $2\pi$
A função não possui assíntotas verticais (pois é contínua na reta) e tampouco horizontais (pois é periódica)
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right)    & =-\sin x-\cos x=0\text{ se, e somente se,}\\
\cos x & =-\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
\mathbb{Z}\text{.}
\end{align*}
Considerando no período $\left[ 0,2\pi\right] $ temos que
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right)    & >0\text{ se }x\in\left( \frac{3\pi}{4}
,\frac{7\pi}{4}\right) \text{ (intervalo de crescimento)}\\
f^{\prime}\left( x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{3\pi}{4}
)\cup(\frac{7\pi}{4},2\pi]\text{ (intervalo de crescimento)}
\end{align*}
Novamente considerando no período $\left[ 0,2\pi\right] $ temos que $\frac{3\pi}{4}$ é ponto de mínimo e $\frac{7\pi}{4}$ é ponto de máximo.
\begin{align*}
f"\left( x\right)    & =-\cos x+\sin x=0\text{ se, e somente se,}\\
\cos x & =\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
\mathbb{Z}\text{.}
\end{align*}
Considerando no período $\left[ 0,2\pi\right] $ temos que
\begin{align*}
f"\left( x\right)    & >0\text{ se }x\in\left( \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}
{4}\right) \text{ (concavidade para cima)}\\
f"\left( x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{\pi}{4})\cup
(\frac{5\pi}{4},2\pi]\text{ (concavidade para baixo)}
\end{align*}
Esboço do Gráfico:

1735

Seja $f(x)=ax^2+bx+c$, onde $a>0$. Prove que $f(x)\geq 0$ para todo $x$ se, e somente se, $b^2-ac\leq 0$. [Sugestão: ache o mínimo de $f(x)$.]

1690

Existe uma curva continuamente derivável $y=f(x)$ cujo comprimento ao longo do intervalo $0\leq x\leq a$ seja sempre $\sqrt{2}a$?

323

Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:

Mestre Florindo, raizeiro famoso, vende suas garrafas medicinais por 5 reais, na feira de Caruaru.

Se ele vende $q$ unidades, então $R(q) = 5q$, que é a sua função receita.
Se ele tem um custo em torno de $40\%$ de sua receita, o seu custo pode ser estimado pela equação $C(q) = 2q$.
Se, além disso, o mestre gastou $R\$ 900,00$ em materiais para confecção do seu famoso produto, ele deverá vender $300$ garrafas para recuperar o seu custo total.
O lucro do mestre é dado pela função afim $L(q)=5q-900$.

Verdadeiro.
Verdadeiro.
Verdadeiro, pois o lucro total $L(q)$ é $L(q)=R(q)-C(q)-900=3q-900$ e temos que $T(q)=0$ se $q=300$.
Falso, $L(q)=3q-900$.

525

Se o raio de um círculo cresce à taxa de $30 cm/s$, a que taxa cresce a sua área em relação ao tempo, em função do raio? Dica: Use a fórmula da área do círculo.

1124

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^2 f(x)\ dx$
$\int_2^4 f(x)\ dx$
$\int_0^4 f(x)\ dx$
$\int_0^4 5f(x)\ dx$

$\pi$
$\pi$
$2\pi$
$10\pi$

753

Responda os itens:

Dada $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina (em termos de $\varepsilon $ e $\delta $) $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) =L.$ Ilustre elaborando um gráfico para uma função genérica.
Qual é a condição sobre esse limite para que a função seja contínua?

1673

Calcule a integral a seguir:

$\int_{0}^{ln\ 4}{\frac{e^t dt}{\sqrt{e^{2t}+9}}}$

Aproximadamente $0,77116$

1509

Utilizando a aproximação $ln\ 2 \approx 0,7$, pode-se derivar uma regra popular, conhecida como regra dos 70, que diz: "Para estimar quantos anos uma determinada quantia em dinheiro dobre ao ser investida a uma porcentagem $r$ composta continuamente, divida $r$ por $70$". Por exemplo, uma quantia em dinheiro investida a $7\%$ dobrará em cerca de $70/7=10$ anos. Se, em vez disso, você quiser que ela dobre em $5$ anos, deve investí-la a $70/5=14\%$. Mostre a dedução da regra dos 70.

54

Calcule os seguintes limites. Pode ser útil usar a relação de inversão que há em relação às funções logarítmicas e exponenciais (isto é, $\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x$) e/ou gráficos.

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log_3 x$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\ln x$
$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}e^x$

1677

Sociólogos utilizam a expressão "difusão social" para descrever o modo como a informação se espalha por uma população. A informação pode ser um boato, uma novidade cultural, ou notícias sobre uma inovação técnica Em uma população suficientemente grande, o número de pessoas $x$ que tem a informação é tratado como uma função derivável do tempo $t$, e a taxa de difusão é supostamente proporcional ao número de pessoas que têm a informação multiplicado pelo número de pessoas que não a tem, isto é,

$\frac{dx}{dt} = kx\left(N-x\right)$, sendo que $N$ é o número total de pessoas da população.

Suponha então que $t$ seja medido em dias, $k=1/250$ e que duas pessoas deram início a um boato no momento $t=0$ em uma população tal que $N=1000$.

Determine $x(t)$.
Quando metade da população terá ouvido o boato?

1675

Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:

$\int{\frac{dx}{1-x^2}}$

Podemos escrever:

$\frac{1}{1-x^2}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}=\frac{A+Ax+B-Bx}{1-x^2}=\frac{(A+B)+(A-B)x}{2-x^2}$

Portanto, sabemos que $A+B=1$ e $A-B=0$. Temos, portanto, $A=B=\frac{1}{2}$.

Assim, reescrevemos a integral como

$\int\left(\frac{1/2}{1-x}+\frac{1/2}{1+x}\right)\,dx=\frac{1}{2}ln(1+x)+\frac{1}{2}ln(1-x)$

939

Calcule, pela definição, o limite $ \lim_{x\to 4} x^2+x-5 = 15$

Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-4|<\delta$, $|f(x)-15|<\epsilon$.
Considere $|f(x)-15|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-4|$:
\begin{gather*}
|f(x) -15 | < \epsilon \\
|x^2+x-5 -15 |<\epsilon \\
| x^2+x-20 | < \epsilon \\
| x-4 |\cdot|x+5| < \epsilon \\
| x-4 | < \epsilon/|x+5| \\
\end{gather*}
Assumindo $x$ próximo de $4$, podemos assumir, por exemplo, que, $3<x<5$. Portanto
\begin{gather*}
3+5<x+5<5+5 \\
8 < x+5 < 10 \\
\frac{1}{10} < \frac{1}{x+5} < \frac{1}{8} \\
\frac{\epsilon}{10} < \frac{\epsilon}{x+5} < \frac{\epsilon}{8} \\
\end{gather*}
Seja $\delta =\frac{\epsilon}{10}$. Então:
\begin{gather*}
|x-4|<\delta \\
|x-4| < \frac{\epsilon}{10}\\
|x-4| < \frac{\epsilon}{x+5}\\
|x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot|x+5|\\
\end{gather*}
Assumindo $x$ próximo de 4, $x+5$ é positivo e podemos eliminar o módulo do lado direito da equação.
\begin{gather*}
|x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot(x+5)\\
|x^2+x-20| < \epsilon\\
|(x^2+x-5) -15| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que desejávamos provar.

1465

Uma empresa de motores solicitou a fabricação de cilindros com área de seção transversal $A=9cm^2$ (Ou seja, com diâmetro $D=3,385cm^2$). Entretanto, o funcionário que respondeu à solicitação perguntou qual era a margem de erro permitida no diâmetro do cilindro.
Dado que para o correto funcionamento dos motores o cilindro deve ter uma área $A$ tal que $|A-9|<0,01 cm^2$, e que a área da seção transversal do cilindro é dada por $A=\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2$, em qual intervalo deve estar o valor do diâmetro do cilindro para atender tal especificação?

187

Prove que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ é irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

167

Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.

Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.

Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.

Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.

O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:

$f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
$f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
$f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.

O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).

Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = \cos x -\sin x$ no intervalo $[0.7,0.8]$.

A raiz aproximada é $x=0.78$.

Os intervalos utilizados são:

$[0.7,0.8] \quad [0.75,0.8] \quad [0.775,0.8]$

$[0.775,0.7875]\quad [0.78125,0.7875]$

(Alguns passos a mais mostrariam que $0.79$ é melhor, dado que a raiz é $\pi/4 \approx 0.78539$.)

1512

Sejam $f(x)=log_x(2)$ e $g(x)=log_2(x)$:

Utilize a propriedade de quociente de logaritmos para expressar $f(x)$ e $g(x)$ em termos de logaritmos naturais.
Com o auxílio de recursos computacionais, compare os gráficos de $f(x)$ e $g(x)$.

1318

Você está projetando uma lata (um cilindro de revolução) de $1000 cm^3$ cuja manufatura levará o desperdício em conta. Não há desperdício ao se cortar a lateral de alumínio, mas tanto a base como o topo, ambos de raio $r$, serão recortados de quadrados que medem $2r$ de lado.

Escreva uma fórmula que forneça a quantidade total de alumínio usada para fazer uma lata.
Qual a razão $h/r$ para a lata mais econômica?

1658

O custo marginal da impressão de um pôster quando $x$ pôsteres são impressos é
$\frac{dc}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ reais.

Determine $c(100)-c(1)$, ou seja, a soma do custo dos pôsteres 2-100.

678

Encontre as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de $f(x)=\sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2-1}}$.

922

Partindo do gráfico de $h(x)=x^2$, esboce os gráficos de $f(x) =(x-1)^2$ e $ g(x) = (x +1)^2.$

674

Calcule a integral $ \int_{4}^{9}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx$.

687

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{-x^{4}-2x+1}{2x^{4}+2x+3}$.

173

Classifique cada uma das afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas.

Nem todo primo é ímpar.
Todo inteiro par pode ser escrito na forma $n^2+2, n \in N$.
A soma de dois inteiros ímpares é sempre um inteiro par.
Todo inteiro ímpar pode ser escrito na forma $2n-9, n \in N$.
Se $n$ é um inteiro ímpar, então $n^2$ também é ímpar.

V
F
V
V
V

722

Lembrando que o comprimento do traçado de um gráfico de uma função $f(x)$ no intervalo $[a,b]$ é dado por $\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$, calcule o comprimento da circunferência de raio $r=1$.

1298

Utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume de um cone circular reto de altura $h$ e base com raio $r$.

Podemos pensar no cone como a superfície de revolução obtida pela rotação de um segmento de reta. A reta em questão pode ser equacionada, por semelhança de triângulos, como
\[
\frac{y}{x}=\frac{h}{r}\text{ ou }y:=y\left( x\right) =\frac{h}{r}x\text{.}%
\]
O segmento de reta é determinado ao restringirmos $x\in\left[ 0,r\right]$. Observamos que, dado $x\in\left[ 0,r\right] $ temos que a altura $h\left( x\right) $ correspondente ao cilindro contido no cone é $h\left( x\right) =h-y\left( x\right) $. Chamando o volume de $V$, pelo método das cascas cilíndricas, obtemos que:
\begin{align*}
V & =\int_{0}^{r}\left( 2\pi x\right) \left( h-\frac{h}{r}x\right) dx\\
& =\int_{0}^{r}2\pi h\left( x-\frac{x^{2}}{r}\right) dx\\
& =2\pi h\left. \left( \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3r}\right) \right\vert
_{0}^{r}\\
& =2\pi h\left( \frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3r}\right) \\
& =2\pi h\frac{r^{2}}{6}\\
& =\frac{\pi hr^{2}}{3}.
\end{align*}

1314

Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de $8 \times 15 pol$ recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o volume?

1747

Seja

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin(x)}{x}, &\text{ se } x\neq0,\\1, &\text{ se } x=0\end{array}\right..$$

Começando com o polinômio de Taylor de ordem $2n+1$ para $\sin x$, junto com a estimativa para o termo de resto $R_{n,1}(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-a){n+1}$, mostre que:

$$f(x) = \left( 1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!} + R_{2n,0,f}(x) \right),$$

onde:

$$|R_{2n,0,f}(x)| \leq \dfrac{|x|^{2n+1}}{(2n+2)!}.$$

34

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{3}-6x-3}{6x^{2}+28x+2}$.

$\infty$

520

Uma escada de $10$ metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente a uma taxa constante de $0,6 m/s$, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a $6 m$ do solo?

1089

Use suas próprias palavras para definir o significado de $\int{f(x)}\ dx$.

O símbolo $\int{f(x)}\ dx$ é chamado integral indefinida de $f$ e corresponde ao conjunto de todas as antiderivadas da função $f$.

88

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to p}\frac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\to p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p} &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x^2-p^2)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x+p)(x-p)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} (x^2+p^2)(x+p) \\ &=& (p^2 + p^2)(p+p) \\ &=& 4p^3. \end{array}$

78

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} b = b$.

927

A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de $30^0$. Caminhando $23$m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de $60^0$. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio.

1096

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int x^8\ dx$

$1/9x^9+C$

581

Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

$|x+5|\geq \sqrt{2}$
$|x-1|\leq |x+1|$

689

Calcule a integral $\int \cos ^{3}xdx$.

$\frac{3}{4} x \sin (x)+\frac{1}{12} x \sin (3 x)+\frac{3 \cos (x)}{4}+\frac{1}{36} \cos(3 x)$

1583

Dados $f(x) = \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}3]{x}$ e $x_0 = 8,5$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

791

Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

$f\left( x\right) =x^{2},\;p=2$.

$y=4x-4$.

1569

Seja $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x+1, & \text{se } x<2 \\
1, & \text{se } x \geq 2
\end{array}\right.$

$f$ é contínua em $2$. Por quê?
$f$ é derivável em $2$. Por quê?

1. Não.
2. Não

91

Mostre $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}$ não existe.

1324

Ache os extremos da função $f(x)=x+3x^{3/2}$.

1092

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int 3x^3\ dx$

$3/4x^4+C$

1861

Uma bola esférica oca de raio $2m$ tem densidade específica $\dfrac{1}{4}$, de modo que flutua na água deslocando $\dfrac{1}{4}$ de seu próprio volume. Mostre que a profundidade $x$ à qual fica submersa é uma raiz da equação $x^3-6x^2+8=$ e use o método de Newton para calcular essa raiz com duas casas decimais de precisão. Sugestão: o volume de um segmento esférico de altura $h$ retirado de uma esfera de raio $r$ é $\pi h^2 \left(r-\dfrac{h}{3}\right)$.

517

Calcule, pela definição, a derivada das seguntes funções:

$f\left( x\right) =ax+b$
$g\left( x\right) =ax^{2}+bx+c$.

1. $f'(x)=a$.

2.$f'(x)=2ax+b$.

90

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}.$

211

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\frac{|x|}{x}, & & \text{ se } x\neq 0 \\
0, & & \text{ se } x=0
\end{array}
\right.$

$ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$
$f(0)$

$-1$
$1$
Não existe.
$0$

807

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$\left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x$.

$f'(x) = \left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x + \dfrac{e^x \tan x}{2 \sqrt{x}} + e^x(\sqrt{x} + 1) \sec^2 x$.

86

Calcule os limites:

$\lim\limits_{x\to6} \frac{x^2-4 x-12}{x^2-13 x+42}$
$\lim\limits_{x\to0} \frac{x^2+2 x}{x^2-2 x}$
$\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+6 x-16}{x^2-3 x+2}$

$-8$
$-1$
$10$

202

Prove que $\log2+\log3$ é um número irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

Dica: Note que $\log2+\log3=\log6$. Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log6=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.

1594

A função $f(x)=|x|$ tem valor mínimo absoluto quando $x=0$, mesmo que $f$ não seja derivável em $x=0$. Isto é consistente com o Teorema de Fermat sobre máximos e mínimos locais?

324

Um encanador $A$ cobra por serviço feito um valor fixo de $R\$ 60,00$, mais $R\$ 10,00$ por hora de trabalho. Um outro encanador $B$ cobra um valor fixo de $R\$40,00$ mais $R\$15,00$ por hora de trabalho. Considerando o menor custo para a realização de um trabalho, avalie a decisão de se contratar um ou outro encanador.

563

Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}-4}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1266

Calcule a seguinte integral:
$\int{x\cos x dx}.$

$xsinx+cosx+C$

1261

Se $ F(x)= { \int_1^xf(t)dt}$ e $ f(t)={ \int_{x^2}^1\frac{\sqrt{1+u^4}}{u}du}$, determine $F''(2)$.

749

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x}$.

$0$.

1109

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
$f'(x) = 7^x$ e $f(2)= 1$

$7^x/\ln 7 + 1-49/\ln 7$

786

Calcule os valores de $a,b$ e $c$ de modo que as parábolas $y=x^2+ax+b$ e $y=-x^2 +cx$ sejam tangentes uma a outra no ponto $(1,2)$.

1340

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(7x\right) }{\sin \left( 23x\right) }$.

$7/23$.

1346

Mostre que existe um número real que é igual a soma de seu cubo e de seu quadrado mais um. Justifique sua resposta.

Dizer que um número é igual a soma de seu cubo e de seu quadrado mais um significa dizer que $x=x^{3}+x^{2}+1$ ou, equivalentemente, que $f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}-x+1=0.$

Mas $f\left( -2\right) =\left( -2\right)^{3}+\left( -2\right) ^{2}-\left( -2\right) +1=-1$ e $f\left( 0\right)=1$.

Como $f\left( x\right) $ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $-2<x<0$ tal que $f\left( x\right) =0$.

Resolução Alternativa:

Uma vez definida $f(x)$, pode-se ver que $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right)=+\infty$ e $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left( x\right) =-\infty $. Como $f\left( x\right)$ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $x$ tal que $f\left(x\right) =0$.

680

Calcule os seguintes limites laterais (justifique cada passo da resolução):

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.$
$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.$

132

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} 1, & & \text{se } x=0\\ \frac{\sin x}{x}, & &\text{se } x>0 \end{array}\right.$

$x=0$
$x=\pi$

Sim.
Sim.

1714

Defina $\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$ e $\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \infty$. Se estiver muito difícil, escreva em palavras.
Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = \infty$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \infty$ se e somente se $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f\left(\dfrac{1}{x}\right) = \infty$.

539

Prove que a equação $x^3-4x+2=0$ tem exatamente três raízes reais distintas.

Temos, primeiramente:

$f'(x)=3x^2-4$

$f''(x)=6x-4$

É possível ver portanto que $f(x)$ tem dois pontos críticos: $x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Como $f''(x)>0$ para $x>0$ e $f''(x)<0$ para $x<0$, $f(x)$ tem uma concavidade para baixo em $x=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ e uma concavidade para cima em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Temos que $f(0)=2$. Como na concavidade em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ temos $f(x)<0$, sabemos que a primeira raiz está entre $0$ e $\frac{2}{\sqrt{3}}$. É fácil observar que $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\infty$, o que nos mostra uma segunda raiz. Finalmente, como $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$, temos uma terceira raiz para algum valor $x<0$, provando então que a função em questão tem três raízes distintas.

1265

Calcule a seguinte integral:
$\int{x^2e^{2x}dx}.$

$\dfrac{1}{4}e^{2x}(2x^2-2x+1)+C$.

1518

Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ e suponha que exista $M>0$ tal que $|f(x)-f(p)|\leq M|x-p|$ para todo $x$. Prove que $f$ é contínua em $p$.

57

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sqrt x$.

$0$.

750

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\log _{\dfrac{1}{3}}x$.

$\infty$.

1194

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\frac{\left( x^{3}+1\right) ^{5}}{\left(x^{2}+1\right) ^{4}}.$

$\frac{x \left(x^3+1\right)^4 \left(7 x^3+15 x-8\right)}{\left(x^2+1\right)^5}$

1381

Usa-se a técnica do carbono-14 para determinar a idade de espécimes arqueológicos ou geológicos. Este método baseia-se no fato de que o carbono-14, isótopo instável ($^{14}C$) está presente no $CO_2$ na atmosfera. As plantas assimilam carbono da atmosfera; quando morrem o $^{14}C$ acumulado começa a decair, com uma meia vida de aproximadamente 5700 anos. Medindo-se a quantidade de $^{14}C$ que resta em um espécime, é possível determinar quando o organismo morreu. Suponha que um osso fóssil acuse 20\% da quantidade de $^{14}C$ presente em um osso dos dias atuais. Dê uma aproximação da idade do osso fóssil.

657

Seja $f(x)=\frac{1+x}{1-x}$. Mostre que $f\left(\frac{1}{1+x}\right)=\frac{2+x}{x}$, $f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{x-2}{x}$, $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$, $f(1/x)=-f(x)$, $f(f(x))=-1/x$.

1525

Resolva os itens:

Prove que existe $r>0$ tal que $\cos{x}-1<\dfrac{\sin{x}}{x}-1<0$ para $0<|x|<r$.
Calcule $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^2}$.

1862

Use o método de Newton para calcular a raiz positiva de $x^2+x-1=0$ com duas casas decimais de precisão.

535

Encontre $a$ e $b$ tais que a função $f(x)=x^3 +ax^2+b$ tenha um extremo relativo em $(2,4)$.

103

Considere a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} a-x, & \text{se } x<-1 \\ x, & \text{se } -1\leq x<1 \\ \dfrac{2}{x}+b, & \text{se } 1\leq x \end{array} \right. . \end{align*}

Encontre os limites laterais a direita e a esquerda de $f$ nos pontos $1$ e $-1.$
Determine os valores de $a$ e $b$ que tornam $f$ contínua em toda a reta.
Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left(x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\;\infty }f\left( x\right) $.

1564

O efeito da luz sobre a taxa de fotossíntese pode ser descrito por $f(x)=x^a e^{(a/b)(1-x^b)}$ para $x>0$ e constantes positivas $a$ e $b$.

Mostre que $f$ tem um máximo em $x=1$.

Conclua que, se $x_0>0$ e $y_0>0$, então $g(x)=y_0f(x/x_0)$ tem máximo em $g(x_0)=y_0$.

758

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 7}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}$ usando uma estratégia algébrica simples e, em seguida, usando a regra de L'Hospital. Compare os resultados.

33

Calcule os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 5-3x+4x^{2}-x^{3}\right)$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{3}-6x-3}{6x^{3}+2}$

$-\infty$
$5/6$

1290

Calcule a área do conjunto $A$ dos pontos $\left( x,y\right)$ tais que $x^{2}-1\leq y\leq x+1.$

1090

É mais correto se referir a uma antiderivada de $f(x)$ ou a antiderivada de $f(x)$?

O correto é uma antiderivada, já que existem infinitas antiderivadas para uma dada função.

223

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$:

$\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$
$\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$
$\lim\limits_{x \to 3} f(x)$

\begin{tabular}{cc}
$x$ & $f(x)$ \\ \hline
$2.9$ & $132.857$ \\
$2.99$ & $12124.4$ \\
\end{tabular}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =\infty$.
\begin{tabular}{cc}
$x$ & $f(x)$ \\ \hline
$ 3.1$ & $108.039$ \\
$3.01$ & $11876.4$ \\
\end{tabular}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.
Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =\infty$.

1708

Defina ``$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = l$''.

Ache $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{a_n x^n + \ldots + a_0}{b_m x^m + \ldots + b_0}$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} -f(x)$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

564

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}}{x+1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

610

Mostre que $\sqrt{xy}\leq {\frac{x+y}{2}}$$\forall x,y\geq 0$.

Elevando ambos os membros da expressão $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ ao quadrado obtemos $xy\leq \dfrac{x^2+2xy+y^2}{4}$. Simplificando chegamos a $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq0$. Como a última expressão obtida é verdadeira e todas as expressões são equivalentes entre si, segue o resultado. Esse resultado diz que a média geométrica entre dois dois números reais positivos é sempre menor que, ou igual, à média aritmética entre eles.

152

Determine um intervalo de comprimento $\pi/2$ cuja equação $$2x^3+3x^2-\sqrt{|\cos(x)|}=0$$ admita uma solução real.

1701

Prove que $\lim_{x\to a}f(x)=l$ se, e somente se, $\lim_{x\to a}[f(x)-l]=0$. Sugestão: Primeiro, compreenda por qual razão a afirmação anterior é óbvia; então dê uma prova formal.
Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to a}f(x-a)$.
Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}f(x^3)$.
Dê um exemplo em que $\lim_{x\to 0}f(x^2)$ existe, mas $\lim_{x\to 0}f(x)$ não existe.

809

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =4\sec x+\cot x$.

$f'(x) = 4 \sec x \tan x - \csc^2 x$.

Como a derivada da soma de funções é a soma de suas derivadas, temos inicialmente que

\[ (4\sec x+\cot x)^\prime = (4\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime = 4 (\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime .\]

Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada:

\[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\]

De forma análoga, usaremos a regra do quociente para calcular a derivada da função $\cot x$, que é igual a $\frac{\cos x}{\sin x}$:

\[(\cot x)^\prime = \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime = \dfrac{(\cos x)^\prime\cdot \sin(x) - \cos(x)\cdot (\sin x)^\prime}{(\sin x)^2} =\dfrac{(-\sin x) \sin x - \cos(x)(\cos x)}{(\sin x)^2} = -(\csc x)^2,\]

em que usamos a identidade trigonométrica fundamental

\[(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1\]

e a identidade $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ para obter a cossecante.

Substituindo as expressões encontradas para as derivadas de $\sec x$ e de $\cot x$ na primeira igualdade, concluímos que

$f'(x) = 4 \tan(x)\sec(x) - (\csc x)^2$.

537

Seja $g\left( x\right) =\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$, onde $f\left( t\right) $ é a função cujo gráfico encontra-se abaixo.

\begin{equation*} f(t) = \sqrt{|t|}\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \end{equation*}

Determine os pontos de máximo e mínimo local de $g\left( x\right) $. Justifique a sua resposta

1766

Mostre, diretamente da definição, que $\log_a'(x)=\dfrac{1}{x} \cdot log_a\left(\lim\limits_{k \to 0}(1+k)^{1/k}\right)$.

798

Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição:

$f\left( x\right) =\dfrac{x}{x+1}$.

$f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}$.

1244

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\sin\left( \arccos\left( x\right) \right) .$

1922

Ache a área da superfície gerada fazendo girar a curva paramétrica $x=t^2,y=2t,0 \leq t\leq 4$, em torno do eixo $x$.

1600

Um caminhoneiro estava em uma estrada cujo limite de velocidade era de $100km/h$. Ao passar no segundo pedágio, distante $120km$ do primeiro, o caminhoneiro recebeu uma multa, pois levou $30$ minutos para ir do primeiro ao segundo pedágio. Ele tentou contestar a multa, mas não obteve sucesso. Por que a multa foi justa?

627

Uma lata cilíndrica, sem tampa (mas com fundo), é feita para receber um volume de $900ml$ . Encontre as dimensoes que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

1538

Suponha que em uma máquina um pistão se desloque verticalmente tal que sua posição no instante $t$ (medido em segundos) seja dado por:

$$s=A \cos(2 \pi b t ),$$

onde $A>0$ é a amplitude do movimento, e $b>0$ é a frequência (número de vezes que o pistão se desloca de cima para baixo por segundo). Qual o efeito da duplicação da frequência sobre a velocidade, a aceleração e a sobreaceleração do pistão? Relacione a sua resposta com o fato de que uma máquina quebra quando funciona rápido demais.

1900

Ache o comprimento exato do arco formado pela curva $x=\dfrac{1}{8}y^4+\dfrac{1}{4}y^{-2}$ de $y=1$ até $y=4$.

663

Derive a função $g\left( x\right) = \int_{\tan x}^{x^{4}}\dfrac{u^{2}+1}{\sqrt{u^{2}+2u}}du$.

696

Calcule a integral $\int {\dfrac{x}{\left( x-1\right) \left( x+2\right) }}dx$.

191

Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.

Um número racional qualquer tem sempre um numero finito de ordens (casas) decimais.
Um número racional qualquer tem sempre um numero infinito de ordens (casas) decimais.
Um número racional qualquer não pode expressar-se em forma decimal exata.
Um número racional qualquer nunca se expressa em forma de uma decimal inexata.

F
F
F
F

1709

Encontre os seguintes limites em termos do número $\alpha = \displaystyle \lim_{n \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$.

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x}$.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)$.

628

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimento $3$ e $4cm$, se dois lados do retângulo estiverem sobre o cateto.

1527

Uma das propriedades da potenciação é que $a^0=1$, $\forall a \neq 0$. Além disso, também sabe-se que $0^n=0,\quad \forall n>0$. A extensão destas regras para incluir, respectivamente, $a=0$ e $n=0$ levam a resultados conflitantes quanto ao valor de $0^0$(O que não implica em contradição, dado que as propriedades não foram estabelecidas para $a=0$ e $n=0$).

Sendo assim, avalie $x^x$ para $x=0,1;0,01;0,001;\ldots$. Qual o padrão observado? Com o auxílio de recursos computacionais, observe o gráfico de $y=x^x$ para valores positivos de $x$, se aproximando da origem. Para qual valor a função parece convergir para $x=0$?

Sugestão: Procure, no site, o exercício 1528. Compare os resultados obtidos.

682

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$.

1801

Na teoria de eletromagnetismo, o potencial magnético de uma bobina circular em um ponto de seu eixo é dado por:

$$\displaystyle u = \dfrac{2\pi N I r}{k} \int_a^{\infty} \dfrac{dx}{(r^2+x^2)^{3/2}},$$

onde $N$, $I$, $r$, $k$ e $a$ são constantes com significados físicos apropriados. Calcule $u$.

217

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x^2-1, & & \text{ se }  x<-1 \\
x^3+1, & & \text{ se }  -1\leq x\leq 1\\
x^2+1, & & \text{ se }  x>1
\end{array}
\right.$

$ \lim\limits_{x\to -1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to -1^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to -1} f(x)$
$f(-1)$
$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$

0
0
0
0
2
2
2
2

209

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$
$ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$

$1$
$2$
Não existe.
$2$
$0$
Como $f$ não é definida para $x>2$, esse limite é indefinido.

634

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right) = \sin x-\cos x+x^{5},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}

1750

Considere $y=f(x)$, para $x$ real, sendo $f$ derivável até a segunda ordem e tal que, para todo $x$, $f''(x)+f(x)=0$. Seja $g$ uma função tal que $g(x)=f'(x) \sin x - f(x) \cos x$. Mostre que $g$ é constante.

1587

Determine a linearização de $f(x) = \sqrt{x+1} + \sin x$ em $x=0$. Como ela se relaciona com as linearizações individuais de $\sqrt{x+1}$ e $\sin x$ em $x=0$?

790

Dê a definição de derivada de uma função $f$ no ponto $p\in \mathbb{R}.$ O que é a função derivada $f^{\prime }(x)$?

908

Resolva a equação $|2x+1|=3$.

Temos dois casos: $2x+1=3$ ou $2x+1=-3$. Resolvendo cada uma dessas equações de primeiro grau obtemos $x=1$ e $x=-2$.

1813

Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

$\displaystyle f'(x)=x^3(x^2-5)$;
$\displaystyle f'(x)=xe^{-x}$.

913

Determine o conjunto de todos os números reais para os quais a expressão $\frac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt[3]{x-1}}$ está definida.

1496

Resolva os itens:

Verifique que $\sqrt{1+x^2}-|x|=\dfrac{1}{|x|+\sqrt{1+x^2}}$. Conclua que à medida que $|x|$ resce a diferença $\sqrt{1+x^2}-|x|$ se aproxima de zero.
Esboce o gráfico de $y=\sqrt{1+x^2}$.

656

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

$y=|x|+x$
$y=1-x$ se $x\leq 0$ e $y=\sqrt{1-x^{2}}$ se $0\leq x\leq 1$.

519

Enche-se um balão esférico a uma taxa de $4,5$ decímetros cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir $2$ decímetros.

1183

Prove que para todo $x>0$ vale $x+\frac{1}{x}\geq 2$. Para quais números $x>0$ vale a igualdade?

891

Resolva a equação modular $|x-2|-|x-1| =2$.

1320

Jane está em um barco a $2 km$ da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea, localizada $6 km$ ao longo de uma linha costeira retilínea desde o ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela rema a $2 km/h$ e caminha a $5 km/h$. Em que ponto da costa ela deve aportar para chegar à cidade no menor tempo possível?

1180

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre se verdadeiro
ou dê contra-exemplo se for falso.

$|x-y|\leq |x|+|y|,\forall x,y\in \mathbb{R}$.
$x<y\Longrightarrow x^{2}<y^{2}$.
$x<y\Longleftrightarrow 1/y<1/x$.

1502

Esboce as curvas exponenciais transladadas:
$y=1-e^x$ e $y=1-e^{-x}$.

1177

Se $0<x<y$ prove que $\sqrt[3]{y-x}>\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{x}$.

93

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to -1} \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+5}$.

$3/2$

1717

Dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada curva de uma família for ortogonal a cada curva da outra. Faça um esboço de gráfico da família de curvas $xy=c$ e da família $x^2-y^2=k$ no mesmo plano cartesiano, para alguns valores de $c$ e $k$ reais (se necessário, utilize algum recurso computacional). Mostre que estas famílias (de hipérboles) são ortogonais uma da outra. (Sugestão: retas tangentes são perpendiculares em um ponto de interseção se as suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra.)

559

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.

608

Use a desigualdade triangular $\left| a+b\right| \leq \left| a\right|+\left| b\right| $\emph{ }para mostrar que $\left| x-y\right| \geq \left|x\right| -\left| y\right| $ para todo $x,y\in \mathbb{R}$. Em particular, conclua que $\left| x-y^{2}\right| \geq \left| x\right| -y^{2}.$

104

Determine os valores para os quais a função \begin{align*} f(x) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+1,\text{ se }x\leq0 \\ \cos x, \text{ se } 0<x<1 \\ x^{2}+1, \text{ se }1 \leq x \end{array} \right.\end{align*} é contínua. Justifique sua resposta.

1101

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int (2t+3)^2\ dt$

$4/3t^3+6t^2+9t+C$

335

Seja $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$, onde $n>1$ é um inteiro. Prove que $f(x)$ não pode ser expressa como um produto de polinômios não constantes com coeficientes inteiros.

1268

Calcule a seguinte integral:
$\int \cos(x)\ln (\sin (x))dx $.

$sinx(ln(sinx)-1)+C$

1571

Seja $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-x+3, & \text{se } x<3 \\
x-3, & \text{se } x \geq 3
\end{array}\right.$

$f$ é contínua em $3$. Por quê?
$f$ é derivável em $3$. Por quê?

1. Sim

2. Não

945

Mostre, usando a definição de limite, que $\displaystyle \lim_{x\to 5} 3-x = -2$

Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que, quando$|x-5|<\delta$, $|f(x)-(-2)|<\epsilon$.
Considerando $|f(x)-(-2)|<\epsilon$:
\begin{gather*}
|f(x) + 2 | < \epsilon \\
|(3-x) + 2 |<\epsilon \\
| 5-x | < \epsilon \\
-\epsilon < 5-x < \epsilon \\
-\epsilon < x-5 < \epsilon. \\
\end{gather*}
Isso implica que podemos estabelecer $\delta =\epsilon$. Portanto:
\begin{gather*}
|x-5|<\delta \\
-\delta < x-5 < \delta\\
-\epsilon < x-5 < \epsilon\\
-\epsilon < (x-3)-2 < \epsilon \\
-\epsilon < (-x+3)-(-2) < \epsilon \\
|3-x - (-2)| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que buscávamos provar.

60

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas ou forneça um contra exemplo.

Se $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\infty $ e $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0$, então $ \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } =\infty $.
Sejam $p\left( x\right) $ e $q\left( x\right) $ polinômios de grau $m$ e $n$ respectivamente. Se $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{p\left( x\right) }{q\left( x\right) }=0$, então $m\geq n$.
Se $\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f\left( x\right) g\left( x\right) \right) $ existe, então $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) $ existem e $\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f\left( x\right) g\left( x\right) \right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \left( \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \right) .$
Se $f\left( x\right) $ e $g\left( x\right) $ são contínuas em $a$, então $\left( f+g\right) \left( x\right) $ também é contínua em $a$.

1909

A cápsula cônica de reentrada de um veículo espacial é desenhada de tal forma que uma secção transversal tomada $x$ pés da ponta e perpendicular ao eixo de simetria é um círculo de raio $\dfrac{1}{4}x^2$ pés. Ache o volume do cone sabendo que o seu comporimento é de $20$ pés.

1278

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{2x^{2}}{3x^{2}-3}$ . Para fazê-lo, determine:

Domínio da função
Zeros e inteceptos
Simetrias
Assíntotas horizontais e verticais
Intervalos de crescimento e decrescimento
Pontos de máximo e mínimo
Concavidade
Pontos de inflexão

Dom$f=\left\{ x\in\mathbb{R}|x\neq\pm1\right\} $
$f\left( x\right) =0$ se, e somente se, $x=0$
A função é par: $f\left( -x\right) =f\left( x\right) $
Usando L'Hopital ou colocando-se $x^{2}$ em evidêncai no numerador e
denominador, obtemos que
\[
\lim_{x\rightarrow\infty}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow-\infty
}f\left( x\right) =2/3
\]
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left( x\right)    & =-\infty\\
\lim_{x\rightarrow-1^{-}}f\left( x\right)    & =\infty\\
\lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left( x\right)    & =\infty\\
\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right)    & =-\infty
\end{align*}
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right) & =\frac{4x\left( 3x^{2}-3\right)
-2x^{2}\left( 6x\right) }{\left( 3x^{2}-3\right) ^{2}}\\
& =\frac{-12x}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{2}}
\end{align*}
logo a derivada é positiva se $x<0$ e negativa se $x>0$, ou seja $f$ é crescente para $x<0$ e decrescente para $x>0$
$x=0$ é ponto de máximo da função.
A função não tem pontos de inflexão pois $\pm1\notin
Dom\left( f\right) $
\begin{align*}
f"\left( x\right) & =\frac{-12\left( 3x^{2}-3\right) ^{2}+12x2\left(
3x^{2}-3\right) 6x}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{4}}\\
& =\frac{-12\left( 3x^{2}-3\right) +12x2\cdot6x}{\left( 3x^{2}-3\right)
^{3}}\\
& =\frac{-36x^{2}+36+12^{2}x^{2}}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{3}}\\
& =\frac{-12x^{2}+12+48x^{2}}{\left( x^{2}-1\right) ^{3}}\\
& =12\frac{3x^{2}+1}{\left( x^{2}-1\right) ^{3}}
\end{align*}
Observando que $3x^{2}+1>0,\forall x$, temos que $f"\left( x\right) >0$ se, e somente se,
$x^{2}-1>0$ se, e somente se, $x>1$ ou $x<-1$ logo $f$ tem concavidade para cima se
$x\in(-\infty,-1)\cup\left( 1,\infty\right) $ e concavidade par baixo se
$x\in\left( -1,1\right) $.
Esboço do Gráfico:

840

Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado:

$f\left( x\right) =\dfrac{\ln \left( x^{2}\right) +5x^{3}}{1+\cos^{2}x};$ avaliar em $f\,^{\prime }\left( \pi /2\right) .$.

$f'(x) = (15 x^2 + 2/x)/(\cos^2 x + 1) + (2 (5 x^3 + \log(x^2)) \sin x \cos x )/(\cos^2 x + 1)^2$.

$f'(\pi/2) = \dfrac{4}{\pi} + \dfrac{15 \pi^2}{4}$.

664

Derive a função $h\left( x\right) = \int_{\cos 5x}^{x^{7/3}}e^{r}\left( r^{2}+1\right) dr$.

171

Seja $h$ uma função definida em $[-1,1]$, sendo que $h(-1) = -10$ e $h(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $h(c) = 0$? Por quê?

Não é possível dizer: O Teorema do Valor Intermediário só se aplica para funções contínuas, e nada foi afirmado sobre a continuidade de $h$.

827

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =\pi ^{x}$.

$f'(x)=ln(\pi)\pi^x$.

700

Calcule a integral imprópria $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx.$

$\pi/2$.

336

Se $a$, $b$, $c$ são as raízes de $x^3-x-1=0$, calcule o valor de $\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}.$

1576

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=x|x|$.

1464

A Lei de Ohm para circuitos elétricos, afirma que a queda de tensão em um resistor $R$ sob corrente $I$ é $V=RI$. Uma empresa recebeu pedidos de fornecimento de resistores para um circuito como o da figura a seguir. Neste circuito, $V=120V$ e, para atender as especificações de segurança e de funcionamento desejado do circuito, a corrente deve ser $I=5\pm0,1A$. Em que intervalo $R$ deve ficar para que $I$ esteja dentro da margem de segurança?

fig_intervalo_1.reduzida.png

Pela Lei de Ohm, conseguimos escrever que $I=\frac{V}{R}$. Para $V=120V$ fixo, a corrente depende portanto apenas do valor da resistência, sendo inversamente proporcional a esta.

A corrente deve estar no intervalo $4,9 \leq I \ leq 5,1$. Temos que $R_{max}=\frac{120}{I_{min}}\approx 24,49$ e $R_{min}=\frac{120}{I_{max}}\approx 23,53 \Omega$.

Portanto, $23,53 \leq R \leq 24,49$.

1102

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int (t^2+3)(t^3-2t)\ dt$

$t^6/6+t^4/4-3t^2+C$

901

Resolva a equação $x^4-13x^2 + 36 = 0$.

Chamando $x^2=y$, transformamos a equação para:
$y^2 -13y + 36=0$. Resolvendo esta equação:
$\Delta = 13^2-4.1.36 = 25.$
$y = \dfrac{13 \pm \sqrt{25}}{2}.$
Assim as soluções são: $y = 9$ ou $y = 4$.
Substituindo em $y=x^2$:
$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Portanto as soluções são $x=-2$, $x=2$, $x=-3$ e $x=3$.

1703

Uma fonte de imprecisão nos cálculos feitos por computadores é a {\it subtração catastrófica}. Tal erro ocorre quando dois números aproximadamente iguais são subtraídos, e o resultado é usado como parte de outro cálculo.
Um exemplo: $(0,123456789012345-0,123456789012344)\times 10^{15}=1$.
Mas, na calculadora, obteríamos zero como resposta a esse cálculo pois ela armazena apenas 14 dígitos e os 14 primeiros dígitos são idênticos. Por vezes, pode-se evitar a subtração catastrófica fazendo um rearranjo algébrico das fórmulas. De todo modo, o melhor é estar atento à sua ocorrência, portanto, tome cuidado para resolver este exercício.

Seja $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$. Faça uma conjectura sobre o limite de $f$ quando $x \to 0^+$ calculando $f$ nos pontos $x=0,1$, $0,01$, $0,001$, $0,0001$.
Calcule $f$ nos pontos $x=0,00001$, $0,000001$, $0,0000001$, $0,00000001$, $0,000000001$, $0,0000000001$, e faça outra conjectura.
Que falha isso revela sobre o uso da evidência numérica para fazer conjecturas sobre limites?
Se você dispuser de um sistema de computação algébrica, um programa que pode efetuar cálculos numéricos ou simbólicos, use-o para mostrar que o valor exato desse limite é $\dfrac{1}{6}$. (Aqui, eu não posso pedir para calcular o limite à mão, de fato?)

1127

Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por $v(t) = -32t+96$; de uma altura de $64$ pés.

Qual a velocidade inicial do objeto?
Em que momento o objeto tem deslocamento nulo?
Quanto tempo leva para o objeto retornar a sua posição inicial?
Quando o objeto alcançará uma altura de $210$ pés?

$96ft/s$.
$6s$.
$6s$.
Nunca, a altura máxima é $208ft$.

1629

Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$, para $m$ inteiro positivo.

1316

Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e, nos outros três lados, por uma cerca elétrica feita de um fio. Com $800 m$ de fio à disposição, qual é a maior área que você pode cercar e quais são suas dimensões?

174

Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, qual o maior?

Note que todo múltiplo de $5$ pode ser escrito na forma $5n$, onde $n$ é algum número natural. Com essa ideia, podemos representar três múltiplos consecutivos de $5$ por: $5(n-1)$, $5n$ e $5(n+1)$. Como o triplo do menor é igual ao dobro do maior obtemos a equação $15(n-1)=10(n+1)$. Resolvendo essa equação encontramos $n=5$ e o maior número dentre os três é $5 \cdot 6=30$.

916

Determine o conjunto solução da equação $|x|^2+|x|-6=0$.

1553

A corrente $I(t)$ em um circuito elétrico composto de um resistor e um indutor, no instante $t$, é dada por $I(t)=I_0e^{-Rt/L}$, onde $R$ é a resistência, $L$ a indutância e $I_0$ é a corrente no instante $t=0$. Mostre que a taxa de variação da corrente no instante $t$ é proporcional a $I(t)$.

179

Considere os números inteiros ``$abc$'' e ``$bac$'', em que $a$, $b$ e $c$ são algarismos distintos e diferentes de zero e $a>b$. A diferença $abc-bac$ é sempre um múltiplo de determinado número. Que número é esse?

Note que "$abc$"$=100a+10b+c$ e que "$bac$"$=100b+10a+c$. Assim, "$abc$"-"$bac$"$=90a-90b=90(a-b)$, que é um número sempre múltiplo de $90$ e de todos os divisores de $90$.

1802

Sejam $f$ e $g$ funções contínuas tais que $0 \leq f(x) \leq g(x)$, para $x\geq a$. Utilizando conceitos de área, explique informalmente o porquê dos resultados abaixo serem verdadeiros.

Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ diverge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ diverge.
Se $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ converge, então $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ converge e $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_a^{+\infty} g(x) \, dx$.

Obs: estes resultados são chamados de testes de comparação para integrais impróprias.

1730

Suco de maracujá (um bom calmante natural) é derramado a uma taxa uniforme de $20$cm$^3/$s em um copo de vidro em forma de um cone truncado (veja a figura abaixo). Se os raios superior e inferior do copo forem de $4$ e $3$cm e a altura $12$cm, com que rapidez estará subindo o nível de suco quando ele estiver na metade do copo? (Sugestão: estenda o copo para baixo para formar um cone.)

1273

Calcule a seguinte integral:
$\int{\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}dx}.$

646

Seja $f\left( x\right) =\frac{1+x}{1-x}$. Mostre que $f\left( \frac{1}{1+x}\right) =\frac{2+x}{x}$, $f\left( \frac{1}{1-x}\right) =\frac{x-2}{x}$, $f\left( -x\right) =\frac{1}{f\left( x\right) }$, $f\left( 1/x\right)=-f\left( x\right) $ e que $f\left( f\left( x\right) \right) =-1/x$.

1140

Considere a função $f(x)=\sin x.$

Escreva o polinômio de Taylor de $f(x)$ até a terceira ordem.
Usando o polinômio de Taylor, encontre o valor do seguinte limite: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x+2x}{3x^5}.$

1345

Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação $\tan x= 2-4x$ possui uma solução no intervalo $\bigl(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigr).$

96

Calcule os limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\log _{\frac{1}{3}}x$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln \dfrac{x^{2}-1}{x-1}$
$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$

733

Calcule a área no plano entre os gráficos de $f\left( x\right) =x^{3}-x$ e $g\left( x\right) =sen\left( \pi x\right) $ no intervalo $[0,1]$.

Sabemos que, no intervalo $[0,1]$, $g(x)=\sin(\pi x)>0$. Uma análise das raízes de $f(x)=x^3-x$ nos mostra que no intervalo referido, $f(x)<0$. Assim,como não há mudança de sinal de $f(x)-g(x)$, o cálculo da área entre as curvas se resumo ao cálculo da integral definida

$\int_0^1 \left(g(x)-f(x)\right)\,dx= \left.\left(-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}-\frac{\cos (\pi x)}{\pi }\right) \right\vert_0^1=\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi }$

1260

Resolva a equação $e^{ax}=Ce^{bx}$, onde $a\neq b$.

Usando as propriedades básicas da função exponencial temos que:
\begin{align*}
e^{ax} & =Ce^{bx}\\
& \Leftrightarrow e^{-ax}e^{ax}=e^{-ax}Ce^{bx}\\
& \Leftrightarrow1=Ce^{(b-a)x}\\
& \Leftrightarrow\frac{1}{C}=e^{(b-a)x}\\
& \Leftrightarrow\ln\left( \frac{1}{C}\right) =\ln\left( e^{(b-a)x}\right)
=\left( b-a\right) x\\
& \Leftrightarrow\frac{-\ln C}{b-a}=\frac{\ln C}{a-b}=x
\end{align*}

529

Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de $1$ pé por segundo. Quando ele está a $65$ pés acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de $17$ pés por segundo passa por baixo dele. A que taxa a distância $s(t)$ entre a bicicleta e o balão aumentará três segundos depois?

134

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\frac{x^2+5x+4}{x^2+3x+2}, & & \text{se } x\neq -1\\
3, & &\text{se } x=-1
\end{array}\right.$

$x=-1$
$x=10$

Sim.
Sim.

1898

Prove que se $f$ é integrável em $\left[a,b\right]$ e $m \leq f(x) <M$ para todo $x$ em $\left[a,b\right]$, então $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)\mu$ para algum $\mu$ tal que $m < \mu <M$.

1875

Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$.

852

Determine as derivadas das seguintes funções:

$f\left( x\right) =e^{\tan \left( x^{3}\right) }$.
$f\left( x\right) =\left( a\sin x+\cos bx\right)^{3};$
$f\left( x\right) =\dfrac{xe^{-3x}}{1+\cos x}.$

1688

Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.

$y=(3/4)x^{4/3}-(3/8)x^{2/3}+5,\quad 0 \leq x \leq 3$

158

Sejam $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funções contínuas tais que $f(a)<g(a)$ e $f(b)>g(b)$. Mostre que existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c)=g(c)$.

192

Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.

A soma de dois números racionais é sempre um número racional.
A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.

V
F
V

921

Esboce os gráficos de $f(x) =x^2-1$ e $ g(x) = x^2 +1.$

932

Seja $a>0$. Esboce o gráfico das funções $f(x) = \log_a x $ e $ f(x) = \log_\frac{1}{a} x$ num mesmo sistema cartesiano. Qual relação você observa entre os gráficos? Explique.

1507

Demonstre que $x^{ln(2)}=2^{ln(x)}$ utilizando propriedades de logaritmos e exponenciais. Utilizando recursos computacionais, observe os gráficos das duas funções, assim como a diferença entre elas. Qual seria uma explicação para o comportamento observado no gráfico de $f(x)=x^{ln(2)}-2^{ln(x)}$?

837

Determine a derivada da função:

$f\left( x\right) =\left( sen x+\cos x\right) ^{3}.$

$3 (\cos (x)-\sin (x)) (\sin (x)+\cos (x))^2$

1584

Dados $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ e $x_0 = 1,3$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

183

Existem, para doação a escolas, $2000$ ingressos de um espetáculo e $1575$ de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetáculos e todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se todos os ingressos, qual o número mínimo de escolas que poderão ser contempladas nessa doação?

83

Calcule os limites:

$\lim\limits_{x\to\pi} \frac{3x+1}{1-x}$
$\lim\limits_{x\to\pi} \frac{x^2+3x+5}{5x^2-2x-3}$
$\lim\limits_{x\to\pi} \left(\frac{x-3}{x-5}\right)^7$

1774

A respiração tem um ciclo rítmico que consiste em períodos alternados de inalação e exalação. Em condições normais, um adulto tem um ciclo em média a cada $5$ segundos. Denotando por $V$ o volume de ar nos pulmões no instante $t$, a taxa de fluxo é dada por $\dfrac{dV}{dt}$.

Se a taxa máxima de fluxo é $0,6$ L$/$seg, encontre valores de $a$ e $b$ para que a fórmula $\dfrac{dV}{dt}=a \sin (bt)$ modele a respiração com os dados acima.
Utilize a expressão obtida para estimar a quantidade de ar inalada durante um ciclo completo de respiração.

616

Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

$f\left( x\right) =\left\vert 2x^{2}-1\right\vert <1$.

1676

Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:

$\int{\frac{x^2dx}{(x-1)(x^2 + 2x + 1)}}$

1554

O modelo Jenss é considerado geralmente como a fórmula mais precisa para predizer a altura de uma criança em idade pré-escolar. Se $h(x)$ denota a altura (em cm) na idade $x$ (em anos) para $\frac{1}{4} \leq x \leq 6$, então $h(x)$ pode ser aproximada por $h(x)=79,041+6,39x-e^{3,261-0,993x}$.

Preveja a altura e a taxa de crescimento quando uma criança atinge a idade de $1$ ano.
Quando é maior e quando é menor a taxa de crescimento?

541

Determine $a$ para que a equação $x^{3}+3x^{2}-9x+a=0$ admita uma única raiz real.

Primeiramente, calculamos $f'(x)$ e $f''(x)$. Temos então

$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$

$f''(x)=6x+6$

Pela análise de sinal da segunda derivada, vemos que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1$ e uma concavidade para cima para $x>-1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que há um máximo local em $x=-3$ e um mínimo local em $x=1$. Assim, avaliando a função em $x=-3$ tem-se $f(-3) = 27+ a$. Qualquer valor de $a$ que torne $f(-3)<0$ garante que $f(x)$ terá apenas uma única raiz real. Finalmente, portanto, tem-se:

$a<-27$

695

Calcule a integral $\int \frac{1}{x^2-x} dx$.

170

Seja $g$ uma função contínua em $[-3,7]$, sendo que $g(0) = 0$ e $g(2) = 25$. Existe um valor $-3<c<7$ tal que $g(c) = 15$? Por quê?

Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário. Na realidade, é possível ser ainda mais preciso e afirmar não só que um valor $c$ existe em $(3,7)$, mas ainda que existe um valor $x$ contido em $(0,2)$.

145

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ f(k) = \sqrt{1-e^k}$.

$(-\infty,0]$

584

Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

$|2x-3|<5$
$|4-x|\geq 1$

39

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right)$.

$\infty$.

1634

Prove que $\displaystyle\int \dfrac{1}{u\sqrt{a^2+u^2}}du=-\dfrac{1}{a}\ln \left|\dfrac{\sqrt{a^2+u^2}+a}{u}\right|+C$.

1630

Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$, para $m$ inteiro positivo.

1771

Seja $P(x)$ um polinômio de qualquer grau. Mostre que:

$$\displaystyle \int P(x) e^x \, dx = (P - P' + P'' -P''' + \ldots)e^x.$$

1723

Uma escada de $4$m está apoiada em uma parede fazendo um ângulo $\theta$ com o chão. Considerando $h$ como a altura do chão até o ponto em que a escada encosta na parede, expresse $h$ em função de $\theta$ e, então, use $dh$ para estimar a variação em $h$ se $\theta$ varia de $60^\circ$ a $59^\circ$, de $60^\circ$ a $58^\circ$, e de $60^\circ$ a $55^\circ$. Interprete estes resultados.

917

Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função $f(x)=\frac{22x}{500+2x}$, em que $x$ é o número de residências e $f(x)$ é o número de carteiros. Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, qual o número de residências desse bairro, que as receberam?

Substituindo $f(x) = 6$ na expressão da função:

$6 = \dfrac{22 x}{500+2x}$
$\Rightarrow 6(500+2x) = 22x$
$\Rightarrow 3000 + 12x = 22x$
$\Rightarrow 10x = 3000$
$\Rightarrow x = 300$ residências.

1528

Conforme $x$ aumenta, tanto $1/x$ quanto $1/(ln\ x)$ tendem a zero. Dada a função: $f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{1/(ln\ x)}$ avalie $f(x)$ para valores cada vez maiores de $x$. Qual o padrão observado? Com o auxílio de recursos computacionais, observe o gráfico de $f(x)$ para valores grandes de $x$.

Sugestão: Procure, no site, o exercício 1527. Compare os resultados obtidos.

1777

Calcule a integral $\displaystyle \int (1+ \sin t)^9 \cos t \, dt$, utilizando a substituição $u=1+\sin t$.

1599

Um termômetro de mercúrio demorou $14s$ para subir de $-19° C$ para $100° C$ após ser retirado de um congelador e colocado em água fervendo. Considerando que, no termômetro em questão, a distância entre dois graus subsequentes é de $1mm$, demonstre que em algum instante a coluna de mercúrio subia a $8,5mm/s$.

568

Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}-9x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

802

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =x^{2}e^{x}$.

$f'(x)=e^x(x^2+2x)$.

Usando a regra da derivada do produto, temos que

\[f^\prime(x) = (x^2 e^x)^\prime = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime.\]

Como $(x^2)^\prime = 2x$ e $(e^x)^\prime = e^x$, então

\[(x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime = 2x e^x + x^2 e^x.\]

Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que

\[f^\prime (x) = e^x (x^2 + 2x).\]

1722

A aproximação $(1+x)^k \approx 1+kx$ pode ser utilizada para cálculos rápidos.

Mostre porque esta aproximação é boa e use-a para fazer uma estimativa simples de $(1,001)^{37}$.
Compare sua estimativa com a obtida por meio de algum recurso computacional (pode ser uma calculdadora científica).
Agora utilize esta aproximação para calcular $(1,1)^{37}$ e compare com o recurso computacional. O que acontece neste caso? Justifique.

1606

Um peso de massa $m$ é preso a uma bola suspensa a partir de um suporte. O peso é posto em movimento movendo-se o suporte para cima e para baixo de acordo com a fórmula $h=A \cos(\omega t)$, onde $A$ e $\omega$ são constantes positivas e $t$ é o tempo. Se as forças de atrito são desprezíveis, então o deslocamento $s$ do peso em relação à sua posição inicial no instante $t$ é dada por $s=\dfrac{A \omega^2}{\omega_0^2-\omega^2}(\cos(\omega t)-\cos(\omega_0 t))$ com $\omega_0=\sqrt{k/m}$ para uma constante $k$ e com $\omega \neq \omega_0$. Calcule $\lim\limits_{\omega \to \omega_0}s$ e mostre que as oscilações resultantes aumentam em magnitude.

522

Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que, no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a $0,6 km$ ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a $0,8 km$ a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a $20 km/h$. Se a viatura está se deslocando a 60 km/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?

516

Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma função.

Defina continuidade de $f$ no ponto $p\in \mathbb{R}$.
Defina a derivada de $f$ no ponto $p\in \mathbb{R}$. O que é a função derivada $f^{\prime }\left( x\right) ?$
Calcule, pela definição, a derivada $g^{\prime }\left( 0\right) $ onde \begin{equation*} g\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x^{2}\sin \left( \dfrac{1}{x^{2}}\right) & \text{se }x\neq 0 \\ 0 & \text{ se }x=0 \end{array} \right. \end{equation*}

560

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =x-e^{x}$.

48

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

Se $ \lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 5$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.
$\infty/0$ não é uma forma indeterminada.

Verdadeira
Verdadeira

1610

A velocidade, no tempo $t$, de um objeto de massa $m$ em queda é $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k$ é uma constante e $g$ denota a força da gravidade. Calcule $\lim\limits_{m \to \infty}v(t)$ e conclua que $v(t)$ é aproximadamente proporcional ao tempo $t$ se a massa é muito grande.

89

Calcule os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow p} \frac{\sin \left(x^{2}-p^{2}\right) }{x-p}$
$\lim\limits_{y\rightarrow 3} \frac{\sin \left(y^{2}-9\right) }{y-3}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 4} \frac{\cos \left(x^{2}-16\right) }{x-4}$

206

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$

$2$
$2$
$2$
$2$

545

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-6x^2 +9x+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

1895

Mostre que se $f$ é contínua e côncava para cima em $\left[a,b\right]$, então $f_{med}>f\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$, onde $f_{med}$ é o valor médio da função $f$ no intervalo $\left[a,b\right]$.

666

Derive a função $q\left( x\right) = \int_{e^{-2x}}^{\mathrm{tg}x}e^{\theta }\cos \theta d\theta$.

618

Determine o domínio da seguinte função:

$f\left( x\right) =\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

$\left\{ 1\leq x\leq 3\right\} $.

1693

Um projetista, incumbido da tarefa de projetar uma bacia com cerca de $3L$ de capacidade, resolveu fazê-la nos moldes de uma tampa de uma casca esférica de $r=16cm$, com $9cm$ de profundidade, conforme a figura abaixo. Calcule o volume da bacia projetada e veja se a estimativa do projetista foi adequada, dado que a margem de erro do volume estabelecida pela empresa era de $15\%$.

Podemos calcular o volume da bacia através da seguinte integral:

$V=\int_{7}^{16}\pi\left(\sqrt{16^2-x^2}\right)^2\,dx=\left.\left[\pi(256x-\frac{x^3}{3})\right]\right\vert_7^{16}=1053\pi$

Lembrando que $1L=1000cm^3$ e supondo $\pi\approx3$, temos $V=3159cm^3$ (O valor real é próximo de $V=3308cm^3$). Como a margem de erro do projetista era de $15\%$, vemos que este acertou em seus cálculos.

595

Resolva a equação $\left| {\frac{3x+8}{2x-3}}\right| =4$.

Temos duas possibilidades: $\frac{3x+8}{2x-3}=4$ ou $\frac{3x+8}{2x-3}=-4$. Da primeira equação obtemos $3x+8=8x-12$, i. e., $x=4$. Da segunda equação obtemos $3x+8=-8x+12$, que fornece $x=4/11$.

1105

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int e^\pi\ dx$

$e^\pi x+C$

810

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$.

$f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sqrt{x}$ pela função $x+1$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:

\[\left( \dfrac{\sqrt{x}}{x+1} \right)^\prime = \dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - \sqrt{x}\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2}.\]

Sabendo que

\[(\sqrt{x})^\prime = \left(x^{1/2}\right)^\prime = \dfrac{1}{2} x^{\left(\tfrac{1}{2}-1\right)} = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\]

e que

\[(x+1)^\prime = (x)^\prime + (1)^\prime = 1 + 0 = 1,\]

podemos usar essas expressões na regra do quociente e, assim, obter que

\[\dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - (\sqrt{x})\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{x}{2 \sqrt{x}} +\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} -\dfrac{x}{\sqrt{x}}}{(x+1)^2}.\]

Disso, podemos concluir que

\[f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}.\]

1615

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln({\sin(x)})}{\ln({\sin(2x)})}$.

1812

(Teste da Derivada Primeira) Suponha $f$ contínua em um ponto crítico $x_0$.

Se $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)<0$ em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ tem um máximo relativo em $x_0$.
Se $f'(x)<0$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ tem um mínimo relativo em $x_0$.
Se $f'(x)$ tiver o mesmo sinal $\displaystyle [f'(x)>0\ \text{ou}\ f'(x)<0]$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ não tem extremo relativo em $x_0$.

Esboce algumas curvas para mostrar que as três partes do teste da derivada primeira podem ser falsas, sem a hipótese de que $f$ é contínua em $x_0$.

808

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =\dfrac{\sec x}{3x+2}$.

$f'(x) = \dfrac{\tan x \sec x}{3x+2}-\dfrac{3 \sec x}{(3x+2)^2}$.

Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sec x$ pela função $3x+2$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:

\[\left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2}.\]

Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada:

\[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\]

Por outro lado, sabemos que $(3x+2)^\prime = 3$.

Dessa forma, voltando à primeira igualdade e substituindo $(\sec x)^\prime$ e $(3x+2)^\prime$ pelas expressões encontradas, obtemos:

\[\dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2} = \dfrac{\tan(x) \sec(x) (3x+2) - (\sec x)(3)}{(3x+2)^2} .\]

Ou seja,

\[ \left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{\tan(x) \sec(x)}{3x+2} - \dfrac{3\sec(x)}{(3x+2)^2}. \]

102

Mostre que a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-4x}{x^{2}-4}, & \text{se } x\neq \pm 2 \\ 2, & \text{se } x=2 \\ -3, & \text{se } x=-2 \end{array} \right. \end{align*} é contínua em todos os pontos, com exceção do ponto $x=-2$.

1545

Demonstre as seguintes regras de derivação:

$(\sin{x})'=cos{x}$
$(\cos{x})'=-\sin{x}$
$(tg{x})'=sec^2{x}$

149

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua no intervalo $\left[2,6 \right]$ com $f(2)=3$ e $f(6)=5$. Use o Teorema de Weierstrass e o Teorema do Valor Intermediário pra mostrar que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.

1535

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

$x^2e^x\cos{x}$
$e^x \sinh{x} \cos^2{x}$

759

Use o Teorema do Confronto para calcular $\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sqrt{x} \,e^{\sin\left( \pi/x\right) }\text{.}$
Lembre-se de justificar porque o Teorema do Confronto pode ser útil.

218

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
2x^2+5x-1, & & \text{ se } x<0 \\
\sin x, & & \text{ se } x\geq 0
\end{array}
\right.$

$ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$
$f(0)$

$-1$
0
Não existe.
0

184

Prove que $\sqrt{2}$ é irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.
Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

521

A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical de raio $2$ metros se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de $3000$ litros por minuto?

1904

Mostre que o comprimento de arco total da elipse $x=a \cos t$, $y=b \sin t$, $0 \leq t \leq 2\pi$, para $a>b>0$ é dado por $4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1+3\sin^3 t}dt$.

1198

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\frac{\sqrt{x^{3}+1}}{\left( x^{2}+1\right) ^{4}}.$

1304

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função

\begin{equation*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+cx\text{ se }x\leq1\\ \left( cx\right) ^{2}-1=c^{2}x^{2}-1\text{ se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \end{equation*}

1578

Determine a derivada de ordem $n$ de:

$f(x)=e^x$
$f(x)=\cos{x}$
$f(x)=\sin{x}$
$f(x)=\ln{x}$

1899

Prove que se $f$ é contínua em $\left[a,b\right]$ , então $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)$ para algum $\xi \in \left[a,b\right]$.

1770

Calcule $\displaystyle \int x^2 \ln (x+1) \, dx$ utilizando integração por partes.

$\dfrac{1}{18}(6(x^3+1)ln(x+1)-2x^3+3x^2-6x)+C$.

946

Mostre que

o limite de $f(x)=\dfrac{x-2}{|\,x-2|}$, quando $x\to 2$, não existe.
o limite de $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+2, & x\geq -1 \\ 2x+1, & x<-1 \\ \end{array}\right.$, quando $x\to -1$, não existe.

1281

Seja $a$ um número real positivo e suponha que $|x|<a.$ Use o método de frações parciais para obter a fórmula $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) +C.$

555

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =x+\dfrac{1}{x^{2}}$.

77

Seja $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x-4} &\text{ se } x>4\\8-2x&\text{ if } x<4\end{array}\right.$.

Decida se $\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x)$ existe. Se o limite não existe, explique.

1825

Demonstre a Regra de L'Hospital para a indeterminação da forma $\displaystyle\dfrac{0}{0}$.

216

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\cos x, & & \text{ se } x<\pi \\
\sin x, & & \text{ se } x\geq \pi
\end{array}
\right.$

$ \lim\limits_{x\to \pi^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to \pi^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to \pi} f(x)$
$f(\pi)$

$-1$
0
Não existe.
0

162

Use o Teorema do Confronto para demonstrar que $\lim\limits_{x \to 0} \cos{x} = 1$.

97

Calcule os limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}$
$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

1504

Utilizando as leis de exponenciação, simplifique a expressão a seguir:
$9^{1/3}\cdot9^{1/6}$

890

Dadas $a$ e $b$ constantes reais não nulas, esboce um gráfico da família de funções $f(x)=min\{|x-a|,|x-b|\}$.

51

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

$f(x) = \cos (x)$

$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$
$\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$

1669

Calcule a integral a seguir:

$\int{\cos^3 x\sin\ x dx}$

$\dfrac{1}{4}cos^4(x)+C$

540

Prove que a equação $x^{3}-3x^{2}+6=0$ admite uma única raiz real, enquanto $x^{3}+x^{2}-5x+1=0$ admite $3$ raízes.

Para $f(x)=x^{3}-3x^{2}+6$ e $g(x)=x^{3}+x^{2}-5x+1$, queremos mostrar que $f(x)=0$ admite uma única raiz real enquanto $g(x)=0$ admite $3$ raízes. Primeiramente, analisemos as raízes de $f(x)=0$. Temos:

$f'(x)= 3x^2-6x=x(x-2)$

$f''(x)=6(x-1)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<1$ e uma concavidade para cima para $x>1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $f(x)$ apresenta um máximo local em $x=0$ e um mínimo local em $x=2$. Como $f(2)=2$, temos que não há raiz alguma para $x>1$, dado que a função é uma concavidade para baixo neste intervalo. A única raiz real, portanto, é algum valor $x<1$. O conhecimento do máximo local em $x=0$ nos permite inclusive dizer que é algum valor $x<0$.

Repetiremos a análise para $g(x). Temos, portanto:

$g'(x)= 2x^2+2x-5=2(x+5/3)(x-1)$

$g''(x)=6(x+1/3)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $g(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1/3$ e uma concavidade para cima para $x>-1/3$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $g(x)$ apresenta um máximo local em $x=-5/3$ e um mínimo local em $x=1$. Como $g(0)=1$ e $g(1)=-2$, sabemos que há duas raízes reais de $g(x)$ no intervalo aberto $x>0$. Como $g(x)$ claramente tende para $-\infty$ para $x\rightarrow \infty$, o valor de $g(0)$ nos diz que a terceira raiz real está localizada no intervalo $x<0$. O conhecimento do máximo local em $x=-5/3$ nos permite inclusive dizer que é algum valor no intervalo aberto $x<-5/3$

146

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ f(x) = \sin(e^x+x^2)$.

$(-\infty,\infty)$

755

Dê um exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$ que não seja contínua em $0$ mas que $\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}f\left( x\right) .$

1550

Se um raio de luz de intensidade $k$ é projetado verticalmente para baixo na água, então a sua intensidade $I(x)$ à profundidade de $x$ metros é $I(x)=ke^{-1,4x}$.

A que taxa de intensidade o raio de luz está variando em relação à profundidade a $1$ metro?
A que profundidade a intensidade é a metade de seu valor na superfície?

661

Use o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia para calcular a derivada da função $f(x)=\int_1^{\sin x}e^{t^2} dt$. Indique claramente a justificativa de cada passagem e, em seguida, calcule $f'(\pi)$.

681

Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

$-2$

203

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

Seja $-3\leq a\leq 3$ um número inteiro

$ \lim\limits_{x\to a^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to a^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to a} f(x)$
$f(a)$

$a-1$
$a$
Não existe.
$a$

1655

Quais valores de $a$ e $b$ minimizam o valor de

$\int_a^b\left(x^4-2x^2\right)dx$?

638

Seja $f\left( x\right) =\left| x\right| -x$. Mostre que $f\left( x\right) =0$ para $x\geq 0$ e $f\left( x\right) =-2x$ para $x<0$. Faça o gráfico dessa função.

928

Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação $P(t)=P(0) \cdot 2^{-0,25t}$. Sendo $P(0)$ uma constante que representa a população inicial dessa região e $P(t)$ a população $t$ anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da inicial.

Para que essa população fique reduzida à quarta parte da inicial devemos ter:
$P(t) = \dfrac{1}{4} P_0$.
Substituindo a expressão de $P(t)$:
$P_0 2^{-0,25 t} = 0,25 P_0$.
Com essa expressão podemos encontrar o valor de $t$.
$2^{-0,25 t} = 0,25$.
Aplicando $log_2$ dos dois lados:
$\log_2 (2^{-0,25 t}) = \log_2(0,25)$.
Utilizando propriedade de $\log$:
$-0,25 t \log_2 2 = \log_2(0,25)$.
$t = \dfrac{\log_2(0,25)}{-0,25}$.
$t = 8$ anos.

64

Considere a função $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x+2 & x\leq 2 \\ 3x-5 & x>2 \end{array}\right.$. Mostre que $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$ não existe.

1702

Prove que se $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=l$ e $b\neq 0 $, então $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(bx)}{x}=bl$. Dica: Escreva $\dfrac{f(bx)}{x}=b\dfrac{f(bx)}{bx}$.
O que acontece se $b=0$?
O item 1. nos permite determinar $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2x)}{x}$ em termos de $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}$. Determine este limite de um outro modo.

893

Enuncie e prove a desigualdade triangular envolvendo números reais.

142

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ f(x) = e^x$.

$(-\infty,\infty)$

1172

Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções (se existirem).

$y = 6x^3 + 15x^2-12x -5$
$f(x) = - 9x^2 + 14x +15$

1819

Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.
Estude o sinal de $f'(x)$.
Faça um esboço do gráfico de $f$.

1335

Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}.$

Temos que:
$\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}}.$

Lembramos o limite fundamental $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ e, além disso, observamos que
\begin{equation*}
\begin{split}
&\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=0 \\
&\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}=1.
\end{split}
\end{equation*}
Então:
$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}} = 1\cdot\dfrac{3+1}{1+0}=4.$

1662

Uma força de retardamento freia o movimento de uma massa presa a uma mola alinhada com o eixo $y$, de modo que a posição da massa no instante $t$ é
$y=3 e^{-t}\cos\ t,\ \ t\geq 0$.

Calcule o valor médio de $y$ no intervalo $ 0 \leq y \leq 2\pi$

Aproximadamente $0,2383$.

591

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt[4]{{\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-4x-3}}}$ é real.

794

Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

$f\left( x\right) =1/x^{2},\;p=1$.

$y=-2x+3$.

49

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

$f(x) = \frac{1}{e^x+1}$

$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$
$\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$

135

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\frac{x^2-64}{x^2-11 x+24}, & & \text{se } x\neq 8\\
5, & & \text{se } x=8
\end{array}\right.$

$x=0$
$x=8$

Sim.
Não. $\lim_{x\to 8} f(x) = 16/5 \neq f(8) = 5$.

74

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função

$f(x)=\frac{x^2+x-12}{7 x^3-14 x^2-21 x}$.

Assíntota horizontal em $y=0$; assíntotas verticais em $x=-1$ e $x=0$.

736

Considere a região no plano com limite inferior dado por $y=1+x^2$ e limite superior $y=2$. Calcule os volumes quando rotacionamos essa região:

Ao redor do eixo $x$.

Ao redor do eixo $y$.

636

Sejam $f\left( x\right) =\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g\left(x\right) =\sqrt{x}$. Dê o domínio das seguintes funções: $f,$ $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.

911

Sabendo-se que $\frac{x-a}{x^2+1} > \frac{x+a}{x^2}$ para todo $x$ real, determine o intevalo a que pertence o número real $a$.

1822

As curvas de crescimento logístico modelam a taxa de crescimento de uma certa população em função dos fatores ambientais. Em um período prolongado de tempo, a população tende a um valor limite que representa o máximo número de indivíduos que o espaço ou alimento pode sustentar. Estas curvas são da forma $$ y(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ onde $y$ é a população no momento $t$ ($t\geq 0$) e $A$, $k$ e $L$ são parâmetros positivos.

Fig23_2.original.png

Mostre que o ponto de inflexão da curva de crescimento logístico (figura acima) ocorre no tempo $t$ solução da equação $$ \dfrac{L}{2}=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ para $t$, ou seja, no instante $ t= \dfrac{\ln A}{k}$.

1246

Esboce o gráfico da funçao $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

40

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\log _{3}x$.

$\infty$.

792

Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

$f\left( x\right) =x^{2}-x;\;p=1$.

$y=x-1$.

547

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-x^2+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

1790

Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ e suponha que exista $M>0$ tal que $|f(x)-f(p)|\leq M|x-p|$ para todo $x$. Prove que $f$ é contínua em $p$.

1619

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x+\cosh(x)}{x^2+1}$.

$\infty$.

639

Sejam $f(x)=\sqrt{\displaystyle{\frac{x+3}{x-3}}}$ e $g(x)=\displaystyle{\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}}$. Determine o domínio da função $f$ e o domínio da função $g$. É verdade que $f=g$?

1263

Se $f(8)=12$, $f'(x)$ é contínua e ${ \int_1^8 f'(x)dx=30}$, determine o valor de $f(1)$.

99

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow 4}\sqrt{x}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$

645

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

$y=\sqrt{x^{2}-4x+3}$
$y=\sqrt{x^{2}+3x-10}$

1541

Calcule $f'(x)$ sendo

$f(x)=tg{x}$
$f(x)=sec{x}$

1. $f'(x)=sec^2(x)$.

2. $f'(x)=sec(x)tg(x)$.

1746

Mostre que o polinômio de Taylor de $f(x)=\sin(x^2)$ de grau $4n+2$ em $0$ é:$$x^2-\dfrac{x^6}{3!}+\dfrac{x^{10}}{5!}-\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.$$ Dica: se $p$ é o polinômio de Taylor de grau $2n+1$ para $\sin$ em $0$, então $\sin x=P(x) + R(x)$, onde $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{R(x)}{x^{2n+1}}=0$. O que isto implica em $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{R(x^2)}{x^{4n+2}}$?
Calcule $f^{(k)}(0)$ para todo $k$.
Em geral, se $f(x)=g(x^m)$, calcule $f^{(k)}(0)$ em termos das derivadas de $g$ em $0$.

649

Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas.

$f(x)=x^{3}+x$
$f(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}$

$f(-x)=(-x)^{3}+(-x) = -x^3-x = -(x^3+x) = -f(x)$, logo a função é ímpar.

$f(-x)=(-x)^{4}+2(-x)^{3}+(-x)^{2} = x^4-2x^3+x^2$, que não é igual a $f(x)$ nem $-f(x)$, logo a função não é par nem ímpar.

961

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{3}}{\sin x}$

112

Suponha que $\left| f\left( x\right) -f\left( 1\right) \right| \leq \left( x-1\right) ^{2}$. Demonstre que $f\left( x\right) $ é contínua em $1$.

1533

Seja $g(x)=x^3+\dfrac{1}{x}$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto correspondente a $x=1$.

$y=2x$.

1681

Calcule a seguinte integral:

$\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{4-x}}}$

Não converge.

1115

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
$f''(x) = 24x^2+2^x-\cos x$ e $f'(0)= 5$, $f(0) = 0$

$\frac{2 x^4 \ln ^2(2)+2^x+x \ln 2) (\ln 32-1)+\ln
^2(2) \cos (x)-1-\ln ^2(2)}{\ln ^2(2)}$

611

Suponha que $x$ e $y$ sejam notas de provas bimestrais. Mostre que a chamada {\it média geométrica} entre $x$ e $y$, dada por $\sqrt{xy}$, poderia, se adotada como critério avaliativo, prejudicar a nota final de alguns alunos, isto é, elaé menor que ou igual à chamada {\it média aritmética} entre $x$ e $y$, que é dada por $\frac{x+y}{2}.$

Elevando ambos os membros da expressão $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ ao quadrado obtemos $xy\leq \dfrac{x^2+2xy+y^2}{4}$. Simplificando chegamos a $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq0$. Como a última expressão obtida é verdadeira e todas as expressões são equivalentes entre si, segue o resultado. Esse resultado diz que a média geométrica entre dois dois números reais positivos é sempre menor que, ou igual, à média aritmética entre eles. Sendo assim, se o professor adotar como critério de avaliação a média geométrica em vez da aritmética, ele pode prejudicar a nota final dos alunos que tivessem a nota $x$ diferente da $y$, pois quando $x=y$ as duas médias são iguais.

1832

O Princípio de Fermat na óptica estabelece que a luz, viajando de um ponto para outro, segue aquele caminho para o qual o tempo total de percurso é mínimo. Em um meio uniforme, os caminhos de "tempo mínimo" e de "menor distância" vêm a ser iguais; assim sendo, se não obstruída, a luz viaja em linha reta. Suponha que temos uma fonte de luz (ponto $A$), um espelho plano e um observador (ponto $B$) em um meio uniforme. Se um raio de luz deixa a fonte, bate num espelho e vai até o observador, então a sua trajetória consiste de dois segmentos de reta, conforme ilustrado na figura abaixo. De acordo com o princípio de Fermat, a trajetória é tal que o tempo gasto no percurso é mínimo ou, como o meio é uniforme, a trajetória será tal que a distância total percorrida de $A$ para $B$ é a menor possível. Supondo que o mínimo ocorre quando $\displaystyle dt/dx=0$, mostre que o raio de luz irá atingir o espelho em um ponto $P$, tal que o "ângulo de incidência" $\theta_1$ é igual ao "ângulo de reflexão" $\theta_2$.

924

Uma caixa retangular aberta com volume de $2 m^3$ tem a base quadrada. Expresse a área superficial da caixa como função de um dos lados da base.

Sejam $x$ a medida do lado da base da caixa e $z$ sua altura. O volume $V$ dessa caixa é dado por $V=x^2z$. Como $V=2$, temos $z=\dfrac{2}{x^2}$. A área superficial $A$ da caixa (sem tampa!) é $A=x^2+4xz$. Substituindo $z$ por $\dfrac{2}{x^2}$ obtemos $A=x^2+\dfrac{8}{x}$.

1612

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{e^x}{x^n}$.

$\infty$.

1256

O fluxo de um campo magnético através de uma bobina, em função do tempo, é dado por $F=B \cdot l^2 \sin(\omega t)$ , onde $B$ é a intensidade do campo, $l$ o comprimento da espira e $\omega$ a velocidade angular da bobina. Pela "Lei de Faraday'', temos que a tensão $v$ do circuito associado a esse campo é dada por $v=-\frac{dF}{dt}$.

Escreva a equação do fluxo para $B = 20$, $l = 2$ e $\omega= 4$.
Para a equação obtida no item anterior, determine a expressão de v em função de t.

341

Encontre todos os números naturais $k$ para os quais a seguinte afirmação é verdadeira: Se $F(x)$ é um polinômio com coeficientes inteiros que satisfaz $0\leq F(c)\leq k$ para todo $c\in\{0,1,\ldots,k+1\}$ então $F(0)=F(1)=\cdots=F(k+1).$

594

Prove que $\sqrt{6}$ é irracional.

141

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ g(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

$(-\infty,\infty)$

892

Resolva a equação modular $||x-2|-|x-1|+1| =2$.

597

Mostre que $|x|<x^{2}+1,\forall x\in \mathbb{R}$.

204

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$ \lim\limits_{x\to -2^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to -2^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to -2} f(x)$
$f(-2)$
$ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 2} f(x)$
$f(2)$

$2$
$2$
$2$
$0$
$2$
$2$
$2$
Indefinido

200

Prove que $\log2$ é um número irracional.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

Dica: Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log2=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.

1108

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:

$f'(x) = 5e^x$ e $f(0)= 10$

$5e^x+5$

35

Calcule os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\dfrac{5-x}{2x+3}$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+3}$

$-1/2$
$0$

128

Descreva três situações nas quais $\displaystyle \lim\limits_{x\to c}f(x)$ não existe.

A função pode tender a valores diferentes pela esquerda e pela direita, a função pode crescer de maneira ilimitada, ou a função pode oscilar em torno de um valor.

818

Sejam $f\left( x\right) $ e $g\left( x\right) $ funções
diferenciáveis e suponha que esta assuma os seguintes valores:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline x & f\left( x\right) & g\left( x\right) & f^{\prime }\left(
x\right) & g^{\prime }\left( x\right) \\\hline
0 & 1 & 1 & 5 & 1/3 \\\hline
1 & 3 & -9 & -1/3 & -8/3 \\\hline
\end{array}$

Encontre as derivadas de:

$f\left( x\right) -3g\left( x\right) $ em $x=0;$
$f\left( g\left( x\right) \right) $ em $x=0;$
$\left( x^{11}+f\left( x\right) \right) ^{-2}$ em $x=1;$
$f\left( e^{\sin \left( x-1\right) }\right) $ em $x=1;$

$4$
$8/9$
$-1/3$
$-1/3$

6

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 5+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\right)$.

$5$

667

Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de l'Hospital para calcular o limite abaixo, justificando claramente sua resolução.
\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}\right)
\end{equation*}

1806

Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $a$, mas que $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=\lim\limits_{x \to a^-}f(x)$.

1100

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int \sec^2\theta\ d\theta$

$\tan \theta+C$

789

Demonstre que as retas tangentes às curvas $4y^3-x^2y-x+5y=0$ e $x^4-4y^3+5x+y=0$ na origem são perpendiculares.

1122

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^2 f(x)\ dx$
$\int_2^4 f(x)\ dx$
$\int_2^4 2f(x)\ dx$
$\int_0^1 4x\ dx$
$\int_2^3 (2x-4)\ dx$
$\int_2^3 (4x-8)\ dx$

$4$
$2$
$4$
2
$1$
2

1537

Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.

Estude o sinal de $f'(x)$.
Faça um esboço do gráfico de $f$.

1491

Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

$f(x)=2/x$
$f(x)=\dfrac{2}{x-1}$

1591

Em uma esteira transportadora, areia é derrubada a uma taxa de $10$m$^3/$min no topo de um monte em formato de cone. A relação entre a altura do monte e o diâmetro da base é sempre de $3/8$.

Qual a taxa de variação da altura?
Qual a taxa de variação do raio, se o monte tiver $4$m de altura?

1489

O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional? Justifique.

É irracional.

1601

Um atleta percorreu as $26,2$ milhas da maratona de Nova York em $2,2$ horas. Demonstre que em pelo menos duas ocasiões o maratonista correu a exatas $11mi/h$, supondo que as velocidades inicial e final tenham sido zero.

1726

Seja $x$ uma função de $t$, isto é, $x=f(t)$, tal que para $t=0$, $x=1$ e para $t=1$, $x=2$. Suponha que $\dfrac{dx}{dt}>0$ para $t\geq0$; $\dfrac{d^2x}{dt^2}<0$ para $0<t<1$ e $\dfrac{d^2x}{dt^2}>0$ para $t>1$. Como você acha que deve ser o gráfico de $f$? Por quê?

1588

Mostre que a linearização de $f(x)=(1+x)^k$ em $x=0$ é $L(x)=1+kx$.

1556

Os impulsos nervosos no corpo humano caminham ao longo de fibras nervosas que consistem em um axônio, que transporta o impulso, envolvido por uma camada de mielina. A fibra nervosa é semelhante a um cabo cilíndrico isolado, para o qual a velocidade $v$ de um impulso é dada por $v=-k(r/R)^2 \ln(r/R)$, onde $r$ é o raio do cabo e $R$ é o raio de isolamento. Ache o valor de $r/R$ que maximize $v$. Na maioria das fibras nervosas, $r/R$ vale aproximadamente $0,6$.

1754

Mostre que, para toda parábola dada por $y=ax^2$, com $a>0$, temos: $$\displaystyle \int_0^b a x^2 \, dx = a \dfrac{b^3}{3}.$$
Use este fato para provar que a área do setor parabólico delimitado por $y=ax^2$ e a reta $y=ab^2$ é igual a quatro terços da área do triângulo com vértices $(0,0)$, $(b,ab^2)$ e $(-b,ab^2)$. Este resultado é um caso particular do Teorema de Arquimedes sobre a área de um setor parabólico.

1625

Algumas curvas são tão planas que, na prática, o Método de Newton não consegue se aproximar da raiz suficientemente para fornecer uma aproximação útil. Tente utilizar o Método de Newton em $f(x)=\left(x-1\right)^{40}$ com a estimativa inicial $x_0=2$ para observar a qualidade das aproximações. Utilizando recursos computacionais, observe o gráfico da função.

1908

Ache uma reta vertical $x=k$ que divida a área entre as curvas $y=x^2$ e $y=9$ em duas partes iguais.

$x=k=0$

1493

Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

$f(x)=-2+ 1/x$
$f(x)=-\dfrac{1}{x}$

1286

Seja $f:I \rightarrow \mathbb{R}$, contínua, onde I é um intervalo fechado qualquer. Prove que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.

829

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$.

$f'(x)=1-ln(x)$.

108

Mostre que a função $f\left( x\right) =\sqrt[n]{x}$ é contínua em seu domínio.

906

Perguntei a idade de minha professora de Matemática. Ela me contou e falou também a idade da filha, mas disse isso de modo enigmático por meio da expressão: "A soma de minha idade com a da minha filha é 44 anos. Dez anos atrás, eu tinha o triplo da idade dela."

"Traduza" a primeira frase da expressão da professora por uma equação, representando por $x$ a idade da professora e por $y$, a idade de sua filha.
Faça o mesmo com a segunda frase.
Resolva o sistema obtido e dê a idade da professora e a de sua filha.

Seja $x$ a idade da professora e $y$ a idade da filha. Temos, portanto

$x+y=44$
$x-10=3(y-10)$, ou, reescrevendo com as incógnitas do lado esquerdo, $x-3y=-20$
Resolver $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 44 \\ -20 \end{pmatrix}$ nos dá $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 28 \\ 16 \end{pmatrix}$

1805

Dependendo da função e limites de integração, é possível transformar uma integral imprópria em uma integral ``própria'' com mesmo valor, por meio de uma substituição apropriada.

Ilustre esse processo calculando a integral $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \, dx$ por meio da substituição $u=\sqrt{1-x}$.
Tente calcular diretamente a integral (utilize algum recurso computacional se a integral estiver muito difícil). Compare os resultados obtidos.

1683

Calcule o valor de $p$ para a integral a seguir convergir:

$\int_{1}^{2}{\frac{dx}{x\left(ln\ x\right)^p}}$

676

Mostre que a equação $x^2=x$ tem exatamente duas raízes reais.

A equação pode ser escrita na forma $x^2-x=0$, i.e, $x(x-1)=0$. As suas únicas raízes reais são $x=0$ e $x=1$. Uma outra forma de atacar este problema é perceber que os gráficos de $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ se intersectam exatamente duas vezes!

1552

Uma substância radioativa decai de acordo com a fórmula $q(t)=q_0e^{-ct}$, onde $q_0$ é a quantidade inicial da substância, $c$ é uma constante positiva, e $q(t)$ é a quantidade remanescente após o tempo $t$. Mostre que a taxa na qual a substância decai é proporcional a $q(t)$.

1182

Demonstre para todos números reais $a,b$ que $\max(a,b)=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}|b-a|,$ onde $\max(a,b)=a$ se $a\geq b$ e $\max(a,b)=b$ se $a<b$.

75

Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais da função $ f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-5x+11}}{4x-7}$.

1291

Calcule a área no plano entre os gráficos de $f\left( x\right) =x^{3}-x$ e $g\left( x\right) =sen\left( \pi x\right) $ no intervalo $[0,1]$.

1113

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
$f'(x) = \sin x$ e $f(0)= 2$

$-\cos x+3$

177

Considere o número inteiro $P = 100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot \ldots \cdot 200$, produto de $101$ números inteiros sucessivos. Ao escrever-se $P$ como um produto de fatores primos, qual o número de vezes que o fator $7$ aparece?

1784

Prove que a conclusão do Teorema do Valor Médio de Cauchy pode ser escrita da seguinte forma $$ \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(x)}{g'(x)}, $$ sob as hipóteses adicionais de que $g(b)\neq g(a)$ e que $f'(x)$ e $g'(x)$ nunca são simultaneamente nulas sobre $(a,b)$.

735

Calcule o volume da esfera de raio $R$ de duas maneiras diferentes: a primeira através da rotação de um gráfico em torno do eixo $x$ e a segunda através da rotação de um gráfico em torno do eixo $y$.

1166

Encontre, se existirem, o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função $f(x)= \sqrt[3]{x^3-x^2},$ no intervalo $[0,1].$

1549

Se uma droga é injetada em uma corrente sanguínea, sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $C(t)=\frac{k}{a-b}(e^{-bt}-e^{-at})$, para constantes positivas $a$, $b$ e $k$.

Em que instante ocorre a concentração máxima?
Que se pode dizer sobre a concentração após um longo período de tempo?

1762

Prove que $\tanh^2(x)+\dfrac{1}{\cosh^2(x)}=1$.

1814

Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

$\displaystyle f'(x)=x^2(2x+1)(x-1)$;
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{9-4x^2}{\sqrt[3]{x+1}}$.

612

Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

$f\left( x\right) =\left( 2x-3\right) \left( x^{2}+1\right) <0$.

1490

Reescreva a função $f(x)=|x-1|+|x+2|$ usando desigualdades e representação por partes. Esboce o gráfico de $f$

129

Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ a função definida por \begin{equation*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x^{2}, & \text{se }x\leq 1 \\ 2x-1, & \text{se }x>1 \end{array} \right. , \end{equation*} e defina $g\left( x\right) =\lim\limits_{x \rightarrow h}\dfrac{f \left(x+h \right) -f \left( x\right) }{h}$.
Mostre que $g\left( x\right) $ é contínua.

Observe que para $x<1$ temos que

\begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left( x+h\right) ^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2hx+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( 2x+h\right) =2x. \end{eqnarray*}

Já para $x>1$ temos que

\begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( x+h\right) -1\right] - \left[ 2x-1\right] }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2. \end{eqnarray*}

Para $x=1$ temos que

\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( 1+h\right) -1 \right] -1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2 \\ \lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{\left( 1+h\right) ^{2}-1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{2h+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\left( 2+h\right) =2. \end{eqnarray*}

Temos então que $g$ é bem definida também no ponto $x=1$ e, de modo geral, $g$ pode ser expressa por \begin{equation*} g\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} 2x & \text{se }x\leq 1 \\ 2 & \text{se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \end{equation*}

Como as funções $h\left( x\right) =2x$ e $p\left( x\right) \equiv 2$ são contínuas, temos que $g\left( x\right) $ é contínua para todo $x\neq 1$.

Além disto, como $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 1}2x=2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}g\left( x\right) $, segue que $\lim\limits_{x\rightarrow 1}g\left(x\right) =2$. Mas como $g\left( 1\right) =2$, segue que a função $ g\left( x\right) $ também é contínua no ponto $x=1$.

785

Mostre que qualquer reta tangente ao gráfico da hipérbole $xy=a^2$ determina com as assíntotas um triângulo de área igual a $2a^2$.

182

Se duas torneiras, de igual vazão, enchem uma piscina em $5$ horas, quanto tempo três torneiras, de mesma vazão que as primeiras, encherão a piscina?

Como duas torneiras de igual vazão enchem a piscina em $5$ horas, uma única torneira encheria em $10$ horas. Ora, $3$ torneiras de igual vazão trabalhando juntas reduziriam esse tempo de $10$ horas dividindo-o por $3$. A resposta é $10/3$ horas.

1274

Calcule a integral $\int{\frac{\sin 10x}{4+\cos 10x}dx}.$

$\dfrac{1}{10}ln(cos(10x)+4)+C$

960

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{x}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}$

$4$.
$1$.

647

Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas.

$f(x)=\sin x$
$f(x)=\cos x$

A função $\sin x$ é ímpar pois $f(-x) = \sin (-x) = -\sin(x) = -f(x)$.

A função $\cos x$ é par pois $f(-x) = \cos (-x) = \cos(x) = f(x)$.

1125

Seja:

$\int_0^2{f(x)dx} = 5$
$\int_0^3{f(x)dx} = 7$
$\int_0^2{g(x)dx} = -3$ e
$\int_0^3{g(x)dx} = 5$

A partir destes valores, calcule as seguintes integrais:

$\int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx$
$\int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx$
$\int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx$
Encontre valores para $a$ e $b$ tal que:
$\int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0$

$2$
$2$
$22$
$a=-\frac{5}{7}b,\quad b\in\mathbb{R}$

38

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{1-2^{x}}{1-3^{x}}$.

$0$.

838

Derive a função $f\left( x\right) =\left( 3^{2x+3}\right)\sqrt{\cos \left( x^{3}+x^{1/3}\right) }.$

$ 2.3^{2 x + 3} \sqrt{\cos(x^3 + x^{1/3})} \log 3 - (3^{2 x + 3} (1/(3 x^{2/3}) + 3 x^2) \sin(x^3 + x^{1/3}))/(2 \sqrt{cos(x^3 + x^{1/3})})$.

596

Mostre que $x\neq y\Longrightarrow x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.

Note que $(x-y)^2+y^2>0$ sempre que $x\neq y$. Daí, $x^2-2xy+y^2+y^2>0$, que é equivalente a $2x^2+2y^2-x^2-2xy>0$, que, por sua vez, é equivalente a x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.

723

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

$-2$.

123

Classifique a veracidade das afirmações a seguir

Se $f$ é contínua em $[0,1)$ e $[1,2)$, então $f$ é contínua em $[0,2)$.
A soma de funções contínuas também é contínua
Se $f$ é contínua em $[a,b]$, então $\lim_{x\to a^-}f(x) = f(a)$.

Falso
Verdadeiro
Falso

1187

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.$

$f'\left( x\right) =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$

1618

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\ln(tg{x}+\cos{x})}{\sqrt{\ln(x^2+1)}}$.

$1$.

1258

Calcule a seguinte integral:

$\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx.$

1277

Esboce o gŕáfico de $f\left( x\right) =\frac{e^{-x}}{x}$ .Para fazê-lo:

Domínio da função
Zeros e inteceptos
Simetrias
Assíntotas horizontais e verticais
Intervalos de crescimento e decrescimento
Pontos de máximo e mínimo
Concavidade
Pontos de inflexão

Dom$\left( f\right) =\left\{ x\in\mathbb{R}|x\neq0\right\} $
$f\left( x\right) \neq 0,\forall x$
A função não possui simetrias não triviais
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{-x}}{x}=0,\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}-e^{-x}=-\infty$ (este por L'Hôpital), $\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{e^{-x}}{x}=-\infty$ e $\lim_{\times\rightarrow1^{+}}\frac{e^{-x}}{x}=+\infty$
\[
f^{\prime}\left( x\right) =\frac{-e^{-x}x-e^{-x}}{x^{2}}=-e^{-x}\frac
{x+1}{x^{2}}%
\]
e temos que
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right) & >0\Leftrightarrow x<-1\\
f^{\prime}\left( x\right) & <0\Leftrightarrow x>-1
\end{align*}
logo $f$ é crescente para $x<-1$ $\ $e decrescente para $x>-1$ (lembrando que $x\neq0$).
O único ponto crítico de $f$ é $x=-1$, o qual é ponto de máximo, pois a derivada passa de positiva a negativa.
\begin{align*}
f"\left( x\right) & =\frac{\left( e^{-x}x-e^{-x}+e^{-x}\right)
x^{2}-\left( -e^{-x}x-e^{-x}\right) 2x}{x^{4}}\\
& =\frac{e^{-x}x^{3}+2e^{-x}x^{2}+2e^{-x}x}{x^{4}}\\
& =\frac{e^{-x}}{x^{3}}\left( x^{2}+2x+2\right)
\end{align*}

Como $e^{-x}$ e $x^{2}+2x+2$ são sempre positivos, temos que $f"\left( x\right) >0$ se $x>0$ e $f"\left( x\right) <0$ se $x<0$, ou
seja, "concavidade para baixo" se $x<0$ e "concavidade para cima" se $x>0$
Esboço do Gráfico:

554

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+1$.

222

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$:

$\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$
$\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$
$\lim\limits_{x \to 3} f(x)$

\begin{tabular}{cc}
$x$ & $f(x)$ \\ \hline
$2.9$ & $-335.64$ \\
$2.99$ & $-30350.6$ \\
\end{tabular}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.
\begin{tabular}{cc}
$x$ & $f(x)$ \\ \hline
$ 3.1$ & $-265.61$ \\
$3.01$ & $-29650.6$ \\
\end{tabular}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-\infty$.
Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-\infty$.

697

Calcule a integral $\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx$.

1749

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função derivável, tal que $f'(x)=\alpha f(x)$ para todo $x$ e sendo $\alpha$ uma constante diferente de zero. Mostre que existe uma constante $k$ tal que, para todo $x$:

$$f(x) = k e^{\alpha x}$$

1764

Prove que $\sinh'(x)=\cosh(x)$.

161

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua que satisfaz as seguintes propriedades:

$f(n)=0$, para todo inteiro $n$;
Se $f(a)=0$ e $f(b)=0$ então $f \left(\frac{a+b}{2} \right)$.

Mostre que $f(x)=0$, para todo real $x$.

55

Sabemos que limites que tomam a forma indeterminada ``$\infty-\infty$" exigem um pouco mais de trabalho para serem calculados. Calcule, de forma adequada, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{2x^2-7}-x\right)$.

1595

Se uma função par $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?

Ela também terá um máximo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação ao eixo das ordenadas.

1283

Sejam $f$ e $g$ funções contínuas. Demonstre que $h(x)=\max(f(x),g(x))$ é contínua.

1544

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=tg{x}$ no ponto de abscissa $0$.

$y=x$

1270

Calcule a seguinte integral:
$\int \cos ^{3}xdx.$

1791

Calcule $\displaystyle \int \dfrac{1}{2+\sin x} \, dx$.

$\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}$

1608

A média geométrica de dois números reais positivos $a$ e $b$ é definida como $\sqrt{ab}$. Prove que $\sqrt{ab}=\lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x$.

1826

Uma caixa com base quadrada e sem tampa deve ser feita a partir de uma folha de metal, de forma que o seu volume seja de $500$ cm$^3$. Seja $S$ a área da superfície da caixa e $x$ o comprimento de um lado da base quadrada. Mostre que $\displaystyle S=x^2+2000/x$, para $x>0$, e esboce o gráfico de $S$ em função de $x$ para este caso.

139

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ f(t) = \sqrt{5t^2-30}$.

$(-\infty,-\sqrt{6}]\cup [\sqrt{6},\infty)$

1660

Calcule a seguinte integral:

$\int{x\sin{\frac{x}{2}}dx}$.

$4sin(x/2)-2xcos(x/2)+C$

574

Estude a função $f\left( x\right) =e^{\dfrac{x-1}{x^{2}}}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

732

Encontre a área limitada pela elipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\text{.}$

1111

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
$f'(x) = 4x^3-3x^2$ e $f(-1)= 9$

$x^4-x^3+7$

1344

Verifique que a equação $x^{179}+\frac{163}{1+x^2+\sin^2x}=119$ possui pelo menos uma solução.

1030

Utilizando o gráfico, avalie os seguintes limites para a função

$ f(x) = \frac{1}{(x-3)(x-5)^2}$.

$ \lim\limits_{x\to 3^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 3^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 3} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 5^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 5^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 5} f(x)$

$-\infty$
$\infty$
O limite não existe
$\infty$
$\infty$
$\infty$

1516

Dê os domínios e esboce os gráficos de $f+g$ e $\dfrac{g}{f}$ no seguinte caso:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text{se x é racional} \\
-1, & \text{se x é irracional} \end{array}\right.$

e

$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-1, & \text{se x é racional} \\
1, & \text{se x é irracional} \end{array}\right.$

1738

Usando as fórmulas pra $\sin(2x), \cos(2x), \sin(3x)$ e $\cos(3x)$, calcule $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, $tg\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ e $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.

$\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

$tg\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$.

$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$.

$\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

166

Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.

Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.

Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.

Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.

O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:

$f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
$f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
$f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.

O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).

Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = e^x - 2$ no intervalo $[0.65,0.7]$.

A raiz aproximada é $x=0.69$.

Os intervalos utilizados são:

$[0.65,0.7] \quad [0.675,0.7] \quad [0.6875,0.7]$

$[0.6875,0.69375]\quad [0.690625,0.69375]$

1522

Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto $I$ e $p \in I$. Suponha que $f(x) \leq f(p)$ para todo $x \in I$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}=0$, desde que o limite exista.

886

Resolva a equação $|2x+1|=3$.

Se $2x+1\geq0$: $|2x+1| = 2x+1$, logo $2x+1=3 \Rightarrow x = 1$.
Se $2x+1<0$: $|2x+1| = -(2x+1)$, logo $-2x-1=3 \Rightarrow x = -2$.
Portanto $x=1$ ou $x=-2$.

793

Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

$f\left( x\right) =\sqrt{x},\;p=9$.

$y=\dfrac{x+9}{6}$.

526

Uma escada de $8 m$ está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de $2 m/s$, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a $3 m$ da parede?

850

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{1}{2}\cot ^{2}5x+\ln \sin x.$

$y'=\cot(x) - 5 \cot(5 x) \csc^2(5 x)$.

1704

Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos da função $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$, vide exercício ID 1703, e veja o que acontece.
Você esperaria que um problema similar ocorresse nos arredores de $x=0$ para a função $f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}$? Verifique se tal ocorre. Vide questão ID 958.

669

Calcule a integral $\int_0^{1} xe^x dx$.

1

176

O produto das idades de três amigos adolescentes (entre $12$ e $19$ anos) corresponde a $4080$ anos. Qual a soma das três idades, em anos?

Decompondo o número $4080$ em fatores primos encontramos $4080=2^4 \cdot 15 \cdot 17=15 \cdot 16 \cdot 17$. Analisando essa decomposição, obtemos automaticamente que a única possibilidade que atende as exigências do enunciado é que as idades sejam $15,16$ e $17$ anos. A soma dessas idades é $15+16+17=48$ anos.

1920

Mostre que a a área lateral $S$ de um cone circular reto de altura $h$ e raio da base $r$ é $S=\pi r \sqrt{r^2+h^2}$.

114

Dê um exemplo de uma função que seja contínua em todos os pontos da reta, exceto nos pontos da forma $k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

$f(x)=1$, se $x=k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$; $f(x)=0$, caso contrário.

726

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 2^{x}-3^{x}\right) $.

$-\infty$.

660

Considere o gráfico da função $f$:

$f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{c}-2x-2,-4\leq x\leq -2 \\x+4,-2\leq x\leq 1 \\6-x,1\leq x\leq 4\end{array}\right.$

Esboce, a partir deste, os gráficos das seguintes funções:

$y=f\left( x+4\right) $
$y=f\left( x\right) +4$
$y=2f\left( x\right) $
$y=-\dfrac{1}{2}f\left( x\right) +3.$

1731

Em um reservatório cônico (com vértice para baixo), água é evaporada a uma taxa proporcional à área da superfície exposta ao ar. Mostre que a profundidade da água decresce a uma taxa constante que não depende das dimensões do reservatório.

122

De acordo com o gráfico de $f(x)$, avalie a continuidade da função em $x=0$.

$f$ não é contínua em $x=0$.

1720

Se uma massa cai uma distância $s(t)$ em $t$ segundos, e $s'$ é proporcional a $s$, então mostre que $s$ não pode ser uma função da forma $s(t)=ct^2$.
Se $s(t)=\dfrac{a}{2} t^2$, mostre que $s''(t)=a$ (a aceleração é constante) e que $[s'(t)]^2=2as(t)$ (observe que obtivemos isso trocando ligeiramente a expressão de $s(t)$).
Assumindo $a=9,8$m$/$s$^2$ (aceleração da gravidade), quantos segundos você tem para fugir de um lustre em um castelo que cai de um teto de $100$m? Se você não conseguir fugir, quão rápido o lustre vai estar quando te atingir? A que altura estava o lustre quando estava se movendo com metade desta velocidade?

1589

Suponha que $y=f(x)$ seja derivável em $x=a$ e que $g(x)=m(x-a)+c$ seja uma função linear, em que $m$ e $c$ sejam constantes. Se o erro entre $f$ e $g$, $E(x) = f(x)-g(x)$ for suficientemente pequeno perto de $x=a$, poderemos pensar em utilizar $g$ como aproximação linear de $f$ ao invés da linearização $L(x) = f(a)+f'(a)(x-a)$.

Interprete as expressões $E(a)=0$ e $lim_{x\to a} \dfrac{E(x)}{x-a}=0$.
Mostre que impondo as condições $E=0$ e $lim_{x\to a} \dfrac{E(x)}{x-a}=0$, temos $g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$. Interprete o resultado, relacionando com o item anterior.

1546

Demonstre as seguintes regras de derivação:

$(sec{x})'=sec{x} \cdot tg{x}$
$(cotg{x})'=-cossec^2{x}$
$(cossec{x})'=-cossec{x} \cdot cotg{x}$

72

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função

$f(x)=\frac{2 x^2-2 x-4}{x^2+x-20}$.

Assíntota horizontal em $y=2$; assíntotas verticais em $x=-5$ e $x=4$.

1817

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

$x^2e^x\cos{x}$
$e^x \sinh{x} \cos^2{x}$

1548

A posição $s$ de uma partícula em um instante $t \geq 0$, se deslocando em um movimento retilíneo, é dada por:

$$s=10\cos(t+\pi/4).$$

Encontre a posição inicial da partícula. Isto é, a posição em $t=0$.
Quais são os pontos mais distantes da origem que a partícula pode alcançar? (à direita e à esquerda).
Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos pontos do item anterior.
Quando a partícula atinge a origem pela primeira vez? Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração neste instante.

131

Dê um exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$ que não seja contínua em $2$ mas que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left( x\right) .$

1330

Considere a seguinte função:
\begin{equation*}
f(x)= \begin{cases}
(x-b)^2 -2, \quad x\geq 0
a\sin x,\quad x<0.
\end{cases}
\end{equation*}

Encontre os valores de $a$ e $b$ tais que $f(x)$ seja contínua e diferenciável para todo $x\in\mathbb{R}.$
Encontre o valor de $b$ tal que a reta tangente $t$ à curva $f(x)$ no ponto $x=1$ possui inclinação 2. Escreva a equação de $t.$
Encontre o valor de $a$ tal que a reta $s$ normal à reta tangente à $f(x)$ no ponto $x=-\pi$ possui inclinação $-\frac{1}{2}$. Escreva a equação de $s$.

Observamos que para todo $x\geq 0$ a função $(x-b)^2 -2$ é contínua e que para todo $x<0$ também a função $a\sin x$ é contínua. Logo, temos que verificar a continuidade no ponto $x=0$, isto é, deve acontecer que

$\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x),$

ou seja,

$\lim_{x\rightarrow 0^-}a\sin x=\lim_{x\rightarrow 0^+} (x-b)^2 -2.$

A relação anterior implica que $0= b^2-2$, ou seja $b=\pm\sqrt{2}.$ \\

Afim de achar o valor de $a$, encontramos a derivada de $f(x)$. Observamos que, sendo $a\sin x$ e $(x-b)^2 -2$ funções diferenciáveis para todo $x\in \mathbb{R}$, a derivada de $f(x)$ é a seguinte:

$f'(x)= \begin{cases}
2(x-b), \quad x> 0
a\cos x,\quad x<0.
\end{cases}$

Como queremos que $f(x)$ seja diferenciável no ponto $x=0$ também, temos que impor

$\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)= \lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x),$

ou seja,

$\lim_{x\rightarrow 0^-}a\cos x= \lim_{x\rightarrow 0^+}2(x-b).$

A relação anterior implica que $a= -2b$, então as duplas de valores para os quais $f(x)$ é contínua e diferenciável para todo $x\in \mathbb{R}$, são $(a,b)= (2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ ou $(a,b)=(-2\sqrt{2}, \sqrt{2}).$

Usando a função derivada calculada no ponto anterior, temos que $f'(1)= 2(1-b),$ então, como a inclinação da reta tangente deve ser 2, obtemos $2(1-b)=2$ e logo $b= 1$. A equação de $t$ é $y= f(1)+ f'(1)(x-1)$, isto é $y= -2+1\cdot(x-1)=x-3.$

Usando a função derivada calculada no ponto anterior, temos que $f'(-\pi)= a\cos (-\pi)= -a,$ então, como a inclinação da reta normal $s$ é $-\frac{1}{2}$, deve ser $-a=2$, ou seja $a=-2$. A equação de $s$ é $y= f(-\pi)-\frac{1}{2}(x+\pi)$, isto é $y= -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}\pi.$

839

Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado:

$f\left( x\right) =e^{2x^{3}}+\cos \left( \sin \left( 3x\right)\right) ;$ avaliar em $f\,^{\prime }\left( 0\right) $.

$f'(x) = 6 e^{2 x^3} x^2 - 3 \sin(\sin(3 x)) \cos(3 x)$.

$f'(0) = 0$.

212

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
a(x-b)^2+c, & & \text{ se } x<b \\
a(x-b)+c, & & x \text{ se } \geq b
\end{array}
\right.,$
sendo que $a$, $b$ e $c$ são números reais.

$ \lim\limits_{x\to b^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to b^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to b} f(x)$
$f(b)$

$c$
$c$
$c$
$c$

1623

Estime $\pi$ através da aplicação do Método de Newton na equação $tg(x)=0$. Qual cuidado deve ser tomado, neste caso, em relação à escolha do valor inicial?

570

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

106

Mostre, usando a definição, que a função $f\left( x\right) =ax+b$ é contínua em seu domínio.

113

Considere a função real de variável real definida por \begin{align*}
f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-tg x} \end{align*}

Determine o domínio de $f$.
Estude $f$ quanto a continuidade.

81

Suponha que você tenha as seguintes informações sobre duas funções $f$ e $g$:

$\lim\limits_{x\to 1} f(x) = 0$
$\lim\limits_{x\to 1} g(x) = 0$
$\lim\limits_{x\to 1} f(x)/g(x) = 2$

O que você pode dizer sobre o valor de $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ quando $x \approx 1$?

1783

Prove a seguinte generalização do Teorema do Valor Médio: Se $f$ é contínua e diferenciável sobre o intervalo $(a,b)$ e os limites $\displaystyle \lim_{y\to a^+}f(y)$ e $\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)$ existem, então existe $x\in (a,b)$ tal que $$f'(x)=\dfrac{\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)-\lim_{y\to a^+}f(y)}{b-a}.$$ (Sua prova deve começar mais ou menos assim: "Esta é uma conseqüência do Teorema do Valor Médio porque ...".)

1603

O gráfico a seguir mostra a receita mensal da empresa Fidelis Ltda. nos últimos 12 anos. Durante aproximadamente quais intervalos de tempo a receita marginal foi crescente? E decrescente?

931

Esboce o gráfico das funções $f(x) = \log_2 x $ e $ f(x) = \log_\frac{1}{2} x$ num mesmo sistema cartesiano. Qual relação você observa entre os gráficos? Explique.

1657

Demonstre que $2\sqrt{2} \leq \int_{0}^{1}{\sqrt{x+8}dx} \leq 8$.

1637

Na lei logística de crescimento admite-se que, no instante $t$, a taxa de crescimento $f'(t)$ de uma quantidade $f(t)$ seja dada por $f'(t)=Af(t)(B-f(t))$, com $A$ e $B$ constantes. Se $f(0)=C$, mostre que $f(t)=\dfrac{BC}{C+(B-C)e^{-ABt}}$.

580

Esboce neste mesmo gráfico a reta $y=2x+3$. Indique a região delimitada por esta reta e pelo gráfico de $f\left(x\right) $, para $2\leq x\leq 3$. Calcule a área desta região.

914

Qual a solução geral da dupla desigualdade $-2<x^2-3<\frac{1}{5}$?

1752

Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de $y=x$ no intervalo $[0,b]$ é $b^2/2$.
Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.

346

Seja $P(x)$ um polinômio de grau $n$ tal que $P(k)=k/(k+1)$ para $k=0,1,\ldots n$. Encontre $P(n+1)$.

1192

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =x^{3}\ln\left( x^{2}\right) .$

1184

Determine a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\ln \left( 3\cos ^{5}\left( 4x\right)\right) .$

$f'(x) = -20\tan(4x)$.

648

Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas.

$f(x)=\tan x$
$f(x)=x^{2}+1$

1751

Utilizando somas superiores, mostre que a área sob o gráfico de $y=x^3$ no intervalo $[0,b]$ é $b^4/4$.
Mostre o mesmo resultado utilizando somas inferiores.

138

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ h(k) = \sqrt{1-k}+\sqrt{k+1}$.

$[-1,1]$

1740

Escreva o polinômio $p(x)=x^4-12x^3+44x^2+2x+1$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?)

1793

Utilize uma substituição trigonométrica para mostrar que $\displaystyle \int \dfrac{u^2}{\sqrt{u^2 - a^2}} \, du = \dfrac{u}{2}\sqrt{u^2-a^2}+\dfrac{a^2}{2} \ln | u + \sqrt{u^2-a^2} | + C $.

1721

Imagine uma estrada em que o limite de velocidade é especificado a cada ponto dela. Isto é, existe uma certa função $L$ tal que o limite de velocidade no quilômetro $x$ da estrada é $L(x)$. Dois carros, $A$ e $B$, estão viajando nesta estrada; o carro $A$ com posição $a(t)$ e o $B$ com posição $b(t)$.

Escreva uma equação para o fato de que o carro $A$ sempre anda no limite de velocidade. (A resposta não é $a'(t)=L(t)$.)
Suponha que $A$ sempre ande no limite de velocidade, e que a posição de $B$ no tempo $t$ é a posição de $A$ no tempo $t-1$. Mostre que $B$ também anda no limite da velocidade em todo o tempo.
Suponha agora que $B$ anda sempre a uma distância fixa atrás de $A$. Sobre quais condições $B$ sempre irá andar no limite de velocidade?

942

O que há de errado com a seguinte ``definição'' de limite?

"O limite de $f(x)$, quando $x$ tende a $a$, é $K$'' significa que para qualquer $\delta>0$, existe $\epsilon>0$ tal que $|f(x)-K|< \epsilon$, tem-se $|x-a|<\delta$."

$\epsilon$ deve ser apresentado antes, e a restrição $|x-a|<\delta$ implica em $|f(x)-K|< \epsilon$, e não o contrário.

1831

Uma grandeza física desconhecida é medida $n$ vezes, obtendo-se valores $x_1,x_2,\ldots,x_n$, cuja variação depende de fatores imprevisíveis, tais como temperatura, pressão atmosférica etc. Desta forma, o cientista enfrenta o problema de obter uma estimativa $\bar{x}$ de uma grandeza desconhecida $x$. Um método de se obter estimativas está baseado no princípio dos mínimos quadrados, o qual estabelece que a estimativa $\bar{x}$ deve ser escolhida de forma a minimizar a função $$ s= (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots +(x_n-\bar{x})^2, $$que é a soma dos quadrados dos desvios entre a estimativa $\bar{x}$ e os valores medidos. Mostre que a estimativa resultante do princípio dos mínimos quadrados é dada por $$ \bar{x}= \dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n), $$ ou seja, $\bar{x}$ é a média aritmética dos valores observados.

1912

Usando a fórmula do volume de uma calota esférica, encontre o volume do sólido que sobra quando um buraco de raio $\dfrac{r}{2}$ é feito através do centro de uma esfera de raio $r$ e verifique a sua resposta por integração.

1743

Escreva o número $\sin 1/2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-20}$.

1336

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{sen(x-1)}{x^{2}+x-2}$.

$1/3$.

1712

Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N,+\infty)$, os valores da função $f(x)=1/x^2$ estejam no máximo a $0,1$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.
Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N,+\infty)$, os valores da função $f(x)=x/(x+1)$ estejam no máximo a $0,01$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.
Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(-\infty,N)$, os valores da função $f(x)=1/x^3$ estejam no máximo a $0,001$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.
Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(-\infty,N)$, os valores da função $f(x)=x/(x+1)$ estejam no máximo a $0,001$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

653

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

$y=-\sqrt{7-x^{2}}$
$y=1+\sqrt{10-x^{2}}$

1878

Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$.

1910

Ache o volume do sólido cuja base é a região limitada pelas curvas $y=x$ e $y=x^2$ cujas secções transversais perpendiculares ao eixo $x$ são quadrados.

1247

Seja $ f(x)=\frac{x^3}{|x^2-1|}.$

Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.
Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.
Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.

1112

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
$f''(x) = 5$ e $f'(0)= 7$, $f(0) = 3$

$5/2x^2+7x+3$

73

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função $f(x)=\frac{-3 x^2-9 x-6}{5 x^2-10 x-15}$.

Assíntota horizontal em $y=-3/5$; assíntota vertical em $x=3$.

1315

Um retângulo tem sua base no eixo $x$ e seus dois vértices superiores na parábola $y=-x^2$. Qual é a maior área que esse retângulo pode ter? Quais são suas dimensões?

888

Determine o conjunto solução da equação $|x|^2-5|x|+6=0$.

699

Calcule a integral imprópria $\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}dx$

$2$.

589

Se $0<x<y$ prove que $\sqrt[3]{y-x}>\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{x}$.

154

Sejam $f$ uma função contínua num intervalo $I$, $a$ e $b$ valores em $I$. Se $f(a)$ e $f(b)$ são valores com sinais contrários, mostre que a equação $f(x)=0$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $\left[a,b\right]$.

1308

Mostre que existem funções $f(x)$, $g(x)$ com $\lim_{x\rightarrow p} f(x) = \lim_{x\rightarrow p} g(x) =0,$ tais que $\lim_{x\rightarrow p} (f(x)/g(x)) =\lambda$, onde $\lambda$ assume qualquer valor em $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$. Escolha o ponto $p$ como achar mais conveniente.

92

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-2x-3}{x^2-4x+3}$.

$2$

1570

Seja $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2, & \text{se } x \leq 0 \\
-x^2, & \text{se } x>0
\end{array}\right.$

$f$ é contínua em $0$. Por quê?
$f$ é derivável em $0$. Por quê?

1. Sim.
2. Sim.

69

Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x \rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $ \lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.

1285

Quais das seguintes funções f têm descontinuidade removível em $a$? Se a descontinuidade for removível em $a$, encontre a função $g$ que é igual a $f$ para $x\neq a$ e contínua em $a$.

$f(x)=\frac{x^{2}+2x-8}{x+2}$, $a=-2$.
$f(x)=\frac{x-7}{\vert x-7 \vert}$, $a=7$.
$f(x)=\frac{3- \sqrt{x}}{9-x}$, $a=9$.

1137

Escreva a taxa de crescimento de $y$ em termos das taxas de crescimento de $k$, $l$ e $m$ para os seguintes casos. Assuma $\beta$ como uma dada constante.

$y=k^{\beta }$
$y=k/m$

1823

Explique por que a regra de L'Hospital não se aplica ao problema $$ \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2\sin(1/x)}{\sin x}. $$
Ache o limite acima.

1267

Calcule a seguinte integral:
$ \int x^2\sin (\pi x)dx$.

$\dfrac{(2-\pi^2x^2)cos(\pi x+2 \pi xsin(\pi x)}{\pi^3}+C$.

1342

Obtenha as assíntotas verticais de $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$.

$x=1$.

556

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =e^{2x}-e^{x}$.

1624

Suponha que, em uma aplicação do Método de Newton, o valor de $x_0$ escolhido coincidiu com uma raiz. Suponho que $f'(x_0)$ exista e não seja nula, o que acontecerá com $x_1$ e as aproximações subsequentes?

163

Enuncie e demonstre o Teorema do Confronto.

207

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$
$ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$

Não existe.
Não existe.
Não existe.
Indefinido.
$0$
$0$

30

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{4}-2x+1}{4x^{4}+2x+3}$.

$5/4$

1547

Um aluno estudioso está sentado em uma sala de aula, ao lado da parede e de frente para a lousa, como na figura abaixo. A lousa tem $3$m de largura e começa a $1$m da parede à qual o aluno está próximo. Mostre que, se a distância da parede for $x$, o ângulo de visão é

$$\alpha = \cot^{-1} \dfrac{x}{15} - \cot^{-1} \dfrac{x}{3}.$$

1271

Calcule a seguinte integral:
$ \int_0^{2\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{16-x^2}}dx$.

210

Utilizando o gráfico a seguir, avalie os seguintes limites

$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$
$ \lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$

$2$
$2$
$2$
$1$
Como $f$ não é definida para $x<0$, esse limite é indefinido.
$1$

61

Considere a função $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2x &\text{ se} x\ne -1\\0&\text{ se } x=-1\end{array}\right.$.

Trace o gráfico de $f$.
Usando limites laterais, determine se o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -1}f(x)$ existe ou não.

1272

Calcule a seguinte integral:
$ \int_{-\infty}^{e^4}\frac{\ln (x)}{x}dx$.

1178

Mostre que:

$x\neq y\Longrightarrow x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.
$|x|<x^{2}+1,\forall x \in \mathbb{R}$.

889

Dados dois números reais distintos $a$ e $b$, podemos definir uma função $f(x)$ que chamaremos "distância ao conjunto $\left\lbrace a,b \right\rbrace$" da seguinte forma: $f(x)$ é igual ao menor dos números $|x-a|$ ou $|x-b|$. Se $a=-b=1$, construa o gráfico de $f(x)$.

1120

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^1 (-2x+4)\ dx$
$\int_0^2 (-2x+4)\ dx$
$\int_0^3 (-2x+4)\ dx$
$\int_1^3 (-2x+4)\ dx$
$\int_2^4 (-2x+4)\ dx$
$\int_0^1 (-6x+12)\ dx$

3
4
3
0
$-4$
9

1808

Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau) é uma função singular e descontínua, com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Seja $H$ a função de Heaviside. Prove, usando a definição de limite, que $\lim\limits_{x \to 0}H(x)$ não existe.

938

Calcule $f^{-1}$ para a função $f(x)=1+3x.$

Seja $y = f(x)$. Então:
$y = 1 + 3 x$.
Isolando $x$:
$3 x = y - 1$
$x = \dfrac{y-1}{3}$.
Logo:
$f^{-1}(x) = \dfrac{x-1}{3}$.

534

Dois corredores iniciaram uma corrida ao mesmo tempo e terminaram a corrida empatados. Prove que os dois corredores estiveram à mesma velocidade $v^*$, ainda que talvez em instantes diferentes da corrida.

156

Seja $f:[a,b] \to [a,b]$ uma função contínua. Prove que $f$ possui um ponto fixo, ou seja, algum valor de $x$ tal que $f(x)=x$.

101

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow -1}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+1}{x+1}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^{2}-1}$

650

Se $f(x+1)=\frac{x-1}{\pi -x}$, ache $f(x)$ e encontre o domínio de $f$.

1732

Em cada item, esboce o gráfico de uma função contínua $f$ com as propriedades indicadas no intervalo $(-\infty,+\infty)$.

$f$ não tem extremos relativos nem absolutos.
$f$ tem um mínimo absoluto em $x=0$, mas nenhum máximo absoluto.
$f$ tem um máximo e um mínimo absolutos em $x=-5$ e $x=5$, respectivamente.

1804

Encontre os valores de $p$ tais que a integral $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{px} \, dx$ converge.

1106

O que é um problema de valor inicial?

652

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

$y=\frac{2|x+1|}{3}$
$y=\sqrt{5-x^{2}}$

157

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ contínua e tal que $f(x).f(f(x))=1$, para todo $x$. Se $f(1000)=999$, calcule $f(500)$.

1809

Resolva os itens:

Prove que existe $r>0$ tal que $\cos{x}-1<\dfrac{\sin{x}}{x}-1<0$ para $0<|x|<r$.
Calcule $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^2}$.

622

Se um corpo de peso $P$ é arrastado ao longo de um piso horizontal por meio de uma força de grandeza $F$ e orientada segundo um ângulo $\theta$ radianos com o plano do piso, então $F=\frac{kP}{k\sin \theta +\cos \theta}$, onde $k$ é uma constante. Encontre $\cos \theta$, quando $F$ for mínimo.

903

Resolva a equação $\sqrt{9x+4} + \sqrt{3x-4} = 2 \sqrt{3x}$.

1499

Esboce juntas as curvas dadas no plano cartesiano e identifique cada uma com sua equação:
$y=3^x$, $y=8^x$,$y=2^{-x}$, e $y=\left( 1/4 \right)^{x}$.

1833

O princípio de Fermat também explica por que um raio de luz passando entre ar e água sofre um desvio de trajetória (refração). Imagine dois meios uniformes (como ar e água) e um raio de luz viajando de uma fonte $A$ em um meio para um observador $B$ em outro meio (figura abaixo). Sabe-se que a luz viaja a uma velocidade constante em um meio uniforme, porém mais vagarosamente no meio mais denso (como a água) do que no meio menos denso (como o ar). Conseqüentemente, o percurso de menor tempo entre $A$ e $B$ não é necessariamente uma reta, mas a união de dois segmentos $AP$ e $PB$, permitindo assim que a luz tome vantagem de sua maior velocidade no meio mais esparso. A Lei de Refração de Snell estabelece que a trajetória do raio de luz é tal que $$ \dfrac{\sin\theta_1}{\nu_1}= \dfrac{\sin\theta_2}{\nu_2}, $$ onde $\nu_1$ é a velocidade da luz no primeiro meio e $\nu_2$ no segundo, $\theta_1$ e $\theta_2$ são os ângulos de incidência e de refração, respectivamente (figura abaixo). Mostre que isso decorre da hipótese de que o caminho de tempo mínimo ocorre quando $\displaystyle dt/dx=0$.

1670

Calcule a integral a seguir utilizando substituições trigonométricas:

$\int{\frac{dx}{\sqrt{9+x^2}}}$

$sinh^{-1}(x/3)+C$.

1138

Escreva a taxa de crescimento de $y$ em termos das taxas de crescimento das variáveis $k$, $l$ e $m$ para os seguintes casos. Assuma $\beta$ como uma dada constante.

$y=(klm)^{\beta }$
$y=(kl)^{\beta }(1/m)^{1-\beta }$

1593

Suponha que em qualquer instante $t$ (em segundos) a corrente $i$ (em amperes) em um circuito de corrente alternada é $i = 2\ cos\ t+2\ sin\ t$. Qual a corrente de pico (magnitude máxim para este circuito?

76

Dê exemplo de duas funções, $f$ e $g$, para ilustrar que se $g(x)\le f(x)$ para todo $x$ suficientemente próximo de $a$, então $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\le\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$.

1494

Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

$f(x)=1/x^2$
$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$

65

Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2-x+1 & x\leq 3 \\ 2x+1 & x>3 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 3} f(x)$.

7

1697

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva a seguir em torno do eixo indicado.

$y=\sqrt{2}$, $3/4\leq x \leq 15/4$, eixo $x$

677

Mostre que a equação $\sin x +\cos x =0$ tem exatamente duas raízes reais.

1201

Se a velocidade de um objeto em metros por segundo no instante $t$ segundos é $v(t)=-\sin(t)-\cos(t)$, qual a sua posição no instante $t=4$?

$s(t)=\cos(4)-\sin(4)$

1297

Seja $S$ a região entre as curvas $y=x^n$ e $y=x^{n+1}$, onde $n$ é um inteiro, $n\geq 1$.
Considere o sólido $A_r$ obtido pela rotação de $S$ ao redor do eixo $x=r, r>1$ e considere o sólido $B_r$ obtido pela rotação de $S$ ao redor do eixo $y=r, r>1$. \\
Calcule o volume $V(A_r)$ de $A_r$, o volume $V(B_r)$ de $B_r$. Determine, se existir, ${\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{V(A_r)}{V(B_r)}}$.

1689

Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.

$y=\int_{-2}^{x}{\sqrt{3t^4-1}dt},\quad -2 \leq x \leq -1$

1558

A taxa de crescimento $R$ de certo tipo de tumor pode ser relacionada com seu tamanho $x$, de modo aproximado, pela equação $R=r\cdot x\cdot ln(K/x)$, em que $r$ e $K$ são constantes positivas. Mostre que o tumor cresce mais rapidamente quando $x=e^{-1}K$.

543

Seja $f\left( x\right) =x^{3}+3x.$

Estude o sinal de $f^{\prime }(x).$
Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) .$
Utilizando as informações acima esboce o gráfico de $f\left( x\right) .$

1913

A região entre a curva $y^2=kx$ e a reta $x=\dfrac{1}{4}k$ é feita girar em torno da reta $x=\dfrac{1}{2}k$. Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante.

$\frac{\pi k^4}{48}$

544

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

1129

Aproxime numericamente o seguinte limite
$ f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$

\begin{array}{cc}
x & f(x) \\ \hline
2.9 & -0.632 \\
2.99 & -0.6032 \\
2.999 & -0.60032 \\
\end{array}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.
\begin{array}{cc}
x & f(x) \\ \hline
3.1 & -0.5686 \\
3.01 & -0.5968 \\
3.001 & -0.59968 \\
\end{array}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.
As tabelas parecem indicar que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.

1575

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2/x$.

1632

Discuta a seguinte "demonstração'':

Dada a integral $\displaystyle\int (1/x)dx$, seja $dv=dx$ e $u=1/x$, de modo que $v=x$ e $du=(-1/x^2)dx$.
Então $\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$

1691

Determine a área da região no primeiro quadrante limitada à esquerda pelo eixo $y$, abaixo pela curva $x=2\sqrt{y}$, acima à esquerda pela curva $x=\left(y-1\right)^2$ e acima à direita pela reta $x=3-y$.

Primeiramente, devemos escrever as curvas na forma $y=f(x)$, tomando cuidado com o sinal. Após este procedimento, uma análise da figura nos permite resumir o cálculo da área $A$ como $A=A_1+A_2$, sendo que:

$A_1=\int_0^1\left (1+\sqrt{x}-\frac{1}{4}x^2\right)\,dx$

$A_2=\int_1^2\left (3-x-\frac{1}{4}x^2\right)\,dx$

Assim, temos

$A_1=\left.\left(x + \frac{2}{3} x^{3/2} - x^3/12\right)\right\vert_0^1=\frac{19}{12}$

$A_2=\left.\left(-\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+3 x\right)\right\vert_1^2=\frac{11}{12}$

O que nos leva a $A=\frac{5}{2}=2.5$

1737

Usando as fórmulas do seno da soma e do cosseno da soma de dois ângulos, obtenha fórmulas para:

$\sin(2x), \cos(2x), \sin(3x)$ e $\cos(3x)$.

$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$\sin(3x) = \sin x (2 (\cos^2 x - \sin^2 x) + 1)$.

$\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \sin^2 x \cos x$.

583

Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

${\frac{|x-3|}{|x+7|}}>0$
$|x+4|\geq |x+1|$

1530

A resposta do corpo humano a uma dose de um medicamento pode ser representada pela equação:
$$R=M^2\left(\dfrac{C}{2}-\dfrac{M}{3}\right),$$
onde $C$ é uma constante positiva e $M$ a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue. Se $R$ for uma variação da pressão sanguínea, é medida em milímetros de mercúrio; se for variação de temperatura, é medida em graus. Determine a sensibilidade do organismo ao medicamento, $dR/dM$.

643

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

$y=\sqrt[3]{x-2}$
$y=\displaystyle{\frac{1}{x^{2}-4}}$

1189

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\frac{\left( x^{2}-1\right) ^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}.$

$f'(x) = \dfrac{x(x^2-1)(3x^2+5)}{(x^2+1)^{3/2}}$.

1621

Demonstre que, se $h>0$, aplicando o Método de Newton para

$f(x)=\begin{cases}
\sqrt{x},\quad \ \ x \geq 0\\
\sqrt{-x},\quad x <0
\end{cases}$,
a aproximação tende a $x_1=-h$ se $x_0=h$ e a $x_1=h$ se $x_0=-h$.
Desenhe uma figura para mostrar o que ocorre.

1574

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=1/x$.

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, $f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$ e $f'''(x)=-\dfrac{6}{x^4}$.

329

Qual o número de raízes distintas da equação $(x^2 – 14x + 38)^2 = 11^2$?

$3$

694

Calcule a integral $\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$.

$\frac{1}{4}\pi r^4$

1503

Utilizando as leis de exponenciação, simplifique a expressão a seguir:
$16^2\cdot16^{1,75}$

1716

Dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada curva de uma família for ortogonal a cada curva da outra. Faça um esboço de gráfico da família de curvas $x^2+(y-c)^2=c^2$ e da família $(x-k)^2+y^2=k^2$ no mesmo plano cartesiano, para alguns valores de $c$ e $k$ reais (se necessário, utilize algum recurso computacional). Mostre que estas famílias (de círculos) são ortogonais uma da outra. (Sugestão: retas tangentes são perpendiculares em um ponto de interseção se as suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra.)

172

Calcule o limite a seguir:

$\lim\limits_{x \to -\infty } e^x \sin(x)$

Observe que $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ e, portanto, como $e^x \geq 0$, $-e^x \leq e^x \sin(x) \leq e^x$.

Como $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ e $\lim\limits_{x \to -\infty} -e^x = 0$, então, pelo Teorema do Confronto temos $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x \sin(x) = 0$

724

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

$-\infty$.

644

Nos exercícios abaixo determine o domínio máximo de definição de cada uma das funções dadas.

$y=\sqrt{x+5}$
$y=\sqrt{3-2x}$

$[-5,\infty[$
$]-\infty,\frac{3}{2}]$

582

Encontre todos os números reais que satisfazem a cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

$|2x+1|\leq 1$
$\left| {\frac{x}{x^{2}+1}}\right| \leq 1$

1532

Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$.

Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$.

1741

Escreva o número $\sin 1$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-17}$.

743

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por $y=x-x^{2}$ e $y=0$ ao redor da reta $x=2$.

1665

A aceleração de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $a=d^2s/dt^2 = \pi^2\sin\pi t\ m/s^2$ para qualquer $t$. Se $s=0$ e $v=8m/s$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=1\ s$.

1820

Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$. Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$.

1462

Nos primórdios da geração comercial de eletricidade, havia uma disputa bastante acirrada entre duas formas de se distribuir energia elétrica: A disputa entre corrente alternada e corrente contínua. A corrente alternada provou-se mais eficiente para transmissão a longas distâncias, principalmente pela facilidade com que é possível elevar os níveis de tensão (e, portanto, para uma mesma potência transmitida, diminuir a corrente e consequentemente os diâmetros dos fios utilizados na transmissão, implicando em significativa economia).

Com o advento da eletrônica, na segunda metade do século XX, a corrente contínua reconquistou um papel fundamental no dia a dia da sociedade contemporânea, dado que circuitos eletrônicos são alimentados com corrente contínua. A conversão de corrente alternada é feita a partir de dispositivos chamados retificadores. Infelizmente, o funcionamento destes dispositivos foge do escopo desta disciplina.

As figuras abaixo representam uma corrente $i(t)$ antes e depois de um circuito:

Responda:

Dado que a função original seja $i_0(t)= \sin(2\pi\ 60\ t)$, qual a relação entre o seu período $T_0$ e o período da corrente retificada $i_1(t)$?
Quais operações sobre a função $i_0(t)$ você realizaria para obter $i_1(t)$?
Qual o valor médio, em um período, de $i_0(t)$? Qual seria sua estimativa para o valor médio de $i_1(t)$?

847

Calcule a derivada da função:

$y=e^{x^{x}}$.

$y'=e^{x^x} x^x (\log x + 1)$.

688

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$.

1582

Dados $f(x) = 1+x$ e $x_0 = 8,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

806

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =e^{x}\sin x\cos x$.

$f'(x) = \dfrac{1}{2} e^x ( \sin (2x) + 2 \cos (2x))$.

1254

Determine a derivada de ordem $999$ da função $f(x)=\sin(x)+\cos(x)$.

1292

Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pela curva $y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}.$

36

Calcule os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{3}+2}\right)$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+2}\right)$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x+2}\right)$

$-\infty$
$0$
$\infty$

795

Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$:

$f\left( x\right) =\sqrt[3]{x},\;p=1$.

$y=\dfrac{x+2}{3}$.

1859

Calcule $\sqrt{5}$ com duas casas decimais de precisão, resolvendo a equação $x^2-5=0$ e use esse resultado na fórmula quadrática para obter as raízes de $x^2+x-1=0$.

1734

A trajetória de uma mosca é descrita pelas seguintes equações de movimento $$x=\dfrac{\cos t}{2+\sin t}, \quad y=3+\sin(2t)-2\sin^2t\quad (0\leq t\leq 2\pi).$$

Quais são os pontos mais alto e mais baixo do vôo?
A que distância à esquerda e à direita da origem ela voa?

614

Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

$f\left( x\right) =\left\vert x-2\right\vert +\left\vert x-1\right\vert >1$.

538

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}+3}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

621

Um funil de volume especificado deve ter a forma de um cone circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da base para que a quantidade de material empregado em sua fabricaçao seja a menor possível.

801

Ache uma fórmula para a soma $1+2x+3x^2 +\cdots +nx^{n-1}$.

$\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}$, $x \neq 1$. Se $x=1$, a soma dá $\dfrac{n(n+1)}{2}$.

842

Calcule a derivada da função:

$y=\sqrt{1+\sqrt{x}}$.

$y'=\dfrac{1}{4\sqrt{\sqrt{x}+1}\sqrt{x}}$.

751

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln \dfrac{x^{2}-1}{x-1}$.

$ln2$.

42

Determine todas as assíntotas horizontais da função $f(x) = \frac{x^2-1}{-x^2-1}$.

$y=-1$.

542

Mostre que um polinômio de terceiro grau $p\left( x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\neq 0$) sempre possui uma raiz real. Ilustre através de contra-exemplo que isto não é válido para polinômios de grau par, ou seja, para todo $n=2k$ par, existem polinômios de grau $n$ que não possuem raiz real.

1245

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\arcsin\left( \cos\left( x\right) \right) .$

-\frac{\sin (x)}{\sqrt{1-\cos ^2(x)}}

1300

Como o parabolóide é obtido pela rotação ao redor do eixo $y$ temos que o raio $r:=d/2=4$ corresponde a variação de $x$ e a altura corresponde a variação de $y$, ou seja, para $x=4$ devemos ter $y=ax^{2}=4$ donde obtemos que $a=y/x^{2}=4/4^{2}=1/4$, e consideramos a parábola $y=\frac{x^{2}}{4}$.

Como o parabolóide é obtido pela rotação ao redor do eixo $y$ devemos considerar $x$ como funçao de $y$, ou seja, $x=x\left( y\right) =2\sqrt{y}$. Temos então que:
\begin{align*}
x^{\prime}\left( y\right) & =\frac{1}{\sqrt{y}}\\
\sqrt{1+\left( x^{\prime}\left( y\right) \right) ^{2}} & =\sqrt
{1+\frac{1}{y}}=\frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt{y}}%
\end{align*}
Temos então que a área $S$ da superfície é dada por:
\begin{align*}
S & =\int_{0}^{4}2\pi\left( 2\sqrt{y}\right) \frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt{y}%
}dy\\
& =4\pi\int_{0}^{4}\sqrt{y+1}dy
\end{align*}
Substituindo $u=y+1,~du=dy$ obtemos:
\begin{align*}
S & =4\pi\int_{1}^{5}\sqrt{u}du\\
& =4\pi\frac{2}{3}\left. u^{3/2}\right\vert _{1}^{5}\\
& =\frac{8\pi}{3}\left( 5^{3/2}-1\right)
\end{align*}

1797

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{10x^2+9x+1}{2x^3+3x^2+x} \, dx$.

804

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:
$f\left( x\right) =\dfrac{1+e^{x}}{1-e^{x}}$.

$f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}$.

Queremos calcular a derivada da divisão da função $1+e^x$ pela função $1-e^x$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:

\[\left( \dfrac{1+e^x}{1-e^x} \right)^\prime = \dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2}.\]

Como

\[(1+e^x)^\prime = (1)^\prime + (e^x)^\prime = 0 + e^x = e^x\]

e, analogamente,

\[(1-e^x)^\prime = -e^x,\]

temos então que

$\dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x (1-e^x)-(1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x(1-e^x)+e^x(1+e^x)}{(1-e^x)^2}$.

Para simplificar o numerador, colocamos o fator comum $e^x$ em evidência: $e^x(1-e^x+1+e^x) = 2e^x$. Portanto, concluímos que

\[f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}.\]

168

Seja $f$ uma função contínua em $[-1,1]$ sendo que $f(-1) = -10$ e $f(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $f(c) = 11$? Por quê?

Não se pode dizer. O Teorema do Valor Intermediário apenas se aplica, neste caso, para valores entre $-10$ e $10$; como $11$ não pertence a este intervalo, o teorema não nos permite afirmar nada sobre a possibilidade da existência de $c$.

343

Encontre todos os pares de inteiros $m,n\geq 3$ tais que existem infinitos inteiros positivos $a$ para os quais

$\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$ é um inteiro.

1742

Escreva o número $\sin 2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-12}$.

1514

Dê os domínios e esboce os gráficos de $f+g$ e $\dfrac{g}{f}$ nos seguintes casos:

$f(x)=1$ e $g(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}$.
$f(x)=1$ e $g(x)=\sqrt{x-1}$.

1029

Utilizando o gráfico, avalie os seguintes limites para a função

$f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$

$ \lim\limits_{x\to -1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to -1^+} f(x)$

$\infty$
$\infty$

1773

Os gráficos das equações $y=e^x$, $y=0$, $x=0$ e $x=\ln 3$ formam uma região delimitada no plano. Calcule o centroide dessa região.

1776

Calcule a integral $\displaystyle \int (5x-1)^2 \, dx$ elevando ao quadrado e depois integrando as potências de $x$.
Calcule agora a integral utilizando a substituição $u=5x-1$.
As duas respostas obtidas são iguais? São equivalentes de alguma forma? Justifique.

1705

Se você fosse um professor e seu(sua) aluno(a) te perguntasse ``Por que $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$?''

Como você responderia com palavras?
Que bibliografia você recomendaria?
Qual a demonstração formal?

1287

Determine os intervalos para os quais a função
\begin{equation*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+1\text{ se }x\leq0\\ \cos x\text{ se }0<x<1\\ x^{2}+1\text{ se }1\leq x \end{array} \right. \end{equation*} é contínua. Justifique sua resposta.

As funções $x^{2}+1$ e $\cos x$ são ambas contínuas e por isto $f\left( x\right) $ é contínua para todo $x\neq0,1$. É necessário verificar a continuidade nos pontos $x=0$ e $x=1$.

Para $x=0$ temos que $\lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\left( x^{2}+1\right) =1$ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\cos x=1$, logo $f\left( x\right) $ é contínua em $x=0$, pois ambos oslimites laterais existem, são iguais e coincidem com o valor da função no ponto.

Para $x=1$ temos que $\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\cos x=\cos\left( 1\right) $ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(x^{2}+1\right) =2$, e como $\cos\left( 1\right) \neq2$ temos que $f\left(x\right) $ não é contínua em $x=1$, pois apesar dos limites laterais existirem estes são distintos.

897

Esboce o gráfico da função $f(x)=|x^3+3x^2+3x-2|$.

659

Mostre que a área $A$ de um círculo de raio $r$ é $A=\pi r^{2}$.

918

Para tranformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula $C=\dfrac{5(F-32)}{9}$, em que $F$ é o número de graus Fahrenheit e $C$ é o número de graus centígrados.

Transforme $35$ graus centígrados em graus Fahrenheit.
Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados?

739

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
$y=x^{2},0\leq x\leq 2,y=4,x-0$ ao redor do eixo $y.$

912

Resolva a inequação $\frac{x^2+2x-1}{x^2-1} \geq \frac{1}{x+1}$.

734

Considere um cilindro com base de diâmetro $2R$ e altura também $2R$. Considere, inscrito neste cilindro, uma esfera de raio $R$ e um cone de base circular com diâmetro $2R$ e altura $2R$. Denote por $V_{cil}$, $V_{esf}$ e $V_{cone}$, respectivamente, os volumes desses sólidos.

Verifique as relações $V_{esf}= \frac{2}{3}V_{cil}$ e $V_{cone}=\frac{1}{3}V_{cil}.$
Calcule $V_{cil}$, $V_{esf}$ e $V_{cone}$ usando integrais. Explicite o método que está usando.

1200

Uma partícula tem sua posição variando com o tempo de acordo com a relação $s(t)=-2\sin(t)+3\cos(t)$ , onde $s$ é dado em metros e $t$ em segundos.

Encontre a velocidade da partícula no instante $t$.
Encontre a velocidade da partícula no instante $t=3$ segundos.

1. $v(t)=-3\sin(t)-2\cos(t)$.

2. $v(3)=-3\sin(3)-2\cos(3)$.

571

Estude a função $f\left( x\right) =x\ln x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1905

Seja $y=f(x)$ uma curva suave em $\left[a,b\right]$. Prove que se houver números não-negativos $m$ e $M$, tais que $m \leq f'(x) \leq M$ para todo $x$ em $\left[a,b\right]$, então o comprimento de arco $L$ de $y=f(x)$ satisfaz a desigualdade $(b-a)\sqrt{1+m^2} \leq L \leq (b-a) \sqrt{1+M^2}$.

1562

Seja $g(x)=log_a{x}$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=\dfrac{1}{x \ln{a}}$.

1341

Obtenha as assíntotas verticais de $f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$.

As assíntotas verticais são os pontos $x$ tais que o limite é infinito.

Para $f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$ temos que:

$\lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2+1}{(x-1)^2} = \infty$,

Logo $x=1$ é uma assíntota vertical de $f$. Como não há mais pontos no domínio de $f$ que podem levar a um limite infinito, esta é a única assíntota.

902

Resolva a equação $\displaystyle \frac{x}{1-x} + \frac{x-2}{x}-1 = 0$.

1288

Considere:

Um cilindro $CI_r$ de raio $r$ e altura $r$.
Um cone $CO_r$ de raio $r$ e altura $r$.
Uma pirâmide $P_r$ de base quadrada com diagonal de comprimento $2r$ e altura $r$.

Para cada um destes três sólidos, expresse o volume em forma de integral e demonstre que a relação (proporção) entre estes volumes não depende do parâmetro $r$.

198

Mostre que $Q$ é um conjunto enumerável.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

Dica: Pesquise sobre a diagonal de Cantor!

1310

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{8}-p^{8}}{x-p}$.

1536

Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize.

Dica: Derive a função $Fh$, onde $F=fg$. Use a regra do produto duas vezes. Para generalizar use o princípio da indução finita.

692

Calcule o seguinte limite

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \dfrac{x+2}{x+1}\right)^{x}$.

$e$.

569

Estude a função $f\left( x\right) =1-e^{-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

748

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$.

$2$.

1686

Determine o comprimento da curva a seguir no intervalo especificado.

$y=(1/3)\left(x^2+2\right)^{3/2},\quad 0 \leq x \leq 3$

1190

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$

$f'(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$.

672

Calcule a seguinte integral $\int \ln xdx$.

$x(lnx-1)+C$

1241

Seja $x(t)$ a posição horizontal e $y(t)$ a posição vertical de um objeto no tempo $t$. Com $x(0)=y(0)=0$ e velocidade iniciais horizontal $v_x$ e vertical $v_y$, a trajetória do objeto pode ser representada pelas equações $x(t)=v_xt$ e $y(t)=-5t^2+v_y t$. Suponha que o módulo da velocidade inicial seja igual a $1$. Neste caso, o ângulo $\theta$ entre a linha horizontal (eixo $x$) e a tangente à parábola na origem $(0,0)$ satisfaz $v_x=\cos(\theta)$ e $v_y=\sin(\theta).$

Use a identidade $\sin(\theta_1+\theta_2)=\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)+\sin(\theta_2)\cos(\theta_1)$ para provar que $\cos(\theta)\sin(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta).$
Para $v_x>0$, $v_y>0$, determine o tempo $t_f>0$ tal que $y(t_f)=0$. Escreva $t_f(\theta)$ como função de $\theta$ com domínio $]0,\frac{\pi}{2}[$.
Definimos uma função $x_f$, também com dominio $]0,\frac{\pi}{2}[$, por $x_f(\theta)=x(t_f(\theta))$. Escreva $t_f(\theta)$ como função de $\theta$ e simplifique.
Qual é a imagem de $x_f$?
Quais são os ângulos $\theta\in\,]0,\frac{\pi}{2}[$ com valores $x_f(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{20}$, $x_f(\theta)=\frac{1}{10}$ e $x_f(\theta)=\frac{1}{5}$?

629

Dentre todos os retângulos de perímetro fixo $L$, determine aquele de maior área. Justifique a resposta.

959

Calcule o seguinte limite, caso exista:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) }$

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\sin \left( \pi x\right)}{x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\pi \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{23\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} }. \end{array}$

Fazendo as mudanças de variáveis $y = \pi x$ e $t = 23x$, temos que

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\pi x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( y\right) }{y} = 1 $.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( 23 x\right) }{23 x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( t\right) }{t} = 1 $.

Onde nas últimas passagens usamos o limite fundamental do seno. Desse modo, sabendo que os limites existem, podemos substituí-los na expressão anterior:

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \dfrac{\pi}{23} \dfrac{1}{1} \\ &=& \dfrac{\pi}{23}. \end{array}$

1191

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\log_{2}\left( \cos^{3}\left( x\right) \right).$

$f'(x) = -\dfrac{3 \tan x}{\log 2}$.

1667

Calcule a integral a seguir:

$\int{\frac{9r^2\ dr}{\sqrt{1-r^3}}}$

1586

Dados $f(x) =\sin^{-1}x$ e $x_0 = \pi/12$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

1130

Aproxime numericamente o seguinte limite
$ f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$

\begin{array}{cc}
x & f(x) \\ \hline
2.9 & -335.64 \\
2.99 & -30350.6 \\
\end{array}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.
\begin{array}{cc}
x & f(x) \\ \hline
3.1 & -265.61 \\
3.01 & -29650.6 \\
\end{array}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-\infty$.
As tabelas parecem indicar que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-\infty$.

1306

Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}$ ou prove que não existe.

Racionalizando e aplicando diferença de quadrados temos:
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} =
\frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}.
\end{equation*}
Logo,
$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}.$

925

A área superficial de uma caixa retangular fechada de base quadrada é igual a $20 m^2$. Determine o volume desta caixa em função do comprimento do lado de sua base.

1551

Se $p$ denota o preço de venda de um artigo e $x$ é a procura correspondente (em número de artigos vendidos por di, então a relação entre $p$ e $x$ pode ser dada por $p(x)=p_0e^{-ax}$ para constantes positivas $p_0$ e $a$. Suponha $p(x)=300e^{-0,02x}$. Determine o preço de venda que maximize a receita diária.

805

Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:

$f\left( x\right) =xe^{x}\cos x$.

$f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x)$.

Usando a regra da derivada do produto de duas funções, escolhendo considerar $x e^x$ como uma delas e, consequentemente, $\cos x$ como a outra, obtemos:

\[ (x e^x \cos x)^\prime = (x e^x)^\prime \cdot \cos(x)+ x e^x \cdot (\cos x)^\prime .\]

Para calcular $(x e^x)^\prime$, vamos usar novamente a regra da derivada do produto:

\[(x e^x)^\prime = (x^\prime) \cdot e^x + x\cdot (e^x)^\prime = e^x(1+x),\]

em que usamos que $(x)^\prime=1$ e $(e^x)^\prime=e^x$, além de colocar em evidência o fator comum $e^x$.

Substuindo essas expressões na igualdade inicial, temos que

\[ (x e^x \cos x)^\prime = e^x(1+x)\cos(x) - x e^x \sin x,\]

já que $(\cos x)^\prime = -\sin x$. Ou seja, obtivemos que

\[f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x).\]

690

Calcule o seguinte limite

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+2}$.

1510

Se $(ln\ x)/x = (ln\ 2)/2$, é necessário que $x=2$? Se $(ln\ x)/x=-2ln\ 2$, é necessário que $x=\frac{1}{2}$? Justifique suas respostas.

1698

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva a seguir em torno do eixo indicado.

$y=\sqrt{2x-x^2}$, $0,5\leq x \leq 1,5$, eixo $x$

825

Mostre que $|\cos x-\cos y|\leq |x-y|$ quaisquer que sejam $x$ e $y$ reais, enunciando os teoremas utilizados.

1719

A função de Heaviside (também conhecida como função degrau), cujo gráfico pode ser visto abaixo, é muito utilizada para modelar chaves que ligam e desligam em circuitos elétricos (e também diversas aplicações). O que você tem a dizer sobre a continuidade dessa função? E sobre a diferenciabilidade?

1174

O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva quadrática? Justifique.

Os pontos de inflexão são os pontos nos quais a curvatura de uma curva troca de sinal, portanto, está associado com trocas de sinal da segunda derivada da função associada à curva. Curvas quadráticas terão derivadas lineares e segundas derivadas constantes. Sendo assim, como a segunda derivada de uma curva quadrática nunca trocará de sinal, uma curva quadrática nunca apresentará pontos de inflexão

1328

Sejam $x_0,c\in\mathbb R$ e considere a função $f(x)=e^{cx}$. Encontre $f'(x_0)$ usando a definição de derivada.

$ce^{cx_0}$.

1307

O limite $\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3(1+\sin x)$ existe? Explique.

601

Para cada uma das afirmações abaixo, demonstre-a, se verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.

$x\neq y\Longrightarrow |x|\neq |y|$.
$|x-y|\geq |x|-|y| \forall x,y\in \mathbb{R}$

1337

Usando os limites fundamentais, encontre o limite $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{sen(cosx)}{sec(x)}$.

$\sin(1)$.

1775

Suponha que uma população de piolhos parasitas de aves, representada por $p$, é estimada no começo do ano de $2015$ em $100 000$ em uma certa região. Um modelo matemático de crescimento da população assume que a taxa de crescimento (em milhares) após $t$ anos é dada por

$$p'(t)=(4+0,15t)^{3/2}.$$

Faça uma estimativa para o número de piolhos para o início do ano de 2025.

1915

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante quando se faz girar a área entre as curvas $y=\dfrac{1}{x^2+1}$, $x=0$, $x=1$ e $y=0$ em torno do eixo $y$.

1565

O número relativo de moléculas de gás em um recipiente que se movem a uma velocidade de $v$ $cm/s$ pode ser calculado por meio da distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann, $F(v)=cv^2e^{-mv^2/(2kT)}$, sendo que $T$ é a temperatura em Kelvins, $m$ é a molécula e e $c$ e $k$ são constantes positivas. Mostre que o valor máximo de $F$ ocorre quando $v=\sqrt{2kT/m}$.

905

Resolva a equação modular $|x-1|-2|x-2| =-3$.

1617

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \sin^{-1}(x)}{x- \sin(x)}$.

$-\infty$.

1863

Mostre que a função $y=f(x)$ definida por $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x-r}, & \text{se} x \geq r \\ -\sqrt{r-x}, & \text{se} x<r \end{array}\right.$ tem a propriedade que para todo número real $a$, se $x_1=r+a$, então $x_2=r+a$ e, por outro lado, $x_1=r-a$, então $x_2=r+a$.

1772

Considere uma força $f(x)$ que atua sobre um corpo no ponto $x$. A força varia em função do ponto $x$, segundo a função $f(x)=x^5 \sqrt{x^3+1}$. Determine o trabalho realizado se o corpo se move do ponto $x=0$ ao ponto $x=1$.

71

Construa uma função com uma assíntota vertical em $x=5$ e uma assíntota horizontal em $y=5$.

593

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{x^{2}+x+3}$ é real.

Este número será real se o valor dentro da raiz for maior ou igual a zero. Como $x^2 + x + 3$ têm raízes complexas e concavidade para cima, seu valor é sempre maior que zero. Portanto $\sqrt{x^2 + x + 3}$ é real para qualquer $x$ real.

325

Mensalmente, pago pela prestação de minha casa $1/5$ do meu salário; metade do resto gasto em alimento e $1/3$ do que sobra coloco na poupança, restando-me ainda $R\$ 800,00$ para gastos diversos. Qual o valor colocado na poupança?

1255

Considere a curva definida pela equação $x^2y+3\ln(1-y)+x^4=1.$

Calcule $y'.$
Encontre a aproximação linear à curva no ponto $(1,0).$

1248

Seja $ f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}+7x+3}{x^{2}}$

Encontre o domínio de $f$, os pontos de intersecção do gráfico de $f$ com os eixos, o sinal de $f$ e analise a simetria de $f$.
Caso existam, determine as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de $f$.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, seus pontos de máximo e mínimo locais.
Determine os intervalos onde $f$ tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de $f$ usando as informações obtidas nos itens anteriores.

685

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$.

742

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
$y=x^{2},y^{2}=x$, ao redor do eixo $x$.

1706

Embora limites como $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}$ e $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n$ possam ser avaliados utilizando conhecimentos sobre as funções logaritmo e exponencial, estes não são necessários. Neste exercício vamos calcular esses tipos de limite por meio de argumentos ``elementares''. As ferramentas básicas são desigualdades provenientes do teorema binomial, principalmente:

$$(1+h)^n \geq 1+nh, \text{ para } h > 0.$$

Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n = \infty$ se $a>1$, fazendo $a=1+h$, onde $h>0$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n= 0$ se $0<a<1$.

731

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\ln \dfrac{x}{x+1}$.

$0$

1303

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $g: \left( 0,\pi\right)\mathbb{\rightarrow R},$ dada por
\[
g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{c}
\tan \left( x\right) \mbox{ se }x\neq \dfrac{\pi }{2} \\
\lambda \mbox{ se }x = \dfrac{\pi }{2}
\end{array}
\right.
\]

1907

Um retângulo com os lados paralelos aos eixos coordenados tem um vértice na origem e o vértice diagonalmente oposto está sobre a curva $y=kx^m$ no ponto onde $x=b$ ($b>0$, $k>0$, $m \geq 0$). Mostre que o quociente entre a área do retângulo compreendida entre a curva e o eixo $x$ depende de $m$, mas não depende de $k$ ou $b$.

1526

É verdade que, ao se esticar um elástico puxando-o por suas extremidades em direções opostas, algum ponto do elástico permanecerá em sua posição inicial? Justifique sua resposta.

588

Se $a$ é racional e $b$ é irracional então podemos afirmar alguma coisa sobre $a+b$ em termos de racionalidade ou irracionalidade?

Podemos afirmar que $a+b$ sempre será irracional.

1710

Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo $30$g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de $25$ L$/$min. Considerando o tempo $t$ em minutos, mostre que a concentração de sal $C$ em função de $t$ (em gramas por litro) é dada por:$$C(t) = \dfrac{30 t}{200+t}.$$
O que acontece com a concentração para um tempo muito grande, isto é, para $t \to \infty$?

846

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{e^{\sec \sqrt{x}}}{x}$.

$y'=\dfrac{(\tan x) e^{\sec x} \sec x)}{\sqrt{x}} - \dfrac{e^{\sec x}}{(2 x^{3/2})}$.

1707

Embora limites como $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}$ e $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n$ possam ser avaliados utilizando conhecimentos sobre as funções logaritmo e exponencial, estes não são necessários. Neste exercício vamos calcular esses tipos de limite por meio de argumentos ``elementares''. As ferramentas básicas são desigualdades provenientes do teorema binomial, principalmente:

$$(1+h)^n \geq 1+nh, \text{ para } h > 0,$$

e, para o item 3 a seguir:

$$(1+h)^n \geq 1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}h^2 \geq \dfrac{n(n-1)}{2}h^2, \text{ para } h>0.$$

Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}= 1$ se $a>1$, fazendo $\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}=1+h$ e estimando $h$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a}=1 $ se $1<a<1$.
Mostre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{n}= 1$.

673

Se $f$ for contínua e $\int_{0}^{9}f\left( x\right) dx=9$, calcule $\int_{0}^{3}xf\left( x^{2}\right) dx.$

799

Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição:

$f\left( x\right) =1/x^{2}$.

$f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}$.

515

Considere as funções trigonométricas hiperbólicas:

\begin{equation*} \sinh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2};\;\cosh x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\text{.} \end{equation*}

Mostre que $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$.
Mostre que $\left( \sinh ^{\prime }x\right) ^{2}-\left( \cosh^{\prime }x\right) ^{2}=1$.

1280

Calcule a seguinte integral:
$\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx.$

1654

Quais valores de $a$ e $b$ maximizam o valor de

$\int_a^b\left(x-x^2\right)dx$?

$a=0$ e $b=1$.

603

Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

$(2-x)(x-1)$
$1-x^{2}<0$

1498

Esboce juntas as curvas dadas no plano cartesiano e identifique cada uma com sua equação:
$y=2^x$, $y=4^x$,$y=3^{-x}$, e $y=\left( 1/2 \right)^{x}$.

1725

Substitua as interrogações por expressões envolvendo $\epsilon, x_0$ e $y_0$ de modo que a afirmação abaixo seja verdadeira. Se $y_0 \neq 0$, $|y-y_0|<??$ e $|x-x_0|<??$, então $y \neq 0$ e $\left| \dfrac {x}{y}-\dfrac{x_0}{y_0}\right|<\epsilon$.

683

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$.

1114

Encontre $f(\theta)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
$f''(\theta) = \sin \theta$ e $f'(\pi)= 2$, $f(\pi) = 4$

$\theta-\sin (\theta)-\pi +4$

1543

Seja $f(x)=cossec{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Inicialmente, determinamos a primeira derivada da função $f$:

$f'(x)=-cossec(x)cotg(x)$.
Agora, substituímos $x$ por $\dfrac{\pi}{4}$ e obtemos

$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$=-cossec$\dfrac{\pi}{4}$cotg$\dfrac{\pi}{4}$=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot 1 = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$.

1616

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x-\cos(x)}{x}$.

$1$.

1651

Um objeto é solto de um helicóptero. O objeto cai cada vez mais rápido, mas sua aceleração diminui com o passar do tempo devido à resistência do ar. A aceleração foi medida nos primeiros cinco segundos, quando ele atingiu o chão, e o resultado está na tabela a seguir:

$
\begin{array}{ccccccc} \hline
t & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline
a & 9,81 & 5,95 & 3,61 & 2,19 & 1,33 & 0,81 \\\hline
\end{array}
$

Faça uma estimativa superior para o módulo da velocidade quando $t=5$.
Faça uma estimativa superior para o módulo da posição quando $t=5$.
Faça uma estimativa superior para a altura da queda.

1620

Este exercício pretende se debruçar sobre os limites

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x$ e $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$.

Use a regra de L'Hospital para mostrar que $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$.
Com o auxílio de recursos computacionais, observe as curvas de $f(x)=\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x$ e $g(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ em um único gráfico, para $x \geq 0$. Como o comportamento de $f$ se relaciona com o de $g$? Estime o valor de $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$.
Confirme sua estimativa de $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$ através da regra de L'Hôspital.

1560

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=e^x$ no ponto de abscissa $0$.

1729

Um vaso em formato hemisférico de raio $7,5$cm está sendo enchido de água a uma taxa de $16$cm$^3/$s. Quando a profundidade da água está em $2,5$cm, com que velocidade o nível da água sobe?

565

Estude a função $f\left( x\right) =xe^{-3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

31

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt[3]{3x^{3}+2x-1}}{\sqrt{x^{2}+x+4}}$.

$\sqrt[3]{3}$

1135

Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$. Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$ nos seguintes casos:

$y=xy$
$y=x/y$

626

Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível? Se a lata fosse esférica, o gasto de material seria maior ou menor que o gasto de material da lata cilíndrica que voce encontrou? E se a lata fosse cúbica?

851

Determine as derivadas das seguintes funções:

$f\left( x\right) =e^{\cos \left( x^{2}\right) }$.
$f\left( x\right) =\left( \sin x+\cos x\right)^{3}$.
$f\left( x\right) =x^{3}e^{-3x}.$

607

Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

${\frac{3}{x}}+{\frac{x-3}{x-1}}<{\frac{2}{x-1}}$
${\frac{1}{x}}+{\frac{3}{2x}}\geq 5$

698

Calcule a integral $\int \dfrac{x+1}{x^{2}-3x+2}dx$.

784

Consideremos a curva $y=-x^4 +2x^2+x$ e o ponto $P=(1,2)$ nessa curva. Verifique que a reta tangente a essa curva no ponto $P$ também é tangente à curva em outro ponto. Ache esse outro ponto.

125

Dê um exemplo de uma função $f(x)$ para a qual $\ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$ não exista.

$f(x)=1, x \neq 0$; $f(0)=2$.

774

Determine uma reta que seja tangente à elipse $x^{2}+2y^{2}=9$ e que intecepte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada $9/4$.

937

Determine a função inversa de:

$f(x) = x^2$
$f(x) = x^3 + 2.$

1668

Calcule a integral a seguir:

$\int{\cos 2x\ dx}$

$sin(x)cos(x)+C$

195

Prove que não existe inteiro entre $0$ e $1$.

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

Dica: Suponha que exista um número inteiro $n$ tal que $0<n<1$. Então...

1193

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =5^{x\cos\left( x^{2}\right) }.$

1661

Calcule a seguinte integral:

$\int{e^x(x^2-2x+1)dx}$.

$e^x(x^2-4x+5)+C$

1463

Prove que $|x+y|=|x|+|y| \Leftrightarrow xy \geq 0$.

936

Se $ f(x) = \sqrt{x} $ e $ g(x) =\sqrt{2-x},$ encontre e determine o domínio das funções:

$f \circ g (x).$
$g \circ f(x).$
$f \circ f (x).$
$g \circ g(x).$

1133

Seja $f(x)=2x^2-3$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ nos pontos:

$(0,f(0))$
$(2,f(2))$

635

Se $f(x+1)=\frac{x-1}{\pi -x},$ ache $f\left( x\right) $ e encontre o domínio de $f$.

Calculando $f((x-1)+1)$:
$f((x-1)+1)=\dfrac{(x-1)-1}{\pi-(x-1)}$
$f(x) = \dfrac{x-2}{\pi+1-x}$.
O domínio de $f$ é o conjunto de números reais menos os pontos em que o denominador é zero. Calculando esses valores:
$\pi + 1 - x = 0 \Rightarrow x = \pi + 1$.
Portanto o domínio de $f$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x \neq \pi + 1\}$.

558

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$.

578

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =e^{-x^{2}}$ explicitando domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexdão, assíntotas, máximos e mínimos locais e globais.

523

Uma escada de $5 m$ de altura está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a $3 m/s$, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede quando a base encontra-se a $3 m$ da parede?

1828

Se uma função racional $P(x)/Q(x)$ é tal que o grau do numerador excede o grau do denominador em $1$, então o gráfico de $P(x)/Q(x)$ terá uma assíntota oblíqua, isto é, uma assíntota que não é nem horizontal nem vertical. Para ver por quê, efetuamos a divisão de $P(x)$ por $Q(x)$ obtendo $$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}= (ax+b) + \dfrac{R(x)}{Q(x)}, $$ onde $(ax+b)$ é o quociente e $R(x)$ é o resto. Use o fato de que o grau do resto $R(x)$ é menor do que o grau do divisor $Q(x)$ para auxiliá-lo a provar que $$ \lim_{x\to \infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0 \quad \text{e} $$ $$ \lim_{x\to -\infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0. $$ Este resultado nos diz que o gráfico da equação $\displaystyle y =P(x)/Q(x)$ "tende" à reta $y=ax+b$ (assíntota oblíqua) quando $x\rightarrow +\infty$ ou $x\rightarrow -\infty$.

1695

Demonstre que, ao se cortar uma cebola em fatias de igual largura, todas as fatias terão a mesma quantidade de casca.
Para isso, considere o semicírculo dado pela equação $y=\sqrt{r^2-x^2}$. A rotação deste em torno do eixo $x$ resultará numa esfera. Se escolhermos $x_0 >0$ e $h>0$ tal que $-r \leq x_0 < r$ e $x_0+h \geq r$, e o arco $AB$ localizado acima deste intervalo.

Demonstre que a área gerada pela rotação do arco $AB$ não depende de $x_0$, apenas de $h$.

1876

Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$.

1918

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante quando se faz girar a área entre as curvas $y=2x-1$, $y=-2x+3$ e $x=2$ em torno do eixo $y$.

592

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{7x+9}$ é real.

Este número será real se o valor dentro da raiz for maior ou igual a zero.
$\begin{array}{rcl} 7x+9 &\geq& 0 \\ 7x &\geq& -9 \\ x &\geq& -\dfrac{9}{7}. \end{array}$
Portanto o conjunto dos valores de $x$ tais que $\sqrt{7x+9}$ é real é $\{x \in \mathbb{R} ; x \geq -9/7\}$.

117

Prove que se $f$ e $g$ são ambas funções contínuas, então $f+g$ é contínua.

1650

Um carro está em uma rodovia a uma velocidade constante de $60mi/h$ quando vê um acidente a frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 242 pés?

342

Encontre as raízes do polinômio $x^4-10x^3+17x^2-17x+6.$
Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais.

337

Enuncie e prove o Algoritmo de Briot-Ruffini. Dê exemplos.

1557

Um modelo de densidade urbana é uma fórmula que relaciona a densidade populacional (em número de habitantes por $km^2$) com a distância $r$ (em $km$) do centro da cidade. É considerada apropriada para certas cidades a fórmula $D=ae^{-br+cr^2}$, com $a,b$ e $c$ constantes positivas. Determine a forma do gráfico de $D$ para $r \geq 0$.

549

Esboce o gráfico de $f(x)=x^2\sqrt{4-x}$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

1761

Prove que $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$.

$\begin{array}{rcl} \cosh^2x - \sinh^2 x &=& \left(\dfrac{e^{-x} + e^x}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{e^{x} - e^-x}{2}\right)^2 \\ &=& \dfrac{1}{4} (e^{-2x} + 2 e^{-x}e^x + e^{2x}) - \dfrac{1}{4} (e^{2x} - 2 e^xe^{-x} + e^{-2x}) \\ &=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \\ &=& 1.\end{array}$

1139

Um agricultor possui $140$ metros de cerca para construir dois currais: um deles quadrado eu outro retangular, com comprimento igual ao quádruplo da largura. Se a soma das áreas dos currais deve ser a menor possível, calcule a área do curral quadrado, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

1414

Um toro em forma de um cilindro circular reto de raio $a$ está apoiado sobre um lado. Remove-se do toro uma cunha fazendo-se um corte vertical e outro corte a um ângulo de 45°; ambos os cortes se interceptam no centro do toro (veja a figura). Ache o volume da cunha.

221

Estime numericamente os seguintes limites para a função $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-6}$:

$\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$
$\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)$
$\lim\limits_{x \to 3} f(x)$

\begin{tabular}{cc}
$x$ & $f(x)$ \\ \hline
$2.9$ & $-15.1224$ \\
$2.99$ & $-159.12$ \\
$2.999$ & $-1599.12$
\end{tabular}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.
\begin{tabular}{cc}
$x$ & $f(x)$ \\ \hline
$ 3.1$ & $16.8824$ \\
$3.01$ & $160.88$ \\
$3.001$ & $1600.88$
\end{tabular}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.
Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x)$ não existe.

737

Mostre que o volume de uma esfera de raio $R$ é $\dfrac{4}{3}\pi R^{3}$.

738

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
$y=e^{x},y=0,x=0,x=1$ ao redor do eixo $x.$

1542

Seja $f(x)=cotg{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

$f'(x)=-cossec^2(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-2$.

1091

A antiderivada de uma função aceleração é a função _________.

Velocidade. A taxa de variação com a qual a velocidade varia de acordo com o tempo é, justamente, a aceleração.

1903

Uma hipociclóide de quatro cúspides (também chamada astróide) é a curva dada paramétricamente pelas equações $x=a\cos^3 \theta$ e $y=a \sin^3 \theta$.

Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de uma astróide usando $a=1$.
Ache o comprimento exato de uma astróide.

746

Ache as assíntotas verticais e inclinadas; depois calcule os limites laterais nas assíntotas verticais da função $f\left( x\right) =\frac{x^{3}-3x-1}{x^{2}-x}.$

747

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( 1+2x\right) ^{\dfrac{1}{x}}$.

$e^2$.

1756

Avalie a integral $\displaystyle \int_{-1}^1 (x^5+3) \sqrt{1-x^2} \, dx$ sem fazer nenhuma conta.

85

Calcule os limites:

$\lim\limits_{x\to\pi/6} cos(sec x)$
$\lim\limits_{x\to0} \ln(1+x)$

52

Construa os gráficos das funções indicadas e calcule os limites:

$ f(x)=x^2$ quando $x\rightarrow\infty$
$ h(x)=3x^5$ quando $x\rightarrow -\infty$
$g(y)=\tan^{-1}(y)$ quando $y\rightarrow\infty$
$f(x)=\frac{1}{x}$ quando $x\rightarrow -\infty$
$f(x)=\frac{1}{x^7}$ quando $x\rightarrow \infty$
$f(x)=\frac{1}{x^{-2}}$ quando $x\rightarrow \infty$

745

Encontre o volume de um tronco de cone circular reto de altura $h$, raio da base inferior $R$ e raio da base superior $r.$

1103

Avalie a seguinte integral indefinida:
$\int 5e^\theta\ d\theta$

$5e^\theta+C$

133

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x^3-x, & & \text{se } x<1\\
x-2, & & \text{se } x\geq 1
\end{array}\right.$

$x=0$.
$x=1$.

Sim.
Não: Os limites pela direita e pela esquerda não são iguais em $x=1$.

1186

Determine a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\cos \left( x^{-2}\right)+x^{3}e^{-3x}.$

$f'(x) = -3 e^{-3 x} x^3 + 3 e^{-3 x} x^2 + (2 \sin(x^{-2}))/x^3$.

1628

Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$, para $m$ inteiro positivo.

95

Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$

214

Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
$ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
x+1, & &  \text{ se } x<1 \\
1, & & \text{ se }  x=1\\
x-1, & &  \text{ se } x>1
\end{array}
\right.$

$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$

2
0
Não existe
1

887

Resolva a inequação $|ax-b|<r$ na variável x, com $r>0$ e $a\neq 0$.

Se $ax-b\geq0$: $|ax-b| = ax-b$, logo $ax-b=r \Rightarrow x = \dfrac{b+r}{a}$.
Se $ax-b<0$: $|ax-b| = -(ax-b)$, logo $-ax+b=r \Rightarrow x = \dfrac{b-r}{a}$.
Portanto $x=\dfrac{b+r}{a}$ ou $x=\dfrac{b-r}{a}$.

137

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ g(x) = \sqrt{x^2-4}$.

$(-\infty,-2]\cup [2,\infty)$

884

Para quaisquer $x,y\in \mathbb{R},$ mostre que vale $|xy|=|x||y|.$

835

Determine a derivada de $f\left( t\right) =t^{3}e^{-3t}$.

$-3 e^{-3t} (t-1) t^2$.

1760

Seja $F(x)$ tal que $F(x)=\displaystyle \int_{\pi/4}^x \cos 2t \, dt$.

Use alguma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar $F'(x)$.
Confira se seu resultado anterior foi correto integrando e diferenciando.

1131

Aproxime numericamente o seguinte limite

$ f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$

\begin{array}{cc}
x & f(x) \\ \hline
2.9 & 132.857 \\
2.99 & 12124.4 \\
\end{array}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =\infty$.
\begin{array}{cc}
x & f(x) \\ \hline
3.1 & 108.039 \\
3.01 & 11876.4 \\
\end{array}
A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.
As tabelas parecem indicar que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =\infty$.

783

Encontre a equação da reta tangente à curva $y=2x^2+3$ que seja paralela à reta $8x-y+3=0$.

$y=8x+3$.

1282

Calcule a integral $\int{ \frac {1}{x^2+3x-10} dx}.$

1495

Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

$f(x)=|x|+1/x$
$f(x)=\sqrt{|x|}$

590

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{{\frac{5x-2}{x^{2}-4}}}$ é real.

1824

Discuta as hipóteses necessárias para que se possa aplicar a Regra de L'Hospital.

679

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo $t$ ):$\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right) ,$ onde a constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a solução dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?

1250

Compute a derivada $f''(x)$ de $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.

$f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$.

151

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função derivável cuja derivada é sempre positiva e tal que $f(0)=1$ e $f(4)=2$. Use o TVM para mostrar que $f(2) \neq 2$.

1789

Prove que a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x, & \text{se x é racional}\\
-x, & \text{se x é irracional}
\end{array}\right.$ é contínua em $0$.

165

Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.

Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.

Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.

Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.

O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:

$f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
$f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
$f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.

O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).

Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = \sin x - 1/2$ no intervalo $[0.5,0.55]$.

A raiz aproximada é $x=0.52$.

Os intervalos utilizados são:

$[0.5,0.55] \quad [0.5,0.525] \quad [0.5125,0.525]$

$[0.51875,0.525]\quad [0.521875,0.525]$.

962

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}x\sin \left( \dfrac{1}{x}\right)$
$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{\sin \left(x^{2}-p^{2}\right) }{x-p}$

126

Seja $f(x)= \left\{\begin{array}{ccc} x^2-5, & &\text{se } x<5 \\ 5x, & &\text{se } x \geq 5 \end{array}\right.$.
Calcule:

$ \lim\limits_{x\to 5^-} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 5^+} f(x)$
$ \lim\limits_{x\to 5} f(x)$
$f(5)$
$f$ é contínua em $x=5$?

1. $20$.

2. $25$.

3. Não existe.

4. $25$

5. Não.

630

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que:
\begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right) = \cos 2x+6x+4,\;f\,^{\prime }\left(0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .}\end{equation*}

Primeiramente, calcula-se a integral indefinida

$f\,^\prime(x)=\int \left(\cos 2x+6x+4\right)\,dx = 3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+C_1$

Pelo dado do enunciado $f\, ^\prime(0)=2$. Avaliando a expressão acima para $x=0$, vê-se que $C_1=2$. Para obter $f(x)$, calcula-se novamente a integral indefinida:

$f(x)=\int \left(3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+2\right)\,dx =x^3+2 x^2+2 x-\frac{\cos ^2(x)}{2}+C_2 $

De acordo com o enunciado, $f(0)=0$. Assim, obtém-se $C_2=\frac{1}{2}$.

1508

Uma droga é administrada por via intravenosa para combater a dor. A função
$f(t)=90-52\ ln(1+t), \quad 0 \leq t\leq4$
fornece o número de unidades da droga que permanecem no corpo após $t$ horas.

Qual foi o número inicial de unidades administradas?
Quanto estará presente após $2$ horas?
Esboce o gráfico de $f(t)$

1896

Prove o teorema do valor médio para integrais aplicando o teorema do valor médio para derivadas(consulte Stewart, seção 4.2, para obter mais informações sobre a função $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)dt$.

1121

Com base no gráfico, avalie as seguintes integrais:

$\int_0^2 f(x)\ dx$
$\int_0^3 f(x)\ dx$
$\int_0^5 f(x)\ dx$
$\int_2^5 f(x)\ dx$
$\int_5^3 f(x)\ dx$
$\int_0^3 -2f(x)\ dx$

$-4$
$-5$
$-3$
1
$-2$
10

1649

Um foguete decola da superfície terrestre com uma aceleração constante de $20m/s^2$. Qual será sua velocidade 1 minuto depois?

1253

Calcule a derivada de ordem $n$ da função $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$.

1204

Demonstre que a derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante.

1325

Dentre todos os retângulos inscritos numa circunferência de raio $R$, quais as dimensões daquele que tem a maior área?

757

Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ a função
definida por
\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\
2x-1 & \text{se }x>1
\end{array}
\right. ,
\end{equation*}
e defina $g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow h}\dfrac{f\left(
x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$. Mostre que $g\left( x\right) $ é contínua.

197

Sejam $a, b$ racionais positivos. Prove que $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ é racional se, e somente se, $\sqrt{a}$ e $\sqrt{b}$ forem ambos racionais. (Sugestão: multiplique por $\sqrt{a}-\sqrt{b}$).

A teoria necessária para resolver esta questão pode não ser abordada em alguns cursos de Cálculo 1. Sendo, também pertinente, às disciplinas Teoria dos Números e Análise Real I.

Para aprofundar seus conhecimentos, dentro do escopo de Cálculo 1, recomendamos a leitura do Cap. 1 de Guidorizzi, vol. 1 e /ou o Prólogo de Spivak (vide Bibliografia de Cálculo 1).

1413

A aceleração (no instante $t$) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é $\sin^2 (t)\cos(t)$ $m/s^2$. Em $t=0$, o ponto está na origem e sua velocidade é 10 $m/s$. Determine sua posição no instante $t$.

59

Explique, usando propriedades de limites, porque $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}\not = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 2} (x^2-4)}{\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x-2)}$.

Note que somente podemos usar as propriedades de limite quando um limite existe e é finito. Além disso, lembre-se que limites que recaem na expressão indeterminada "$\frac{0}{0}$", podem existir ou não. Calcule os seguintes limites.

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$
$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^2 - 4}{h}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^2-2x}-\frac{x}{x-2}\right)$
$\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\sqrt{t^2+4}-2}{t^2}$

604

Encontre todos os números reais que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

$2\leq {\frac{2}{3x-1}}\leq {\frac{20}{3}}$
${\frac{1}{2x+3}}\leq {\frac{x-1}{3}}\leq {\frac{1}{5}}$

730

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\log _{3}x$.

$\infty$.

1275

Calcule a integral $\int{\sin2\theta e^{\sin^2\theta}}d\theta.$

$e^{\sin^2\theta}+C$

1199

Resolva a equação $\left| {\frac{3x+8}{2x-3}}\right| =4$.

220

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{3-x};$
$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{-}}\dfrac{5}{3-x};$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{x^{2}-x};$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{5}{x^{2}-x};$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{\sin x}{x^{3}-x^{2}};$
$\lim\limits_{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac{3x^{2}-4}{1-x^{2}}$

1257

Calcule a seguinte integral:
$ \int_4^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy$.

1780

Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg} (x) \, dx = \ln |\sin x| + k$.

665

Derive a função $p\left( x\right) = \int_{2x^{-5}}^{\sin 3x}\left( v^{3}-2\right) \cos vdv$.

1506

Se Fidelis investisse $R\$1500$ em uma conta aposentadoria que rende $8\%$ de juros compostos anualmente, em quanto tempo este investimento isoladamente aumentará para $R\$5000$?

1785

Teorema de Rolle: Seja $f$ uma função diferenciável em $(a,b)$ e contínua em $[a,b]$; se $f(a)=f(b)=0$, então há pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ tal que $f'(c)=0$. Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de $c$ naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-2},\quad [-1,1]$;
$\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{4}{3x}+\dfrac{1}{3},\quad [1,3].$

1699

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva a seguir em torno do eixo indicado.

$x=\frac{(e^y+e^{-y})}{2}$, $0\leq y \leq ln\ 2$, eixo $y$

935

A intensidade $I$ de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de $I=0$ até $I=8,9$ para o maior terremoto conhecido. $I$ é dado pela fórmula $I=\dfrac{2}{3} log {\left(\dfrac{E}{E_0}\right)}$, em que $E$ é a energia liberada pelo terremoto em quilowatt-hora e $E_0=7 \times 10^{-3}$ kwh.

Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
Aumentando uma unidade na intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?

615

Esboce o gráfico da função abaixo e resolva a inequação:

$f\left( x\right) =\left\vert x-1\right\vert -\left\vert x+2\right\vert >x$.

340

Sejam $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$, $b_1,b_2,\ldots,b_{100}$ números reais distintos. Uma tabela de dimensões $100\times 100$ é preenchida com esses números tal que o número $a_i+b_j$ é inserido na célula situada exatamente abaixo da interseção da $i$-ésima linha com a $j$-ésima coluna. Dado que em cada coluna o produto de todos os números é igual a $1$, prove que em cada linha o produto de todos os números é $-1$.

1412

A velocidade (no instante $t$) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é $\cos^2 (\pi t)$ $m/s$. Qual a distância percorrida pelo ponto em 5 segundos?

155

Determine todas as funções contínuas $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tais que $f(x+y)=f(x)f(y)$ para quaisquer x, y reais.

1577

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2+3x, & \text{se} x \leq 1 \\
5x-1, & \text{se} x>1
\end{array}\right.$.

894

Resolva as equações:

$|x-2|^2-5|x-2| =-6$

$|x-2|-|x-1| =0$

1305

Resolva os itens:

Mostre que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\left( x\ln x\right) =0$;
Utilize o item anterior para avaliar $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{x}.$

1289

Utilize a fórmula

\[
s\left( x\right) =\int_{a}^{x}\sqrt{1+\left( f^{\prime}\left( t\right)
\right) ^{2}}dt
\]
para mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio $R$ é $2\pi R$.

Uma circunferência de raio $R$ centrada na origem pode ser vista como a união dos gráficos das funções $f\left(t\right) =\sqrt{R^{2}-t^{2}}$ e $g\left( t\right) =-\sqrt{R^{2}-t^{2}}$, com $t\in\left[ -R,R\right] $ Por simetria, estes dois arcos têm o mesmo comprimento, digamos $L$, e o perímetro $p$ é dado por $p=2L$.
Considerando $f\left( t\right) =\sqrt{R^{2}-t^{2}}$ temos
que:
\[
f^{\prime}\left( t\right) =-\frac{t}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}\text{.}%
\]
Usando a fórmula acima temos que:
\begin{align*}
L & =\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\left( f^{\prime}\left( t\right) \right) ^{2}%
}dt\\
& =\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\frac{t^{2}}{R^{2}-t^{2}}}dt\\
& =\int_{-R}^{R}\sqrt{\frac{\left( R^{2}-t^{2}\right) +t^{2}}{R^{2}-t^{2}}%
}dt\\
& =\int_{-R}^{R}\sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-t^{2}}}dt\\
& =R\int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}dt
\end{align*}

Fazendo a mudança de variável $t=R\sin\theta$, com $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$, temos que:
\begin{align*}
\sqrt{R^{2}-t^{2}} & =\sqrt{R^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}\\
& =R\sqrt{1-\sin^{2}\theta}\\
& =R\cos\theta,\\
dt & =R\cos\theta d\theta
\end{align*}

Obtemos assim que:
\begin{align*}
L & =R\int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}dt\\
& =R\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{R\cos\theta}{R\cos\theta}d\theta\\
& =R\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\\
& \left. R\theta\right\vert _{-\pi/2}^{\pi/2}\\
& =\pi R
\end{align*}
e concluimos que:
\[
p=2L=2\pi R
\]

1299

Utilize a fórmula
\[
S=\int_{a}^{b}2\pi f\left( x\right) \sqrt{1+\left( f^{\prime}\left(
x\right) \right) ^{2}}dx
\]
para mostrar que a superfície de uma esfera de raio $R$ é $4\pi
R^{2}$.

Uma esfera de raio $R$ centrada na origem pode ser obtida pela rotação ao redor do eixo $x$ do semicírculo $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ com $y\geq0$. Este semicírculo pode ser visto como o gráfico da função $f\left( x\right) =\sqrt{R^{2}-x^{2}}$, com $t\in\left[-R,R\right] $.
Considerando $f\left( x\right) =\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ temos que:
\[
f^{\prime}\left( x\right) =-\frac{t}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\text{.}%
\]
Usando a fórmula acima temos que:
\begin{align*}
S & =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{1+\left( f^{\prime}\left(
x\right) \right) ^{2}}dx\\
& =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\\
& =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{\frac{\left( R^{2}-x^{2}\right)
+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\\
& =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\\
& =\int_{-R}^{R}2\pi R\frac{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}dx\\
& =\int_{-R}^{R}2\pi Rdx
\end{align*}
Temos então que:
\begin{align*} S & =\int_{-R}^{R}2\pi Rdx\\ & =\left. 2\pi Rx\right\vert _{-R}^{R}\\ & =4\pi R^{2} \end{align*}

169

Seja $f$ uma função contínua em $[1,5]$, sendo que $f(1) = -2$ e $f(5) = -10$. Existe um valor $1<c<5$ tal que $f(c) = -9$? Por quê?

Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário.

573

Estude a função $f\left( x\right) =\sin x+\cos x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

143

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ g(s) = \ln s$.

$(0,\infty)$

631

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f^{\prime \prime }\left( x\right) = \dfrac{1}{x^{2}}+8e^{2x}+2,\;f^{\prime }\left( 2\right) =4e^{4}\text{ e }f\left( 1\right) =2e^{2}\text{.} \end{equation*}

686

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{3x^{3}+2}\right) $.

598

Mostre que $|x-y|<1/2,|x+2|<1/3\Longrightarrow |y+2|<5/6$.

1778

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{y} e^{\sqrt{y}}}$.

1517

Prove que a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x, & \text{se x é racional} \\
-x, & \text{se x é irracional}
\end{array}\right.$ é contínua em $0$.

651

Sejam $f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g(x)=\sqrt{x}$. Dê o domínio de cada uma das funções $f$, $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.

1309

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$.

725

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }3^{x}$.

$\infty$.

900

Sabendo que $x$ é um número negativo, simplifique a expressão $\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{x^2}+\sqrt{(4-3x)^2}$.

1185

Determine a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\left( \left( \sin x\right) \left(\cos x\right) \right) ^{3}.$

$f'(x)=3/8 \sin(2x) \sin(4x)$.

5

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =x+\dfrac{1}{x}$.

1829

Seja $f(x)=(x^3+1)/x$. Mostre que o gráfico de $y=f(x)$ tende à curva $y=x^2$ "assintotamente" no sentido de que $$ \lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x^2\right] = 0. $$ Esboce o gráfico de $y=f(x)$ mostrando o seu comportamento assintótico.

105

Determine os valores de $c$ que tornam contínua a função \[ f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+cx,\text{ se }x\leq1\\ \left( cx\right) ^{2}-1=c^{2}x^{2}-1,\text{ se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \]

Justifique sua resposta.

$c=-1$ ou $c=2$.

109

Mostre que a função $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-8}{x-2}, & \text{se }x\neq 2 \\ 12, & \text{se }x=2 \end{array}\right. $ é contínua em seu domínio.

1768

Escreva $a^x$ em função de $e^x$. Use esse resultado para escrever $\log_a(x)$ em função de $\ln(x)$.

1513

Dê os domínios e esboce os gráficos de $f+g$ e $\dfrac{g}{f}$ nos seguintes casos:

$f(x)=x$ e $g(x)=x^2-1$.
$f(x)=x$ e $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

1197

Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\frac{\cos^{2}\left( x\right) +\sin^{2}\left(x\right) }{\sqrt{x^{3}+1}}.$

1555

Para uma população de elefantas africanas, o peso $W(t)$ (em quilogramas) e a idade $t$ (em anos) pode ser aproximado por uma função de crescimento de Fertanlanffy $W$ tal que $W(t)=2600(1-0,51e^{-0,075t})^3$.

Dê uma aproximação do peso e da taxa de crescimento de um elefante recém-nascido.
Supondo que uma elefanta adulta pese $1800$ $kg$, estime sua idade e sua taxa de crescimento presente.
Calcule e interprete $\lim\limits_{t \to \infty}W(t)$.
Mostre que a taxa de crescimento é máxima entre as idades de $5$ e $6$ anos.

1171

Utilize o Teorema de Valor Médio (ou o caso particular do Teorema de Rolle) para mostrar que, para qualquer valor de $c\in\mathbb{R}$, o polinômio $p\left( x\right) =x^{4}+4x+c$ tem no máximo duas raízes reais.

844

Calcule a derivada da função:

$y=\ln \sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$.

$y' = \sec x$.

1757

Mostre que $\displaystyle \int_0^x \dfrac{\sin t}{t+1} \, dt > 0$

para todo $x>0$.

524

Dois automóveis movem-se em direção a um cruzamento em ângulo reto, um dirigindo-se para o leste à razão de $72 km/h$ e o outro para o sul à razão de $54 km/h$. Com que velocidade os carros aproximam-se um do outro no instante em que o primeiro está a $400 m$ e o segundo a $300 m$ do cruzamento?

528

Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento em ângulo reto, um seguindo a direção leste a uma velocidade de $90 km/h$ e o outro seguindo a direção sul, a $60 km/h$. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a $0,2 km$ do cruzamento e o segundo a $0,15 km$?

1596

Se uma função ímpar $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?

Ela terá um mínimo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação à origem.

Exercícios

MA111 - Cálculo I