Exercícios
Derivada direcional
Selecione os exercícios por
Dificuldade
Categoria
Outros
Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = \arctan{\dfrac{x}{y}}$, $(x_0,y_0) = (3,3)$ e $\bf{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$\displaystyle D_{\bf{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}}f(3,3) = 0.$
$f(x,y) = \sin{xy}, (1,0).$
$1.$
Mostre que uma função diferenciável $f$ decresce mais rapidamente em $\bf{x}$ na direção oposta à do vetor gradiente, ou seja, na direção de $-\nabla f(\bf{x})$.
Se $\bf{u}$ é um versor e $\theta$ é o ângulo entre $\nabla f$ e $\bf{u},$ então
$$
D_{\bf{u} f} = \nabla f \cdot \bf{u} = |\nabla f||\bf u| \cos(\theta) = |\nabla f|\cos(\theta).
$$
O valor mínimo de $\cos(\theta)$ é $-1$ e isto ocorre quando $\theta = \pi.$ Portanto o valor mínimo de $D_{\bf{u}} f$ é $-|\nabla f|$ e ocorre quando $\theta = \pi,$ ou seja, quando $\bf{u}$ tem a direção oposta à de $\nabla f.$
A temperatura em um ponto $(x,y)$ é $T(x,y)$, medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de
$t$ segundos seja dada por $x=\sqrt{1+t}$ e $y=2+\dfrac{1}{3}t$, onde $x$ e $y$ são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz
$T_{x}(2,3)=4$ e $T_{y}(2,3)=3$. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?
A temperatura aumenta a uma taxa de $2º$C/s.
Determine as direções em que a derivada direcional da função \linebreak $f(x,y) = x^2 + \sin{xy}$ no ponto $(1,0)$ tem valor 1.
As direções são dadas pelos vetores $(1,0)$ e $\displaystyle \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right).$
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.
$x^2 - 2y^2 + z^2 + yz = 2$ em $(2,1,-1).$
Plano tangente: $4x - 5y - z = 4$,
Reta normal: $(x,y,z) = (2,1,-1) + \lambda (4,-5,-1),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule $\nabla f(x,y,z)$.
$f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}.$
Seja
$$f(x,y) = x - y\sin{(\pi(x^2 + y^2))}.$$
- Calcule a derivada direcional de $f$ no ponto $(0,0)$ na direção de $\bf{v} = (1/2,\sqrt{3}/2)$.
- Em que direção a taxa de variação de $f$ no ponto $(0,0)$ é máxima? Qual é o valor da taxa máxima nesse ponto?
- $ \displaystyle \frac{1}{2}.$
- Na direção do vetor $(1,0).$ O valor da taxa máxima é $1.$
Existem pontos no hiperboloide $x^2 - y^2 - z^2 = 1$ nos quais o plano tangente é paralelo ao plano $z = x + y$?
Não.
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule $\nabla f(x,y,z)$.
$f(x,y,z) = z \arctan{\dfrac{x}{y}}$
$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \left(\frac{yz}{x^{2} + y^{2}},-\frac{xz}{x^{2} + y^{2}},\arctan\left(\frac{x}{y}\right) \right).$
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule $\nabla f(x,y,z)$.
$f(x,y,z) = (x^2 + y^2 + 1)^{z^2}$
$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = (x^{2} + y^{2} + 1)^{z^{2}-1}\left(2xz^{2},2yz^{2},2z(x^{2} + y^{2} + 1)\ln(x^{2} + y^{2} + 1)\right).$
Se $g(x,y) = x^2 + y^2 - 4x$, encontre o vetor gradiente $\nabla g(1,2)$ e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível $g(x,y) = 1$ no ponto $(1,2)$. Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.
$\nabla g(1,2) = (1,2) = (-2,4);$ reta tangente à curva de nível $g(x,y) = 1$ em $(1,2)$: $-x + 2y = 3.$
Determine a taxa de variação máxima de $f$ no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
$f(x,y,z) = \dfrac{x + y}{z}, (1,1,-1).$
$\sqrt{6}.$
Encontre a derivada direcional de $f(x,y) = x^2 + y^2$ na direção do versor tangente da curva
$$\bf{r}(t) = (\cos{t} + t\sin{t})\bf{i} + (\sin{t} - t\cos{t})\bf{j}, t > 0.$$
Versor tangente a $\mathbf{r}(t):$ $\mathbf{u} = \cos(t)\mathbf{i} + (\sin(t))\mathbf{j};$ $D_{\mathbf{u}} f = 2.$
Existe uma direção $\bf{u}$ na qual a taxa de variação de $f(x,y) = x^2 - 3xy + 4y^2$ em $P = (1,2)$ é igual a 14? Justifique sua resposta.
Não, já que $|\nabla f(1,2)| = \sqrt{185} < 14.$
Determine a derivada direcional de $f(x,y,z) = xy + yz + zx$ em $P = (1,-1,3)$ na direção de $Q = (2,4,5)$.
$\displaystyle \frac{22}{\sqrt{30}}.$
Determine a taxa de variação máxima de $f$ no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
$f(x,y,z) = \tan{(x + 2y + 3z)}, (-5,1,1).$
$\sqrt{14}.$
Determine um plano que seja tangente à superfície $x^2 + 3y^2 + 2z^2 = \dfrac{11}{6}$ e paralelo ao plano $x + y + z = 10$.
$\displaystyle x + y + z = \frac{11}{6}$ ou $\displaystyle x + y + z = -\frac{11}{6}.$
Considere o vetor unitário $\bf{u} = (\sqrt{3}/2,1/2)$ e a função
$$f(x,y) = \begin{cases}
\dfrac{xy^2}{x^2 + y^4}, & \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\ 0, & \text{se } (x,y) = (0,0).\end{cases}$$
- Determine a derivada direcional $D_{\bf{u}}f(0,0)$.
- Explique por que o produto escalar $\nabla f(0,0) \cdot \bf{u}$ não fornece a derivada direcional de $f$ em $(0,0)$ na direção de $\bf{u}$.
- $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}.$
- Pois $f$ não é diferenciável em $(0,0),$ já que não é contínua nesse ponto.
A temperatura em um ponto $(x,y,z)$ é dada por
$$T(x,y,z) = 200e^{-x^2 - 3y^2 - 9z^2},$$
em que $T$ é medido em °C e $x,y$ e $z$ em metros.
- Determine a taxa de variação da temperatura no ponto $P = (2,-1,2)$ em direção ao ponto $(3,-3,3)$.
- Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em $P$?
- Encontre a taxa máxima de crescimento em $P$.
- $\displaystyle \frac{5200\sqrt{6}}{3e^{43}}$ ºC/m.
- $400 e^{-43} (-2,3,-18).$
- $400 e^{-43}\sqrt{337}$ ºC/m.
Considere a função
$$f(x,y) = \begin{cases}
x + y, & \quad \text{se } xy = 0,\\
1, & \quad \text{caso contrário}.
\end{cases}$$
Mostre que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de um vetor $\bf{v} = (a,b)$ com $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.
Seja $\bf{v} = (a,b)$ um vetor unitário (isto é, $a^2+b^2 = 1$), em que $ab \neq 0$. A derivada direcional em $(0,0)$ na direção do vetor unitário $\bf{v}$ existe se o limite
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+ah,0+bh)-f(0,0)}{h}$$
existir. Para $h \neq 0$, temos $(ah)(bh) \neq 0$. Logo $f(ah,bh) = 1$. Assim, o limite em questão se reduz a
$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h},$$
e esse limite não existe. Como o vetor $\bf{v}$ satisfazendo as hipóteses foi tomado arbitrariamente, concluímos que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de nenhum vetor $\bf{v} = (a,b)$ que satisfaça $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.
Seja $f$ uma função de duas variáveis que tenha derivadas parciais contínuas e considere os pontos $A = (1,3)$, $B = (3,3)$, $C = (1,7)$ e $D = (6,15)$. A derivada direcional em $A$ na direção do vetor $\overrightarrow{AB}$ é 3, e a derivada direcional em $A$ na direção $\overrightarrow{AC}$ é 26. Determine a derivada direcional de $f$ em $A$ na direção do vetor $\overrightarrow{AD}$.
$\displaystyle \frac{327}{13}.$
Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função diferenciável de uma variável. Defina
$$g(x,y) = f(r), r = \sqrt{x^2 + y^2}.$$
Calcule a derivada direcional da função $g$ no ponto $(x,y) \neq (0,0)$ e na direção do vetor $(x,y)$.
$(f'(r))^{2}.$
Seja $g(x,y) = f(x^2 + y^2)$, em que $f$ é uma função diferenciável. Sabendo que $f'(2) = 1$, determine a equação da reta tangente à curva de nível de $g$ que passa pelo ponto $(1,1)$.
$x + y = 2.$
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
$f(x,y) = x^2 + xy + y^2$ em $(1,1)$.
Cresce: $(3,3)$; descresce: $(-3,-3).$
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.
$ze^{x - y} + z^3 = 2$ em $(2,2,1)$.
Plano tangente: $x - y + 4z = 4$,
Reta normal: $(x,y,z) = (2,2,1) + \lambda (1,-1,4),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
No item abaixo :
- determine o gradiente de $f$;
- calcule o gradiente no ponto $P$; e
- determine a taxa de variação de $f$ em $P$ na direção do vetor $\bf{u}$.
$f(x,y) = 5xy^2 - 4x^3y, P = (1,2), \bf{u} = \left( \frac{5}{13},\frac{12}{13} \right)$.
- $\nabla f(x,y) = (5y^{2} - 12x^{2}y, 10xy - 4x^{3}).$
- $\nabla f(1,2) = (-4, 16).$
- $\displaystyle \frac{172}{13}.$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$f(x,y) = 1 + 2x\sqrt{y}, (3,4), \bf{v} = \left(4, -3\right).$
$\displaystyle \frac{23}{10}.$
A superfície de um lago é representada por uma região $D$ no plano $xy$, tal que a profundidade (em pés) sob o ponto correspondente a $(x,y)$ é dada por
$$f(x,y) = 300 - 2x^2 - 3y^2.$$
Se um nadador está no ponto $(4,9)$, em que direção deve nadar para que a profundidade sob ele decresça mais rapidamente?
Na direção dada pelo vetor $(16,54).$
Calcule $\nabla f(x,y)$.
$f(x,y) = e^{x^2 - y^2}$
$\displaystyle \nabla f(x,y) = e^{x^{2} - y^{2}}(2x,-2y).$
Determine a derivada direcional de $f$ no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo $\theta$.
$f(x,y) = ye^{-x}, (0,4),$ $\theta = 2\pi/3$.
$2 + \frac{\sqrt{3}}{2}.$
Calcule $\nabla f(x,y)$.
$f(x,y) = \arctan{\dfrac{x}{y}}$
$\displaystyle \nabla f(x,y) = \left(\frac{y }{x^{2} + y^{2}}, -\frac{x}{x^{2} + y^{2}} \right).$
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
$f(x,y) = \sqrt{4 - x^2 - 2y^2}$ em $\left(1,\dfrac{1}{2}\right)$.
Cresce: $(-1,-1)$; descresce: $(1,1).$
Determine os pontos da superfície $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1$ nos quais o plano tangente é paralelo ao plano $3x - y + 3z = 1$.
$\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{2}}{5}, - \frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{5} \right)$ e $\displaystyle \left(-\frac{3\sqrt{2}}{5}, \frac{1}{5\sqrt{2}}, -\frac{\sqrt{2}}{5} \right).$
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.
$x^2 + 3y^2 + 4z^2 = 8$, em $(1,-1,1)$.
Plano tangente: $x - 3y + 4z = 8$
Reta normal: $(x,y,z) = (1,-1,1) + \lambda (2,-6,8),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y$ é $\bf{i} + \bf{j}$.
$\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2}; y =x + 1 \right\rbrace.$
Seja $f(x,y) = x \arctan{\dfrac{x}{y}}$. Calcule $D_{\bf{u}}f(1,1)$, em que $\bf{u}$ aponta na direção e sentido de máximo crescimento de $f$, no ponto $(1,1)$.
$\displaystyle D_{\bf{u}}f(1,1) = \sqrt{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{4}}.$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$f(x,y,z) = xe^y + ye^z + ze^x, (0,0,0), \bf{v} = \left(5,1,-2\right).$
$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{30}}.$
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.
$2xyz = 3$, em $\left(\dfrac{1}{2},1,3\right)$.
Plano tangente: $6x + 3y + z = 9$,
Reta normal: $(x,y,z) = \left(\frac{1}{2},1,3\right) + \lambda (6,3,1),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
Calcule $\nabla f(x,y)$.
$f(x,y) = \dfrac{x}{y}$
$\displaystyle \nabla f(x,y) = \left(\frac{1}{y}, -\frac{x}{y^{2}} \right).$
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.
$x^2 + xy + y^2 - 3y = 1$, em $(1,2)$.
$y - 2 = -2(x - 1).$
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.
$e^{2x - y} + 2x + 2y = 4$, em $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$.
$y = -4x + 3.$
Seja $f$ uma função de três variáveis independentes $x,y$ e $z$. Mostre que $D_{\bf{i}}f = f_x$, $D_{\bf{j}}f = f_y$ e $D_{\bf{k}}f = f_z$.
Lembre que $\bf{i} = (1,0,0),$ $\bf{j} = (0,1,0),$ $\bf{k} = (0,0,1)$ e $D_{\bf{u}}f = \nabla f \cdot \bf{u}.$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = xy$, $(x_0,y_0) = (1,1)$ e $\bf{u}$ o versor de $\bf{i} + \bf{j}$.
$\displaystyle D_{\bf{(1,1)}}f(1,1) = \sqrt{2}.$
Determine uma reta que seja tangente à curva $x^2 + xy + y^2 = 7$ e paralela à reta $4x + 5y = 17$.
$\displaystyle y - 2 = -\frac{4}{5} (x - 1)$ ou $\displaystyle y + 2 = -\frac{4}{5} (x + 1).$
Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida. Suponha que $u$ e $v$ sejam funções de $x$ e $y$, diferenciáveis, e $a$ e $b$ sejam constantes.
$\nabla (au + bv) = a \nabla u + b \nabla v$
$\nabla\left(\dfrac{u}{v}\right) = \dfrac{v \nabla u - u \nabla v}{v^2}$
$\nabla(uv) = u \nabla v + v \nabla u$
$\nabla u^n = nu^{n-1}\nabla u$
Pelas propriedades análogas para derivadas parciais e a linearidade de vetores, os quatro itens são válidos.
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
$f(x,y) = \ln{||(x,y)||}$ em $(1,-1)$.
Cresce: $(1,-1)$; descresce: $(-1,1).$
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva formada pela intersecção do paraboloide $z = x^2 + y^2$ com o elipsoide $4x^2 + y^2 + z^2 = 9$ no ponto $(-1,1,2)$.
$(x,y,z) = (-1,1,2) + \lambda (-10, -16, -12),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
Determine a taxa de variação máxima de $f$ no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
$f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, (3,6,-2).$
$1.$
A temperatura $T$ em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto $(1,2,2)$ é de 120°.
- Determine a taxa de variação de $T$ em $(1,2,2)$ em direção ao ponto $(2,1,3)$.
- Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.
- $\displaystyle -\frac{40}{3\sqrt{3}}.$
- Note que $\nabla T = -360 (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{-3/2} (x,y,z)$ sempre aponta para a origem.
Mostre que a equação do plano tangente ao elipsoide $x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1$ no ponto $(x_0,y_0,z_0)$ pode ser escrita como
$$\dfrac{xx_0}{a^2} + \dfrac{yy_0}{b^2} + \dfrac{zz_0}{c^2} = 1.$$
Note que se $F(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 - 1,$ então
$$
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) = 2 \left(\frac{x_{0}}{a^{2}},\frac{y_{0}}{b^{2}},\frac{z_{0}}{c^{2}} \right)
$$
e a equação do plano tangente em $(x_{0},y_{0},z_{0})$ é
$$
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) \cdot (x,y,z) = \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) \cdot (x_{0},y_{0},z_{0}) = 2.
$$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = e^{x^2-y^2}$, $(x_0,y_0) = (1,1)$ e $\bf{u}$ o versor de $(3,4)$.
$\displaystyle D_{\bf{(3,4)}}f(1,1) = -\frac{2}{5}.$
Determine uma reta que seja tangente à elipse $2x^2 + y^2 = 3$ e paralela à reta $2x + y = 5$.
$\displaystyle y = -2x + 3$ ou$\displaystyle y = -2x - 3.$
No item abaixo :
- determine o gradiente de $f$;
- calcule o gradiente no ponto $P$; e
- determine a taxa de variação de $f$ em $P$ na direção do vetor $\bf{u}$.
$f(x,y) = y \ln{x}, P = (1, -3), \bf{u} = \left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)$.
- $\nabla f(x,y) = (y/x,\ln(x)).$
- $\nabla f(1,-3) = (-3,0).$
- $\displaystyle \frac{12}{5}.$
Considere a função
$$f(x,y) = \ln{(x^2 + y^2)}.$$
- Determine a taxa de variação máxima de $f$ em $(1,1)$ e a direção em que isso ocorre.
- Determine a derivada direcional de $f$ em $(1,1)$ na direção do vetor $\bf{v} = (3,4)$.
- Na direção do vetor $(1,1).$ O valor da taxa máxima é $\sqrt{2}.$
- $ \displaystyle \frac{7}{5}.$
Calcule $\nabla f(x,y)$.
$f(x,y) = x^2y$
$\displaystyle \nabla f(x,y) = (2xy,x^{2}).$
No item abaixo :
- determine o gradiente de $f$;
- calcule o gradiente no ponto $P$; e
- determine a taxa de variação de $f$ em $P$ na direção do vetor $\bf{u}$.
$f(x,y,z) = xe^{2yz}, P = (1,-3), \bf{u} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$.
- $\nabla f(x,y,z) = (e^{yz}, 2xze^{2yz}, 2xye^{2yz}).$
- $\nabla f(3,0,2) = (1,12,0).$
- $\displaystyle -\frac{22}{3}.$
- Duas superfícies são ditas \textbf{ortogonais} em um ponto de intersecção se suas normais são perpendiculares nesse ponto. Mostre que superfícies com equação $F(x,y,z) = 0$ e $G(x,y,z) = 0$ são ortogonais em um ponto $P$, em que $\nabla F \neq 0$ e $\nabla G \neq 0$, se, e somente se, em $P$, $$F_xG_x + F_yG_y + F_zG_z = 0.$$
- Use a parte 1. para mostrar que as superfícies $z^2 = x^2 + y^2$ e $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ são ortogonais em todo ponto de intersecção. Você pode ver isso sem fazer os cálculos?
- Note que a direção da normal de $F$ é dada por $\nabla F,$ a de $G$ por $\nabla G$ e que duas normais em $P$ são perpendiculares se $\nabla F \cdot \nabla G = 0.$
- Tome $F = x^2 + y^2 - z^2,$ $G = x^2 + y^2 + z^2 - r^2$ e verifique $(a).$ Para "ver" isso sem calcular, note que $F = 0$ é a equação de um cone circular com vértice na origem e $G = 0$ é a equação de uma esfera centrada na origem.
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule $\nabla f(x,y,z)$.
$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$
$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = (2x,2y,2z).$
No item abaixo :
- determine o gradiente de $f$;
- calcule o gradiente no ponto $P$; e
- determine a taxa de variação de $f$ em $P$ na direção do vetor $\bf{u}$.
$f(x,y,z) = \sqrt{x+yz}, P = (1,3,1), \bf{u} = \left( \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7} \right)$.
- $\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \left(\frac{1}{2\sqrt{x + yz}}, \frac{z}{2\sqrt{x + yz}}, \frac{y}{2\sqrt{x + yz}} \right).$
- $\displaystyle \nabla f(1,3,1) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right).$
- $\displaystyle \frac{23}{28}.$
Determine a derivada direcional de $f$ no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo $\theta$.
$f(x,y) = x^2y^3 - y^4, (2,1),$ $\theta = \pi/4.$
$6\sqrt{2}.$
Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico $V$ seja dado por $V(x,y,z) = 5x^2 - 3xy + xyz.$
- Determine a taxa de variação do potencial em $P = (3,4,5)$ na direção do vetor $\bf{v} = \bf{i} + \bf{j} - \bf{k}$.
- Em que direção $V$ varia mais rapidamente em $P$?
- Qual a taxa máxima de variação em $P$?
- Queremos determinar o valor de $D_\bf{u}f(P)$, em que $\bf{u}$ é o vetor unitário que tem mesma direção de $\bf{v}$, isto é, $\bf{u} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)$. Como $V$ é diferenciável, segue que $D_\bf{u}f(P) = \nabla V(P) \cdot \mathbf{u}$. Observe que \linebreak $\nabla V(x,y,z) = (10x-3y+yz,-3x+xz,xy)$. Logo $\nabla V(P) = (38,6,12)$. Portanto, $$D_\bf{u}f(P) = \nabla V(P) \, \cdot \, \mathbf{u} = (38,6,12) \, \cdot \, \dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1) = \dfrac{32\sqrt{3}}{3}.$$
- A direção em que $V$ varia mais rapidamente no ponto $P$ é a direção do gradiente de $V$ no ponto $P$, isto é, na direção de $\nabla V(P) = (38,6,12)$. Observe que aqui não é necessário normalizar o vetor, pois o exercício pede apenas a direção.
- A taxa de variação máxima é $|\nabla V(P)| = 2\sqrt{406}$.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$g(p,q) = p^4 - p^2q^3, (2,1), \bf{v}= \left(-1,2\right).$
$\displaystyle -\frac{4\sqrt{10}}{5}.$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = x^2 - 3y^2$, $(x_0,y_0) = (1,2)$ e $\bf{u}$ o versor de $2\bf{i} + \bf{j}.$
$\displaystyle D_{\bf{(2,1)}}f(1,2) = -\frac{8}{5}.$
Determine a taxa de variação máxima de $f$ no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
$f(x,y) = \dfrac{y^2}{x}, (2,4).$
$4\sqrt{2}.$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$f(x,y,z) = \sqrt{xyz}, (3,2,6), \bf{v} = \left(-1,-2,2\right).$
$-1.$