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Planos tangentes e aproximações lineares
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Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. $f(x,y) = xe^{x^2 - y^2}$ em $(2,2,f(2,2))$.
Plano tangente: $z = 9x - 8y$
Reta normal: $(x,y,z) = \left(2,2,2 \right) + \lambda \left(9,-8,-1 \right)$.
O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como $30$ cm e $24$ cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, $0,1$ cm. Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
$\Delta A \approx 5.4$ cm$^{2}$.
Determine o plano que é paralelo ao plano $z = 2x + 3y$ e tangente ao gráfico de $f(x,y) = x^2 + xy$.
Considere
$$z-f(x_{0},y_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$$
o plano tangente ao gráfico de $f$. Assim,
$$z=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\cdot x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\cdot y+\bigg[ f(x_{0},y_{0})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\cdot x_{0}-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\cdot y_{0}\bigg].$$
Como tal plano é paralelo ao plano $z=2x+3y$, obtemos que
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})=2\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e}\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})=3.$$
Notemos que
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+y\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x.$$
Assim, temos o seguinte sistema de equações
$$\left \{\begin{array}{cc}2x_{0}+y_{0}=2 \\x_{0}=3\\\end{array}\right.$$
Logo, $x_{0}=3$ e $y_{0}=-4.$ A partir desses valores temos que $f(x_{0},y_{0})=-3$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\cdot x_{0}=6$ e
$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\cdot y_{0}=-12.$ Portanto, o plano desejado tem equação
$$z=2x+3y-3-6+12,$$
ou seja,
$$z=2x+3y+3.$$
Determine a aproximação linear da função $f(x,y) = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2}$ em $(2,1)$ e use-a para aproximar $f(1,95; 1,08)$.
$L(x,y) = -\frac{2}{3}x - \frac{7}{3}y + \frac{20}{3}$ e $f(1,95; 1,08) \approx 2.847.$
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
$z = 4x^2 - y^2 + 2y, \quad (-1,2,4)$.
$z = -8x - 2y$.
Considere a função $f(x,y) = x \ \phi\left(\frac{x}{y}\right)$, em que $\phi(u)$ é uma função derivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de $f$ passam pela origem.
Note que $x \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) + y \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = f(x,y).$
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
$z = y \ \mbox{cos}(x-y), \quad (2,2,2)$.
$z = y$.
Determine os planos tangentes ao gráfico de $f(x,y) = 2 + x^2 + y^2$ e que contenham o eixo $x$.
$z = 2\sqrt{2} y$ e $z = -2\sqrt{2} y.$
Se $R$ é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo, com resistências $R_1, R_2, R_3$, então
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}.$$
Se as resistências medem, em ohms, $R_1 = 25 \Omega$, $R_2 = 40 \Omega$, $R_3 = 50 \Omega$, com margem de erro de $0,5\%$ em cada uma, estime o erro máximo no valor calculado de $R$.
$\Delta R \approx 0.059 \Omega$.
Determine o plano que passa pelos pontos $(1,1,2)$ e $(-1,1,1)$ e que seja tangente ao gráfico de $f(x,y) = xy$.
$x + 6y - 2z = 3$.
Utilize as diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com $8$ cm de diâmetro e $12$ cm de altura se a espessura da folha de estanho for de $0,04$ cm.
Para $V = \pi r^{2}h$ o volume da lata de raio $r$ e altura $h,$ temos $\Delta V \approx 16$ cm$^{3}.$
Quatro números positivos, cada um menor que $50$, são arredondados até a primeira casa decimal e depois multiplicados. Utilize os diferenciais para estimar o máximo erro possível no cálculo do produto que pode resultar do arredondamento.
Se $x,y,z,w$ são os quatro números e $p(x,y,z,w) = xyzw,$ temos $\Delta p \leq 25000.$
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização $L(x,y)$ da função naquele ponto. $f(x,y) = \dfrac{x}{x+y}, \quad (2,1)$.
As derivadas $f_{x}$ e $f_{y}$ de cada $f$ existem e são contínuas no ponto dado, logo $f$ é diferenciável.
$L(x,y) = \frac{1}{9}x - \frac{2}{9}y + \frac{2}{3}$.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. $f(x,y) = 3x^3y - xy$ em $(1,-1,f(1,-1))$.
Plano tangente: $z = -8x + 2y + 8$
Reta normal: $(x,y,z) = \left(1,-1,-2 \right) + \lambda \left(-8,2,-1 \right)$.
$2x + y + 3z = 6$ é a equação do plano tangente ao gráfico de $f(x,y)$ no ponto $(1,1,1)$.
Calcule $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)$.
Determine a equação da reta normal no ponto $(1,1,1).$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} (1,1) = -\frac{2}{3}$ e $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} (1,1) = -\frac{1}{3}.$
$(x,y,z) = (1,1,1) + \lambda (2,1,3)$.
Mostre que o plano tangente ao parabolóide $z = x^2 + y^2$ no ponto $(1,2,5)$ intercepta o plano $xy$ na reta
$$\begin{cases}2x + 4y - 5 = 0 \\z = 0\end{cases}.$$
Note que o plano tangente no ponto $(1,2,5)$ é $z = 2x + 4y - 5$.
Determine a diferencial da função $R = \alpha\beta^2 \cos{\lambda}$.
$dR = \beta^{2} \cos(\gamma) d\alpha + 2\gamma \beta \cos (\gamma) d\beta - \alpha \beta^{2} \sin(\gamma) d\gamma$.
Determine a diferencial da função $z = x^3 \ln{y^2}$.
$dz = 3x^{2} \ln (y^{2})dx + \frac{2x^{3}}{y} dy$.
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização $L(x,y)$ da função naquele ponto. $f(x,y) = e^{-xy} \cos{y}, \quad (\pi,0)$.
As derivadas $f_{x}$ e $f_{y}$ de cada $f$ existem e são contínuas no ponto dado, logo $f$ é diferenciável.
$L(x,y) = 1 - \pi y$.
Determine a equação dos planos tangentes ao gráfico de $f(x,y) = - x^2 - y^2$ que passam por ambos os pontos $(1,0,7)$ e $(3,0,3)$.
$2x + 2y + z = 9$ e $2x - 2y + z = 9.$
Mostre que se \(f\) é diferenciável e \(z=xf(x/y)\), então todos os pontos planos tangentes ao gráfico dessa equação passam pela origem.
$z = 2x + y$ é a equação do plano tangente ao gráfico de $f(x,y)$ no ponto $(1,1,3)$. Calcule $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1).$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} (1,1) = 2$ e $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} (1,1) = 1.$
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. $f(x,y) = xy$ em $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, f\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\right)$.
Plano tangente: $4z = 2x + 2y - 1$\\
Reta normal: $(x,y,z) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right) + \lambda \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1 \right)$.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. $f(x,y) = x^2 + y^2$ em $(0,1,f(0,1))$.
Plano tangente: $z = 2y - 1$
Reta normal: $(x,y,z) = \left(0,1,1 \right) + \lambda \left(0,2,-1 \right)$.
Determine a aproximação linear da função $f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ em $(3,2,6)$ e use-a para aproximar o número $\sqrt{(3,02)^2 + (1,97)^2 + (5,99)^2}$.
Vamos determinar a aproximação linear da função $f$ em $(3,2,6)$. Primeiramente, calculamos as derivadas parcias $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$, para todo $(x,y,z).$
$\bullet f_{x}(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$
$\bullet f_{y}(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$
$\bullet f_{z}(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2z=\dfrac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$
Agora, calculamos as derivadas parciais de $f$ no ponto $(3,2,6)$, então
$\bullet f_{x}(3,2,6)=\dfrac{3}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}}=\dfrac{3}{7}.$
$\bullet f_{x}(3,2,6)=\dfrac{2}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}}=\dfrac{2}{7}.$
$\bullet f_{x}(3,2,6)=\dfrac{6}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}}=\dfrac{6}{7}.$
Assim, a aproximação linear da função $f$ em $(3,2,6)$ é
\begin{array}{rcl}f(x,y,z)&\approx & f(3,2,6)+f_{x}(3,2,6)(x-3)+f_{y}(3,2,6)(y-2)+f_{z}(3,2,6)(z-6)\\&=&7+\dfrac{3}{7}(x-3)+\frac{2}{7}(y-2)+\frac{6}{7}(z-6)\\&=&\dfrac{3}{7}x+\frac{2}{7}y+\frac{6}{7}z+\bigg(7-\dfrac{9}{7}-\dfrac{4}{7}-\dfrac{36}{7}\bigg)\\&=&\dfrac{3}{7}x+\frac{2}{7}y+\frac{6}{7}z.\end{array}
Agora, vamos aproximar o número $\sqrt{(3,02)^2 + (1,97)^2 + (5,99)^2}.$ Assim,
\begin{array}{rcl}\sqrt{(3,02)^2 + (1,97)^2 + (5,99)^2}&=&f(3,02\,,\,1,97\,,\,5,99)\\&\approx& \frac{3}{7}(3,02)+\frac{2}{7}(1,97)+\frac{6}{7}(5,99)\\&\approx& 6,9914.\end{array}
Se $z = x^2 - xy + 3y^2$ e $(x,y)$ varia de $(3;-1)$ a $(2,96;-0,95)$, compare os valores de $\Delta z$ e $dz$.
$\Delta z = -0.7189$ e $dz = -0.73$.
O elipsoide $4x^{2}+2y^{2}+z^{2}=16$ intercepta o plano $y=2$ em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente à elipse no ponto $(1,2,2).$
$x = 1 + t,$ $y = 2,$ $z = 2 - 2t$.
Determine a diferencial da função $m = p^5q^3$.
$dm = 5p^{4}q^{3} dp + 3p^{5}q^{2} dq$.
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
$z = \sqrt{xy}, \quad (1,1,1)$.
$x + y - 2z = 0$.
Determine os planos que são tangentes ao gráfico de $f(x,y) = x^2 + y^2$ e que contenham a interseção dos planos $x + y + z = 3$ e $z = 0$.
$z = 0$ e $z = 6x + 6y - 18.$
Se $z = 5x^2 + y^2$ e $(x,y)$ varia de $(1,2)$ a $(1,05; 2,1)$, compare os valores de $\Delta z$ e $dz$.
$\Delta z = 0.9225$ e $dz = 0.9$.
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização $L(x,y)$ da função naquele ponto. $f(x,y) = x\sqrt{y}, \quad (1,4)$.
As derivadas $f_{x}$ e $f_{y}$ de cada $f$ existem e são contínuas no ponto dado, logo $f$ é diferenciável.
$L(x,y) = 2x + \frac{1}{4}y - 1$.
Considere a função $f(x,y) = x \ g(x^2 - y^2)$, em que $g(u)$ é uma função derivável de uma variável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(a,a,f(a,a))$ passa pela origem.
Note que $a \frac{\partial f}{\partial x} (a,a) + a \frac{\partial f}{\partial y}(a,a) = f(a,a).$
Determine o plano que é paralelo ao plano $z = 2x + y$ e tangente ao gráfico de $f(x,y) = x^2 + y^2$.
$z = 2x + y - \frac{5}{4}$.
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
$z = 3(x-1)^2 + 2(y+3)^2 + 7, \quad (2,-2,12)$.
$z = 6x + 4y + 8$.
Determine a equação do plano que é tangente ao paraboloide $z = 2x^2 + 3y^2$ e paralelo ao plano $4x - 3y - z = 10$.
$4x - 3y - z = -\frac{11}{4}$.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. $f(x,y) = 2x^2y$ em $(1,1,f(1,1))$.
Plano tangente: $z = 4x + 2y - 4$
Reta normal: $(x,y,z) = \left(1,1,2 \right) + \lambda \left(4,2,-1 \right)$.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. $f(x,y) = \arctan{(x - 2y)}$ em $\left(2, \dfrac{1}{2},f\left(2,\dfrac{1}{2}\right)\right)$.
Plano tangente: $4z = 2x - 4y + (\pi - 2)$
Reta normal: $(x,y,z) = \left(2,\frac{1}{2},\frac{\pi}{4} \right) + \lambda \left(\frac{1}{2},-1,-1 \right)$.