LISTA DE DISCIPLINAS

Exercícios

Domínios, curvas de nível e esboço de gráficos

Selecione os exercícios por

Dificuldade

Categoria

Outros

Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.


2507   

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=y-\ln{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.


$y = \ln(x) + C.$

ma211-list2-ex17_sol_b.png


2471   

Seja $f(x,y,z)=e^{\sqrt{z-x^{2}-y^{2}}}.$

  1. Calcule $f(2,-1,6).$

  2. Determine o domínio de $f$.

  3. Determine a imagem de $f$.


  1. $e.$

  2. $\left\lbrace (x,y,z): \;z \geq x^{2} + y^{2} \right\rbrace.$

  3. $[1,\infty).$


2501   

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=16-x^{2}-y^{2}$ que passa pelo ponto $(2\sqrt{2},\sqrt{2})$.


$x^{2} + y^{2} = 10.$


2502   

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}-1}$ que passa pelo ponto $(1,0)$.


$x = 1$ ou $x = -1.$


2500   

Dada a função $f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.

  2. $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; 0 < z \leq 1 \right\rbrace.$

  3. As curvas de nível são as os círculos $x^{2} + y^{2} = C$ com $C > 0$ e a origem.


2520   

Dada a expressão $g(x,y)=2-f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$


Gráfico de $f$ refletido sobre o plano $xy$ e deslocado para cima por duas unidades.


2458   

O índice I de temperatura-umidade (ou simplesmente humidex) é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é $T$ e a umidade relativa é $h$, de modo que podemos escrever $I=f(T,h)$. A tabela seguinte com valores de $I$ foi extraída de uma tabela do Environment Canada.

ma211-list2-ex5.png

  1. Qual é o valor de $f(35,60)$? Qual é o seu significado?

  2. Para que valor de $h$ temos $f(30,h)=36$?

  3. Para que valor de $T$ temos $f(T,40)=42$?

  4. Qual o significado de $I=f(20,h)$ e $I=f(40,h)$? Compare o comportamento dessas duas funções de $h.$


  1. 48, o que significa que quando a temperatura real é $35^\circ$C e a umidade relativa é $60\%,$ o humidex é $48^\circ$C.

  2. $50\%.$

  3. $35^\circ$C.

  4. $I = f(20,h)$ e $I = f(40,h)$ são funções de $h$ que fornecem os valores do humidex quando a temperatura real é $20^\circ$C e $40^\circ$C, respectivamente. Ambas as funções crescem com $h,$ porém $f(20,h)$ cresce aproximadamente a taxa constante, enquanto $f(40,h)$ cresce mais rapidamente a uma taxa crescente.


2505   

Faça um esboço do diagrama de contorno da função cujo gráfico é mostrado.

ma211-list2-ex16.png


$y = 2x \pm \sqrt{C},$ $C \geq 0.$

ma211-list2-ex16_sol.png


3074   

Mostre (verifique) que o domínio da função $f(x,y)=\ln(x^2-y)$ consiste em todos os pontos abaixo da curva $y<x^2$.


A função $(x,y)\longmapsto\ln(x^2-y)$ só está definida para \( 0<x^2-y \), ou seja, $y<x^2$. Assim, primeiro esboçamos a parábola $y=x^2$ (como uma curva tracejada, por exemplo). A região $y<x^2$ consiste em todos os pontos abaixo dessa curva.


2460   

Seja $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$.

  1. Calcule $f(2,0).$

  2. Determine o domínio de $f$.

  3. Determine a imagem de $f$.


  1. $4.$

  2. $\mathbb{R}^{2}.$

  3. $[0,\infty).$



  1. Queremos calcular $f(2,0)$ sabendo que $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$. Basta substituir os valores na expressão, assim temos
    \[
    f(2,0)=2^{2}e^{3 \cdot 2 \cdot 0}=4e^{0}=4 \cdot 1=4.
    \]
  2. Por definição, o domínio da função $f$ é o conjunto dos pontos de $\mathbb{R}^{2}$ em que a função está bem definida. Em nosso caso, o domínio é o conjunto de pontos em que a função $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$ está bem definida. Portanto, o domínio de $f$ é $\mathbb{R}^2$.
  3. A imagem da função $f$ é o conjunto dos pontos $\{ z\in \mathbb{R} | z = f(x,y) \text{ e } (x,y)\in D\}$, onde $D$ é o domínio de $f$. Observe que $x^{2} \geq 0$ e $e^{3xy}> 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$, logo $x^{2}e^{3xy}\geq 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$. Por exemplo, se fixarmos $x=1$ temos que a imagem da função são os pontos da forma $e^{3y}$ com $y\in \mathbb{R}$, ou seja, é todo o intervalo $(0,\infty)$. Agora, quando colocamos $x=0$ a imagem é $0$. Portanto, a imagem de $f$ é o conjunto $[0,\infty]$.

2499   

Dada a função $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2})$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,0) \right\rbrace$.

  2. $Im(f) = \mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são os círculos $x^{2} + y^{2} = C$ com $C > 0.$


2517   

Dada a expressão $g(x,y)=f(x,y)+2$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$


Gráfico de $f$ deslocado para cima por duas unidades.


2503   

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=\displaystyle \int_{x}^{y}\dfrac{dt}{1+t^{2}}$ que passa pelo ponto $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$.


$\arctan(y) - \arctan(x) = 2\arctan(\sqrt{2}).$


2477   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$.


$\left\lbrace (x,y);\; x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 \right\rbrace.$

ma211-list2-ex10_sol_e.png


2495   

Dada a função $f(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}}$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,y) \right\rbrace$.

  2. $Im(f) =\mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são as parábolas $y = C x^{2}$ sem a origem se $C \neq 0$ e o eixo $x$ se $C \neq 0.$


2457   

Considere a função

$$f(x,y)=\sqrt{x+y^{2}-3}$$

  1. Faça um esboço das curvas de nível de $f$ nos níveis $c=0$, $c=1$ e $c=3.$
  2. Quantas curvas de nível de $f$ passam pelo ponto $(3,-1)$?


  1. As curvas de níveis de $f$ são

    $$\sqrt{x+y^{2}-3}=c\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x+y^{2}-3=c^2\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x=3+c^2-y^{2},$$

    ou seja, uma família de parábolas com concavidade para a esquerda. As três curvas de níveis pedidas, obtidas considerando respectivamente $c=0$, $c=1$ e $c=3$, são

    $x=3-y^{2}$, $x=4-y^{2}$ e $x=12-y^{2}.$ Elas estão apresentadas na figura abaixo.

    ma211-list2-ex2.png

  2. Pelo ponto $(3,-1)$ passa uma única curva de nível, isto é, $f(x,y)=1.$ Pois caso contrário o ponto $(3,-1)$ teria duas alturas diferentes, o que é impossível.


2530   

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $z=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2x-y}$.


$\left\lbrace (x,y); x^{2} \leq y \leq 2x \right\rbrace$

ma211-list2-ex25_sol_c.png


2492   

Dada a função $f(x,y)=\sqrt{y-x}$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; x \leq y \right\rbrace$.

  2. $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z \geq 0 \right\rbrace.$

  3. As curvas de nível são as retas $y - x = C,$ com $C \geq 0.$


3075   

  1.  Esboce o gráfico da função $f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$.

  2.  Descreva em palavras como o gráfico da função \(\displaystyle g(x,y)= e^{-a(x^2+y^2)}\) está relacionado com o gráfico de \(f\), sendo \(a>0\). Mostre (verifique) que o valor de \(a\) influencia na "largura" do pico presente no gráfico da função.


2531   

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $z=\ln(2x^{2}+y^{2}-1)$.


$\left\lbrace (x,y); 2x^{2} + y^{2} > 1 \right\rbrace$

ma211-list2-ex25_sol_d.png


2529   

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $f(x,y)=\dfrac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$.


$\left\lbrace (x,y); x^{2} + y^{2} < 1 \right\rbrace$

ma211-list2-ex25_sol_b.png


2523   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\ln(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_c.png


2456   

Dada $f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}$.

  1. Encontre o domínio da função;

  2. Encontre a imagem da função;

  3. Descreva as curvas de nível da função.



  1. O domínio de $f$ é

    $$D=\{(x,y)|\, 16-x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}<16\}.$$ma211-list2-ex1.png

  2. A imagem de $f$ é

    $$\bigg\{z|\, z=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}},\,(x,y)\in D\bigg\}.$$

    Mas,

    $$z=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}.$$

    Assim, a imagem de $f$ é $\bigg\{z|\, z \geq \dfrac{1}{4}\bigg\}.$

  3. s curvas de níveis de $f$ são da forma $f(x,y)=c$, isto é,

    $$\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}=c\Leftrightarrow \sqrt{16-x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow 16-x^{2}-y^{2}=\frac{1}{c^{2}}$$

    $$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=16-\frac{1}{c^{2}}.$$

    Assim, as curvas de níveis de $f$ são circunferências com centro na origem e raio menor do que $4.$


2474   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\ln(9-x^{2}-9y^{2})$.


$\left\lbrace (x,y);\; \frac{x^{2}}{9} + y^{2} < 1 \right\rbrace.$


ma211-list2-ex10_sol_b.png


2487   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\cos{x}$.


$z = \cos(x)$

ma211-list2-ex11_sol_d.png


2516   

Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2}+z^{2})$ que passa pelo ponto $(-1,2,1)$.


$x^{2} + y + z^{2} = 6.$


2486   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=10-4x-5y$.


$z = 10 - 4x - 5y.$

ma211-list2-ex11_sol_c.png


2490   

Faça uma correspondência entre a função e seu gráfico (indicado por I-VI). Dê razões para sua escolha.

  1. $f(x,y)=|x|+|y|$.

  2. $f(x,y)=\dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}$.

  3. $f(x,y)=(x-y)^{2}$.

  4. $f(x,y)=|xy|$.

  5. $f(x,y)=(x^{2}-y^{2})^{2}$.

  6. $f(x,y)=\sin(|x|+|y|)$.

ma211-list2-ex12.png


2476   

Determine e faça o esboço do domínio da função $\bigstar$ $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{y-x^{2}}}{1-x^{2}}$.


$\left\lbrace (x,y);\; y \geq x^{2},\; x\neq \pm 1 \right\rbrace.$

ma211-list2-ex10_sol_d.png


2479   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=3$.


$z = 3.$

ma211-list2-ex11_sol_a.png


2506   

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=(y-2x)^{2}$  mostrando várias de suas curvas de nível.


$y=2x\pm \sqrt{C}, C \geq0.$

ma211-list2-ex17_sol_a.png


2514   

Faça uma correspondência entre a função: (i) e seu gráfico; (ii) e seus mapas de contorno. Justifique sua escolha.

  1. $z=\sin(xy)$

  2. $z=\sin(x-y)$

  3. $z=(1-x^{2})(1-y^{2})$

  4. $z=e^{x} \; \cos{y}$

  5. $z=\sin{x}-\sin{y}$

  6. $z=\dfrac{x-y}{1+x^{2}+y^{2}}$

ma211-list2-ex19_1.png

ma211-list2-ex19_2.png


2524   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ .Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_d.png


2379   

Determine a equação da reta tangente à curva $\gamma$ no ponto $\gamma(t_0) = (2,5)$ sabendo-se que $\gamma'(t) \neq \bf{0}$ e que sua imagem está contida na curva de nível $xy = 10$. Qual a equação da reta normal a $\gamma$, neste ponto?


 Reta tangente: $(x,y) = (2,5) + \lambda (-2,5),$ $\lambda \in \mathbb{R},$
Reta normal: $(x,y) = (2,5) + \lambda (5,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$


2526   

Seja $f(x,y)=3x+2y.$ Calcule:

  1. $f(1,-1)$;

  2. $f(a,x)$;

  3. $\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$;

  4. $\dfrac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}$.


  1. $1.$

  2. $3a + 2x.$

  3. $3.$

  4. $2.$


2508   

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=ye^{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.


$y = Ce^{-x}.$

ma211-list2-ex17_sol_c.png


2480   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=y$.


$z = y.$

ma211-list2-ex11_sol_b.png


2519   

Dada a expressão $g(x,y)=-f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$


Gráfico de $f$ refletido sobre o plano $xy.$


2478   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y,z)=\ln(16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2})$.


$\left\lbrace (x,y);\; \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{16} < 1\right\rbrace.$

ma211-list2-ex10_sol_f.png


2518   

Dada a expressão $g(x,y)=2f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$


Gráfico de $f$ esticado verticalmente ao dobro.


2525   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_e.png


2494   

Dada a função $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}.$

  2. $Im(f) = \mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são as hipérboles $x^{2} - y^{2} = C$ com foco no eixo $x$ se $C > 0;$ com foco no eixo $y$ se $C < 0$ e as retas $y = \pm x$ se $C = 0.$


2493   

Dada a função $f(x,y)=xy$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.

  2. $Im(f) = \mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são as hipérboles $xy = C$ quando $C \neq 0$ e os eixos $x$ e $y$ quando $C = 0.$


2475   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-y^{2}}$.



$\left\lbrace (x,y);\; -1 \leq x \leq 1,\;-1\leq y \leq 1 \right\rbrace.$

ma211-list2-ex10_sol_c.png


2473   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\sqrt{x+y}$.


$\left\lbrace (x,y);\; y \geq -x \right\rbrace$

ma211-list2-ex10_sol_a.png


2504   

Dois mapas de contorno são mostrados na figura. Um é de uma função $f$ cujo gráfico é um cone. O outro é de uma função $g$ cujo gráfico é um paraboloide. Qual é qual? Por quê?

ma211-list2-ex15.png


O da esquerda corresponde ao cone e o da direita ao paraboloide.


2522   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_b.png


2489   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.


$z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

ma211-list2-ex11_sol_f.png


2472   

Seja $g(x,y,z)=\ln(25-x^{2}-y^{2}-z^{2}).$

  1. Calcule $g(2,-2,4).$

  2. Determine o domínio de $g$.

  3. Determine a imagem de $g$.


  1. $0.$

  2. $\left\lbrace (x,y,z): x^{2} + y^{2} + z^{2} < 25 \right\rbrace.$

  3. $(-\infty, \ln(25)].$


2488   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=y^{2}+1$.


$z = y^{2} + 1$

ma211-list2-ex11_sol_e.png


2528   

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $x+y-1+z^{2}=0$, $z\geq 0$.


$\left\lbrace (x,y); x + y \leq 1 \right\rbrace$

ma211-list2-ex25_sol_a.png


2378   

É dada uma curva $\gamma$ que passa pelo ponto $\gamma(t_0) = (1,3)$ e cuja imagem está contida na curva de nível $x^2 + y^2 = 10$. Suponha $\gamma'(t_0) \neq \bf{0}$.

  1.  Determine a equação da reta tangente a $\gamma$ no ponto $(1,3)$.
  2.  Determine uma curva $\gamma(t)$ satisfazendo as condições acima.


  1. $(x,y) = (1,3) + \lambda (-6,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
  2. $\gamma(t) = (\sqrt{10} \cos(t), \sqrt{10} \sin(t)).$


2532   

Seja $f(x,y)=e^{xy}$ uma função de duas variáveis.

  1. Determine o domínio e a imagem de $f.$

  2. Esboce as curvas de nível de $f.$


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$ e $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z > 0 \right\rbrace.$

  2. $xy = C.$

ma211-list2-ex26_sol.png


2521   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_a.png


2513   

Uma placa fina de metal, localizada no plano $xy$, tem temperatura $T(x,y)$ no ponto $(x,y)$. As curvas de nível de $T$ são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por

$$T(x,y)=\dfrac{100}{1+x^{2}+2y^{2}}.$$


As isotérmicas são dadas pela família de elipses: $x^{2} + 2y^{2} = \frac{100}{C} - 1,$ com $0 < C \leq 100.$

ma211-list2-ex18_sol.png


2527   

Seja $f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+2y}$.

  1. Determine o domínio.

  2. Calcule $f(2u+v,v-u).$


  1. $\left\lbrace (x,y);\; x \neq -2y \right\rbrace$

  2. $\frac{u}{v}.$


2459   

Verifique que, para a função de produção de Cobb-Douglas

$$P(L,K)=1,01L^{0,75}K^{0,25}$$

discutida no Exemplo 3 da Seção 14.1 do Stewart, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma função de produção genérica

$$P(L,K)=bL^{\alpha}K^{1-\alpha}.$$


Sim.


2491   

Dada a função $f(x,y)=y-x$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.

  2. $Im(f) = \mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são as retas $y - x = C.$


2515   

Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y,z)=\sqrt{x-y}-\ln z$ que passa pelo ponto $(3,-1,1)$.


$\sqrt{x - y} - \ln(z) = 2.$