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Domínios, curvas de nível e esboço de gráficos

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2457   

Considere a função

$$f(x,y)=\sqrt{x+y^{2}-3}$$

  1. Faça um esboço das curvas de nível de $f$ nos níveis $c=0$, $c=1$ e $c=3.$
  2. Quantas curvas de nível de $f$ passam pelo ponto $(3,-1)$?


  1. As curvas de níveis de $f$ são

    $$\sqrt{x+y^{2}-3}=c\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x+y^{2}-3=c^2\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x=3+c^2-y^{2},$$

    ou seja, uma família de parábolas com concavidade para a esquerda. As três curvas de níveis pedidas, obtidas considerando respectivamente $c=0$, $c=1$ e $c=3$, são

    $x=3-y^{2}$, $x=4-y^{2}$ e $x=12-y^{2}.$ Elas estão apresentadas na figura abaixo.

    ma211-list2-ex2.png

  2. Pelo ponto $(3,-1)$ passa uma única curva de nível, isto é, $f(x,y)=1.$ Pois caso contrário o ponto $(3,-1)$ teria duas alturas diferentes, o que é impossível.


2531   

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $z=\ln(2x^{2}+y^{2}-1)$.


$\left\lbrace (x,y); 2x^{2} + y^{2} > 1 \right\rbrace$

ma211-list2-ex25_sol_d.png


2520   

Dada a expressão $g(x,y)=2-f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$


Gráfico de $f$ refletido sobre o plano $xy$ e deslocado para cima por duas unidades.


2499   

Dada a função $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2})$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,0) \right\rbrace$.

  2. $Im(f) = \mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são os círculos $x^{2} + y^{2} = C$ com $C > 0.$


2514   

Faça uma correspondência entre a função: (i) e seu gráfico; (ii) e seus mapas de contorno. Justifique sua escolha.

  1. $z=\sin(xy)$

  2. $z=\sin(x-y)$

  3. $z=(1-x^{2})(1-y^{2})$

  4. $z=e^{x} \; \cos{y}$

  5. $z=\sin{x}-\sin{y}$

  6. $z=\dfrac{x-y}{1+x^{2}+y^{2}}$

ma211-list2-ex19_1.png

ma211-list2-ex19_2.png


2460   

Seja $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$.

  1. Calcule $f(2,0).$

  2. Determine o domínio de $f$.

  3. Determine a imagem de $f$.


  1. $4.$

  2. $\mathbb{R}^{2}.$

  3. $[0,\infty).$



  1. Queremos calcular $f(2,0)$ sabendo que $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$. Basta substituir os valores na expressão, assim temos
    \[
    f(2,0)=2^{2}e^{3 \cdot 2 \cdot 0}=4e^{0}=4 \cdot 1=4.
    \]
  2. Por definição, o domínio da função $f$ é o conjunto dos pontos de $\mathbb{R}^{2}$ em que a função está bem definida. Em nosso caso, o domínio é o conjunto de pontos em que a função $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$ está bem definida. Portanto, o domínio de $f$ é $\mathbb{R}^2$.
  3. A imagem da função $f$ é o conjunto dos pontos $\{ z\in \mathbb{R} | z = f(x,y) \text{ e } (x,y)\in D\}$, onde $D$ é o domínio de $f$. Observe que $x^{2} \geq 0$ e $e^{3xy}> 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$, logo $x^{2}e^{3xy}\geq 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$. Por exemplo, se fixarmos $x=1$ temos que a imagem da função são os pontos da forma $e^{3y}$ com $y\in \mathbb{R}$, ou seja, é todo o intervalo $(0,\infty)$. Agora, quando colocamos $x=0$ a imagem é $0$. Portanto, a imagem de $f$ é o conjunto $[0,\infty]$.

2475   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-y^{2}}$.



$\left\lbrace (x,y);\; -1 \leq x \leq 1,\;-1\leq y \leq 1 \right\rbrace.$

ma211-list2-ex10_sol_c.png


2529   

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $f(x,y)=\dfrac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$.


$\left\lbrace (x,y); x^{2} + y^{2} < 1 \right\rbrace$

ma211-list2-ex25_sol_b.png


2528   

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $x+y-1+z^{2}=0$, $z\geq 0$.


$\left\lbrace (x,y); x + y \leq 1 \right\rbrace$

ma211-list2-ex25_sol_a.png


2501   

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=16-x^{2}-y^{2}$ que passa pelo ponto $(2\sqrt{2},\sqrt{2})$.


$x^{2} + y^{2} = 10.$


2504   

Dois mapas de contorno são mostrados na figura. Um é de uma função $f$ cujo gráfico é um cone. O outro é de uma função $g$ cujo gráfico é um paraboloide. Qual é qual? Por quê?

ma211-list2-ex15.png


O da esquerda corresponde ao cone e o da direita ao paraboloide.


2524   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ .Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_d.png


2488   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=y^{2}+1$.


$z = y^{2} + 1$

ma211-list2-ex11_sol_e.png


3074   

Mostre (verifique) que o domínio da função $f(x,y)=\ln(x^2-y)$ consiste em todos os pontos abaixo da curva $y<x^2$.


A função $(x,y)\longmapsto\ln(x^2-y)$ só está definida para \( 0<x^2-y \), ou seja, $y<x^2$. Assim, primeiro esboçamos a parábola $y=x^2$ (como uma curva tracejada, por exemplo). A região $y<x^2$ consiste em todos os pontos abaixo dessa curva.


2522   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_b.png


2532   

Seja $f(x,y)=e^{xy}$ uma função de duas variáveis.

  1. Determine o domínio e a imagem de $f.$

  2. Esboce as curvas de nível de $f.$


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$ e $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z > 0 \right\rbrace.$

  2. $xy = C.$

ma211-list2-ex26_sol.png


2521   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_a.png


2530   

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $z=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2x-y}$.


$\left\lbrace (x,y); x^{2} \leq y \leq 2x \right\rbrace$

ma211-list2-ex25_sol_c.png


2517   

Dada a expressão $g(x,y)=f(x,y)+2$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$


Gráfico de $f$ deslocado para cima por duas unidades.


2516   

Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2}+z^{2})$ que passa pelo ponto $(-1,2,1)$.


$x^{2} + y + z^{2} = 6.$


2502   

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}-1}$ que passa pelo ponto $(1,0)$.


$x = 1$ ou $x = -1.$


2523   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\ln(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_c.png


2479   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=3$.


$z = 3.$

ma211-list2-ex11_sol_a.png


2491   

Dada a função $f(x,y)=y-x$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.

  2. $Im(f) = \mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são as retas $y - x = C.$


3075   

  1.  Esboce o gráfico da função $f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$.

  2.  Descreva em palavras como o gráfico da função \(\displaystyle g(x,y)= e^{-a(x^2+y^2)}\) está relacionado com o gráfico de \(f\), sendo \(a>0\). Mostre (verifique) que o valor de \(a\) influencia na "largura" do pico presente no gráfico da função.


2500   

Dada a função $f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.

  2. $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; 0 < z \leq 1 \right\rbrace.$

  3. As curvas de nível são as os círculos $x^{2} + y^{2} = C$ com $C > 0$ e a origem.


2503   

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=\displaystyle \int_{x}^{y}\dfrac{dt}{1+t^{2}}$ que passa pelo ponto $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$.


$\arctan(y) - \arctan(x) = 2\arctan(\sqrt{2}).$


2506   

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=(y-2x)^{2}$  mostrando várias de suas curvas de nível.


$y=2x\pm \sqrt{C}, C \geq0.$

ma211-list2-ex17_sol_a.png


2493   

Dada a função $f(x,y)=xy$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.

  2. $Im(f) = \mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são as hipérboles $xy = C$ quando $C \neq 0$ e os eixos $x$ e $y$ quando $C = 0.$


2458   

O índice I de temperatura-umidade (ou simplesmente humidex) é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é $T$ e a umidade relativa é $h$, de modo que podemos escrever $I=f(T,h)$. A tabela seguinte com valores de $I$ foi extraída de uma tabela do Environment Canada.

ma211-list2-ex5.png

  1. Qual é o valor de $f(35,60)$? Qual é o seu significado?

  2. Para que valor de $h$ temos $f(30,h)=36$?

  3. Para que valor de $T$ temos $f(T,40)=42$?

  4. Qual o significado de $I=f(20,h)$ e $I=f(40,h)$? Compare o comportamento dessas duas funções de $h.$


  1. 48, o que significa que quando a temperatura real é $35^\circ$C e a umidade relativa é $60\%,$ o humidex é $48^\circ$C.

  2. $50\%.$

  3. $35^\circ$C.

  4. $I = f(20,h)$ e $I = f(40,h)$ são funções de $h$ que fornecem os valores do humidex quando a temperatura real é $20^\circ$C e $40^\circ$C, respectivamente. Ambas as funções crescem com $h,$ porém $f(20,h)$ cresce aproximadamente a taxa constante, enquanto $f(40,h)$ cresce mais rapidamente a uma taxa crescente.


2459   

Verifique que, para a função de produção de Cobb-Douglas

$$P(L,K)=1,01L^{0,75}K^{0,25}$$

discutida no Exemplo 3 da Seção 14.1 do Stewart, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma função de produção genérica

$$P(L,K)=bL^{\alpha}K^{1-\alpha}.$$


Sim.


2515   

Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y,z)=\sqrt{x-y}-\ln z$ que passa pelo ponto $(3,-1,1)$.


$\sqrt{x - y} - \ln(z) = 2.$


2527   

Seja $f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+2y}$.

  1. Determine o domínio.

  2. Calcule $f(2u+v,v-u).$


  1. $\left\lbrace (x,y);\; x \neq -2y \right\rbrace$

  2. $\frac{u}{v}.$


2492   

Dada a função $f(x,y)=\sqrt{y-x}$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; x \leq y \right\rbrace$.

  2. $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z \geq 0 \right\rbrace.$

  3. As curvas de nível são as retas $y - x = C,$ com $C \geq 0.$


2508   

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=ye^{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.


$y = Ce^{-x}.$

ma211-list2-ex17_sol_c.png


2507   

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=y-\ln{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.


$y = \ln(x) + C.$

ma211-list2-ex17_sol_b.png


2378   

É dada uma curva $\gamma$ que passa pelo ponto $\gamma(t_0) = (1,3)$ e cuja imagem está contida na curva de nível $x^2 + y^2 = 10$. Suponha $\gamma'(t_0) \neq \bf{0}$.

  1.  Determine a equação da reta tangente a $\gamma$ no ponto $(1,3)$.
  2.  Determine uma curva $\gamma(t)$ satisfazendo as condições acima.


  1. $(x,y) = (1,3) + \lambda (-6,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
  2. $\gamma(t) = (\sqrt{10} \cos(t), \sqrt{10} \sin(t)).$


2505   

Faça um esboço do diagrama de contorno da função cujo gráfico é mostrado.

ma211-list2-ex16.png


$y = 2x \pm \sqrt{C},$ $C \geq 0.$

ma211-list2-ex16_sol.png


2473   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\sqrt{x+y}$.


$\left\lbrace (x,y);\; y \geq -x \right\rbrace$

ma211-list2-ex10_sol_a.png


2519   

Dada a expressão $g(x,y)=-f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$


Gráfico de $f$ refletido sobre o plano $xy.$


2478   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y,z)=\ln(16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2})$.


$\left\lbrace (x,y);\; \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{16} < 1\right\rbrace.$

ma211-list2-ex10_sol_f.png


2487   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\cos{x}$.


$z = \cos(x)$

ma211-list2-ex11_sol_d.png


2477   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$.


$\left\lbrace (x,y);\; x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 \right\rbrace.$

ma211-list2-ex10_sol_e.png


2379   

Determine a equação da reta tangente à curva $\gamma$ no ponto $\gamma(t_0) = (2,5)$ sabendo-se que $\gamma'(t) \neq \bf{0}$ e que sua imagem está contida na curva de nível $xy = 10$. Qual a equação da reta normal a $\gamma$, neste ponto?


 Reta tangente: $(x,y) = (2,5) + \lambda (-2,5),$ $\lambda \in \mathbb{R},$
Reta normal: $(x,y) = (2,5) + \lambda (5,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$


2518   

Dada a expressão $g(x,y)=2f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$


Gráfico de $f$ esticado verticalmente ao dobro.


2480   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=y$.


$z = y.$

ma211-list2-ex11_sol_b.png


2474   

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\ln(9-x^{2}-9y^{2})$.


$\left\lbrace (x,y);\; \frac{x^{2}}{9} + y^{2} < 1 \right\rbrace.$


ma211-list2-ex10_sol_b.png


2471   

Seja $f(x,y,z)=e^{\sqrt{z-x^{2}-y^{2}}}.$

  1. Calcule $f(2,-1,6).$

  2. Determine o domínio de $f$.

  3. Determine a imagem de $f$.


  1. $e.$

  2. $\left\lbrace (x,y,z): \;z \geq x^{2} + y^{2} \right\rbrace.$

  3. $[1,\infty).$


2472   

Seja $g(x,y,z)=\ln(25-x^{2}-y^{2}-z^{2}).$

  1. Calcule $g(2,-2,4).$

  2. Determine o domínio de $g$.

  3. Determine a imagem de $g$.


  1. $0.$

  2. $\left\lbrace (x,y,z): x^{2} + y^{2} + z^{2} < 25 \right\rbrace.$

  3. $(-\infty, \ln(25)].$


2490   

Faça uma correspondência entre a função e seu gráfico (indicado por I-VI). Dê razões para sua escolha.

  1. $f(x,y)=|x|+|y|$.

  2. $f(x,y)=\dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}$.

  3. $f(x,y)=(x-y)^{2}$.

  4. $f(x,y)=|xy|$.

  5. $f(x,y)=(x^{2}-y^{2})^{2}$.

  6. $f(x,y)=\sin(|x|+|y|)$.

ma211-list2-ex12.png


2486   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=10-4x-5y$.


$z = 10 - 4x - 5y.$

ma211-list2-ex11_sol_c.png


2526   

Seja $f(x,y)=3x+2y.$ Calcule:

  1. $f(1,-1)$;

  2. $f(a,x)$;

  3. $\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$;

  4. $\dfrac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}$.


  1. $1.$

  2. $3a + 2x.$

  3. $3.$

  4. $2.$


2456   

Dada $f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}$.

  1. Encontre o domínio da função;

  2. Encontre a imagem da função;

  3. Descreva as curvas de nível da função.



  1. O domínio de $f$ é

    $$D=\{(x,y)|\, 16-x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}<16\}.$$ma211-list2-ex1.png

  2. A imagem de $f$ é

    $$\bigg\{z|\, z=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}},\,(x,y)\in D\bigg\}.$$

    Mas,

    $$z=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}.$$

    Assim, a imagem de $f$ é $\bigg\{z|\, z \geq \dfrac{1}{4}\bigg\}.$

  3. s curvas de níveis de $f$ são da forma $f(x,y)=c$, isto é,

    $$\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}=c\Leftrightarrow \sqrt{16-x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow 16-x^{2}-y^{2}=\frac{1}{c^{2}}$$

    $$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=16-\frac{1}{c^{2}}.$$

    Assim, as curvas de níveis de $f$ são circunferências com centro na origem e raio menor do que $4.$


2494   

Dada a função $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}.$

  2. $Im(f) = \mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são as hipérboles $x^{2} - y^{2} = C$ com foco no eixo $x$ se $C > 0;$ com foco no eixo $y$ se $C < 0$ e as retas $y = \pm x$ se $C = 0.$


2525   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?


O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

ma211-list2-ex22_sol_e.png


2489   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.


$z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

ma211-list2-ex11_sol_f.png


2495   

Dada a função $f(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}}$.

  1. Encontre o domínio da função.

  2. Encontre a imagem da função.

  3. Descreva as curvas de nível da função.


  1. $D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,y) \right\rbrace$.

  2. $Im(f) =\mathbb{R}.$

  3. As curvas de nível são as parábolas $y = C x^{2}$ sem a origem se $C \neq 0$ e o eixo $x$ se $C \neq 0.$


2513   

Uma placa fina de metal, localizada no plano $xy$, tem temperatura $T(x,y)$ no ponto $(x,y)$. As curvas de nível de $T$ são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por

$$T(x,y)=\dfrac{100}{1+x^{2}+2y^{2}}.$$


As isotérmicas são dadas pela família de elipses: $x^{2} + 2y^{2} = \frac{100}{C} - 1,$ com $0 < C \leq 100.$

ma211-list2-ex18_sol.png


2476   

Determine e faça o esboço do domínio da função $\bigstar$ $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{y-x^{2}}}{1-x^{2}}$.


$\left\lbrace (x,y);\; y \geq x^{2},\; x\neq \pm 1 \right\rbrace.$

ma211-list2-ex10_sol_d.png