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Funções de várias variáveis reais
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Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?
O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$
Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $x+y-1+z^{2}=0$, $z\geq 0$.
$\left\lbrace (x,y); x + y \leq 1 \right\rbrace$
Defina continuidade de uma função de duas variáveis $f(x,y)$ em um ponto $(x_0, y_0)$ de seu domínio.
Dada a função
$$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^2\sqrt{y}}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\L, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0),\end{cases}$$
é possível encontrar $L$ de maneira que $f$ seja contínua em $(0,0)$?
$f(x,y)$ é contínua em $(x_{0},y_{0}) \in D_{f}$ se
$$\lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})} f(x,y) = f(x_{0},y_{0}).$$
$L = 0.$
Dada a expressão $g(x,y)=2-f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$
Gráfico de $f$ refletido sobre o plano $xy$ e deslocado para cima por duas unidades.
Dada a função $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2})$.
Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.
$D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,0) \right\rbrace$.
$Im(f) = \mathbb{R}.$
As curvas de nível são os círculos $x^{2} + y^{2} = C$ com $C > 0.$
Dada a função $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$.
Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.
$D_{f} = \mathbb{R}^{2}.$
$Im(f) = \mathbb{R}.$
As curvas de nível são as hipérboles $x^{2} - y^{2} = C$ com foco no eixo $x$ se $C > 0;$ com foco no eixo $y$ se $C < 0$ e as retas $y = \pm x$ se $C = 0.$
Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $f(x,y)=\dfrac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$.
$\left\lbrace (x,y); x^{2} + y^{2} < 1 \right\rbrace$
Mostre (verifique) que o domínio da função $f(x,y)=\ln(x^2-y)$ consiste em todos os pontos abaixo da curva $y<x^2$.
A função $(x,y)\longmapsto\ln(x^2-y)$ só está definida para \( 0<x^2-y \), ou seja, $y<x^2$. Assim, primeiro esboçamos a parábola $y=x^2$ (como uma curva tracejada, por exemplo). A região $y<x^2$ consiste em todos os pontos abaixo dessa curva.
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$, caso exista.
$0.$
Se $f(x_0,y_0) = 3$, o que podemos dizer sobre
$$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)$$
se $f$ for contínua em $(x_0,y_0)$? E se $f$ não for contínua em $(x_0,y_0)$? Justifique sua resposta.
Se $f$ for contínua em $(x_{0},y_{0}),$ então o limite é igual a $f(x_{0},y_{0}) = 3.$ Se não for contínua em $(x_{0},y_{0}),$ então o limite pode ter qualquer valor diferente de $3.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$, caso exista.
Não existe.
$$f(x,y)=\sqrt{x+y^{2}-3}$$
- Faça um esboço das curvas de nível de $f$ nos níveis $c=0$, $c=1$ e $c=3.$
- Quantas curvas de nível de $f$ passam pelo ponto $(3,-1)$?
As curvas de níveis de $f$ são
$$\sqrt{x+y^{2}-3}=c\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x+y^{2}-3=c^2\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x=3+c^2-y^{2},$$
ou seja, uma família de parábolas com concavidade para a esquerda. As três curvas de níveis pedidas, obtidas considerando respectivamente $c=0$, $c=1$ e $c=3$, são
$x=3-y^{2}$, $x=4-y^{2}$ e $x=12-y^{2}.$ Elas estão apresentadas na figura abaixo.
Pelo ponto $(3,-1)$ passa uma única curva de nível, isto é, $f(x,y)=1.$ Pois caso contrário o ponto $(3,-1)$ teria duas alturas diferentes, o que é impossível.
Determine o maior conjunto no qual a função $G(x,y) = \ln{(x^2 + y^2 - 4)}$ é contínua.
$\left\lbrace (x,y);\;x^{2} + y^{2} > 4 \right\rbrace.$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2ye^y}{x^4 + 4y^2}$.
Não existe.
Não existe.
Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $z=\ln(2x^{2}+y^{2}-1)$.
$\left\lbrace (x,y); 2x^{2} + y^{2} > 1 \right\rbrace$
Determine a equação da reta tangente à curva $\gamma$ no ponto $\gamma(t_0) = (2,5)$ sabendo-se que $\gamma'(t) \neq \bf{0}$ e que sua imagem está contida na curva de nível $xy = 10$. Qual a equação da reta normal a $\gamma$, neste ponto?
Reta tangente: $(x,y) = (2,5) + \lambda (-2,5),$ $\lambda \in \mathbb{R},$
Reta normal: $(x,y) = (2,5) + \lambda (5,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
Seja $f(x,y) = \dfrac{2xy^2}{x^2 + y^4}$.
Considere a reta $\gamma(t) = (at, bt)$, com $a^2 + b^2 > 0$; mostre que, quaisquer que sejam $a$ e $b$,
$$\displaystyle \lim_{t \to 0} f(\gamma(t)) = 0.$$
Tente visualizar este resultado através das curvas de nível de $f$.
Calcule $\displaystyle \lim_{t \to 0} f(\delta(t))$, onde $\delta(t) = (t^2,t).$ (Antes de calcular o limite, tente prever o resultado olhando para as curvas de nível de $f$.)
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{2xy^2}{x^2 + y^4}$ existe? Por quê?
Demonstração.
$1.$
Não existe.
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=y^{2}+1$.
$z = y^{2} + 1$
Determine se a função
$$f(x,y) = \begin{cases}e^{\left( \dfrac{1}{x^2 + y^2 - 1} \right)}, & \quad \text{se } x^2 + y^2 < 1, \\0, & \quad \text{se } x^2 + y^2 \geq 1.\end{cases}$$
é contínua em $\displaystyle{\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$. Justifique sua resposta.
$0.$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (5,-2)}(x^5 + 4x^3y - 5xy^2)$.
$2025.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy(x - y)}{x^4 + y^4}$, caso exista.
Não existe.
Faça uma correspondência entre a função e seu gráfico (indicado por I-VI). Dê razões para sua escolha.
$f(x,y)=|x|+|y|$.
$f(x,y)=\dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}$.
$f(x,y)=(x-y)^{2}$.
$f(x,y)=|xy|$.
$f(x,y)=(x^{2}-y^{2})^{2}$.
$f(x,y)=\sin(|x|+|y|)$.
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ .Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?
O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$
Dada a função $f(x,y)=y-x$.
Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.
$D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.
$Im(f) = \mathbb{R}.$
As curvas de nível são as retas $y - x = C.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy^2}{x^2 - y^2}$, caso exista.
Não existe.
Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2}+z^{2})$ que passa pelo ponto $(-1,2,1)$.
$x^{2} + y + z^{2} = 6.$
Faça uma correspondência entre a função: (i) e seu gráfico; (ii) e seus mapas de contorno. Justifique sua escolha.
$z=\sin(xy)$
$z=\sin(x-y)$
$z=(1-x^{2})(1-y^{2})$
$z=e^{x} \; \cos{y}$
$z=\sin{x}-\sin{y}$
$z=\dfrac{x-y}{1+x^{2}+y^{2}}$
Dada a função $f(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}}$.
Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.
$D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,y) \right\rbrace$.
$Im(f) =\mathbb{R}.$
As curvas de nível são as parábolas $y = C x^{2}$ sem a origem se $C \neq 0$ e o eixo $x$ se $C \neq 0.$
Seja $f(x,y)=3x+2y.$ Calcule:
$f(1,-1)$;
$f(a,x)$;
$\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$;
$\dfrac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}$.
$1.$
$3a + 2x.$
$3.$
$2.$
Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $z=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2x-y}$.
$\left\lbrace (x,y); x^{2} \leq y \leq 2x \right\rbrace$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{y^4}{x^4 + 3y^4}$.
Não existe.
Determine \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2). \)
Usando coordenadas polares, teremos que: \[\begin{array}{lll} x=r\cos\theta, & y=r\sin\theta, & r^2=x^2+y^2. \end{array} \] Além disso, como \(r=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0\), temos que \( r\rightarrow 0^+\) se, e somente se, \( (x,y)\rightarrow (0,0) \). Assim, segue para o limite dado que \begin{align*} \lim_{(x,y)\to (0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2) & = \lim_{r\to 0^+} r^2\ln r^2 \\ & = \lim_{r\to 0^+}\underbrace{\dfrac{2\ln r}{1/r^2}}_{\text{do tipo}\ \infty/\infty} \\ & \stackrel{\text{L'Hospital}}{=} \lim_{r\to 0^+} \dfrac{2/r}{-2/r^3} \\ & = \lim_{r\to 0^+} (-r^2) = 0.\end{align*}
Dada $f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}$.
Encontre o domínio da função;
Encontre a imagem da função;
Descreva as curvas de nível da função.
O domínio de $f$ é
$$D=\{(x,y)|\, 16-x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}<16\}.$$
A imagem de $f$ é
$$\bigg\{z|\, z=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}},\,(x,y)\in D\bigg\}.$$
Mas,
$$z=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}.$$
Assim, a imagem de $f$ é $\bigg\{z|\, z \geq \dfrac{1}{4}\bigg\}.$
s curvas de níveis de $f$ são da forma $f(x,y)=c$, isto é,
$$\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}=c\Leftrightarrow \sqrt{16-x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow 16-x^{2}-y^{2}=\frac{1}{c^{2}}$$
$$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=16-\frac{1}{c^{2}}.$$
Assim, as curvas de níveis de $f$ são circunferências com centro na origem e raio menor do que $4.$
Mostre que os limites não existem, considerando que \((x,y)\rightarrow (0,0) \) ao longo dos eixos coordenados.
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x-y}{x^2+y^2} \]
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\cos(xy)}{x^2+y^2} \]
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy}{y - x^3}$, caso exista.
Não existe.
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\cos{x}$.
$z = \cos(x)$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 \ \mbox{sen}^2y}{x^2 + 2y^2}$.
$0.$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2 + 1} - 1}$.
$2.$
Seja $f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+2y}$.
Determine o domínio.
Calcule $f(2u+v,v-u).$
$\left\lbrace (x,y);\; x \neq -2y \right\rbrace$
$\frac{u}{v}.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} x \ \sin{\dfrac{1}{x^2 + y^2}}$, caso exista.
$0.$
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\ln(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?
O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$
Dada a expressão $g(x,y)=2f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$
Gráfico de $f$ esticado verticalmente ao dobro.
Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=y-\ln{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.
$y = \ln(x) + C.$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.
$0.$
Seja $f(x,y,z)=e^{\sqrt{z-x^{2}-y^{2}}}.$
Calcule $f(2,-1,6).$
Determine o domínio de $f$.
Determine a imagem de $f$.
$e.$
$\left\lbrace (x,y,z): \;z \geq x^{2} + y^{2} \right\rbrace.$
$[1,\infty).$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$, caso exista.
Não existe.
Dada a expressão $g(x,y)=-f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$
Gráfico de $f$ refletido sobre o plano $xy.$
Dada a função $f(x,y)=\sqrt{y-x}$.
Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.
$D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; x \leq y \right\rbrace$.
$Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z \geq 0 \right\rbrace.$
As curvas de nível são as retas $y - x = C,$ com $C \geq 0.$
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = 3x^2y^2 - 5xy + 6$. Justifique sua resposta.
$\mathbb{R}^{2}.$
Dois mapas de contorno são mostrados na figura. Um é de uma função $f$ cujo gráfico é um cone. O outro é de uma função $g$ cujo gráfico é um paraboloide. Qual é qual? Por quê?
O da esquerda corresponde ao cone e o da direita ao paraboloide.
Verifique que, para a função de produção de Cobb-Douglas
$$P(L,K)=1,01L^{0,75}K^{0,25}$$
discutida no Exemplo 3 da Seção 14.1 do Stewart, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma função de produção genérica
$$P(L,K)=bL^{\alpha}K^{1-\alpha}.$$
Sim.
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.
A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.
A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitude e do tempo.
O custo da tarifa do táxi como função da distância percorrida e do tempo gasto.
Contínua.
Descontínua.
Descontínua.
Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=\displaystyle \int_{x}^{y}\dfrac{dt}{1+t^{2}}$ que passa pelo ponto $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$.
$\arctan(y) - \arctan(x) = 2\arctan(\sqrt{2}).$
Determine e faça o esboço do domínio da função $\bigstar$ $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{y-x^{2}}}{1-x^{2}}$.
$\left\lbrace (x,y);\; y \geq x^{2},\; x\neq \pm 1 \right\rbrace.$
Considere a função
$$f(x,y) = \begin{cases}x + y, & \quad \text{se } xy = 0, \\k, & \quad \text{caso contrário},\end{cases}$$
em que $k$ é um número real. É possível escolher $k$ de modo que $f$ seja contínua em $(0,0)$? Em caso afirmativo, qual deve ser o valor de $k$?
$k = 0.$
O índice I de temperatura-umidade (ou simplesmente humidex) é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é $T$ e a umidade relativa é $h$, de modo que podemos escrever $I=f(T,h)$. A tabela seguinte com valores de $I$ foi extraída de uma tabela do Environment Canada.
Qual é o valor de $f(35,60)$? Qual é o seu significado?
Para que valor de $h$ temos $f(30,h)=36$?
Para que valor de $T$ temos $f(T,40)=42$?
Qual o significado de $I=f(20,h)$ e $I=f(40,h)$? Compare o comportamento dessas duas funções de $h.$
48, o que significa que quando a temperatura real é $35^\circ$C e a umidade relativa é $60\%,$ o humidex é $48^\circ$C.
$50\%.$
$35^\circ$C.
$I = f(20,h)$ e $I = f(40,h)$ são funções de $h$ que fornecem os valores do humidex quando a temperatura real é $20^\circ$C e $40^\circ$C, respectivamente. Ambas as funções crescem com $h,$ porém $f(20,h)$ cresce aproximadamente a taxa constante, enquanto $f(40,h)$ cresce mais rapidamente a uma taxa crescente.
Considere a função
$$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2 - xy}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0).\end{cases}$$
Calcule o limite $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)$ ou mostre que esse limite não existe.
Calcule o limite $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (1,1)}f(x,y)$ ou mostre que esse limite não existe.
$f$ é contínua em $(0,0)$? Justifique.
$f$ é contínua em $(1,1)$? Justifique.
O limite não existe.
$0.$
Não.
Sim.
Dada a função $f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}$.
Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.
$D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.
$Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; 0 < z \leq 1 \right\rbrace.$
As curvas de nível são as os círculos $x^{2} + y^{2} = C$ com $C > 0$ e a origem.
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=y$.
$z = y.$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (2,1)}\dfrac{4 - xy}{x^2 + 3y^2}$.
$\frac{2}{7}.$
Calcule \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to (-1,2)} \dfrac{xy}{x^2+y^2}\).
Como a função \(\displaystyle f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\) é contínua no ponto \((-1,2)\) (de acumulação), basta avaliá-la neste mesmo ponto. Ou seja, \[ \lim_{(x,y)\to (-1,2)}\dfrac{xy}{x^2+y^2} = \dfrac{(-1)2}{(-1)^2+2^2} = -\dfrac{2}{5}. \]
Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=ye^{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.
$y = Ce^{-x}.$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy \ \mbox{cos} \ y}{3x^2 + y^2}$.
Não existe.
Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\sqrt{x+y}$.
$\left\lbrace (x,y);\; y \geq -x \right\rbrace$
Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-y^{2}}$.
$\left\lbrace (x,y);\; -1 \leq x \leq 1,\;-1\leq y \leq 1 \right\rbrace.$
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = \mbox{ln} \ \dfrac{x - y}{x^2 + y^2}$. Justifique sua resposta.
$\left\lbrace (x,y);\; x > y \right\rbrace.$
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$.
Descreva em palavras como o gráfico da função \(\displaystyle g(x,y)= e^{-a(x^2+y^2)}\) está relacionado com o gráfico de \(f\), sendo \(a>0\). Mostre (verifique) que o valor de \(a\) influencia na "largura" do pico presente no gráfico da função.
Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=16-x^{2}-y^{2}$ que passa pelo ponto $(2\sqrt{2},\sqrt{2})$.
$x^{2} + y^{2} = 10.$
Dada a função $f(x,y)=xy$.
Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.
$D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.
$Im(f) = \mathbb{R}.$
As curvas de nível são as hipérboles $xy = C$ quando $C \neq 0$ e os eixos $x$ e $y$ quando $C = 0.$
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=3$.
$z = 3.$
Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$.
$\left\lbrace (x,y);\; x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 \right\rbrace.$
Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}-1}$ que passa pelo ponto $(1,0)$.
$x = 1$ ou $x = -1.$
Verifique que a função \(f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\) é contínua no disco unitário fechado \(x^2+y^2\leq 1\).
O domínio de \(f\) é o disco unitário fechado \(x^2+y^2\leq 1\). Para todo ponto \((x_0,y_0)\) na fronteira do disco, temos \[ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\sqrt{1-x^2-y^2} = \sqrt{1-x_0^2-y_0^2} = 0.\] Como o mesmo vale também para pontos interiores ao disco, temos que \(f\) é contínua no disco fechado.
Seja $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$.
Calcule $f(2,0).$
Determine o domínio de $f$.
Determine a imagem de $f$.
$4.$
$\mathbb{R}^{2}.$
$[0,\infty).$
- Queremos calcular $f(2,0)$ sabendo que $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$. Basta substituir os valores na expressão, assim temos
\[
f(2,0)=2^{2}e^{3 \cdot 2 \cdot 0}=4e^{0}=4 \cdot 1=4.
\] - Por definição, o domínio da função $f$ é o conjunto dos pontos de $\mathbb{R}^{2}$ em que a função está bem definida. Em nosso caso, o domínio é o conjunto de pontos em que a função $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$ está bem definida. Portanto, o domínio de $f$ é $\mathbb{R}^2$.
- A imagem da função $f$ é o conjunto dos pontos $\{ z\in \mathbb{R} | z = f(x,y) \text{ e } (x,y)\in D\}$, onde $D$ é o domínio de $f$. Observe que $x^{2} \geq 0$ e $e^{3xy}> 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$, logo $x^{2}e^{3xy}\geq 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$. Por exemplo, se fixarmos $x=1$ temos que a imagem da função são os pontos da forma $e^{3y}$ com $y\in \mathbb{R}$, ou seja, é todo o intervalo $(0,\infty)$. Agora, quando colocamos $x=0$ a imagem é $0$. Portanto, a imagem de $f$ é o conjunto $[0,\infty]$.
Seja $g(x,y,z)=\ln(25-x^{2}-y^{2}-z^{2}).$
Calcule $g(2,-2,4).$
Determine o domínio de $g$.
Determine a imagem de $g$.
$0.$
$\left\lbrace (x,y,z): x^{2} + y^{2} + z^{2} < 25 \right\rbrace.$
$(-\infty, \ln(25)].$
Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=(y-2x)^{2}$ mostrando várias de suas curvas de nível.
$y=2x\pm \sqrt{C}, C \geq0.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x + y}{x - y}$, caso exista.
Não existe.
Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y,z)=\sqrt{x-y}-\ln z$ que passa pelo ponto $(3,-1,1)$.
$\sqrt{x - y} - \ln(z) = 2.$
Determine $h(x,y) = g(f(x,y))$ e o conjunto no qual $h$ é contínua, em que
$$g(t) = t^2 + \sqrt{t}, \ \ \ f(x,y) = 2x + 3y - 6.$$
$h(x,y) = (2x+3y-6)^{2} + \sqrt{2x + 3y - 6}$ é contínua em $\left\lbrace (x,y);\; y \geq -\frac{2x}{3} + 2 \right\rbrace.$
Uma placa fina de metal, localizada no plano $xy$, tem temperatura $T(x,y)$ no ponto $(x,y)$. As curvas de nível de $T$ são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por
$$T(x,y)=\dfrac{100}{1+x^{2}+2y^{2}}.$$
As isotérmicas são dadas pela família de elipses: $x^{2} + 2y^{2} = \frac{100}{C} - 1,$ com $0 < C \leq 100.$
Sabendo que $\left|\sin\frac{1}{x}\right| \leq 1$, podemos dizer algo sobre
$$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}y\sin\dfrac{1}{x}?$$
Justifique sua resposta.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} y\sin\left(\frac{1}{x} \right) = 0.$
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=10-4x-5y$.
$z = 10 - 4x - 5y.$
Dada a expressão $g(x,y)=f(x,y)+2$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$
Gráfico de $f$ deslocado para cima por duas unidades.
É dada uma curva $\gamma$ que passa pelo ponto $\gamma(t_0) = (1,3)$ e cuja imagem está contida na curva de nível $x^2 + y^2 = 10$. Suponha $\gamma'(t_0) \neq \bf{0}$.
- Determine a equação da reta tangente a $\gamma$ no ponto $(1,3)$.
- Determine uma curva $\gamma(t)$ satisfazendo as condições acima.
- $(x,y) = (1,3) + \lambda (-6,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
- $\gamma(t) = (\sqrt{10} \cos(t), \sqrt{10} \sin(t)).$
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = \sqrt{6 - 2x^2 - 3y^2}$. Justifique sua resposta.
$\left\lbrace (x,y);\; 2x^{2} + 3y^{2} \leq 6 \right\rbrace.$
Determine o maior conjunto no qual a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2y^3}{2x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\1, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases}$ é contínua.
$\left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,0) \right\rbrace.$
Faça um esboço do diagrama de contorno da função cujo gráfico é mostrado.
$y = 2x \pm \sqrt{C},$ $C \geq 0.$
Determine o maior conjunto no qual a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + xy + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\end{cases}$ é contínua.
$\left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,0) \right\rbrace.$
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?
O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$
Utilize coordenadas polares $x=r\cos \theta$ e $y=r\sin \theta$, com $r \geq 0$ e $0 \leq \theta < 2 \pi$, e o teorema do confronto para calcular o limite
$$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.$$
Dica: Note que, se $(r, \theta)$ são as coordenadas polares do ponto $(x,y)$, com $r \geq 0$, então $r \to 0^+$ quando $(x,y) \to (0,0)$.
$0.$
Calcule
$$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{\mbox{sen}(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}.$$
Considere $t=x^{2}+y^{2}$.
Assim , se $(x,y)\rightarrow (0,0)$ temos que $t \to 0.$ Portanto,
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=1.$$
Determine o maior conjunto no qual a função $F(x,y) = \dfrac{1}{x^2 - y}$ é contínua.
$\left\lbrace (x,y);\; y \neq x^{2} \right\rbrace.$
Seja $f(x,y)=e^{xy}$ uma função de duas variáveis.
Determine o domínio e a imagem de $f.$
Esboce as curvas de nível de $f.$
$D_{f} = \mathbb{R}^{2}$ e $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z > 0 \right\rbrace.$
$xy = C.$
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = \dfrac{x - y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$. Justifique sua resposta.
$\left\lbrace (x,y);\; x^{2} + y^{2} < 1 \right\rbrace.$
Mostre que os limites não existem, considerando que \((x,y)\rightarrow (0,0) \) ao longo dos eixos coordenados.
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{3}{x^2+2y^2} \]
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x+y}{2x^2+y^2} \]
Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\ln(9-x^{2}-9y^{2})$.
$\left\lbrace (x,y);\; \frac{x^{2}}{9} + y^{2} < 1 \right\rbrace.$
$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy^2}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0), \end{cases}$ é contínua em (0,0)? Justifique.
Notemos que para $(x,y)\neq (0,0)$ a função $f$ é contínua, pois $xy^{2}$ e $x^{2}+y^{2}$ são funções contínuas e $x^{2}+y^{2}\neq 0.$ Agora, estudemos a continuidade da função $f$ no ponto $(0,0).$ Temos que
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{(x,y)\to (0,0)}x\cdot \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.$$
Como
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}x=0\,\,\,\,\,\, \mbox{e}\,\,\,\,\,\, \bigg| \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\bigg|\leq 1,\, \forall (x,y)\neq (0,0),$$
obtemos que
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0.$$
Assim,
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).$$
Portanto, $f$ é contínua em $(0,0).$
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
$z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y,z)=\ln(16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2})$.
$\left\lbrace (x,y);\; \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{16} < 1\right\rbrace.$
Suponha que $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (3,1)}f(x,y) = 6$. O que podemos dizer do valor de $f(3,1)$? E se a função $f$ for contínua?
Nada se pode afirmar. Se $f$ for contínua em $(x_{0},y_{0}),$ $f(3,1) = 6.$
Esboce o gráfico da função $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?
O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$
