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1456   

Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}-\dfrac{y^2}{25}+z=0$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.


507   

Seja $\ell$ a curva com equações paramétricas: $x=\dfrac{a(1+t^2)}{(1-t^2)}$ e $y=\dfrac{2bt}{(1-t^2)}$. Determine $\ell$.


947   

Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam do plano $\pi: x=2$ e do ponto $P=(-2,0,0)$. Que conjunto é este?


949   

Determine a equação do lugar geométrico dos pontos $P=(x,y,z)$ tais que a soma das distâncias de $P$ aos dois pontos $(2,0,0)$ e $(-2,0,0)$ é igual a $6$. Que lugar geométrico é este?


1360   

Dê equações paramétricas para a curva $y=x^2-x^4$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.


1375   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2\sin^2t$, $y=\sin(2t)$ e $z=2\cos t$.


965   

Mostre que a equação $x^2+y^2+2z^2+2xz-2yz=1$ representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.


953   

Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $-x^2+ y^2+z^2=0$ e esboce seu gráfico.


1449   

Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos $P(x,y,z)$ que estão eqüidistantes do ponto $(0,0,1)$ e do plano $z=-1$. Identifique a superfície.


1455   

Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}+z^2=1$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.


1452   

Dada a superfície $4x^2+z^2-y^2=9$, identifique a cônica obtida ao fixar:

  1. $x=0$;

  2. $y=0$;

  3. $z=1$.


974   

Dadas a equação da curva diretriz $4x^2+z^2+4z=0$, $y=0$ e um vetor $V=(4,1,0)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.


1366   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t+2$, $y=2t-4$ e $z=1-t$.


966   

Mostre que a equação $17x^2+2y^2+z^2-8xy-6xz-2=0$ representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.


1644   

Mostre que o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem uma equação da forma $f(x,y)=0$ ou $f(x,z)=0$ ou $f(y,z)=0$ representa uma superfície cilíndrica que tem retas geratrizes paralelas ao eixo cuja variável não aparece na equação. Equação esta que é também a equação da curva diretriz  no plano coordenado correspondente às variáveis que aparecem na equação.


1458   

Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}-z^2=0$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.


1357   

Forneça equações paramétricas para $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas equações paramétricas.


1444   

As funções trigonométricas seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas, respectivamente, por

$$\cosh t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}\quad\text{e}\quad \sinh t\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}, \quad t\in\mathbb{R},$$

e vale a relação $\cosh^2 t-\sinh^2 t=1$.

  1. Mostre que as equações paramétricas da hipérbole de equação $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ são $$ x=\pm a\cosh t, \quad y=b\sinh t.$$

  2. Mostre que não existem funções contínuas $f_1$ e $f_2$ tais que a hipérbole possa ser escrita como $x=f_1(t)$ e $y=f_2(t)$.


956   

Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $x^2+ y^2-z^2=0$ e esboce seu gráfico.


1364   

Dê uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:

  1. parabolóide elíptico $x=5y^2+2z^2-10$;

  2. parte do parabolóide elíptico $x=5y^2+2z^2-10$ que está em frente ao plano $yz$.



a). Como a superfície está na forma $x=f(y,z)$, podemos tomar $y$ e $z$ como parâmetros, obtendo assim o seguinte conjunto de equações paramétricas $$x=5u^2+2v^2-10, \quad y = u \ \textrm{e}\ z=v.$$ Ou seja, temos a representação paramétrica $$ \sigma(u,v)= (5u^2+2v^2-10,u,v), \quad u,v\in\mathbb{R}. $$ b). Trata-se de uma restrição da representação paramétrica anterior.  Entretanto, como queremos apenas a parte da superfície em frente ao plano $yz$, consideramos $x\geq 0$. Ou seja, devemos considerar $5u^2+2v^2-10 \geq 0$ ou $5u^2+2v^2 \geq 10$.


1370   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=4\sin^2\theta$, $y=2\cos\theta$ e $z=2\sin\theta$.


1459   

Classifique a superfície $\displaystyle z^2-\dfrac{x^2}{36}-\dfrac{y^2}{25}=1$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.


1447   

Se uma esfera $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{a^2}=1$ de raio $a$ for comprimida na direção $z$, então a superfície resultante, chamada de esferóide oblato, tem uma equação da forma $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$, onde $c<a$. Mostre que o esferóide oblato tem um traço circular de raio $a$ no plano $xy$ e um traço elíptico no plano $xz$, com eixo maior de comprimento $2a$ ao longo do eixo $x$ e eixo menor de comprimento $2c$ ao longo do eixo $z$.


952   

Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{5}=1$ e esboce seu gráfico.


950   

Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $6x^2+3y^2-z^2=-2$ e esboce seu gráfico.


509   

A hipérbole $\ell$ tem focos $F_1$, $F_2$ e vértices $A_1$, $A_2$. Encontrar equações paramétricas de $\ell$ se

  1. $F_1=(2,0)$, $F_2=(8,0)$, $A_1=(3,0)$, $A_2=(7,0)$;

  2. $F_1=(0,0)$, $F_2=(4,8)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(3,6)$.


1363   

Determine a superfície dada pela representação paramétrica $\sigma(u,v) = (u, u\cos v, u\sin v)$.



Vamos, primeiro, escrever as equações paramétricas $x=u$, $y = u\cos v$ e $z=u\sin v$. Somando os quadrado de $y$ e $z$, temos  $$ y^2 + z^2 = u^2\cos^2v+u^2\sin^2v= u^2(\cos^2v+\sin^2v)=u^2=x^2.$$ Assim, somos capazes de eliminar os parâmetros e então a equação em $x$, $y$ e $z$ fica dada por $x^2= y^2+z^2$. O prévio conhecimento da forma reduzida das superfícies quádricas nos permite dizer que se trata de um cone abrindo-se ao longo do eixo $x$.


967   

Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada por $9x^2+4y^2=36$ e $z=0$ em torno do eixo $y$.


977   

Mostre que a projeção no plano $yz$ da curva correspondente à intersecção das superfícies $x = 1 - y^{2}$ e $x = y^{2} + z^{2}$ é uma elipse. Explique bem seu raciocínio.


1359   

Dê equações paramétricas para a curva $y=x^3-x^2$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.


954   

Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $3x^2+y^2-2z^2=1$ e esboce seu gráfico.


951   

Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $z=4x^2+4y^2$ e esboce seu gráfico.


1349   

A cúbica retorcida $T(t) = (t, t^2, t^3)$ (e suas primas) aparece em geometria algébrica. Mostre que se $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais distintos, então os pontos $T(a)$, $T(b)$, $T(c)$ e $T(d)$ não pertencem a um único plano em $\mathbb{R}^3$. (Dica: primeiro resolva o problema correspondente para a parábola em $\mathbb{R}^2$.)


973   

Dadas a equação da curva diretriz $x^2+z^2=1$, $y=0$ e um vetor $V=(4,1,0)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.


1445   

  1. Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica $(x(t),y(t))=(3\cos t,4\sin t)$, em $t=\pi/4$ e $7\pi/4$, sem eliminar o parâmetro.

  2. Verifique suas respostas do item anterior eliminando o parâmetro e diferenciando uma função apropriada de $x$.


1645   

Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ e curva diretriz situada no plano $z=c$ com equação $f(x,y)=0$ é $$f(x_0+\dfrac{c-z_0}{z-z_0}(x-x_0), y_0+\dfrac{c-z_0)}{z-z_0}(y-y_0))=0. $$


1355   

Dê equações paramétricas para o círculo centrado na origem de raio 1, indicando os domínios onde o parâmetro $t$ assume valores. Esboce suas parametrizações.


1642   

Quais dos seguintes objetos não podem ser associados a elipsóides, pelo aspecto da sua superfície externa?

  1. Um ovo.

  2. Um bola de rugby.

  3. Uma câmara de ar.

  4. Uma bola de futebol.

  5. Um charuto.


O aspecto de uma bola de rugby lembra bastante o de um elipsóide, o que não ocorre com as demais opções.


1478   

Um homem deseja construir uma ampulheta dispondo de $v$ m$^3$ de uma certa areia. Considerando que a ampulheta possa ser "modelada" como uma porção simétrica de uma superfície cônica, encontre a equação do cone, com abertura no eixo $z$, que contém essa ampulheta.


1351   

Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y) = (3t-1,4t+2)$.


1354   

Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=(cos(t),tan(t))$.


1372   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\sin^2\theta$, $y=\sin\theta\cos\theta$ e $z=\cos\theta$.


968   

Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada por $yz=1$ e $x=0$ em torno do eixo $z$.


1451   

Dada a superfície $4x^2+y^2+z^2=9$, identifique a cônica obtida ao fixar:

  1. $x=0$;

  2. $y=0$;

  3. $z=1$.


1453   

Dada a superfície $4x^2+y^2-z=0$, identifique a cônica obtida ao fixar:

  1. $x=0$;

  2. $y=0$;

  3. $z=1$.


1377   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2\cos\theta$, $y=2\sin\theta$ e $z=2\theta$.


948   

Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas $r: y=z=0$ e $l: x=y-1=0$. Que conjunto é este?


1371   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t$, $y=t$ e $z=1-t^2$.


1352   

Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=(t^2-1,t^2+1)$.


1367   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=-2t-3$, $y=t+5$ e $z=4t-7$.


976   

Qual(is) das quádricas abaixo representa(m) uma superfície de rotação?

  1. $  3x^2+y^2-2z^2=1$,

  2. $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{3}=1$,

  3. $x^2+ y^2-z^2=0$.


1373   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t$, $y=2t^2$ e $z=3t^3$.


1460   

Considere o hiperbolóide de uma folha $H$ dado pela equação $x^2+y^2=1+z^2$. Mostre que por cada um dos seus pontos passam duas retas inteiramente contidas na superfície $H$. Generalize para qualquer hiperbolóide de uma folha. (Sugestão: $x^2+y^2=1+z^2\Leftrightarrow(x+z)(x-z)=(1+y)(1-y)$.)


508   

A elipse $\ell$ tem focos $F_1=(1,2)$, $F_2=(2,4)$ e vértices $A_1=(0,0)$, $A_2=(3,6)$. Dê as equações paramétricas de $\ell$.


1353   

Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=( t^2-2t,t)$.


1643   

O lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfaz a equação $\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=a^{2/3}$ é denominado esfera astroidal.  Mostre que essa superfície pode ser representada parametricamente como \begin{align*} x& = a(\sin u\cos v)^3 \\ y& = a(\sin u\sin v)^3 \\ z & = a (\cos u)^3, \quad (0\leq u\leq \pi, \ 0\leq v\leq 2\pi). \end{align*} Tente esboçar o seu gráfico.


1461   

Mostre que por cada ponto do parabolóide hiperbólico $z=x^2-y^2$ passam duas retas inteiramente contidas nele.


1479   

Um silo com formato cônico de raio $r=1$ m e altura $h=2$ m é preenchido com trigo em $70\%$ de sua capacidade.

Quanto mais de trigo podemos colocar a fim de preenchê-lo completamente?


972   

Dadas a equação da curva diretriz $x^2-y^2=1$, $z=0$ e um vetor $V=(0,2,-1)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.


1376   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=e^t$, $y=e^{-t}$ e $z=t$.


969   

Mostre que a equação $x^2+y^2-z^3=0$ representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação da curva geratriz.


971   

Dadas a equação da curva diretriz $y^2=4x$, $z=0$ e um vetor $V=(1,-1,1)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.


1348   

Considere a curva no espaço descrita pela espiral $S(t) = \left( \frac{\cos(t)}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{\sin(t)}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \right)$.  Qual a relação entre esta curva e a hélice cilíndrica $H(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$? Esboce a imagem de $S$.  Compare o movimento de uma partícula $p$ ao longo de $S$ com o movimento de uma outra partícula ao longo de $H$.


1448   

Se uma esfera $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{a^2}=1$ de raio $a$ for comprimida na direção $z$, então a superfície resultante, chamada de esferóide oblato, tem uma equação da forma $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$, onde $c<a$. A rotação da Terra causa um achatamento nos pólos, portanto sua forma é freqüentemente modelada como um esferóide oblato em vez de uma esfera. Um dos modelos usados pelos satélites de posicionamento global é o Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS-84), que trata a Terra como uma esfera oblata, cujo raio equatorial é $6378,1370$ km e cujo raio polar (a distância do centro da Terra aos pólos) é $6356,5231$ km. Use o modelo WGS-84 para encontrar uma equação para a superfície da Terra em relação ao sistema de coordenadas com origem no centro de massa da Terra, eixo $z$ apontando para o pólo norte e plano $xy$ contendo o equador.


1347   

Suponha que uma partícula se mova no espaço e tenha posição $H(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$ no instante $t$ (hélice cilíndrica). Esboce a trajetória da partícula. Qual a sua direção no instante $t$?


1454   

Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}-z=0$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.


1378   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\cos\theta$, $y=2\sin\theta$ e $z=3\theta$.


1374   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\sin\theta$, $y=\mathrm{cosec\,}\theta$ e $z=\cos\theta$.


1369   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\cos\theta$, $y=\cos^2\theta$ e $z=\sin\theta$.


1446   

  1. Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica $x=t/2$, $y=t^2+1$ em $t=-1$ e $t=1$ sem eliminar o parâmetro.

  2. Verifique suas respostas do item anterior eliminando o parâmetro e diferenciando uma função apropriada de $x$.


1457   

Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}-z^2=1$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.


1362   

Forneça equações paramétricas para o ramo positivo da curva $9x^2-4y^2+90x+32y+125=0$, indicando valores para o parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.


955   

Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{5}+\dfrac{z^2}{3}=1$ e esboce seu gráfico.


1356   

Dê equações paramétricas para o círculo centrado em $(h,k)$ e de raio 1, indicando o domínio onde o parâmetro $t$ assume valores.  Esboce suas parametrizações.


978   

Diga qual é a cônica obtida pela intersecção do cone

$$x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$$

com o plano

$$x - y + z\;\sqrt{2/3} = 5 \sqrt{2/3} .$$

Explique seu raciocínio.


1365   

Determine a curva definida pela intersecção  das superfícies cilíndricas $x^2+z^2=1$ e $y^2=4x$.


1450   

Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos $P(x,y,z)$ que estão duas vezes mais afastados do plano $z=-1$ que do ponto $(0,0,1)$. Identifique a superfície.


1368   

Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2t$, $y=4t^2$ e $z=t$.


1358   

Forneça equações paramétricas para $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas equações paramétricas.


1350   

Suponha que uma partícula $p$ tenha trajetória descrita pela curva $C(t) = (\cos(t), \sin(t), 0).$ Ou seja, $p$ se move ao longo de um círculo no plano $xy$. Seja $\epsilon >0$ um número real (pequeno). Podemos perturbar o movimento de $p$, no instante $t$, empurrando-a um pouco em alguma outra direção.  Dada a curva $D(t) = \left(\cos\left(\frac{3}{2}t\right)\cos\left(t\right), \cos\left(\frac{3}{2}t\right)\sin\left(t\right), \sin\left(\frac{3}{2}t\right)\right)$, considere a nova trajetória "perturbada" $E(t) = C(t) + \epsilon D(t)$. Esboce $E(t)$ com $\epsilon = 1/4$ e com $t$ em radianos. Como muda a imagem (traço) da curva se trocarmos o fator $\frac{3}{2}$ por outro número, digamos, $\frac{5}{3}$  ou $\frac{8}{5}$? E se o coeficiente for irracional?


975   

Qual(is) das quádricas abaixo representa(m) uma superfície obtida pela rotação de uma parábola em torno do eixo z?

  1. $  6x^2+3y^2-z^2=-2$,

  2. $z=4x^2+4y^2$,

  3. $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{5}=1$,

  4. $-x^2+ y^2+z^2=0$.


1361   

Dê equações paramétricas para a curva $y^2-8x-8y+8=0$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.


970   

Mostre que a equação $y^6-x^2-z^2=0$ representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação da curva geratriz.