317

Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que passa pelo ponto $P_0=(1,-1,1)$, é paralela à reta $r^{\prime}: (x,y,z) = (1,0,1) + t(1,1,3/2)$ e ortogonal ao eixo $z$ .

1410

Seja $T$ a temperatura em um ponto $(x,y,z)$ sobre a reta dada por $$x=t, y=1+t, z=3-2t.$$ A temperatura varia com o espaço de tal forma que $T=25 x^2 y z$. Utilize um recurso computacional para encontrar uma aproximação para a temperatura máxima na parte da reta que se estende do plano $xz$ ao plano $xy$.

316

Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que tem vetor diretor $v=(1,1,-1)$ e passa pelo ponto $P_o=(0,1,7)$.

Equação vetorial: $$ \vec{r}=P_0+tv =(0,1,7)+t(1,1,-1),\quad t\in\mathbb{R}. $$ Ou, ainda, $$ \begin{cases} x=t,\\y=1+t,\\z=7-t,\quad t\in\mathbb{R}.\end{cases} $$

315

Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que passa pelos pontos $A=(1,0,1)$ e $B=(2,3,1)$.

Um vetor diretor pode ser tomado como sendo um mútiplo de $B-A=(1,3,0)$. Assim, a reta procurada terá a seguinte representação vetorial $$\vec{r}= (1,0,1) + t(1,3,0),\quad t\in\mathbb{R}$$ ou, parametricamente $$ \begin{cases} x=1+t, \\ y=3t,\\ z=1, \quad t\in\mathbb{R}.\end{cases}$$

314

Dada a reta $r = \left\{\begin{array}{rcl}x &=& 1+m\lambda\\y &=& 2+n\lambda\\ z &=& 1+(n-1)\lambda\end{array}\right.$, determine, se possível, $m$ e $n$ em cada um dos seguintes casos:

$r$ é paralela ao eixo $Y$;
$r$ é paralela ao plano $XY$;
$r$ passa pela origem.

Devemos ter $m=0$ e $n=1$.
Para este caso: $n=1$ e $m$ pode ser qualquer.
$m=1$ e $n=2$.

293

Determine, caso exista, uma reta que passa por $P$ e intercepta $r$ e $s$ nos pontos $A$ e $B$ de modo que os segmentos $AP$ e $BP$ sejam congruentes, nos seguintes casos:

$P=(1,1,9)$, $r=\{ (0,-4,1)+t(2,1,0),t\in\mathbb{R}\}$ e $s=\{(0,-3,-3+t(1,0,2),t\in\mathbb{R}\}$
$P=(1,2,3)$, $r=\{ t(1,0,1),t\in\mathbb{R}\}$ e $s=\{(1,1,1)+t(2,1,1),t\in\mathbb{R}\}$

Interprete geometricamente.

302

Encontre a equação da reta $r$ que passa pelos pontos $(-2,1,-3)$ e $(-4,0,2)$.

Um vetor diretor pode ser tomado pela diferença $(-4,0,2)-(-2,1,-3)=(-2,-1,5)$. Assim, temos a seguinte forma paramétrica $$ r: (-2,1,-3)+t(-2,-1,5)\quad t\in\mathbb{R}.$$

287

Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

$$r_1:\;(x,y,z)=(2,4,1)+t(1,-2,3)\ \ \ {\rm e} \ \ \ \ r_2:\;(x,y,z)=(-1,2,5)+t(4,3,-2)$$

As retas não são concorrentes.

306

Encontre a equação da reta $r$ que passa por $(-3,2,-1)$ e é paralela à reta $s : \left\{\begin{array}{ccr}x &=& -3z-1\\ y &=& 4z + 3\end{array}\right.$.

Note que, como dada acima, $z$ aparece como parâmetro livre, tendo $s$, portanto, vetor diretor $(-3,4,1)$. Assim, sendo $r$ paralela a esta, então pode ser descrita, parametricamente, por $$ r: (-3,2,-1)+t(-3,4,1), \quad t\in\mathbb{R}. $$

310

Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):

\[
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 1+2t\\y &=& -3-t\\ z &=& t\end{array}\right., \ \
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 1/2+3/2s\\y &=& -1+s\\ z &=& 1/3s \end{array} \right. .
\]

São reversas.

322

Sejam a reta $r: \ x-1=y=z$ e os pontos $A(1,1,1)$ e $B(0,0,1)$. Encontre o ponto de $r$ que é equidistante de $A$ e $B$.

320

Para o par de retas $r$ e $r^{\prime}$ abaixo encontre o ponto de interseção, $r\cap r^{\prime}$, se existir. E nos casos em que a interseção é vazia decida se elas são paralelas ou reversas.

$r:$ $(x,y,z) = (-1,-4,2) + t(2,-5,3)$ e

$r^{\prime}:$ $\frac{x-3}{2}=\frac{y+14}{5}=\frac{z-8}{-3} .$

Usando escalonamento, podemos verificar que a intersecção ocorre em $t=2$ e, logo, corresponde ao ponto $r\cap r'=(3,-14,8)$.

277

Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(-2,3,4)$ e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos $x$ e dos $y$.

$r:(x,y,z)=(-2,3,4+t);$

273

A reta $r$ passa pelo ponto $A(4,-3,-2)$ e é paralela à reta

$$\begin{cases} x=1+3t\\ y=2-4t\\ z=3-t. \end{cases}$$

Se $P(m,n,-5)\in r$, determinar $m$ e $n$.

$m=13,\;n=-15.$

Seja $r$ a reta que passa pelo ponto $A(4,-3,-2).$ Encontramos, primeiramente o vetor fornece a direção da reta $s$, que por sinal também fornece a direção da reta $r$, pois as retas $r$ e $s$ são paralelas. O vetor direção da reta pode ser encontrado observando os elementos que acompanham o parâmetro $t$ na equação da reta $s.$ Temos o vetor direção da reta $s$ dada por $v=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}.$

Nesse sentido, podemos escrever a equação de $r$, pois temos um ponto $A(4,-3,-2)$ e sua direção:
$$\begin{cases} x=4+3\overline{t}\\ y=-3-4\overline{t}\\ z=-2-\overline{t} \end{cases}$$,

onde $\overline{t}$ é o parâmetro. Usamos $\overline{t}$ pois os parâmetros da reta $r$ são diferentes dos parâmetros da reta $s$. Assim, temos um valor de $z$ no ponto $P$, então podemos encontrar o valor de $\overline{t}$ correspondente, isto é, $-5=-2-\overline{t} \Longrightarrow \overline{t}=3.$ Substituindo, $ \overline{t}=3$ na equação obtida para a reta $r$, obtemos as coordenadas de $P$, isto é $m=4+3\overline{t} \Longrightarrow m=13$ e $n=-2-\overline{t}\Longrightarrow n=-15.$ Portanto, concluímos que os valores de $m=13$ e $n=-15$ e o ponto é dado por $P\left( 13,-15,5\right)$.

284

Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

$$r_1:\; \begin{cases}\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4} \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ r_2:\; \begin{cases}x=-1+t\\ y=4-t\\ z=-8+3t\end{cases}$$

As retas não são concorrentes.

282

Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é simultaneamente ortogornal às retas $r_1$ e $r_2$: $A$ é a interseção de $r_1$ e $r_2$; $$r_1:\;x-2=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2:\;\begin{cases} x=1-y\\ z=2+2y. \end{cases}$$

$r:(x,y,z)=(-2+t',3-5t',2+2t').$

280

Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é simultaneamente ortogornal às retas $r_1$ e $r_2$:

$$A(3,2,-1),\;\;
r_1: \begin{cases} x=3\\ y=-1. \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \
r_2: \begin{cases} y=x-3\\ z=-2x+3. \end{cases}$$

$r:(x,y,z)=(3-t',2+t',-1).$

1407

Mostre que os dois lados não paralelos de um trapézio e a reta que liga os pontos médios dos lados paralelos são concorrentes.

278

Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(4,-3,-2)$ e tem a direção de $3i\;-\;2j$.

$r:(x,y,z)=(4+3t,-3-2t,-2)$.

307

Encontre a equação da reta $r$ que passa por $(1,-2,3)$, é concorrente com a reta $\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 2 + 3t\\ y &=& 1 + 2t\\z &=& -1\end{array}\right.$ e tem vetor diretor ortogonal ao vetor $(1,-3,1)$.

291

Se $V$ é o vetor que satisfaz as condições:

$V$ é ortogonal aos vetores $(1,0,2)$ e $(-2,1,0);$
$\left\| V\right\| =\sqrt{21};$
o ângulo entre $V$ e o vetor $(0,1,2)$ é menor que $90^{\circ }.$

Encontre o ponto final do representante de $V$ que tem ponto inicial em $(9,0,-2)$.

$(11,4,-3)$.

283

Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

$$r_1:\;\begin{cases} y=2x-3\\ z=-x+5 \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ r_2:\;\begin{cases}y=3x+7\\ z=x+1\end{cases}$$

As retas não são concorrentes.

300

As equações a seguir representam as trajetórias retilíneas de duas partículas com velocidade uniforme. Determine se as trajetórias se interceptam. Em caso afirmativo, determine se há colisão entre as partículas.

$\alpha(t) =(1+t,-2t,3-t)$ e $\beta(t) = (-2+t,6-2t,6-t)$.
$\gamma(t) = (1+t,-2t,3-t)$ e $\delta(t) = (-1+t,4-2t,-3-t)$.
$\varepsilon(t) = (1+t,-2t,3-t)$ e $\eta(t) =(6+t,-10-t,-2-t)$.
$\theta(t) = (1+t,-2t,3-t)$ e $\lambda(t) = (6+2t,-10-2t,-2-2t)$.
$\mu(t) =(1+t,-2t,3-t)$ e $\nu(t) = (5+t,-10-t,-2-t)$.

286

Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

$$r_1:\;\begin{cases}x=2-t\\ y=3-5t\\ z=6-6t. \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ \begin{cases}x=-3+6h\\ y=1+7h\\ z=-1+13h\end{cases}$$

$P=(3,8,12)$.

281

Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é simultaneamente ortogornal às retas $r_1$ e $r_2$:

$$A(0,0,0),\;\;r_1:\;\frac{x}{2}=y=\frac{z-3}{2}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2:\;\begin{cases} x=3t\\ y=-t+1\\ z=2. \end{cases}$$

$r:(x,y,z)=(2t,6t,-5t).$

294

Calcule o cosseno do ângulo entre a diagonal de um cubo e suas arestas.

Consideraremos o cubo com arestas paralelas aos eixos coordenados. Sejam a origem $\left( 0,0,0\right) $ e os pontos $\left( k,0,0\right) ,\left(
0,k,0\right) $ e $\left( 0,0,k\right) $ quatro vértices do cubo. Considere agora o vetor diagonal, isto é, o vetor $\overline{d}$ obtido considerando a origem e o vértice oposto $\left( k,k,k\right) $. Então, o ângulo $\theta $ entre o vetor diagonal e a aresta $u_{x}=\left(k,0,0\right) $ é obtido como segue:

$\overline{d}.u_{x}=\left( k,k,k\right) .\left( k,0,0\right) =\left\vert
\overline{d}\right\vert .\left\vert \overline{u_{x}}\right\vert \cos \theta ,
$ $k^{2}=\sqrt{3k^{2}}k\cos \theta .$

Logo, $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}},$ e $\theta =arc\cos \left( \frac{1}{
\sqrt{3}}\right) ,$ onde escolhemos a determinação do $\arccos $ em $
\left( 0,\pi \right) $. Os ângulos com as arestas são iguais. Observe que o ângulo obtido é sempre independente da escolha de $k.$

285

Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

$$r_1:\;\begin{cases} y=2x-3\\ z=-x-10. \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ r_2:\; \begin{cases}y=3x+7\\ z=x+1\end{cases}$$

As retas não são concorrentes.

297

Encontre condições sobre o vetor $v=(a,b,c)$ para que exista uma reta na direção de $v$ que intercepte simultaneamente as retas $r$ e $s$:

$$r:\begin{cases} x=2 + t\\
y = 5 - t
\\z = 3 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ s:\begin{cases} x= t\\
y = 1 - t
\\z = -2 + t \end{cases}$$

279

Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(4,-3,-2)$ e $B(3,3,4)$.

$r:(x,y,z)=(3-t,3+6t,4+6t).$

303

Encontre a equação da reta $r$ que passa pelo ponto (-1,2,3) e é paralela a reta que passa por $(1,0,-1)$ e tem $(-2,1,-3)$ como vetor diretor.

Como é paralela à reta mencionada, então terá o vetor diretor em comum com aquela. Assim, a reta procurada é dada parametricamente como $$ r: (-1,2,3) + t(-2,1,-3)\quad t\in\mathbb{R}.$$

319

Para o par de retas $r$ e $r^{\prime}$ abaixo encontre o ponto de interseção, $r\cap r^{\prime}$, se existir. E nos casos em que a interseção é vazia decida se elas são paralelas ou reversas.

$r:$ $(x,y,z) = (2,-3,-2) + t(4,-1,3) \;\;\;$ e $r^{\prime}:$ $\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y+z=-2 \\ x-y+2z=1\end{array} \right. .$

Usando escalonamento, podemos obter que a intersecção ocorre para $t=0$. Assim, o ponto de intersecção consiste em $(2,-3,-2)$.

321

Para o par de retas $r$ e $r^{\prime}$ abaixo encontre o ponto de interseção, $r\cap r^{\prime}$, se existir. E nos casos em que a interseção é vazia decida se elas são paralelas ou reversas.

$r:$ $\left\{ \begin{array}{c} 3x-y-z=0 \\ 8x-2y-3z=-1\end{array} \right.$ e $r^{\prime}: \left\{ \begin{array}{c}x-3y+z=-3 \\ 3x-y-z=-5\end{array} \right. .$

Neste caso, a intersecção é vazia e as retas são paralelas. De fato, note que os vetores $(3,-1,-1)\times(8, -2, -3)=(1,1,2)$ e $(1, -3, 1)\times(3,-1,-1)=(4,4,8)$ são múltiplos entre si (linearmente dependentes).

289

Determinar o ângulo entre a reta que passa por $A(3,-1,4)$ e $B(1,3,2)$ e a sua projeção ortogonal no plano $xy$.

$\theta=\arccos \left(\frac{5}{\sqrt{30}}\right)$

1408

Mostre que as duas diagonais do trapézio e a reta que passa pelos pontos médios dos lados paralelos são concorrentes.

276

Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(2,2,4)$ e é perpendicular ao plano $xOz$.

$r:(x,y,z)=(2,2+t,4);$

295

Ache os pontos de $r:x-1=2y=z$ que equidistam de $s=\{ (2,t,0),t\in\mathbb{R}\}$ e do eixo $x$.

275

Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(3,-2,4)$ e é paralela ao eixo dos $x$.

$r:(x,y,z)=(3+t,-2,4);$

Seja $r$ a reta que passa pelo ponto $A(3,-2,4).$ Como a reta $r$ deve ser pararela aos eixos $x$, considere o vetor canônico $\left( 1,0,0\right)$, que por sinal será o vetor direção do eixo dos $x$ e consequentemente o vetor direção da reta $r$, pois é paralela ao eixo dos x e dado por $\ v=\overrightarrow{i}$. Nesse sentido, como temos um vetor direção e o ponto $A(3,-2,4)$, concluímos que as equações paramétricas são dadas por $$\begin{cases} x=3+t\\ y=-2\\ z=4. \end{cases}$$

296

Um quadrado $ABCD$ tem a diagonal $BD$ contida na reta $\displaystyle \begin{cases} x=1\\ y=z\end{cases}$. Sabendo que $A=(0,0,0)$, determine os vértices $B$, $C$ e $D$.

304

Encontre a equação da reta $r$ que passa por $(1,2,-1)$ e é paralela ao eixo $X$.

Ser paralela ao eixo $x$ nos diz que podemos tomar $(1,0,0)$ como um diretor. Assim, a reta pode ser descrita parametricamente como $$ r: (1,2,-1)+t(1,0,0)\quad t\in\mathbb{R}.$$

298

Encontre condições sobre o vetor $v=(a,b,c)$ para que exista uma reta na direção de $v$ que intercepte simultaneamente as retas $r$ e $s$:

$$r:\begin{cases} x= 1 + t\\y = -2 - t\\z = 3 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ s:\begin{cases} x= 1 + 2t\\y = -2\\z = 3 + t \end{cases}$$

313

Encontre a equação de uma reta mediatriz do segmento de extremos $A = (1,1,1)$ e $B = (3,3,3)$.

O ponto médio do segmento é dado por $M=\dfrac{1}{2}(A+B)=(2,2,2)$. Já para um vetor diretor, podemos escolher qualquer vetor que seja ortogonal a $B-A=2(1,1,1)$. Por exemplo, tomando o vetor $(1,-1,0)$ como diretor, teremos a seguinte forma paramétrica para uma mediatriz: $$ (2,2,2)+t(1,-1,0),\quad t\in\mathbb{R}.$$

309

Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):

\[
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 1-2t\\y &=& -1-t\\ z &=& 3 + 3t\end{array}\right., \ \ \
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 3+4s\\y &=& -4+2s\\ z &=& 1 + s\end{array}\right. .
\]

São reversas.

288

Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

$$r_1:\;\begin{cases}x=2+t\\ y=4-t\\ z=-t. \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ \begin{cases} y=6-x\\ z=2-x\end{cases}$$

As retas são coincidentes.

1409

Dois piolhos andam em trajetórias retilíneas no espaço. No instante $t$, as posições $(x,y,z)$ dos piolhos 1 e 2 são dadas pelas retas $r_1$ e $r_2$:

$$r_1: \ x=4-t, \ y=1+2t, \ z=2+t;$$

$$r_2: x=t, \ y=1+t, \ z=1+2t.$$

Suponha que a distância esteja em centímetros e o tempo em minutos.

Determine a distância entre os piolhos no instante $t=0$.
Use um recurso gráfico para fazer o gráfico da distância entre os piolhos como uma função do tempo de $t=0$ a $t=5$.
O que o gráfico nos diz sobre a distância entre os piolhos?
Quão perto ficam os piolhos?

308

Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):

\[
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 2-t\\y &=& 3+2t\\ z &=& 1 + t\end{array}\right., \ \ \
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 5-2s\\y &=& 2+4s\\ z &=& 1 + 2s\end{array}\right. .\]

São paralelas.

305

Encontre a equação da reta $r$ que passa por $A=(2,1,-1)$ e é perpendicular à reta $s: (2,0,0) + t(3,1,-1)$.

Inicialmente, vamos determinar o ponto $P_0$ sobre $s$ tal que $(P_0-A)\cdot(3,1,-1)=0$. Para isso, temos que $(P_0-A)=(2+3t,t,-t)-(2,1,-1)=(3t,t-1,1-t)$. Segue que $$(P_0-A)\cdot(3,1,-1)=0\Longleftrightarrow 9t+(t-1)-(1-t)=0 \Longleftrightarrow 11t=2\Longleftrightarrow t=11/2.$$ Logo, $$ P_0-A=(\frac{6}{11},-\frac{9}{11},\frac{9}{11})=\frac{3}{11}(2,-3,3), $$ e podemos tomar o vetor $(2,-3,3)$ como diretor. Assim, a reta procurada pode ser descrita parametricamente por $$ r: (2,1,-1) + t(2,-3,3),\quad t\in\mathbb{R}.$$

290

Dados o ponto $A(3,4,-2)$ e a reta

$$r:\;\begin{cases}x=1+t\\ y=2-t\\ z=4+2t\end{cases},$$

determinar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é perpendicular a $r$,
calcular a distância de $A$ a $r$,
determinar o ponto simétrico de $A$ em relação a $r$.

$\begin{cases}
x=3-4t\\
y=4\\
z=-2+2t
\end{cases}$;
$2\sqrt{5}$;
$A'=(-5,4,2)$

312

Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):

\[(2,1,-1) + t(3,2,-1), \ \ \ \left\{\begin{array}{ccr}x &=& -1+2s\\y &=& 3s\\ z &=& 4 + 5s\end{array}\right. \]

São reversas.

318

Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que é perpendicular ao plano $2x-y+2z=4$ e passa pelo ponto de interseção das retas $r_1$ e $r_2$ dadas por: $$
r_1: \left\{\begin{array}{ccr}
x&=&t \\ y&=&2+t \\ z&=&1+t
\end{array}\right.,\,\,\, t\in \mathbb{R} \;\;\;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\;\;\;
r_2:\left\{\begin{array}{ccr}
x&=&-1+2s \\ y&=&1+s \\ z&=&0
\end{array}
\right.,\;\;s\in \mathbb{R}.$$

Usando escalonamento, obtemos que o ponto de intersecção ocorre para os valores $s=0$ e $t=-1$ dos respectivos parâmetros. Ou seja, as retas $r_1$ e $r_2$ se intersectam no ponto $(-1,1,0)$. Como $r$ é perpendicular ao plano, então podemos tomar a normal $(2,-1,2)$ como um vetor diretor. Portanto, a reta procurada pode ser descrita vetorialmente como $$\vec{r}=(-1,1,0)+t(2,-1,2),\quad t\in\mathbb{R},$$ ou ainda, parametricamente, como sendo $$\begin{cases} x=-1+2t,\\y=1-t,\\z=2t,\quad t\in\mathbb{R}. \end{cases}$$

311

Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):

\[r:(2,4,1) + t(1,-2,3), \ \ \ s:(-1,3,2) + s(4,-1,2) .\]

São concorrentes.

292

Considere as retas $r$ e $s$ de respectivas equações

\[
r:\ \frac{x-2}{2}\ =\ y\ =\ z+1, \ s:\ x\ =\ y+1\ =\ z-
2
\]

Verifique se as retas $r$ e $s$ são paralelas, concorrentes ou reversas.
Determine a equação da reta $t$ perpendicular e concorrente com as retas $r$ e $s$.
Calcule o ângulo e a distância entre as retas $r$ e $s$.

Reversas.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=-4 \\
y=-5-t \\
z=-2+t
\end{array}
\right. .$
Ângulo $\left( r,s\right) =\arccos \frac{4}{\sqrt{18}} $; dist$(r,s)=\sqrt{8}.$

274

Seja o triângulo de vértices $A(-1,4,-2),\; B(3,-3,6)$ e $C(2,-1,4)$. Escrever as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado $AB$ e pelo vértice oposto $C$.

$r:\begin{cases}x=2+2t\\ y=-1-3t\\ z=4+4t.\end{cases}$

301

Encontre a equação da reta $r$ que passa por (1,-2,3), e tem vetor diretor $(-1,2,-3)$.

Parametricamente: $$ r: (1,-2,3) + t(-1,2,-3)\quad t\in\mathbb{R}.$$

299

Encontre condições sobre o vetor $v=(a,b,c)$ para que exista uma reta na direção de $v$ que intercepte simultaneamente as retas $r$ e $s$:

$$r:\begin{cases} x= 2 + t\\y = 5 - t\\z = 3 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ s:\begin{cases} x= t\\y = 1 - t\\z = -2 \end{cases}$$

Exercícios

Retas