Exercícios
Planos
Selecione os exercícios por
Dificuldade
Categoria
Outros
Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.
Em um sistema de coordenadas ortogonal, um detonador de bomba está localizado no ponto $P=(2,1,2)$. Para ativá-lo, é preciso acender a extremidade $A=(2,1,1)$ de uma haste de combustível paralela ao vetor $\vec{u}=(1,0,2)$, cuja extremidade $B$ toca o ponto inicial de um caminho de pólvora que segue em linha reta até o detonador. O fogo se propaga com velocidade unitária na haste e no caminho de pólvora e este está contido no plano $\pi : x+2y-z-2=0$. Mostre que a explosão ocorre entre $3$ e $4$ segundos após o início do processo.
Considere a reta $r$ e o plano $\pi $ de respectivas equações
\[
\frac{x-2}{2}\ =\ y-2\ =\ \frac{z-3}{3}\, \ \mathrm{e}, \ x+y+z\ =\ 1.
\]
Encontre uma equação paramétrica para a reta que é a projeção ortogonal de $r$ sobre $\pi$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=0 \\
y=1-t \\
z=t
\end{array}
\right. $
Dada a reta $r:\;(x,y,z)=(3+t,1-2t,-1+2t)$, determinar as equações reduzidas das retas projeções de $r$ sobre os planos $xOy$ e $xOz$.
$r_{xOy}=(3+t',1-2t',0),\;r_{xOz}=(3+t,0,-1+2t)$
- Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (10, 1,-1)$, $B = (1, 9,-1) \text{ e } C = (1,-1, 5)$.
- Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1)$, $E = (3,-1, 10)$ e é paralelo ao eixo $z$.
- Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
- Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
- Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $\overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)
Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (10/3, 1,-1), B = (1, 9/2,-1) \text{ e } C = (1,-1, 5/6)$.
Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1), E = (3/2,-1, 10)$ e é paralelo ao eixo $z$.
Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $ \overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)
Um trecho de uma estrada passa sob três viadutos. Aproximadamente, a estrada pode ser considerada como pertencente ao plano $\pi: 5x+4y+20z-20=0$, e os viadutos têm seus pontos mais baixos nas retas: $r_1: X=(5,6,3)+t(4,0,-1)$, $r_2: X=(3,3,4)+t(0,5,-1)$ e $r_3=(2,6,4)+t(4,5,-2)$. As medidas são consideradas em metros. Determine aproximadamente a altura máxima dos veículos que podem trafegar na estrada.
Dados o plano $x-y+z=1$ e o ponto $P=(1,0,1)$, encontre o ponto $Q$ que é simétrico a $P$ em relação ao plano dado.
Dado o ponto $P(5,2,3)$ e o plano $\pi:\;2x+y+z=0$, determinar:
- equações paramétricas da reta que passa por $P$ e é perpendicular a $\pi$;
- a projeção ortogonal de $P$ sobre o plano $\pi$;
- o ponto $P'$ simétrico de $P$ em relação a $\pi$;
- a distância de $P$ a o plano $\pi$.
- $r:(x,y,z)=(5+2t,2+t,3+t)$.
- $P_{\bot}=(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
- $P'=(-5,-3,-2)$.
- $5\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
Encontre a distância perpendicular entre os planos (paralelos): $$ 4x-8y-z=9 \;\;\; \mbox{e}\;\;\;2x-4y-\frac{z}{2}=5.$$
O primeiro plano ($\pi_1$) tem normal, digamos, $n_1=(4,-8,-1)$ e
$p_1=(0,0,-9)$ é um ponto sobre o mesmo. Note também que $p_2=(0,0,-10)$
é um ponto sobre o outro plano ($\pi_2$). Assim, segue que $$
d(\pi_1,\pi_2)=d(\pi_1,p_2)=\|\mathrm{proj\,}_{n_1}(\vec{p_1p_2})\|=\frac{1}{9}.$$
Determine a reta $t$, contida no plano $\pi : x-y+z=0$, e que é concorrente com as retas
$$\begin{cases} x+2y+2z=2\\ x=y \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \begin{cases} z=x+2\\ y=0 \end{cases}$$
Usando escalonamento, podemos ver que a primeira reta irá intersectar o plano $\pi$ no ponto $A=(2/3,2/3,0)$. Da mesma forma, a segunda reta irá intersectar $\pi$ no ponto $B=(-1,0,1)$. Assim, $t$ será a reta contida em $\pi$ e que passa por $A$ e $B$. Ou seja, tomando $B-A=(-5/3,-2/3,1)$ como vetor diretor, então podemos escrever $t$ na forma vetorial como $$ t: (2/3,2/3,0)+s(-5/3,-2/3,1),\quad s\in\mathbb{R}, $$ ou ainda, em termos de componentes, $$\begin{cases} x=\frac{2}{3}-s\frac{5}{3}, \\ y=\frac{2}{3}-s\frac{2}{3},\\ s,\quad s\in\mathbb{R}.\end{cases}$$
Considere os seguintes vetores de $\mathbb{R}^{3}$: $U=(1,0,-1)$ e $V=(0,1,0)$.
- Determine a forma geral de um vetor perpendicular a $U$. Explique porque sua resposta contém duas variáveis livres.
- Determine (caso existam) as equações das retas que passam pelo ponto $(1,2,3)$, são perpendiculares ao vetor $U$ e fazem ângulo de $\dfrac{\pi}{3}$ com o vetor $V$.
- $(a,b,a)$.
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\sqrt{3} \\
y=2+\sqrt{2}t \\
z=3+\sqrt{3}t
\end{array}
\right. $ e $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\sqrt{3}t \\
y=2-\sqrt{2}t \\
z=3+\sqrt{3}t
\end{array}
\right. .$
Considere os pontos $A=(1,1,0)$, $B=(3,2,-1)$, $C=(0,1,-2)$ e $D=(1,3,-1)$.
- Encontre as retas: $r_1$ contendo o segmento $AB$ e $r_2$ contendo o segmento $CD$. Determine a posição relativa desta retas.
- Use o produto misto para encontrar a equação do plano $\pi$ contendo o segmento $AB$ e que seja paralelo a $r_2$.
- Calcule as distâncias $d(\pi, r_2)$ e $d(r_1, r_2)$.
Encontre a equação geral do plano que contém os pontos $A=(1,0,0)$, $B=(1,5,-2)$ e é paralelo ao vetor $(1,-1,1)$. Determine a distância de $C=(1,-1,1)$ ao plano encontrado e a área do triângulo formado pelos vértices $A$, $B$ e $C$.
Dados os dois pontos $A=(x_1,y_1,z_1)$ e $B=(x_2,y_2,z_2)$, mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de $A$ e $B$ é um plano que passa pelo ponto médio do segmento $AB$ e é perpendicular à reta que contém $A$ e $B$.
Calcular $k$ de modo que a reta determinada por $A(1,-1,0)$ e $B(k,1,2)$ seja paralela ao plano
$$\pi:\;\begin{cases}x=1+3h\\ y=1+2h+t\\ z=3+3t \end{cases}$$
$k=3/2$
Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:
$$r:\begin{cases} x - 2y = 4\\
3y + z = -8\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=0.$$
Considere a reta $r$ de equação \[
\frac{x-1}{2}\ =\ y-2\ =\ \frac{z-2}{3}
\] e considere o plano $\pi $ de equação $2x+y+z=-2$. Determine a equação do plano $\alpha $ que contém a reta $r$ e é perpendicular ao plano $\pi $.
$-x+2y=3.$
Considere a reta
\[
r:\left\{
\begin{array}{ccl}
x & = & 1 \\
y & = & -z
\end{array}
\right.
\]
e o ponto $A\ =\ (1,1,1)$. Determine a equação do plano $\pi $ que é paralelo à reta $r$, passa por $A$ e é tal que a sua reta normal pelo ponto $A$ seja perpendicular e concorrente com a reta $r$.
$y+z=2$
- Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (3, 1,-1), B = (1, 2,-1) \text{ e } C = (1,-1, 0)$.
- Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1), E = (2,-1,0)$ e é paralelo ao eixo $y$.
- Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
- Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
- Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $\overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)
Considere os planos $\alpha : x - y + z - 3=0$ e $\beta: 2m^{2}x - (m+1)y + 2z=0$.
- Determine $m$ para que os planos $\alpha$ e $\beta$ possam ser paralelos, concorrentes, e concorrentes ortogonais (Um $m$ para cada caso, se for possível).
- Para $m=-1$ encontre a equação da reta interseção entre $\alpha$ e $\beta$.
Encontre a equação do plano $\pi$ que passa pelos pontos $A=(0,0,2)$, $B=(2,4,1)$ e $C=(-2,3,3)$
$\pi:7x+14z=28$
Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:
$$r:\begin{cases} x= 1 + t\\
y = -2 - t
\\z = -1 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=2.$$
Verifique que a reta $x-1=z-2 y=3$ é paralela ao plano $x+2y-z=3$ e encontre a distância perpendicular entre eles.
Escrevendo $z$ como parâmetro livre, obtemos que $v=(1,0,1)$ é um
vetor diretor da reta dada e, sendo $n=(1,2,-1)$ o vetor normal ao
plano, vemos que $v\cdot n=0$. Ou seja, a reta é paralela ao plano.
Tomando os pontos $p=(-1,3,0)$ sobre a reta e $p_1=(3,0,0)$ sobre o
plano, segue também que a distância procurada é dada por $$
\|\mathrm{proj}_{n}\overrightarrow{p_1p}\| = \sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Considere as retas $r=\{ (1,1,0)+t(0,1,1), t\in\mathbb{R}\}$ e $s:\frac{x-1}{2}=y=z$. Sejam $A$ o ponto de intersecção de $s$ e $\pi : x-y+z=2$; $B$ e $C$ as intersecções de $r$ com os planos coordenados $xz$ e $xy$ respectivamente. Calcule a área do triângulo $ABC$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
Considere os pontos $A = (4,3,-2)$, $B = (5,5,-1)$, $C = (6,4,-3)$ e $D = (7,6,0)$. Pede-se:
A equação do plano $\pi$ que passa por $A$, $B$ e $C$. Mostre também que $D$ não está em $\pi$.
As equações paramétricas da reta $r$ que passa por $D$ e é perpendicular ao plano $\pi$ (do item 1).
O ponto de interseção entre a reta $r$ (do item 2) e o plano $\pi$ (do item 1).
A distância do ponto $D$ ao plano $\pi$ (do item 1).
A área do triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ (área do triângulo $=1/2$ área do paralelogramo).
O volume do tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ e $D$. (Volume do tetraedro $= 1/6$ volume do paralelepípedo).
A altura do tetraedro $ABCD$.
Dica: Os itens 5 e 6 requerem produto vetorial. A solução baseada na geometria plana não é o propósito da geometria analítica.
Existe alguma reta paralela a $r=\{ (0,1,1)+t(1,-1,-1), t\in\mathbb{R}\}$, contida no plano $\pi : x-2y+3z-1=0$? Por quê?
Sim, pois o vetor diretor de $r$ está contido no plano $\pi$, haja visto que $(1,-1,-1)\cdot(1,-2,3)=0$. De outra forma, podemos deduzir (como?) que $v_1=(2,1,0)$ e $v_2=(-3,0,1)$ formam um par gerador para $\pi$ e que o vetor diretor da reta $r$ pode ser escrito como combinação deste par. Ou seja, se escalonarmos a matriz cujas linhas são estes três vetores, então obteremos uma linha nula na forma escalonada reduzida.
Os seguintes pares de retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas ou concorrentes. Encontre uma equação geral do plano que as contém.
$$r_1:\;\begin{cases}x=1+2t\\
y=-2+3t\\ z=3-t\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2: \begin{cases}x=1+2t\\
y=-2-t\\ z=3+2t.\end{cases}$$
As retas são concorrentes em $P(1,-2,3)$; $\pi: 5x-6y-8z+7=0$.
Encontre a equação do plano $\pi$ que é perpendicular ao plano $x+3y-z=7$ e contém os pontos $A=(2,0,5)$ e $B=(0,2,-1)$.
Consideremos os vetores $v_1=(1,3,-1)$ (normal ao plano
perpendicular) e $v_2=B-A=(-2,2,-6)$. Note que estes vetores estão
contidos no plano procurado e não são paralelos, com $v_1\times
v_2=(-16,8,8)$. Logo, o plano procurado pode ser descrito por $$\pi:
-16x+8y+8z=(-16,8,8)\cdot A=8\Longleftrightarrow -2x+y+z=1. $$
Estabeleça as equações gerais dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos $xOy$ e $yOz$.
$x-y=0$
Sejam $a$, $b$, $c$, $d$ números reais tais que $ax+by+cz+d>0$ para quaisquer $x$, $y$, $z\in\mathbb{R}$. Mostre que $a=b=c=0$ e $d>0$.
- Encontre a equação da reta $r$ que passa pelos pontos $A=(3,5,3)$ e $B=(1,1,1)$.
- Considere $s$ a reta $(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,2,1).$ Verifique se as retas $r$ e $s$ são paralelas, reversas ou concorrentes.
- Ache, se possível, uma equação geral do plano que contém as retas $r$ e $s$.
- Calcule a distância entre as retas $r$ e $s$.
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+2t \\
y=1+4t \\
z=1+2t
\end{array}
\right. $. - Paralelas.
- $3x-2y+z=2.$
- $\sqrt{\frac{7}{3}}.$
Os seguintes pares de retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas ou concorrentes. Encontre uma equação geral do plano que as contém.
$$r_1:\;\begin{cases}y=2x-3\\z=-x+2\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \
\ r_2: \begin{cases}\text{ $\frac{x-1}{3}=\frac{z-1}{-1}$}\\
y=-1.\end{cases}$$
Considere a reta $r$ e o plano $\pi$ de respectivas equações
\[
\frac{x}{2}\ =\ \frac{1-y}{4}\ =\ z-3, \]
\[ x+y+2z\ =\ 1.\]
Determine a equação paramétrica da reta $s$ que é igual a projeção ortogonal da reta $r$ sobre o plano $\pi$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=-1+2t \\
y=-4t \\
z=1+t
\end{array}
\right. .$
Seja $\pi $ o plano que contém as retas
\[
r_{1}:\left\{
\begin{array}{ccc}
x & \;=\; & 2t \\
y & \;=\; & t \\
z & \;=\; & 2-t
\end{array}
\right. \mathrm{onde}\ \;\;t\in \Bbb{R}\;\;\;\;\ \ \ \ \ \ \mathrm{e}\ \ \ \
\ \ \;\;r_{2}:\left\{
\begin{array}{ccc}
z & \;= & \;2 \\
x & \;= & y
\end{array}
\right.
\]
- Determine a equação de $\pi $.
- Escreva o vetor $\vec{V}=2\vec{\imath}+1\vec{\jmath}+2\vec{k}$ como a soma de 2 vetores $\vec{U_{1}}$ e $\vec{U_{2}}$, sendo $\vec{U_{1}}$ paralelo a $\pi $ e $\vec{U_{2}}$ ortogonal a $\pi $.
- $x-y+z=2.$
- $\overrightarrow{U}_{1}=(1,2,1)$ e $\overrightarrow{U}_{2}=(1,-1,1).$
Encontre a distância entre o plano $\pi: 2x+2y-z=6$ e o ponto $P=(2,2,-4)$.
Vamos utilizar o conceito de distância dado na referência R. J. Santos-Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Neste caso, precisamos tomar um ponto (arbitrário) sobre o plano. Vamos tomar $P_1=(3,0,0)$ em $\pi$. Assim, sendo $N=(2,2,-1)$ a normal ao plano, $$ d(P,\pi)=\|\mathrm{proj}_N\vec{P_1P}\|=2.$$
Encontre a equação do plano $\pi$, sabendo que $C=(-5,1,2)\in \pi$ e $\pi$ é perpendicular à reta que passa pelos pontos $A=(2,2,-4)$ e $B=(7,-1,3)$.
Podemos tomar $B-A=(5,-3,7)$ como vetor normal ao plano e, sendo $(B-A)\cdot C=-25-3+14=-14$, segue que $$\pi:5x-3y+7z=-14.$$
Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:
$$r:\begin{cases} x= 1 + 2t\\
y = -2 + 7t
\\z = -2 + 5t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=1.$$
Considere o ponto $A=(3,4,-2)$ e a reta $ r:\left\{
\begin{array}{ccc}
x & \;=\; & 1+t \\
y & \;=\; & 2-t \\
z & \;=\; & 4+2t
\end{array}
\right. $, onde $t\in \mathbb{R}.$
- Escreva a equação do plano $\pi $ perpendicular a $r$ que passa por $A$.
- Determine a reta que passa por $A$ e é perpendicular a $r$.
- $x-y+2z=-5.$
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=3-4t \\
y=4 \\
z=-2+2t
\end{array}
\right. .$
Considere as retas $r$ e $s$ dadas pelas equações:
\[
r:\ x\ =\ \frac{y}{2}\ =\ z, \ s:\left\{
\begin{array}{ccl}
x & = & -4+t \\
y & = & 2+2t \\
z & = & t , \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{onde}\ \ t\in \mathbb{R}
\end{array}
\right. \ \
\]
Determine a equação da reta paralela a $r$ e a $s$, contida no mesmo plano de $r$ e $s$ e que seja equidistante de $r$ e de $s$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=-2+t \\
y=1+2t \\
z=t
\end{array}
\right. $
Obtenha o plano que contém a reta $r = \{ (1,1,0)+t(2,1,2), t\in\mathbb{R}\}$ e é paralelo à reta $s:\frac{x+1}{2}=y=z+3$.
Um vetor diretor para a reta $s$ é dado por $v_s=(2,1,0)$. Já para
$r$, $v_r=(2,1,2)$ é o vetor diretor. Fazendo $v_r\times v_s=(-1,2,3)$
obtemos, dessa forma, um vetor normal ao plano procurado. Como esse
plano deve conter o ponto $(1,1,0)$, então o mesmo pode ser descrito
como: $$(x-1,y-1,z)\cdot(-1,2,3)=0\Longleftrightarrow -x+2y+3z=-1.$$
Encontre a equação do plano $\pi$ que passa pelo ponto $P=(3,1,2)$ e tem vetor normal $N=(1,2,-3)$.
$x+2y-3z=-1$
Considere o plano $\pi : ax + by + cz = 0$. Encontre as coordenadas:
- da projeção ortogonal do vetor $(x,y,z)$ sobre o plano $\pi$;
- da reflexão do vetor $(x,y,z)$ em relação ao plano $\pi$.
Considere as retas $r$ e $r^{\prime}$ dadas por:
$r$: $x=0$, $y=2+t$ e $z=1+t$ $r^{\prime}$: $ x-2=z+1$ e $y=3$.
- Mostre que $r$ e $r^{\prime}$ são reversas.
- Encontre dois planos paralelos $\pi$ e $\alpha$ tais que $r\subset \pi$ e $r^{\prime}\subset \alpha$. Pergunta: Podem existir outros planos com as propriedades de $\pi$ e $\alpha$?
- Encontre a distância entre os planos $\pi$ e $\alpha$ do item anterior.
- Encontre $P$ em $r$ e $Q$ em $r^{\prime}$ tais que a reta que passa por $P$ e $Q$ seja perpendicular a $r$ e $r^{\prime}$.
Achar o ponto $N$, projeção ortogonal do ponto $P(3,-1,-4)$ no plano determinado pelos pontos $A(2,-2,3)$, $B(4,-3,-2)$ e $C(0,-4,5)$. Qual é o ponto simétrico de $P$ em relação a este plano?
$N=\left(\frac{18}{7},-\frac{17}{14},\frac{47}{14}\right),\;
P'=\left(\frac{15}{7},\frac{10}{7},-\frac{9}{14}\right)$
Verifique que a intersecção dos planos $\pi_1:x-y=0$, $\pi_2:x+z=0$ e $\pi_3:x-y+3z+3=0$ é um ponto. Modifique o coeficiente de $y$ na equação do plano $\pi_3$ para que a intersecção $\pi_1\cap\pi_2\cap\pi_3$ seja uma reta.
Determine o plano que passa pelos pontos $P=(1,1,-1)$ e $Q=(2,1,1)$ e que dista $1$ da reta $r=\{ (1,0,2)+t(1,0,2),t\in\mathbb{R}\}$.
Sejam $P=(a,b, c)$ um ponto no espa\c co e $r$ a reta $\left\{ \begin{array}{c} x+y+2z=4 \\ x-2y+z=5\end{array} \right.$. Para cada par não nulo de n\'umeros reais, $m,\,n$, considere o plano:
$$\pi_{(m,n)}: (m+n)x+(m-2n)y+(2m+n)z=4m+5n.$$
Mostre que: $P\in r$ se e somente se $P\in \pi_{(m,n)}$, para todo par não nulo $(m,n)$.
Dados os planos $\pi_1:x-y=0$, $\pi_2:x+y-z+1=0$ e $\pi_3:x+y+2z-2=0$, determine o plano que contém $\pi_1\cap\pi_2$ e é perpendicular a $\pi_3$.
Encontre a equação do plano $\pi$ que é perpendicular a cada um dos planos $x-y-2z=0$ e $2x+y-4z-5=0$ e contém o ponto $A=(4,0,-2)$.
$$\pi: 2x+z=6$$