487

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=16$.

Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r\sqrt{\cos(2\theta)}=4$.

1640

As coordenadas esféricas estão relacionadas com as coordenadas em longitude e latitude usadas na navegação. Para ver como, vamos definir um sistema de coordenadas retangulares satisfazendo a regra da mão direita, com sua origem no centro da Terra, o seu eixo $z$ positivo passando pelo Pólo Norte e o seu eixo $x$ positivo passando pelo meridiano principal. Supondo a Terra uma esfera de raio $\rho=4000$ milhas, então cada ponto sobre a Terra tem coordenadas esféricas da forma $(4000,\theta,\phi)$, onde $\phi$ e $\theta$ determinam a latitude e a longitude do ponto. É comum especificar longitudes em graus leste ou oeste do meridiano principal e latitudes em graus norte ou sul do Equador. A cidade de New Orleans, nos EUA, está localizada a $90^\circ$ de longitude oeste e $30^\circ$ de latitude norte. Determine as coordenadas esféricas e retangulares associadas a esta localização (suponha que a distância esteja em milhas).

Uma longitude de $90^\circ$ oeste corresponde a $\theta=360^\circ-90^\circ=270^\circ$ ou $\theta=3\pi/2$ radianos; enquanto $30^\circ$ de latitude norte corresponde a $\phi=90^\circ-30^\circ=60^\circ$ ou $\phi=\pi/3$ radianos. Assim, as coordenadas esféricas $(\rho, \theta,\phi)$ de New Orleans são $(4000,3\pi/2,\pi/3)$. Para determinarmos as coordenadas rectangulares, aplicamos as fórmulas de conversão de esféricas para retangulares. Assim, obteremos \begin{align*} x &=4000\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{3\pi}{2}=4000\dfrac{\sqrt{3}}{2}(0)= 0\ \text{milhas} \\ y & = 4000\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{3\pi}{2}=4000\dfrac{\sqrt{3}}{2}(-1)=-2000\sqrt{3}\ \text{milhas} \\ z& = 4000\cos\dfrac{\pi}{3}=4000(\dfrac{1}{2})=2000\ \text{milhas}.\end{align*}

501

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por $r=2\tan\theta$.

Usando a definição de coordenadas esféricas, a equação dada fica: $\displaystyle (x^2+y^2)(z^2-4)+z^4=0$.

1467

Mostre que se o gráfico polar de $r=f(\theta)$ for girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo $\alpha$, então $r=f(\theta-\alpha)$ é uma equação para a curva girada. (Sugestão: se $(r_0,\theta_0)$ for um ponto qualquer do gráfico original, então $(r_0,\theta_0+\alpha)$ é um ponto no gráfico girado.)

491

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$.

Usando a definição de coordenadas cartesianas, obtemos: $\displaystyle 2+\frac{5}{x-\sqrt{x^2+y^2}}=0. $

1641

Um navio ao mar está no ponto $A$ que está localizado a $60^\circ$ de longitude oeste e $40^\circ$ de latitude norte. O navio viaja ao ponto $B$ que está a $40^\circ$ de longitude oeste e $20^\circ$ de latitude norte. Supondo que a Terra seja uma esfera com raio de $6370$ Km, determine a menor distância que o navio pode pode viajar indo de $A$ para $B$, dado que a menor distância entre os dois pontos sobre uma esfera está ao longo do arco do círculo máximo que une os pontos. [Sugestão: usando o sistema de coordenadas esféricas, considere o ângulo entre os vetores do centro da Terra aos pontos $A$ e $B$. Se o termo "círculo máximo" lhe for estranho, consulte um dicionário.]

490

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^3+y^3-6xy=0$.

Pela definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $$r=\frac{6\cos(\theta)\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)} \quad \theta\in[0,2\pi].$$

492

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=2sen2\theta$.

Usando a relação entre coordenadas polares e rectangulares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle x^2+y^2=2\sin(2\arctan\dfrac{y}{x}), \quad x\neq 0.$

504

Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de cartesianas para polares:

$(7,7)$,
$(1,-\sqrt{3})$,
$(-3,-3\sqrt{3})$,
$(0,7)$,
$(0,-2)$.

503

Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas:

$ (3,\frac{\pi}{4})$,
$ (6,\frac{2\pi}{3})$,
$ (-2,\frac{\pi}{6})$,
$ (4,-36^{o})$,
$ (-3,150^{o})$,
$ (1,\frac{187\pi}{6})$,
$ (-2,-\frac{16\pi}{3})$.

506

Mostre que os pontos em coordenadas polares $ \left(1,\frac{\pi}{3}\right)$, $ \left(\sqrt{3},\frac{\pi}{6}\right)$, e $\left(1,0\right)$ são vértices de um triângulo equilátero.

498

Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2+y^2=9$.

1468

Mostre que, ao variar $a$, a equação polar

$$ r=a\sec\theta \quad(-\pi/2 < \theta < \pi/2 ) $$

descreve uma família de retas perpendiculares ao eixo polar.

1470

Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância $d$ entre os pontos $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}. $$
Mostre que, se $0\leq \theta_1 < \theta_2 \leq \pi$ e se $r_1$ e $r_2$ forem positivos, então a área $A$ do triângulo com vértices $(0,0)$, $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ A= \dfrac{1}{2}r_1r_2\sin(\theta_2-\theta_1). $$
Encontre a distância entre os focos cujas coordenadas polares são $(3,\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
Encontre a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são $(0,0)$, $(1,5\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.

1466

Use um recurso computacional para investigar como a família de curvas polares $r=1+a\cos(n\theta)$ é afetada pela mudança nos valores de $a$ e $n$, sendo $a$ um número real positivo e $n$ um inteiro positivo.

505

Esboce a figura correspondente às seguintes equações polares:

$r = 1$,
$r = 9$,
$\theta = \frac{\pi}{2}$,
$\theta^{2} = \frac{\pi^{2}}{16}$.

497

Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2+y^2+z^2=9z$.

1469

Mostre que, quando $b$ varia, a equação polar

$$ r=b\mathrm{\,cosec\,}\theta \quad(0 < \theta < \pi ) $$

descreve uma família de retas paralelas ao eixo polar.

500

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por $z^2\sin\theta=r^3$.

499

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por $r=3\cos\theta$.

495

Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2+y^2+4z^2=16$.

Usando a definição, a equação dada fica: $\displaystyle r^2+4z^2=16$.

502

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por $r=9\sec\phi$.

Usando a definição, a equação dada fica: $\displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{81}{x^2}(x^2+y^2).$

496

Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=3z^2$.

Usando a definição de coordenadas cilíndricas, a equação dada fica: $\displaystyle r^2\cos(2\theta)=3z^2$.

488

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $2xy=25$.

Apenas utilizando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=\dfrac{5}{\sqrt{\sin(2\theta)}}$, com $\displaystyle \theta\in(0,\pi)\cup (\pi,2\pi)$.

494

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=cos\theta$.

489

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)$.

Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=2\sqrt{\cos(2\theta)}$, com $\theta\in[0,2\pi]$.

493

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{6}{2-3sen\theta}$.

Exercícios

Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas