Exercícios
Círculo e esfera
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Ache as retas tangentes ao círculo $x^2+y^2=4x$ que passam pelo ponto $(3,2)$.
Uma corda da circunferência $x^2+y^2=25$ se encontra sobre a reta cuja equação é $x-7y+25=$. Qual o comprimento dessa corda?
As equações dos lados de um triângulo são $9x+2y+13=0$, $3x+8y-47=0$ e $x-y-1=0$. Encontrar a equação da circunferência circunscrita a esse triângulo.
Dados: a esfera $\mathcal{S}$ de centro $C=(h,k,p)$ e raio $r$ e $P=(x_1,y_1,z_1)$ um ponto da esfera, mostre que: $\pi\cap \mathcal{S}=\{P\}$, onde $\pi$ é o plano que é normal ao vetor $\vec{CP}$ e passa por $P$. Tal plano é chamado de plano tangente à esfera por $P$.
Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$ e $P=(x_1,y_1)$ um ponto no exterior da circunferência. Sejam também $P_2=(x_2,y_2)$, $P_3=(x_3,y_3)$ os pontos de $\mathcal{C}$ tais que as retas $l_2$ que passa por $P$ e $P_2$, e $l_3$ que passa por $P$ e $P_3$ são tangentes à circunferência. Então mostre que a reta (secante) que passa por $P_2$ e $P_3$ tem equação $x_1x+y_1y=r^2$. (Sugestão: encontre as equações das retas $l_2$ e $l_3$ e use o fato de que $P$ está em ambas.)
Ache a esfera que tem centro na reta $r: \left\{ \begin{array}{c} x=2z-3 \\ y = z-1 \end{array} \right.$ e passa pelos pontos $(6,-1,3)$ e $(0,7,5)$.
Um roteador de internet sem fio é instalado de forma que o sinal chegue com mesma intensidade em qualquer ponto $(x,y)$ a uma distância $r$ do local de instalação $(a,b)$ (desconsiderando eventuais efeitos que possam diminuir a intensidade do sinal). Determine a equação do lugar geométrico no plano cartesiano tal que a internet possa ser utilizada sem problemas.
Ache a equação do círculo com centro $(-2,5)$ e raio $r = 3$.
$(x+2)^2+(y-5)^2=9$, ou seja, $x^2+y^2+4x-10y+20=0$.
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(3,4)$, $(-1,2)$ e $(-2,4)$. Ache também seu centro, raio, e faça um esboço de seu gráfico.
$r:\dfrac{x+6}{2}=y+3=z+1$ e $S:x^2+y^2+z^2-4x+2y-4z+4=0$.
Qual a equação da circunferência que passa pelos pontos $(1,2)$, $(3,4)$ e que tem centro sobre o eixo $y$?
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(4,0)$, $(0,3)$ e a origem.
Ache a equação da reta tangente a $x^2+y^2=25$ no ponto $(-3,4)$.
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(a,0)$, $(b,0)$ e $(0,c)$. Ache também seu centro, raio, e faça um esboço de seu gráfico.
Ache a equação do círculo tangente ao eixo $y$ na origem e com raio $r = a$.
$(x-a)^2+y^2=a^2$
Identifique o círculo $x^2+y^2-2x-4y+5=0$, dando o seu centro e raio.
Ao completarmos quadrados, ficamos com $(x-1)^2+(y-2)^2=0$. Trata-se de um único ponto (círculo degenerado), a saber, o ponto $(1,2)$.
Ache a equação do círculo com centro $(5,2)$ e passando pelo ponto $(2,3)$.
A equação do círculo é dada por $(x-5)^2+(y-2)^2=d^2$, onde $d$ é o seu raio. Como é dado um ponto sobre o mesmo, obtemos então que $d=\sqrt{(2-5)^2+(3-2)^2}=\sqrt{10}$.
Verifique se a equação $x^2-6x+y^2-4y+z^2+14z+58=0$ descreve uma esfera. Em caso afirmativo, identifique o centro e o raio.
Completamos quadrados para reescrevê-la como $\displaystyle (x-3)^2+(y-2)^2+(z+7)^2=4$. Ou seja, neste caso, a equação descreve uma esfera de raio $2$ e centro em $(3,2,-7)$.
- Encontre o seu centro e seu raio.
- Encontre a equação do plano tangente à esfera e que passa pelo ponto $P=(2,1,4)\in S$.
Completando quadrados, temos que $(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=16$. Ou seja, a esfera tem centro $C=(2,1,0)$ e raio 4.
O plano tangente terá normal $n=P-C=(0,0,4)$ e passa por $P$ (enunciado). Logo, ele é dado por $\displaystyle z=4$.
Ache a equação da esfera que passa pelos pontos $(0,0,1)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e cujo centro está no plano $x+y-z=0$.
Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$. Se $r=1$ e $l$ é a reta de equação $3x+4y=5$ então mostre que $l$ é tangente a $\mathcal{C}$. Encontre o ponto de tangência.
Basta dividir ambos os lados da equação equação da reta dada e
confrontar com a afirmação vista no exercício anterior. Ou seja, a reta
$l$ tem equação $\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y=1$. Assim, pelo visto no
exercício anterior, vemos que $l$ é a reta tangente a $\mathcal{C}$ pelo
ponto $(3/5,4/5)$.
Identifique o círculo $x^2+y^2-4x+6y=12$, dando o seu centro e raio.
Centro igual $(2,-3)$ e com raio $5$.
Mostre que o plano tangente à esfera $x^2+y^2+z^2=r^2$ no ponto $(a,b,c)$ tem equação $ax+by+cz=r^2$.
Ache a equação do círculo com centro $C=(3,-2)$ tangente a $2x-y=0$.
Visto que seu centro é dado, nos basta então encontrar seu raio. Para isso, vamos determinar o ponto de tangencia, digamos, $P=(x_1,y_1)$. Você pode notar, inicialmente, que a reta dada passa pela origem e tem diretor $\vec{v}=(1,2)$. Assim, devemos ter que $\displaystyle (P-C)\cdot\vec{v}=0$, ou seja, $(x_1-3,y_1+2)\cdot (1,2)=0\Longrightarrow x_1+2y_1=-1$. Por outro lado, como $P$ é um ponto da reta
dada, deve cumprir sua equação. Enfim, $P$ pode ser obtido pelo sisteminha $$\begin{cases} x_1+2y_1=-1,
\\ 2x_1-y_1=0, \end{cases}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1&2 & \vdots & -1 \\ 2 & -1 & \vdots & 0 \end{array}\right)
\begin{array}{c} {}\\ \sim \\ {}\end{array} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0& -5 & \vdots & 2\end{array}\right). $$ Donde obtemos a solução $$ x_1=\frac{1}{5} \quad\text{e}\quad y_1=-\frac{2}{5}. $$ Segue que o raio é dado então por $r=\|P-c\|=2\sqrt{\dfrac{13}{5}}$. Portanto, a equação procurada do círculo é dada por $$ (x-3)^2+(y+2)^2=\frac{52}{5}.$$
Ache as equações dos dois círculos tangentes a $2x-5y+1=0$ no ponto $(2,1)$ e com raio $r = 3$.
Verifique se a equação $x^2+y^2+z^2-2x-4y+10=0$ descreve uma esfera. Em caso afirmativo, identifique o centro e o raio.
Completando quadrados, vemos que não descreve uma esfera.
Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$ e $P=(x_1,y_1)$ um ponto em $\mathcal{C}$. Mostre que a equação da reta tangente à circunferência por $P$ é $x_1x+y_1y=r^2$. (Lembre que a reta tangente em $P$ sempre é perpendicular ao vetor $\vec{OP}$, com $O$ sendo o centro de $\mathcal{C}$.)
Um ponto $x=(x,y)$ qualquer sobre a reta tangente a $\mathcal{C}$ pelo ponto $P$ deverá satisfazer $(x-P)\cdot\overrightarrow{OP}=0$. Ou seja, $\vec{x}$ deverá cumprir $(x-x_1)x_1+(y-y_1)y_1=0$ pela condição de perpendicularidade. Como $P\in\mathcal{C}$, então $x_1^2+y_1^2=r^2$ e a condição anterior fica $\displaystyle xx_1+yy_1=r^2$.
Um roteador de internet sem fio é instalado de forma que o sinal
chegue com mesma intensidade em qualquer ponto $(x,y)$ a uma distância
de $10$m do local de instalação $(0,0)$ (desconsiderando eventuais efeitos
que possam diminuir a intensidade do sinal). Um outro roteador (nas mesmas condições), é instalado na posição $(20,0)$. Um terceiro roteador deve ser colocado de forma que o sinal chegue a uma maior área possível, ao mesmo tempo que fique próximo dos outros dois roteadores. Determine os dois pontos no plano cartesiano tais que este novo roteador possa ser instalado.