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Bases e sistemas de coordenadas

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477   

Nesta questão, todos os sistemas de coordenadas têm mesma origem O. Sejam (x,y,z) coordenadas em relação à base usual {i,j,k}; (u,v,w) coordenadas em relação à base β={j,i,ij+k} e (r,s,t) coordenadas em relação à base γ={k,ij,i+j}. Dado um ponto PR3, escrito na base β como Pβ=(3,2,1), ache Pγ, isto é, P na base γ.


475   

Os vetores (1,1,0,1),(1,2,1,3),(1,1,9,2),(16,13,1,3) formam uma base para R4?


Sim, porque são 4 vetores linearmente independentes, e dim R4=4.


476   

Sejam (x,y,z) coordenadas em relação ao sistema usual de R3, S0={O,i,j,k}. Considere o paralelepípedo P com vértices (0,0,0), (3,0,0), (0,2,0), (0,0,1) (quais são os outros quatro?). Determine os vetores que representam as quatro diagonais de    P. Escolha três deles e mostre que formam uma base de R3. Chame esta base de β={V1,V2,V3}.


1427   

Uma viga metálica fina, com extremidades nas coordenadas A=(1,4,7) e B=(3,2,1), deve ser dividida em duas partes iguais. Determine o ponto C que realiza esta divisão.


1406   

No tetraedro ABCD, seja X um ponto tal que AX = mXD. Determine os valores de m para os quais os vetores AX+AC, BX+BC e (1m)BC+AB sejam linearmente independentes.


473   

Considere o subconjunto de vetores B={(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}.
  1. Mostre que B é uma base para R3.
  2. Encontre a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica {i,j,k} de R3 para a base B. Qual é matriz de mudança de coordenadas A da base B para a base canônica?
  3. Quais são as coordenadas dos vetores canônicos i,j e k em relação à base B?
  4. Se o ponto P tem coordenadas (1,2,5) no sistema {O,i,j,k}, quais são as coordenadas de P no sistema {O,B}?

  1. Pois det.
  2. A^{\prime}=\left[\begin{array}[c]{ccc}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]  ;A=(A^{\prime})^{-1}=\left[\begin{array}[c]{rrr}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\-\overset{}{\frac{1}{2}} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\overset{}{\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]  .
  3. São as colunas de A, respectivamente: \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)  ,\left(  \frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)  e \left(  -\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)  .
  4. (-3,1,4).

478   

Sabemos que se B é uma base de R^3 formada pelos vetores U,V e W, então as leis de mudança de base entre a base usual e a base B são P_B = [U,V,W]^{-1}P\ \ {\rm e}\ \ P = [U,V,W]P_B Determine a mudança de base entre a base B e uma base B^{\prime} distinta da usual.


1423   

Suponha que u_1,\ldots, u_n gerem \mathbb{R}^n. Mostre que dados vetores quaisquer em \mathbb{R}^n, u_{n+1}, \ldots, u_m, então u_1, \ldots, u_n, u_{n+1}, \ldots, u_m  geram \mathbb{R}^n.


474   

Considere o subconjunto de vetores \mathcal{B} =\{(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1)\}.

  1. Mostre que \mathcal{B} é uma base para \mathbb{R}^{3}.
  2. Encontre a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica \{i,j,k\} de \mathbb{R}^{3} para a base \mathcal{B}. Qual é matriz de mudança de coordenadas A^{\prime} da base \mathcal{B} para a base canônica?
  3. Quais são as coordenadas dos vetores canônicos i,j e k em relação à base \mathcal{B}?
  4. Se o ponto P tem coordenadas (1,-2,5) no sistema \{O,i,j,k\}, quais são as coordenadas de P no sistema \{O,\mathcal{B}\}?

  1. Como eles são ortogonais dois a dois e dim \!\mathbb{R}^{3}=3, eles são L.I.
  2. A^{\prime}=\left[\begin{array}[c]{rrr}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\-2 & 0 & 1\end{array}\right]  ;A=(A^{\prime})^{-1}=\left[\begin{array}[c]{rrr} \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3}\\\overset{}{\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2} & 0\\\overset{}{\frac{1}{3}} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]  .
  3. São as colunas de A, respectivamente: \left( \frac{1}{6},\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)  ,\left(  \frac{1}{6},-\frac{1}% {2},\frac{1}{3}\right)  e \left(  -\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}\right)  .
  4. \left(  -\frac{11}{6},\frac{3}{2},\frac{4}{3}\right)  .

481   

Considere a reta r=\{(x,y):2x-3y=1\}\subset\mathbb{R}^2. Seja B a base formada pelos vetores (3,2) e (1,0) e x^{\prime} e y^{\prime} coordenadas definidas em \mathbb{R}^2 pela origem usual e pela base B. Ache a equação de r nas coordenadas x^{\prime} e y^{\prime}.


480   

Considere a reta r=\{(x,y):2x-3y=1\}\subset\mathbb{R}^2. Seja B a base formada pelos vetores (3,2) e (1,0) e x^{\prime} e y^{\prime} coordenadas definidas em \mathbb{R}^2 pela origem usual e pela base B. Ache a equação de r nas coordenadas x^{\prime} e y^{\prime}.


1422   

Encontre \lambda \in \mathbb{R} para que v_1=(2 \lambda,1), v_2=(\lambda + 1, \lambda + 1):

  1. Sejam paralelos;
  2. Não sejam paralelos;
  3. v_1 e v_2 formem uma base para \mathbb{R}^2.

  1. \lambda=-1 ou \lambda=1/2.
  2. \lambda\neq -1 ou \lambda\neq 1/2.
  3. \lambda\neq -1 ou \lambda\neq 1/2.

1424   

Mostre que quaisquer que sejam u, v e w em \mathbb{R}^2, eles são linearmente dependentes.


1428   

Uma viga metálica fina, com extremidades nas coordenadas A=(2,5,3) e B=(1,1,0), deve ser dividida em três partes iguais. Determine os pontos C e D que realizam esta divisão.


479   

Considere o círculo C de raio 1 e centrado na origem do sistema usual de coordenadas do \mathbb{R}^2. Lembre-se que a equação de C é x^2+y^2=1. Considere o sistema \{ Q,i,j\}, onde Q=(-3,2). Ache a equação de C no novo sistema de coordenadas.