390

Resolva a equação $f(x)=0$ , onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$

As raízes são: $x=-1$ (simples) e $x=1$ (dupla).

407

Resolver o sistema linear: $\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..$

$x_3 = \dfrac{-19+2 x1- 4 x2}{3}, x_4 = \dfrac{ 41 - 4 x_1 + 8 x_2}{3}, x_5 = \dfrac{5- x_1+2 x_2}{3}, \forall x_1, x_2\in \mathbb{R}$ .

1443

Considere o sistema linear:

$\left\{ \begin{array}{rcrcc}a x &+& b y & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b) y & = & d\end{array} \right. ,$

onde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $\alpha$ são números reais.

Mostre que, se $d=\alpha c$ , o sistema tem infinitas soluções em função de um parâmetro $\lambda$ real, dadas por: $x=\dfrac{c-b\lambda}{a}$ e $y=\lambda$ .
Mostre que, se $d \neq \alpha c$ , o sistema não admite solução.

402

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .$

$x_1 = -\dfrac{27}{7}, x_2=\dfrac{-5}{7}, x_3 =\dfrac{2}{7} , x_4 =\dfrac{16}{7}.$

371

Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$ , onde

$A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{array}\right) .$

$\lambda=-1$ , $2$ ou $4$ .

1474

Considere o sistema linear:

$\left\{ \begin{array}{rcrcrcc}a x &+& b y &+& cz & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b)y &+& (\alpha c) z & = & d \\(\beta a) x &+& (\beta b)y &+& (\beta c) z & = & e\end{array} \right. ,$

onde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $\alpha$ e $\beta$ são números reais.

Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e=\beta c$ , o sistema tem infinitas soluções em função de um único parâmetro real.
Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e\neq\beta c$ , ou, se $d\neq\alpha c$ e $e=\beta c$ , o sistema tem infinitas soluções em função de dois parâmetros reais.
Mostre que, se $d\neq\alpha c$ e $e\neq\beta c$ , o sistema tem solução única.

418

Use o método de inversão por escalonamento para obter, se possível, a inversa das seguintes matrizes:

$A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix}$ ;
$B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ .

352

Considere a multiplicação de matrizes $3\times3$ abaixo, em que os pontos de interrogação representam coeficientes desconhecidos:

$\left(\begin{array}[c]{rrr}9 & -8 & 4\\? & -7 & 2\\? & -4 & ?\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{rrr}-5 & -9 & ?\\? & 5 & ?\\4 & -8 & -7\end{array}\right) =\left(\begin{array} [c]{ccc}c_{11} & c_{12} & c_{13}\\c_{21} & c_{22} & c_{23}\\c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{array}\right) .$

Só é possível determinar um coeficiente da matriz produto. Qual é ele e qual é o seu valor?

Lembre-se que a multiplicação de matrizes é feita entre linhas 'vezes' colunas. Note que, na primeira matriz apenas a primeira linha está completada (não tem ?), enquanto na outra matriz apenas a segunda coluna não contém um símbolo ?. Assim, na matriz produto, apenas a entrada $c_{12}$ estará bem-definida e seu valor será:

$\left(\begin{array}{ccc} 9 & -8 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} -9 \\ 5 \\ -8 \end{array}\right) = -9^2- 8\cdot 5 -4\cdot 8 = -153.$

444

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. .$

Esse sistema possui infinitas soluções.

457

Sabendo que o sistema

$\left\{\begin{array}{rrrl}x&+y&+z&=1\\mx&+2y&+3z&=0\\m^2x&+4y&+9z&=1\end{array}\right.$

admite uma única solução, podemos concluir que $m$ pode assumir todos os valores no intervalo real:

$[0,1]$
$[1,2]$
$[3,4)$
$[0,4]$ .

460

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. .$

$Y = (0, 0)^T$ .
Não existe solução particular $X_o$ para esse sistema. Ou seja, o sistema linear não possui solução.

391

Resolva a equação $f(x)=0$ , onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix} 5&6&-3\\ -1&0&1\\ 1&2&1 \end{pmatrix}.$

$x=2$ é uma raíz tripla.

420

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. .$

$x_2 = \dfrac{13-2 x_1}{5}, x_3 = \dfrac{1+x_1}{5}, x_4 = \dfrac{9-x_1}{5}, \forall x_1\in\mathbb{R}.$

380

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} 0&a&0\\ b&c&d\\ 0&e&0 \end{pmatrix}.$

$0$

452

Seja o sistema linear $AX = B$ , onde

$A=\begin{pmatrix}1&\phantom{-}2&-3\\3&-1&\phantom{-}5\\1&\phantom{-}1&a^{2}-16\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}4\\2\\a+14\end{pmatrix}.$

Determine o valor (ou valores) de $a$ para que o sistema tenha solução única.
Exitem valores de $a$ para os quais o sistema tem infinitas soluções?
Exitem valores de $a$ para os quais o sistema não tem solução?

1480

Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$ , com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$ . Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$ ; para cada unidade de $p_2$ , $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$ ; e para cada unidade de $p_3$ , $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$ .

Escreva um sistema linear que relacione as quantidades de $x$ unidades de $p_1$ , $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$ que podem ser produzidas com $200$ unidades de $m_1$ e $300$ unidades de $m_2$ .
Utilizando conhecimentos sobre sistemas lineares, responda se há apenas uma configuração possível de produção dos produtos $p_1$ , $p_2$ e $p_3$ . Determine esta(s) configuração(ões) e interprete.

$\left\{ \begin{array}{rcrcc}x &+& y &+ & z & = &200\\2x &+& y &+ &4 z & = &300\end{array} \right.$
Há infinitas configurações possíveis respeitando $y=\dfrac{500-2x}{3}$ e $z=\dfrac{100-x}{3}$ desde que $x,y,z \in\mathbb{I}^+$ , logo $x\leq 100$ .

417

Use o processo de inversão (Gauss-Jordan) para obter a inversa da matriz $A$ e verifique que a matriz obtida é de fato a inversa de $A$ , onde: $A = \begin{bmatrix} 6 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

408

Sejam

$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\1 & 0 & -1\\4 & -1 & 0\end{array}\right)$ e $X= \left( \begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)$ .

Verifique que: $xA_1+yA_2+zA_3=AX$ , sendo $A_j$ a $j$ -ésima coluna de $A$ para $j=1$ , 2, 3.
Usando 1. verifique que: a segunda coluna de $C=A^2$ é $C_2=-2A_1 - A_3$ .
Tente generalizar o que foi feito em e para a seguinte situação: Sejam $A$ uma matriz $m\times n$ , $B$ uma matriz $n\times k$ e $C=AB$ . Se $C_j$ é a $j$ -ésima coluna de $C$ , encontre $C_j$ em termos das $n$ colunas de $A$ e da $j$ -ésima coluna de $B$ .

464

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .$

373

Sabendo-se que para toda matriz $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ com $\det(A)\neq 0$ existe uma matriz $\overline{A}$ , também $n\times n$ , tal que $\overline{A}A=I_n$ , mostre que:

se $B$ e $C$ são matrizes $n\times n$ tais que $BC=I_n$ , então $CB=I_n$ .
se $\det(B)\neq 0$ ( $B$ matriz $n\times n$ ), então existe uma única $B^{-1}$ tal que $BB^{-1}=B^{-1}B=I_n$ .

1386

Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$ , com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$ . Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$ ; para cada unidade de $p_2$ , $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$ ; e para cada unidade de $p_3$ , $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$ . Utilizando matrizes, determine quantas unidades de $m_1$ e $m_2$ são necessárias na produção de $x$ unidades de $p_1$ , $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$ .

Seja $A$ a matriz $2 \times 3$ tal que sua primeira linha contenha informações sobre $m_1$ e a segunda linha informações sobre $m_2$ , e a primeira, segunda e terceira colunas informações sobre $p_1$ , $p_2$ e $p_3$ , respectivamente:

$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix} \text{ e } X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$

então a multiplicação $AX$ nos dá o vetor tal que a sua primeira linha seja a quantidade de $m_1$ necessária e sua segunda linha a quantidade de $m_2$ :

$AX=\begin{pmatrix} x+y+z \\ 2x+y+4z \end{pmatrix}.$

356

Os únicos números reais cujos quadrados são eles próprios são $0$ e $1$ . Ache todas as matrizes quadradas $A$ , $2\times2$ , tais que $A^{2}=A.$

Se

$A= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$

$A^2=A \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right).$

Cujas soluções são:

$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{x-x^2}{y} & 1-x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & 0\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 &0\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$

453

Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. .$

Esse sistema linear possui infinitas soluções.

1484

Três tipos de suplementos alimentares estão sendo desenvolvidos. Para cada grama de ração, tem-se que:

i) O suplemento 1 tem $1$ unidade de vitamina A, $3$ unidades de vitamina B e $4$ unidades de vitamina C;

ii) O suplemento 2 tem $2$ , $3$ , e $5$ unidades das vitaminas A, B, e C, respectivamente;

iii) O suplemento 3 tem $3$ unidades das vitaminas A e C, e não contém vitamina B.

Se são necessárias $11$ unidades de vitamina A, $9$ de vitamina B, e $20$ de vitamina C,

Encontre todas as possíveis quantidades dos suplementos 1, 2, e 3, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada.
Qual o sistema homogêneo associado?
O sistema homogêneo associado aceita solução não nula?
Qual a relação entre a resposta dos itens anteriores?
Se o suplemento 1 custa $6$ reais por grama e os outros dois custam $1$ , existe uma solução custando exatamente $10$ reais?

359

Considere as matrizes

$A=\left(\begin{array}[c]{rrr}2 & -3 & -5\\-1 & 4 & 5\\1 & -3 & -4\end{array}\right) \text{, }B=\left( \begin{array} [c]{rrr}-1 & 3 & 5\\1 & -3 & -5\\-1 & 3 & 5\end{array}\right) \text{ e }C=\left( \begin{array}[c]{rrr} 2 & -2 & -4\\-1 & 3 & 4\\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right) .$

Mostre que $AB=BA=0$ , $AC=A$ e $CA=C$ .
Use os resultados do item anterior para mostrar que $ACB=CBA$ , $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ e $(A\pm B)^{2}=A^{2}+B^{2}$ .

461

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. .$

$Y = x_1 \left(1, \dfrac{-2}{3}, 0\right)^T$ , $\forall x_1\in\mathbb{R}$ .

$X_o = \left(0, \dfrac{19}{6},\dfrac{ 3}{2}\right)^T$ .

$X_o + Y = \left(x_1, \dfrac{19}{6}-\dfrac{2 x_1}{3},\dfrac{ 3}{2}\right)^T$ , $\forall x_1\in\mathbb{R}$ .

387

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} 1&-2&3&2\\ 0&2&-1&1\\ 0&0&-1&1\\ 2&0&0&3 \end{pmatrix}.$

$14$

360

Sejam $A,B$ e $C$ matrizes reais tais que $AB=AC$ . Se existir uma matriz $Y$ tal que $YA=I$ , onde $I$ é a matriz identidade, então podemos concluir que $B=C$ ?

Sim, pois se $Y$ é uma inversa à esquerda de $A$ , então podemos multiplicar ambos os lados, à esquerda, da equação $AB=BC$ e então teremos que
$B=IB=(YA)B=Y(AB)=Y(AC)=(YA)C=IC=C.$

1485

Suponha que:

$\left\{ \begin{array}{rcrcc}a x &+& b y & = & 0\\c x &+& d y & = & 0 \end{array} \right. ,$

sejam duas equações de retas, onde $a$ , $b$ , $c$ e $d$ são números reais.

O que significa, geometricamente, o fato de que os termos independentes são nulos?
Como estudar a existência/tipo de interseções entre essas duas retas usando sistemas lineares?

Significa que ambas as retas passam pela origem do plano cartesiano. Afinal, ponto $(x,y)=(0,0)$ satisfaz ambas as equações do sistema.
Posto que as duas retas passam pelas origem, esse tipo de sistema possui sempre ao menos uma solução, ponto de interseção das retas, a origem. Restando a possibilidade de, se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo, que as retas sejam coincidentes.

401

Resolver o sistema linear: $\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. .$

$x_3 =\dfrac{11x_1+4x_2}{5}, x_4 = \dfrac{6 x_1-x_2}{5}, x_5 = \dfrac{21 x_1 + 9 x_2}{5}, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ .

445

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. .$

Esse sistema possui infinitas soluções.

386

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} a&b&c&d\\ -b&a&d&-c\\ -c&-d&a&b\\ -d&c&-b&a \end{pmatrix}.$

$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2$

394

Resolva a equação $f(x)=0$ , onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}.$

$x_1=-1$ , $x_2=1$ , $x_3=1$ .

450

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .$

Esse sistema linear não possui solução.

374

Calcule o determinante da matriz: $\begin{pmatrix} \sin\alpha&\cos\alpha \\ \sin\beta&\cos\beta \end{pmatrix}.$

$\displaystyle \sin(\alpha-\beta)$

1416

Mostre que o sistema linear:

$\left\{ \begin{array}{ccccccccc}a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& \ldots &+& a_{1n} x_n &=& b_1 \\a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& \ldots &+& a_{2n} x_n &=& b_2 \\\vdots && \vdots && && \vdots && \vdots \\a_{n1} x_1 &+& a_{n2} x_2 &+& \ldots &+&a_{nn} x_n &= &b_n \\ \end{array} \right.$
pode ser escrito em forma matricial

$Ax=b$ , onde:

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}.$

431

Verifique se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Usando operações de linha equivalência escalone as (encontre a forma escalonada das) que não estiverem na forma escalonada.

$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.,$
$\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$

358

Dadas as matrizes
$A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & -3 & 2\\2 & 1 & -3\\4 & -3 & -1\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrrr}1 & 4 & 1 & 0\\2 & 1 & 1 & 1\\1 & -2 & 1 & 2\end{array}\right) \text{ e }C=\left(\begin{array}[c]{rrrr}2 & 1 & -1 & -2\\3 & -2 & -1 & -1\\2 & -5 & -1 & 0\end{array}\right) ,$
mostre que $AB=AC$ .

$AB=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right)$ e $AC=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right)$ .

383

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} \sin\alpha&\cos\alpha&1\\ \sin\beta&\cos\beta&1\\ \sin\gamma&\cos\gamma&1 \end{pmatrix}.$

$\sin(\alpha - \beta) - \sin(\alpha - \gamma) + \sin(\beta - \gamma)$

436

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

$\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 5\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}-5 & 2 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.$

427

Resolver o sistema linear: $\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .$

$z = \dfrac{-3+x+4y}{5}, t =\dfrac{-4+13 x+7 y}{5}, \forall x, y \in \mathbb{R}.$

423

Resolver o sistema linear: $\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. .$

$x_3 =\dfrac{11x_1+4x_2}{5}, x_4 = \dfrac{6 x_1-x_2}{5}, x_5 = \dfrac{21 x_1 + 9 x_2}{5}, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ .

363

Sejam $A\in M_{2\times 3}$ , $B\in M_{3\times 1}$ e $C\in M_{3\times 3}$ . Quais dos produtos existem?

$A\,B$ ;
$B\,A$ ;
$A\,B^t$ ;
$A\,C$ ;
$A\,C^t$ ;
$A\,B\,C$ ;
$A\,C\,B$ .

Apenas os produtos 1, 3, 4, 5 e 7estão definidos.

1

Sejam
$A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 1 & -1 \end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrr}-2 & 0 & 1\\3 & 0 & 1 \end{array}\right) \text{, }C=\left(\begin{array}[c]{r}-1\\2\\4\end{array}\right) \text{ e }D=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & -1\end{array}\right) .$
Encontre:

$A+B$ ;
$AC$ ;
$BC$ ;
$CD$ ;
$DA$ ;
$DB$ ;
$-A$ ;
$-D$ .

$A+B=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 0 \end{array}\right);$
$AC=\left(\begin{array}{c} 15 \\ -4 \end{array}\right);$
$BC=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array}\right);$
$CD = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 4 & -2 \\ 8 & -4 \end{array}\right);$
$DA = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & 7 \end{array}\right);$
$DB =\left(\begin{array}{ccc} -7 & 0 & 1 \end{array}\right);$
$-A = \left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & 1 \end{array}\right);$
$-D = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \end{array}\right).$

1417

Mostre que o sistema linear:
$\left\{ \begin{array}{ccccc}a_{11} x &+& a_{12} y & = & b_1\\a_{21} x &+& a_{22} y & = & b_2 \end{array} \right.$

pode ser escrito em forma matricial $AX=b$ , onde:

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}.$

466

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ , em função do parâmetro $\lambda$ :

$\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .$

388

Resolva a equação $f(x)=0$ , onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A=\begin{pmatrix} 3&4\\ 5&2 \end{pmatrix}.$

$x=7$ ou $x=-2$

439

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 6\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/5 & 0 \\0 & 0 & 1/6\end{pmatrix}.$

392

Resolva a equação $f(x)=0$ , onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix} 5&2&-3\\ 4&5&-4\\ 6&4&-4 \end{pmatrix}.$

As raízes são: $x=1$ , $x=2$ e $x=3$ .

379

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} 1&1&-1\\ -1&0&1\\ -1&-1&0 \end{pmatrix}.$

$-1$

443

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. .$

O sistema não possui solução.

357

Seja $A=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & x^{2}\\2x-1 & 0\end{array}\right) .$
Qual é o valor de $x$ para que tenhamos $A^{t}=A$ ?

$x=1$

448

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$ .

$\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .$

396

Resolva a equação $f(x)=0$ , onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix} 2&-2&0\\ -2&3&-2\\ 0&-2&4 \end{pmatrix}.$

$x=0$ , $x=3$ e $x=6$

469

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..$

459

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. .$

$Y=(0,0,0,0)^T$ .
$X_o=(4,1,1,1)^T$ .
$X_o+Y=(4,1,1,1)^T$ .

468

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .$

456

Seja $M= \left( \begin{array}{cccc}a & 0 & b & 2\\a & a & 4 & 4\\0 & a & 2 & b\end{array}\right)$ a matriz ampliada (ou aumentad de um sistema linear. Para que valores de $a$ e $b$ o sistema admite:

Solução única;
Solução com uma variável livre;
Solução com duas variáveis livres;
Nenhuma solução.

361

Verdadeiro ou Falso? Justifique.

Se $A=\left(\begin{array}[c]{rr}-2 & 1\\3 & 2\end{array}\right)$ , então $A^{2}=\left(\begin{array}[c]{rr} 4 & 1\\9 & 4\end{array}\right)$ .
$(A+B)^{t}=B^{t}+A^{t}.$
Se $AB=0$ , então $A=0$ ou $B=0$ .
Se $AB=0$ , então $BA=0$ .
Se podemos efetuar o produto $AA$ , então $A$ é uma matriz quadrada.
$(-A)(-B)=-(AB).$
Sejam $A$ e $B$ duas matrizes. Se $A=0$ , então $BA$ sempre existe.

Falso, pois efetuando a multiplicação temos que
$A^2=7I_2.$
Verdadeiro. Não confundir com a transposta do produto.
Falso! Como contra-exemplos, podemos tomar:
$A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad\text{e}\quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{array}\right).$ Note que $AB=\mathbf{0}$ , não sendo nenhuma delas nula.
Falso também. Ainda pegando os dois exemplos anteriores, note que
$BA=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\-1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1&1\\0&0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{array}\right).$
Verdadeiro. Supondo que $A$ fosse $m\times n$ , como o produto $A\cdot A$ existe, isso implica que devemos ter $m=n$ .
Falso, pois
$(-A)(-B)=[(-1)A][(-1B)]=(-1)[A(-B)]=(-1)[A(-1)B]=(-1)(-1)[AB]=AB.$
Falso. Note que, para que exista $BA$ , o número de colunas de $B$ dever ser igual ao número de linhas de $A$ que, por sua vez, não tem nada a ver com ser nula. Por exemplo, considerando $A$ como sendo uma matriz $2\times 3$ nula e $B$ uma matriz $2\times 3$ qualquer, temos que o produto $BA$ não fica definido.

1392

Mostre que todo sistema linear homogêneo (isto é, cujos termos independentes são todos iguais a zero) de três equações com quatro incógnitas possui uma infinidade de soluções.

381

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{pmatrix}.$

$-(a - b)(a - c)(b - c)$

393

Resolva a equação $f(x)=0$ , onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$A = \begin{pmatrix} 4&-2&2\\ -5&7&-5\\ -6&6&-4 \end{pmatrix}.$

As raízes são: $x=3$ e $x=2$ , esta última com multiplicidade dupla.

428

Resolver o sistema linear: $\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .$

Esse sistema linear não possui solução.

429

Resolver o sistema linear: $\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..$

$x_3 = \dfrac{-19+2 x1- 4 x2}{3}, x_4 = \dfrac{ 41 - 4 x_1 + 8 x_2}{3}, x_5 = \dfrac{5- x_1+2 x_2}{3}, \forall x_1, x_2\in \mathbb{R}$ .

354

Seja $A=\left(\begin{array}[c]{rr}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right) :$

Encontre uma matriz $B$ tal que $B^{2}=A$ (isto é, $B$ é uma "raiz quadrada'' de $A$ ).
Encontre todas as soluções da equação matricial $X^{2}=A$ .

$B= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right) .$
Se $X= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$ $X^2=A \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right).$

Cujas 4 soluções são:

$X'= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right);$ $X''= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 1\\2 & -1\end{array}\right);$ $X'''= \left(\begin{array}[c]{cc}\sqrt{2} & -\sqrt{2}/2\\-\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{array}\right);$ $X''''= \left(\begin{array}[c]{cc}-\sqrt{2} & \sqrt{2}/2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{array}\right).$

437

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

$\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix}.$

A inversa existirá desde que $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ , nesse caso será dada por $\begin{pmatrix}\dfrac{a}{a^2+b^2} & \dfrac{-b}{a^2+b^2} \\ \dfrac{b}{a^2+b^2} & \dfrac{a}{a^2+b^2}\end{pmatrix}.$

1379

Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

$\begin{array}{lccccc} & \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} & \text{Tinta} & \text{Tijolo}\\ \text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\ \text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\ \text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13 \end{array}$

Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual e o custo total do material empregado?

As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.

412

Dada uma matriz $A = CD$ , onde $C^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 &3\end{array}\right]$ e $D^{-1} =\left[\begin{array}{cr} 2 & 5 \\ 3 & -2\end{array}\right]$ , resolva o sistema $AX = B$ , sabendo que $B=\left[\begin{array}{c} -1 \\0 \end{array}\right]$ .

Se $AX=B$ com $A=CD$ , tem-se $CDX=B$ .

Multiplicando a última expressão por $C^{-1}$ à esquerda: $C^{-1}CDX=C^{-1}B \Rightarrow I_2DX=C^{-1}B$ ou $DX=C^{-1}B$ .

E então, multiplicando a expressão resultante por $D^{-1}$ à esquerda: $D^{-1}DX=D^{-1}C^{-1}B$ e $I_2X=D^{-1}C^{-1}B$ ou, equivalentemente, $X=D^{-1}C^{-1}B$ .

Como $C^{-1}$ e $D^{-1}$ são dadas, basta realizar as multiplicações, obtendo-se $B=\left[\begin{array}{c} -11 \\7 \end{array}\right]$ .

1481

Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata, uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata, e uma liga $L_3$ tem mesma quantidade de ouro e prata.

Escreva um sistema linear cuja solução dê a quantidade de gramas de cada liga necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com $60$ gramas de ouro e $40$ gramas de prata.
Este problema tem solução única? Justifique utilizando conceitos sobre sistemas lineares.
Determine a(s) solução(ões) do sistema linear.

Se $x$ , $y$ e $z$ designam as quantidades, em gramas, das ligas $L_1$ , $L_2$ e $L_3$ , respectivamente, o sistema pode ser escrito como a seguir
$\left\{ \begin{array}{rcrcc}0,2 x &+&0,65 y &+ &0,5 z & = &60\\0,8 x &+&0,35 y &+ &0,5 z & = &40\end{array} \right.$
Existem infinitas soluções para este problema. Por que?
As soluções são dadas por $y=\dfrac{200}{3}+2x$ , $z=\dfrac{100}{3}-3x$ .
Como $x$ , $y$ e $z$ representam pesos, a solução só fará sentido para $x,y,z \in \mathbb{R}^+$ . Logo, é preciso que $x\leq\dfrac{100}{9}$ gramas.

368

Determine todas as matrizes $D$ , $2\times 2$ e diagonais, que satisfazem: $DB=BD$ para toda matriz, $2\times 2$ , $B$ .
Determine todas as matrizes $A$ , $2\times 2$ , que satisfazem: $AB=BA$ para toda matriz $B$ , $2\times 2$ .
Tente generalizar a) e b) para matrizes $n\times n$ .

449

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .$

Esse sistema possui infinitas soluções.

365

Sejam
$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\1 & 0 & -1\\4 & -1 & 0\end{array}\right)$ e $X= \left( \begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)$ .

Verifique que: $xA_1+yA_2+zA_3=AX$ , sendo $A_j$ a $j$ -ésima coluna de $A$ , para $j=1$ , 2, 3.
Verifique que a segunda coluna de $C=A^2$ é $C_2=-2A_1 - A_3$ .
Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam $A$ uma matriz $m\times n$ , $B$ uma matriz $n\times k$ e $C=AB$ . Se $C_j$ é a $j$ -ésima coluna de $C$ , encontre $C_j$ em termos das $n$ colunas de $A$ e da $j$ -ésima coluna de $B$ .

1415

Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).

Se $A$ e $B$ são duas matrizes $n\times n$ e $AB=BA$ , então $(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$ para todo número natural $p$ .
Se $A$ e $B$ são matrizes $n\times n$ tais que $AB={\bf 0}$ , então $BA={\bf 0}$ .
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^4 - 3A^2 + 7A -I_n={\bf 0}$ então $A$ é invertível (isto é, $AB=BA=I_n$ para alguma matriz $B$ , $n\times n$ ).

424

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .$

$x_1 = -\dfrac{27}{7}, x_2=\dfrac{-5}{7}, x_3 =\dfrac{2}{7} , x_4 =\dfrac{16}{7}.$

432

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. .$

$z = 4 - 5 x - 2 y, t = 8 - 9 x - 5 y, \forall x, y \in \mathbb{R}$ .

1391

Seja $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma função definida por $f(x,y) = (2x+y,x-y)$ . Ache o(s) valor(es) de $\lambda$ para que a equação $f(x,y) = \lambda(x,y)$ possua solução $(x,y) \neq 0$ .

$\lambda=\dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ou $\lambda=\dfrac{1 - \sqrt{13}}{2}$ .

362

Responda verdadeiro ou falso, justifique suas respostas.

Se $A^2 = -2\,A^4$ , então $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2$ .
Se $A^t = -A^2$ e $A$ é não singular, então $\det A = -1$ .
Se $B = A\,A^t\,A^{-1}$ , então $\det(A) = \det(B)$ .
$\det(A + B) = \det A + \det B$ .

Verdadeira, pois $A^2 = -2\,A^4 \Rightarrow -A^2 -2\,A^4=0$ .
E $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2 \Leftrightarrow (I - 2\,A^2) (I+A^2)=I$ e $(I+A^2) (I - 2\,A^2) =I$ .
O que vale, visto que $(I - 2\,A^2) (I+A^2)=I+A^2- 2\,A^2- 2\,A^4=I-\,A^2- 2\,A^4=I-0=I$ .
E $(I+A^2) (I - 2\,A^2)=I- 2\,A^2+A^2- 2\,A^4=I-A^2- 2\,A^4=I-0=I$ .
Falsa, pois $\det(A)\neq0$ e $A^t = -A^2 \Rightarrow \det(A^t)=\det(-A^2)$ .
Mas $\det(A^t)=\det(A)$ e $\det(-A^2)=\det(-A)\det(A)=(-1)^n \det(A) \det(A)$ , onde $n$ é a ordem da matriz $A$ .
Logo $\det(A)=\det(A^t)=\det(-A^2)=(-1)^n\det(A)^2 \Rightarrow 1=(-1)^n \det(A) \Rightarrow \det(A)=(-1)^n$ .
Portanto, se a matriz for de ordem par $\det(A)=1$ e se a matriz for de ordem ímpar $\det(A)=-1$ .
Verdadeira.
$B = A\,A^t\,A^{-1} \Rightarrow \det(B)=\det(A)\det(A^t)\det(A^{-1})=\det(A) \det(A)\dfrac{1}{\det(A)}=\det(A)$ .
Falsa, contra exemplo:
sejam $A$ e $B$ matrizes de ordem dois tais que $A=I$ e $B=2I$ . Então $A+B=3I$ . E $\det(A+B)=9$ . Mas, como $\det(A)=1$ e $\det(B)=4$ , $\det(A)+\det(B)=5\neq 9=\det(A+B)$ .

355

A equação $x^{2}=1$ possui apenas duas soluções reais: $x=1$ e $x=-1$ . Ache todas as matrizes $2\times2$ que são soluções da equação matricial $X^{2}=I$ , onde $I$ é a matriz identidade $2\times2$ .

Se

$X= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$

$X^2=I \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$

Cujas soluções são:

$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{1-x^2}{y} & -x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & -1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 &-1\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$

471

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .$

378

Calcule o determinante da matriz:
$\begin{pmatrix} 1&a\\ 1&b\ \end{pmatrix}.$

$b-a$

1387

Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata e uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata. Quanto gramas de cada liga são necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com quantidade igual de ouro e prata?

Serão necessárias aproximadamente 33.3333 gramas da liga $L_1$ e 66.6667 gramas da liga $L_2$ .

438

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

$\begin{pmatrix}\cos x & \sin x \\ - \sin x & \cos x\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x\end{pmatrix}.$

384

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} 1&1&-6&-2 \\ 4&7&4&4 \\ -2&-2&1&-2 \\ -4&-7&0&-1 \end{pmatrix}.$

$-27$

465

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ , em função do parâmetro $\lambda$ :

$\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right..$

442

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. .$

Esse sistema possui infinitas soluções.

367

Seja $M= \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right)$ .

Mostre que: Se $A$ é uma matriz $2\times 2$ qualquer, então $AM=MA$ , se e somente se, $A= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$ .
Mostre que se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$ , então $A$ e $B$ comutam entre si, isto é, $AB=BA$ .

Seja $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)$ , tal que $AM=MA$ .
Deseja-se que $AM=\left( \begin{array}{cc}-b & a \\-d & c\end{array}\right)=MA= \left( \begin{array}{cc}c & b \\-a & -b\end{array}\right)$ .
Logo, é necessário que $c=-b$ e $d=a$ , de onde $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$ .
Se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$ , de acordo com o item anterior, $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$ e $B= \left( \begin{array}{cc}c & d \\-d & c\end{array}\right)$ .
Calculando $AB$ e $BA$ , obtém-se $AB= \left( \begin{array}{cc}ac-bd & ad+bc \\-bc-ad & -bd+ac\end{array}\right)=BA$ .

1482

Mostre que um sistema de equações lineares homogêneo de $n$ equações e $n$ incógnitas admite solução(ões) não trivial(is) se e somente se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo.

1483

Mostre que um sistema linear homogêneo de $m$ equações e $n$ incógnitas sempre tem soluções não triviais se $m < n$ .

435

Considere a matriz $A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ .

Calcule o $det(A^n)$ , para todo número natural $n$ .
Usando escalonamento encontre a matriz inversa $A^{-1}$ .

Como $\det(A)=-1$ e $\det(A^n)=\det(A)^n$ , $\det(A)^n=(-1)^n$ .
$A^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 2 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right]$ .

425

Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$ :

$\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right..$

$x_1 =\dfrac{-1}{4}, x_2 =\dfrac{7}{12}, x_3 =\dfrac{-1}{4}, \lambda = \dfrac{-11}{4}.$

426

Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$ :

$\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .$

$x_3 = 2 - \dfrac{x_1- 9 x_2}{4} , x_4 = -\dfrac{5x_1-x_2}{4}, \lambda = 0, \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$ .

403

Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$ :

$\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right..$

$x_1 =\dfrac{-1}{4}, x_2 =\dfrac{7}{12}, x_3 =\dfrac{-1}{4}, \lambda = \dfrac{-11}{4}.$

369

Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).

Se $A$ é matriz $n\times n$ e $A^2={\bf 0}$ , então $A={\bf 0}$ , onde ${\bf 0}$ é a matriz nula.
A única matriz $n\times n$ simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^{2}=I_n$ , então $A=I_n$ ou $A=-I_n$ ( $I_n$ é a matriz identidade $n\times n$ ).

Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$ é não-nula e $A^2={\bf 0}$ .
Falsa. Qualquer matriz diagonal é simétrica e anti-seimétrica ao mesmo tempo.
Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ z & 1 \end{array}\right)$ é diferente de $I_2$ e de $-I_2$ mas $A^2=I_2$ .

454

Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .$

Esse sistema linear não possui solução.

1390

No processo de escalonamento de um sistema linear, se uma linha se anular, mostre que ela era uma combinação linear das outras.

413

Determine os coeficientes $a$ , $b$ , $c$ e $d$ da função polinomial $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , cujo gráfico passa pelos pontos $P_1=(0,10)$ , $P_2=(1,7)$ , $P_3=(3,-11)$ e $P_4=(4,-14)$ .
Determine coeficientes $a, b$ e $c$ da equação do círculo, $x^2+y^2+ax+by+c=0$ , que passa pelos pontos $P_1=(-2,7)$ , $P_2=(-4,5)$ e $P_3=(4,-3)$ .

$a = 1/6$ , $b = -1$ , $c = -13/6$ , $d=10$ .
$a= -2$ , $b = -4$ , $c = -29$ .

455

Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..$

Esse sistema linear possui infinitas soluções.

433

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .$

Esse sistema linear não possui solução.

409

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. .$

$z = 4 - 5 x - 2 y, t = 8 - 9 x - 5 y, \forall x, y \in \mathbb{R}$ .

375

Calcule o determinante da matriz:
$\begin{pmatrix} a+b&a+c \\ d+b&d+c \end{pmatrix}.$

$\det\left(\begin{pmatrix}a+b&a+c \\ d+b&d+c\end{pmatrix}\right)=(c-b)(a-d).$

470

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. .$

463

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. .$

$Y = x_ 1\left ( 1,0, \dfrac {11} {5}, \dfrac {6} {5},\dfrac {21} {5} \right)^T+x_2\left ( 0,1, \dfrac {4} {5}, \dfrac {-1} {5},\dfrac {9} {5} \right)^T$ , $\forall x_1, x_2\in\mathbb {R}$ .

415

Resolva o sistema $A\,X=B$ usando o método de Gauss-Jordan, onde: $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \text{ e } B=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$

Destaque as operações elementares usadas.

Vamos aplicar escalonamento sobre a matriz aumentada do sistema:
$\begin{gather*} \begin{pmatrix} 1 & 0 &-1&\vdots & 1 \\ 2 & 1 & 0& \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 1 \end{pmatrix} \begin{array}{c} L_2-2L_1\rightarrow L_2\\ \sim \end{array} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & \vdots & 01 \\ 0 & 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 01 \end{pmatrix} \begin{array}{c} L_3-L_2\rightarrow L_3 \\\sim \end{array} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0&0&-1&\vdots&2 \end{pmatrix} \\ \begin{array}{c} \\-L_3\leftrightarrow L_3 \\ \sim \\ L_3+L_1\rightarrow L_1 \end{array} \begin{pmatrix} 1& 0& 0&\vdots & -1\\ 0& 1& 2&\vdots & -1\\ 0& 0& 1&\vdots &-2 \end{pmatrix} \begin{array}{c} L_2-2 L_3\rightarrow L_2 \\ \sim \end{array} \begin{pmatrix} 1& 0& 0&\vdots &-1 \\ 0 & 1& 0& \vdots& 3\\ 0& 0 & 1 &\vdots & -2 \end{pmatrix}. \end{gather*}$ Logo, a solução é dada por $\displaystyle (-1,3,-2)^T$ .

451

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..$

Esse sistema linear possui infinitas soluções.

377

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} 1+x_1y_1&1+x_1y_2 \\ 1+x_2y_1&1+x_2y_2 \end{pmatrix}.$

$(x_1-x_2)(y_1-y_2)$ .

376

Calcule o determinante da matriz:
$\begin{pmatrix} a&b\\ -b&a \end{pmatrix}.$

$a^2+b^2$

351

Qual é o valor de $c_{23}$ na multiplicação das matrizes abaixo?

$\left(\begin{array}[c]{rr}1 & -2\\5 & -2\\-4 & 4\\-1 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array} [c]{rrrr}-5 & 1 & 5 & -4\\-2 & 5 & 2 & 2\end{array} \right) =\left(\begin{array}[c]{cccc}c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}\\c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34}\\c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44}\end{array}\right) .$

Note que, como o enunciado apenas pede o valor da entrada $c_{23}$ , basta multiplicar a linha $2$ da primeira matriz pela coluna $3$ da outra:

$c_{23}=\left(\begin{array}{cc} 5 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right) = 5\cdot5 -2\cdot2 =21.$

370

Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$ .

$A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right).$

$\lambda\in\{1,2,4\}$

366

Sejam $A$ e $B$ duas matrizes quadradas $n\times n$ .

Mostre que $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ .
Suponha que:
$A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \;\; \mbox{e}\;\; B= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$ .
Verifique que $AB\neq BA$ . Conclua que neste caso, $(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$ .
Mostre que: Se $A$ e $B$ são duas matrizes quadradas $n\times n$ , então $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ , se e somente se, $AB=BA$ .

447

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$ .

$\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right..$

395

Resolva a equação $f(x)=0$ , onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix} -2&2&-2\\2&1&-4\\ -2&-4&1 \end{pmatrix}.$

$x_1=-3$ , $x_2=-3$ , $x_3=6$ .

421

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. .$

O sistema não possui solução.

419

Considere a matriz $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & a \\ 2 & 2a-2 & -a-2& 3a-1 \\ 3 & a + 2 & -3 & 2a + 1 \end{bmatrix}.$ Determine o conjunto solução do sistema $A\,X = B$ , em que $B = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 6\end{bmatrix}^t$ , para todos os valores de $a$ .

Para $a=5$ , o sistema não possui solução.

Para $a=1$ , o sistema possui infinitas soluções com $x=2-w$ , $y=z=1$ e $w\in\mathbb{R}$ .

Para $a\neq 5$ e $a\neq 1$ , $x = \dfrac{4a-11}{a-5}$ , $y = \dfrac{4}{5-a}$ , $z = \dfrac{4}{5-a}$ , $w = \dfrac{1}{5-a}$ .

364

Calcule os produtos:

$\begin{pmatrix}\phantom{-}3 & 1\\ -1 &2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\phantom{-}0 & 5\\ -1 &6\end{pmatrix}$ ;
$\begin{pmatrix}\phantom{-}3\\ -1\\ \phantom{-}2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2 & -6 & 7\end{pmatrix}$ ;
$\left(\begin{array}{ccc}1 & -4 & 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\phantom{-}3\\ \phantom{-}4\\ -1\end{array}\right)$ ;
$A\cdot A^t$ , onde $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1\end{pmatrix}$ ;
$\begin{pmatrix}2& -4 & 6\\ 5 &\phantom{-}2 & 7 \\ 1& \phantom{-}0&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5& 0 & \phantom{-}0\\ 0 &2 & \phantom{-}0 \\ 0& 0&-1\end{pmatrix}$ ;
$\begin{pmatrix}2&-1&3 \\ 0&\phantom{-}1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2&\phantom{-}1\\ \phantom{-}0&\phantom{-}2\\ \phantom{-}1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\ 3 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$ ;
$\begin{pmatrix} \cos \alpha &- \sin \alpha \\ \sin \alpha & \phantom{-}\cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha& \phantom{-}\cos \alpha \\ \end{pmatrix}$ .

$\left(\begin{array}{cc} -1 & 21 \\ -2 & 7 \end{array}\right);$
$\left(\begin{array}{ccc} 6 & -18 & 21 \\ -2 &6 & -7 \\ 4 & -12 & 14 \end{array}\right);$
$\displaystyle -18;$
$\left(\begin{array}{cc} 14 & 10 \\ 10 & 14\end{array}\right);$
$\left(\begin{array}{ccc} 10 & -8 & -6\\ 25 & 4 & -7\\ 5& 0 -4 \end{array}\right);$
$\begin{pmatrix} -11 & 1\\ 4 &-2 \end{pmatrix};$
$\begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & -\sin(2\alpha) \\ \sin(2\alpha) & \cos(2\alpha) \end{pmatrix}.$

467

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$ , e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$ . Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$ .

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$ .

$\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .$

372

Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$ , onde

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & -2 \end{array}\right).$

As raízes são: $\lambda=-2$ , $\lambda=1$ e $\lambda=3$ .

398

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. .$

$x_2 = \dfrac{13-2 x_1}{5}, x_3 = \dfrac{1+x_1}{5}, x_4 = \dfrac{9-x_1}{5}, \forall x_1\in\mathbb{R}.$

416

Sejam $U=\begin{bmatrix} c & 4 & 1 \\ 0 & d+1 & 3 \\ 0 & 0 & c^2-4 \end{bmatrix}$ , $M=\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -4 & 9 & -3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ e $N=\begin{bmatrix} 1 & -5 & 4 \\ -2 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & -1 \end{bmatrix}$ .

Determine, se possível, $c$ e $d$ tais que $A=M\,U$ seja invertível;
Determine, se possível, $c$ e $d$ tais que $B=N\,U$ seja invertível.

Posto que $\det(M)=0$ e $\det(A)=\det(M)\det(U)$ , não há valores de $c$ e $d$ tais que $A$ seja invertível.
$\det(N)=40$ , logo, se $\det(U)\neq0$ , $B=NU$ será invertível, de novo porque $\det(B)=\det(N)\det(U)$ . Os valores de $c$ e $d$ para os quais $\det(U)\neq$ são $c,\, d\in\mathbb{R}$ tais que $c\neq 0,$ $c\neq\pm 2$ e $d\neq -1$ .

411

Resolver o sistema linear:

$\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..$

$y = \dfrac{-6 x}{5}, z = \dfrac{-4 x}{5}, t = \dfrac{3 x}{5}, \forall x \in \mathbb{R}$ .

446

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

$\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .$

Esse sistema possui uma única solução.

414

Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

$\begin{array}{lccccc} & \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} & \text{Tinta} & \text{Tijolo}\\ \text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\ \text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\ \text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13 \end{array}$

Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual é o custo total do material empregado?

As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.

382

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} a&b&c\\ b&c&a\\ c&a&b \end{pmatrix}.$

$-a^3 - b^3 + 3 a b c - c^3$ .

1389

Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata e uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata. Quanto gramas de cada liga são necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com quantidade igual de ouro e prata?

Serão necessárias aproximadamente 33.3333 gramas da liga $L_1$ e 66.6667 gramas da liga $L_2$ .

399

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. .$

O sistema não possui solução.

430

Verifique se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Usando operações de linha equivalência escalone as (encontre a forma escalonada das) que não estiverem na forma escalonada.

$\begin{pmatrix}1&-2&-1&0\\1&\phantom{-}0&-1&1\\0&\phantom{-}1&\phantom{-}0&2\end{pmatrix},$
$\begin{pmatrix}1&0&0&5&0\\0&1&0&2&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}.$

353

Ache $x,y,z$ e $w$ tais que
$\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) .$
Mostre que não existem $x,y,z$ e $w$ tais que
$\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) .$
Existem $x,y,z$ e $w$ tais que
$\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left( \begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array} \right) ?$

$x=-4$ ; $y=3$ ; $z=3$ ; $w=-2$ .
$\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}x & 0\\z & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) .$
Mas $0=1$ é absurdo.
$\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left( \begin{array}[c]{cc}x+y & x+y\\w+z & w+z\end{array} \right)=\left( \begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array} \right) .$
Portanto, o sistema é sobredeterminado e impassível de solução.

434

Resolver o sistema linear:

$\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..$

$y = \dfrac{-6 x}{5}, z = \dfrac{-4 x}{5}, t = \dfrac{3 x}{5}, \forall x \in \mathbb{R}$ .

422

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. .$

$x_2 =\dfrac{19-4x_1}{6}, x3 =\dfrac{3}{2}, \forall x_1 \in \mathbb{R}$ .

458

Sejam $A$ uma matriz $n\times m$ , ${\bf 0}$ a matriz nula $m\times 1$ e $B$ uma matriz $m\times 1$ .

Sabendo que $Y_{1}$ e $Y_{2}$ são duas matrizes $m\times 1$ que são soluções do sistema $AX = {\bf 0}$ e que $a$ e $b$ são dois números reais, mostre que $Y_{3} = aY_{1} + bY_{2}$ também é solução do sistema $AX = {\bf 0}$ .
Sabendo que $X_{1}$ e $X_{2}$ são duas matrizes $m\times 1$ , que são soluções do sistema $AX = B$ , mostre que $X_{3} = X_{1} - X_{2}$ é uma solução do sistema $AX = {\bf 0}$ .
Sabendo que $U$ e $V$ são duas matrizes $m\times 1$ onde $U$ é uma solução do sistema $AX = {\bf 0}$ e $V$ é uma solução do sistema $AX = B$ mostre que $Z = U + V$ também é solução do sistema $AX = B$ .

1388

Seja $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma função definida por $f(x,y) =(2x+y,x-y)$ . Ache o(s) valor(es) de $\lambda$ para que a equação $f(x,y) = \lambda(x,y)$ possua solução $(x,y) \neq 0$ .

$\lambda=\dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ou $\lambda=\dfrac{1 - \sqrt{13}}{2}$ .

404

Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$ :

$\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .$

$x_3 = 2 - \dfrac{x_1- 9 x_2}{4} , x_4 = -\dfrac{5x_1-x_2}{4}, \lambda = 0, \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$ .

385

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&10&0&0\\ 11&12&0&0 \end{pmatrix}.$

$8$

1380

Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

$\begin{array}{lccccc} & \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} & \text{Tinta} & \text{Tijolo}\\ \text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\ \text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\ \text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13 \end{array}$

Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual é o custo total do material empregado?

As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.

405

Resolver o sistema linear: $\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .$

$z = \dfrac{-3+x+4y}{5}, t =\dfrac{-4+13 x+7 y}{5}, \forall x, y \in \mathbb{R}.$

441

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

$\begin{pmatrix}1 & 3 & -7 \\ 0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$

389

Resolva a equação $f(x)=0$ , onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix} \cos a& \sin a\\ -\sin a&\cos a \end{pmatrix}.$

$\displaystyle \cos a\pm \sqrt{\cos^2a-1}$

410

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .$

Esse sistema linear não possui solução.

440

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

$\begin{pmatrix}2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\-1 & 2 & 2\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}2/9 & 2/9 & -1/9 \\ 2/9 & -1/9 & 2/9 \\-1/9 & 2/9 & 2/9\end{pmatrix}.$

406

Resolver o sistema linear: $\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .$

Esse sistema linear não possui solução.

400

Resolver o sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. .$

$x_2 =\dfrac{19-4x_1}{6}, x3 =\dfrac{3}{2}, \forall x_1 \in \mathbb{R}$ .

Exercícios

Sistemas lineares