421

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]

O sistema não possui solução.

461

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]

$Y = x_1 \left(1, \dfrac{-2}{3}, 0\right)^T$, $\forall x_1\in\mathbb{R}$.

$X_o = \left(0, \dfrac{19}{6},\dfrac{ 3}{2}\right)^T$.

$X_o + Y = \left(x_1, \dfrac{19}{6}-\dfrac{2 x_1}{3},\dfrac{ 3}{2}\right)^T$, $\forall x_1\in\mathbb{R}$.

399

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]

O sistema não possui solução.

398

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]

$x_2 = \dfrac{13-2 x_1}{5}, x_3 = \dfrac{1+x_1}{5}, x_4 = \dfrac{9-x_1}{5}, \forall x_1\in\mathbb{R}.$

400

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]

$x_2 =\dfrac{19-4x_1}{6}, x3 =\dfrac{3}{2}, \forall x_1 \in \mathbb{R}$.

465

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$, em função do parâmetro $\lambda$:

\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]

1392

Mostre que todo sistema linear homogêneo (isto é, cujos termos independentes são todos iguais a zero) de três equações com quatro incógnitas possui uma infinidade de soluções.

392

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$
A = \begin{pmatrix}
5&2&-3\\ 4&5&-4\\ 6&4&-4
\end{pmatrix}.
$

As raízes são: $x=1$, $x=2$ e $x=3$.

369

Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).

Se $A$ é matriz $n\times n$ e $A^2={\bf 0}$, então $A={\bf 0}$, onde ${\bf 0}$ é a matriz nula.
A única matriz $n\times n $ simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^{2}=I_n$, então $A=I_n$ ou $A=-I_n$ ($I_n$ é a matriz identidade $n\times n$).

Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right)$ é não-nula e $A^2={\bf 0}$.
Falsa. Qualquer matriz diagonal é simétrica e anti-seimétrica ao mesmo tempo.
Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
z & 1
\end{array}\right)$ é diferente de $I_2$ e de $-I_2$ mas $A^2=I_2$.

359

Considere as matrizes

\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}2 & -3 & -5\\-1 & 4 & 5\\1 & -3 & -4\end{array}\right) \text{, }B=\left(
\begin{array} [c]{rrr}-1 & 3 & 5\\1 & -3 & -5\\-1 & 3 & 5\end{array}\right) \text{ e }C=\left(
\begin{array}[c]{rrr} 2 & -2 & -4\\-1 & 3 & 4\\
1 & -2 & -3 \end{array}\right) .\]

Mostre que $AB=BA=0$, $AC=A$ e $CA=C$.
Use os resultados do item anterior para mostrar que $ACB=CBA$, $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ e $(A\pm B)^{2}=A^{2}+B^{2}$.

468

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]

432

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]

$z = 4 - 5 x - 2 y, t = 8 - 9 x - 5 y, \forall x, y \in \mathbb{R}$.

464

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]

1387

Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata e uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata. Quanto gramas de cada liga são necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com quantidade igual de ouro e prata?

Serão necessárias aproximadamente 33.3333 gramas da liga $L_1$ e 66.6667 gramas da liga $L_2$.

393

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
4&-2&2\\ -5&7&-5\\ -6&6&-4
\end{pmatrix}.
$

As raízes são: $x=3$ e $x=2$, esta última com multiplicidade dupla.

438

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

\[\begin{pmatrix}\cos x & \sin x \\ - \sin x & \cos x\end{pmatrix}.\]

\[\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x\end{pmatrix}.\]

1484

Três tipos de suplementos alimentares estão sendo desenvolvidos. Para cada grama de ração, tem-se que:

i) O suplemento 1 tem $1$ unidade de vitamina A, $3$ unidades de vitamina B e $4$ unidades de vitamina C;

ii) O suplemento 2 tem $2$, $3$, e $5$ unidades das vitaminas A, B, e C, respectivamente;

iii) O suplemento 3 tem $3$ unidades das vitaminas A e C, e não contém vitamina B.

Se são necessárias $11$ unidades de vitamina A, $9$ de vitamina B, e $20$ de vitamina C,

Encontre todas as possíveis quantidades dos suplementos 1, 2, e 3, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada.
Qual o sistema homogêneo associado?
O sistema homogêneo associado aceita solução não nula?
Qual a relação entre a resposta dos itens anteriores?
Se o suplemento 1 custa $6$ reais por grama e os outros dois custam $1$, existe uma solução custando exatamente $10$ reais?

364

Calcule os produtos:

$\begin{pmatrix}\phantom{-}3 & 1\\ -1 &2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\phantom{-}0 & 5\\ -1 &6\end{pmatrix}$;
$\begin{pmatrix}\phantom{-}3\\ -1\\ \phantom{-}2\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}2 & -6 & 7\end{pmatrix}$;
$\left(\begin{array}{ccc}1 & -4 & 5\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{c}\phantom{-}3\\ \phantom{-}4\\
-1\end{array}\right)$;
$A\cdot A^t$, onde $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1\end{pmatrix}$;
$\begin{pmatrix}2& -4 & 6\\ 5 &\phantom{-}2 & 7 \\ 1& \phantom{-}0&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5& 0 & \phantom{-}0\\ 0 &2 & \phantom{-}0 \\ 0& 0&-1\end{pmatrix}$;
$\begin{pmatrix}2&-1&3 \\ 0&\phantom{-}1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2&\phantom{-}1\\ \phantom{-}0&\phantom{-}2\\ \phantom{-}1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\ 3 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$;
$\begin{pmatrix} \cos \alpha &- \sin \alpha \\ \sin \alpha & \phantom{-}\cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha& \phantom{-}\cos \alpha \\
\end{pmatrix}$.

\[\left(\begin{array}{cc} -1 & 21 \\ -2 & 7 \end{array}\right);\]
\[\left(\begin{array}{ccc} 6 & -18 & 21 \\ -2 &6 & -7 \\ 4 & -12 & 14 \end{array}\right);\]
$\displaystyle -18;$
\[\left(\begin{array}{cc} 14 & 10 \\ 10 & 14\end{array}\right);\]
\[\left(\begin{array}{ccc} 10 & -8 & -6\\ 25 & 4 & -7\\ 5& 0 -4 \end{array}\right);\]
\[\begin{pmatrix} -11 & 1\\ 4 &-2 \end{pmatrix};\]
\[\begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & -\sin(2\alpha) \\ \sin(2\alpha) & \cos(2\alpha) \end{pmatrix}.\]

414

Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

\[
\begin{array}{lccccc}
& \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} &
\text{Tinta} & \text{Tijolo}\\
\text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\
\text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\
\text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13
\end{array}
\]

Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual é o custo total do material empregado?

As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.

408

Sejam

$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\1 & 0 & -1\\4 & -1 & 0\end{array}\right)$ e $X= \left( \begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)$.

Verifique que: $xA_1+yA_2+zA_3=AX$, sendo $A_j$ a $j$-ésima coluna de $A$ para $j=1$, 2, 3.
Usando 1. verifique que: a segunda coluna de $C=A^2$ é $C_2=-2A_1 - A_3$.
Tente generalizar o que foi feito em e para a seguinte situação: Sejam $A$ uma matriz $m\times n$, $B$ uma matriz $n\times k$ e $C=AB$. Se $C_j$ é a $j$-ésima coluna de $C$, encontre $C_j$ em termos das $n$ colunas de $A$ e da $j$-ésima coluna de $B$.

401

Resolver o sistema linear:\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]

$x_3 =\dfrac{11x_1+4x_2}{5}, x_4 = \dfrac{6 x_1-x_2}{5}, x_5 = \dfrac{21 x_1 + 9 x_2}{5}, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$.

1388

Seja $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma função definida por $f(x,y) =(2x+y,x-y)$. Ache o(s) valor(es) de $\lambda$ para que a equação $f(x,y) = \lambda(x,y)$ possua solução $(x,y) \neq 0$.

$\lambda=\dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ou $\lambda=\dfrac{1 - \sqrt{13}}{2}$.

418

Use o método de inversão por escalonamento para obter, se possível, a inversa das seguintes matrizes:

$A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix} $;
$B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $.

450

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]

Esse sistema linear não possui solução.

427

Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]

$z = \dfrac{-3+x+4y}{5}, t =\dfrac{-4+13 x+7 y}{5}, \forall x, y \in \mathbb{R}.$

455

Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]

Esse sistema linear possui infinitas soluções.

381

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2
\end{pmatrix}.
$

$-(a - b)(a - c)(b - c)$

1485

Suponha que:

$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}a x &+& b y & = & 0\\c x &+& d y & = & 0 \end{array} \right. ,$$

sejam duas equações de retas, onde $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais.

O que significa, geometricamente, o fato de que os termos independentes são nulos?
Como estudar a existência/tipo de interseções entre essas duas retas usando sistemas lineares?

Significa que ambas as retas passam pela origem do plano cartesiano. Afinal, ponto $(x,y)=(0,0)$ satisfaz ambas as equações do sistema.
Posto que as duas retas passam pelas origem, esse tipo de sistema possui sempre ao menos uma solução, ponto de interseção das retas, a origem. Restando a possibilidade de, se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo, que as retas sejam coincidentes.

380

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
0&a&0\\ b&c&d\\ 0&e&0
\end{pmatrix}.
$

$0$

431

Verifique se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Usando operações de linha equivalência escalone as (encontre a forma escalonada das) que não estiverem na forma escalonada.

$ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.,$
$ \begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}. $

382

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
a&b&c\\ b&c&a\\ c&a&b
\end{pmatrix}.
$

$-a^3 - b^3 + 3 a b c - c^3$.

411

Resolver o sistema linear:

\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]

$y = \dfrac{-6 x}{5}, z = \dfrac{-4 x}{5}, t = \dfrac{3 x}{5}, \forall x \in \mathbb{R}$.

361

Verdadeiro ou Falso? Justifique.

Se $A=\left(\begin{array}[c]{rr}-2 & 1\\3 & 2\end{array}\right) $, então $A^{2}=\left(\begin{array}[c]{rr} 4 & 1\\9 & 4\end{array}\right) $.
$(A+B)^{t}=B^{t}+A^{t}.$
Se $AB=0$, então $A=0$ ou $B=0$.
Se $AB=0$, então $BA=0$.
Se podemos efetuar o produto $AA$, então $A$ é uma matriz quadrada.
$(-A)(-B)=-(AB).$
Sejam $A$ e $B$ duas matrizes. Se $A=0$, então $BA$ sempre existe.

Falso, pois efetuando a multiplicação temos que
\[A^2=7I_2.\]
Verdadeiro. Não confundir com a transposta do produto.
Falso! Como contra-exemplos, podemos tomar:
\[A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad\text{e}\quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{array}\right).\] Note que $AB=\mathbf{0}$, não sendo nenhuma delas nula.
Falso também. Ainda pegando os dois exemplos anteriores, note que
\[BA=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\-1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1&1\\0&0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{array}\right).\]
Verdadeiro. Supondo que $A$ fosse $m\times n$, como o produto $A\cdot A$ existe, isso implica que devemos ter $m=n$.
Falso, pois
\[(-A)(-B)=[(-1)A][(-1B)]=(-1)[A(-B)]=(-1)[A(-1)B]=(-1)(-1)[AB]=AB.\]
Falso. Note que, para que exista $BA$, o número de colunas de $B$ dever ser igual ao número de linhas de $A$ que, por sua vez, não tem nada a ver com ser nula. Por exemplo, considerando $A$ como sendo uma matriz $2\times 3$ nula e $B$ uma matriz $2\times 3$ qualquer, temos que o produto $BA$ não fica definido.

443

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]

O sistema não possui solução.

1389

Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata e uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata. Quanto gramas de cada liga são necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com quantidade igual de ouro e prata?

Serão necessárias aproximadamente 33.3333 gramas da liga $L_1$ e 66.6667 gramas da liga $L_2$.

407

Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]

$x_3 = \dfrac{-19+2 x1- 4 x2}{3}, x_4 = \dfrac{ 41 - 4 x_1 + 8 x_2}{3}, x_5 = \dfrac{5- x_1+2 x_2}{3}, \forall x_1, x_2\in \mathbb{R}$.

1386

Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$, com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$. Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$; para cada unidade de $p_2$, $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$; e para cada unidade de $p_3$, $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$. Utilizando matrizes, determine quantas unidades de $m_1$ e $m_2$ são necessárias na produção de $x$ unidades de $p_1$, $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$.

Seja $A$ a matriz $2 \times 3$ tal que sua primeira linha contenha informações sobre $m_1$ e a segunda linha informações sobre $m_2$, e a primeira, segunda e terceira colunas informações sobre $p_1$, $p_2$ e $p_3$, respectivamente:

$$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix} \text{ e } X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$$

então a multiplicação $AX$ nos dá o vetor tal que a sua primeira linha seja a quantidade de $m_1$ necessária e sua segunda linha a quantidade de $m_2$:

$$AX=\begin{pmatrix} x+y+z \\ 2x+y+4z \end{pmatrix}.$$

1474

Considere o sistema linear:

$$ \left\{ \begin{array}{rcrcrcc}a x &+& b y &+& cz & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b)y &+& (\alpha c) z & = & d \\(\beta a) x &+& (\beta b)y &+& (\beta c) z & = & e\end{array} \right. ,$$

onde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $\alpha$ e $\beta$ são números reais.

Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e=\beta c$, o sistema tem infinitas soluções em função de um único parâmetro real.
Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e\neq\beta c$, ou, se $d\neq\alpha c$ e $e=\beta c$, o sistema tem infinitas soluções em função de dois parâmetros reais.
Mostre que, se $d\neq\alpha c$ e $e\neq\beta c$, o sistema tem solução única.

365

Sejam
$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\1 & 0 & -1\\4 & -1 & 0\end{array}\right)$ e $X= \left( \begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)$.

Verifique que: $xA_1+yA_2+zA_3=AX$, sendo $A_j$ a $j$-ésima coluna de $A$, para $j=1$, 2, 3.
Verifique que a segunda coluna de $C=A^2$ é $C_2=-2A_1 - A_3$.
Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam $A$ uma matriz $m\times n$, $B$ uma matriz $n\times k$ e $C=AB$. Se $C_j$ é a $j$-ésima coluna de $C$, encontre $C_j$ em termos das $n$ colunas de $A$ e da $j$-ésima coluna de $B$.

425

Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:

\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]

$x_1 =\dfrac{-1}{4}, x_2 =\dfrac{7}{12}, x_3 =\dfrac{-1}{4}, \lambda = \dfrac{-11}{4}.$

352

Considere a multiplicação de matrizes $3\times3$ abaixo, em que os pontos de interrogação representam coeficientes desconhecidos:

\[\left(\begin{array}[c]{rrr}9 & -8 & 4\\? & -7 & 2\\? & -4 & ?\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{rrr}-5 & -9 & ?\\? & 5 & ?\\4 & -8 & -7\end{array}\right) =\left(\begin{array}
[c]{ccc}c_{11} & c_{12} & c_{13}\\c_{21} & c_{22} & c_{23}\\c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{array}\right) .\]

Só é possível determinar um coeficiente da matriz produto. Qual é ele e qual é o seu valor?

Lembre-se que a multiplicação de matrizes é feita entre linhas 'vezes' colunas. Note que, na primeira matriz apenas a primeira linha está completada (não tem ?), enquanto na outra matriz apenas a segunda coluna não contém um símbolo ?. Assim, na matriz produto, apenas a entrada $c_{12}$ estará bem-definida e seu valor será:

\[\left(\begin{array}{ccc} 9 & -8 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} -9 \\ 5 \\ -8 \end{array}\right) = -9^2- 8\cdot 5 -4\cdot 8 = -153.\]

351

Qual é o valor de $c_{23}$ na multiplicação das matrizes abaixo?

\[\left(\begin{array}[c]{rr}1 & -2\\5 & -2\\-4 & 4\\-1 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}
[c]{rrrr}-5 & 1 & 5 & -4\\-2 & 5 & 2 & 2\end{array}
\right) =\left(\begin{array}[c]{cccc}c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}\\c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34}\\c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44}\end{array}\right) .\]

Note que, como o enunciado apenas pede o valor da entrada $c_{23}$, basta multiplicar a linha $2$ da primeira matriz pela coluna $3$ da outra:

\[c_{23}=\left(\begin{array}{cc} 5 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right) = 5\cdot5 -2\cdot2 =21.\]

384

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
1&1&-6&-2 \\ 4&7&4&4 \\ -2&-2&1&-2 \\ -4&-7&0&-1
\end{pmatrix}.
$

$-27$

360

Sejam $A,B$ e $C$ matrizes reais tais que $AB=AC$. Se existir uma matriz $Y$ tal que $YA=I$, onde $I$ é a matriz identidade, então podemos concluir que $B=C$?

Sim, pois se $Y$ é uma inversa à esquerda de $A$, então podemos multiplicar ambos os lados, à esquerda, da equação $AB=BC$ e então teremos que
\[ B=IB=(YA)B=Y(AB)=Y(AC)=(YA)C=IC=C.\]

362

Responda verdadeiro ou falso, justifique suas respostas.

Se $A^2 = -2\,A^4$, então $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2$.
Se $A^t = -A^2$ e $A$ é não singular, então $\det A = -1$.
Se $B = A\,A^t\,A^{-1}$, então $\det(A) = \det(B)$.
$\det(A + B) = \det A + \det B$.

Verdadeira, pois $A^2 = -2\,A^4 \Rightarrow -A^2 -2\,A^4=0$.
E $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2 \Leftrightarrow (I - 2\,A^2) (I+A^2)=I$ e $ (I+A^2) (I - 2\,A^2) =I$.
O que vale, visto que $(I - 2\,A^2) (I+A^2)=I+A^2- 2\,A^2- 2\,A^4=I-\,A^2- 2\,A^4=I-0=I$.
E $ (I+A^2) (I - 2\,A^2)=I- 2\,A^2+A^2- 2\,A^4=I-A^2- 2\,A^4=I-0=I$.
Falsa, pois $\det(A)\neq0$ e $A^t = -A^2 \Rightarrow \det(A^t)=\det(-A^2)$.
Mas $\det(A^t)=\det(A)$ e $\det(-A^2)=\det(-A)\det(A)=(-1)^n \det(A) \det(A)$, onde $n$ é a ordem da matriz $A$.
Logo $\det(A)=\det(A^t)=\det(-A^2)=(-1)^n\det(A)^2 \Rightarrow 1=(-1)^n \det(A) \Rightarrow \det(A)=(-1)^n$.
Portanto, se a matriz for de ordem par $\det(A)=1$ e se a matriz for de ordem ímpar $\det(A)=-1$.
Verdadeira.
$B = A\,A^t\,A^{-1} \Rightarrow \det(B)=\det(A)\det(A^t)\det(A^{-1})=\det(A) \det(A)\dfrac{1}{\det(A)}=\det(A)$.
Falsa, contra exemplo:
sejam $A$ e $B$ matrizes de ordem dois tais que $A=I$ e $B=2I$. Então $A+B=3I$. E $\det(A+B)=9$. Mas, como $\det(A)=1$ e $\det(B)=4$, $\det(A)+\det(B)=5\neq 9=\det(A+B)$.

1379

Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

\[
\begin{array}{lccccc}
& \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} &
\text{Tinta} & \text{Tijolo}\\
\text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\
\text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\
\text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13
\end{array}
\]

Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual e o custo total do material empregado?

As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.

449

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]

Esse sistema possui infinitas soluções.

437

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

\[\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix}.\]

A inversa existirá desde que $a\neq 0$ ou $b\neq 0$, nesse caso será dada por \[\begin{pmatrix}\dfrac{a}{a^2+b^2} & \dfrac{-b}{a^2+b^2} \\ \dfrac{b}{a^2+b^2} & \dfrac{a}{a^2+b^2}\end{pmatrix}.\]

423

Resolver o sistema linear:\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]

$x_3 =\dfrac{11x_1+4x_2}{5}, x_4 = \dfrac{6 x_1-x_2}{5}, x_5 = \dfrac{21 x_1 + 9 x_2}{5}, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$.

1390

No processo de escalonamento de um sistema linear, se uma linha se anular, mostre que ela era uma combinação linear das outras.

467

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]

1415

Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).

Se $A$ e $B$ são duas matrizes $n\times n$ e $AB=BA$, então $(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$ para todo número natural $p$.
Se $A$ e $B$ são matrizes $n\times n$ tais que $AB={\bf 0}$, então $BA={\bf 0}$.
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^4 - 3A^2 + 7A -I_n={\bf 0}$ então $A$ é invertível (isto é, $AB=BA=I_n$ para alguma matriz $B$, $n\times n$).

469

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]

358

Dadas as matrizes
\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & -3 & 2\\2 & 1 & -3\\4 & -3 & -1\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrrr}1 & 4 & 1 & 0\\2 & 1 & 1 & 1\\1 & -2 & 1 & 2\end{array}\right) \text{ e }C=\left(\begin{array}[c]{rrrr}2 & 1 & -1 & -2\\3 & -2 & -1 & -1\\2 & -5 & -1 & 0\end{array}\right) ,\]
mostre que $AB=AC$.

$AB=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right) $ e $AC=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right) $.

1

Sejam
\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 1 & -1
\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrr}-2 & 0 & 1\\3 & 0 & 1
\end{array}\right) \text{, }C=\left(\begin{array}[c]{r}-1\\2\\4\end{array}\right) \text{ e }D=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & -1\end{array}\right) .\]
Encontre:

$A+B$;
$AC$;
$BC$;
$CD$;
$DA$;
$DB$;
$-A$;
$-D$.

\[A+B=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 0 \end{array}\right);\]
\[AC=\left(\begin{array}{c} 15 \\ -4 \end{array}\right);\]
\[ BC=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array}\right);\]
\[CD = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 4 & -2 \\ 8 & -4 \end{array}\right);\]
\[DA = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & 7 \end{array}\right);\]
\[ DB =\left(\begin{array}{ccc} -7 & 0 & 1 \end{array}\right);\]
\[ -A = \left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & 1 \end{array}\right);\]
\[ -D = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \end{array}\right).\]

391

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$
A = \begin{pmatrix}
5&6&-3\\ -1&0&1\\ 1&2&1
\end{pmatrix}.
$

$x=2$ é uma raíz tripla.

375

Calcule o determinante da matriz:
$\begin{pmatrix}
a+b&a+c \\ d+b&d+c
\end{pmatrix}. $

$\det\left(\begin{pmatrix}a+b&a+c \\ d+b&d+c\end{pmatrix}\right)=(c-b)(a-d). $

426

Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:

\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]

$x_3 = 2 - \dfrac{x_1- 9 x_2}{4} , x_4 = -\dfrac{5x_1-x_2}{4}, \lambda = 0, \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$.

453

Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]

Esse sistema linear possui infinitas soluções.

371

Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$, onde

\[
A = \left( \begin{array}{ccc}
2 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & -2 & 1
\end{array}\right) .\]

$\lambda=-1$, $2$ ou $4$.

410

Resolver o sistema linear:

\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]

Esse sistema linear não possui solução.

405

Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]

$z = \dfrac{-3+x+4y}{5}, t =\dfrac{-4+13 x+7 y}{5}, \forall x, y \in \mathbb{R}.$

396

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$
A = \begin{pmatrix}
2&-2&0\\ -2&3&-2\\
0&-2&4
\end{pmatrix}.
$

$x=0$, $x=3$ e $x=6$

1416

Mostre que o sistema linear:

$$ \left\{ \begin{array}{ccccccccc}a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& \ldots &+& a_{1n} x_n &=& b_1 \\a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& \ldots &+& a_{2n} x_n &=& b_2 \\\vdots && \vdots && && \vdots && \vdots \\a_{n1} x_1 &+& a_{n2} x_2 &+& \ldots &+&a_{nn} x_n &= &b_n \\ \end{array} \right.$$
pode ser escrito em forma matricial $Ax=b$, onde:

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}.$$

394

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$
A = \begin{pmatrix}
0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0
\end{pmatrix}.
$

$x_1=-1$, $x_2=1$, $x_3=1$.

416

Sejam $U=\begin{bmatrix} c & 4 & 1 \\ 0 & d+1 & 3 \\ 0 & 0 & c^2-4 \end{bmatrix}$, $M=\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -4 & 9 & -3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ e $N=\begin{bmatrix} 1 & -5 & 4 \\ -2 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & -1 \end{bmatrix}$.

Determine, se possível, $c$ e $d$ tais que $A=M\,U$ seja invertível;
Determine, se possível, $c$ e $d$ tais que $B=N\,U$ seja invertível.

Posto que $\det(M)=0$ e $\det(A)=\det(M)\det(U)$, não há valores de $c$ e $d$ tais que $A$ seja invertível.
$\det(N)=40$, logo, se $\det(U)\neq0$, $B=NU$ será invertível, de novo porque $\det(B)=\det(N)\det(U)$. Os valores de $c$ e $d$ para os quais $\det(U)\neq$ são $c,\, d\in\mathbb{R}$ tais que $c\neq 0,$ $c\neq\pm 2$ e $d\neq -1$.

404

Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:

\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]

$x_3 = 2 - \dfrac{x_1- 9 x_2}{4} , x_4 = -\dfrac{5x_1-x_2}{4}, \lambda = 0, \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$.

377

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
1+x_1y_1&1+x_1y_2 \\ 1+x_2y_1&1+x_2y_2
\end{pmatrix}.
$

$(x_1-x_2)(y_1-y_2)$.

376

Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
a&b\\ -b&a
\end{pmatrix}.
$

$a^2+b^2$

368

Determine todas as matrizes $D$, $2\times 2$ e diagonais, que satisfazem: $DB=BD$ para toda matriz, $2\times 2$, $B$.
Determine todas as matrizes $A$, $2\times 2$, que satisfazem: $AB=BA$ para toda matriz $B$, $2\times 2$.
Tente generalizar a) e b) para matrizes $n\times n$.

413

Determine os coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$ da função polinomial $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, cujo gráfico passa pelos pontos $P_1=(0,10)$, $P_2=(1,7)$, $P_3=(3,-11)$ e $P_4=(4,-14)$.
Determine coeficientes $a, b$ e $c$ da equação do círculo, $x^2+y^2+ax+by+c=0$, que passa pelos pontos $P_1=(-2,7)$, $P_2=(-4,5)$ e $P_3=(4,-3)$.

$a = 1/6$, $b = -1$, $c = -13/6$, $d=10$.
$a= -2$, $b = -4$, $c = -29$.

441

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

\[\begin{pmatrix}1 & 3 & -7 \\ 0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

\[\begin{pmatrix}1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

373

Sabendo-se que para toda matriz $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ com $\det(A)\neq 0$ existe uma matriz $\overline{A}$, também $n\times n$, tal que $\overline{A}A=I_n$, mostre que:

se $B$ e $C$ são matrizes $n\times n$ tais que $BC=I_n$, então $CB=I_n$.
se $\det(B)\neq 0$ ($B$ matriz $n\times n$), então existe uma única $B^{-1}$ tal que $BB^{-1}=B^{-1}B=I_n$.

353

Ache $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) .\]
Mostre que não existem $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) . \]
Existem $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}
\right) ?\]

$x=-4$; $ y=3$; $z=3$; $w=-2$.
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}x & 0\\z & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) . \]
Mas $0=1$ é absurdo.
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}[c]{cc}x+y & x+y\\w+z & w+z\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}
\right) .\]
Portanto, o sistema é sobredeterminado e impassível de solução.

386

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
a&b&c&d\\ -b&a&d&-c\\ -c&-d&a&b\\ -d&c&-b&a
\end{pmatrix}.
$

$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2$

415

Resolva o sistema $A\,X=B$ usando o método de Gauss-Jordan, onde: $$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \text{ e } B=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Destaque as operações elementares usadas.

Vamos aplicar escalonamento sobre a matriz aumentada do sistema:
\begin{gather*}
\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1&\vdots & 1 \\ 2 & 1 & 0& \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 1 \end{pmatrix} \begin{array}{c} L_2-2L_1\rightarrow L_2\\ \sim \end{array}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & \vdots & 01 \\ 0 & 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 01 \end{pmatrix}
\begin{array}{c} L_3-L_2\rightarrow L_3 \\\sim \end{array}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0&0&-1&\vdots&2 \end{pmatrix} \\ \begin{array}{c} \\-L_3\leftrightarrow L_3 \\ \sim \\ L_3+L_1\rightarrow L_1 \end{array} \begin{pmatrix} 1& 0& 0&\vdots & -1\\ 0& 1& 2&\vdots & -1\\ 0& 0& 1&\vdots &-2 \end{pmatrix}
\begin{array}{c} L_2-2 L_3\rightarrow L_2 \\ \sim \end{array}
\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\vdots &-1 \\ 0 & 1& 0& \vdots& 3\\ 0& 0 & 1 &\vdots & -2 \end{pmatrix}. \end{gather*} Logo, a solução é dada por $\displaystyle (-1,3,-2)^T$.

470

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]

459

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]

$Y=(0,0,0,0)^T$.
$X_o=(4,1,1,1)^T$.
$X_o+Y=(4,1,1,1)^T$.

447

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$.

\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]

383

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
\sin\alpha&\cos\alpha&1\\ \sin\beta&\cos\beta&1\\ \sin\gamma&\cos\gamma&1
\end{pmatrix}.
$

$\sin(\alpha - \beta) - \sin(\alpha - \gamma) + \sin(\beta - \gamma)$

357

Seja \[A=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & x^{2}\\2x-1 & 0\end{array}\right) .\]
Qual é o valor de $x$ para que tenhamos $A^{t}=A$?

$x=1$

402

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]

$x_1 = -\dfrac{27}{7}, x_2=\dfrac{-5}{7}, x_3 =\dfrac{2}{7} , x_4 =\dfrac{16}{7}.$

428

Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]

Esse sistema linear não possui solução.

424

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]

$x_1 = -\dfrac{27}{7}, x_2=\dfrac{-5}{7}, x_3 =\dfrac{2}{7} , x_4 =\dfrac{16}{7}.$

419

Considere a matriz $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & a \\ 2 & 2a-2 & -a-2& 3a-1 \\ 3 & a + 2 & -3 & 2a + 1 \end{bmatrix}.$$ Determine o conjunto solução do sistema $A\,X = B$, em que $B = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 6\end{bmatrix}^t$, para todos os valores de $a$.

Para $a=5$, o sistema não possui solução.

Para $a=1$, o sistema possui infinitas soluções com $x=2-w$, $y=z=1$ e $w\in\mathbb{R}$.

Para $a\neq 5$ e $a\neq 1$, $x = \dfrac{4a-11}{a-5}$, $y = \dfrac{4}{5-a}$, $z = \dfrac{4}{5-a}$, $w = \dfrac{1}{5-a}$.

439

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 6\end{pmatrix}.\]

\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/5 & 0 \\0 & 0 & 1/6\end{pmatrix}.\]

434

Resolver o sistema linear:

\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]

$y = \dfrac{-6 x}{5}, z = \dfrac{-4 x}{5}, t = \dfrac{3 x}{5}, \forall x \in \mathbb{R}$.

403

Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:

\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]

$x_1 =\dfrac{-1}{4}, x_2 =\dfrac{7}{12}, x_3 =\dfrac{-1}{4}, \lambda = \dfrac{-11}{4}.$

422

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]

$x_2 =\dfrac{19-4x_1}{6}, x3 =\dfrac{3}{2}, \forall x_1 \in \mathbb{R}$.

457

Sabendo que o sistema

$ \left\{\begin{array}{rrrl}x&+y&+z&=1\\mx&+2y&+3z&=0\\m^2x&+4y&+9z&=1\end{array}\right.$

admite uma única solução, podemos concluir que $m$ pode assumir todos os valores no intervalo real:

$[0,1]$
$[1,2]$
$[3,4)$
$[0,4]$.

430

Verifique se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Usando operações de linha equivalência escalone as (encontre a forma escalonada das) que não estiverem na forma escalonada.

$ \begin{pmatrix}1&-2&-1&0\\1&\phantom{-}0&-1&1\\0&\phantom{-}1&\phantom{-}0&2\end{pmatrix}, $
$ \begin{pmatrix}1&0&0&5&0\\0&1&0&2&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}. $

454

Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]

Esse sistema linear não possui solução.

385

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&10&0&0\\ 11&12&0&0
\end{pmatrix}.
$

$8$

446

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]

Esse sistema possui uma única solução.

406

Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]

Esse sistema linear não possui solução.

458

Sejam $A$ uma matriz $n\times m$, ${\bf 0}$ a matriz nula $m\times 1$ e $B$ uma matriz $m\times 1$.

Sabendo que $Y_{1}$ e $Y_{2}$ são duas matrizes $m\times 1$ que são soluções do sistema $AX = {\bf 0}$ e que $a$ e $b$ são dois números reais, mostre que $Y_{3} = aY_{1} + bY_{2}$ também é solução do sistema $AX = {\bf 0}$.
Sabendo que $X_{1}$ e $X_{2}$ são duas matrizes $m\times 1$, que são soluções do sistema $AX = B$, mostre que $X_{3} = X_{1} - X_{2}$ é uma solução do sistema $AX = {\bf 0}$.
Sabendo que $U$ e $V$ são duas matrizes $m\times 1$ onde $U$ é uma solução do sistema $AX = {\bf 0}$ e $V$ é uma solução do sistema $AX = B$ mostre que $Z = U + V$ também é solução do sistema $AX = B$.

429

Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]

$x_3 = \dfrac{-19+2 x1- 4 x2}{3}, x_4 = \dfrac{ 41 - 4 x_1 + 8 x_2}{3}, x_5 = \dfrac{5- x_1+2 x_2}{3}, \forall x_1, x_2\in \mathbb{R}$.

370

Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$.

\[
A = \left( \begin{array}{ccc}
2 & -2 & 3 \\
0 & 3 & -2 \\
0 & -1 & 2
\end{array}\right). \]

\[\lambda\in\{1,2,4\}\]

417

Use o processo de inversão (Gauss-Jordan) para obter a inversa da matriz $A$ e verifique que a matriz obtida é de fato a inversa de $A$, onde: $$ A = \begin{bmatrix} 6 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

387

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
1&-2&3&2\\ 0&2&-1&1\\ 0&0&-1&1\\ 2&0&0&3
\end{pmatrix}.
$

$14$

444

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]

Esse sistema possui infinitas soluções.

460

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]

$Y = (0, 0)^T$.
Não existe solução particular $X_o$ para esse sistema. Ou seja, o sistema linear não possui solução.

471

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]

1480

Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$, com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$. Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$; para cada unidade de $p_2$, $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$; e para cada unidade de $p_3$, $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$.

Escreva um sistema linear que relacione as quantidades de $x$ unidades de $p_1$, $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$ que podem ser produzidas com $200$ unidades de $m_1$ e $300$ unidades de $m_2$.
Utilizando conhecimentos sobre sistemas lineares, responda se há apenas uma configuração possível de produção dos produtos $p_1$, $p_2$ e $p_3$. Determine esta(s) configuração(ões) e interprete.

$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}x &+& y &+ & z & = &200\\2x &+& y &+ &4 z & = &300\end{array} \right. $$
Há infinitas configurações possíveis respeitando $y=\dfrac{500-2x}{3}$ e $z=\dfrac{100-x}{3}$ desde que $x,y,z \in\mathbb{I}^+$, logo $x\leq 100$.

1417

Mostre que o sistema linear:
$$ \left\{ \begin{array}{ccccc}a_{11} x &+& a_{12} y & = & b_1\\a_{21} x &+& a_{22} y & = & b_2 \end{array} \right.$$

pode ser escrito em forma matricial $AX=b$, onde:

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}.$$

433

Resolver o sistema linear:

\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]

Esse sistema linear não possui solução.

389

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$
A = \begin{pmatrix}
\cos a& \sin a\\ -\sin a&\cos a
\end{pmatrix}.
$

$\displaystyle \cos a\pm \sqrt{\cos^2a-1}$

420

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]

$x_2 = \dfrac{13-2 x_1}{5}, x_3 = \dfrac{1+x_1}{5}, x_4 = \dfrac{9-x_1}{5}, \forall x_1\in\mathbb{R}.$

452

Seja o sistema linear $AX = B$, onde

\[A=\begin{pmatrix}1&\phantom{-}2&-3\\3&-1&\phantom{-}5\\1&\phantom{-}1&a^{2}-16\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}4\\2\\a+14\end{pmatrix}.\]

Determine o valor (ou valores) de $a$ para que o sistema tenha solução única.
Exitem valores de $a$ para os quais o sistema tem infinitas soluções?
Exitem valores de $a$ para os quais o sistema não tem solução?

374

Calcule o determinante da matriz: $\begin{pmatrix}
\sin\alpha&\cos\alpha \\ \sin\beta&\cos\beta
\end{pmatrix}.$

$\displaystyle \sin(\alpha-\beta)$

363

Sejam $A\in M_{2\times 3}$, $B\in M_{3\times 1}$ e $C\in M_{3\times 3}$. Quais dos produtos existem?

$A\,B$;
$B\,A$;
$A\,B^t$;
$A\,C$;
$A\,C^t$;
$A\,B\,C$;
$A\,C\,B$.

Apenas os produtos 1, 3, 4, 5 e 7estão definidos.

448

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$.

\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]

1483

Mostre que um sistema linear homogêneo de $m$ equações e $n$ incógnitas sempre tem soluções não triviais se $m < n$.

463

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.

\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]

$Y = x_ 1\left ( 1,0, \dfrac {11} {5}, \dfrac {6} {5},\dfrac {21} {5} \right)^T+x_2\left ( 0,1, \dfrac {4} {5}, \dfrac {-1} {5},\dfrac {9} {5} \right)^T$, $\forall x_1, x_2\in\mathbb {R}$.

442

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]

Esse sistema possui infinitas soluções.

412

Dada uma matriz $A = CD$, onde $C^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 &3\end{array}\right]$ e $ D^{-1} =\left[\begin{array}{cr} 2 & 5 \\ 3 & -2\end{array}\right]$, resolva o sistema $AX = B$, sabendo que $B=\left[\begin{array}{c} -1 \\0 \end{array}\right]$.

Se $AX=B$ com $A=CD$, tem-se $CDX=B$.

Multiplicando a última expressão por $C^{-1}$ à esquerda: $C^{-1}CDX=C^{-1}B \Rightarrow I_2DX=C^{-1}B$ ou $DX=C^{-1}B$.

E então, multiplicando a expressão resultante por $D^{-1}$ à esquerda: $D^{-1}DX=D^{-1}C^{-1}B$ e $I_2X=D^{-1}C^{-1}B$ ou, equivalentemente, $X=D^{-1}C^{-1}B$.

Como $C^{-1}$ e $D^{-1}$ são dadas, basta realizar as multiplicações, obtendo-se $B=\left[\begin{array}{c} -11 \\7 \end{array}\right]$.

456

Seja $M= \left( \begin{array}{cccc}a & 0 & b & 2\\a & a & 4 & 4\\0 & a & 2 & b\end{array}\right) $ a matriz ampliada (ou aumentad de um sistema linear. Para que valores de $a$ e $b$ o sistema admite:

Solução única;
Solução com uma variável livre;
Solução com duas variáveis livres;
Nenhuma solução.

436

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 5\end{pmatrix}.\]

\[\begin{pmatrix}-5 & 2 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.\]

451

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]

Esse sistema linear possui infinitas soluções.

1443

Considere o sistema linear:

$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}a x &+& b y & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b) y & = & d\end{array} \right. ,$$

onde $a$, $b$, $c$, $d$, $\alpha$ são números reais.

Mostre que, se $d=\alpha c$, o sistema tem infinitas soluções em função de um parâmetro $\lambda$ real, dadas por: $x=\dfrac{c-b\lambda}{a}$ e $y=\lambda$.
Mostre que, se $d \neq \alpha c$, o sistema não admite solução.

367

Seja $M= \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right)$.

Mostre que: Se $A$ é uma matriz $2\times 2$ qualquer, então $AM=MA$, se e somente se, $A= \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right)$.
Mostre que se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$, então $A$ e $B$ comutam entre si, isto é, $AB=BA$.

Seja $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)$, tal que $AM=MA$.
Deseja-se que $AM=\left( \begin{array}{cc}-b & a \\-d & c\end{array}\right)=MA= \left( \begin{array}{cc}c & b \\-a & -b\end{array}\right)$.
Logo, é necessário que $c=-b$ e $d=a$, de onde $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$.
Se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$, de acordo com o item anterior, $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$ e $B= \left( \begin{array}{cc}c & d \\-d & c\end{array}\right)$.
Calculando $AB$ e $BA$, obtém-se $AB= \left( \begin{array}{cc}ac-bd & ad+bc \\-bc-ad & -bd+ac\end{array}\right)=BA$ .

356

Os únicos números reais cujos quadrados são eles próprios são $0$ e $1$. Ache todas as matrizes quadradas $A$, $2\times2$, tais que $A^{2}=A.$

Se $A= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$ $A^2=A \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right).$

Cujas soluções são:

$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{x-x^2}{y} & 1-x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & 0\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 &0\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$

378

Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&a\\ 1&b\
\end{pmatrix}.
$

$b-a$

466

Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.

Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$, em função do parâmetro $\lambda$:

\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]

440

Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):

\[\begin{pmatrix}2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\-1 & 2 & 2\end{pmatrix}.\]

\[\begin{pmatrix}2/9 & 2/9 & -1/9 \\ 2/9 & -1/9 & 2/9 \\-1/9 & 2/9 & 2/9\end{pmatrix}.\]

354

Seja \[A=\left(\begin{array}[c]{rr}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right) : \]

Encontre uma matriz $B$ tal que $B^{2}=A$ (isto é, $B$ é uma "raiz quadrada'' de $A$).
Encontre todas as soluções da equação matricial $X^{2}=A$.

$B= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right) . $
Se $X= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$ $X^2=A \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right).$

Cujas 4 soluções são:

$X'= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right);$ $X''= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 1\\2 & -1\end{array}\right);$ $X'''= \left(\begin{array}[c]{cc}\sqrt{2} & -\sqrt{2}/2\\-\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{array}\right);$ $X''''= \left(\begin{array}[c]{cc}-\sqrt{2} & \sqrt{2}/2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{array}\right).$

355

A equação $x^{2}=1$ possui apenas duas soluções reais: $x=1$ e $x=-1$. Ache todas as matrizes $2\times2$ que são soluções da equação matricial $X^{2}=I$, onde $I$ é a matriz identidade $2\times2$.

Se $X= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$ $X^2=I \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$

Cujas soluções são:

$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{1-x^2}{y} & -x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & -1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 &-1\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$

366

Sejam $A$ e $B$ duas matrizes quadradas $n\times n$.

Mostre que $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$.
Suponha que:
$A= \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) \;\; \mbox{e}\;\;
B= \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right) $.
Verifique que $AB\neq BA$. Conclua que neste caso, $(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$.
Mostre que: Se $A$ e $B$ são duas matrizes quadradas $n\times n$, então $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, se e somente se, $AB=BA$.

390

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$
A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1
\end{pmatrix}.
$

As raízes são: $x=-1$ (simples) e $x=1$ (dupla).

372

Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$, onde

\[A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 3 & 0 \\
3 & 2 & -2 \end{array}\right). \]

As raízes são: $\lambda=-2$, $\lambda=1$ e $\lambda=3$.

435

Considere a matriz $ A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$.

Calcule o $det(A^n)$, para todo número natural $n$.
Usando escalonamento encontre a matriz inversa $A^{-1}$.

Como $\det(A)=-1$ e $\det(A^n)=\det(A)^n$, $\det(A)^n=(-1)^n$.
$ A^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 2 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right]$.

395

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$
A = \begin{pmatrix}
-2&2&-2\\2&1&-4\\ -2&-4&1
\end{pmatrix}.
$

$x_1=-3$, $x_2=-3$, $x_3=6$.

1380

Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

\[
\begin{array}{lccccc}
& \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} &
\text{Tinta} & \text{Tijolo}\\
\text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\
\text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\
\text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13
\end{array}
\]

Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual é o custo total do material empregado?

As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.

1391

Seja $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma função definida por $f(x,y) = (2x+y,x-y)$. Ache o(s) valor(es) de $\lambda$ para que a equação $f(x,y) = \lambda(x,y)$ possua solução $(x,y) \neq 0$.

$\lambda=\dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ou $\lambda=\dfrac{1 - \sqrt{13}}{2}$.

409

Resolver o sistema linear:

\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]

$z = 4 - 5 x - 2 y, t = 8 - 9 x - 5 y, \forall x, y \in \mathbb{R}$.

379

Calcule o determinante da matriz:

$
\begin{pmatrix}
1&1&-1\\ -1&0&1\\ -1&-1&0
\end{pmatrix}.
$

$-1$

445

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]

Esse sistema possui infinitas soluções.

1482

Mostre que um sistema de equações lineares homogêneo de $n$ equações e $n$ incógnitas admite solução(ões) não trivial(is) se e somente se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo.

388

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$
A=\begin{pmatrix}
3&4\\ 5&2
\end{pmatrix}.
$

$x=7$ ou $x=-2$

1481

Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata, uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata, e uma liga $L_3$ tem mesma quantidade de ouro e prata.

Escreva um sistema linear cuja solução dê a quantidade de gramas de cada liga necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com $60$ gramas de ouro e $40$ gramas de prata.
Este problema tem solução única? Justifique utilizando conceitos sobre sistemas lineares.
Determine a(s) solução(ões) do sistema linear.

Se $x$, $y$ e $z$ designam as quantidades, em gramas, das ligas $L_1$, $L_2$ e $L_3$, respectivamente, o sistema pode ser escrito como a seguir
$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}0,2 x &+&0,65 y &+ &0,5 z & = &60\\0,8 x &+&0,35 y &+ &0,5 z & = &40\end{array} \right. $$
Existem infinitas soluções para este problema. Por que?
As soluções são dadas por $y=\dfrac{200}{3}+2x$, $z=\dfrac{100}{3}-3x$.
Como $x$, $y$ e $z$ representam pesos, a solução só fará sentido para $x,y,z \in \mathbb{R}^+$. Logo, é preciso que $x\leq\dfrac{100}{9}$ gramas.

Exercícios

Sistemas lineares