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Campos vetoriais
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As linhas de escoamento (ou linhas de corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetorial são tangentes a suas linhas de escoamento.
Use um esboço do campo vetorial $\textbf{F}(x,y) = x\textbf{i} - y\textbf{j}$ para desenhar algumas linhas de escoamento. Desses seus esboços é possível descobrir qual é a equação das linhas de escoamento?
Se as equações paramétricas de uma linha de escoamento são $x=x(t)$ e $y=y(t)$, explique por que essas funções satisfazem as equações diferenciais $dx/dt = x$ e $dy/dt = -y$. Resolva então as equações de forma a obter uma equação da linha de escoamento que passe pelo ponto $(1,1)$.
Verifique que para o vetor posição \(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\) valem as seguintes propriedades
\(\displaystyle \mathrm{div\,}\mathbf{r} = 3\)
\(\displaystyle \nabla\dfrac{1}{\|\mathbf{r}\|} = -\dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3} \)
Determine o campo vetorial gradiente $\nabla f$ de $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ e o esboce.
Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= \dfrac{y\textbf{i} + x\textbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$, desenhando um diagrama.
Dado um campo vetorial \(\mathbf{F}\), uma curva \(C\) é chamada de linha de fluxo deste campo se \(\mathbf{F}\) for um vetor tangente a \(C\) em cada ponto ao longo de \(C\).
Sejam \(C\) uma linha de fluxo de \(\mathbf{F}(x,y)=-y\mathbf{i}+x\mathbf{j}\) e \((x,y)\) um ponto em \(C\) para o qual \(y\neq 0\). Mostre que as linhas de fluxo satisfazem a equação diferencial \[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}. \]
Resolva a equação diferencial do item anterior, por separação de variáveis, e mostre que as linhas de fluxo são círculos concêntricos centrados na origem, ou seja, da forma \(x^2+y^2=K\).
Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= y\textbf{i} + \dfrac{1}{2}\textbf{j}$, desenhando um diagrama.
Determine o campo vetorial gradiente de $f(x,y) = \ln(x + 2y)$.
$\nabla f(x,y) = \dfrac{\textbf{i} + 2\textbf{j}}{x + 2y}.$
Encontre um campo de vetores $\textbf{G} = P(x,y)\textbf{i} + Q(x,y)\textbf{j}$ no plano $xy$ com a propriedade de que, em qualquer ponto $(a,b) \neq (0,0)$, $\textbf{G}$ é um vetor de magnitude $\sqrt{x^2+y^2}$ tangente à circunferência $x^2+y^2=a^2+b^2$ e aponta no sentido horário. (O campo é indefinido em (0,0).)
$\displaystyle \textbf{G} = \frac{y \textbf{i} - x \textbf{j}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.$
Determine o campo vetorial gradiente de $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$\nabla f(x,y,z) = \dfrac{x\textbf{i} + y\textbf{j} + z \textbf{k}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}.$
Sejam \(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\), \(r=\|\mathbf{r}\|\), \(f\) uma função diferenciável de uma variável e \(\mathbf{F}(\mathbf{r})=f(r)\mathbf{r}\).
Mostre que \[\nabla f(r) = \dfrac{f'(r)}{r}\mathbf{r}.\]
Use o resultado anterior para mostrar que \(\displaystyle \mathbf{F}=3f(r)+rf'(r). \)
Uma partícula se move em um campo de velocidade $\textbf{V}(x,y) = (x^2,x+y^2)$. Se ela está na posição $(2,1)$ no instante $t=3$, estime sua posição no instante $t=3,01$.
$(2,04;1,03).$
Esboce o campo vetorial ${\bf F}(x,y)=(x-y)\textbf{i} + x \textbf{j}$, desenhando um diagrama.
- Esboce o campo vetorial $\textbf{F}(x,y) = \textbf{i} + x\textbf{j}$ e algumas linhas de escoamento. Qual é o formato que essas linhas de escoamento parecem ter?
- Se as equações paramétricas das linhas de escoamento são $x=x(t)$ e $y=y(t)$, que equações diferenciais essas funções satisfazem? Deduza que $dy/dx = x$.
- Se uma partícula está na origem no instante inicial e o campo de velocidade é dado por $\textbf{F}$, determine uma equação para a trajetória percorrida por ela.
Faça uma correspondência entre as funções $f$ e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I-IV). Justifique.
- $f(x,y) = x^2+y^2$
- $f(x,y) = (x+y)^2$.
- $f(x,y) = x(x+y)$.
- $f(x,y) = \sin{\sqrt{x^2+y^2}}$.
II
III
IV
- III.
- IV.
- II.
- I.
Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= \dfrac{y\textbf{i} - x\textbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$, desenhando um diagrama.
Esboce o campo vetorial $\textbf{F}=\dfrac{1}{2}(\textbf{i} + \textbf{j})$, desenhando um diagrama.
Determine o campo vetorial gradiente $\nabla f$ de $f(x,y) = x^2-y$ e o esboce.
Verifique que para o vetor posição \(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\) valem as seguintes propriedades
\(\displaystyle \mathrm{rot\,}\mathbf{r} = \mathbf{0}\)
\(\displaystyle \nabla\|\mathbf{r}\| = \dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|} \)