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Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xy^{3}\,ds$, $C:\,x=4\,\sin t,\, y=4\,\cos t,\, z=3t,\, 0\leq t\leq \pi/2.$
$320.$
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. $\displaystyle\int_{C}e^y \, dx + 2xe^y \, dy$, $C$ é o quadrado de lados $x=0$, $x=1$, $y=0$ e $y=1$.
$e - 1.$
Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência $x^{2}+y^{2}=4$, $x\geq 0$. Se a densidade linear for uma constante $k$, determine a massa e o centro de massa do arame.
Massa: $k2\pi;$ centro de massa: $\displaystyle \left( \frac{4}{\pi},0 \right).$
A força em um ponto $(x,y,z)$ em três dimensões é dada por ${\bf F}(x,y,z)=y\,{\bf i}+z\,{\bf j}+x\,{\bf k}$. Ache o trabalho realizado por ${\bf F}(x,y,z)$ ao longo da cúbica reversa $x=t$, $y=t^{2}$, $z=t^{3}$ de $(0,0,0)$ a $(2,4,8).$
$\dfrac{412}{15}.$
Determine se ${\bf F}(x,y,z)=(x-y)\,{\bf i}+(x+y+z)\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Não.
Calcule $\int_{C}2x\,\cos y\,dx-x^{2}\,\sin y\,dy$ ao longo dos caminhos $C$ a seguir no plano $xy.$
A parabóla $y=(x-1)^{2}$ de $(1,0)$ a $(0,1).$
O segmento de reta de $(-1,\pi)$ a $(1,0).$
O eixo $x$ de $(-1,0)$ a $(1,0).$
O astróide ${\bf r}(t)=(\cos^{3} t)\,{\bf i}+(\sin^{3}t)\,{\bf j}$, $0\leq t\leq 2\pi$, no sentido anti-horário de $(1,0)$ de volta a $(1,0).$
$-1.$
$2.$
$0.$
$0.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\oint_{C} xy \, dx + x^2 \, dy$, $C$ é o retângulo com vértices $(0,0)$, $(3,0)$, $(3,1)$ e $(0,1)$ por dois métodos:
diretamente; e
utilizando o Teorema de Green.
$\dfrac{9}{2}.$
Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças \(\displaystyle\textbf{F}(x,y)=xy\textbf{i}+(\dfrac{1}{2}x^2+xy)\textbf{j}\) sobre uma partícula que se move ao longo do caminho que começa em \((5,0)\), percorre o semicírculo superior \(x^2+y^2=25\) e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo \(x\).
\(\dfrac{250}{3}\)
Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= \dfrac{y\textbf{i} - x\textbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$, desenhando um diagrama.
Seja ${\bf F}:\Omega\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ contínuo no aberto $\Omega$. Prove que uma condição necessária para que ${\bf F}$ seja
conservativo é que $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=0$ para toda curva $C$ fechada, de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida em $\Omega.$
Se $C$ é uma curva fechada em $\Omega$ parametrizada por $\mathbf{r}(t),$ com $a \leq t \leq b,$ $\mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b)$ e $\mathbf{F} = \nabla f,$ então $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r} = f(\mathbf{r}(a)) - f(\mathbf{r}(b)) = 0.$
Se uma circunferência $C$ de raio $1$ rola ao longo do interior da circunferência $x^2+y^2=16$, um ponto fixo $P$ de $C$ descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas $x = 5\cos{t}-\cos{5t}$, $y = 5\sin{t} - \sin{5t}$. Faça o gráfico da epicicloide e calcule a área da região que ela envolve.
$30\pi.$
Esboce o campo vetorial $\textbf{F}=\dfrac{1}{2}(\textbf{i} + \textbf{j})$, desenhando um diagrama.
Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças \(\displaystyle\mathbf{F}(x,y)=\sqrt{y}\textbf{i}+\sqrt{x}\textbf{j}\) sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido anti-horário, a curva fechada dada pelas equações \(y=0\), \(x=2\) e \(y=x^3/4\).
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}(x-y)\,dx+e^{x+y}\, dy$, onde $C$ é a fronteira do triângulo de vértices $(0,0)$, $(0,1)$ e $(1,2)$, orientada no sentido anti-horário.
$\displaystyle \frac{e^{3}}{6} - \frac{e}{2} + \frac{5}{6}.$
Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= y\textbf{i} + \dfrac{1}{2}\textbf{j}$, desenhando um diagrama.
Esboce o campo vetorial ${\bf F}(x,y)=(x-y)\textbf{i} + x \textbf{j}$, desenhando um diagrama.
Determine se ${\bf F}(x,y)=(2x-3y)\,{\bf i}+(-3x+4y-8)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Sim. $f(x,y) = x^2 - 3xy + 2y^2 -8y + K.$
- Esboce o campo vetorial $\textbf{F}(x,y) = \textbf{i} + x\textbf{j}$ e algumas linhas de escoamento. Qual é o formato que essas linhas de escoamento parecem ter?
- Se as equações paramétricas das linhas de escoamento são $x=x(t)$ e $y=y(t)$, que equações diferenciais essas funções satisfazem? Deduza que $dy/dx = x$.
- Se uma partícula está na origem no instante inicial e o campo de velocidade é dado por $\textbf{F}$, determine uma equação para a trajetória percorrida por ela.
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. $\displaystyle\int_{C} \sin{y} \, dx + x\cos{y} \, dy$, $C$ é a elipse $x^2 + xy + y^2 = 1$.
$0.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y,z)=(yz,2xz,xy+2z)$ e $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$
$-7.$
Determine o trabalho $W=\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x^{2}(x-y)\,{\bf i}+xy^{2}\,{\bf j}$ em uma partícula que se move da origem ao longo do eixo $x$ para $(1,0)$, em seguida ao longo de um segmento de arco de circunferência $x^{2}+y^{2}=1$ até $(0,1)$ e então volta à origem ao longo do eixo $y.$
$\dfrac{\pi}{8}.$
Dados ${\bf F}(x,y)=xy^{2}\,{\bf i}+x^{2}y\,{\bf j}$, $C: {\bf r}(t)=(t+\sin\frac{1}{2}\pi t, t+\cos \frac{1}{2}\pi t)$, $0\leq t\leq 1.$
Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.
$f(x,y) = \dfrac{x^{2}y^{2}}{2};$
$2.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}(x^{2}y^{3}-\sqrt{x})\,dy$, $C$ é o arco da curva $y=\sqrt{x}$ de $(1,1)$ a $(4,2).$
$\dfrac{243}{8}.$
Seja ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e seja $C$ a curva dada por $x=t$ e $y=1-t^{4}$, $-1\leq t\leq 1.$
Que valor é razoável esperar para $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$? Por quê? (O ${\bf l}$ desempenha aqui o mesmo papel que ${\bf r}:{\bf l}(t)={\bf r}(t).$)
Calcule $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}.$
$0.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,dx+dy+2\,dz$, $C$ é a interseção do paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ com o plano $z=2x+2y-1$; caminhe no sentido anti-horário.
$0.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=(x+y+z)\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=(t,t,-t^{2})$, $0\leq t\leq 1.$
$-\dfrac{11}{6}.$
Use o Teorema de Green para calcular $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$, onde $\mathbf{F}(x,y) = 4x^3y^3\mathbf{i} + (3x^4y^2+5x)\mathbf{j}$, $C$ é a fronteira do quadrado de vértices $(-1,0)$, $(0,-1)$, $(1,0)$ e $(0,1)$. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
$10.$
Dados ${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}$, $C$ é o arco da parábola $y=2x^{2}$ de $(-1,2)$ a $(2,8).$
Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.
$f(x,y) = \dfrac{x^{3} + y^{3}}{3};$
$171.$
Verifique que para o vetor posição \(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\) valem as seguintes propriedades
\(\displaystyle \mathrm{rot\,}\mathbf{r} = \mathbf{0}\)
\(\displaystyle \nabla\|\mathbf{r}\| = \dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|} \)
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y)=(y,3x)$ e $C$ é a elipse $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$, percorrida no sentido anti-horário.
$-2\pi ab.$
Determine se ${\bf F}(x,y)=(ye^{x}+\sin y)\,{\bf i}+(e^{x}+x\,\cos y)\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Primeiramente, temos que o domínio de ${\bf F}$ é todo o $\mathbb{R}^{2}$, o qual é uma região aberta e simplesmente conexa. Sendo $P(x,y)=ye^{x}+\sin y$ e $Q(x,y)=e^{x}+x\,\cos y$, temos que $P$ e $Q$ possuem derivadas de primeira ordem contínuas. Também temos que
$$\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}+\cos y \,\,\, \text{ e } \,\,\, \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x}+\cos y,$$
ou seja,
$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$
Assim, das condições acima verificadas, temos que ${\bf F}$ é um campo conservativo. Agora, vamos determinar $f$ tal que $\nabla f={\bf F}.$ Isto é, devemos encontrar $f$ tal que
$$f_{x}(x,y)=P(x,y) \text{ e } f_{y}(x,y)=Q(x,y).$$
Como $f_{x}(x,y)=P(x,y)$ temos que
$$f_{x}(x,y)=ye^{x}+\sin y\Rightarrow f(x,y)=ye^{x}+x\,\sin y+g(y)$$
Assim obtemos que
$$f_{y}(x,y)=e^{x}+x\cos y+g'(y)$$
Mas, $f_{y}(x,y)=Q(x,y)$ logo obtemos que
$$e^{x}+x\cos y+g'(y)=e^{x}+x\,\cos y\Rightarrow g'(y)=0\Rightarrow g(y)=C.$$
Portanto,
$$f(x,y)=ye^{x}+x\sin y+C \text{ e } \nabla f={\bf F}.$$
Determine se ${\bf F}(x,y,z)=(y\,\sin z)\,{\bf i}+(x\,\sin z)\,{\bf j}+(xy\,\cos z)\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Sim. $f(x,y,z) = xy\sin(z) + K.$
Seja ${\bf F}(x,y)=\dfrac{-y\,{\bf i}+x\,{\bf j}}{x^{2}+y^{2}}.$
Mostre que $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}.$
Mostre que $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ não é independente do caminho. [Sugestão: calcule $\int_{C_{1}}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ e $\int_{C_{2}}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C_{1}$ e $C_{2}$ são as metades superior e inferior do círculo $x^{2}+y^{2}=1$ de $(1,0)$ a $(-1,0)$.] Isso contraria o Teorema 6 (Seção 16.3 do Livro do James Stewart)?
$\dfrac{\partial P}{\partial y}= \dfrac{y^{2} - x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}.$
Tome $C_{1}$ a curva parametrizada por $\mathbf{r_{1}}(t) = (\cos(t), \sin(t)),$ $0 \leq t \leq \pi$ e $C_{2}$ a curva parametrizada por $\mathbf{r_{2}}(t) = (\cos(t), \sin(t)),$ de $t = 2\pi$ a $t = \pi.$ Segue que $\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \pi \neq -\pi = \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.$ Como o domínio de $\mathbf{F}$ é $\mathbb{R}^{2} \setminus \left\lbrace (0,0) \right\rbrace$ que não é simplesmente conexo, o resultado não contradiz o Teorema 6.
Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força $\mathbf{F}(x,y) = x(x+y)\mathbf{i} + xy^2\mathbf{j}$ ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo $x$ até $(1,0)$, em seguida ao longo de um segmento de reta até $(0,1)$ e então de volta à origem ao longo do eixo $y$.
$-\dfrac{1}{12}.$
Calcule a integral de linha
$$\int_{C}e^{2y}\,dx+(1+2xe^{2y})\,dy,$$
onde $C$ é a curva dada por $r(t)=(te^{t},1+\sin(\pi t/2))$, $0\leq t\leq 1.$ (Sugestão: verifique se o campo é conservativo.)
$e^{5} + 1.$
Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= \dfrac{y\textbf{i} + x\textbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$, desenhando um diagrama.
Calcule $\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$ onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida no semiplano $y>0$, tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(-2,3).$
$\pi.$
Sejam $A=(3,0)$, $B=(1,1)$ e $C=(0,3)$ pontos de $\mathbb{R}^{2}$ e $C$ a trajetória que vai em linha reta de $A$ até $B$ e em seguida de $B$ até $C$. Determine o trabalho ao longo de $C$ do campo de forças ${\bf F}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$, sendo
$${\bf F}(x,y)=\bigg(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\bigg).$$
$\displaystyle 2\arctan(2) + \arctan\left(\frac{1}{2} \right) - \arctan\left(\frac{1}{3} \right).$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\oint_{C} (x-y) dx + (x+y)dy$, $C$ é o círculo com centro na origem e raio 2, por dois métodos:
diretamente; e
utilizando o Teorema de Green.
$8\pi.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,dx-y\,dy$, $C$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$, percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3).$
$\displaystyle -\frac{5}{2}.$
aberto;
conexo; e
simplesmente conexo.
Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}\leq 1\,$ ou\, $4\leq x^{2}+y^{2}\leq 9\}$ consiste dos pontos que estão sobre ou dentro do círculo $x^{2}+y^{2}\leq 1$ juntamente com os pontos que estão em ou entre os círculos $x^{2}+y^{2}=4$ e $x^{2}+y^{2}=9$.
$D$ não é aberto pois qualquer disco centrado em $(0,1)$ contém pontos que não estão em $D$.
$D$ não é conexo pois não existe um caminho em $D$ conectando, por exemplo, os pontos $(1,0)$ e $(2,0)$.
$D$ não é simplesmente conexo porque possui um buraco. Com efeito, a região delimitada pela curva simples e fechada $x^2+y^2=(5/2)^2$, contém pontos que não pertencem a $D$, por exemplo, o ponto $(0,3/2)$.
Dados ${\bf F}(x,y,z)=yz\,{\bf i}+xz\,{\bf j}+(xy+2z)\,{\bf k}$, $C$ é o segmento de reta de $(1,0,-2)$ a $(4,6,3).$
Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.
$f(x,y,z) = xyz + z^{2};$
$77.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x^{2}y\sqrt{z}\,dz$, $C:\,x=t^{3},\, y=t,\, z=t^{2},\, 0\leq t\leq 1.$
$\dfrac{1}{5}.$
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. $\displaystyle\int_{C}(y+e^{\sqrt{x}}) \, dx + (2x+\cos{y^2}) \, dy$, $C$ é a fronteira da região englobada pelas parábolas $y=x^2$ e $x=y^2$.
$\dfrac{1}{3}.$
aberto;
conexo; e
simplesmente conexo.
Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x\neq 0\}$ consiste de todos os pontos, exceto para aqueles que encontram-se sobre o eixo y. Então:
$D$ é aberto.
Os pontos em lados opostos do eixo $y$ não podem ser conectados por um caminho que se encontra totalmente em $D$, então $D$ não é conexo.
$D$ não é simplesmente conexo, pois não é conexo.
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}\sqrt[3]{x}\,dx+\dfrac{dy}{1+y^{2}}$, onde $C$ é a curva na figura abaixo.
$0.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,dx+y\,dy+z\,dz$, $C$ é o segmento de extremidades $(0,0,0)$ e $(1,2,1)$, percorrido no sentido de $(1,2,1)$ para $(0,0,0).$
$-3.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=x^{2}\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=(2\cos t,3\sin t,t)$, $0\leq t\leq 2\pi.$
$\dfrac{8\pi^{3}}{3}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xe^{yz}\,ds$, $C$ é o segmento de reta de $(0,0,0)$ a $(1,2,3).$
$\dfrac{\sqrt{14}}{12}\left(e^{6} - 1 \right).$
Seja $D$ a região limitada por um caminho fechado e simples $C$ no plano $xy$. As coordenadas do centroide $(\bar{x},\bar{y})$ de $D$ são
$$\bar{x} = \dfrac{1}{2A}\oint_{C}x^2 \, dy \quad \quad\quad\quad \bar{y} = -\dfrac{1}{2A}\oint_{C}y^2 \, dx,$$
em que $A$ é a área de $D$. Encontre o centroide de um quarto de uma região circular de raio $a$.
$\displaystyle \left(\frac{4a}{3\pi},\frac{4a}{3\pi} \right),$ se a região for a parte do disco $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ no primeiro quadrante.
Calcule $\displaystyle\int_{C}(\sin(xy)+xy\,\cos(xy))\,dx+x^{2}\,\cos(xy)\,dy$, onde $C(t)=(t^{2}-1,t^{2}+1)$, $-1\leq t\leq 1.$
$0.$
Considere o campo vetorial
$${\bf F}(x,y)=\bigg(e^{x}\ln(y)-\frac{e^{y}}{x}\bigg)\,{\bf i}+\bigg(\frac{e^{x}}{y}-e^{y}\ln(x)\bigg)\,{\bf j}.$$
O campo ${\bf F}$ é conservativo? Justifique sua resposta.
Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é qualquer caminho ligando o ponto $(1,1)$ ao ponto $(3,3).$
Sim.
$0.$
Suponha que ${\bf F}$ seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja,
$${\bf F}({\bf r})=\frac{c{\bf r}}{|{\bf r}|^{3}}$$
para alguma constante $c$, onde ${\bf r}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}.$ Determine o trabalho realizado por ${\bf F}$ ao mover um objeto de um ponto $P_{1}$ por um caminho para um ponto $P_{2}$ em termos da distância $d_{1}$ e $d_{2}$ desses pontos à origem.
$c\left(\dfrac{1}{d_{1}} - \dfrac{1}{d_{2}}\right).$
Determine o campo vetorial gradiente de $f(x,y) = \ln(x + 2y)$.
$\nabla f(x,y) = \dfrac{\textbf{i} + 2\textbf{j}}{x + 2y}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}y^{3}\,ds$, $C:\,x=t^{3},\, y=t,\, 0\leq t\leq 2.$
$\displaystyle \frac{1}{54}\left(145^{3/2} - 1 \right).$
Determine se ${\bf F}(x,y)=y\,{\bf i}+x\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Sim. $f(x,y) = xy + K.$
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por ${\bf F}(x,y,z)=-y\,{\bf i}+x\,{\bf j}+z\,{\bf k}.$ Calcule o trabalho realizado por ${\bf F}$ no deslocamento da partícula de ${\bf r}(a)$ até ${\bf r}(b)$, sendo dados:
${\bf r}(t)=(\cos t, \sin t,t)$, $a=0$ e $b=2\pi.$
${\bf r}(t)=(2t+1,t-1,t)$, $a=1$ e $b=2.$
${\bf r}(t)=(\cos t,0, \sin t)$, $a=0$ e $b=2\pi.$
$2\pi(1 + \pi).$
$\dfrac{9}{2}.$
$0.$
Determine o trabalho $W=\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x\,{\bf i}+(x^{3}+3xy^{2})\,{\bf j}$ em uma partícula que inicialmente está no ponto $(-2,0)$, se move ao longo do eixo $x$ para $(2,0)$ e ao longo da semicircunferência $y=\sqrt{4-x^{2}}$ até o ponto inicial.
Suponha que ${\bf F}=\nabla f$ seja um campo vetorial conservativo e
$$g(x,y,z)=\int_{(0,0,0)}^{(x,y,z)}{\bf F}\cdot d{\bf r}.$$
Mostre que $\nabla g={\bf F}.$
Como $g(x,y,z) = f(x,y,z) - f(0,0,0),$ segue que $\nabla g = \nabla f = \mathbf{F}.$
Use o Teorema de Green para calcular $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$, onde $\mathbf{F}(x,y) = (\sqrt{x} + y^3,x^2+\sqrt{y})$, $C$ consiste no arco da curva $y = \sin{x}$ de $(0,0)$ a $(\pi,0)$ e no segmento de reta $(\pi,0)$ a $(0,0)$. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
$\dfrac{4}{3} - 2\pi.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,\sin{y}\,ds$, $C$ é o segmento de reta que liga $(0,3)$ a $(4,6).$
$\displaystyle \frac{20}{6} \left(\sin(6) - 3\cos(6) - \sin(3) \right).$
Calcule $\int_{C}\mathbf{F}\cdot\, d\mathbf{r}$, em que
$$\mathbf{F}(x,y) = (x^2+y)\mathbf{i} + (3x-y^2)\mathbf{j}$$
e $C$ é a fronteira orientada positivamente de uma região $D$ que tem área 6.
$12.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y)=(x+y^{2})\,{\bf j}$ e $C$ é a curva da figura abaixo.
$4.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq 2\pi.$
$2\pi^{2}.$
Use o Teorema de Green para calcular $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$, onde $\mathbf{F}(x,y) = (e^x+x^2y,e^y-xy^2)$, $C$ é a circunferência $x^2+y^2=25$, orientada no sentido horário. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
$\dfrac{625\pi}{2}.$
Se $\mathbf{F}(x,y) = (-y\mathbf{i} + x\mathbf{j})/(x^2+y^2)$, mostre que $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$ para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e nem a circunde.
Dica: como $C$ é um caminho fechado simples que não passa pela origem e não circunda a origem, então existe uma região aberta $A$ que ainda não contém a origem, mas contém $D,$ a região limitada por $C.$ Em $A,$ tanto $-y/(x^{2} + y^{2})$ quanto $x/(x^{2} + y^{2})$ possuem derivadas parciais contínuas e podemos aplicar o Teorema de Green.
Determine o trabalho $W = \int_{C}\mathbf{F}\cdot\, d\mathbf{r}$ realizado pelo campo de força
$$\mathbf{F}(x,y) = x\mathbf{i} + (x^3 + 3xy^2)\mathbf{j}$$
em uma partícula que inicialmente está no ponto $(-2,0)$, se move ao longo do eixo $x$ para $(2,0)$ e então se move ao longo da semicircunferência $y = \sqrt{4-x^2}$ até o ponto inicial.
$12\pi.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}2\,dx-dy$, $C$ tem por imagem $x^{2}+y^{2}=4$, $x\geq 0$ e $y\geq 0$; sentido de percurso é de $(2,0)$ para $(0,2).$
$\displaystyle -6.$
Calcule a área sob um arco da cicloide $x = t-\sin{t}$, $y = 1-\cos{t}$.
Queremos determinar a área da região $R$ mostrada na figura abaixo.
Sabemos que, se $y = f(x)$, então a integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$ calcula a área que está abaixo do gráfico de $f$ e acima do eixo $x$, com $x$ variando entre $a$ e $b$. A princípio, poderíamos tentar encontrar uma expressão que relacionasse $x(t)$ e $y(t)$ na parametrização da cicloide, mas esse parece ser um trabalho difícil. Usaremos então o que foi provado no exercício anterior. Temos que
$$A(R) = \oint_{C}x\, dy,$$
em que $C = C_1 \cup C_2$ é a curva descrita na figura a seguir.
Uma parametrização de $C_1$ é $r_1(t) = (x_1(t),y_1(t)) = (t,0)$, em que $0 \leq t \leq 2\pi$. Nesse caso, $y_1'(t) = 0$. Logo,
$$\oint_{C_1}x\, dy = \int_{0}^{2\pi}(t)(0)\, dt = 0.$$
Uma parametrização de $C_2$ é $r_2(t) = (x_2(t),y_2(t)) = (t-\sin{t},1-\cos{t})$, em que $t$ varia de $2\pi$ a $0$. Nesse caso, $y_2'(t) = \sin{t}$. Logo,
$$\begin{array}{rcl}\displaystyle \oint_{C_2}x\, dy & = & \displaystyle \int_{2\pi}^{0}(t-\sin{t}) (\sin{t})\, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi}(\sin^2{t} - t\sin{t}) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2t)}{2}\, dt - \int_{0}^{2\pi}t\sin{t} \, dt \\ & = & \pi + 2\pi = 3\pi.\end{array}$$
Portanto, a área da região é $3\pi$.
(Observe que, para resolver a integral $\int_{0}^{2\pi}t\sin{t} \, dt$, usamos integração por partes com $u=t$ e $dv=\sin{t}\,dt$.)
Determine se ${\bf F}(x,y)=(\ln y+2xy^{3})\,{\bf i}+(3x^{2}y^{2}+x/y)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Sim. $f(x,y) = x^{2}y + xy^{-2} + K.$
Seja $\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,(x,y)\notin A\}$, onde $A$ é a semirreta $\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,y=0\,e\,x\geq 0\}$. Calcule
$$\int_{C}\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy,$$
onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida em $\Omega$, tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(1,-1).$
$\dfrac{3\pi}{2}.$
As linhas de escoamento (ou linhas de corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetorial são tangentes a suas linhas de escoamento.
Use um esboço do campo vetorial $\textbf{F}(x,y) = x\textbf{i} - y\textbf{j}$ para desenhar algumas linhas de escoamento. Desses seus esboços é possível descobrir qual é a equação das linhas de escoamento?
Se as equações paramétricas de uma linha de escoamento são $x=x(t)$ e $y=y(t)$, explique por que essas funções satisfazem as equações diferenciais $dx/dt = x$ e $dy/dt = -y$. Resolva então as equações de forma a obter uma equação da linha de escoamento que passe pelo ponto $(1,1)$.
Faça uma correspondência entre as funções $f$ e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I-IV). Justifique.
- $f(x,y) = x^2+y^2$
- $f(x,y) = (x+y)^2$.
- $f(x,y) = x(x+y)$.
- $f(x,y) = \sin{\sqrt{x^2+y^2}}$.
II
III
IV
- III.
- IV.
- II.
- I.
Calcule $\displaystyle\int_{C}y\,dx+x^{2}\,dy$, onde $C$ é a curva cuja imagem é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,2)$, orientada de $(1,1)$ para $(2,2).$
$\dfrac{23}{6}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xy^{4}\,ds$, $C$ é a metade direita do círculo $x^{2}+y^{2}=16.$
$\dfrac{2^{13}}{5}.$
Verifique que para o vetor posição \(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\) valem as seguintes propriedades
\(\displaystyle \mathrm{div\,}\mathbf{r} = 3\)
\(\displaystyle \nabla\dfrac{1}{\|\mathbf{r}\|} = -\dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3} \)
Dado um campo vetorial \(\mathbf{F}\), uma curva \(C\) é chamada de linha de fluxo deste campo se \(\mathbf{F}\) for um vetor tangente a \(C\) em cada ponto ao longo de \(C\).
Sejam \(C\) uma linha de fluxo de \(\mathbf{F}(x,y)=-y\mathbf{i}+x\mathbf{j}\) e \((x,y)\) um ponto em \(C\) para o qual \(y\neq 0\). Mostre que as linhas de fluxo satisfazem a equação diferencial \[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}. \]
Resolva a equação diferencial do item anterior, por separação de variáveis, e mostre que as linhas de fluxo são círculos concêntricos centrados na origem, ou seja, da forma \(x^2+y^2=K\).
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}(2x+9z)\,ds$, $C:\,x=t,\, y=t^{2},\, z=t^{3},\, 0\leq t\leq 1.$
$\displaystyle \frac{1}{6}\left(14^{3/2} - 1\right).$
A figura mostra uma curva $C$ e um mapa de contorno de uma função $f$ cujo gradiente é contínuo. Determine $\int_{C}\nabla f\cdot d{\bf r}.$
$40.$
Calcule a área da região limitada pela elipse $x = a\cos{t}$, $y=b\sin{t}$, $0\leq t \leq \pi/2$, em que $a > 0$ e $b > 0$.
$\pi ab.$
Calcule o trabalho realizado pela força ${\bf F}(x,y)=xy\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}$ ao mover uma partícula da origem ao longo da reta $y=x$ até $(1,1)$ e então de volta à origem ao longo da curva $y=x^{2}.$
$\dfrac{1}{12}.$
Determine se ${\bf F}(x,y,z)=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Sim. $f(x,y,z) = \dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2} + K.$
Determine se ${\bf F}(x,y,z)=e^{y+2z}({\bf i}+x\,{\bf j}+2x\,{\bf k})$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Sim. $f(x,y,z) = xe^{y + 2z} + K.$
Calcule o trabalho realizado pela força $\mathbf{F}(x,y) = xy\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}$ ao mover uma partícula da origem ao longo da reta $y=x$ até $(1,1)$ e então de volta à origem ao longo da curva $y=x^2$.
$\dfrac{1}{12}.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=\sin{x}\,{\bf i}+\cos{y}\,{\bf j}+xz\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=t^{3}\,{\bf i}-t^{2}\,{\bf j}+t\,{\bf k}$, $0\leq t\leq 1.$
$\dfrac{6}{5} - \cos(1) - \sin(1).$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xyz\,ds$, onde $C$ é a hélice ${\bf r}(t)=(\cos t,\sin t,3t)$, $0\leq t\leq 4\pi.$
$-3\sqrt{10}\pi.$
A força em um ponto $(x,y)$ de um plano coordenado é ${\bf F}(x,y)=(x^{2}+y^{2})\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$. Ache o trabalho realizado por ${\bf F}(x,y)$ ao longo do gráfico de $y=x^{3}$ de $(0,0)$ a $(2,8).$
$\dfrac{1592}{21}.$
Determine se o conjunto $\{(x,y)|\,x>0,\,y>0\}$ é ou não:
aberto;
conexo; e
simplesmente conexo.
Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x>0,\,y>0\}$ representa o primeiro quadrante, excluindo os eixos. Então:
$D$ é aberto, pois em torno de cada ponto em $D$, podemos colocar um disco que se encontra em $D.$
$D$ é conexo, pois o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de $D$ encontra-se em $D.$
$D$ é simplesmente conexo, pois ele é conexo e não tem buracos.
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
$\displaystyle\int_{C}y^3 \, dx - x^3 \, dy$, $C$ é o círculo $x^2 + y^2 = 4$.
Observe que a curva $C$ com orientação positiva está nas hipóteses do Teorema de Green, assim como o campo $\mathbf{F}(x,y) = (y^3, -x^3)$. Logo,
$$\displaystyle\int_{C}y^3 \, dx - x^3 \, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial}{\partial x}(-x^3) - \frac{\partial}{\partial y}(y^3)\right) \, dA = -3 \iint\limits_{D} (x^2 + y^2) \, dA,$$
em que $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 4\}$. Usando coordenadas polares
$$\begin{cases}x = r \cos{\theta} \\y = r \sin{\theta}, \\\end{cases}$$
temos que a região de integração $D$ pode ser escrita como $$\{(r,\theta) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\}$$ e o jacobiano dessa mudança de coordenadas é igual a $r$. Logo,
$$\iint\limits_{ D} (x^2 + y^2) dA = \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2}r^2 \cdot r\,dr d\theta = 8\pi.$$
Portanto, $\displaystyle\int_{C}y^3 \, dx - x^3 \,dy = -24\pi$.
A figura mostra o campo vetorial ${\bf F}(x,y)=(2xy, x^{2})$ e três curvas que começam em $(1,2)$ e terminam em $(3,2).$
- Explique por que $\int_{c}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ tem o mesmo valor para as três curvas.
- Qual é esse valor comum?
- ${\bf F}$ é conservativo, logo $\int_{C} \bf F \cdot d\bf r$ depende somente dos pontos inicial e final de $C.$
- $16.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}(x+yz)\,dx+2x\,dy+xyz\,dz$, $C$ consiste nos segmentos de reta de $(1,0,1)$ a $(2,3,1)$ e de $(2,3,1)$ a $(2,5,2).$
$\dfrac{97}{3}.$
Calcule o trabalho realizado por uma partícula andando sobre a espiral dada por $C:\,x=t\,\cos t$, $y=t\,\sin t$, com $0\leq t\leq 2\pi$, sob a ação do campo ${\bf F}(x,y)=(x,y)$, ou seja, calcule a integral $\int_{C}x\,dx+y\,dy.$
$2\pi^{2}.$
Se $C$ é o segmento de reta ligando o ponto $(x_1,y_1)$ ao ponto $(x_2,y_2)$, mostre que
$$\int_{C}x \, dy - y \, dx = x_1y_2-x_2y_1.$$
Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são
$$ (x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n), $$
mostre que a área do polígono é
$$A=\dfrac{1}{2}[(x_1y_2-x_2y_1) + (x_2y_3-x_3y_2) + \cdots + (x_{n-1}y_n - x_ny_{n-1}) + (x_ny_1-x_1y_n)].$$
Determine a área do pentágono com vértices $(0,0)$, $(2,1)$, $(1,3)$, $(0,2)$ e $(-1,1)$.
Use as equações paramétricas do segmento de reta: $x = (1-t)x_{1} + tx_{2}$ e $y = (1-t)y_{1} + ty_{2},$ $0 \leq t \leq 1.$
Aplique o Teorema de Green ao caminho $C = C_{1} \cup C_{2} \cup \cdots \cup C_{n},$ onde $C_{i}$ é o segmento ligando o ponto $(x_{i},y_{i})$ ao ponto $(x_{i + 1},y_{i + 1}),$ para cada $i = 1,\cdots, n-1.$
$\dfrac{9}{2}.$
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y,z)=(y+z)\,{\bf i}+(x+z)\,{\bf j}+(x+y)\,{\bf k}$ sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta $(1,0,0)$ a $(3,4,2).$
$26.$
Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre um partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência $x^{2}+y^{2}=1.$
Isso também é verdadeiro para um campo de força ${\bf F}({\bf x})=k{\bf x}$, onde $k$ é uma constante e $\textbf{x}=x{\bf i}+y{\bf j}$?
Dica: tome a parametrização do círculo $C$ dada por $x = cos(t)$ e $y = \sin(t),$ com $t \in [0,2\pi]$ e considere um campo constante arbitrário ${\bf F} = (a,b).$ Segue que $W = \int_{C} F\cdot d\textbf{r} = 0.$
Sim. Realize o mesmo cálculo com ${\bf F}(x,y) = (k x, ky).$
Determine se o conjunto $\{(x,y)|\,1<x^{2}+y^{2}<4\}$ é ou não:
aberto;
conexo; e
simplesmente conexo.
Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,1<x^{2}+y^{2}<4\}$ representa a região anelar entre os círculos com centro $(0,0)$ e raio $1$ e $2$. Então:
$D$ é aberto pois, em torno de cada ponto em $D$, podemos colocar um disco que se encontra inteiramente em $D$.
$D$ é conexo pois quaisquer dois pontos de $D$ podem ser conectados por um caminho em $D$.
$D$ não é simplesmente conexo pois, por exemplo, a região delimitada pela curva simples e fechada $x^{2}+y^{2}=(3/2)^2$ possui pontos que não estão em $D$, por exemplo, a origem $(0,0)$.
Se um arame com densidade linear $\rho(x,y)$ está sobre uma curva plana $C$, seus momentos de inércia em relação aos eixos $x$ e $y$ são definidos por
$$I_{x}=\int_{C}y^{2}\rho(x,y)\,ds I_{y}=\int_{C}x^{2}\rho(x,y)\,ds.$$
Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de um semicírculo $x^{2}+y^{2}=1$, $y\geq 0$, que é mais grosso perto da base do que perto do topo, se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta $y=1.$
$I_{x} = k\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{3} \right)$ e $I_{y} = k\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{2}{3} \right).$
Calcule $\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$, onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida no conjunto $\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}| y>0\}\cup\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,x<0\}$, tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(-1,-1).$
$0.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,dx+y\,dy$, $C:\,x=t^{2},\,y=\sin t$, $0\leq t\leq \pi/2.$
$\displaystyle \frac{\pi^{4}}{32} + \frac{1}{2}.$
Calcule a área da região limitada pela astroide $x=\cos^3{t}$, $y = \sin^3{t}$, $0 \leq t \leq 2\pi$.
$\dfrac{3\pi}{8}.$
Calcule a área da região $R$ delimitada pela cardioide $\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t))$, em que $x(t) = 2\cos{t}-\cos{2t}$ e $y(t) = 2\sin{t}-\sin{2t}$, $t \in [0,2\pi]$.
$6\pi.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\oint_{C} xy \, dx + x^2y^3 \, dy$, $C$ é o triângulo com vértices $(0,0)$, $(1,0)$ e $(1,2)$ por dois métodos:
diretamente; e
utilizando o Teorema de Green.
$\dfrac{2}{3}.$
Determine o campo vetorial gradiente $\nabla f$ de $f(x,y) = x^2-y$ e o esboce.
Calcule
$$\oint_{C} \dfrac{-y}{x^2+y^2} \, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2} \, dy,$$
em que $C$ é a curva
Podemos escrever $C$ como $C_1 \cup C_2$, em que $C_1$ e $C_2$ são as curvas dadas abaixo.
Seja $A$ um aberto simplesmente conexo que contém $C_1$ e não contém a origem. O campo $\mathbf{F}$ restrito a $A$ é conservativo, pois $A$ é aberto e simplesmente conexo, $P(x,y) = \dfrac{-y}{x^2 + y^2}$ e $Q(x,y) = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$ possuem derivadas de primeira ordem contínuas em $A$ e $P$ e $Q$ satisfazem a relação $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$. Então,
$$\oint_{C_1}\mathbf{F} \cdot\, d\mathbf{r} = 0.$$
Não podemos proceder de maneira análoga em $C_2$, já que todo aberto $B$ que contém a curva $C_2$ e não contém a origem não será simplesmente conexo. Com isso, não conseguimos garantir que o campo $\mathbf{F}$ restrito a $B$ é conservativo (observe que, a princípio, não podemos afirmar que o campo é não conservativo).
A ideia para contornar esse problema é ``isolar" a origem com uma curva fechada $C_3$, a princípio arbitrária. Vamos escolher essa curva $C_3$ de maneira conveniente para que consigamos resolver o problema. Seja $\varepsilon > 0$ pequeno o suficiente para que a curva $C_3$ parametrizada por $r(t) = (\varepsilon \cos{t}, \varepsilon \sin{t})$, com $t$ variando de $2\pi$ a $0$, não intercepte a curva $C_2$ e esteja entre a curva $C_2$ e a origem.
Considere $D_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x,y) \mbox{ está entre } C_2 \mbox{ e } C_3 \mbox{ e } y \geq 0\}$ e $D_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x,y) \mbox{ está entre } C_2 \mbox{ e } C_3 \mbox{ e } y \leq 0\}$. As curvas que delimitam $D_1$ e $D_2$ são $C_{D_1}= C_{2}^+\cup C_{a}\cup C_{3}^+\cup C_{b}$ e $C_{D_2}=C_{2}^-\cup -C_{b}\cup C_{3}^- \cup -C_{a}$, respectivamente, e estão ilustradas a seguir.
Note que
$$\oint_{C_{D_1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C^+_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_a} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^+_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \qquad (\star)$$
e
$$\oint_{C_{D_2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C^-_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{-C_a} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^-_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{-C_b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \qquad (\star \star).$$
Como $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$, temos, pelo Teorema de Green,
$$\displaystyle\oint_{C_{D_1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_{D_1} 0 \, dA = 0$$
e
$$\displaystyle\oint_{C_{D_2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_{D_2} 0 \, dA = 0.$$
Somando as equações ($\star$) e ($\star \star$), obtemos
$$\int_{C^+_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^+_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^-_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^-_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0,$$
isto é,
$$\int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\int_{C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{-C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.$$
Assim, basta determinar $\int_{-C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$. A parametrização de $-C_3$ é $r(t) = (\varepsilon \cos{t}, \varepsilon \sin{t})$, com $t$ variando de $0$ a $2\pi$. Daí,
$$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\frac{-\varepsilon \sin{t}}{\varepsilon^2},\frac{\varepsilon \cos{t}}{\varepsilon^2}\right) \cdot (-\varepsilon \sin{t}, \varepsilon \cos{t}) \, dt \\& = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi.\end{array}$$
Portanto,
$$\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \oint_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0 + 2\pi = 2\pi.$$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf j}$, ${\bf r}(t)=(t^{2},3)$, $-1\leq t\leq 1.$
$0.$
Considere o campo
$${\bf F}(x,y,z)=(e^{z},2yz, xe^{z}+y^{2}).$$
Verifique se o campo ${\bf F}$ é conservativo.
Se ${\bf F}$ for conservativo, calcule $f(x,y,z)$ tal que $\nabla f={\bf F}.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ onde $C$ é dada por $r(t)=(\cos t, \sin t, t)$, $0\leq t\leq 2\pi.$
Sim.
$f(x,y) = x e^{z} + y^{2} z.$
$e^{2\pi} - 1.$
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$ sobre uma partícula que dá uma volta no círculo $x^{2}+y^{2}=4$ no sentido anti-horário.
$0.$
Seja ${\bf F}=\nabla f$, onde $f(x,y)=\sin(x-2y)$. Determine curvas $C_{1}$ e $C_{2}$ que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.
$\displaystyle\int_{C_{1}}{\bf F}\cdot d{\bf r}=0$
$\displaystyle\int_{C_{2}}{\bf F}\cdot d{\bf r}=1$
$\mathbf{r}(t) = \pi t \mathbf{i} + \pi t \mathbf{j},$ $0 \leq t \leq 1.$
$\mathbf{r}(t) = \dfrac{\pi}{2} t \mathbf{i},$ $0 \leq t \leq 1.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada. $\displaystyle\int_{C}x^{2}y\sqrt{z}\,dz$, $C:\,x=t^{3},\, y=t,\, z=t^{2},\, 0\leq t\leq 1.$
As equações paramétricas de $C$ são
$$x=t^{3},\, y=t,\, z=t^{2},\, 0\leq t\leq 1.$$
Logo,
$$dx=3t^{2}\,dt,\, dy=dt,\, dz=2t\,dt.$$
Assim,
$$\int_{C}x^{2}y\sqrt{z}\,dz=\int_{0}^{1}((t^{3})^{2}\cdot t \cdot \sqrt{t^{2}})(2t\,dt)=2\int_{0}^{1}t^{9}\,dt$$
$$=2\cdot\frac{t^{10}}{10}\bigg|_{0}^{1}=2\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{5}.$$
Determine o campo vetorial gradiente $\nabla f$ de $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ e o esboce.
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada. $\displaystyle\int_{C}x\,dx-y\,dy$, $C$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$, percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3).$
Uma representação paramétrica para o segmento de reta $C$ é
$$\begin{array}{lr}x=1+t \\y=1+2t\\\end{array}\;\;\;\; 0\leq t \leq 1.$$
Logo,
$$\begin{array}{lr}dx=dt \\dy=2\,dt\\\end{array}$$
Assim,
$$\int_{C}x\,dx-y\,dy=\int_{0}^{1}(1+t)\cdot (dt)+(1+2t)\cdot(2\,dt)=\int_{0}^{1}(1+t+2+4t)\,dt$$
$$=\int_{0}^{1}(3+5t)\,dt=\bigg(3t+\frac{5}{2}t^{2}\bigg)\bigg|_{0}^{1}=3+\frac{5}{2}=\frac{11}{2}.$$
Determine se ${\bf F}(x,y)=(e^{x}\,\sin y)\,{\bf i}+(e^{x}\,\cos y)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Sim. $f(x,y) = e^{x}\sin(y) + K.$
Dados ${\bf F}(x,y,z)=y^{2}\,\cos z\,{\bf i}+2xy\,\cos z\,{\bf j}-xy^{2}\,\sin z\,{\bf k}$, $C: {\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+\sin t\,{\bf j}+t\,{\bf k}$, $0\leq t\leq \pi.$
Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.
$f(x,y,z) = xy^{2} \cos(z);$
$0.$
Uma partícula se move em um campo de velocidade $\textbf{V}(x,y) = (x^2,x+y^2)$. Se ela está na posição $(2,1)$ no instante $t=3$, estime sua posição no instante $t=3,01$.
$(2,04;1,03).$
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. $\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{x^2+y^2} \, dx + \dfrac{ x}{x^2+y^2} \, dy$, $C$ curva fechada, $C^1$ por partes, simples e fronteira de um conjunto $B$ cujo interior contém o círculo $x^2 + y^2 \leq 1$. (Sugestão: Aplique o Teorema de Green à região $K$ compreendida entre a curva $C$ e a circunferência.)
$2\pi.$
Seja ${\bf F}:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ um campo vetorial contínuo tal que, para todo $(x,y)$, ${\bf F}(x,y)$ é paralelo ao vetor $x\,{\bf i}+y\,{\bf j}$. Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf r}:[a,b]\to \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$, cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio $r>0$. Interprete geometricamente.
$0.$
Seja $C: {\bf r}(t)=(R\,\cos t, R\,\sin t)$, $0\leq t \leq 2\pi$\,$(R>0).$ Mostre que
$$\int_{C}\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$$
não depende de $R.$
Note que o valor da integral é $2\pi,$ independente de $R.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y)=(e^{-y}-2x,-xe^{-y}-\sin y)$, ${\bf r}(t)=(t,\tan t)$, $0\leq t\leq \pi/4.$
$\displaystyle \cos(1) - \frac{\pi}{4}e^{-1} - \frac{\pi^{2}}{16} - 1.$
Determine se ${\bf F}(x,y,z)=(e^{x}\,\cos y)\,{\bf i}-(e^{x}\,\sin y)\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Sim. $f(x,y,z) = e^{x}\cos(y) + \dfrac{z^{2}}{2} + K.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y)=xy\,{\bf i}+3y^{2}\,{\bf j}$, ${\bf r}(t)=11t^{4}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j}$, $0\leq t\leq 1.$
$45.$
Um homem pesando $160$ lb carrega uma lata de tinta de $25$ lb por uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de $20$ pés. Se o silo tem $90$ pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a gravidade para subir ao topo?
$16650$ ft-lb.
Calcule $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$, onde ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e $C$ é a curva dada por $x=2\,\cos t$, $y=\sin t$, com $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}.$
$-\dfrac{1}{2}.$
Um campo vetorial inverso do quadrado é da forma:
$${\bf F}({\bf r})=\frac{c{\bf r}}{|{\bf r}|^{3}}$$
para alguma constante $c$, onde ${\bf r}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$. Um exemplo de campo inverso do quadrado é o campo elétrico ${\bf F}=\epsilon q Q{\bf r}/|{\bf r}|^{3}$. Suponha que um elétron com carga de $-1,6\times 10^{-19}\, C$ esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à distância de $10^{-12}\,m$ do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron. Determine o trabalho realizado pelo campo elétrico. (Use o valor $\epsilon=8,985\times 10^{9}$.)
$\approx 1,4 \times 10^{4}$ J.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=2y^{3/2}\,{\bf i}+3x\sqrt{y}\,{\bf j}$ ao mover um objeto de $P(1,1)$ a $Q(2,4).$
$30.$
Calcule $\displaystyle\int_{(1,1)}^{(2,2)} y\,dx+x\,dy$.
$3.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=(x+y)\,{\bf i}+(y-z)\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j}+t^{2}\,{\bf k}$, $0\leq t\leq 1.$
$\dfrac{17}{15}.$
Sejam \(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\), \(r=\|\mathbf{r}\|\), \(f\) uma função diferenciável de uma variável e \(\mathbf{F}(\mathbf{r})=f(r)\mathbf{r}\).
Mostre que \[\nabla f(r) = \dfrac{f'(r)}{r}\mathbf{r}.\]
Use o resultado anterior para mostrar que \(\displaystyle \mathbf{F}=3f(r)+rf'(r). \)
Uma partícula move-se no plano de modo que no instante $t$ sua posição é dada por ${\bf r}(t)=(t,t^{2})$. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças ${\bf F}(x,y)=(x+y)\,{\bf i}+(x-y)\,{\bf j}$ no deslocamento da partícula de ${\bf r}(0)$ até ${\bf r}(1).$
$1.$
Dados ${\bf F}(x,y,z)=e^{y}\,{\bf i}+xe^{y}\,{\bf j}+(z+1)e^{z}\,{\bf k}$, $C: {\bf r}(t)=t\,{\bf i}+t^{2}\,{\bf j}+t^{3}\,{\bf k}$, $0\leq t\leq 1.$
Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.
$f(x,y,z) = x e^{y} + ze^{z};$
$2e.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}y^{2}\,dx+x\,dy -\,dz$, onde $C$ é a poligonal de vértices $A_{0}=(0,0,0)$, $A_{1}=(1,1,1)$, $A_{2}=(1,1,0)$, orientada de $A_{0}$ para $A_{2}.$
$\displaystyle \frac{5}{6}.$
Seja
$${\bf F}(x,y)=\bigg(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+3y\bigg)$$
um campo vetorial em $\mathbb{R}^{2}$. Calcule a integral de linha do campo ${\bf F}$ ao longo das curvas
$C_{1}$ e $C_{2}$, orientadas no sentido anti-horário, onde:
$C_{1}$ é a circunferência de equação $x^{2}+y^{2}=4.$
$C_{2}$ é a fronteira do retângulo $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,-\pi \leq x \leq \pi,-3 \leq y \leq 3\}.$
$0.$
$0.$
Determine o campo vetorial gradiente de $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$\nabla f(x,y,z) = \dfrac{x\textbf{i} + y\textbf{j} + z \textbf{k}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}.$
Determine se ${\bf F}(x,y)=-y\,{\bf i}+x\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Não.
Considere o campo vetorial
$${\bf F}(x,y)=(\ln(y^{2}+1))\,{\bf i}+\bigg(\frac{2y(x-1)}{y^{2}+1}\bigg)\,{\bf j}.$$
Determine se $F$ é ou não um campo conservativo.
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial ${\bf F}$ ao mover uma partícula desde o ponto $(-1,1)$ até o ponto $(2,3).$
Sim.
$\ln(10) + 2\ln(2).$
Considere o campo vetorial
$${\bf F}(x,y)=(1+ye^{xy})\,{\bf i}+(2y+xe^{xy})\,{\bf j}.$$
Determine se ${\bf F}$ é ou não um campo conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para ${\bf F}.$
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial ${\bf F}$ ao mover uma partícula sobre a hipérbole $x^{2} - y^{2} = 1,$ desde o ponto $(3,-\sqrt{8})$ até o ponto $(3,\sqrt{8}).$
Sim. Função potencial: $f(x,y) = x + e^{xy} + y^{2}.$
$e^{3\sqrt{8}} - e^{-3\sqrt{8}}.$
Mostre que, se um campo vetorial ${\bf F}=P\,{\bf i}+Q\,{\bf j}+R\,{\bf k}$ é conservativo e $P$, $Q$, $R$ têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \,\,\,\,\,\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\,\,\,\,\,\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$$
Se $f$ é uma função potencial de $\mathbf{F},$ então $f_{x} = P,$ $f_{y} = Q$ e $f_{z} = R.$ Como $P, Q$ e $R$ possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então pelo Teorema de Clairaut, temos $f_{xy} = f_{yx},$ $f_{yz} = f_{zy}$ e $f_{xz} = f_{zx}.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}x^{2}\,dx+y^{2}\,dy+z^{2}\,dz$, onde $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$.
$\displaystyle \frac{2}{3}.$
Use o Teorema de Green para calcular $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$, onde $\mathbf{F}(x,y) = (2x+y)\mathbf{i} + (3x-y)\mathbf{j}$, $C$ é uma curva fechada, simples, $C^1$ por partes, orientada no sentido positivo, cuja imagem é a fronteira de um compacto $B$ com área $\alpha$. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
$2\times$(Área de $B$).
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf i}+(x-y)\,{\bf j}$, ${\bf r}(t)=(t,\sin t)$, $0\leq t\leq \pi.$
$\displaystyle \frac{\pi^{3}}{3} - 2.$
Calcule a integral de linha
$$\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=\int_{C}{\bf F}\cdot r'(t)\,dt$$
onde ${\bf F}=(2xyz^{3},x^{2}z^{3},3x^{2}yz^{2})$ e $C$ é a curva dada por $r(t)=(\sin^{6}t,1-\cos t, e^{t(t-\pi/2)}$, $0\leq t\leq \pi/2.$ (Dica: verifique se ${\bf F}$ é conservativo.)
$1.$
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x\,{\bf i}+(y+2)\,{\bf j}$ sobre um objeto que se move sobre um arco de cicloide ${\bf r}(t)=(t-\sin t)\,{\bf i}+(1-\cos t)\,{\bf j}$, $0\leq t\leq 2\pi.$
$2\pi^{2}.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y,z)=(yz,xz,xy+2y)$ e $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$
$-6.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y)=e^{x-1}\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$ e $C$ é dada por ${\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j}, 0\leq t\leq 1.$
$\displaystyle \frac{11}{8} - \frac{1}{e}.$
$$\int_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint\limits_{B}\bigg(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dxdy,$$
onde $B$ é o triângulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$ e $(1,1)$, $C$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário, $P(x,y)=x^{2}-y$ e $Q(x,y)=x^{2}+y.$
$\displaystyle \int_{C} P\,dx+Q\,dy = \dfrac{7}{6} = \iint\limits_{B}\bigg(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dxdy.$
Experiências mostram que uma corrente contínua $I$ em um fio comprido produz um campo magnético ${\bf B}$ que é tangente a qualquer círculo em um plano perpendicular ao fio cujo centro seja o eixo do fio (como na figura). A Lei de Ampère relaciona a corrente elétrica ao campo magnético criado e afirma que
$$\int_{C}{\bf B}\cdot d{\bf r}=\mu_{0}I,$$
onde $I$ é a corrente total que passa por qualquer superfície limitada por uma curva fechada $C$ e $\mu_{0}$ é uma constante, chamada permeabilidade no vácuo. Tomando $C$ como um círculo de raio $r$, mostre que o módulo $B=|{\bf B}|$ do campo magnético a uma distância $r$ do centro do fio é dado por
$$B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}.$$
Note que $\textbf{B}$ é tangente a qualquer círculo que está no plano perpendicular ao fio. Logo, $\textbf{B} = |\textbf{B}| \textbf{T},$ onde $\textbf{T}$ é a tangente unitária ao círculo $\textbf{C}$ parametrizado por $x = r \cos(\theta),$ $y = r \sin(\theta).$ Daí,
$\textbf{B} = |\textbf{B}| \left(-\sin(\theta),\cos(\theta) \right)$ e
$$\int_{C} \textbf{B} \cdot d\textbf{r} = \int_{0}^{2\pi} |\textbf{B}| \left( -\sin(\theta), \cos(\theta)\right)\cdot (\left(-r \sin(\theta), r\cos(\theta) \right) d\theta = 2\pi r |\textbf{B}|.$$
Mostre que a integral de linha $\int_{C}2x\,\sin y\,dx+(x^{2}\,\cos y-3y^{2})\,dy$, onde $C$ é qualquer caminho entre $(-1,0)$ a $(5,1)$, é independente do caminho e calcule a integral.
$\mathbf{F} (x,y) = 2x \sin(y) \mathbf{i} + x^{2} \cos(y) - 3y^{2} \bf j$ é um campo conservativo com uma função potencial $f(x,y) = x^{2} \sin(y) - y^{3};$ o valor da integral é $25 \sin(1) - 1.$
Calcule $\displaystyle\int_{(-1,0)}^{(1,0)}\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy$.
$\displaystyle \dfrac{\pi}{4} + \arctan\left( \dfrac{2}{3} \right).$
Um campo vetorial inverso do quadrado é da forma:
$${\bf F}({\bf r})=\frac{c{\bf r}}{|{\bf r}|^{3}}$$
para alguma constante $c$, onde ${\bf r}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$. Um exemplo de um campo inverso do quadrado é o campo gravitacional ${\bf F}=-(mMG){\bf r}/|{\bf r}|^{3}$. Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distância máxima de $1,52\times 10^{8}\,km$ do Sol) ao periélio (em uma distância mínima de $1,47\times 10^{8}\,km)$. (Use os valores $m=5,97\times 10^{24}\,kg$, $M=1,99\times 10^{30}\,kg$ e $G=6,67\times 10^{-11}\,N\cdot m^{2}/kg^{2}.$)
$\approx 1,77 \times 10^{35}$ J.
Determine se ${\bf F}(x,y,z)=\dfrac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf i}+\dfrac{y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf j}+\dfrac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Sim. $f(x,y,z) = -\dfrac{1}{2(x^2 + y^{2} +z^{2})} + K.$
Seja ${\bf F}(x,y)=(e^{x}\,\cos y+y, x-e^{x}\,\sin y)$. Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é o arco de circunferência que une o ponto $(-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ ao ponto $(1,0)$. Veja a figura abaixo.
Notemos que ${\bf F}$ é um campo vetorial conservativo, pois: ${\bf F}$ é definido em todo $\mathbb{R}^{2}$; $P(x,y)=e^{x}\,\cos y+y$ e $Q(x,y)=x-e^{x}\,\sin y$ possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas; $\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)=1-e^{x}\,\sin y=\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x,y).$
Sendo $F$ conservativo, existe $f$ tal que $\nabla f={\bf F}.$ Vamos encontrar $f$. Temos que
$$f_{x}(x,y)=P(x,y) \mbox{ e } f_{y}(x,y)=Q(x,y).$$
Então,
$$\label{(2)}f_{x}(x,y)=e^{x}\,\cos y+y\Rightarrow f(x,y)=e^{x}\,\cos y+y+g(y).$$
Logo, temos que
$$f_{y}(x,y)=-e^{x}\,\sin y+x+g'(y).$$
Como $f_{y}(x,y)=Q(x,y)$, obtemos que
$$-e^{x}\,\sin y+x+g'(y)=x-e^{x}\,\sin y\Rightarrow g'(y)=0\Rightarrow g(y)=C.$$
Assim, tomando $C=0$ segue que
$$f(x,y)=e^{x}\,\cos y+xy.$$
Do resultado acima e pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, temos que
$$\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=f(1,0)-f\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)=e-e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\,\cdot\cos\bigg(\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)+\frac{1}{2}.$$
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas para o caso em que $f(x,y) = 1$:
$$\iint\limits_{R} dxdy = \iint\limits_{R}\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\, dudv.$$
Aqui, $R$ é a região do plano $xy$ que corresponde à região $S$ do plano $uv$ sob a transformação dada por $x=g(u,v)$, $y=h(u,v)$. (Sugestão: observe que o lado esquerdo é $A(R)$. Converta a integral de linha sobre $\partial R$ para uma integral de linha sobre $\partial S$ e aplique o Teorema de Green no plano $uv$.)
Dica: pelo Teorema de Green, $A(R) = \displaystyle \iint_{R} dxdy = \int_{\partial R} x dy.$ Escolhendo a orientação positiva em $\partial S$ correspondente a orientação positiva em $\partial R,$ segue que
$$\displaystyle \int_{\partial R} x dy = \int_{\partial S} g(u,v) \dfrac{\partial h}{\partial u} du + g(u,v) \frac{\partial h}{\partial v} dv.$$
Conclua utilizando o Teorema de Green no plano $uv$ e a Regra da Cadeia.
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}dx+xy\,dy+z\,dz$, $C$ é a interseção de $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$ e $z\geq 0$, com o plano $y=x$; o sentido de percurso é do ponto $(0,0,\sqrt{2})$ para $(1,1,0).$
$\displaystyle \frac{1}{3}.$
Um homem pesando $160$ lb carrega uma lata de tinta de $25$ lb por uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de $20$ pés. Se o silo tem $90$ pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo. Além disso, $9$ lb de tinta vazam da lata de modo contínuo e uniforme durante a subida do homem. Quanto trabalho é realizado?
$16245$ ft-lb.
Demonstre que se $R$ é uma região no plano limitada por uma curva $C$ simples, fechada e suave por partes, então a área de $R$, denotada por $A(R)$, pode ser dada por
$$\oint_{C}x\, dy,$$
em que a curva está orientada no sentido positivo.
Temos que
$$A(R) = \iint\limits_{R} 1 \, dA.$$
A fim de utilizar o Teorema de Green, devemos encontrar funções $P$ e $Q$ que tenham derivadas de primeira ordem contínuas em um aberto que contenha a curva $C$ e o interior de $C$ e que satisfaçam a relação $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$. Observe que a curva $C$ já satisfaz as hipóteses desse teorema e $C$ é a fronteira de $R$. Um exemplo de funções $P$ e $Q$ é $P(x,y) = 0$ e $Q(x,y) = x$. Portanto, pelo Teorema de Green,
$$\iint\limits_{R} 1 \, dA = \oint_{C}0 \, dx + x\, dy = \oint_{C}x\, dy.$$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{4x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{4x^{2}+y^{2}}\,dy$, $C$ tem por imagem a elipse $4x^{2}+y^{2}=9$ e o sentido de percurso é o anti-horário.
$\displaystyle \pi.$
Calcule $\displaystyle \int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$, onde ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e $C: {\bf r}(t)=(t,1)$, $-1\leq t\leq 1.$ ( O ${\bf l}$ desempenha aqui o mesmo papel que ${\bf r}:{\bf l}(t)={\bf r}(t).$)
$0.$
Determine se ${\bf F}(x,y)=e^{x}\,\cos y\,{\bf i}+e^{x}\,\sin y\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$
Não.
Calcule $\int_{C}(x+y+z)\,dx+(x-2y+3z)\,dy+(2x+y-z)\,dz$, onde $C$ é a curva de $(0,0,0)$ a $(2,3,4)$ se
$C$ consiste em três segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo $x$, o segundo paralelo ao eixo $y$ e o terceiro paralelo ao eixo $z$.
$C$ consite em três segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo $z$, o segundo ao eixo $x$ e o terceiro paralelo ao eixo $y.$
$C$ é um segmento retilíneo.
$19.$
$35.$
$27.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}\,dx+\,dy$, onde $C$ é a poligonal de vértices $A_{0}=(0,0)$, $A_{1}=(1,2)$, $A_{2}=(-1,3)$, $A_{3}=(-2,1)$ e $A_{4}=(-1,-1)$, sendo $C$ orientada de $A_{0}$ para $A_{4}.$
$\displaystyle -2.$
Seja $D$ a região limitada por um caminho fechado e simples $C$ no plano $xy$. Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide $(\bar{x},\bar{y})$ de $D$ são
$$\bar{x} = \dfrac{1}{2A}\oint_{C}x^2 \, dy \quad \quad\quad\quad \bar{y} = -\dfrac{1}{2A}\oint_{C}y^2 \, dx,$$
em que $A$ é a área de $D$.
$\dfrac{1}{2A}\oint_{C}x^2 \, dy = \dfrac{1}{2A} \iint_{D} 2x \, dA = \bar{x}$ e $-\dfrac{1}{2A}\oint_{C}y^2 \, dx = -\dfrac{1}{2A}\iint_{D} (-2y) \, dA = \bar{y}$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xy\,dx+(x-y)\,dy$, $C$ consiste nos segmentos de reta de $(0,0)$ a $(2,0)$ e de $(2,0)$ a $(3,2).$
$\displaystyle \frac{17}{3}.$
Encontre um campo de vetores $\textbf{G} = P(x,y)\textbf{i} + Q(x,y)\textbf{j}$ no plano $xy$ com a propriedade de que, em qualquer ponto $(a,b) \neq (0,0)$, $\textbf{G}$ é um vetor de magnitude $\sqrt{x^2+y^2}$ tangente à circunferência $x^2+y^2=a^2+b^2$ e aponta no sentido horário. (O campo é indefinido em (0,0).)
$\displaystyle \textbf{G} = \frac{y \textbf{i} - x \textbf{j}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.$