1927

Determine o campo vetorial gradiente de $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

$\nabla f(x,y,z) = \dfrac{x\textbf{i} + y\textbf{j} + z \textbf{k}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}.$

2051

Determine se ${\bf F}(x,y)=y\,{\bf i}+x\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = xy + K.$

1946

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}2\,dx-dy$ , $C$ tem por imagem $x^{2}+y^{2}=4$ , $x\geq 0$ e $y\geq 0$ ; sentido de percurso é de $(2,0)$ para $(0,2).$

$\displaystyle -6.$

1952

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$

${\bf F}(x,y,z)=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ , ${\bf r}(t)=(\cos t,\sin t,t)$ , $0\leq t\leq 2\pi.$

$2\pi^{2}.$

2010

Um homem pesando $160$ lb carrega uma lata de tinta de $25$ lb por uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de $20$ pés. Se o silo tem $90$ pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a gravidade para subir ao topo?

$16650$ ft-lb.

3068

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}\sqrt[3]{x}\,dx+\dfrac{dy}{1+y^{2}}$ , onde $C$ é a curva na figura abaixo.

$0.$

2050

Determine se o conjunto

$\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}\leq 1\,$ ou\,

$4\leq x^{2}+y^{2}\leq 9\}$ é ou não:

aberto;
conexo; e
simplesmente conexo.

Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}\leq 1\,$ ou\, $4\leq x^{2}+y^{2}\leq 9\}$ consiste dos pontos que estão sobre ou dentro do círculo $x^{2}+y^{2}\leq 1$ juntamente com os pontos que estão em ou entre os círculos $x^{2}+y^{2}=4$ e $x^{2}+y^{2}=9$ .

$D$ não é aberto pois qualquer disco centrado em $(0,1)$ contém pontos que não estão em $D$ .
$D$ não é conexo pois não existe um caminho em $D$ conectando, por exemplo, os pontos $(1,0)$ e $(2,0)$ .
$D$ não é simplesmente conexo porque possui um buraco. Com efeito, a região delimitada pela curva simples e fechada $x^2+y^2=(5/2)^2$ , contém pontos que não pertencem a $D$ , por exemplo, o ponto $(0,3/2)$ .

2173

Calcule o trabalho realizado pela força $\mathbf{F}(x,y) = xy\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}$ ao mover uma partícula da origem ao longo da reta $y=x$ até $(1,1)$ e então de volta à origem ao longo da curva $y=x^2$ .

$\dfrac{1}{12}.$

2089

Calcule $\int_{C}2x\,\cos y\,dx-x^{2}\,\sin y\,dy$ ao longo dos caminhos $C$ a seguir no plano $xy.$

A parabóla $y=(x-1)^{2}$ de $(1,0)$ a $(0,1).$
O segmento de reta de $(-1,\pi)$ a $(1,0).$
O eixo $x$ de $(-1,0)$ a $(1,0).$
O astróide ${\bf r}(t)=(\cos^{3} t)\,{\bf i}+(\sin^{3}t)\,{\bf j}$ , $0\leq t\leq 2\pi$ , no sentido anti-horário de $(1,0)$ de volta a $(1,0).$

$-1.$
$2.$
$0.$
$0.$

2090

Considere o campo

${\bf F}(x,y,z)=(e^{z},2yz, xe^{z}+y^{2}).$

Verifique se o campo ${\bf F}$ é conservativo.
Se ${\bf F}$ for conservativo, calcule $f(x,y,z)$ tal que $\nabla f={\bf F}.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ onde $C$ é dada por $r(t)=(\cos t, \sin t, t)$ , $0\leq t\leq 2\pi.$

Sim.

$f(x,y) = x e^{z} + y^{2} z.$

$e^{2\pi} - 1.$

1935

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}xy\,dx+(x-y)\,dy$ , $C$ consiste nos segmentos de reta de $(0,0)$ a $(2,0)$ e de $(2,0)$ a $(3,2).$

$\displaystyle \frac{17}{3}.$

2088

Calcule $\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$ onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida no semiplano $y>0$ , tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(-2,3).$

$\pi.$

2058

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=\dfrac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf i}+\dfrac{y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf j}+\dfrac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = -\dfrac{1}{2(x^2 + y^{2} +z^{2})} + K.$

2006

Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x\,{\bf i}+(y+2)\,{\bf j}$ sobre um objeto que se move sobre um arco de cicloide ${\bf r}(t)=(t-\sin t)\,{\bf i}+(1-\cos t)\,{\bf j}$ , $0\leq t\leq 2\pi.$

$2\pi^{2}.$

1959

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde ${\bf F}(x,y)=(y,3x)$ e $C$ é a elipse $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , percorrida no sentido anti-horário.

$-2\pi ab.$

2165

Use o Teorema de Green para calcular $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ , onde $\mathbf{F}(x,y) = (e^x+x^2y,e^y-xy^2)$ , $C$ é a circunferência $x^2+y^2=25$ , orientada no sentido horário. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)

$\dfrac{625\pi}{2}.$

2091

Calcule a integral de linha

$\int_{C}e^{2y}\,dx+(1+2xe^{2y})\,dy,$

onde $C$ é a curva dada por $r(t)=(te^{t},1+\sin(\pi t/2))$ , $0\leq t\leq 1.$ (Sugestão: verifique se o campo é conservativo.)

$e^{5} + 1.$

1999

Calcule o trabalho realizado por uma partícula andando sobre a espiral dada por $C:\,x=t\,\cos t$ , $y=t\,\sin t$ , com $0\leq t\leq 2\pi$ , sob a ação do campo ${\bf F}(x,y)=(x,y)$ , ou seja, calcule a integral $\int_{C}x\,dx+y\,dy.$

$2\pi^{2}.$

2062

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=e^{y+2z}({\bf i}+x\,{\bf j}+2x\,{\bf k})$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = xe^{y + 2z} + K.$

2064

Dados ${\bf F}(x,y)=xy^{2}\,{\bf i}+x^{2}y\,{\bf j}$ , $C: {\bf r}(t)=(t+\sin\frac{1}{2}\pi t, t+\cos \frac{1}{2}\pi t)$ , $0\leq t\leq 1.$

Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$ .
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

$f(x,y) = \dfrac{x^{2}y^{2}}{2};$
$2.$

1964

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}x^{2}\,dx+y^{2}\,dy+z^{2}\,dz$ , onde $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$ .

$\displaystyle \frac{2}{3}.$

1965

Verifique que

$\int_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint\limits_{B}\bigg(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dxdy,$

onde $B$ é o triângulo de vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ e $(1,1)$ , $C$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário, $P(x,y)=x^{2}-y$ e $Q(x,y)=x^{2}+y.$

$\displaystyle \int_{C} P\,dx+Q\,dy = \dfrac{7}{6} = \iint\limits_{B}\bigg(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dxdy.$

2102

Seja ${\bf F}=\nabla f$ , onde $f(x,y)=\sin(x-2y)$ . Determine curvas $C_{1}$ e $C_{2}$ que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.

$\displaystyle\int_{C_{1}}{\bf F}\cdot d{\bf r}=0$
$\displaystyle\int_{C_{2}}{\bf F}\cdot d{\bf r}=1$

$\mathbf{r}(t) = \pi t \mathbf{i} + \pi t \mathbf{j},$ $0 \leq t \leq 1.$
$\mathbf{r}(t) = \dfrac{\pi}{2} t \mathbf{i},$ $0 \leq t \leq 1.$

2180

Se $\mathbf{F}(x,y) = (-y\mathbf{i} + x\mathbf{j})/(x^2+y^2)$ , mostre que $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$ para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e nem a circunde.

Dica: como $C$ é um caminho fechado simples que não passa pela origem e não circunda a origem, então existe uma região aberta $A$ que ainda não contém a origem, mas contém $D,$ a região limitada por $C.$ Em $A,$ tanto $-y/(x^{2} + y^{2})$ quanto $x/(x^{2} + y^{2})$ possuem derivadas parciais contínuas e podemos aplicar o Teorema de Green.

1957

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$

${\bf F}(x,y)=(e^{-y}-2x,-xe^{-y}-\sin y)$ , ${\bf r}(t)=(t,\tan t)$ , $0\leq t\leq \pi/4.$

$\displaystyle \cos(1) - \frac{\pi}{4}e^{-1} - \frac{\pi^{2}}{16} - 1.$

2178

Seja $D$ a região limitada por um caminho fechado e simples $C$ no plano $xy$ . Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide $(\bar{x},\bar{y})$ de $D$ são

$\bar{x} = \dfrac{1}{2A}\oint_{C}x^2 \, dy \quad \quad\quad\quad \bar{y} = -\dfrac{1}{2A}\oint_{C}y^2 \, dx,$

em que $A$ é a área de $D$ .

$\dfrac{1}{2A}\oint_{C}x^2 \, dy = \dfrac{1}{2A} \iint_{D} 2x \, dA = \bar{x}$ e $-\dfrac{1}{2A}\oint_{C}y^2 \, dx = -\dfrac{1}{2A}\iint_{D} (-2y) \, dA = \bar{y}$

2059

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = \dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2} + K.$

2012

Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre um partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência $x^{2}+y^{2}=1.$
Isso também é verdadeiro para um campo de força ${\bf F}({\bf x})=k{\bf x}$ , onde $k$ é uma constante e $\textbf{x}=x{\bf i}+y{\bf j}$ ?

Dica: tome a parametrização do círculo $C$ dada por $x = cos(t)$ e $y = \sin(t),$ com $t \in [0,2\pi]$ e considere um campo constante arbitrário ${\bf F} = (a,b).$ Segue que $W = \int_{C} F\cdot d\textbf{r} = 0.$
Sim. Realize o mesmo cálculo com ${\bf F}(x,y) = (k x, ky).$

1951

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$

${\bf F}(x,y,z)=\sin{x}\,{\bf i}+\cos{y}\,{\bf j}+xz\,{\bf k}$ , ${\bf r}(t)=t^{3}\,{\bf i}-t^{2}\,{\bf j}+t\,{\bf k}$ , $0\leq t\leq 1.$

$\dfrac{6}{5} - \cos(1) - \sin(1).$

2013

Calcule $\displaystyle \int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$ , onde ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e $C: {\bf r}(t)=(t,1)$ , $-1\leq t\leq 1.$ ( O ${\bf l}$ desempenha aqui o mesmo papel que ${\bf r}:{\bf l}(t)={\bf r}(t).$ )

$0.$

1926

Determine o campo vetorial gradiente de $f(x,y) = \ln(x + 2y)$ .

$\nabla f(x,y) = \dfrac{\textbf{i} + 2\textbf{j}}{x + 2y}.$

2097

Mostre que a integral de linha $\int_{C}2x\,\sin y\,dx+(x^{2}\,\cos y-3y^{2})\,dy$ , onde $C$ é qualquer caminho entre $(-1,0)$ a $(5,1)$ , é independente do caminho e calcule a integral.

$\mathbf{F} (x,y) = 2x \sin(y) \mathbf{i} + x^{2} \cos(y) - 3y^{2} \bf j$ é um campo conservativo com uma função potencial $f(x,y) = x^{2} \sin(y) - y^{3};$ o valor da integral é $25 \sin(1) - 1.$

1954

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$

${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf j}$ , ${\bf r}(t)=(t^{2},3)$ , $-1\leq t\leq 1.$

$0.$

2011

Um homem pesando $160$ lb carrega uma lata de tinta de $25$ lb por uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de $20$ pés. Se o silo tem $90$ pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo. Além disso, $9$ lb de tinta vazam da lata de modo contínuo e uniforme durante a subida do homem. Quanto trabalho é realizado?

$16245$ ft-lb.

2066

Dados ${\bf F}(x,y,z)=y^{2}\,\cos z\,{\bf i}+2xy\,\cos z\,{\bf j}-xy^{2}\,\sin z\,{\bf k}$ , $C: {\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+\sin t\,{\bf j}+t\,{\bf k}$ , $0\leq t\leq \pi.$

Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$ .
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

$f(x,y,z) = xy^{2} \cos(z);$
$0.$

3060

Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= \dfrac{y\textbf{i} - x\textbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$ , desenhando um diagrama.

2061

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=(y\,\sin z)\,{\bf i}+(x\,\sin z)\,{\bf j}+(xy\,\cos z)\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = xy\sin(z) + K.$

2004

Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência $x^{2}+y^{2}=4$ , $x\geq 0$ . Se a densidade linear for uma constante $k$ , determine a massa e o centro de massa do arame.

Massa: $k2\pi;$ centro de massa: $\displaystyle \left( \frac{4}{\pi},0 \right).$

1928

Encontre um campo de vetores $\textbf{G} = P(x,y)\textbf{i} + Q(x,y)\textbf{j}$ no plano $xy$ com a propriedade de que, em qualquer ponto $(a,b) \neq (0,0)$ , $\textbf{G}$ é um vetor de magnitude $\sqrt{x^2+y^2}$ tangente à circunferência $x^2+y^2=a^2+b^2$ e aponta no sentido horário. (O campo é indefinido em (0,0).)

$\displaystyle \textbf{G} = \frac{y \textbf{i} - x \textbf{j}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.$

2047

Determine se o conjunto $\{(x,y)|\,x>0,\,y>0\}$ é ou não:

aberto;
conexo; e
simplesmente conexo.

Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x>0,\,y>0\}$ representa o primeiro quadrante, excluindo os eixos. Então:

$D$ é aberto, pois em torno de cada ponto em $D$ , podemos colocar um disco que se encontra em $D.$
$D$ é conexo, pois o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de $D$ encontra-se em $D.$
$D$ é simplesmente conexo, pois ele é conexo e não tem buracos.

2009

Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y,z)=(y+z)\,{\bf i}+(x+z)\,{\bf j}+(x+y)\,{\bf k}$ sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta $(1,0,0)$ a $(3,4,2).$

$26.$

1939

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}x\,dx+y\,dy+z\,dz$ , $C$ é o segmento de extremidades $(0,0,0)$ e $(1,2,1)$ , percorrido no sentido de $(1,2,1)$ para $(0,0,0).$

$-3.$

3061

Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= y\textbf{i} + \dfrac{1}{2}\textbf{j}$ , desenhando um diagrama.

2085

Calcule $\displaystyle\int_{(-1,0)}^{(1,0)}\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy$ .

$\displaystyle \dfrac{\pi}{4} + \arctan\left( \dfrac{2}{3} \right).$

3131

Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças $\displaystyle\mathbf{F}(x,y)=\sqrt{y}\textbf{i}+\sqrt{x}\textbf{j}$ sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido anti-horário, a curva fechada dada pelas equações $y=0$ , $x=2$ e $y=x^3/4$ .

2092

Calcule a integral de linha

$\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=\int_{C}{\bf F}\cdot r'(t)\,dt$

onde ${\bf F}=(2xyz^{3},x^{2}z^{3},3x^{2}yz^{2})$ e $C$ é a curva dada por $r(t)=(\sin^{6}t,1-\cos t, e^{t(t-\pi/2)}$ , $0\leq t\leq \pi/2.$ (Dica: verifique se ${\bf F}$ é conservativo.)

$1.$

1950

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$

${\bf F}(x,y,z)=(x+y)\,{\bf i}+(y-z)\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$ , ${\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j}+t^{2}\,{\bf k}$ , $0\leq t\leq 1.$

$\dfrac{17}{15}.$

3065

As linhas de escoamento (ou linhas de corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetorial são tangentes a suas linhas de escoamento.

Use um esboço do campo vetorial $\textbf{F}(x,y) = x\textbf{i} - y\textbf{j}$ para desenhar algumas linhas de escoamento. Desses seus esboços é possível descobrir qual é a equação das linhas de escoamento?
Se as equações paramétricas de uma linha de escoamento são $x=x(t)$ e $y=y(t)$ , explique por que essas funções satisfazem as equações diferenciais $dx/dt = x$ e $dy/dt = -y$ . Resolva então as equações de forma a obter uma equação da linha de escoamento que passe pelo ponto $(1,1)$ .

2104

Seja ${\bf F}(x,y)=\dfrac{-y\,{\bf i}+x\,{\bf j}}{x^{2}+y^{2}}.$

Mostre que $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}.$
Mostre que $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ não é independente do caminho. [Sugestão: calcule $\int_{C_{1}}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ e $\int_{C_{2}}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C_{1}$ e $C_{2}$ são as metades superior e inferior do círculo $x^{2}+y^{2}=1$ de $(1,0)$ a $(-1,0)$ .] Isso contraria o Teorema 6 (Seção 16.3 do Livro do James Stewart)?

$\dfrac{\partial P}{\partial y}= \dfrac{y^{2} - x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}.$
Tome $C_{1}$ a curva parametrizada por $\mathbf{r_{1}}(t) = (\cos(t), \sin(t)),$ $0 \leq t \leq \pi$ e $C_{2}$ a curva parametrizada por $\mathbf{r_{2}}(t) = (\cos(t), \sin(t)),$ de $t = 2\pi$ a $t = \pi.$ Segue que $\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \pi \neq -\pi = \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.$ Como o domínio de $\mathbf{F}$ é $\mathbb{R}^{2} \setminus \left\lbrace (0,0) \right\rbrace$ que não é simplesmente conexo, o resultado não contradiz o Teorema 6.

2171

Determine o trabalho $W = \int_{C}\mathbf{F}\cdot\, d\mathbf{r}$ realizado pelo campo de força

$\mathbf{F}(x,y) = x\mathbf{i} + (x^3 + 3xy^2)\mathbf{j}$

em uma partícula que inicialmente está no ponto $(-2,0)$ , se move ao longo do eixo $x$ para $(2,0)$ e então se move ao longo da semicircunferência $y = \sqrt{4-x^2}$ até o ponto inicial.

$12\pi.$

3069

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde ${\bf F}(x,y)=(x+y^{2})\,{\bf j}$ e $C$ é a curva da figura abaixo.

$4.$

3059

Esboce o campo vetorial $\textbf{F}=\dfrac{1}{2}(\textbf{i} + \textbf{j})$ , desenhando um diagrama.

2179

Seja $D$ a região limitada por um caminho fechado e simples $C$ no plano $xy$ . As coordenadas do centroide $(\bar{x},\bar{y})$ de $D$ são

$\bar{x} = \dfrac{1}{2A}\oint_{C}x^2 \, dy \quad \quad\quad\quad \bar{y} = -\dfrac{1}{2A}\oint_{C}y^2 \, dx,$

em que $A$ é a área de $D$ . Encontre o centroide de um quarto de uma região circular de raio $a$ .

$\displaystyle \left(\frac{4a}{3\pi},\frac{4a}{3\pi} \right),$ se a região for a parte do disco $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ no primeiro quadrante.

1962

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}\,dx+\,dy$ , onde $C$ é a poligonal de vértices $A_{0}=(0,0)$ , $A_{1}=(1,2)$ , $A_{2}=(-1,3)$ , $A_{3}=(-2,1)$ e $A_{4}=(-1,-1)$ , sendo $C$ orientada de $A_{0}$ para $A_{4}.$

$\displaystyle -2.$

3066

Esboce o campo vetorial $\textbf{F}(x,y) = \textbf{i} + x\textbf{j}$ e algumas linhas de escoamento. Qual é o formato que essas linhas de escoamento parecem ter?
Se as equações paramétricas das linhas de escoamento são $x=x(t)$ e $y=y(t)$ , que equações diferenciais essas funções satisfazem? Deduza que $dy/dx = x$ .
Se uma partícula está na origem no instante inicial e o campo de velocidade é dado por $\textbf{F}$ , determine uma equação para a trajetória percorrida por ela.

2174

Calcule a área da região $R$ delimitada pela cardioide $\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t))$ , em que $x(t) = 2\cos{t}-\cos{2t}$ e $y(t) = 2\sin{t}-\sin{2t}$ , $t \in [0,2\pi]$ .

$6\pi.$

3057

Faça uma correspondência entre as funções $f$ e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I-IV). Justifique.

$f(x,y) = x^2+y^2$
$f(x,y) = (x+y)^2$ .
$f(x,y) = x(x+y)$ .
$f(x,y) = \sin{\sqrt{x^2+y^2}}$ .

I

II

III

IV

III.
IV.
II.
I.

1966

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde ${\bf F}(x,y)=e^{x-1}\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$ e $C$ é dada por ${\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j}, 0\leq t\leq 1.$

$\displaystyle \frac{11}{8} - \frac{1}{e}.$

3043

Calcule

$\oint_{C} \dfrac{-y}{x^2+y^2} \, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2} \, dy,$

em que $C$ é a curva

Podemos escrever $C$ como $C_1 \cup C_2$ , em que $C_1$ e $C_2$ são as curvas dadas abaixo.

Seja $A$ um aberto simplesmente conexo que contém $C_1$ e não contém a origem. O campo $\mathbf{F}$ restrito a $A$ é conservativo, pois $A$ é aberto e simplesmente conexo, $P(x,y) = \dfrac{-y}{x^2 + y^2}$ e $Q(x,y) = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$ possuem derivadas de primeira ordem contínuas em $A$ e $P$ e $Q$ satisfazem a relação $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ . Então,
$\oint_{C_1}\mathbf{F} \cdot\, d\mathbf{r} = 0.$
Não podemos proceder de maneira análoga em $C_2$ , já que todo aberto $B$ que contém a curva $C_2$ e não contém a origem não será simplesmente conexo. Com isso, não conseguimos garantir que o campo $\mathbf{F}$ restrito a $B$ é conservativo (observe que, a princípio, não podemos afirmar que o campo é não conservativo).
A ideia para contornar esse problema é ``isolar" a origem com uma curva fechada $C_3$ , a princípio arbitrária. Vamos escolher essa curva $C_3$ de maneira conveniente para que consigamos resolver o problema. Seja $\varepsilon > 0$ pequeno o suficiente para que a curva $C_3$ parametrizada por $r(t) = (\varepsilon \cos{t}, \varepsilon \sin{t})$ , com $t$ variando de $2\pi$ a $0$ , não intercepte a curva $C_2$ e esteja entre a curva $C_2$ e a origem.

Considere $D_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x,y) \mbox{ está entre } C_2 \mbox{ e } C_3 \mbox{ e } y \geq 0\}$ e $D_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x,y) \mbox{ está entre } C_2 \mbox{ e } C_3 \mbox{ e } y \leq 0\}$ . As curvas que delimitam $D_1$ e $D_2$ são $C_{D_1}= C_{2}^+\cup C_{a}\cup C_{3}^+\cup C_{b}$ e $C_{D_2}=C_{2}^-\cup -C_{b}\cup C_{3}^- \cup -C_{a}$ , respectivamente, e estão ilustradas a seguir.

Note que
$\oint_{C_{D_1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C^+_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_a} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^+_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \qquad (\star)$
e
$\oint_{C_{D_2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C^-_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{-C_a} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^-_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{-C_b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \qquad (\star \star).$
Como $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ , temos, pelo Teorema de Green,
$\displaystyle\oint_{C_{D_1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_{D_1} 0 \, dA = 0$
e
$\displaystyle\oint_{C_{D_2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_{D_2} 0 \, dA = 0.$
Somando as equações ( $\star$ ) e ( $\star \star$ ), obtemos
$\int_{C^+_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^+_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^-_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C^-_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0,$
isto é,
$\int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\int_{C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{-C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.$
Assim, basta determinar $\int_{-C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ . A parametrização de $-C_3$ é $r(t) = (\varepsilon \cos{t}, \varepsilon \sin{t})$ , com $t$ variando de $0$ a $2\pi$ . Daí,
$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-C_3} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\frac{-\varepsilon \sin{t}}{\varepsilon^2},\frac{\varepsilon \cos{t}}{\varepsilon^2}\right) \cdot (-\varepsilon \sin{t}, \varepsilon \cos{t}) \, dt \\& = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi.\end{array}$
Portanto,
$\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \oint_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0 + 2\pi = 2\pi.$

2167

Use o Teorema de Green para calcular $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ , onde $\mathbf{F}(x,y) = 4x^3y^3\mathbf{i} + (3x^4y^2+5x)\mathbf{j}$ , $C$ é a fronteira do quadrado de vértices $(-1,0)$ , $(0,-1)$ , $(1,0)$ e $(0,1)$ . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)

$10.$

1967

Seja $C: {\bf r}(t)=(R\,\cos t, R\,\sin t)$ , $0\leq t \leq 2\pi$ \, $(R>0).$ Mostre que

$\int_{C}\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$

não depende de $R.$

Note que o valor da integral é $2\pi,$ independente de $R.$

2093

Seja

${\bf F}(x,y)=\bigg(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+3y\bigg)$

um campo vetorial em $\mathbb{R}^{2}$ . Calcule a integral de linha do campo ${\bf F}$ ao longo das curvas

$C_{1}$ e $C_{2}$ , orientadas no sentido anti-horário, onde:

$C_{1}$ é a circunferência de equação $x^{2}+y^{2}=4.$
$C_{2}$ é a fronteira do retângulo $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,-\pi \leq x \leq \pi,-3 \leq y \leq 3\}.$

$0.$
$0.$

2057

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=(x-y)\,{\bf i}+(x+y+z)\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Não.

2176

Calcule a área da região limitada pela astroide $x=\cos^3{t}$ , $y = \sin^3{t}$ , $0 \leq t \leq 2\pi$ .

$\dfrac{3\pi}{8}.$

2087

Calcule $\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$ , onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida no conjunto $\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}| y>0\}\cup\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,x<0\}$ , tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(-1,-1).$

$0.$

2160

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. $\displaystyle\int_{C}e^y \, dx + 2xe^y \, dy$ , $C$ é o quadrado de lados $x=0$ , $x=1$ , $y=0$ e $y=1$ .

$e - 1.$

3064

Determine o campo vetorial gradiente $\nabla f$ de $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ e o esboce.

3071

Seja ${\bf F}(x,y)=(e^{x}\,\cos y+y, x-e^{x}\,\sin y)$ . Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é o arco de circunferência que une o ponto $(-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ ao ponto $(1,0)$ . Veja a figura abaixo.

Notemos que ${\bf F}$ é um campo vetorial conservativo, pois: ${\bf F}$ é definido em todo $\mathbb{R}^{2}$ ; $P(x,y)=e^{x}\,\cos y+y$ e $Q(x,y)=x-e^{x}\,\sin y$ possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas; $\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)=1-e^{x}\,\sin y=\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x,y).$

Sendo $F$ conservativo, existe $f$ tal que $\nabla f={\bf F}.$ Vamos encontrar $f$ . Temos que

$f_{x}(x,y)=P(x,y) \mbox{ e } f_{y}(x,y)=Q(x,y).$

Então,

$\label{(2)}f_{x}(x,y)=e^{x}\,\cos y+y\Rightarrow f(x,y)=e^{x}\,\cos y+y+g(y).$

Logo, temos que

$f_{y}(x,y)=-e^{x}\,\sin y+x+g'(y).$

Como $f_{y}(x,y)=Q(x,y)$ , obtemos que

$-e^{x}\,\sin y+x+g'(y)=x-e^{x}\,\sin y\Rightarrow g'(y)=0\Rightarrow g(y)=C.$

Assim, tomando $C=0$ segue que

$f(x,y)=e^{x}\,\cos y+xy.$

Do resultado acima e pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, temos que

$\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=f(1,0)-f\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)=e-e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\,\cdot\cos\bigg(\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)+\frac{1}{2}.$

1929

Uma partícula se move em um campo de velocidade $\textbf{V}(x,y) = (x^2,x+y^2)$ . Se ela está na posição $(2,1)$ no instante $t=3$ , estime sua posição no instante $t=3,01$ .

$(2,04;1,03).$

2095

Seja ${\bf F}:\Omega\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ contínuo no aberto $\Omega$ . Prove que uma condição necessária para que ${\bf F}$ seja

conservativo é que $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=0$ para toda curva $C$ fechada, de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida em $\Omega.$

Se $C$ é uma curva fechada em $\Omega$ parametrizada por $\mathbf{r}(t),$ com $a \leq t \leq b,$ $\mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b)$ e $\mathbf{F} = \nabla f,$ então $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r} = f(\mathbf{r}(a)) - f(\mathbf{r}(b)) = 0.$

1953

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$

${\bf F}(x,y,z)=(x+y+z)\,{\bf k}$ , ${\bf r}(t)=(t,t,-t^{2})$ , $0\leq t\leq 1.$

$-\dfrac{11}{6}.$

2107

Um campo vetorial inverso do quadrado é da forma:

${\bf F}({\bf r})=\frac{c{\bf r}}{|{\bf r}|^{3}}$

para alguma constante $c$ , onde ${\bf r}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ . Um exemplo de campo inverso do quadrado é o campo elétrico ${\bf F}=\epsilon q Q{\bf r}/|{\bf r}|^{3}$ . Suponha que um elétron com carga de $-1,6\times 10^{-19}\, C$ esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à distância de $10^{-12}\,m$ do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron. Determine o trabalho realizado pelo campo elétrico. (Use o valor $\epsilon=8,985\times 10^{9}$ .)

$\approx 1,4 \times 10^{4}$ J.

1949

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$

${\bf F}(x,y)=xy\,{\bf i}+3y^{2}\,{\bf j}$ , ${\bf r}(t)=11t^{4}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j}$ , $0\leq t\leq 1.$

$45.$

3058

Esboce o campo vetorial ${\bf F}(x,y)=(x-y)\textbf{i} + x \textbf{j}$ , desenhando um diagrama.

2014

Seja ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e seja $C$ a curva dada por $x=t$ e $y=1-t^{4}$ , $-1\leq t\leq 1.$

Que valor é razoável esperar para $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$ ? Por quê? (O ${\bf l}$ desempenha aqui o mesmo papel que ${\bf r}:{\bf l}(t)={\bf r}(t).$ )
Calcule $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}.$

$0.$

2099

Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=2y^{3/2}\,{\bf i}+3x\sqrt{y}\,{\bf j}$ ao mover um objeto de $P(1,1)$ a $Q(2,4).$

$30.$

1958

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde ${\bf F}(x,y,z)=(yz,xz,xy+2y)$ e $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$

$-6.$

2096

Seja $\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,(x,y)\notin A\}$ , onde $A$ é a semirreta $\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,y=0\,e\,x\geq 0\}$ . Calcule

$\int_{C}\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy,$

onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida em $\Omega$ , tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(1,-1).$

$\dfrac{3\pi}{2}.$

2065

Dados ${\bf F}(x,y,z)=yz\,{\bf i}+xz\,{\bf j}+(xy+2z)\,{\bf k}$ , $C$ é o segmento de reta de $(1,0,-2)$ a $(4,6,3).$

Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$ .
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

$f(x,y,z) = xyz + z^{2};$
$77.$

2048

Determine se o conjunto

$\{(x,y)|\,x\neq 0\}$ é ou não:

aberto;
conexo; e
simplesmente conexo.

Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x\neq 0\}$ consiste de todos os pontos, exceto para aqueles que encontram-se sobre o eixo y. Então:

$D$ é aberto.
Os pontos em lados opostos do eixo $y$ não podem ser conectados por um caminho que se encontra totalmente em $D$ , então $D$ não é conexo.
$D$ não é simplesmente conexo, pois não é conexo.

3044

Calcule a área sob um arco da cicloide $x = t-\sin{t}$ , $y = 1-\cos{t}$ .

Queremos determinar a área da região $R$ mostrada na figura abaixo.

Sabemos que, se $y = f(x)$ , então a integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$ calcula a área que está abaixo do gráfico de $f$ e acima do eixo $x$ , com $x$ variando entre $a$ e $b$ . A princípio, poderíamos tentar encontrar uma expressão que relacionasse $x(t)$ e $y(t)$ na parametrização da cicloide, mas esse parece ser um trabalho difícil. Usaremos então o que foi provado no exercício anterior. Temos que
$A(R) = \oint_{C}x\, dy,$
em que $C = C_1 \cup C_2$ é a curva descrita na figura a seguir.

Uma parametrização de $C_1$ é $r_1(t) = (x_1(t),y_1(t)) = (t,0)$ , em que $0 \leq t \leq 2\pi$ . Nesse caso, $y_1'(t) = 0$ . Logo,
$\oint_{C_1}x\, dy = \int_{0}^{2\pi}(t)(0)\, dt = 0.$
Uma parametrização de $C_2$ é $r_2(t) = (x_2(t),y_2(t)) = (t-\sin{t},1-\cos{t})$ , em que $t$ varia de $2\pi$ a $0$ . Nesse caso, $y_2'(t) = \sin{t}$ . Logo,
$\begin{array}{rcl}\displaystyle \oint_{C_2}x\, dy & = & \displaystyle \int_{2\pi}^{0}(t-\sin{t}) (\sin{t})\, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi}(\sin^2{t} - t\sin{t}) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2t)}{2}\, dt - \int_{0}^{2\pi}t\sin{t} \, dt \\ & = & \pi + 2\pi = 3\pi.\end{array}$
Portanto, a área da região é $3\pi$ .
(Observe que, para resolver a integral $\int_{0}^{2\pi}t\sin{t} \, dt$ , usamos integração por partes com $u=t$ e $dv=\sin{t}\,dt$ .)

2055

Determine se ${\bf F}(x,y)=(e^{x}\,\sin y)\,{\bf i}+(e^{x}\,\cos y)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = e^{x}\sin(y) + K.$

1933

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}x\,dx-y\,dy$ , $C$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$ , percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3).$

$\displaystyle -\frac{5}{2}.$

2005

Se um arame com densidade linear $\rho(x,y)$ está sobre uma curva plana $C$ , seus momentos de inércia em relação aos eixos $x$ e $y$ são definidos por

$I_{x}=\int_{C}y^{2}\rho(x,y)\,ds I_{y}=\int_{C}x^{2}\rho(x,y)\,ds.$

Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de um semicírculo $x^{2}+y^{2}=1$ , $y\geq 0$ , que é mais grosso perto da base do que perto do topo, se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta $y=1.$

$I_{x} = k\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{3} \right)$ e $I_{y} = k\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{2}{3} \right).$

3070

Experiências mostram que uma corrente contínua $I$ em um fio comprido produz um campo magnético ${\bf B}$ que é tangente a qualquer círculo em um plano perpendicular ao fio cujo centro seja o eixo do fio (como na figura). A Lei de Ampère relaciona a corrente elétrica ao campo magnético criado e afirma que

$\int_{C}{\bf B}\cdot d{\bf r}=\mu_{0}I,$
onde $I$ é a corrente total que passa por qualquer superfície limitada por uma curva fechada $C$ e $\mu_{0}$ é uma constante, chamada permeabilidade no vácuo. Tomando $C$ como um círculo de raio $r$ , mostre que o módulo $B=|{\bf B}|$ do campo magnético a uma distância $r$ do centro do fio é dado por
$B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}.$

Note que $\textbf{B}$ é tangente a qualquer círculo que está no plano perpendicular ao fio. Logo, $\textbf{B} = |\textbf{B}| \textbf{T},$ onde $\textbf{T}$ é a tangente unitária ao círculo $\textbf{C}$ parametrizado por $x = r \cos(\theta),$ $y = r \sin(\theta).$ Daí,
$\textbf{B} = |\textbf{B}| \left(-\sin(\theta),\cos(\theta) \right)$ e
$\int_{C} \textbf{B} \cdot d\textbf{r} = \int_{0}^{2\pi} |\textbf{B}| \left( -\sin(\theta), \cos(\theta)\right)\cdot (\left(-r \sin(\theta), r\cos(\theta) \right) d\theta = 2\pi r |\textbf{B}|.$

2000

Calcule o trabalho realizado pela força ${\bf F}(x,y)=xy\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}$ ao mover uma partícula da origem ao longo da reta $y=x$ até $(1,1)$ e então de volta à origem ao longo da curva $y=x^{2}.$

$\dfrac{1}{12}.$

2161

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. $\displaystyle\int_{C}(y+e^{\sqrt{x}}) \, dx + (2x+\cos{y^2}) \, dy$ , $C$ é a fronteira da região englobada pelas parábolas $y=x^2$ e $x=y^2$ .

$\dfrac{1}{3}.$

2172

Calcule $\int_{C}\mathbf{F}\cdot\, d\mathbf{r}$ , em que

$\mathbf{F}(x,y) = (x^2+y)\mathbf{i} + (3x-y^2)\mathbf{j}$

e $C$ é a fronteira orientada positivamente de uma região $D$ que tem área 6.

$12.$

2101

Considere o campo vetorial

${\bf F}(x,y)=(1+ye^{xy})\,{\bf i}+(2y+xe^{xy})\,{\bf j}.$

Determine se ${\bf F}$ é ou não um campo conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para ${\bf F}.$
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial ${\bf F}$ ao mover uma partícula sobre a hipérbole $x^{2} - y^{2} = 1,$ desde o ponto $(3,-\sqrt{8})$ até o ponto $(3,\sqrt{8}).$

Sim. Função potencial: $f(x,y) = x + e^{xy} + y^{2}.$
$e^{3\sqrt{8}} - e^{-3\sqrt{8}}.$

2007

A força em um ponto $(x,y)$ de um plano coordenado é ${\bf F}(x,y)=(x^{2}+y^{2})\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$ . Ache o trabalho realizado por ${\bf F}(x,y)$ ao longo do gráfico de $y=x^{3}$ de $(0,0)$ a $(2,8).$

$\dfrac{1592}{21}.$

1924

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada. $\displaystyle\int_{C}x\,dx-y\,dy$ , $C$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$ , percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3).$

Uma representação paramétrica para o segmento de reta $C$ é

$\begin{array}{lr}x=1+t \\y=1+2t\\\end{array}\;\;\;\; 0\leq t \leq 1.$

Logo,

$\begin{array}{lr}dx=dt \\dy=2\,dt\\\end{array}$

Assim,

$\int_{C}x\,dx-y\,dy=\int_{0}^{1}(1+t)\cdot (dt)+(1+2t)\cdot(2\,dt)=\int_{0}^{1}(1+t+2+4t)\,dt$

$=\int_{0}^{1}(3+5t)\,dt=\bigg(3t+\frac{5}{2}t^{2}\bigg)\bigg|_{0}^{1}=3+\frac{5}{2}=\frac{11}{2}.$

2056

Determine se ${\bf F}(x,y)=(\ln y+2xy^{3})\,{\bf i}+(3x^{2}y^{2}+x/y)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = x^{2}y + xy^{-2} + K.$

3128

Sejam $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ , $r=\|\mathbf{r}\|$ , $f$ uma função diferenciável de uma variável e $\mathbf{F}(\mathbf{r})=f(r)\mathbf{r}$ .

Mostre que $\nabla f(r) = \dfrac{f'(r)}{r}\mathbf{r}.$
Use o resultado anterior para mostrar que $\displaystyle \mathbf{F}=3f(r)+rf'(r).$

2100

Considere o campo vetorial

${\bf F}(x,y)=(\ln(y^{2}+1))\,{\bf i}+\bigg(\frac{2y(x-1)}{y^{2}+1}\bigg)\,{\bf j}.$

Determine se $F$ é ou não um campo conservativo.
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial ${\bf F}$ ao mover uma partícula desde o ponto $(-1,1)$ até o ponto $(2,3).$

Sim.
$\ln(10) + 2\ln(2).$

2098

Suponha que ${\bf F}=\nabla f$ seja um campo vetorial conservativo e

$g(x,y,z)=\int_{(0,0,0)}^{(x,y,z)}{\bf F}\cdot d{\bf r}.$

Mostre que $\nabla g={\bf F}.$

Como $g(x,y,z) = f(x,y,z) - f(0,0,0),$ segue que $\nabla g = \nabla f = \mathbf{F}.$

2084

Calcule $\displaystyle\int_{C}y\,dx+x^{2}\,dy$ , onde $C$ é a curva cuja imagem é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,2)$ , orientada de $(1,1)$ para $(2,2).$

$\dfrac{23}{6}.$

2046

Determine se ${\bf F}(x,y)=(ye^{x}+\sin y)\,{\bf i}+(e^{x}+x\,\cos y)\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Primeiramente, temos que o domínio de ${\bf F}$ é todo o $\mathbb{R}^{2}$ , o qual é uma região aberta e simplesmente conexa. Sendo $P(x,y)=ye^{x}+\sin y$ e $Q(x,y)=e^{x}+x\,\cos y$ , temos que $P$ e $Q$ possuem derivadas de primeira ordem contínuas. Também temos que

$\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}+\cos y \,\,\, \text{ e } \,\,\, \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x}+\cos y,$

ou seja,

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$

Assim, das condições acima verificadas, temos que ${\bf F}$ é um campo conservativo. Agora, vamos determinar $f$ tal que $\nabla f={\bf F}.$ Isto é, devemos encontrar $f$ tal que

$f_{x}(x,y)=P(x,y) \text{ e } f_{y}(x,y)=Q(x,y).$

Como $f_{x}(x,y)=P(x,y)$ temos que

$f_{x}(x,y)=ye^{x}+\sin y\Rightarrow f(x,y)=ye^{x}+x\,\sin y+g(y)$

Assim obtemos que

$f_{y}(x,y)=e^{x}+x\cos y+g'(y)$

Mas, $f_{y}(x,y)=Q(x,y)$ logo obtemos que

$e^{x}+x\cos y+g'(y)=e^{x}+x\,\cos y\Rightarrow g'(y)=0\Rightarrow g(y)=C.$

Portanto,

$f(x,y)=ye^{x}+x\sin y+C \text{ e } \nabla f={\bf F}.$

3130

Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças $\displaystyle\textbf{F}(x,y)=xy\textbf{i}+(\dfrac{1}{2}x^2+xy)\textbf{j}$ sobre uma partícula que se move ao longo do caminho que começa em $(5,0)$ , percorre o semicírculo superior $x^2+y^2=25$ e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo $x$ .

$\dfrac{250}{3}$

3045

Se uma circunferência $C$ de raio $1$ rola ao longo do interior da circunferência $x^2+y^2=16$ , um ponto fixo $P$ de $C$ descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas $x = 5\cos{t}-\cos{5t}$ , $y = 5\sin{t} - \sin{5t}$ . Faça o gráfico da epicicloide e calcule a área da região que ela envolve.

$30\pi.$

2086

Calcule $\displaystyle\int_{C}(\sin(xy)+xy\,\cos(xy))\,dx+x^{2}\,\cos(xy)\,dy$ , onde $C(t)=(t^{2}-1,t^{2}+1)$ , $-1\leq t\leq 1.$

$0.$

1943

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}(x+yz)\,dx+2x\,dy+xyz\,dz$ , $C$ consiste nos segmentos de reta de $(1,0,1)$ a $(2,3,1)$ e de $(2,3,1)$ a $(2,5,2).$

$\dfrac{97}{3}.$

2063

Dados ${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}$ , $C$ é o arco da parábola $y=2x^{2}$ de $(-1,2)$ a $(2,8).$

Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$ .
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

$f(x,y) = \dfrac{x^{3} + y^{3}}{3};$
$171.$

2170

Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força $\mathbf{F}(x,y) = x(x+y)\mathbf{i} + xy^2\mathbf{j}$ ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo $x$ até $(1,0)$ , em seguida ao longo de um segmento de reta até $(0,1)$ e então de volta à origem ao longo do eixo $y$ .

$-\dfrac{1}{12}.$

2175

Calcule a área da região limitada pela elipse $x = a\cos{t}$ , $y=b\sin{t}$ , $0\leq t \leq \pi/2$ , em que $a > 0$ e $b > 0$ .

$\pi ab.$

1947

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{4x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{4x^{2}+y^{2}}\,dy$ , $C$ tem por imagem a elipse $4x^{2}+y^{2}=9$ e o sentido de percurso é o anti-horário.

$\displaystyle \pi.$

1932

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}x\,\sin{y}\,ds$ , $C$ é o segmento de reta que liga $(0,3)$ a $(4,6).$

$\displaystyle \frac{20}{6} \left(\sin(6) - 3\cos(6) - \sin(3) \right).$

2053

Determine se ${\bf F}(x,y)=(2x-3y)\,{\bf i}+(-3x+4y-8)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = x^2 - 3xy + 2y^2 -8y + K.$

2049

Determine se o conjunto $\{(x,y)|\,1<x^{2}+y^{2}<4\}$ é ou não:

aberto;
conexo; e
simplesmente conexo.

Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,1<x^{2}+y^{2}<4\}$ representa a região anelar entre os círculos com centro $(0,0)$ e raio $1$ e $2$ . Então:

$D$ é aberto pois, em torno de cada ponto em $D$ , podemos colocar um disco que se encontra inteiramente em $D$ .
$D$ é conexo pois quaisquer dois pontos de $D$ podem ser conectados por um caminho em $D$ .
$D$ não é simplesmente conexo pois, por exemplo, a região delimitada pela curva simples e fechada $x^{2}+y^{2}=(3/2)^2$ possui pontos que não estão em $D$ , por exemplo, a origem $(0,0)$ .

2162

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. $\displaystyle\int_{C} \sin{y} \, dx + x\cos{y} \, dy$ , $C$ é a elipse $x^2 + xy + y^2 = 1$ .

$0.$

2001

Uma partícula move-se no plano de modo que no instante $t$ sua posição é dada por ${\bf r}(t)=(t,t^{2})$ . Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças ${\bf F}(x,y)=(x+y)\,{\bf i}+(x-y)\,{\bf j}$ no deslocamento da partícula de ${\bf r}(0)$ até ${\bf r}(1).$

$1.$

2166

Use o Teorema de Green para calcular $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ , onde $\mathbf{F}(x,y) = (2x+y)\mathbf{i} + (3x-y)\mathbf{j}$ , $C$ é uma curva fechada, simples, $C^1$ por partes, orientada no sentido positivo, cuja imagem é a fronteira de um compacto $B$ com área $\alpha$ . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)

$2\times$ (Área de $B$ ).

3073

A figura mostra o campo vetorial ${\bf F}(x,y)=(2xy, x^{2})$ e três curvas que começam em $(1,2)$ e terminam em $(3,2).$

Explique por que $\int_{c}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ tem o mesmo valor para as três curvas.
Qual é esse valor comum?

${\bf F}$ é conservativo, logo $\int_{C} \bf F \cdot d\bf r$ depende somente dos pontos inicial e final de $C.$
$16.$

1940

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}(2x+9z)\,ds$ , $C:\,x=t,\, y=t^{2},\, z=t^{3},\, 0\leq t\leq 1.$

$\displaystyle \frac{1}{6}\left(14^{3/2} - 1\right).$

2054

Determine se ${\bf F}(x,y)=e^{x}\,\cos y\,{\bf i}+e^{x}\,\sin y\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Não.

3129

Dado um campo vetorial $\mathbf{F}$ , uma curva $C$ é chamada de linha de fluxo deste campo se $\mathbf{F}$ for um vetor tangente a $C$ em cada ponto ao longo de $C$ .

Sejam $C$ uma linha de fluxo de $\mathbf{F}(x,y)=-y\mathbf{i}+x\mathbf{j}$ e $(x,y)$ um ponto em $C$ para o qual $y\neq 0$ . Mostre que as linhas de fluxo satisfazem a equação diferencial $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}.$
Resolva a equação diferencial do item anterior, por separação de variáveis, e mostre que as linhas de fluxo são círculos concêntricos centrados na origem, ou seja, da forma $x^2+y^2=K$ .

1930

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}y^{3}\,ds$ , $C:\,x=t^{3},\, y=t,\, 0\leq t\leq 2.$

$\displaystyle \frac{1}{54}\left(145^{3/2} - 1 \right).$

2067

Dados ${\bf F}(x,y,z)=e^{y}\,{\bf i}+xe^{y}\,{\bf j}+(z+1)e^{z}\,{\bf k}$ , $C: {\bf r}(t)=t\,{\bf i}+t^{2}\,{\bf j}+t^{3}\,{\bf k}$ , $0\leq t\leq 1.$

Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$ .
Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

$f(x,y,z) = x e^{y} + ze^{z};$
$2e.$

1934

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}(x^{2}y^{3}-\sqrt{x})\,dy$ , $C$ é o arco da curva $y=\sqrt{x}$ de $(1,1)$ a $(4,2).$

$\dfrac{243}{8}.$

3126

Verifique que para o vetor posição $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ valem as seguintes propriedades

$\displaystyle \mathrm{rot\,}\mathbf{r} = \mathbf{0}$
$\displaystyle \nabla\|\mathbf{r}\| = \dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|}$

2181

Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas para o caso em que $f(x,y) = 1$ :

$\iint\limits_{R} dxdy = \iint\limits_{R}\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\, dudv.$

Aqui, $R$ é a região do plano $xy$ que corresponde à região $S$ do plano $uv$ sob a transformação dada por $x=g(u,v)$ , $y=h(u,v)$ . (Sugestão: observe que o lado esquerdo é $A(R)$ . Converta a integral de linha sobre $\partial R$ para uma integral de linha sobre $\partial S$ e aplique o Teorema de Green no plano $uv$ .)

Dica: pelo Teorema de Green, $A(R) = \displaystyle \iint_{R} dxdy = \int_{\partial R} x dy.$ Escolhendo a orientação positiva em $\partial S$ correspondente a orientação positiva em $\partial R,$ segue que

$\displaystyle \int_{\partial R} x dy = \int_{\partial S} g(u,v) \dfrac{\partial h}{\partial u} du + g(u,v) \frac{\partial h}{\partial v} dv.$

Conclua utilizando o Teorema de Green no plano $uv$ e a Regra da Cadeia.

2060

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=(e^{x}\,\cos y)\,{\bf i}-(e^{x}\,\sin y)\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = e^{x}\cos(y) + \dfrac{z^{2}}{2} + K.$

1937

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xy^{3}\,ds$ , $C:\,x=4\,\sin t,\, y=4\,\cos t,\, z=3t,\, 0\leq t\leq \pi/2.$

$320.$

1956

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$

${\bf F}(x,y,z)=x^{2}\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$ , ${\bf r}(t)=(2\cos t,3\sin t,t)$ , $0\leq t\leq 2\pi.$

$\dfrac{8\pi^{3}}{3}.$

3062

Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= \dfrac{y\textbf{i} + x\textbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$ , desenhando um diagrama.

1945

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}dx+xy\,dy+z\,dz$ , $C$ é a interseção de $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ , $x\geq 0$ , $y\geq 0$ e $z\geq 0$ , com o plano $y=x$ ; o sentido de percurso é do ponto $(0,0,\sqrt{2})$ para $(1,1,0).$

$\displaystyle \frac{1}{3}.$

3127

Verifique que para o vetor posição $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ valem as seguintes propriedades

$\displaystyle \mathrm{div\,}\mathbf{r} = 3$
$\displaystyle \nabla\dfrac{1}{\|\mathbf{r}\|} = -\dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3}$

2105

Suponha que ${\bf F}$ seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja,

${\bf F}({\bf r})=\frac{c{\bf r}}{|{\bf r}|^{3}}$

para alguma constante $c$ , onde ${\bf r}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}.$ Determine o trabalho realizado por ${\bf F}$ ao mover um objeto de um ponto $P_{1}$ por um caminho para um ponto $P_{2}$ em termos da distância $d_{1}$ e $d_{2}$ desses pontos à origem.

$c\left(\dfrac{1}{d_{1}} - \dfrac{1}{d_{2}}\right).$

1968

Calcule $\int_{C}(x+y+z)\,dx+(x-2y+3z)\,dy+(2x+y-z)\,dz$ , onde $C$ é a curva de $(0,0,0)$ a $(2,3,4)$ se

$C$ consiste em três segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo $x$ , o segundo paralelo ao eixo $y$ e o terceiro paralelo ao eixo $z$ .
$C$ consite em três segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo $z$ , o segundo ao eixo $x$ e o terceiro paralelo ao eixo $y.$
$C$ é um segmento retilíneo.

$19.$
$35.$
$27.$

1941

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}xyz\,ds$ , onde $C$ é a hélice ${\bf r}(t)=(\cos t,\sin t,3t)$ , $0\leq t\leq 4\pi.$

$-3\sqrt{10}\pi.$

3072

A figura mostra uma curva $C$ e um mapa de contorno de uma função $f$ cujo gradiente é contínuo. Determine $\int_{C}\nabla f\cdot d{\bf r}.$

$40.$

2163

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. $\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{x^2+y^2} \, dx + \dfrac{ x}{x^2+y^2} \, dy$ , $C$ curva fechada, $C^1$ por partes, simples e fronteira de um conjunto $B$ cujo interior contém o círculo $x^2 + y^2 \leq 1$ . (Sugestão: Aplique o Teorema de Green à região $K$ compreendida entre a curva $C$ e a circunferência.)

$2\pi.$

1942

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}x^{2}y\sqrt{z}\,dz$ , $C:\,x=t^{3},\, y=t,\, z=t^{2},\, 0\leq t\leq 1.$

$\dfrac{1}{5}.$

2008

A força em um ponto $(x,y,z)$ em três dimensões é dada por ${\bf F}(x,y,z)=y\,{\bf i}+z\,{\bf j}+x\,{\bf k}$ . Ache o trabalho realizado por ${\bf F}(x,y,z)$ ao longo da cúbica reversa $x=t$ , $y=t^{2}$ , $z=t^{3}$ de $(0,0,0)$ a $(2,4,8).$

$\dfrac{412}{15}.$

2002

Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por ${\bf F}(x,y,z)=-y\,{\bf i}+x\,{\bf j}+z\,{\bf k}.$ Calcule o trabalho realizado por ${\bf F}$ no deslocamento da partícula de ${\bf r}(a)$ até ${\bf r}(b)$ , sendo dados:

${\bf r}(t)=(\cos t, \sin t,t)$ , $a=0$ e $b=2\pi.$
${\bf r}(t)=(2t+1,t-1,t)$ , $a=1$ e $b=2.$
${\bf r}(t)=(\cos t,0, \sin t)$ , $a=0$ e $b=2\pi.$

$2\pi(1 + \pi).$
$\dfrac{9}{2}.$
$0.$

1963

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}y^{2}\,dx+x\,dy -\,dz$ , onde $C$ é a poligonal de vértices $A_{0}=(0,0,0)$ , $A_{1}=(1,1,1)$ , $A_{2}=(1,1,0)$ , orientada de $A_{0}$ para $A_{2}.$

$\displaystyle \frac{5}{6}.$

1960

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde ${\bf F}(x,y,z)=(yz,2xz,xy+2z)$ e $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$

$-7.$

2159

Calcule a integral de linha $\displaystyle\oint_{C} xy \, dx + x^2y^3 \, dy$ , $C$ é o triângulo com vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ e $(1,2)$ por dois métodos:

diretamente; e
utilizando o Teorema de Green.

$\dfrac{2}{3}.$

1996

Seja ${\bf F}:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ um campo vetorial contínuo tal que, para todo $(x,y)$ , ${\bf F}(x,y)$ é paralelo ao vetor $x\,{\bf i}+y\,{\bf j}$ . Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde ${\bf r}:[a,b]\to \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ , cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio $r>0$ . Interprete geometricamente.

$0.$

2177

Se $C$ é o segmento de reta ligando o ponto $(x_1,y_1)$ ao ponto $(x_2,y_2)$ , mostre que
$\int_{C}x \, dy - y \, dx = x_1y_2-x_2y_1.$
Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são
$(x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n),$
mostre que a área do polígono é
$A=\dfrac{1}{2}[(x_1y_2-x_2y_1) + (x_2y_3-x_3y_2) + \cdots + (x_{n-1}y_n - x_ny_{n-1}) + (x_ny_1-x_1y_n)].$
Determine a área do pentágono com vértices $(0,0)$ , $(2,1)$ , $(1,3)$ , $(0,2)$ e $(-1,1)$ .

Use as equações paramétricas do segmento de reta: $x = (1-t)x_{1} + tx_{2}$ e $y = (1-t)y_{1} + ty_{2},$ $0 \leq t \leq 1.$
Aplique o Teorema de Green ao caminho $C = C_{1} \cup C_{2} \cup \cdots \cup C_{n},$ onde $C_{i}$ é o segmento ligando o ponto $(x_{i},y_{i})$ ao ponto $(x_{i + 1},y_{i + 1}),$ para cada $i = 1,\cdots, n-1.$
$\dfrac{9}{2}.$

2015

Calcule $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$ , onde ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e $C$ é a curva dada por $x=2\,\cos t$ , $y=\sin t$ , com $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}.$

$-\dfrac{1}{2}.$

2164

Use o Teorema de Green para calcular $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ , onde $\mathbf{F}(x,y) = (\sqrt{x} + y^3,x^2+\sqrt{y})$ , $C$ consiste no arco da curva $y = \sin{x}$ de $(0,0)$ a $(\pi,0)$ e no segmento de reta $(\pi,0)$ a $(0,0)$ . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)

$\dfrac{4}{3} - 2\pi.$

1955

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$

${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf i}+(x-y)\,{\bf j}$ , ${\bf r}(t)=(t,\sin t)$ , $0\leq t\leq \pi.$

$\displaystyle \frac{\pi^{3}}{3} - 2.$

1997

Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$ sobre uma partícula que dá uma volta no círculo $x^{2}+y^{2}=4$ no sentido anti-horário.

$0.$

1925

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada. $\displaystyle\int_{C}x^{2}y\sqrt{z}\,dz$ , $C:\,x=t^{3},\, y=t,\, z=t^{2},\, 0\leq t\leq 1.$

As equações paramétricas de $C$ são

$x=t^{3},\, y=t,\, z=t^{2},\, 0\leq t\leq 1.$

Logo,

$dx=3t^{2}\,dt,\, dy=dt,\, dz=2t\,dt.$

Assim,

$\int_{C}x^{2}y\sqrt{z}\,dz=\int_{0}^{1}((t^{3})^{2}\cdot t \cdot \sqrt{t^{2}})(2t\,dt)=2\int_{0}^{1}t^{9}\,dt$

$=2\cdot\frac{t^{10}}{10}\bigg|_{0}^{1}=2\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{5}.$

2094

Considere o campo vetorial

${\bf F}(x,y)=\bigg(e^{x}\ln(y)-\frac{e^{y}}{x}\bigg)\,{\bf i}+\bigg(\frac{e^{x}}{y}-e^{y}\ln(x)\bigg)\,{\bf j}.$

O campo ${\bf F}$ é conservativo? Justifique sua resposta.
Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ , onde $C$ é qualquer caminho ligando o ponto $(1,1)$ ao ponto $(3,3).$

Sim.
$0.$

1938

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}xe^{yz}\,ds$ , $C$ é o segmento de reta de $(0,0,0)$ a $(1,2,3).$

$\dfrac{\sqrt{14}}{12}\left(e^{6} - 1 \right).$

3067

Determine o trabalho $W=\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x\,{\bf i}+(x^{3}+3xy^{2})\,{\bf j}$ em uma partícula que inicialmente está no ponto $(-2,0)$ , se move ao longo do eixo $x$ para $(2,0)$ e ao longo da semicircunferência $y=\sqrt{4-x^{2}}$ até o ponto inicial.

2155

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

$\displaystyle\int_{C}y^3 \, dx - x^3 \, dy$ , $C$ é o círculo $x^2 + y^2 = 4$ .

Observe que a curva $C$ com orientação positiva está nas hipóteses do Teorema de Green, assim como o campo $\mathbf{F}(x,y) = (y^3, -x^3)$ . Logo,

$\displaystyle\int_{C}y^3 \, dx - x^3 \, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial}{\partial x}(-x^3) - \frac{\partial}{\partial y}(y^3)\right) \, dA = -3 \iint\limits_{D} (x^2 + y^2) \, dA,$

em que $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 4\}$ . Usando coordenadas polares

$\begin{cases}x = r \cos{\theta} \\y = r \sin{\theta}, \\\end{cases}$

temos que a região de integração $D$ pode ser escrita como $\{(r,\theta) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\}$ e o jacobiano dessa mudança de coordenadas é igual a $r$ . Logo,

$\iint\limits_{ D} (x^2 + y^2) dA = \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2}r^2 \cdot r\,dr d\theta = 8\pi.$

Portanto, $\displaystyle\int_{C}y^3 \, dx - x^3 \,dy = -24\pi$ .

2052

Determine se ${\bf F}(x,y)=-y\,{\bf i}+x\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Não.

2158

Calcule a integral de linha $\displaystyle\oint_{C} xy \, dx + x^2 \, dy$ , $C$ é o retângulo com vértices $(0,0)$ , $(3,0)$ , $(3,1)$ e $(0,1)$ por dois métodos:

diretamente; e
utilizando o Teorema de Green.

$\dfrac{9}{2}.$

2003

Sejam $A=(3,0)$ , $B=(1,1)$ e $C=(0,3)$ pontos de $\mathbb{R}^{2}$ e $C$ a trajetória que vai em linha reta de $A$ até $B$ e em seguida de $B$ até $C$ . Determine o trabalho ao longo de $C$ do campo de forças ${\bf F}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ , sendo

${\bf F}(x,y)=\bigg(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\bigg).$

$\displaystyle 2\arctan(2) + \arctan\left(\frac{1}{2} \right) - \arctan\left(\frac{1}{3} \right).$

3063

Determine o campo vetorial gradiente $\nabla f$ de $f(x,y) = x^2-y$ e o esboce.

2156

Demonstre que se $R$ é uma região no plano limitada por uma curva $C$ simples, fechada e suave por partes, então a área de $R$ , denotada por $A(R)$ , pode ser dada por

$\oint_{C}x\, dy,$

em que a curva está orientada no sentido positivo.

Temos que

$A(R) = \iint\limits_{R} 1 \, dA.$

A fim de utilizar o Teorema de Green, devemos encontrar funções $P$ e $Q$ que tenham derivadas de primeira ordem contínuas em um aberto que contenha a curva $C$ e o interior de $C$ e que satisfaçam a relação $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ . Observe que a curva $C$ já satisfaz as hipóteses desse teorema e $C$ é a fronteira de $R$ . Um exemplo de funções $P$ e $Q$ é $P(x,y) = 0$ e $Q(x,y) = x$ . Portanto, pelo Teorema de Green,

$\iint\limits_{R} 1 \, dA = \oint_{C}0 \, dx + x\, dy = \oint_{C}x\, dy.$

2103

Mostre que, se um campo vetorial ${\bf F}=P\,{\bf i}+Q\,{\bf j}+R\,{\bf k}$ é conservativo e $P$ , $Q$ , $R$ têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \,\,\,\,\,\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\,\,\,\,\,\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$

Se $f$ é uma função potencial de $\mathbf{F},$ então $f_{x} = P,$ $f_{y} = Q$ e $f_{z} = R.$ Como $P, Q$ e $R$ possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então pelo Teorema de Clairaut, temos $f_{xy} = f_{yx},$ $f_{yz} = f_{zy}$ e $f_{xz} = f_{zx}.$

1998

Determine o trabalho $W=\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x^{2}(x-y)\,{\bf i}+xy^{2}\,{\bf j}$ em uma partícula que se move da origem ao longo do eixo $x$ para $(1,0)$ , em seguida ao longo de um segmento de arco de circunferência $x^{2}+y^{2}=1$ até $(0,1)$ e então volta à origem ao longo do eixo $y.$

$\dfrac{\pi}{8}.$

2157

Calcule a integral de linha $\displaystyle\oint_{C} (x-y) dx + (x+y)dy$ , $C$ é o círculo com centro na origem e raio 2, por dois métodos:

diretamente; e
utilizando o Teorema de Green.

$8\pi.$

1944

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}x\,dx+dy+2\,dz$ , $C$ é a interseção do paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ com o plano $z=2x+2y-1$ ; caminhe no sentido anti-horário.

$0.$

2106

Um campo vetorial inverso do quadrado é da forma:

${\bf F}({\bf r})=\frac{c{\bf r}}{|{\bf r}|^{3}}$

para alguma constante $c$ , onde ${\bf r}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ . Um exemplo de um campo inverso do quadrado é o campo gravitacional ${\bf F}=-(mMG){\bf r}/|{\bf r}|^{3}$ . Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distância máxima de $1,52\times 10^{8}\,km$ do Sol) ao periélio (em uma distância mínima de $1,47\times 10^{8}\,km)$ . (Use os valores $m=5,97\times 10^{24}\,kg$ , $M=1,99\times 10^{30}\,kg$ e $G=6,67\times 10^{-11}\,N\cdot m^{2}/kg^{2}.$ )

$\approx 1,77 \times 10^{35}$ J.

1961

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}(x-y)\,dx+e^{x+y}\, dy$ , onde $C$ é a fronteira do triângulo de vértices $(0,0)$ , $(0,1)$ e $(1,2)$ , orientada no sentido anti-horário.

$\displaystyle \frac{e^{3}}{6} - \frac{e}{2} + \frac{5}{6}.$

2083

Calcule $\displaystyle\int_{(1,1)}^{(2,2)} y\,dx+x\,dy$ .

$3.$

1936

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}x\,dx+y\,dy$ , $C:\,x=t^{2},\,y=\sin t$ , $0\leq t\leq \pi/2.$

$\displaystyle \frac{\pi^{4}}{32} + \frac{1}{2}.$

1931

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.

$\displaystyle\int_{C}xy^{4}\,ds$ , $C$ é a metade direita do círculo $x^{2}+y^{2}=16.$

$\dfrac{2^{13}}{5}.$

Exercícios

Integrais de linha