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Em coordenadas esféricas
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Usando coordenadas esféricas, determine o centroide e o momento de inércia em relação a um diâmetro de sua base do hemisfério sólido homogêneo de raio $a.$
Centróide: $\left(0,0,\dfrac{3a}{8} \right);$ momento de inércia: $\dfrac{4 K a^5 \pi}{15},$ onde $K$ é a densidade constante.
Usando coordenadas esféricas, determine o volume e o centroide do sólido que está acima do cone $\phi=\pi/3$ e abaixo da esfera $\rho=4\cos{\phi}.$
Volume: $10\pi;$ centróide: $(0,0,2,1).$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}x\,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $x\geq 0$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4.$
$4\pi$.
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da região limitada abaixo pelo plano $z=0$, lateralmente pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ e acima pelo paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$.
$\dfrac{\pi}{2}.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume da região cortada do cilindro sólido $x^{2}+y^{2}\leq 1$ pela esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.$
$\dfrac{4\pi(8 - 3\sqrt{3})}{3}.$
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dzdxdy$.
$\pi.$
Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{2}(\rho\cos{\phi})\rho^{2}\sin{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.
$2\pi.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume do elipsoide $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\leq 1.$
$\dfrac{4 \pi abc}{3}.$
Usando coordenadas esféricas, calcule a massa do sólido compreendido entre as esferas \(x^2+y^2+z^2=1\) e \(x^2+y^2+z^2=4\), com densidade \(\delta(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.\)
O centróide de uma região $E$ é dado por
$$\overline{x}=\frac{1}{vol(E)}\int_{E}x\,dV,\;\;\;\; \overline{y}=\frac{1}{vol(E)}\int_{E}y\,dV\;\; \text{e}\;\; \overline{z}=\frac{1}{vol(E)}\int_{E}z\,dV.$$
Calcule o centróide da região dada em coordenadas esféricas por $0\leq \rho \leq 1$, $0\leq\phi \leq \pi/3$ e $0\leq \theta \leq 2\pi$ (observe que, devido à simetria da região, $\overline{x}$ e $\overline{y}$ se anulam, bastando calcular a terceira coordenada).
$\overline{z} = \dfrac{9}{16}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B} z \,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $1\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $z\geq 0.$
Usando coordenadas esféricas, o sólido pode ser descrito por
$$B = \left\{(\rho, \theta, \phi): 1 \leq \rho \leq 2, 0 \leq \theta \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}.$$
Lembre que o Jacobiano dessa transformação é $\rho^2 \sin{\phi}$. Assim, obtemos
\begin{array}{rcl}\displaystyle\iiint\limits_{B} z \,dxdydz & = & \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^{2}(\rho \cos{\phi})(\rho^2 \sin{\phi})\,d\rho d\phi d\theta \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left.\left(\frac{\rho^4}{4} \frac{\sin{2\phi}}{2}\right|_{\rho=1}^{\rho=2}\right)\, d\phi d\theta \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left.\left(\frac{(16-1)}{8} \frac{(-\cos{2\phi)}}{2}\right|_{\phi=0}^{\rho=\frac{\pi}{2}}\right)\, d\theta \\ & = & \left.-\frac{15}{16}(-1-1) \theta \right|_{\theta=0}^{\theta=2\pi} = \frac{15\pi}{4}. \end{array}
Usando coordenadas esféricas, determine o volume do sólido que está acima do cone $\phi=\pi/3$ e abaixo da esfera $\rho=4\cos{\phi}.$
$10\pi.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{E}z\,dV$, onde $E$ está entre as esferas $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$, no primeiro octante.
$\dfrac{15\pi}{16}.$
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido: limitado acima pela esfera \(\rho=4\) e abaixo pelo cone \(\phi=\pi/3\).
\(\dfrac{64\pi}{3}\)
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas é $(1,0,0)$ e encontre as coordenadas retangulares do ponto.
$(0,0,1).$
Mostre que o determinante Jacobiano da mudança de coordenadas cartesianas para esféricas é $-\rho^2 \sin \varphi$.
Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{3\pi/2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}5\rho^{3}\sin^{3}{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.
$\dfrac{5\pi}{2}.$
Identifique a superfície cuja equação é $\rho=\sin{\theta}\sin{\phi}.$
Esfera de raio $\dfrac{1}{2}$ centrada no ponto $\left(0,\dfrac{1}{2},0\right).$
Escreva a equação $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ em coordenadas esféricas.
$\cos^2 \phi = \sin^2 \phi.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}\sqrt{x+y}\sqrt[3]{x+2y-z}\,dxdydz$, onde $B$ é a região $1\leq x+y\leq 2$, $0\leq x+2y-z\leq 1$ e $0\leq z\leq 1.$
$\sqrt{2} - \dfrac{1}{2}.$
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido: contido no interior do cone \(\phi=\pi/4\), entre as esferas \(\rho=1\) e \(\rho=2\).
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio $a$ por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de $\pi/6.$
$\dfrac{\pi a^3}{9}.$
Usando coordenadas esféricas, calcule a massa da esfera sólida de raio \(a\) com densidade proporcional à distância ao centro (tomando \(k\) como a constante de proporcionalidade).
\(k\pi a^4\)
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dxdydz$, onde $B$ é a interseção da semi-esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$, $z\geq 0$, com o cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 1.$
$\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\left( 32- 14\sqrt{3} + \ln(2 + \sqrt{3})\right).$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\,dV$, onde $B$ é a bola com centro na origem e raio $5.$
$\dfrac{312500\pi}{7}.$
Seja $E$ o sólido limitado pelos dois planos $z=1$ e $z=2$ e lateralmente pelo cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Expresse o volume de $E$ como integral tripla em coordenadas esféricas (não é necessário calcular a integral).
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/4} \int_{\sec(\phi)}^{2\sec(\phi)} \rho^{2}\sin(\phi)\;d\rho d\phi d\theta.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{H}(9-x^{2}-y^{2})\,dV$, onde $H$ é o hemisfério sólido $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9$ e $z\geq 0.$
$\dfrac{486\pi}{5}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{E}xyz\,dV$, onde $E$ está entre as esferas $\rho=2$ e $\rho=4$ e acima do cone $\phi=\pi/3.$
$0.$
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral abaixo e calcule-a.
$$\int_{0}^{\pi/6}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{3}\rho^{2}\sin{\phi}\;d\rho d\theta d\phi$$
Mostre que
$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\,dxdydz=2\pi.$$
(A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.)
Note que $$\begin{split}&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\,dxdydz \\&= \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \rho e^{-\rho^2}\rho^2 \sin(\phi)\;d\rho d\phi d\theta.\end{split}$$
Seja \(G\) a região sólida dentro da esfera de raio \(2\) centrada na origem e acima do plano \(z=1\). Mostre (ou verifique) os seguintes resultados:
O volume de \(G\) é dado por \[\iiint\limits_G\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\dfrac{\pi}{3}}\int_{\sec\phi}^{2}\rho^2\sin\phi\,d\rho d\phi d\theta \]
\[\iiint\limits_G\dfrac{z}{x^2+y^2+z^2}\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/3}\int_{\sec\phi}^{2}\rho\cos\phi\sin\phi\,d\rho d\phi d\theta \]
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}}xy\,dzdydx$.
$\dfrac{(4\sqrt{2} - 5)}{15}.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume do sólido que está dentro da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$, acima do plano $xy$ e abaixo do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$
$\dfrac{8\sqrt{2}\pi}{3}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{E}xyz\,dV$, onde $E$ é o sólido limitado pelos paraboloides $z=x^{2}+y^{2}$ e $z=8-x^{2}-y^{2}.$
$0.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume do sólido que está acima do plano $z=2\sqrt{3}$ e abaixo da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.$
$\dfrac{88\pi}{3}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}x\,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}+z^{2}\leq 1$ e $x\geq 0.$
$3\pi.$
Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{(1-\cos{\phi})/2}\rho^{2}\sin{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.
$\dfrac{\pi}{3}.$
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a-x^{2}-y^{2}}}(x^{2}z+y^{2}z+z^{3})\,dzdxdy$.
$0.$
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinar o volume e o centroide do sólido $E$ que está acima do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e abaixo da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$
Volume: $\dfrac{\pi(2 - \sqrt{2})}{3};$ centróide: $\left(0,0, \dfrac{3}{8(2 - \sqrt{2})} \right).$
Mude o ponto $(1,\sqrt{3},2\sqrt{3})$ dado em coordenadas retangulares para esféricas.
$\displaystyle \left( 4, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6} \right).$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume da porção da esfera sólida $\rho \leq a$ que está entre os cones $\phi=\pi/3$ e $\phi=2\pi/3.$
$\dfrac{2\pi a^{3}}{3}.$
Um sólido está acima do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e abaixo da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z.$ Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.
A mudança de coordenadas retangulares para coordenadas cartesianas é dada por
$$\begin{cases}x = \rho \cos{\theta} \sin{\phi} \\y = \rho \sin{\theta} \sin{\phi}\\z = \rho \cos{\phi},\end{cases}$$
em que $\rho \geq 0$, $\theta \in [0,2\pi]$ e $\phi \in [0,\pi]$. Observe que $\sin{\phi} \geq 0$ quando $\phi \in [0,\pi]$. Logo, a equação do cone em coordenadas esféricas pode ser escrita como $\rho \cos{\phi} = \sqrt{\rho^2 \sin^2{\phi}} = \rho\sin{\phi}$. A origem $(0,0,0)$ pertence ao cone e é dada por $\rho = 0$. Nos demais pontos, $\rho \neq 0$, donde $\phi = \pi/4$.
A equação da esfera em coordenadas esféricas pode ser escrita como $\rho^2=\rho\cos{\phi}$. A origem $(0,0,0)$ pertence à esfera e é dada por $\rho=0$. Nos demais pontos, $\rho \neq 0$, donde $\rho = \cos{\phi}$.
Portanto, o sólido pode ser descrito em coordenadas esféricas por
$$E = \left\{(\rho, \theta, \phi): 0 \leq \rho \leq \cos{\phi}, 0 \leq \theta \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4}\right\}.$$
Seja $D$ a região limitada abaixo pelo plano $z=0$, acima pela esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ e dos lados pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de $D$ usando as ordens de integração a seguir.
$d\rho\,d\phi\,d\theta$;
$d\phi\,d\rho\,d\theta$.
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{2} \rho^{2}\sin(\phi)\; d\rho d\phi d\theta + \int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{0}^{\csc(\phi)} \rho^{2}\sin(\phi)\; d\rho d\phi d\theta.$
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\int_{\pi/6}^{\arcsin(1/\rho)} \rho^{2}\sin(\phi)\; d\phi d\rho d\theta + \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi/6} \rho^{2}\sin(\phi)\; d\phi d\rho d\theta.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume da menor região cortada da esfera sólida $\rho \leq 2$ pelo plano $z=1.$
$\dfrac{5\pi}{3}.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume da parte da bola $\rho\leq a$ que está entre os cones $\phi=\pi/6$ e $\phi=\pi/3.$
$\displaystyle \left( \sqrt{3} - 1 \right) \dfrac{\pi a^3}{3}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}z\,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $z\geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1.$
$\dfrac{\pi}{8}.$
Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\,\sin{\phi}}\rho^{2}\sin{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.
$\pi^2.$
Esboce o sólido descrito por $\rho \leq 2$, $0\leq \phi \leq \pi/2$ e $0\leq \theta \leq \pi/2.$
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da região limitada acima pelo paraboloide $z=5-x^{2}-y^{2}$ e abaixo pelo paraboloide $z=4x^{2}+4y^{2}.$
$\dfrac{5\pi}{2}.$