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| MA211 - Cálculo II | Integrais triplas | Em coordenadas cilíndricas

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Em coordenadas cilíndricas

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2599   

Calcule as seguintes integrais triplas.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}  \sqrt{x^2 + y^2} \, dV$, em que $E$ é a região que está dentro do cilindro   $x^2 + y^2 = 16$ e entre os planos $z = -5$ e $z = 4$.

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}  y \, dV$, em que $E$ é o sólido que está entre os cilindros $x^2 + y^2 = 1$ e $x^2 + y^2 = 4$, acima do plano $xy$ e abaixo do plano $z = x + 2$.

  3.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}  x \, dV$, em que $E$ está delimitidado pelos planos $z = 0$ e $z = x + y + 5$ e pelos cilindros $x^2 + y^2 = 4$ e $x^2 + y^2 = 9$.

  1.  $384\pi$.

  2. $0$.

  3. $\dfrac{65\pi}{4}$.

2593   

Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são $(2, \pi/4,1)$ e $(4, -\pi/3,5)$. Em seguida, encontre as coordenadas retangulares do ponto.

Para $(2, \pi/4,1):$ $(\sqrt{2},\sqrt{2},1)$ e para $(4, -\pi/3,5):$ $(2, -2\sqrt{3},5)$.

2603   

Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro $x^2 + y^2 = 4$ e pelos planos $z = 0$ e $y + z = 3$.

$12\pi.$

2595   

Identifique a superfície cuja equação é dada por $z = 4 - r^2$.

$z = 4 - x^2 - y^2,$ o parabolóide circular com vértice $(0,0,4)$.

2604   

Vamos demonstrar a expressão geral para o volume de um cone circular de altura $h$ e raio da base $R$.

  1.  Representando o cone com vértice na origem e base no plano $z = h$, expresse $V$ por meio de uma integral dupla.

  2.  Calculando a integral, verifique que $V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$.

  1.  $V = 2 \displaystyle \int_{0}^{h} \int_{-\frac{R}{h}z}^{\frac{R}{h}z} \sqrt{\dfrac{R^{2}}{h^{2}} z^{2} - x^{2}} dx dz.$

  2.  Note que $\displaystyle \int_{0}^{h} \int_{-\frac{R}{h}z}^{\frac{R}{h}z} \sqrt{\dfrac{R^{2}}{h^{2}} z^{2} - x^{2}} dx dz = \dfrac{\pi R^{2}h}{6}$ é o volume da parte superior (ou inferior) do cone.

2600   

Calcule as seguintes integrais triplas.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}  x^2 \, dV$, em que $E$ é o sólido que está dentro do cilindro $x^2 + y^2 = 1$, acima do plano $z = 0$ e abaixo do cone $z^2 = 4x^2 + 4y^2$.

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}   xyz \, dV,$ em que $E$ é o sólido limitado pelos paraboloides $z = x^2 + y^2$, $z = 8 - x^2 - y^2$.

  3.  $\displaystyle\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4 - y^2}}^{\sqrt{4 - y^2}}\int_{\sqrt{x^2 + y^2}}^2 xz \, dz dx dy$

  1.  $\dfrac{2\pi}{5}$.

  2.  $0.$

  3.  $0.$

2585   

Encontre o volume da região sólida limitada abaixo pelo plano $z = 0$, lateralmente pelo cilindro $x^2 + y^2 = 1$ e acima pelo paraboloide $z = x^2 + y^2$.


Temos que a região sólida $E$ está acima do plano $z=0$, abaixo do paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ e limitado lateralmente pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$. Notemos que podemos dividir a região sólida em quatro porções simétricas. Assim, levando em consideração a porção da região sólida $E$ que está no primeiro octante, temos em coordenadas cilíndricas $$0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2},\, 0\leq r \leq 1\,\, \mbox{e}\,\, 0\leq z\leq x^{2}+y^{2}=r^{2}.$$ Assim, o volume da região sólida $E$ é: $$V=\iiint\limits_{  E}1\,dV=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r^{2}}1\,r\,dz\,dr\,d\theta$$ $$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}zr\,\bigg|_{0}^{r^{2}}\,dr\,d\theta=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta$$ $$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,d\theta\cdot \int_{0}^{1}r^{3}\,dr=4\cdot \theta\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{r^{4}}{4}\bigg|_{0}^{1}$$ $$=4\cdot \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}.$$

2588   

Seja $C$ o cilindro de base circular e eixo $(Oz)$, com raio $2$ e altura $3$, com base na origem e densidade inversamente proporcional $\grave{a}$ distância ao eixo.

  1. Determine o momento de inércia de $C$ com relação ao eixo $(Oz)$.

  2. Se $C$ gira em torno do eixo $(Oz)$ com energia cinética $K$, qual a velocidade instantânea nos pontos de sua superfície lateral? (Fórmulas: $\bullet$ Momento de inércia: $I=\iiint\limits_{C}\rho\cdot l^{2}\,dV$, onde $\rho$ é a densidade e $l$  é a distância ao eixo; $\bullet$ Energia cinética de rotação: $K=\dfrac{1}{2}I\omega^{2}.$)

  1.  $6\pi.$

  2.  $\displaystyle \sqrt{\frac{K}{3\pi}}.$

2601   

Seja $E$ a região limitada pelos paraboloides $z = x^2 + y^2$ e $z = 36 - 3x^2 - 3y^2$.

  1.  Ache o volume da região $E$.

  2.  Encontre o centroide de $E$ (centro de massa no caso em que a densidade é constante).

  1.  $162\pi.$

  2.  $(0,0,15)$.

2586   

Determine o volume do sólido que está acima do plano $xy$, abaixo do paraboloide $z = x^2 + y^2$ e que se encontra dentro do cilindro $x^2 + y^2 = 2x$ e fora do cilindro $x^2 + y^2 = 1.$


Temos que $0\leq z\leq x^{2}+y^{2}$. Como o sólido se encontra dentro do cilindro $x^{2}+y^{2}=2x$ e fora do cilindro $x^{2}+y^{2}=1$, devemos fazer a interseção desses dois cilindros, isto é, $$\left\{\begin{array}{cc} x^{2}+y^{2}=2x\\ x^{2}+y^{2}=1\\ \end{array} \right.\Rightarrow 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$$ Em coordenadas cilíndricas temos que \begin{eqnarray*} x&=&r\cos \theta\\ y&=&r\sin \theta\\ z&=&z\\ dz\,dy\,dx&=&r\,dz\,dr\,d\theta \end{eqnarray*} Da equação $x^{2}+y^{2}=1$ temos que $$r^{2}=1\Longrightarrow r=\pm 1,$$ como devemos ter $r\geq 0$, então nesse caso $r=1.$ Da equação $x^{2}+y^{2}=2x$ temos que $$r^{2}=2r\,\cos \theta \Rightarrow r=2\cos \theta.$$  Agora, sendo $x=\frac{1}{2}$ e $r=1$ temos que $$\cos \theta=\frac{1}{2}\Rightarrow \theta=\pm \frac{\pi}{3}.$$ Assim, em coordenadas cilíndricas temos que o sólido $E$ é dado por $$E=\{(\theta,\,r,\,z)|\, -\frac{\pi}{3}\leq \theta \leq \frac{\pi}{3},\, 1\leq r\leq 2 \cos \theta,\,0\leq z\leq r^{2}\}.$$ Então, $$V=\iiint\limits_{  E}1\,dV= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{1}^{2\cos \theta}\int_{0}^{r^{2}}1\,r\,dz\,dr\,d\theta= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{1}^{2\cos \theta}zr\bigg|_{0}^{r}\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{1}^{2\cos \theta}r^{3}\,dr\,d\theta= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{r^{4}}{4}\bigg|_{1}^{2\cos \theta}\,d\theta =\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\bigg(4\cos^{4}\theta-\frac{1}{4}\bigg)\,d\theta$$ $$=4\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\underbrace{\cos^{4}\theta}_{\mbox{função   par}}\,d\theta-\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\underbrace{\frac{1}{4}}_{\mbox{função    par}}\,d\theta =8\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos^{4}\theta\,d\theta-2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{4}\,d\theta$$ $$=8\bigg[\frac{3}{8}\theta+\frac{1}{4}\sin(2\theta)+\frac{1}{32}\sin(4\theta)\bigg]\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}} -\bigg(\frac{1}{2}\theta\bigg)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$ $$=8\bigg[\frac{3}{8}\cdot \frac{\pi}{3}+\frac{1}{4}\sin\bigg(\frac{2\pi}{3}\bigg)+\frac{1}{32}\sin\bigg(\frac{4\pi}{3}\bigg)\bigg]-\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{3}$$ $$=\pi+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+\frac{7\sqrt{3}}{8}.$$

2596   

 Uma casca cilíndrica tem $20$ cm de comprimento, com raio interno de 6 cm e raio externo de $7$ cm. Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca.

$6 \leq r \leq 7,$ $0 \leq \theta \leq 2\pi,$ $0 \leq z \leq 20.$

3116   

Seja \(G\) a região sólida dentro da esfera de raio \(2\) centrada na origem e acima do plano \(z=1\). Mostre (ou verifique) os seguintes resultados:

  1.  O volume de \(G\) é dado por \[\iiint\limits_G\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{3}}\int_1^{\sqrt{4-r^2}}r\,dzdrd\theta \]

  2.  \[\iiint\limits_G\dfrac{z}{x^2+y^2+z^2}\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{3}}\int_1^{\sqrt{4-r^2}}\dfrac{rz}{r^2+z^2}\,dzdrd\theta \]

2598   

Considere a integral tripla iterada $$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}\int_{x^2 + y^2}^{4-x^2-y^2} dz dy dx.$$

  1.  Transforme a integral utilizando coordenadas cilíndricas.

  2.  Calcule a integral.

  3.  Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.

  1.  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{ r^2}^{4-r^{2}} r dz dr d\theta.$

  2.  $4\pi.$

  3.  Região entre os parabolóides $z = x^2 + y^2$ e $z = 4 - x^2 - y^2$.

2594   

Mude as coordenadas de $(1,-1,4)$ de retangulares para cilíndricas.

 $\displaystyle (\sqrt{2}, \dfrac{7\pi}{4}, 4).$

2597   

Seja $D$ a região limitada abaixo pelo plano $z=0$, acima pela esfera   $x^2+y^2+z^2=4$ e dos lados pelo cilindo $x^2+y^2=1$. Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que dão o volume de $D$ usando as ordens de integração a seguir.

  1.  $dzdrd\theta$

  2.  $drdzd\theta$

  3.  $d\theta dzdr$

  1.  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} r dz dr d\theta.$

  2.  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{0}^{1} r  drdzd\theta +  \int_{0}^{2\pi} \int_{\sqrt{3}}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - z^2}} r  drdzd\theta.$

  3.  $\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} \int_{0}^{2\pi} r  d\theta dzdr.$

2602   

Calcule, usando integração, o volume do sólido limitados pelas superfícies $z = 1$, $z = 2$ e $z = \sqrt{x^2 + y^2}.$

$\dfrac{7\pi}{6}.$

2587   

Calcule a massa do cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 4$ e $0\leq z \leq 2$, sabendo que a densidade no ponto $(x,y,z)$ é o dobro da distância do ponto ao plano $z=0.$

$16\pi.$