Exercícios
MA141 - Geometria Analítica
Selecione os exercícios por
Dificuldade
Categoria
Outros
Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$.
Estabeleça as equações gerais dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos $xOy$ e $yOz$.
$x-y=0$
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]
Sejam $A=(1,2,-1)$, $B=(5,0,1)$, $=C(2,-1,1)$ e $D=(6,1,-3)$ os vértices de um tetraedro. Calcule:
o volume deste tetraedro;
a sua altura relativa ao vértice $D$.
1. Os três vetores que determinam este tetraedro poderiam ser $
\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{AD}$. Como $ \overrightarrow{AB}$ $=\left( 4,-2,2\right) $, $\overrightarrow{AC}$ $ =\left( 1,-3,2\right) $ e $\overrightarrow{AD}$ $=\left( 5,-1,1\right) $ e $V_{T}=\frac{\left\vert \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right] \right\vert }{6}$, então
$\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]
=\left\vert
\begin{array}{ccc}
4 & -2 & 2 \\
1 & -3 & 2 \\
5 & -1 & 1
\end{array}
\right\vert =36$.
Assim, concluímos que o volume do tetradro é $V_{T}=\frac{\left\vert 36\right\vert }{6}=6$.
2 . Os vetores que determinam o tetraedro são $\overrightarrow{AB},$ $
\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{AD}.$ Sabemos que o volume do
tetraedro é dado por $V_{T}=\frac{A_{b}h}{6}$, onde $A_{b}$ é a área da base e $h$ é a altura. Como a área da base é um triângulo determinado pelos vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}, $ $A_{b}=\frac{\left\vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right\vert }{2}$.
Por outro lado, do cálculo vetorial temo que $V_{T}=\frac{\left\vert
\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]
\right\vert }{6}.$ Então, temos $\left\vert \left[ \overrightarrow{AB},
\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right] \right\vert =\left\vert
\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right\vert h$ $\Longrightarrow h=\frac{\left\vert \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right] \right\vert }{\left\vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right\vert }.$
Como $\overrightarrow{AB}$ $=\left( 4,-2,2\right) $, $\overrightarrow{AC}$ $
=\left( 1,-3,2\right) $e $\overrightarrow{AD}$ $=\left( 5,-1,1\right) $, temos $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right] =36$ e
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left\vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
4 & -2 & 2 \\
1 & -3 & 2
\end{array}
\right\vert =2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}-10\overrightarrow{k}.$
Logo, $\left\vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right\vert =2 \sqrt{35}$. Portanto, concluímos que $h=\frac{18\sqrt{35}}{35}$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$.
\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=e^t$, $y=e^{-t}$ e $z=t$.
Mostre que o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem uma equação da forma $f(x,y)=0$ ou $f(x,z)=0$ ou $f(y,z)=0$ representa uma superfície cilíndrica que tem retas geratrizes paralelas ao eixo cuja variável não aparece na equação. Equação esta que é também a equação da curva diretriz no plano coordenado correspondente às variáveis que aparecem na equação.
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas:
- $ (3,\frac{\pi}{4})$,
- $ (6,\frac{2\pi}{3})$,
- $ (-2,\frac{\pi}{6})$,
- $ (4,-36^{o})$,
- $ (-3,150^{o})$,
- $ (1,\frac{187\pi}{6})$,
- $ (-2,-\frac{16\pi}{3})$.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1
\end{pmatrix}.
$
As raízes são: \(x=-1\) (simples) e \(x=1\) (dupla).
Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica $(x(t),y(t))=(3\cos t,4\sin t)$, em $t=\pi/4$ e $7\pi/4$, sem eliminar o parâmetro.
Verifique suas respostas do item anterior eliminando o parâmetro e diferenciando uma função apropriada de $x$.
Sejam $U=\begin{bmatrix} c & 4 & 1 \\ 0 & d+1 & 3 \\ 0 & 0 & c^2-4 \end{bmatrix}$, $M=\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -4 & 9 & -3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ e $N=\begin{bmatrix} 1 & -5 & 4 \\ -2 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & -1 \end{bmatrix}$.
- Determine, se possível, $c$ e $d$ tais que $A=M\,U$ seja invertível;
- Determine, se possível, $c$ e $d$ tais que $B=N\,U$ seja invertível.
- Posto que $\det(M)=0$ e $\det(A)=\det(M)\det(U)$, não há valores de $c$ e $d$ tais que $A$ seja invertível.
- $\det(N)=40$, logo, se $\det(U)\neq0$, $B=NU$ será invertível, de novo porque $\det(B)=\det(N)\det(U)$. Os valores de $c$ e $d$ para os quais $\det(U)\neq$ são $c,\, d\in\mathbb{R}$ tais que $c\neq 0,$ $c\neq\pm 2$ e $d\neq -1$.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Provar, utilizando o produto escalar, que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.
Consideremos a semicircunferência de raio $R$ com centro na origem $O$ do sistema cartesiano e situada no semiplano $y\geq 0$. Sejam $A=(R,0)$, $B=(x,y)$ e $C=(-R,0)$ três pontos sobre esta semicircunferência, sendo $B$ um ponto qualquer tal que $x^2+y^2=R^2$. Assim, teremos que
\begin{multline*}\vec{CB}\cdot\vec{AB}=(B-C)\cdot(B-A)=(x+R,y)\cdot(x-R,y)= \\ =(x+R)(x-R)+y^2 =x^2-R^2+y^2=(x^2+y^2)-R^2=R^2-R^2=0.\end{multline*} Ou seja, o triângulo inscrito $ABC$ é retângulo no vértice $B$.
Identifique a cônica descrita pela equação $4x^2-4xy+y^2-2x+y+15=0$.
Mostre que se $X\;\mbox{e}\; Y$ são dois vetores tais que $X+Y$ é ortogonal a $X-Y$, então $\left\|X\right\|\;=\;\left\|Y\right\|$.
$X+Y$ ortogonal a $X-Y$ $\Rightarrow$ $(X+Y)\cdot(X-Y)=0$.
$(X+Y)\cdot(X-Y)=0$ $\Rightarrow$ $X\cdot X-X\cdot Y+Y\cdot X - Y\cdot Y=0\Rightarrow X\cdot X- Y\cdot Y=0 \Rightarrow X\cdot X= Y\cdot Y\Rightarrow ||X||^2=||Y||^2$ e, pela não negatividade da norma, $||X||=||Y||$.
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 1-2t\\y &=& -1-t\\ z &=& 3 + 3t\end{array}\right., \ \ \
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 3+4s\\y &=& -4+2s\\ z &=& 1 + s\end{array}\right. .
\]
São reversas.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]
$x_2 = \dfrac{13-2 x_1}{5}, x_3 = \dfrac{1+x_1}{5}, x_4 = \dfrac{9-x_1}{5}, \forall x_1\in\mathbb{R}.$
Dado um plano qualquer com um sistema de coordenadas $xy$, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $4x^2+9y=144$. Esboce o gráfico.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+3y^2+4xy+4y-4=0$.
Sejam $u=(1,-1,3)$ e $v=(3,-5,6)$ dois vetores. Encontre $\mathrm{proj}_{u+v} (2u-v)$.
$\dfrac{1}{133}(-88,132,-198)^T$
Encontre a equação da parábola que tem foco no ponto $F = (1,1)$ e tem reta diretriz com equação $y = -x - 2$.
Dados os pontos $A=(-2,3,4)$, $B=(3,2,5)$, $C=(1,-1,2)$ e $D=(3,2,-4)$, calcular $\textrm{proj}_{CD}{AB}$.
$\textrm{proj}_{CD}{AB}=\dfrac{1}{49}(2,3,-6)$.
Uma corda da circunferência $x^2+y^2=25$ se encontra sobre a reta cuja equação é $x-7y+25=$. Qual o comprimento dessa corda?
Seja $\mathcal{C}$ a cônica cuja equação em relação ao sistema $xy$ é dada por $29x^2 + 24xy + 36y^2 + 22x + 96y = 115$. A mudança de coordenadas entre os sistemas $xy$ e $x_{1}y_{1}$ é feita através de uma matriz ortogonal $U$, como segue
\[ \begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{\,4}{5}} \\{\frac{\,-4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\quad \text{ e }\quad
\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{-4}{5}} \\ {\frac{\,4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix},\quad \text{ lembrar que } U^{-1} = U^{t}.\]
Já a mudança entre os sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$ é dada por $X = x_{1}+1$, $Y = y_{1}+1$.
Encontre a equação de $\mathcal{C}$ nos sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$.
Encontre as coordenadas dos vértices e dos focos de $\mathcal{C}$ nos três sistemas, $xy$,\,$x_{1}y_{1}$ e $XY$. Dica: Encontrar primeiro no sistema $XY$ e ir voltando.
Faça um esboço do desenho da cônica.
Dados os planos $\pi_1:x-y=0$, $\pi_2:x+y-z+1=0$ e $\pi_3:x+y+2z-2=0$, determine o plano que contém $\pi_1\cap\pi_2$ e é perpendicular a $\pi_3$.
Suponha que uma partícula se mova no espaço e tenha posição $H(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$ no instante $t$ (hélice cilíndrica). Esboce a trajetória da partícula. Qual a sua direção no instante $t$?
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]
Esse sistema possui infinitas soluções.
Mostre que a equação $x^2+y^2-z^3=0$ representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação da curva geratriz.
Reduza a equação $-2x^2+4y^2+6z^2+2xy+6xz+6yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Qual a equação da circunferência que passa pelos pontos $(1,2)$, $(3,4)$ e que tem centro sobre o eixo $y$?
Identifique a cônica descrita pela equação $4x^2-12xy+9y^2-6x+9y-4=0$.
Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que é perpendicular ao plano $2x-y+2z=4$ e passa pelo ponto de interseção das retas $r_1$ e $r_2$ dadas por: $$
r_1: \left\{\begin{array}{ccr}
x&=&t \\ y&=&2+t \\ z&=&1+t
\end{array}\right.,\,\,\, t\in \mathbb{R} \;\;\;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\;\;\;
r_2:\left\{\begin{array}{ccr}
x&=&-1+2s \\ y&=&1+s \\ z&=&0
\end{array}
\right.,\;\;s\in \mathbb{R}.$$
Usando escalonamento, obtemos que o ponto de intersecção ocorre para os valores $s=0$ e $t=-1$ dos respectivos parâmetros. Ou seja, as retas $r_1$ e $r_2$ se intersectam no ponto $(-1,1,0)$. Como $r$ é perpendicular ao plano, então podemos tomar a normal $(2,-1,2)$ como um vetor diretor. Portanto, a reta procurada pode ser descrita vetorialmente como $$\vec{r}=(-1,1,0)+t(2,-1,2),\quad t\in\mathbb{R},$$ ou ainda, parametricamente, como sendo $$\begin{cases} x=-1+2t,\\y=1-t,\\z=2t,\quad t\in\mathbb{R}. \end{cases}$$
Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
\[
\begin{array}{lccccc}
& \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} &
\text{Tinta} & \text{Tijolo}\\
\text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\
\text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\
\text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13
\end{array}
\]
Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual é o custo total do material empregado?
- As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
- O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
- O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.
Encontre o ponto $Q$ do espaço tal que o vetor com origem no ponto $P=(1,0,1)$ e com extremidade em $Q$ tenha norma, direção e sentido iguais ao vetor $(1,-2,1)$.
$Q=(2,-2,2)$.
Determine a reta $t$, contida no plano $\pi : x-y+z=0$, e que é concorrente com as retas
$$\begin{cases} x+2y+2z=2\\ x=y \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \begin{cases} z=x+2\\ y=0 \end{cases}$$
Usando escalonamento, podemos ver que a primeira reta irá intersectar o plano $\pi$ no ponto $A=(2/3,2/3,0)$. Da mesma forma, a segunda reta irá intersectar $\pi$ no ponto $B=(-1,0,1)$. Assim, $t$ será a reta contida em $\pi$ e que passa por $A$ e $B$. Ou seja, tomando $B-A=(-5/3,-2/3,1)$ como vetor diretor, então podemos escrever $t$ na forma vetorial como $$ t: (2/3,2/3,0)+s(-5/3,-2/3,1),\quad s\in\mathbb{R}, $$ ou ainda, em termos de componentes, $$\begin{cases} x=\frac{2}{3}-s\frac{5}{3}, \\ y=\frac{2}{3}-s\frac{2}{3},\\ s,\quad s\in\mathbb{R}.\end{cases}$$
O momento escalar ou torque sobre o ponto $P$ de uma força $\vec{F}$ aplicada a um ponto $Q$ é dado por $\|\vec{PQ} \times \vec{F}\|$. Uma força $\vec{F}$ com magnitude de $10 N$ é aplicada na direção $y$ positiva sobre o ponto $Q=(1,1,1)$ em um cubo com lados de tamanho $1m$. Determine o momento escalar de $\vec{F}$ sobre o ponto $P = (1,0,1)$. Faça um esboço do gráfico, indicando a força e o momento escalar.
Identificar a cônica $8y^2+6xy-12x-26y+11=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Dada a superfície $4x^2+y^2+z^2=9$, identifique a cônica obtida ao fixar:
$x=0$;
$y=0$;
$z=1$.
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{3}{2+4cos\theta}$.
Sendo $A=(-2,3)\;\mbox{e}\; B=(6,-3)$ extremidades de um segmento, determinar:
Os pontos $C,\;D\;\mbox{e}\; E$ que dividem o segmento $AB$ em quatro partes de mesmo comprimento.
Os pontos $F\;\mbox{e}\; G$ que dividem o segmento $AB$ em três partes de mesmo comprimento.
Dadas a equação da curva diretriz $y^2=4x$, $z=0$ e um vetor $V=(1,-1,1)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Dada a superfície $4x^2+z^2-y^2=9$, identifique a cônica obtida ao fixar:
$x=0$;
$y=0$;
$z=1$.
Calcule o determinante da matriz:
$\begin{pmatrix}
a+b&a+c \\ d+b&d+c
\end{pmatrix}. $
$\det\left(\begin{pmatrix}a+b&a+c \\ d+b&d+c\end{pmatrix}\right)=(c-b)(a-d). $
Quais são os cossenos diretores do vetor de $(2,-3,5)$ a $(-1,1,-7$)?
$-3/13,4/13,-12/13$.
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(3,-2,4)$ e é paralela ao eixo dos $x$.
$r:(x,y,z)=(3+t,-2,4);$
Seja $r$ a reta que passa pelo ponto $A(3,-2,4).$ Como a reta $r$ deve ser pararela aos eixos $x$, considere o vetor canônico $\left( 1,0,0\right)$, que por sinal será o vetor direção do eixo dos $x$ e consequentemente o vetor direção da reta $r$, pois é paralela ao eixo dos x e dado por $\ v=\overrightarrow{i}$. Nesse sentido, como temos um vetor direção e o ponto $A(3,-2,4)$, concluímos que as equações paramétricas são dadas por $$\begin{cases} x=3+t\\ y=-2\\ z=4. \end{cases}$$
Reduza a equação $2x^2+y^2-4xy-4yz+12x+6y+6z=1 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;(x,y,z)=(2,4,1)+t(1,-2,3)\ \ \ {\rm e} \ \ \ \ r_2:\;(x,y,z)=(-1,2,5)+t(4,3,-2)$$
As retas não são concorrentes.
Mostre que as duas diagonais do trapézio e a reta que passa pelos pontos médios dos lados paralelos são concorrentes.
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de cartesianas para polares:
- $(7,7)$,
- $(1,-\sqrt{3})$,
- $(-3,-3\sqrt{3})$,
- $(0,7)$,
- $(0,-2)$.
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $x^2+3xy+y^2=2$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(4,-3,-2)$ e $B(3,3,4)$.
$r:(x,y,z)=(3-t,3+6t,4+6t).$
- Ache $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) .\] - Mostre que não existem $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) . \] - Existem $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}
\right) ?\]
- $x=-4$; $ y=3$; $z=3$; $w=-2$.
- \[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}x & 0\\z & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) . \]
Mas $0=1$ é absurdo. - \[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}[c]{cc}x+y & x+y\\w+z & w+z\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}
\right) .\]
Portanto, o sistema é sobredeterminado e impassível de solução.
Diga qual é a cônica obtida pela intersecção do cone
$$x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$$
com o plano
$$x - y + z\;\sqrt{2/3} = 5 \sqrt{2/3} .$$
Explique seu raciocínio.
Seja $\ell$ a curva com equações paramétricas $x=a(1+t^2)/(1-t^2)$, $y=2bt/(1-t^2)$. Determine $\ell$.
Considere o sistema linear:
$$ \left\{ \begin{array}{rcrcrcc}a x &+& b y &+& cz & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b)y &+& (\alpha c) z & = & d \\(\beta a) x &+& (\beta b)y &+& (\beta c) z & = & e\end{array} \right. ,$$
onde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $\alpha$ e $\beta$ são números reais.
Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e=\beta c$, o sistema tem infinitas soluções em função de um único parâmetro real.
Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e\neq\beta c$, ou, se $d\neq\alpha c$ e $e=\beta c$, o sistema tem infinitas soluções em função de dois parâmetros reais.
Mostre que, se $d\neq\alpha c$ e $e\neq\beta c$, o sistema tem solução única.
Seja $\pi $ o plano que contém as retas
\[
r_{1}:\left\{
\begin{array}{ccc}
x & \;=\; & 2t \\
y & \;=\; & t \\
z & \;=\; & 2-t
\end{array}
\right. \mathrm{onde}\ \;\;t\in \Bbb{R}\;\;\;\;\ \ \ \ \ \ \mathrm{e}\ \ \ \
\ \ \;\;r_{2}:\left\{
\begin{array}{ccc}
z & \;= & \;2 \\
x & \;= & y
\end{array}
\right.
\]
- Determine a equação de $\pi $.
- Escreva o vetor $\vec{V}=2\vec{\imath}+1\vec{\jmath}+2\vec{k}$ como a soma de 2 vetores $\vec{U_{1}}$ e $\vec{U_{2}}$, sendo $\vec{U_{1}}$ paralelo a $\pi $ e $\vec{U_{2}}$ ortogonal a $\pi $.
- $x-y+z=2.$
- $\overrightarrow{U}_{1}=(1,2,1)$ e $\overrightarrow{U}_{2}=(1,-1,1).$
Às vezes o gráfico de uma equação quadrática é uma reta, um par de retas ou até mesmo um único ponto. Nos referimos a tais gráficos como cônicas degeneradas. É também possível que a equação não seja satisfeita para nenhum valor real das variáveis, caso este no qual não existe um gráfico e dizemos tratar-se de uma cônica imaginária. Nos itens abaixo, identifique a cônica com a equação dada, dizendo se é degenerada ou imaginária. Quando possível, esboce também o gráfico.
$\displaystyle x^2+2xy+y^2=0$;
$\displaystyle x^2-2xy+y^2+2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y=0$;
$\displaystyle 2x^2+2xy+2y^2+2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y+6=0$.
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;\begin{cases} y=2x-3\\ z=-x-10. \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ r_2:\; \begin{cases}y=3x+7\\ z=x+1\end{cases}$$
As retas não são concorrentes.
Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$, onde
\[A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 3 & 0 \\
3 & 2 & -2 \end{array}\right). \]
As raízes são: \(\lambda=-2\), \(\lambda=1\) e \(\lambda=3\).
Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata e uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata. Quanto gramas de cada liga são necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com quantidade igual de ouro e prata?
Serão necessárias aproximadamente 33.3333 gramas da liga $L_1$ e 66.6667 gramas da liga $L_2$.
Obtenha o plano que contém a reta $r = \{ (1,1,0)+t(2,1,2), t\in\mathbb{R}\}$ e é paralelo à reta $s:\frac{x+1}{2}=y=z+3$.
Um vetor diretor para a reta $s$ é dado por $v_s=(2,1,0)$. Já para
$r$, $v_r=(2,1,2)$ é o vetor diretor. Fazendo $v_r\times v_s=(-1,2,3)$
obtemos, dessa forma, um vetor normal ao plano procurado. Como esse
plano deve conter o ponto $(1,1,0)$, então o mesmo pode ser descrito
como: $$(x-1,y-1,z)\cdot(-1,2,3)=0\Longleftrightarrow -x+2y+3z=-1.$$
Considere os pontos $A = (4,3,-2)$, $B = (5,5,-1)$, $C = (6,4,-3)$ e $D = (7,6,0)$. Pede-se:
A equação do plano $\pi$ que passa por $A$, $B$ e $C$. Mostre também que $D$ não está em $\pi$.
As equações paramétricas da reta $r$ que passa por $D$ e é perpendicular ao plano $\pi$ (do item 1).
O ponto de interseção entre a reta $r$ (do item 2) e o plano $\pi$ (do item 1).
A distância do ponto $D$ ao plano $\pi$ (do item 1).
A área do triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ (área do triângulo $=1/2$ área do paralelogramo).
O volume do tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ e $D$. (Volume do tetraedro $= 1/6$ volume do paralelepípedo).
A altura do tetraedro $ABCD$.
Dica: Os itens 5 e 6 requerem produto vetorial. A solução baseada na geometria plana não é o propósito da geometria analítica.
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2+y^2=9$.
Identifique a cônica descrita pela equação$7x^2+6xy-y^2-2x+10y-9=0$.
Em cálculo de uma variável vemos que se $x_0$ é um extremo local (máximo ou mínimo) de uma função $f(x)$, então a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0$ é horizontal, ou seja, $f'(x_0)=0$.
Encontre uma relação similar entre um extremo local de uma função de duas variáveis e o plano tangente ao seu gráfico.
Use esta relação para encontrar os extremos locais da função $\displaystyle f(x,y)=2x^2+2y^2-2x-6y+14$.
Verifique se sua resposta no item anterior está correta completando os quadrados em $f(x,y)$ e identificando a quádrica.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&1&-6&-2 \\ 4&7&4&4 \\ -2&-2&1&-2 \\ -4&-7&0&-1
\end{pmatrix}.
$
\(-27\)
Considere as retas $r=\{ (1,1,0)+t(0,1,1), t\in\mathbb{R}\}$ e $s:\frac{x-1}{2}=y=z$. Sejam $A$ o ponto de intersecção de $s$ e $\pi : x-y+z=2$; $B$ e $C$ as intersecções de $r$ com os planos coordenados $xz$ e $xy$ respectivamente. Calcule a área do triângulo $ABC$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
Sejam $P=(a,b, c)$ um ponto no espa\c co e $r$ a reta $\left\{ \begin{array}{c} x+y+2z=4 \\ x-2y+z=5\end{array} \right.$. Para cada par não nulo de n\'umeros reais, $m,\,n$, considere o plano:
$$\pi_{(m,n)}: (m+n)x+(m-2n)y+(2m+n)z=4m+5n.$$
Mostre que: $P\in r$ se e somente se $P\in \pi_{(m,n)}$, para todo par não nulo $(m,n)$.
Dados os pontos $A=(-3,2)$ e $B=(5,4)$:
Faça um esboço de $\vec{AB}$.
Calcule a distância de $A$ até $B$.
Ache o ponto médio entre $A$ e $B$.
Ache o vetor $\vec{BA}$.
Ache o ponto em $\vec{AB}$ cuja distância é 3 vezes maior de $A$ do que de $B$. Isto é, o ponto que divide $\vec{AB}$ na razão $3:1$ (existe outro ponto que está fora de $\vec{AB}$).
Ache o ponto em $\vec{AB}$ cuja coordenada $x$ é igual a $2$.
Ache o ponto em $\vec{AB}$ (extendido) cuja coordenada $y$ é igual a $5$.
Ache os pontos no eixo $x$ e no eixo $y$ que são equidistantes de $A$ e $B$.
Dados os pontos $A = (2,3,0), \; B = (4,0,1)$ e $C = (0,1,2)$ no $\mathbb{R}^{3}$, determine:
O comprimento do lado $AB$.
A medida do ângulo entre os lados $BA$ e $BC$.
A área do triângulo $ABC$.
O comprimento da altura do triângulo $ABC$ relativa ao vértice $A$.
As coordenadas do ponto no lado $AC$ por onde passa a perpendicular a esse lado que contém o ponto $B$.
Desenhe o triângulo $ABC$ no espaço $\mathbb{R}^{3}$.
Determine a área do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e inscrito na elipse com vértices $A_1=(10,0)$, $A_2=(-10,0)$, $B_1=(0,6)$, $B_2=(0, -6)$.
Os vetores $(1,1,0,-1),(1,2,1,3),(1,1,-9,2),(16,-13,1,3)$ formam uma base para $\mathbb{R}^{4}$?
Sim, porque são 4 vetores linearmente independentes, e dim $\mathbb{R}^{4}=4$.
Verifique se os seguintes pontos são colineares: $A=(0,1,-1)$, $B=(1,2,0)$ e $C=(0,2,1)$.
Os pontos não são colineares.
Considere o polinômio $p(\lambda)=\det(A-\lambda I_3)$, em que$$ A= \left[\begin{array}{ccc} a & d/2 & e/2 \\ d/2 & b & f/2 \\ e/2 & f/2 & c \end{array}\right]. $$
Sejam $\alpha$ e $\beta$ raízes reais (pois $A$ é simétrica) distintas de $p(\lambda)$. Mostre que se $X_1$ é solução de $(A-\alpha I_2)X=\vec{0}$ e $X_2$ é solução de $(A-\beta I_2)X=\vec{0}$, então $X_1$ e $X_2$ são ortogonais. (Sugestão: Mostre que $\alpha X_1\cdot X_2=\beta X_1\cdot X_2$)
Mostre que se $p(\lambda)$ tem raízes reais distintas, então sempre existe uma matriz $Q$ tal que $$ Q^tAQ = \left[\begin{array}{ccc} a' & 0 & 0 \\ 0 & b' & 0 \\ 0 & 0 & c' \end{array}\right]. $$ Conseqüentemente, a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$ transforma a equação $$ ax^2+by^2 + cz^2 + dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0 $$ na equação $$a'x'^2+b'y'^2+c'z'^2+g'x'+h'y'+i'z + j=0, $$ onde os termos "cruzados" $xy$, $xz$ e $yz$ são eliminados.
Considere as retas $r$ e $r^{\prime}$ dadas por:
$r$: $x=0$, $y=2+t$ e $z=1+t$ $r^{\prime}$: $ x-2=z+1$ e $y=3$.
- Mostre que $r$ e $r^{\prime}$ são reversas.
- Encontre dois planos paralelos $\pi$ e $\alpha$ tais que $r\subset \pi$ e $r^{\prime}\subset \alpha$. Pergunta: Podem existir outros planos com as propriedades de $\pi$ e $\alpha$?
- Encontre a distância entre os planos $\pi$ e $\alpha$ do item anterior.
- Encontre $P$ em $r$ e $Q$ em $r^{\prime}$ tais que a reta que passa por $P$ e $Q$ seja perpendicular a $r$ e $r^{\prime}$.
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}-z^2=1$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
No tetraedro $ABCD$, seja $X$ um ponto tal que $\vec{AX}$ = $m\vec{XD}$. Determine os valores de $m$ para os quais os vetores $\vec{AX}+\vec{AC}$, $\vec{BX}+\vec{BC}$ e $(1-m)\vec{BC}+\vec{AB}$ sejam linearmente independentes.
Para o par de retas $r$ e $r^{\prime}$ abaixo encontre o ponto de interseção, $r\cap r^{\prime}$, se existir. E nos casos em que a interseção é vazia decida se elas são paralelas ou reversas.
$r:$ $(x,y,z) = (-1,-4,2) + t(2,-5,3)$ e
$r^{\prime}:$ $\frac{x-3}{2}=\frac{y+14}{5}=\frac{z-8}{-3} .$
Usando escalonamento, podemos verificar que a intersecção ocorre em $t=2$ e, logo, corresponde ao ponto $r\cap r'=(3,-14,8)$.
Um vetor no espaço tem dois de seus ângulos diretores dados: $\alpha=30^\circ$ e $\beta=60^\circ$. Ache o outro ângulo diretor e faça um esboço do vetor. Quantas respostas existem? (Sugestão: use as fórmulas de cosseno diretor).
$90^\circ$.
Suponha que uma partícula $p$ tenha trajetória descrita pela curva $C(t) = (\cos(t), \sin(t), 0).$ Ou seja, $p$ se move ao longo de um círculo no plano $xy$. Seja $\epsilon >0$ um número real (pequeno). Podemos perturbar o movimento de $p$, no instante $t$, empurrando-a um pouco em alguma outra direção. Dada a curva $D(t) = \left(\cos\left(\frac{3}{2}t\right)\cos\left(t\right), \cos\left(\frac{3}{2}t\right)\sin\left(t\right), \sin\left(\frac{3}{2}t\right)\right)$, considere a nova trajetória "perturbada" $E(t) = C(t) + \epsilon D(t)$. Esboce $E(t)$ com $\epsilon = 1/4$ e com $t$ em radianos. Como muda a imagem (traço) da curva se trocarmos o fator $\frac{3}{2}$ por outro número, digamos, $\frac{5}{3}$ ou $\frac{8}{5}$? E se o coeficiente for irracional?
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
0&a&0\\ b&c&d\\ 0&e&0
\end{pmatrix}.
$
\(0\)
Considere a matriz $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & a \\ 2 & 2a-2 & -a-2& 3a-1 \\ 3 & a + 2 & -3 & 2a + 1 \end{bmatrix}.$$ Determine o conjunto solução do sistema $A\,X = B$, em que $B = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 6\end{bmatrix}^t$, para todos os valores de $a$.
Para $a=5$, o sistema não possui solução.
Para $a=1$, o sistema possui infinitas soluções com $x=2-w$, $y=z=1$ e $w\in\mathbb{R}$.
Para $a\neq 5$ e $a\neq 1$, $x = \dfrac{4a-11}{a-5}$, $y = \dfrac{4}{5-a}$, $z = \dfrac{4}{5-a}$, $w = \dfrac{1}{5-a}$.
Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]
$x_3 = 2 - \dfrac{x_1- 9 x_2}{4} , x_4 = -\dfrac{5x_1-x_2}{4}, \lambda = 0, \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&-2&3&2\\ 0&2&-1&1\\ 0&0&-1&1\\ 2&0&0&3
\end{pmatrix}.
$
\(14\)
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Uma piscina olímpica pode ser vista como um paralelepídeo. Pesquise as medidas padronizadas de uma piscina olímpica e e calcule, utilizando o produto misto, o volume de água utilizado para enchê-la. Defina o sistema de coordenadas e os três vetores do produto misto de forma a facilitar as contas.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]
Sejam $\vec{OA}$ e $\vec{OB}$ dois vetores não colineares no espaço. Qual o conjunto dos pontos $P$ tais que $\vec{OP} = \lambda\vec{OA}+(1-\lambda)\vec{OB}$?
Trata-se da reta passando pelos pontos $A$ e $B$.
Dada a superfície $4x^2+y^2-z=0$, identifique a cônica obtida ao fixar:
$x=0$;
$y=0$;
$z=1$.
Mostre que a equação $17x^2+2y^2+z^2-8xy-6xz-2=0$ representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.
Suponha que $u_1,\ldots, u_n$ gerem $\mathbb{R}^n$. Mostre que dados vetores quaisquer em $\mathbb{R}^n$, $u_{n+1}, \ldots, u_m$, então $u_1, \ldots, u_n, u_{n+1}, \ldots, u_m$ geram $\mathbb{R}^n$.
Seja $C$ o lugar geométrico dos pontos $P = (x,y)$ de um plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem a equação $3x^2+2xy+3y^2-6x-6y+1=0$.
Qual a natureza da cônica $C$?
Escrever a forma canônica da equação de $C$.
Caso $C$ seja uma elipse ou uma hipérbole, encontre os focos e a excentricidade. Caso seja uma hipérbole, encontre também as equações das retas assíntotas no sistema $xy$ original.
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo maior tem área de superfície
$$ S= 2\pi ab\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}\arcsin\dfrac{c}{a}\right), $$
onde $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ e curva diretriz situada no plano $z=c$ com equação $f(x,y)=0$ é $$f(x_0+\dfrac{c-z_0}{z-z_0}(x-x_0), y_0+\dfrac{c-z_0)}{z-z_0}(y-y_0))=0. $$
Sejam $\vec{u},\; \vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores. Sabendo que $\vec{u}$ é ortogonal a $\vec{v} - \vec{w}$ e $\vec{v}$ é ortogonal a $\vec{w} - \vec{u}$, verifique que $\vec{w}$ é ortogonal a $\vec{u} - \vec{v}$.
Como $\vec{u}\cdot(\vec{v}-\vec{w})=0$, temos que
$\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}$. Da mesma forma, como
$\vec{v}\cdot(\vec{w}-\vec{u})=0$, decorre que
$\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{u}$. Assim, usando a simetria do
produto interno euclidiano, segue que
$$
\vec{w}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}-\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}=0.$$
Sejam $A,B$ e $C$ matrizes reais tais que $AB=AC$. Se existir uma matriz $Y$ tal que $YA=I$, onde $I$ é a matriz identidade, então podemos concluir que $B=C$?
Sim, pois se \(Y\) é uma inversa à esquerda de \(A\), então podemos multiplicar ambos os lados, à esquerda, da equação \(AB=BC\) e então teremos que
\[ B=IB=(YA)B=Y(AB)=Y(AC)=(YA)C=IC=C.\]
Um homem parado num ponto $Q=(x,y)$ ouve o estampido de um rifle localizado no ponto $P_1=(1000,0)$ e o som do projétil atingindo o alvo no ponto $P_2=(-1000,0)$ ao mesmo tempo. Se o projétil viaja a $2000$ pés/s e o som a $1100$ pés/s, ache uma equação relacionando $x$ e $y$.
Reduza a equação $4x^2-2y^2+z^2=1$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$\dfrac{x^2}{1/4} - \dfrac{y^2}{1/2} + z^2 = 1$: hiperbolóide de uma folha.
Reduza a equação $3x^2+y^2+z^2+4yz+12x+2y-2z+9=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $7x^2 + 7y^2 + 10z^2 - 2xy - 4xz + 4yz - 12x + 12y + 60z = 24$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Calcule a área de um triângulo cujos vértices são: $A= (2,-1,-3)$, $B = (1,2,-4)$ e $C = (3,-1,-2)$.
$\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|/2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Resolva o sistema $A\,X=B$ usando o método de Gauss-Jordan, onde: $$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \text{ e } B=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$
Destaque as operações elementares usadas.
Vamos aplicar escalonamento sobre a matriz aumentada do sistema:
\begin{gather*}
\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1&\vdots & 1 \\ 2 & 1 & 0& \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 1 \end{pmatrix} \begin{array}{c} L_2-2L_1\rightarrow L_2\\ \sim \end{array}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & \vdots & 01 \\ 0 & 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 01 \end{pmatrix}
\begin{array}{c} L_3-L_2\rightarrow L_3 \\\sim \end{array}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0&0&-1&\vdots&2 \end{pmatrix} \\ \begin{array}{c} \\-L_3\leftrightarrow L_3 \\ \sim \\ L_3+L_1\rightarrow L_1 \end{array} \begin{pmatrix} 1& 0& 0&\vdots & -1\\ 0& 1& 2&\vdots & -1\\ 0& 0& 1&\vdots &-2 \end{pmatrix}
\begin{array}{c} L_2-2 L_3\rightarrow L_2 \\ \sim \end{array}
\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\vdots &-1 \\ 0 & 1& 0& \vdots& 3\\ 0& 0 & 1 &\vdots & -2 \end{pmatrix}. \end{gather*} Logo, a solução é dada por \(\displaystyle (-1,3,-2)^T\).
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2\cos\theta$, $y=2\sin\theta$ e $z=2\theta$.
Seja $C$ o lugar geométrico dos pontos $P = (x,y)$ de um plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem a equação $9x^2-24xy+16y^2-34x-38y+51=0$.
Qual a natureza da cônica $C$?
Escrever a forma canônica da equação de $C$.
Caso $C$ seja uma elipse ou uma hipérbole, encontre os focos e a excentricidade. Caso seja uma hipérbole, encontre também as equações das retas assíntotas no sistema $xy$ original.
Sendo $A=(2,-5,3)$ e $B=(7,3,-1)$ vértices consecutivos de um paralelogramo $ABCD$ e $M=(4,-3,3)$ o ponto de interseção das diagonais, determine os vértices $C$ e $D$.
$C=(6,-1,3)$ e $D=(1,-9,7)$
Sejam $\vec{A}$, $\vec{B}$ e $\vec{C}$ vetores no plano, com $\|\vec{A}\|=2$, $\|\vec{B}\|=3$ e $\|\vec{C}\|=4$. O ângulo entre $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é de $120^\circ$, entre $\vec{A}$ e $\vec{C}$ é de $135^\circ$ e entre $\vec{B}$ e $\vec{C}$ é de $105^\circ$. Faça um esboço do gráfico desses três vetores. Qual combinação linear de $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é igual a $\vec{C}$?
$\vec{C} = -(\sqrt{2}+\sqrt{2/3})\vec{A} + -(4\sqrt{2})/(3\sqrt{3}) \vec{B}$.
Encontre a equação do plano $\pi$, sabendo que $C=(-5,1,2)\in \pi$ e $\pi$ é perpendicular à reta que passa pelos pontos $A=(2,2,-4)$ e $B=(7,-1,3)$.
Podemos tomar $B-A=(5,-3,7)$ como vetor normal ao plano e, sendo $(B-A)\cdot C=-25-3+14=-14$, segue que $$\pi:5x-3y+7z=-14.$$
Seja $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma função definida por $f(x,y) = (2x+y,x-y)$. Ache o(s) valor(es) de $\lambda$ para que a equação $f(x,y) = \lambda(x,y)$ possua solução $(x,y) \neq 0$.
$\lambda=\dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ou $\lambda=\dfrac{1 - \sqrt{13}}{2}$.
Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).
Se $A$ é matriz $n\times n$ e $A^2={\bf 0}$, então $A={\bf 0}$, onde ${\bf 0}$ é a matriz nula.
A única matriz $n\times n $ simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^{2}=I_n$, então $A=I_n$ ou $A=-I_n$ ($I_n$ é a matriz identidade $n\times n$).
- Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right)$ é não-nula e $A^2={\bf 0}$. - Falsa. Qualquer matriz diagonal é simétrica e anti-seimétrica ao mesmo tempo.
- Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
z & 1
\end{array}\right)$ é diferente de $I_2$ e de $-I_2$ mas $A^2=I_2$.
Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado quando o mesmo: representa o vetor $v=(1,1,1)$ e sua extremidade é o ponto $P=(1,1,1)$.
$(0,0,0)$.
Encontre ou mostre a impossibilidade de encontrar $\gamma\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle x^2+\gamma y^2-4xy+ \gamma x = \gamma$ represente uma parábola.
Um ponto $(x,y,z)$ se move tal que sua distância ao ponto $(3,2,4)$ é sempre $5$. Qual figura $(x,y,z)$ traça? Faça um esboço de uma parte dessa figura (um octante). Escreva uma equação simplificada que os pontos $(x,y,z)$ devem satisfazer.
Uma esfera com centro $(3,2,4)$, raio $5$, com equação $x^2+y^2+z^2-6x-4y-8z+4=0$.
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 1+2t\\y &=& -3-t\\ z &=& t\end{array}\right., \ \
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 1/2+3/2s\\y &=& -1+s\\ z &=& 1/3s \end{array} \right. .
\]
São reversas.
Ache o ângulo entre duas retas no espaço que passam pela origem, no primeiro octante, sendo uma delas com ângulos diretores $\alpha_1=\beta_1=60^\circ$; e a outra com ângulos diretores tais que $\cos \alpha_2=\cos \beta_2=1/2\sqrt{2}$ (Sugestão: cada par de retas forma um plano que contém um dos eixos coordenados -- por quê?).
$15^\circ$.
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Se $(4,5)$ divide internamente um segmento de reta na razão $3:2$ e uma extremidade é $(-1,2)$, ache a outra extremidade.
$(22/3,7)$, $(23/2,19/2)$ (duas respostas internas).
Reduza a equação $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz - 2yz + x - y + z + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A=\begin{pmatrix}
3&4\\ 5&2
\end{pmatrix}.
$
\(x=7\) ou \(x=-2\)
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Sejam $\vec{u}=(2,1,3)$, $\vec{v}=(0,1,-1)$ e $\vec{w}=(4,5,3)$ vetores do espaço.
Calcule $\vec{u}+\vec{v} $ e $\vec{u}-2\vec{v}+3\vec{w}$.
Determine $a$ e $b$ tais que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$.
- $\vec{u}+\vec{v}=(2,1,2) $ e $\vec{u}-2\vec{v}+3\vec{w}=(14,14,14)$.
- $a=2$ e $b=3$.
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{5}=1$ e esboce seu gráfico.
Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$, com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$. Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$; para cada unidade de $p_2$, $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$; e para cada unidade de $p_3$, $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$. Utilizando matrizes, determine quantas unidades de $m_1$ e $m_2$ são necessárias na produção de $x$ unidades de $p_1$, $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$.
Seja $A$ a matriz $2 \times 3$ tal que sua primeira linha contenha informações sobre $m_1$ e a segunda linha informações sobre $m_2$, e a primeira, segunda e terceira colunas informações sobre $p_1$, $p_2$ e $p_3$, respectivamente:
$$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix} \text{ e } X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$$
então a multiplicação $AX$ nos dá o vetor tal que a sua primeira linha seja a quantidade de $m_1$ necessária e sua segunda linha a quantidade de $m_2$:
$$AX=\begin{pmatrix} x+y+z \\ 2x+y+4z \end{pmatrix}.$$
Seja $\ell$ a curva com equações paramétricas: $x=\dfrac{a(1+t^2)}{(1-t^2)}$ e $y=\dfrac{2bt}{(1-t^2)}$. Determine $\ell$.
Sabendo que o ponto $P=(-3,m,n)$ pertence à reta que passa pelos pontos $A=(1,-2,4)$ e $B=(-1,-3,1)$, determine $m$ e $n$.
\(m=-4\) e \(n=-2\)
Sejam $(x,y,z)$ coordenadas em relação ao sistema usual de $\mathbb{R}^3$, $S_0=\{O,i,j,k\}$. Considere o paralelepípedo $P$ com vértices $(0,0,0)$, $(3,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,1)$ (quais são os outros quatro?). Determine os vetores que representam as quatro diagonais de $P$. Escolha três deles e mostre que formam uma base de $R^3$. Chame esta base de $\beta =\{V_1,V_2,V_3\}$.
Sejam $u$ e $v$ vetores no espaço. Mostre que
$(u+v)\times (u-v)=2v\times u$.
Se $u\times v$ é não nulo e $w$ é um vetor qualquer no espaço, então existem números reais $a, b$ e $c$ tais que $w=a(u\times v)+bu+cv$.
Se $u\times v$ é não nulo e $u$ é ortogonal a $v$, então $u\times (u\times v)$ é paralelo a $v$.
Reduza a equação $4x^2-8x-9y^2+6y-36z+3=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$9z-2=(x-1)^2-\dfrac{(3y-3)^2}{4}$: parabolóide hiperbólico.
Resolver o sistema linear:\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]
$x_3 =\dfrac{11x_1+4x_2}{5}, x_4 = \dfrac{6 x_1-x_2}{5}, x_5 = \dfrac{21 x_1 + 9 x_2}{5}, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$.
Sabendo que o sistema
$ \left\{\begin{array}{rrrl}x&+y&+z&=1\\mx&+2y&+3z&=0\\m^2x&+4y&+9z&=1\end{array}\right.$
admite uma única solução, podemos concluir que $m$ pode assumir todos os valores no intervalo real:
- $[0,1]$
- $[1,2]$
- $[3,4)$
- $[0,4]$.
Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é simultaneamente ortogornal às retas $r_1$ e $r_2$:
$$A(0,0,0),\;\;r_1:\;\frac{x}{2}=y=\frac{z-3}{2}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2:\;\begin{cases} x=3t\\ y=-t+1\\ z=2. \end{cases}$$
$r:(x,y,z)=(2t,6t,-5t).$
Seja o triângulo de vértices $A(-1,4,-2),\; B(3,-3,6)$ e $C(2,-1,4)$. Escrever as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado $AB$ e pelo vértice oposto $C$.
$r:\begin{cases}x=2+2t\\ y=-1-3t\\ z=4+4t.\end{cases}$
Três tipos de suplementos alimentares estão sendo desenvolvidos. Para cada grama de ração, tem-se que:
i) O suplemento 1 tem $1$ unidade de vitamina A, $3$ unidades de vitamina B e $4$ unidades de vitamina C;
ii) O suplemento 2 tem $2$, $3$, e $5$ unidades das vitaminas A, B, e C, respectivamente;
iii) O suplemento 3 tem $3$ unidades das vitaminas A e C, e não contém vitamina B.
Se são necessárias $11$ unidades de vitamina A, $9$ de vitamina B, e $20$ de vitamina C,
Encontre todas as possíveis quantidades dos suplementos 1, 2, e 3, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada.
Qual o sistema homogêneo associado?
O sistema homogêneo associado aceita solução não nula?
Qual a relação entre a resposta dos itens anteriores?
Se o suplemento 1 custa $6$ reais por grama e os outros dois custam $1$, existe uma solução custando exatamente $10$ reais?
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
-2&2&-2\\2&1&-4\\ -2&-4&1
\end{pmatrix}.
$
$x_1=-3$, $x_2=-3$, $x_3=6$.
Considere a equação
$$x^{2} - 14 x y + y^{2} = 1.$$
Efetue a troca de variáveis $x = u \cos \theta + v\,\textrm{sen} \theta$ e $y = - u\, \textrm{sen} \theta + v \cos \theta$. Escolha, usando sua intuição ou fazendo as contas, $\theta$ de forma que a equação obtida em $u$ e $v$ seja a equação canônica de uma hipérbole. Explique o significado geométrico deste resultado e obtenha, nas coordenadas $x$ e $y$, as equações das retas que servem de assíntotas à tal hipérbole.
Reduza a equação $2x^2+y^2+2z^2+2xy-2yz=1 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Determine o plano que passa pelos pontos $P=(1,1,-1)$ e $Q=(2,1,1)$ e que dista $1$ da reta $r=\{ (1,0,2)+t(1,0,2),t\in\mathbb{R}\}$.
Como é afetado o formato de uma hipérbole quando sua excentricidade tende a $1$? E quando tende a $+\infty$? Esboce algumas figuras para ilustrar suas conclusões.
Verifique se a equação $x^2+y^2+z^2-2x-4y+10=0$ descreve uma esfera. Em caso afirmativo, identifique o centro e o raio.
Completando quadrados, vemos que não descreve uma esfera.
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço então: mostre que $\langle u,v\times w\rangle = \langle v, w\times u\rangle = \langle w , v\times u\rangle$.
Resolver o sistema linear:
\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Mostre que quaisquer vetores $a, b, c$ satisfazem a relação $$(a\times b)\cdot(c\times d)\;+\;(a\times c)\cdot(d\times b)\;+\;(a\times d)\cdot(b\times c)=0.$$
Encontre condições sobre o vetor $v=(a,b,c)$ para que exista uma reta na direção de $v$ que intercepte simultaneamente as retas $r$ e $s$:
$$r:\begin{cases} x= 2 + t\\y = 5 - t\\z = 3 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ s:\begin{cases} x= t\\y = 1 - t\\z = -2 \end{cases}$$
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $\displaystyle 4y^2-4y-24x+9=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Dado um plano qualquer com um sistema de coordenadas $xy$, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $49x^2-9y^2=441$. Esboce o gráfico.
Sejam
$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\1 & 0 & -1\\4 & -1 & 0\end{array}\right)$ e $X= \left( \begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)$.
Verifique que: $xA_1+yA_2+zA_3=AX$, sendo $A_j$ a $j$-ésima coluna de $A$ para $j=1$, 2, 3.
Usando 1. verifique que: a segunda coluna de $C=A^2$ é $C_2=-2A_1 - A_3$.
Tente generalizar o que foi feito em e para a seguinte situação: Sejam $A$ uma matriz $m\times n$, $B$ uma matriz $n\times k$ e $C=AB$. Se $C_j$ é a $j$-ésima coluna de $C$, encontre $C_j$ em termos das $n$ colunas de $A$ e da $j$-ésima coluna de $B$.
Reduza a equação $3x^2+3y^2+z^2-2xy-4x+2y+6z+5=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Identificar a cônica $x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Na equação $9x^2-4xy+6y^2=30$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.
Identifique a cônica $3 x^2-12 x y+12 y^2+ 2 \sqrt{5} x+\sqrt{5} y=0$ e seu parâmetros associados.
Seja o sistema linear $AX = B$, onde
\[A=\begin{pmatrix}1&\phantom{-}2&-3\\3&-1&\phantom{-}5\\1&\phantom{-}1&a^{2}-16\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}4\\2\\a+14\end{pmatrix}.\]
Determine o valor (ou valores) de $a$ para que o sistema tenha solução única.
Exitem valores de $a$ para os quais o sistema tem infinitas soluções?
Exitem valores de $a$ para os quais o sistema não tem solução?
Considere o círculo $C$ de raio $1$ e centrado na origem do sistema usual de coordenadas do $\mathbb{R}^2$. Lembre-se que a equação de $C$ é $x^2+y^2=1$. Considere o sistema $\{ Q,i,j\}$, onde $Q=(-3,2)$. Ache a equação de $C$ no novo sistema de coordenadas.
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{6}{3+sen\theta}$.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{6}{2-3sen\theta}$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]
$Y = x_ 1\left ( 1,0, \dfrac {11} {5}, \dfrac {6} {5},\dfrac {21} {5} \right)^T+x_2\left ( 0,1, \dfrac {4} {5}, \dfrac {-1} {5},\dfrac {9} {5} \right)^T$, $\forall x_1, x_2\in\mathbb {R}$.
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $36x^2-24x+36y^2-36y+14=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
A hipérbole $\ell$ tem focos $F_1$, $F_2$ e vértices $A_1$, $A_2$. Encontrar equações paramétricas de $\ell$ se
$F_1=(2,0)$, $F_2=(8,0)$, $A_1=(3,0)$, $A_2=(7,0)$;
$F_1=(0,0)$, $F_2=(4,8)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(3,6)$.
Resolver o sistema linear:\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]
$x_3 =\dfrac{11x_1+4x_2}{5}, x_4 = \dfrac{6 x_1-x_2}{5}, x_5 = \dfrac{21 x_1 + 9 x_2}{5}, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$.
Sejam os pontos $A=(-1,-1,2),\;B=(2,1,1) \;\mbox{e}\;C=(m,-5,3)$.
Para que valores de $m$ o triângulo $ABC$ é retângulo em $A$?
Determinar o ponto $H$, pé da altura relativa ao vértice $A$.
Mostre que as três bissetrizes de um triângulo se interceptam em um único poto.
Considere o triângulo $ABC$ e bissetriz $B$ e $C$. Então eles cruzam no interior do triângulo que denotaremos por $O.$ Como $O$ está sobre a bissetriz de $B$, ele é equidistante de $AB$ e $BC.$ Mas também está na bissetriz de $C$ de forma que $O$ é equidistante de $AC$ e $BC.$ Assim, $O$ é equidistante aos três lados. Agora considere $\ AO.$ Como $AO$ divide o ângulo $\ BAC$ e passa no ponto (fora do vértice) equidistante de $AB$ e $AC$, será bissetriz de $BAC.$
Verifique se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Usando operações de linha equivalência escalone as (encontre a forma escalonada das) que não estiverem na forma escalonada.
- $ \begin{pmatrix}1&-2&-1&0\\1&\phantom{-}0&-1&1\\0&\phantom{-}1&\phantom{-}0&2\end{pmatrix}, $
- $ \begin{pmatrix}1&0&0&5&0\\0&1&0&2&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}. $
Calcule o determinante da matriz: $\begin{pmatrix}
\sin\alpha&\cos\alpha \\ \sin\beta&\cos\beta
\end{pmatrix}.$
\(\displaystyle \sin(\alpha-\beta)\)
Mostre que os pontos em coordenadas polares $ \left(1,\frac{\pi}{3}\right)$, $ \left(\sqrt{3},\frac{\pi}{6}\right)$, e $\left(1,0\right)$ são vértices de um triângulo equilátero.
Achar o ponto $N$, projeção ortogonal do ponto $P(3,-1,-4)$ no plano determinado pelos pontos $A(2,-2,3)$, $B(4,-3,-2)$ e $C(0,-4,5)$. Qual é o ponto simétrico de $P$ em relação a este plano?
$N=\left(\frac{18}{7},-\frac{17}{14},\frac{47}{14}\right),\;
P'=\left(\frac{15}{7},\frac{10}{7},-\frac{9}{14}\right)$
Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $u$, $v$ e $w$, dados por: $u=\overrightarrow{AB}$, $v=\overrightarrow{AC}$ e $w=\overrightarrow{AD}$, onde $A=(1,3,4)$, $B=(3,5,3)$, $C=(2,1,6)$ e $D=(2,2,5)$.
$u\cdot(v\times w)=1$
Identificar a cônica $x^2+4y^2+4xy-2x-4y-1=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Mostre que a equação $y^6-x^2-z^2=0$ representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação da curva geratriz.
O que acontece com a distância entre a diretriz e o centro de uma elipse se os focos permanecerem fixados e a excentricidade tender a $0$?
Ache as retas tangentes ao círculo $x^2+y^2=4x$ que passam pelo ponto $(3,2)$.
Reduza a equação $2z^2+5x+12y+12z+18=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2x^2+y^2-4xy-4yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Para o par de retas $r$ e $r^{\prime}$ abaixo encontre o ponto de interseção, $r\cap r^{\prime}$, se existir. E nos casos em que a interseção é vazia decida se elas são paralelas ou reversas.
$r:$ $(x,y,z) = (2,-3,-2) + t(4,-1,3) \;\;\;$ e $r^{\prime}:$ $\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y+z=-2 \\ x-y+2z=1\end{array} \right. .$
Usando escalonamento, podemos obter que a intersecção ocorre para $t=0$. Assim, o ponto de intersecção consiste em $(2,-3,-2)$.
As funções trigonométricas seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas, respectivamente, por
$$\cosh t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}\quad\text{e}\quad \sinh t\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}, \quad t\in\mathbb{R},$$
e vale a relação $\cosh^2 t-\sinh^2 t=1$.
Mostre que as equações paramétricas da hipérbole de equação $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ são $$ x=\pm a\cosh t, \quad y=b\sinh t.$$
Mostre que não existem funções contínuas $f_1$ e $f_2$ tais que a hipérbole possa ser escrita como $x=f_1(t)$ e $y=f_2(t)$.
Ache a equação do círculo com centro $(-2,5)$ e raio $r = 3$.
$(x+2)^2+(y-5)^2=9$, ou seja, $x^2+y^2+4x-10y+20=0$.
Mostre que para dois vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$, $\|\vec{A}\| - \|\vec{B}\| \leq \|\vec{A} \pm \vec{B}\| \leq \|\vec{A}\| + \|\vec{B}\|$. Em que condições vale a igualdade?
$\|\vec{A} - \vec{B}\|^2=\|\vec{A}\|^2+\|\vec{B}\|^2- 2\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos\theta$.
Decompor o vetor $w = (1,3,2)$ como soma de dois vetores $w = u + v$, onde $u$ é paralelo ao vetor $(0,1,3)$ e $v$ é ortogonal a $(0,1,3)$.
$u=(0,11/10,33/10)$ e $v=(1,9/10,-3/10)$.
Encontre a equação da reta $r$ que passa pelo ponto (-1,2,3) e é paralela a reta que passa por $(1,0,-1)$ e tem $(-2,1,-3)$ como vetor diretor.
Como é paralela à reta mencionada, então terá o vetor diretor em comum com aquela. Assim, a reta procurada é dada parametricamente como $$ r: (-1,2,3) + t(-2,1,-3)\quad t\in\mathbb{R}.$$
$$ \left\{ \begin{array}{ccccccccc}a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& \ldots &+& a_{1n} x_n &=& b_1 \\a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& \ldots &+& a_{2n} x_n &=& b_2 \\\vdots && \vdots && && \vdots && \vdots \\a_{n1} x_1 &+& a_{n2} x_2 &+& \ldots &+&a_{nn} x_n &= &b_n \\ \end{array} \right.$$
pode ser escrito em forma matricial $Ax=b$, onde:
$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}.$$
Forneça equações paramétricas para o ramo positivo da curva $9x^2-4y^2+90x+32y+125=0$, indicando valores para o parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Reduza a equação $x^2+y^2+4z^2-2xy-4xz+6x+12y+18z=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $4x^2+3y^2-z^2-12xy+4xz-8yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Considere a reta $r$ e o plano $\pi$ de respectivas equações
\[
\frac{x}{2}\ =\ \frac{1-y}{4}\ =\ z-3, \]
\[ x+y+2z\ =\ 1.\]
Determine a equação paramétrica da reta $s$ que é igual a projeção ortogonal da reta $r$ sobre o plano $\pi$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=-1+2t \\
y=-4t \\
z=1+t
\end{array}
\right. .$
Existe alguma reta paralela a $r=\{ (0,1,1)+t(1,-1,-1), t\in\mathbb{R}\}$, contida no plano $\pi : x-2y+3z-1=0$? Por quê?
Sim, pois o vetor diretor de $r$ está contido no plano $\pi$, haja visto que $(1,-1,-1)\cdot(1,-2,3)=0$. De outra forma, podemos deduzir (como?) que $v_1=(2,1,0)$ e $v_2=(-3,0,1)$ formam um par gerador para $\pi$ e que o vetor diretor da reta $r$ pode ser escrito como combinação deste par. Ou seja, se escalonarmos a matriz cujas linhas são estes três vetores, então obteremos uma linha nula na forma escalonada reduzida.
Mostre que por cada ponto do parabolóide hiperbólico $z=x^2-y^2$ passam duas retas inteiramente contidas nele.
Determine a equação do lugar geométrico dos pontos $P=(x,y,z)$ tais que a soma das distâncias de $P$ aos dois pontos $(2,0,0)$ e $(-2,0,0)$ é igual a $6$. Que lugar geométrico é este?
- Determine os coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$ da função polinomial $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, cujo gráfico passa pelos pontos $P_1=(0,10)$, $P_2=(1,7)$, $P_3=(3,-11)$ e $P_4=(4,-14)$.
- Determine coeficientes $a, b$ e $c$ da equação do círculo, $x^2+y^2+ax+by+c=0$, que passa pelos pontos $P_1=(-2,7)$, $P_2=(-4,5)$ e $P_3=(4,-3)$.
- $a = 1/6$, $b = -1$, $c = -13/6$, $d=10$.
- $a= -2$, $b = -4$, $c = -29$.
Reduza a equação $xz = 1$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $xz = 1$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX-1=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1/2 \\0 & 0 & 0 \\1/2 & 0 & 0\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 0 & 1/2 \\0 & -\lambda & 0 \\1/2 & 0 & -\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+\lambda/4.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $0$, $-1/2$ e $1/2$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $0$ e $1/2$: $A X = 0$ e $(A-1/2 I) X = 0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas consiste em $U_1=(0,1,0)$ e $U_2=(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $xz=1$ se transforma em:
$$\dfrac{(y')^2}{2}-\dfrac{(z')^2}{2}=1,$$
que é a equação de um cilindro hiperbólico.
Quais são os cossenos diretores de cada eixo coordenado?
$1,0,0$; $0,1,0$; $0,0,1$.
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 6\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/5 & 0 \\0 & 0 & 1/6\end{pmatrix}.\]
Em cálculo de uma variável vemos que se $x_0$ é um extremo local (máximo ou mínimo) de uma função $f(x)$, então a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0$ é horizontal, ou seja, $f'(x_0)=0$.
Encontre uma relação similar entre um extremo local de uma função de duas variáveis e o plano tangente ao seu gráfico.
Use esta relação para encontrar os extremos locais da função $f(x,y)=x^2+y^2-2x-6y+14$.
Verifique se sua resposta no item anterior está correta completando os quadrados em $f(x,y)$ e identificando a quádrica.
Sejam $A=(-1,2,3)$, $M=(-1,3,2)$ e $N=(1,1,3)$. O triângulo $ABC$ tem ângulos $A=90^\circ$ e $B=30^\circ$ e os vértices $B$ e $C$ pertencem à reta $MN$. Encontre os vértices $B$ e $C$.
Um roteador de internet sem fio é instalado de forma que o sinal
chegue com mesma intensidade em qualquer ponto $(x,y)$ a uma distância
de $10$m do local de instalação $(0,0)$ (desconsiderando eventuais efeitos
que possam diminuir a intensidade do sinal). Um outro roteador (nas mesmas condições), é instalado na posição $(20,0)$. Um terceiro roteador deve ser colocado de forma que o sinal chegue a uma maior área possível, ao mesmo tempo que fique próximo dos outros dois roteadores. Determine os dois pontos no plano cartesiano tais que este novo roteador possa ser instalado.
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $x^2+ y^2-z^2=0$ e esboce seu gráfico.
Mostre que a projeção no plano $yz$ da curva correspondente à intersecção das superfícies $x = 1 - y^{2}$ e $x = y^{2} + z^{2}$ é uma elipse. Explique bem seu raciocínio.
Sejam $u=(-1,1,1)$ e $v=(2,0,1)$ dois vetores. Encontre os vetores $w$ que são paralelos ao plano determinado por $O$, $u$ e $v$, perpendiculares a $v$ e tais que $u\cdot w=7$.
Os vetores $\vec{w}$ são da forma:
$\vec{w}=\left(-\frac{7}{3},\frac{14}{3},0\right)^T+\lambda\left(1/3,-2/3,1\right)^T$, $\lambda\in\mathbb{R}$
Esboce a figura correspondente às seguintes equações polares:
- $r = 1$,
- $r = 9$,
- $\theta = \frac{\pi}{2}$,
- $\theta^{2} = \frac{\pi^{2}}{16}$.
Ache a equação do círculo com centro $C=(3,-2)$ tangente a $2x-y=0$.
Visto que seu centro é dado, nos basta então encontrar seu raio. Para isso, vamos determinar o ponto de tangencia, digamos, $P=(x_1,y_1)$. Você pode notar, inicialmente, que a reta dada passa pela origem e tem diretor $\vec{v}=(1,2)$. Assim, devemos ter que $\displaystyle (P-C)\cdot\vec{v}=0$, ou seja, $(x_1-3,y_1+2)\cdot (1,2)=0\Longrightarrow x_1+2y_1=-1$. Por outro lado, como $P$ é um ponto da reta
dada, deve cumprir sua equação. Enfim, $P$ pode ser obtido pelo sisteminha $$\begin{cases} x_1+2y_1=-1,
\\ 2x_1-y_1=0, \end{cases}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1&2 & \vdots & -1 \\ 2 & -1 & \vdots & 0 \end{array}\right)
\begin{array}{c} {}\\ \sim \\ {}\end{array} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0& -5 & \vdots & 2\end{array}\right). $$ Donde obtemos a solução $$ x_1=\frac{1}{5} \quad\text{e}\quad y_1=-\frac{2}{5}. $$ Segue que o raio é dado então por $r=\|P-c\|=2\sqrt{\dfrac{13}{5}}$. Portanto, a equação procurada do círculo é dada por $$ (x-3)^2+(y+2)^2=\frac{52}{5}.$$
Encontre $\lambda \in \mathbb{R}$ para que $v_1=(2 \lambda,1)$, $v_2=(\lambda + 1, \lambda + 1)$:
- Sejam paralelos;
- Não sejam paralelos;
- $v_1$ e $v_2$ formem uma base para $\mathbb{R}^2$.
- $\lambda=-1$ ou $\lambda=1/2$.
- $\lambda\neq -1$ ou $\lambda\neq 1/2$.
- $\lambda\neq -1$ ou $\lambda\neq 1/2$.
Considere a reta $r$ e o plano $\pi $ de respectivas equações
\[
\frac{x-2}{2}\ =\ y-2\ =\ \frac{z-3}{3}\, \ \mathrm{e}, \ x+y+z\ =\ 1.
\]
Encontre uma equação paramétrica para a reta que é a projeção ortogonal de $r$ sobre $\pi$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=0 \\
y=1-t \\
z=t
\end{array}
\right. $
Use um recurso computacional para investigar como a família de curvas polares $r=1+a\cos(n\theta)$ é afetada pela mudança nos valores de $a$ e $n$, sendo $a$ um número real positivo e $n$ um inteiro positivo.
Encontre a distância perpendicular entre os planos (paralelos): $$ 4x-8y-z=9 \;\;\; \mbox{e}\;\;\;2x-4y-\frac{z}{2}=5.$$
O primeiro plano ($\pi_1$) tem normal, digamos, $n_1=(4,-8,-1)$ e
$p_1=(0,0,-9)$ é um ponto sobre o mesmo. Note também que $p_2=(0,0,-10)$
é um ponto sobre o outro plano ($\pi_2$). Assim, segue que $$
d(\pi_1,\pi_2)=d(\pi_1,p_2)=\|\mathrm{proj\,}_{n_1}(\vec{p_1p_2})\|=\frac{1}{9}.$$
Reduza a equação $3x^2+y^2-2xy+2xz-2yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
- Encontre a equação da reta $r$ que passa pelos pontos $A=(3,5,3)$ e $B=(1,1,1)$.
- Considere $s$ a reta $(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,2,1).$ Verifique se as retas $r$ e $s$ são paralelas, reversas ou concorrentes.
- Ache, se possível, uma equação geral do plano que contém as retas $r$ e $s$.
- Calcule a distância entre as retas $r$ e $s$.
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+2t \\
y=1+4t \\
z=1+2t
\end{array}
\right. $. - Paralelas.
- $3x-2y+z=2.$
- $\sqrt{\frac{7}{3}}.$
Resolver o sistema linear:
\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+(1/5)xy +y^2+2x+2y+2=0$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2\sin^2t$, $y=\sin(2t)$ e $z=2\cos t$.
Um silo com formato cônico de raio $r=1$ m e altura $h=2$ m é preenchido com trigo em $70\%$ de sua capacidade.
Quanto mais de trigo podemos colocar a fim de preenchê-lo completamente?
Dê equações paramétricas para a curva $y=x^3-x^2$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Mostre que: se um triângulo tem duas medianas iguais então ele é isósceles.
Seja o triângulo $\ ABC$, $M$ o ponto médio de $\overrightarrow{BN}$ e $N$ o de $\overrightarrow{AC}.$ Seja também $P$ a interseção de $\overrightarrow{BN}$ e $\overrightarrow{AM},$ e por hipótese, temos $\left\Vert \overrightarrow{BN}\right\Vert =\left\Vert\overrightarrow{AM}
\right\Vert .$ Observe que os triângulos $NPM$ e $APB$ são isósceles. Observe também que como $\overrightarrow{MN}$ é paralelo a $\overrightarrow{AB}$ os ângulos $N\widehat{P}A$ e $M\widehat{P}B$ são iguais. Assim, pela lei dos cossenos, temos
$\left\Vert \overrightarrow{AN}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PA}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PB}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \overrightarrow{BM}\right\Vert ^{2}$
Como, $2\left\Vert \overrightarrow{AN}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{AC}\right\Vert $e $2\left\Vert \overrightarrow{BM}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert ,$ então $\left\Vert \overrightarrow{AN}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert ,$ e portanto, o triângulo é isósceles.
Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
\[
\begin{array}{lccccc}
& \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} &
\text{Tinta} & \text{Tijolo}\\
\text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\
\text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\
\text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13
\end{array}
\]
Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual é o custo total do material empregado?
- As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
- O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
- O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.
Qual é o vetor unitário na direção de $4\vec{i}-12\vec{j}+3\vec{k}$?
$\dfrac{4\vec{i}-12\vec{j}+3\vec{k}}{13}$.
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=(t^2-1,t^2+1)$.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica $x=t/2$, $y=t^2+1$ em $t=-1$ e $t=1$ sem eliminar o parâmetro.
Verifique suas respostas do item anterior eliminando o parâmetro e diferenciando uma função apropriada de $x$.
Ache a equação do círculo com centro $(5,2)$ e passando pelo ponto $(2,3)$.
A equação do círculo é dada por $(x-5)^2+(y-2)^2=d^2$, onde $d$ é o seu raio. Como é dado um ponto sobre o mesmo, obtemos então que $d=\sqrt{(2-5)^2+(3-2)^2}=\sqrt{10}$.
Seja $a$ o semi-eixo maior da órbita de um planeta em torno do Sol, e seja $T$ o seu período. Pelas Leis de Kepler, a órbita é elíptica com o Sol em um dos focos, e $T=a^{3/2}$. Mostre que se $T$ for medido em dias e $a$ em quilômetros, então $\displaystyle T=(365\times 10^{-9})\left(\dfrac{a}{150}\right)^{3/2}$.
Use o resultado do item anterior para encontrar o período do planeta Mercúrio, em dias, dado que o seu semi-eixo maior é $a=57,95\times 10^6$ km.
Escolha um sistema de coordenadas polares com o Sol no pólo e encontre uma equação para a órbita de Mercúrio naquele sistema de coordenadas, dado que a excentricidade da órbita é $e=0,206$.
Use um recurso gráfico computacional para gerar a órbita de Mercúrio a partir da equação obtida no item 3.
Mostre que um sistema linear homogêneo de $m$ equações e $n$ incógnitas sempre tem soluções não triviais se $m < n$.
Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que passa pelo ponto $P_0=(1,-1,1)$, é paralela à reta $r^{\prime}: (x,y,z) = (1,0,1) + t(1,1,3/2)$ e ortogonal ao eixo $z$ .
Considere as retas $r$ e $s$ de respectivas equações
\[
r:\ \frac{x-2}{2}\ =\ y\ =\ z+1, \ s:\ x\ =\ y+1\ =\ z-
2
\]
- Verifique se as retas $r$ e $s$ são paralelas, concorrentes ou reversas.
- Determine a equação da reta $t$ perpendicular e concorrente com as retas $r$ e $s$.
- Calcule o ângulo e a distância entre as retas $r$ e $s$.
- Reversas.
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=-4 \\
y=-5-t \\
z=-2+t
\end{array}
\right. .$ - Ângulo $\left( r,s\right) =\arccos \frac{4}{\sqrt{18}} $; dist$(r,s)=\sqrt{8}.$
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]
O sistema não possui solução.
Reduza a equação $4x^2+y^2-8z^2+4xy-4xz+8yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Reduza a equação $4x^2+6y^2+4z^2-4xz+1=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Classifique a superfície $\displaystyle z^2-\dfrac{x^2}{36}-\dfrac{y^2}{25}=1$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}-z^2=0$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Identifique o círculo $x^2+y^2-2x-4y+5=0$, dando o seu centro e raio.
Ao completarmos quadrados, ficamos com $(x-1)^2+(y-2)^2=0$. Trata-se de um único ponto (círculo degenerado), a saber, o ponto $(1,2)$.
As coordenadas esféricas estão relacionadas com as coordenadas em longitude e latitude usadas na navegação. Para ver como, vamos definir um sistema de coordenadas retangulares satisfazendo a regra da mão direita, com sua origem no centro da Terra, o seu eixo $z$ positivo passando pelo Pólo Norte e o seu eixo $x$ positivo passando pelo meridiano principal. Supondo a Terra uma esfera de raio $\rho=4000$ milhas, então cada ponto sobre a Terra tem coordenadas esféricas da forma $(4000,\theta,\phi)$, onde $\phi$ e $\theta$ determinam a latitude e a longitude do ponto. É comum especificar longitudes em graus leste ou oeste do meridiano principal e latitudes em graus norte ou sul do Equador. A cidade de New Orleans, nos EUA, está localizada a $90^\circ$ de longitude oeste e $30^\circ$ de latitude norte. Determine as coordenadas esféricas e retangulares associadas a esta localização (suponha que a distância esteja em milhas).
Uma longitude de $90^\circ$ oeste corresponde a $\theta=360^\circ-90^\circ=270^\circ$ ou $\theta=3\pi/2$ radianos; enquanto $30^\circ$ de latitude norte corresponde a $\phi=90^\circ-30^\circ=60^\circ$ ou $\phi=\pi/3$ radianos. Assim, as coordenadas esféricas $(\rho, \theta,\phi)$ de New Orleans são $(4000,3\pi/2,\pi/3)$. Para determinarmos as coordenadas rectangulares, aplicamos as fórmulas de conversão de esféricas para retangulares. Assim, obteremos \begin{align*} x &=4000\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{3\pi}{2}=4000\dfrac{\sqrt{3}}{2}(0)= 0\ \text{milhas} \\ y & = 4000\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{3\pi}{2}=4000\dfrac{\sqrt{3}}{2}(-1)=-2000\sqrt{3}\ \text{milhas} \\ z& = 4000\cos\dfrac{\pi}{3}=4000(\dfrac{1}{2})=2000\ \text{milhas}.\end{align*}
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=cos\theta$.
Reduza a equação $x^2+y^2+z^2-4xy-4xz-4yz=7 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado quando o mesmo: representa o vetor $v=(-1,0,1)$ e sua origem é o ponto médio entre os pontos $P_1=(1,1,3)$ e $P_2=(-1,1,1)$.
$(-1,1,3)$
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$.
\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]
Encontre a equação geral do plano que contém os pontos $A=(1,0,0)$, $B=(1,5,-2)$ e é paralelo ao vetor $(1,-1,1)$. Determine a distância de $C=(1,-1,1)$ ao plano encontrado e a área do triângulo formado pelos vértices $A$, $B$ e $C$.
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $z=4x^2+4y^2$ e esboce seu gráfico.
Verifique se os seguintes pontos são colineares: $A=(3,1,4)$, $B=(2,7,1)$ e $C=(0,1,5)$.
Os pontos não são colineares.
Reduza a equação $x^2+4y^2+9z^2-4xy+6xz-12yz+4x-8y+12z+4=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $3x^2-14y=0$. Esboce também o gráfico.
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]
$x_3 = \dfrac{-19+2 x1- 4 x2}{3}, x_4 = \dfrac{ 41 - 4 x_1 + 8 x_2}{3}, x_5 = \dfrac{5- x_1+2 x_2}{3}, \forall x_1, x_2\in \mathbb{R}$.
Considere a cônica definida pela equação $2xy+x-2=0.$
Determinar seu centro.
Classificar a cônica.
Esboçar seu gráfico.
Identificar a cônica $x^2+3y^2-2xy+3=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Reduza a equação $x^2+z^2-xy+xz+yz-2x+2y-2z+1=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A elipse $\ell$ tem focos $F_1=(1,2)$, $F_2=(2,4)$ e vértices $A_1=(0,0)$, $A_2=(3,6)$. Dê as equações paramétricas de $\ell$.
Seja $M= \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right)$.
- Mostre que: Se $A$ é uma matriz $2\times 2$ qualquer, então $AM=MA$, se e somente se, $A= \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right)$. - Mostre que se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$, então $A$ e $B$ comutam entre si, isto é, $AB=BA$.
- Seja $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)$, tal que $AM=MA$.
Deseja-se que $AM=\left( \begin{array}{cc}-b & a \\-d & c\end{array}\right)=MA= \left( \begin{array}{cc}c & b \\-a & -b\end{array}\right)$.
Logo, é necessário que $c=-b$ e $d=a$, de onde $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$. - Se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$, de acordo com o item anterior, $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$ e $B= \left( \begin{array}{cc}c & d \\-d & c\end{array}\right)$.
Calculando $AB$ e $BA$, obtém-se $AB= \left( \begin{array}{cc}ac-bd & ad+bc \\-bc-ad & -bd+ac\end{array}\right)=BA$ .
Sejam $A$ uma matriz $n\times m$, ${\bf 0}$ a matriz nula $m\times 1$ e $B$ uma matriz $m\times 1$.
- Sabendo que $Y_{1}$ e $Y_{2}$ são duas matrizes $m\times 1$ que são soluções do sistema $AX = {\bf 0}$ e que $a$ e $b$ são dois números reais, mostre que $Y_{3} = aY_{1} + bY_{2}$ também é solução do sistema $AX = {\bf 0}$.
- Sabendo que $X_{1}$ e $X_{2}$ são duas matrizes $m\times 1$, que são soluções do sistema $AX = B$, mostre que $X_{3} = X_{1} - X_{2}$ é uma solução do sistema $AX = {\bf 0}$.
- Sabendo que $U$ e $V$ são duas matrizes $m\times 1$ onde $U$ é uma solução do sistema $AX = {\bf 0}$ e $V$ é uma solução do sistema $AX = B$ mostre que $Z = U + V$ também é solução do sistema $AX = B$.
Considere as retas $r$ e $s$ dadas pelas equações:
\[
r:\ x\ =\ \frac{y}{2}\ =\ z, \ s:\left\{
\begin{array}{ccl}
x & = & -4+t \\
y & = & 2+2t \\
z & = & t , \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{onde}\ \ t\in \mathbb{R}
\end{array}
\right. \ \
\]
Determine a equação da reta paralela a $r$ e a $s$, contida no mesmo plano de $r$ e $s$ e que seja equidistante de $r$ e de $s$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=-2+t \\
y=1+2t \\
z=t
\end{array}
\right. $
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]
Esse sistema possui infinitas soluções.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por $r=2\tan\theta$.
Usando a definição de coordenadas esféricas, a equação dada fica: $\displaystyle (x^2+y^2)(z^2-4)+z^4=0$.
Tome $x'y'$ o sistema de eixos do plano que é a translação do sistema $xy$ para a nova origem $O'=(1,1)$, i.e., $ x'=x-1$ e $y'=y-1$.
Dado o ponto $P=(1,4)$ no sistema $xy$, encontre as coordenadas de $P$ no sistema $x'y'$.
Dado o ponto $A=(2,1)$ no sistema $x'y'$, encontre as coordenadas de $A$ no sistema $xy$.
Considere a reta $\mathcal{L}$ que no sistema $xy$ tem equação $2x - 3y + 4 = 0$. Qual seria a equação de $\mathcal{L}$ no sistema $x'y'$? Mudando-se a equação, muda-se $\mathcal{L}$ de lugar? O desenho muda?
Dada a curva $\mathcal{C}$, do plano, cujos pontos têm coordenadas $(x,y)$, no sistema $xy$, satisfazendo a equação $x^2-4x+y^2-6y=12$, encontre a equação que os pontos de $\mathcal{C}$ com coordenadas $(x',y')$ no sistema $x'y'$ devem satisfazer nas variáveis $x'y'$.
Sejam $A=(2,1,2)$, $B=(1,0,0)$ e $C=(1+\sqrt 3,\sqrt 3,-\sqrt 6)$ três pontos no espaço. Calcule os ângulos do triângulo $ABC$, e os comprimentos da mediana e da altura que saem do vértice $A$.
Reduza a equação $x^2+y+z^2=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$y=-(x^2+z^2)$: parabolóide elíptico.
Determinar os ângulos internos de um triângulo $ABC$, sendo$A=(3,-3,3)$, $B=(2,-1,2)$ e $C=(1,0,2)$.
Encontre a equação do plano $\pi$ que é perpendicular ao plano $x+3y-z=7$ e contém os pontos $A=(2,0,5)$ e $B=(0,2,-1)$.
Consideremos os vetores $v_1=(1,3,-1)$ (normal ao plano
perpendicular) e $v_2=B-A=(-2,2,-6)$. Note que estes vetores estão
contidos no plano procurado e não são paralelos, com $v_1\times
v_2=(-16,8,8)$. Logo, o plano procurado pode ser descrito por $$\pi:
-16x+8y+8z=(-16,8,8)\cdot A=8\Longleftrightarrow -2x+y+z=1. $$
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2-2y^2+4xy-6=0$.
Mostre que se as coordenadas dos quatro vértices de um tetraedro são
$$ (x_1,y_1,z_1),\; (x_2,y_2,z_2),\; (x_3,y_3,z_3),\; (x_4,y_4,z_4), $$
então o seu volume é dado por
$$ Vol=\frac{1}{6}\det\left(\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\\end{array}\right). $$
(Sugestão: Verifique primeiro que o volume do tetraedro é um sexto do volume do paralelepípedo determinados pelos seus vértices.)
Seja $A$ uma matriz $2\times 2$ real com autovalores complexos $\lambda=a\pm bi$ tais que $b\neq 0$ e $|\lambda|=1$. Mostre que toda trajetória do sistema dinâmico $\textbf{x}_{k+1}=A\textbf{x}_k$ está sobre uma elipse. [Dica: use que se $\textbf{v}$ é um autovetor associado a $\lambda=a-bi$, então a matriz $P=[ \textrm{Re}\,\textbf{v}\quad \textrm{Im}\,\textbf{v}]$ é invertível e temos que $\displaystyle A=P\left[\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right]P^{-1}$. Ponha $\displaystyle B=(PP^t)^{-1}$. Mostre que a equação quadrática $\textbf{x}^tB\textbf{x}=k$ define uma elipse para todo $k>0$, e prove que se $\textbf{x}$ está sobre esta elipse, então $A\textbf{x}$ também estará.]
Considere a reta
\[
r:\left\{
\begin{array}{ccl}
x & = & 1 \\
y & = & -z
\end{array}
\right.
\]
e o ponto $A\ =\ (1,1,1)$. Determine a equação do plano $\pi $ que é paralelo à reta $r$, passa por $A$ e é tal que a sua reta normal pelo ponto $A$ seja perpendicular e concorrente com a reta $r$.
$y+z=2$
Reduza a equação $z^2 + 4xy + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $z^2 + 4xy + 1 = 0$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+1=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 \\2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 2 & 0 \\2 & -\lambda & 0 \\0 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+\lambda^2+4\lambda-4.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $1$, $2$ e $-2$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $1$ e $2$, $(A-I) X = 0$ e $(A-2I) X = 0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas consiste em $U_1=(0,0,1)$ e $U_2=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $z^2 + 4xy + 1 = 0$ se transforma em:
$$-(x')^2-\dfrac{(y')^2}{1/2}+\dfrac{(z')^2}{1/2}=1,$$
que é a equação de um hipérbolóide de duas folhas.
Determinar $u\cdot v$, sabendo que $\|u\times v\|=12$, $\|u\|=13$ e $v$ é unitário.
Usando que $\| u\times v\|=|u||v|\sin\theta$, obtemos que
$\sin\theta=\dfrac{12}{13}$, onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores
$u,v\in\mathbb{R}^3$. Por conseguinte, temos que
$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-(\dfrac{12}{13})^2}=\dfrac{5}{13}$.
Logo, $u\cdot v=|u||v|\cos\theta=13\cdot 1\dfrac{5}{13}=5$.
Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
\[
\begin{array}{lccccc}
& \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} &
\text{Tinta} & \text{Tijolo}\\
\text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\
\text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\
\text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13
\end{array}
\]
Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual e o custo total do material empregado?
- As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
- O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
- O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.
Quais dos seguintes objetos não podem ser associados a elipsóides, pelo aspecto da sua superfície externa?
Um ovo.
Um bola de rugby.
Uma câmara de ar.
Uma bola de futebol.
Um charuto.
O aspecto de uma bola de rugby lembra bastante o de um elipsóide, o que não ocorre com as demais opções.
Reduza a equação $144x^2+100y^2+81z^2-216xz-540x-720z=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Seja $ABCD$ um tetraedro e $P$ um ponto qualquer dentro dele. Ligue os vértices $A, B,C,D$ até o ponto $P$ e prolongue as linhas até que elas interceptem as faces opostas nos pontos $A',B',C',D'$, respectivamente. Mostre que vale a seguinte relação: $$\frac{PA'}{AA'}+\frac{PB'}{BB'}+\frac{PC'}{CC'}+\frac{PD'}{DD'}=1.$$
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por $r=3\cos\theta$.
Sabemos que se $B$ é uma base de $R^3$ formada pelos vetores $U,V$ e $W$, então as leis de mudança de base entre a base usual e a base $B$ são $$ P_B = [U,V,W]^{-1}P\ \ {\rm e}\ \ P = [U,V,W]P_B$$ Determine a mudança de base entre a base $B$ e uma base $B^{\prime}$ distinta da usual.
Encontre a equação da reta $r$ que passa por $(1,-2,3)$, é concorrente com a reta $\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 2 + 3t\\ y &=& 1 + 2t\\z &=& -1\end{array}\right.$ e tem vetor diretor ortogonal ao vetor $(1,-3,1)$.
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}-\dfrac{y^2}{25}+z=0$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Justificar as afirmações abaixo:
$\vec{u} \cdot (\vec{u}\times \vec{v})=0,$ para quaisquer dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}.$
Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares, então este paralelogramo é um losango.
Seja $A$ uma matriz $2\times 2$ simétrica e $k$ um escalar. Mostre que o gráfico da equação quadrática $\textbf{x}^tA\textbf{x}=k$ é:
uma hipérbole se $k\neq 0$ e $\det A<0$;
uma elipse, círculo ou cônica imaginária se $k\neq 0$ e $\det>0$;
um par de retas ou uma cônica imaginária se $k\neq 0$ e $\det A=0$;
um par de retas ou um único ponto se $k=0$ e $\det A \neq 0$;
uma linha reta se $k=0$ e $\det A=0$.
[Dica: use o Teorema dos Eixos Principais.]
Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos $P(x,y,z)$ que estão duas vezes mais afastados do plano $z=-1$ que do ponto $(0,0,1)$. Identifique a superfície.
Dadas as matrizes
\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & -3 & 2\\2 & 1 & -3\\4 & -3 & -1\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrrr}1 & 4 & 1 & 0\\2 & 1 & 1 & 1\\1 & -2 & 1 & 2\end{array}\right) \text{ e }C=\left(\begin{array}[c]{rrrr}2 & 1 & -1 & -2\\3 & -2 & -1 & -1\\2 & -5 & -1 & 0\end{array}\right) ,\]
mostre que $AB=AC$.
$AB=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right) $ e $AC=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right) $.
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo maior tem volume $\displaystyle V=\dfrac{4}{3}\pi ab^2$.
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo menor tem volume $\displaystyle V=\dfrac{4}{3}\pi a^2b$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]
$Y = x_1 \left(1, \dfrac{-2}{3}, 0\right)^T$, $\forall x_1\in\mathbb{R}$.
$X_o = \left(0, \dfrac{19}{6},\dfrac{ 3}{2}\right)^T$.
$X_o + Y = \left(x_1, \dfrac{19}{6}-\dfrac{2 x_1}{3},\dfrac{ 3}{2}\right)^T$, $\forall x_1\in\mathbb{R}$.
Sejam $a_{1},\, a_{2},\,a_{3},\,b_{1},\, b_{2},\,b_{3}$ seis números reais quaisquer. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz: \[ (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3})^{2} \le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}) (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}). \]
Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]
$x_1 =\dfrac{-1}{4}, x_2 =\dfrac{7}{12}, x_3 =\dfrac{-1}{4}, \lambda = \dfrac{-11}{4}.$
Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata e uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata. Quanto gramas de cada liga são necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com quantidade igual de ouro e prata?
Serão necessárias aproximadamente 33.3333 gramas da liga $L_1$ e 66.6667 gramas da liga $L_2$.
Encontre a equação do plano $\pi$ que é perpendicular a cada um dos planos $x-y-2z=0$ e $2x+y-4z-5=0$ e contém o ponto $A=(4,0,-2)$.
$$\pi: 2x+z=6$$
Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada por $9x^2+4y^2=36$ e $z=0$ em torno do eixo $y$.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]
$x_1 = -\dfrac{27}{7}, x_2=\dfrac{-5}{7}, x_3 =\dfrac{2}{7} , x_4 =\dfrac{16}{7}.$
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $y^2+x^2+3xy-10x-10y+5=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Sendo $A=(3,1)$ e $B=(3,-5),$ determinar os pontos $F$ e $G$ que dividem $AB$ em três segmentos de igual comprimento.
Calcular o comprimento de $\vec{AB}.$
$F=(3,-1)$ e $G=(3,-3)$
$|\vec{AB}|=6$
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)$.
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=2\sqrt{\cos(2\theta)}$, com $\theta\in[0,2\pi]$.
Para o par de vetores $u=(1,2,-2)$ e $v=(3,-2,1)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.
$\textrm{proj}_{u}{v}=\dfrac{-1}{3}(1,2,-2)$.
$v_1=\dfrac{-1}{3}(1,2,-2)$.
$v_2=\dfrac{1}{3}(10,-4,1)$.
Sejam $\vec{A}$, $\vec{B}$ e $\vec{C}$ vetores no plano, com $\|\vec{A}\|=3$, $\|\vec{B}\|=2$ e $\|\vec{C}\|=6$. O ângulo entre $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é de $60^\circ$ e $\vec{C}$ está sobre a bissetriz deste ângulo. Faça um esboço do gráfico desses três vetores. Qual combinação linear de $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é igual a $\vec{C}$?
$\vec{C} = 2/\sqrt{3} \vec{A} + \sqrt{3} \vec{B}$.
Considere a forma quadrática $2x^2+8xy+2y^2+x+y-9=0$. Escrevendo-a numa base conveniente, determine:
qual o eixo que contém o(s) foco(s);
qual é a translação e a rotação associadas.
A equação $x^{2}=1$ possui apenas duas soluções reais: $x=1$ e $x=-1$. Ache todas as matrizes $2\times2$ que são soluções da equação matricial $X^{2}=I$, onde $I$ é a matriz identidade $2\times2$.
Cujas soluções são:
$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{1-x^2}{y} & -x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & -1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 &-1\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[(2,1,-1) + t(3,2,-1), \ \ \ \left\{\begin{array}{ccr}x &=& -1+2s\\y &=& 3s\\ z &=& 4 + 5s\end{array}\right. \]
São reversas.
Ache a equação da esfera que passa pelos pontos $(0,0,1)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e cujo centro está no plano $x+y-z=0$.
Reduza a equação $2x^2+4yz-4x+2y+6z+5=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
As equações dos lados de um triângulo são $9x+2y+13=0$, $3x+8y-47=0$ e $x-y-1=0$. Encontrar a equação da circunferência circunscrita a esse triângulo.
$r:\dfrac{x+6}{2}=y+3=z+1$ e $S:x^2+y^2+z^2-4x+2y-4z+4=0$.
Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que passa pelos pontos $A=(1,0,1)$ e $B=(2,3,1)$.
Um vetor diretor pode ser tomado como sendo um mútiplo de
$B-A=(1,3,0)$. Assim, a reta procurada terá a seguinte representação
vetorial $$\vec{r}= (1,0,1) + t(1,3,0),\quad t\in\mathbb{R}$$ ou,
parametricamente $$ \begin{cases} x=1+t, \\ y=3t,\\ z=1, \quad
t\in\mathbb{R}.\end{cases}$$
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=3z^2$.
Usando a definição de coordenadas cilíndricas, a equação dada fica: $\displaystyle r^2\cos(2\theta)=3z^2$.
Sejam $A$ e $B$ duas matrizes quadradas $n\times n$.
- Mostre que $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$.
- Suponha que:
$A= \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) \;\; \mbox{e}\;\;
B= \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right) $.
Verifique que $AB\neq BA$. Conclua que neste caso, $(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$. - Mostre que: Se $A$ e $B$ são duas matrizes quadradas $n\times n$, então $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, se e somente se, $AB=BA$.
Dado um triângulo isósceles, mostre que a mediana relativa à base é a mediatriz (isto é, é perpendicular à base).
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}\Longrightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}\Longrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}.$
Também, temos que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=\left\Vert \overrightarrow{BM}\right\Vert ^{2}-
\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{MB}$.
Assim, concluímos que $\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{MB}=\left\Vert \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right) \right\Vert^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right) =\frac{1}{4}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}+\frac{1}{2}2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}=0$.
Considere os pontos $A=(1,1,0)$, $B=(3,2,-1)$, $C=(0,1,-2)$ e $D=(1,3,-1)$.
- Encontre as retas: $r_1$ contendo o segmento $AB$ e $r_2$ contendo o segmento $CD$. Determine a posição relativa desta retas.
- Use o produto misto para encontrar a equação do plano $\pi$ contendo o segmento $AB$ e que seja paralelo a $r_2$.
- Calcule as distâncias $d(\pi, r_2)$ e $d(r_1, r_2)$.
Dados $A=(4,8,11)$, $B=(-3,1,4)$ e $C=(2,3,-3)$, faça uma figura esquemática, verificando que os pontos formam um triângulo, e:
Ache os tamanhos dos três lados do triângulo.
Ache os pontos médios dos três lados.
Calcule a soma dos vetores $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ e $\vec{CA}$. Por que a soma é nula?
Ache o ponto em $AB$ cuja coordenada $y$ é $5$.
Ache os três pontos nos planos coordenados em $AB$ (extendidos).
Ache o ângulo entre $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$ (sugestão: use a Lei dos Cossenos).
Ache os dois pontos de trisecção em $BC$ (internamente).
Ache o tamanho da altura saindo de $B$ e oposta ao lado $AC$.
Calcule a área do triângulo $ABC$.
Ache o tamanho da reta que bissecta o ângulo em $C$ (sugestão: use $\cos \theta/2 = \sqrt{(1+\cos\theta)/2}$; use trigonometria de triângulos retângulos).
Ache o raio e o centro do círculo circunscrito ao triângulo (sugestão: a hipotenusa é o diâmetro).
Ache os três pontos $D$ tais que $ABCD$ é um paralelogramo.
Ache o ângulo entre duas retas no espaço que passam pela origem, no primeiro octante, sendo uma delas com ângulos diretores tais que $\cos \alpha_1=\cos \beta_1$, $\cos \gamma_1=1/3$; e a outra com ângulos diretores tais que $\cos \alpha_2=\cos \beta_2$, $\cos \gamma_2=1/4$ (Sugestão: cada par de retas forma um plano que contém um dos eixos coordenados -- por quê?).
$\cos^{-1} (1/4) - \cos^{-1} (1/3)$.
- Determine todas as matrizes $D$, $2\times 2$ e diagonais, que satisfazem: $DB=BD$ para toda matriz, $2\times 2$, $B$.
- Determine todas as matrizes $A$, $2\times 2$, que satisfazem: $AB=BA$ para toda matriz $B$, $2\times 2$.
- Tente generalizar a) e b) para matrizes $n\times n$.
Considere a cônica definida pela equação $x^2+xy-1=0.$
Determinar seu centro.
Classificar a cônica.
Esboçar seu gráfico.
Considere a matriz diagonal $ A = diag\{a, b\},$ onde $a,b\in\mathbb{R}$, e seja $\Delta$ um triângulo com vértices $0$, $u$ e $v$, onde $u$ e $v$ são pontos na circunferência $S^1$ de equação $x^2+y^2=1$. Seja $A\Delta$ o triângulo
de vértices $0$, $A\cdot u$ e $A\cdot u$.
Mostre que os vértices $A\cdot u$ e $A\cdot v$ estão na elipse $E$ de equação $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.
Mostre que se $S(\Delta$) for a área de $\Delta$ e $S(A\Delta$) for a área de $A\Delta$, então $S(A\Delta)=abS(\Delta)=S(\Delta)\,\det A$.
Mostre que a relação do item anterior é preservada para qualquer polígono inscrito na circunferência.
Inspirando-se no processo clássico para o cálculo da área do círculo, pense na área da região limitada pela elipse $E$ como sendo
o limite das áreas dos polígonos inscritos em $E$, quando o lado maior tende a zero. Conclua que esta área é dada por $\pi ab$.
Seja \[A=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & x^{2}\\2x-1 & 0\end{array}\right) .\]
Qual é o valor de $x$ para que tenhamos $A^{t}=A$?
\(x=1\)
Encontre condições sobre o vetor $v=(a,b,c)$ para que exista uma reta na direção de $v$ que intercepte simultaneamente as retas $r$ e $s$:
$$r:\begin{cases} x= 1 + t\\y = -2 - t\\z = 3 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ s:\begin{cases} x= 1 + 2t\\y = -2\\z = 3 + t \end{cases}$$
Qual(is) das quádricas abaixo representa(m) uma superfície de rotação?
$ 3x^2+y^2-2z^2=1$,
$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{3}=1$,
$x^2+ y^2-z^2=0$.
Encontre a equação da reta $r$ que passa por $(-3,2,-1)$ e é paralela à reta $s : \left\{\begin{array}{ccr}x &=& -3z-1\\ y &=& 4z + 3\end{array}\right.$.
Note que, como dada acima, $z$ aparece como parâmetro livre, tendo
$s$, portanto, vetor diretor $(-3,4,1)$. Assim, sendo $r$ paralela a
esta, então pode ser descrita, parametricamente, por $$ r:
(-3,2,-1)+t(-3,4,1), \quad t\in\mathbb{R}. $$
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]
$x_1 = -\dfrac{27}{7}, x_2=\dfrac{-5}{7}, x_3 =\dfrac{2}{7} , x_4 =\dfrac{16}{7}.$
Calcular $k$ de modo que a reta determinada por $A(1,-1,0)$ e $B(k,1,2)$ seja paralela ao plano
$$\pi:\;\begin{cases}x=1+3h\\ y=1+2h+t\\ z=3+3t \end{cases}$$
$k=3/2$
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0
\end{pmatrix}.
$
$x_1=-1$, $x_2=1$, $x_3=1$.
Uma viga metálica fina, com extremidades nas coordenadas $A=(2,5,3)$ e
$B=(1,1,0)$, deve ser dividida em três partes iguais. Determine os
pontos $C$ e $D$ que realizam esta divisão.
Mostre que as diagonais de um losango cortam-se mutuamente em seu ponto médio e que são ortogonais entre si.
Suponha que o sistema de coordenadas $x'y'$ tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas $xy$ por um ângulo $\theta$. Mostre que, para cada valor de $\theta$, a equação $x^2+y^2=r^2$ é transformada na equação $x'^2+y'^2=r^2$. Dê uma explicação geométrica.
Os extremos de uma corda elástica com um nó em $K(x,y)$ são presos a um ponto fixo $A(a,b)$ e um ponto $P$ sobre a borda de um pneu de raio $r$ centrado em $(0,0)$. Conforme o pneu gira, $K$ traça uma curva $C$. Encontre a equação desta curva. Assuma que a corda permanece presa e estica uniformemente (ou seja, a razão $\alpha:=|KP|/|AP|$ é constante).
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;\begin{cases}x=2-t\\ y=3-5t\\ z=6-6t. \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ \begin{cases}x=-3+6h\\ y=1+7h\\ z=-1+13h\end{cases}$$
$P=(3,8,12)$.
Verifique se a equação $x^2-6x+y^2-4y+z^2+14z+58=0$ descreve uma esfera. Em caso afirmativo, identifique o centro e o raio.
Completamos quadrados para reescrevê-la como $\displaystyle (x-3)^2+(y-2)^2+(z+7)^2=4$. Ou seja, neste caso, a equação descreve uma esfera de raio $2$ e centro em $(3,2,-7)$.
Encontre a equação da reta $r$ que passa pelos pontos $(-2,1,-3)$ e $(-4,0,2)$.
Um vetor diretor pode ser tomado pela diferença $(-4,0,2)-(-2,1,-3)=(-2,-1,5)$. Assim, temos a seguinte forma paramétrica $$ r: (-2,1,-3)+t(-2,-1,5)\quad t\in\mathbb{R}.$$
Forneça equações paramétricas para $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas equações paramétricas.
A mudança de coordenadas entre os sistemas $xy$ e $x_{1}y_{1}$ é feita através de uma matriz ortogonal $U$, como segue
\[ \begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{\,4}{5}} \\{\frac{\,-4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\quad \text{ e }\quad\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{-4}{5}} \\ {\frac{\,4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix},\quad \text{ lembrar que } U^{-1} = U^{t}.\]
Já a mudança entre os sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$ é dada por $X = x_{1}+1$, $Y = y_{1}+1$.
Encontre as equações das retas suporte do eixo $X$ e do eixo $Y$ em relação aos sistemas $x_{1}y_{1}$ e $xy$.
Encontre as equações das retas suporte do eixo $x_{1}$ e do eixo $y_{1}$ em relação ao sistema $xy$.
Seja $\mathcal{L}$ a reta cuja equação no sistema $xy$ é dada por $y = 2x + 1$. Encontre as equações de $\mathcal{L}$ em relação aos eixos $x_{1}y_{1}$ e $XY$.
Reduza a equação $5x^2+5y^2+3z^2-2xy+2xz+2yz+2x-y=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}-z=0$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo menor tem área de superfície
$$ S= 2\pi ab\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ln\dfrac{a+c}{b}\right), $$
onde $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
Ache o ângulo entre duas retas no espaço que passam pela origem, no primeiro octante, sendo uma delas com ângulos diretores $\alpha_1=45^\circ$, $\beta_1=45^\circ$; e a outra com ângulos diretores $\alpha_2=\beta_2=60^\circ$ (Sugestão: cada par de retas forma um plano que contém um dos eixos coordenados -- por quê?).
$45^\circ$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
a&b&c&d\\ -b&a&d&-c\\ -c&-d&a&b\\ -d&c&-b&a
\end{pmatrix}.
$
$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2$
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica e fazer um esboço gráfico da mesma: hipérbole com focos no eixo $x$, assíntotas $y=\pm 2 x $ e o ponto $P=(5,6).$
Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$.
\[
A = \left( \begin{array}{ccc}
2 & -2 & 3 \\
0 & 3 & -2 \\
0 & -1 & 2
\end{array}\right). \]
\[\lambda\in\{1,2,4\}\]
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $\displaystyle 9x^2-18x+9y^2-6y=10$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
No processo de escalonamento de um sistema linear, se uma linha se anular, mostre que ela era uma combinação linear das outras.
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $4x^2-8x-9y^2+6y-68=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $2xy=25$.
Apenas utilizando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=\dfrac{5}{\sqrt{\sin(2\theta)}}$, com $\displaystyle \theta\in(0,\pi)\cup (\pi,2\pi)$.
Determinar o ângulo entre a reta que passa por $A(3,-1,4)$ e $B(1,3,2)$ e a sua projeção ortogonal no plano $xy$.
$\theta=\arccos \left(\frac{5}{\sqrt{30}}\right)$
Encontre ou mostre a impossibilidade de encontrar $\gamma\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle x^2+3y^2-2xy=\gamma$ represente uma elipse.
Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado quando o mesmo: representa o vetor $v=(1,-2,1)$ e sua origem é o ponto $P=(1,0,1)$.
$(2,-2,2)$.
Estude o ângulo entre os vetores $\vec{i}$ e $\vec{j}$ no plano. Faça o mesmo no $\mathbb{R}^{3}$ em relação a $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$.
Escrevendo os vetores $u = x\vec{i} + y\vec{j}$ e $v = a\vec{i} + b\vec{j}$, verifique que $\langle u,v\rangle = xa\langle\vec{i},\vec{i}\rangle + yb\langle\vec{j},\vec{j}\rangle$. Faça um estudo semelhante no espaço $\mathbb{R}^{3}$.
Reduza a equação $3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz - 4y = 6$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz - 4y = 6$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+KX-6=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ K=\begin{pmatrix}0 & -4 & 0\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}3 & 0 & -1 \\0 & 2 & 0 \\-1 & 0 & 3\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 & -1 \\0 & 2-\lambda & 0 \\-1 & 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+8\lambda^2-20\lambda+16.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $2$ e $4$, sendo $2$ uma raiz dupla. Considere o sistema linear referente à raiz $2$: $(A-2I) X = 0$. Duas soluções de norma unitária desse sistema são $U_1=(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$ e $U_2=(0,1,0)$. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (-1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz - 4y = 6$ se transforma em:
$$\dfrac{(x')^2}{4}+\dfrac{(y'-1)^2}{4}+\dfrac{(z')^2}{2}=1,$$
que é a equação de um elipsóide.
Seja $T$ a temperatura em um ponto $(x,y,z)$ sobre a reta dada por $$x=t, y=1+t, z=3-2t.$$ A temperatura varia com o espaço de tal forma que $T=25 x^2 y z$. Utilize um recurso computacional para encontrar uma aproximação para a temperatura máxima na parte da reta que se estende do plano $xz$ ao plano $xy$.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+2x+y^2+2y+2=0$.
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica e fazer um esboço gráfico da mesma: elipse com vértices $A_1=(10,0), \, A_2=(-10,0), \, B_1=(0,6), \, B_2=(0, -6).$
Verifique se os seguintes pontos são colineares: $A=(1,0,1)$, $B=(2,2,0)$ e $C=(0,-2,2)$.
Os pontos são colineares.
Considere o ponto $A=(3,4,-2)$ e a reta $ r:\left\{
\begin{array}{ccc}
x & \;=\; & 1+t \\
y & \;=\; & 2-t \\
z & \;=\; & 4+2t
\end{array}
\right. $, onde $t\in \mathbb{R}.$
- Escreva a equação do plano $\pi $ perpendicular a $r$ que passa por $A$.
- Determine a reta que passa por $A$ e é perpendicular a $r$.
- $x-y+2z=-5.$
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=3-4t \\
y=4 \\
z=-2+2t
\end{array}
\right. .$
Dê equações paramétricas para o círculo centrado na origem de raio 1, indicando os domínios onde o parâmetro $t$ assume valores. Esboce suas parametrizações.
Um homem deseja construir uma ampulheta dispondo de $v$ m$^3$ de uma certa areia. Considerando que a ampulheta possa ser "modelada" como uma porção simétrica de uma superfície cônica, encontre a equação do cone, com abertura no eixo $z$, que contém essa ampulheta.
Reduza a equação $3x^2+3z^2+4xy+8xz+4yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Suponha que o sistema de coordenadas $x'y'$ tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas $xy$ por um ângulo $\theta$. Explique como podemos encontrar as coordenadas $xy$ de uma reta cuja equação nas coordenadas $x'y'$ seja conhecida.
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]
$z = \dfrac{-3+x+4y}{5}, t =\dfrac{-4+13 x+7 y}{5}, \forall x, y \in \mathbb{R}.$
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&a\\ 1&b\
\end{pmatrix}.
$
\(b-a\)
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
\cos a& \sin a\\ -\sin a&\cos a
\end{pmatrix}.
$
\(\displaystyle \cos a\pm \sqrt{\cos^2a-1}\)
Que condições devem satisfazer os vetores $a$ e $b$ para que o vetor $a+b$ divida o ângulo formado por eles em dois ângulos iguais?
Considere um paralelogamo de lados $a$ e $b.$ O vetor soma $a+b$ representa a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores $a$ e $b$. Caso os vetores $a$ e $b$ tenham módulos iguais, isto é, mesmo tamanho, o paralelogramo formado por esses vetores será um losango (todos os lados do paralelogramo terão a mesma medida), e a diagonal dividirá o ângulo entre os vetores $a$ e $b$ ao meio. Assim, teremos a igualdade entre dois ângulos $\alpha =\beta $ quando $\left\Vert a\right\Vert=\left\Vert b\right\Vert .$ Então, para que o vetor soma divida ao meio o ângulo entre os vetores $a$ e $b$, basta que $\left\Vert a\right\Vert =\left\Vert b\right\Vert .$
Suponha que os eixos coordenados estejam fixos, mas a posição $P(x,y)$ de um inseto é movida para uma nova posição $P'(x',y')$ através de uma rotação do ponto por um ângulo $\alpha$ em torno da origem. Naturalmente, nesta rotação o ponto $P$ estará sempre sobre um círculo fixo com centro na origem. Mostre que a nova posição do inseto será \begin{align*} x' & = x\cos\alpha - y\sin\alpha \\ y' & = x \sin\alpha + y\cos\alpha \end{align*}.
Encontre um vetor $u$ que seja ortogonal aos vetores $(2,3,-1)$ e $(2,-4,6)$ tal que $\parallel u\parallel = 3\sqrt{3}$.
$u=\pm(-3,3,3)$.
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(a,0)$, $(b,0)$ e $(0,c)$. Ache também seu centro, raio, e faça um esboço de seu gráfico.
A mudança de coordenadas entre os sistemas $xy$ e $x_{1}y_{1}$ é feita através de uma matriz ortogonal $U$, como segue
\[ \begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{\,4}{5}} \\{\frac{\,-4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\quad \text{ e }\quad\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{-4}{5}} \\ {\frac{\,4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix},\quad \text{ lembrar que } U^{-1} = U^{t}.\]
Já a mudança entre os sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$ é dada por $X = x_{1}+1$, $Y = y_{1}+1$.
Encontre as coordenadas dos pontos $a_{1}$ e $b_{1}$ (Figura 1) nos sistemas $xy$ e $x_{1}y_{1}$.
Encontre as coordenadas dos pontos $c_{1}$, ,$d_{1}$, $\textbf{O}$, e $A_{2}$ (Figura 2) em relação aos eixos $xy$, $x_{1}y_{1}$ e $XY$.
Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que tem vetor diretor $v=(1,1,-1)$ e passa pelo ponto $P_o=(0,1,7)$.
Equação vetorial: $$ \vec{r}=P_0+tv =(0,1,7)+t(1,1,-1),\quad t\in\mathbb{R}. $$ Ou, ainda, $$ \begin{cases} x=t,\\y=1+t,\\z=7-t,\quad t\in\mathbb{R}.\end{cases} $$
Considere o sistema linear:
$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}a x &+& b y & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b) y & = & d\end{array} \right. ,$$
onde $a$, $b$, $c$, $d$, $\alpha$ são números reais.
Mostre que, se $d=\alpha c$, o sistema tem infinitas soluções em função de um parâmetro $\lambda$ real, dadas por: $x=\dfrac{c-b\lambda}{a}$ e $y=\lambda$.
Mostre que, se $d \neq \alpha c$, o sistema não admite solução.
Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $u$, $v$ e $w$, dados por: $u=\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}$, $v=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$ e $w=\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$.
$|u\cdot(v\times w)|=|-20|=20$
Considere a curva no espaço descrita pela espiral $S(t) = \left( \frac{\cos(t)}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{\sin(t)}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \right)$. Qual a relação entre esta curva e a hélice cilíndrica $H(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$? Esboce a imagem de $S$. Compare o movimento de uma partícula $p$ ao longo de $S$ com o movimento de uma outra partícula ao longo de $H$.
Resolver o sistema linear:
\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]
$y = \dfrac{-6 x}{5}, z = \dfrac{-4 x}{5}, t = \dfrac{3 x}{5}, \forall x \in \mathbb{R}$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]
$Y=(0,0,0,0)^T$.
$X_o=(4,1,1,1)^T$.
$X_o+Y=(4,1,1,1)^T$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]
Esse sistema possui infinitas soluções.
Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $4x^2+9y=144$. Esboce também o gráfico.
A hipérbole $\ell$ tem focos $F_1$ e $F_2$ e vértices $A_1$ e $A_2$. Encontrar equações paramétricas de $\ell$ se
$F_1=(2,0)$, $F_2=(8,0)$, $A_1=(3,0)$, $A_2=(7,0)$;
$F_1=(0,0)$, $F_2=(4,8)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(3,6)$.
Dados três pontos $A=(1,-5,8)$, $B=(5,2,4)$ e $C=(3,9,1)$, ache três pontos diferentes tais que cada um deles forma com $A,B,C$ um paralelogramo.
Sejam $F_{1}$ e $F_{2}$ dois pontos fixos do plano que distam $8$ unidades um do outro. Ou seja, $\text{dist}(F_{1},F_{2}) = 8$.
Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos $P$ desse plano que satisfazem a condição:
\[ \text{dist}(P,F_{1}) + \text{dist}(P,F_{2}) = 10,\]
em cada um dos seguintes casos:
$F_{1} = (-c,0)$ e $F_{2} = (c,0)$, onde as coordenadas foram tomadas em relação ao sistema $xy$ da Figura 1 acima, e cada ponto $P$ tem coordenadas $(x,y)$ tomadas em relação a $\textbf{o}$.
$F_{1} = (-5,2)$ e $F_{2} = (3,2)$, onde as coordenadas foram tomadas em relação ao sistema $XY$ da Figura 2 acima, e cada ponto $P$ tem coordenadas $(X,Y)$ tomadas em relação a $\textbf{O}$.
$F_{1}$ e $F_{2}$ estão sobre o eixo $X$ do sistema $XY$ da Figura 2 acima, são simétricos em relação ao eixo $Y$, e cada ponto $P$ tem coordenadas $(x,y)$ tomadas em relação a $\textbf{o}$.
Determine a superfície dada pela representação paramétrica $\sigma(u,v) = (u, u\cos v, u\sin v)$.
Vamos, primeiro, escrever as equações paramétricas $x=u$, $y = u\cos v$ e $z=u\sin v$. Somando os quadrado de $y$ e $z$, temos $$ y^2 + z^2 = u^2\cos^2v+u^2\sin^2v= u^2(\cos^2v+\sin^2v)=u^2=x^2.$$ Assim, somos capazes de eliminar os parâmetros e então a equação em $x$, $y$ e $z$ fica dada por $x^2= y^2+z^2$. O prévio conhecimento da forma reduzida das superfícies quádricas nos permite dizer que se trata de um cone abrindo-se ao longo do eixo $x$.
O lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfaz a equação $\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=a^{2/3}$ é denominado esfera astroidal. Mostre que essa superfície pode ser representada parametricamente como \begin{align*} x& = a(\sin u\cos v)^3 \\ y& = a(\sin u\sin v)^3 \\ z & = a (\cos u)^3, \quad (0\leq u\leq \pi, \ 0\leq v\leq 2\pi). \end{align*} Tente esboçar o seu gráfico.
No triângulo $ABC$, tem-se $\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{AC}$ e $\vec{AQ}=\frac{1}{2}\vec{AC}.$ Expressar os vetores $\vec{BP}$ e $\vec{BQ}$ em funçãao de $\vec{BA}$ e $\vec{BC}.$
Forneça equações paramétricas para $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas equações paramétricas.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
5&6&-3\\ -1&0&1\\ 1&2&1
\end{pmatrix}.
$
\(x=2\) é uma raíz tripla.
Reduza a equação $2x^2+2y^2-z^2+8xy-4xz-4yz=2 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A cúbica retorcida $T(t) = (t, t^2, t^3)$ (e suas primas) aparece em geometria algébrica. Mostre que se $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais distintos, então os pontos $T(a)$, $T(b)$, $T(c)$ e $T(d)$ não pertencem a um único plano em $\mathbb{R}^3$. (Dica: primeiro resolva o problema correspondente para a parábola em $\mathbb{R}^2$.)
Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$ e $P=(x_1,y_1)$ um ponto em $\mathcal{C}$. Mostre que a equação da reta tangente à circunferência por $P$ é $x_1x+y_1y=r^2$. (Lembre que a reta tangente em $P$ sempre é perpendicular ao vetor $\vec{OP}$, com $O$ sendo o centro de $\mathcal{C}$.)
Um ponto $x=(x,y)$ qualquer sobre a reta tangente a $\mathcal{C}$ pelo ponto $P$ deverá satisfazer $(x-P)\cdot\overrightarrow{OP}=0$. Ou seja, $\vec{x}$ deverá cumprir $(x-x_1)x_1+(y-y_1)y_1=0$ pela condição de perpendicularidade. Como $P\in\mathcal{C}$, então $x_1^2+y_1^2=r^2$ e a condição anterior fica $\displaystyle xx_1+yy_1=r^2$.
Na equação $x^2-y^2+2\sqrt{3}xy+6x=0$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.
Dada a reta $r = \left\{\begin{array}{rcl}x &=& 1+m\lambda\\y &=& 2+n\lambda\\ z &=& 1+(n-1)\lambda\end{array}\right.$, determine, se possível, $m$ e $n$ em cada um dos seguintes casos:
- $r$ é paralela ao eixo $Y$;
- $r$ é paralela ao plano $XY$;
- $r$ passa pela origem.
- Devemos ter $m=0$ e $n=1$.
- Para este caso: $n=1$ e $m$ pode ser qualquer.
- $m=1$ e $n=2$.
Dados dois vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$, e $\theta$ o ângulo entre eles, ache fórmulas para $\|\vec{A} + \vec{B}\|$ e $\|\vec{A} - \vec{B}\|$ (Sugestão: use a Lei dos Cossenos).
$\|\vec{A} + \vec{B}\|^2=\|\vec{A}\|^2+\|\vec{B}\|^2 +2\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos\theta$.
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(4,-3,-2)$ e tem a direção de $3i\;-\;2j$.
$r:(x,y,z)=(4+3t,-3-2t,-2)$.
Sendo $\|u\|=3, \|v\|=4$ e $120^{\circ}$ o ângulo entre os vetores $u$ e $v$, calcule:
$\|u+v\|,$
$\|u\times(v-u)\|.$
A elipse $\ell$ tem focos $F_1=(1,2)$ e $F_2=(2,4)$ e vértices $A_1=(0,0)$ e $A_2=(3,6)$. Dê as equações paramétricas de $\ell$.
Mostre que se
$$u= u_a a + u_b b + u_c c,$$
$$v = v_a a + v_b b + v_c c,$$
$$w= w_a a + w_b b + w_c c,$$
então
$$(u\cdot v\times w)(a\cdot b\times c) = \det\left(\begin{array}{ccc} u\cdot a & u\cdot b & u\cdot c\\ v\cdot a & v\cdot b & v\cdot c\\ w\cdot a & w\cdot b & w\cdot c\\\end{array}\right).$$
Esta fórmula reduz o cálculo de dois determinantes (pois cada produto misto envolve o cálculo de um determinante) ao cálculo de um único.
Sugestão: Use a seguinte relação:
$$u\cdot(v\times w)=\det\left(\begin{array}{ccc} u_a & u_b & u_c \\ v_a & v_b & v_c \\ w_a & w_b & w_c \\\end{array}\right)[a\cdot(b\times c)].$$
Quais são os cossenos diretores da reta no plano $xy$ que faz $45^\circ$ com a origem?
$1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0$.
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{5}+\dfrac{z^2}{3}=1$ e esboce seu gráfico.
Sejam $u$ e $v$ dois vetores de comprimentos iguais. Mostre que para quaisquer números $a$ e $b$, os vetores $au+bv$ e $av+bu$ têm o mesmo comprimento. Interprete o resultado.
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(-2,3,4)$ e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos $x$ e dos $y$.
$r:(x,y,z)=(-2,3,4+t);$
Reduza a equação $3x^2+4y^2+z^2-12x-8y-2z+16=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$\dfrac{(x-2)^2}{1/3}+\dfrac{(y-1)^2}{1/4}+(z-1)^2=1$: elipsóide.
Uma viga metálica fina, com extremidades nas coordenadas $A=(-1,4,7)$ e $B=(3,-2,-1)$, deve ser dividida em duas partes iguais. Determine o ponto $C$ que realiza esta divisão.
Mostre que, quando $b$ varia, a equação polar
$$ r=b\mathrm{\,cosec\,}\theta \quad(0 < \theta < \pi ) $$
descreve uma família de retas paralelas ao eixo polar.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
\sin\alpha&\cos\alpha&1\\ \sin\beta&\cos\beta&1\\ \sin\gamma&\cos\gamma&1
\end{pmatrix}.
$
$\sin(\alpha - \beta) - \sin(\alpha - \gamma) + \sin(\beta - \gamma)$
Mostre que todo sistema linear homogêneo (isto é, cujos termos independentes são todos iguais a zero) de três equações com quatro incógnitas possui uma infinidade de soluções.
Calcule o cosseno do ângulo entre a diagonal de um cubo e suas arestas.
Consideraremos o cubo com arestas paralelas aos eixos coordenados. Sejam a origem $\left( 0,0,0\right) $ e os pontos $\left( k,0,0\right) ,\left(
0,k,0\right) $ e $\left( 0,0,k\right) $ quatro vértices do cubo. Considere agora o vetor diagonal, isto é, o vetor $\overline{d}$ obtido considerando a origem e o vértice oposto $\left( k,k,k\right) $. Então, o ângulo $\theta $ entre o vetor diagonal e a aresta $u_{x}=\left(k,0,0\right) $ é obtido como segue:
$\overline{d}.u_{x}=\left( k,k,k\right) .\left( k,0,0\right) =\left\vert
\overline{d}\right\vert .\left\vert \overline{u_{x}}\right\vert \cos \theta ,
$ $k^{2}=\sqrt{3k^{2}}k\cos \theta .$
Logo, $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}},$ e $\theta =arc\cos \left( \frac{1}{
\sqrt{3}}\right) ,$ onde escolhemos a determinação do $\arccos $ em $
\left( 0,\pi \right) $. Os ângulos com as arestas são iguais. Observe que o ângulo obtido é sempre independente da escolha de $k.$
O vetor $w$ é ortogonal aos vetores $u=(2,3,-1)$ e $v=(1,-2,3)$ e $w\cdot(2,-1,1) = -6$. Encontre $w$.
$w=(-3,3,3)$
Dadas a equação da curva diretriz $x^2-y^2=1$, $z=0$ e um vetor $V=(0,2,-1)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=2sen2\theta$.
Usando a relação entre coordenadas polares e rectangulares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle x^2+y^2=2\sin(2\arctan\dfrac{y}{x}), \quad x\neq 0.$
Sabendo que $u\cdot(v\times w)=2$, calcular:
$u\cdot(w\times v)$.
$v\cdot(w\times u)$.
$(v\times w)\cdot u$.
$(u\times w)\cdot 3v$.
$u\cdot(2w\times v)$.
$(u+v)\cdot(u\times w)$.
Mostre que o sistema linear:
$$ \left\{ \begin{array}{ccccc}a_{11} x &+& a_{12} y & = & b_1\\a_{21} x &+& a_{22} y & = & b_2 \end{array} \right.$$
pode ser escrito em forma matricial $AX=b$, onde:
$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}.$$
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+5x+y-9=0$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
a&b&c\\ b&c&a\\ c&a&b
\end{pmatrix}.
$
$-a^3 - b^3 + 3 a b c - c^3$.
Nesta questão, todos os sistemas de coordenadas têm mesma origem $O$. Sejam $(x,y,z)$ coordenadas em relação à base usual $\{i,j,k\}$; $(u,v,w)$ coordenadas em relação à base $\beta =\{j,i,i-j+k\}$ e $(r,s,t)$ coordenadas em relação à base $\gamma =\{k,i-j,i+j\}$. Dado um ponto $P\in\mathbb{R}^3$, escrito na base $\beta$ como $P_{\beta} = (3,2,1)$, ache $P_{\gamma}$, isto é, $P$ na base $\gamma$.
Um vetor no espaço tem dois de seus ângulos diretores dados: $\alpha=45^\circ$ e $\beta=120^\circ$. Ache o outro ângulo diretor e faça um esboço do vetor. Quantas respostas existem? (Sugestão: use as fórmulas de cosseno diretor).
$60^\circ$, $120^\circ$. Existem duas respostas.
Reduza a equação $2x^2+2y^2-4z^2-5xy-2xz-2x-2y+z=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $49x^2-9y^2=441$. Esboce também o gráfico.
- Mostre que $\mathcal{B}$ é uma base para $\mathbb{R}^{3}$.
- Encontre a matriz de mudança de coordenadas $A$ da base canônica $\{i,j,k\}$ de $\mathbb{R}^{3}$ para a base $\mathcal{B}$. Qual é matriz de mudança de coordenadas $A^{\prime}$ da base $\mathcal{B}$ para a base canônica?
- Quais são as coordenadas dos vetores canônicos $i,j$ e $k$ em relação à base $\mathcal{B}$?
- Se o ponto $P$ tem coordenadas $(1,-2,5)$ no sistema $\{O,i,j,k\}$, quais são as coordenadas de $P$ no sistema $\{O,\mathcal{B}\}$?
- Pois $\det\left[\begin{array}[c]{ccc}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] =2\neq0$.
- $A^{\prime}=\left[\begin{array}[c]{ccc}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] ;A=(A^{\prime})^{-1}=\left[\begin{array}[c]{rrr}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\-\overset{}{\frac{1}{2}} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\overset{}{\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] $.
- São as colunas de $A$, respectivamente: $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) ,\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) $ e $\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) $.
- $(-3,1,4).$
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
2&-2&0\\ -2&3&-2\\
0&-2&4
\end{pmatrix}.
$
\(x=0\), \(x=3\) e \(x=6\)
Reduza a equação $2xy + z = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Dê equações paramétricas para o círculo centrado em $(h,k)$ e de raio 1, indicando o domínio onde o parâmetro $t$ assume valores. Esboce suas parametrizações.
Dê equações paramétricas para a curva $y^2-8x-8y+8=0$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Decompor o vetor $\vec{w} = (-1,-3,-2)$ como soma de dois vetores $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$, onde $\vec{u}$ é paralelo ao vetor $(0,1,3)$ e $\vec{v}$ é ortogonal a $(0,1,3)$ (Dica: $u$ pode ser escolhido como a projeção de $\vec{w}$ sobre $(0,1,3)$).
$\vec{u}=\left(0,-\frac{9}{10},-\frac{27}{10}\right)^T$ e $\vec{w}=\left(-\sqrt{\frac{10}{59}},-\frac{21}{\sqrt{590}},\frac{7}{\sqrt{590}}\right)^T$
Seja $Q$ um retângulo centrado na origem, cujo lado maior mede o triplo do lado menor. Sabendo que um dos vértices de $Q$ é $V_1=(1,2)$ e que o vértice $V_2$, consecutivo a $V_1$ no sentido trigonométrico (anti-horário), é tal que $V_1V_2$ é um lado menor, determine os outros vértices de $Q$.
Tomando o ângulo $\theta=\widehat{V_10V_2}$, temos que $V_2 = R_{\theta}(V_1)$, onde $$R_\theta=\left(\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) $$ denota a rotação por um ângulo $\theta$ (Fig.). Sendo $P$ o ponto médio do segmento $V_1V_2$, vamos ter que $\dfrac{\theta}{2}=\widehat{POV_2}$. Sendo $V_1V_2$ um lado menor e dada a relação entre os lados (enunciado), segue que $|OP|=3|PV_2|$. Assim, o triângulo retângulo $OPV_2$ nos fornece que $$ \sin\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{|PV_2|}{|OV_2|} \quad\text{e}\quad \cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{|OP|}{|OV_2|}=\dfrac{3|PV_2|}{|OV_2|}=3\sin\dfrac{\theta}{2}, $$ o que juntamente com a relação fundamental $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, resulta em $\sin^2\dfrac{\theta}{2}+9\sin^2\dfrac{\theta}{2}=1$. Ou seja, temos que $$ \sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{10} \quad\mathrm{e}\quad\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}.$$ Conseqüentemente, temos que $$\cos\theta= \cos(2\dfrac{\theta}{2})=\cos^2\dfrac{\theta}{2}-\sin\dfrac{\theta}{2}= \dfrac{4}{5}\quad \text{e}$$ $$\sin\theta= \sin(2\dfrac{\theta}{2})= 2\cos\dfrac{\theta}{2}\sin\dfrac{\theta}{2}= \dfrac{3}{5} .$$ Assim, $$ V_2 = R_{\theta}(V_1)=\left(\begin{array}{cc} \dfrac{4}{5} & -\dfrac{3}{5} \\ \dfrac{3}{5} & \dfrac{4}{5} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rcl} -\dfrac{2}{5} &,&\dfrac{11}{5} \end{array}\right). $$ Finalmente, como $V_3=R_{\pi}(V_1)$, $V_4=R_{\pi}(V_2)$, $cos\pi=-1$ e $\sin\pi=0$, obtemos que $$V_3=-V_1=(-1,-2) \quad \text{e}\quad V_4=-V_2=(\dfrac{2}{5},-\dfrac{11}{5}).$$
Um navio ao mar está no ponto $A$ que está localizado a $60^\circ$ de longitude oeste e $40^\circ$ de latitude norte. O navio viaja ao ponto $B$ que está a $40^\circ$ de longitude oeste e $20^\circ$ de latitude norte. Supondo que a Terra seja uma esfera com raio de $6370$ Km, determine a menor distância que o navio pode pode viajar indo de $A$ para $B$, dado que a menor distância entre os dois pontos sobre uma esfera está ao longo do arco do círculo máximo que une os pontos. [Sugestão: usando o sistema de coordenadas esféricas, considere o ângulo entre os vetores do centro da Terra aos pontos $A$ e $B$. Se o termo "círculo máximo" lhe for estranho, consulte um dicionário.]
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]
$Y = (0, 0)^T$.
Não existe solução particular $X_o$ para esse sistema. Ou seja, o sistema linear não possui solução.
Identifique o círculo $x^2+y^2-4x+6y=12$, dando o seu centro e raio.
Centro igual $(2,-3)$ e com raio $5$.
Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]
Esse sistema linear possui infinitas soluções.
Use o processo de inversão (Gauss-Jordan) para obter a inversa da matriz $A$ e verifique que a matriz obtida é de fato a inversa de $A$, onde: $$ A = \begin{bmatrix} 6 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
Qual é o lugar geométrico de todas as retas que passam pela origem com ângulo diretor em relação ao eixo $z$ $\gamma=30^\circ$?
Um cone sobre o eixo $z$.
Qual a distância de um ponto $(x,y)$ ao ponto $(c,0)$?
Qual a distância de um ponto $(x,y)$ ao ponto $(-c,0)$?
Use sua resposta anterior para obter a equação de uma elipse com focos $(c,0)$ e $(-c,0)$.
Simplifique sua equação o máximo possível. Isso exigirá certa manipulação algébrica mas, ao final, podemos obter uma forma simplificada para elipses deste tipo.
Quais são as intersecções desta elipse com os eixos $x$ e $y$?
Como muda a sua equação se os focos forem $(0,c)$ e $(0,-c)$?
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
a&b\\ -b&a
\end{pmatrix}.
$
\(a^2+b^2\)
Mostre que as medianas de um triângulo interceptam-se em um único ponto. Encontre a razão em que esse ponto divide cada mediana.
Tente generalizar o item (a) para tetraedros.
$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM},$ $\overrightarrow{BH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN},$ $\overrightarrow{CI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}.$
Assim, observe que
$\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}\right) =0.$
De maneira análoga, mostramos que $\overrightarrow{GH}=.$ Portanto,
concluímos que $G=H=I,$ e vale as propoções citadas acima.
b) Vamos mostrar que o centro de massa do tetraedro é a interseção das medianas. Sendo assim, seja o tetraedro $ABCD$. A mediana do tetraedro
é definida comos sendo o segmento que une um baricentro de uma das faces do tetraedro, com o seu vértice oposto.
Sejam $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, sendo respectivamente os baricentros das faces $DBC,$ $ABC,$ $ADC$ e $ADB.$
Observe que $\overrightarrow{D^{\prime }A}+\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{D^{\prime }C}=0,$ pois $\overrightarrow{D^{\prime }A}+
\overrightarrow{D^{\prime }B}=2\overrightarrow{D^{\prime }P},$ onde $P=\frac{A+B}{2}.$ Como $D^{\prime }$ é o baricentro do triângulo $ABC$, segue que $\overrightarrow{CD^{\prime }=}2\overrightarrow{D^{\prime }P}.$
Assim,
$\overrightarrow{D^{\prime }A}+\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{D^{\prime }C}=2\overrightarrow{D^{\prime }P}+\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{CD^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }C}=0.$
Seja $G$ o centro de massa do tetraedro. Uma propriedade dele, é que
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0.$
Assim,
$3\overrightarrow{GD^{\prime }}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{
AD^{\prime }}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BD^{\prime }}+
\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CD^{\prime }}=\overrightarrow{GA}+
\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}-\left( \overrightarrow{D^{\prime }A}+\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{D^{\prime }C}\right) =
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=- \overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DG}.$
Portanto, $3\overrightarrow{GD^{\prime }}=\overrightarrow{DG},$ ou seja, o centro de massa $G$ pertence ao segmento $\overrightarrow{DD^{\prime}}.$ De maneira análoga, mostramos que $G$ pertence aos segmentos $\overrightarrow{AA^{\prime }},$ $\overrightarrow{BB^{\prime }}, \overrightarrow{CC^{\prime }}.$ Ou seja, $G$ é o ponto de interseção das medianas.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t$, $y=2t^2$ e $z=3t^3$.
Considere os pontos $A = (3,-2,8)$, $B = (0,0,2)$ e $C = (2,3,2)$.
Usando vetores, mostre que o triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ é retângulo (Dica: O lado $BA$ é paralelo ao vetor $\stackrel{\longrightarrow}{BA}$).
Determine o ponto $H$ na aresta $AC$ para o qual os segmentos $AC$ e $HB$ são ortogonais ($=$ perpendiculares).
Determine o vetor $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$. (Dica: $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$ é a projeção ortogonal de $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ sobre $\stackrel{\longrightarrow}{AC}$.)
Calcule a área do triângulo (Dica: área do triângulo = (1/2) de base $\times$ altura).
Para o par de vetores $u=(3,1,-3)$ e $v=(2,-3,1)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.
Posto que $u \cdot v=0$, $u$ e $v$ são ortogonais. Assim, a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ é zero. Nesse caso, $v_1=0$ e $v_2=v$.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $3x^2+5y^2+4x-2y-10=0$.
Para dois vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$, mostre que vale a Lei Distributiva: $m(\vec{A} + \vec{B})=m\vec{A}+m\vec{B}$ (Sugestão: mostre que $m\vec{A}+m\vec{B}$ está na mesma direção que $\vec{A}+\vec{B}$ e que $\|m\vec{A}+m\vec{B}\|$ é igual a $m$ vezes $\|\vec{A}+\vec{B}\|$). O que ocorre se $m$ for negativo?
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]
Encontre a equação da reta $r$ que passa por $A=(2,1,-1)$ e é perpendicular à reta $s: (2,0,0) + t(3,1,-1)$.
Inicialmente, vamos determinar o ponto $P_0$ sobre $s$ tal que $(P_0-A)\cdot(3,1,-1)=0$. Para isso, temos que $(P_0-A)=(2+3t,t,-t)-(2,1,-1)=(3t,t-1,1-t)$. Segue que $$(P_0-A)\cdot(3,1,-1)=0\Longleftrightarrow 9t+(t-1)-(1-t)=0 \Longleftrightarrow 11t=2\Longleftrightarrow t=11/2.$$ Logo, $$ P_0-A=(\frac{6}{11},-\frac{9}{11},\frac{9}{11})=\frac{3}{11}(2,-3,3), $$ e podemos tomar o vetor $(2,-3,3)$ como diretor. Assim, a reta procurada pode ser descrita parametricamente por $$ r: (2,1,-1) + t(2,-3,3),\quad t\in\mathbb{R}.$$
Em cálculo de uma variável vemos que se $x_0$ é um extremo local (máximo ou mínimo) de uma função $f(x)$, então a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0$ é horizontal, ou seja, $f'(x_0)=0$.
Encontre uma relação similar entre um extremo local de uma função de duas variáveis e o plano tangente ao seu gráfico.
Use esta relação para encontrar os extremos locais da função $\displaystyle f(x,y)=-2xy$.
Verifique se sua resposta no item anterior está correta, primeiro achando uma mudança de coordenadas conveniente (rotação) e, em seguida, completando os quadrados em $f(x',y')$ de tal forma a identificar a quádrica resultante.
Para o par de vetores $u=(1,1,1)$ e $v=(3,1,-1)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.
$\textrm{proj}_{u}{u}=u$.
$v_1=u$; $v_2=(2,0,-2).$
Dados o ponto $A(3,4,-2)$ e a reta
$$r:\;\begin{cases}x=1+t\\ y=2-t\\ z=4+2t\end{cases},$$
- determinar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é perpendicular a $r$,
- calcular a distância de $A$ a $r$,
- determinar o ponto simétrico de $A$ em relação a $r$.
- $\begin{cases}
x=3-4t\\
y=4\\
z=-2+2t
\end{cases}$; - $2\sqrt{5}$;
- $A'=(-5,4,2)$
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]
$x_2 = \dfrac{13-2 x_1}{5}, x_3 = \dfrac{1+x_1}{5}, x_4 = \dfrac{9-x_1}{5}, \forall x_1\in\mathbb{R}.$
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 5\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}-5 & 2 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.\]
Mostre que o vetor $\displaystyle p=b-\frac{a\cdot b}{a\cdot a}\;a$ é perpendicular ao vetor $a$.
$\displaystyle p\cdot a=b\cdot a-\frac{a\cdot b}{a\cdot a}\;a\cdot a=b\cdot a-\frac{a\cdot b}{||a||^2}||a||^2=b\cdot a-a\cdot b\,\frac{||a||^2}{||a||^2}=b\cdot a-a\cdot b=0$.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2-y^2-4x+2y+2=0$.
Encontre a equação do plano $\pi$ que passa pelo ponto $P=(3,1,2)$ e tem vetor normal $N=(1,2,-3)$.
$x+2y-3z=-1$
- Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (3, 1,-1), B = (1, 2,-1) \text{ e } C = (1,-1, 0)$.
- Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1), E = (2,-1,0)$ e é paralelo ao eixo $y$.
- Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
- Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
- Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $\overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)
Mostre que os ramos direito e esquerdo da hipérbole $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ podem ser representados parametricamente por
$$ x= a\sec t, \quad y=b\tan t, \quad(-\pi/2 < t < \pi/2) $$
$$ x= -a\sec t, \quad y=b\tan t, \quad(-\pi/2 < t < \pi/2). $$
Use um recurso gráfico para gerar ambos os ramos da hipérbole $x^2-y^2=1$ em um mesmo gráfico.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^3+y^3-6xy=0$.
Pela definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $$r=\frac{6\cos(\theta)\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)} \quad \theta\in[0,2\pi].$$
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2t$, $y=4t^2$ e $z=t$.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Dados: a esfera $\mathcal{S}$ de centro $C=(h,k,p)$ e raio $r$ e $P=(x_1,y_1,z_1)$ um ponto da esfera, mostre que: $\pi\cap \mathcal{S}=\{P\}$, onde $\pi$ é o plano que é normal ao vetor $\vec{CP}$ e passa por $P$. Tal plano é chamado de plano tangente à esfera por $P$.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+y^2+(1/3)xy+6x+8y-5=0$.
Sejam a reta $r: \ x-1=y=z$ e os pontos $A(1,1,1)$ e $B(0,0,1)$. Encontre o ponto de $r$ que é equidistante de $A$ e $B$.
Na equação $4x^2-20xy+25y^2-15x-6y=0$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.
Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:
$$r:\begin{cases} x - 2y = 4\\
3y + z = -8\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=0.$$
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $5x^2+6xy+5y^2-8 = 0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Se $V$ é o vetor que satisfaz as condições:
$V$ é ortogonal aos vetores $(1,0,2)$ e $(-2,1,0);$
$\left\| V\right\| =\sqrt{21};$
o ângulo entre $V$ e o vetor $(0,1,2)$ é menor que $90^{\circ }.$
Encontre o ponto final do representante de $V$ que tem ponto inicial em $(9,0,-2)$.
$(11,4,-3)$.
Identifique a cônica descrita pela equação $x^2-6xy-7y^2+10x-30y+23=0$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{4}{2-3cos\theta}$.
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 2-t\\y &=& 3+2t\\ z &=& 1 + t\end{array}\right., \ \ \
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 5-2s\\y &=& 2+4s\\ z &=& 1 + 2s\end{array}\right. .\]
São paralelas.
Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$ e $P=(x_1,y_1)$ um ponto no exterior da circunferência. Sejam também $P_2=(x_2,y_2)$, $P_3=(x_3,y_3)$ os pontos de $\mathcal{C}$ tais que as retas $l_2$ que passa por $P$ e $P_2$, e $l_3$ que passa por $P$ e $P_3$ são tangentes à circunferência. Então mostre que a reta (secante) que passa por $P_2$ e $P_3$ tem equação $x_1x+y_1y=r^2$. (Sugestão: encontre as equações das retas $l_2$ e $l_3$ e use o fato de que $P$ está em ambas.)
Mostre que não existe $x$ tal que os vetores $v=(x,2,3)$ e $u=(x,-2,3)$ sejam perpendiculares.
Para que $v$ e $u$ fossem perpendiculares, seria necessário haver $x$ tal que $v\cdot u= x^2-4+9=0$, ou seja, $x$ tal que $x^2=-5$. Mas não há $x\in \mathbb{R}$ que satisfaça essa equação.
Um próton é lançado ao longo da reta $y = \frac{1}{2} x$ em direção ao núcleo de um átomo localizado na origem. Se o próton é defletido em direção à linha $y = -\frac{1}{2} x$, ao longo de um trecho de hipérbole, dê a equação para a trajetória do próton.
Uma força $\vec{F} = (4,-6,1)$ N é aplicada a um ponto que se move uma distância de $15$ metros na direção e sentido do vetor $(1,1,1)$. Quanto trabalho foi realizado?
Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:
$$r:\begin{cases} x= 1 + t\\
y = -2 - t
\\z = -1 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=2.$$
Considere o hiperbolóide de uma folha $H$ dado pela equação $x^2+y^2=1+z^2$. Mostre que por cada um dos seus pontos passam duas retas inteiramente contidas na superfície $H$. Generalize para qualquer hiperbolóide de uma folha. (Sugestão: $x^2+y^2=1+z^2\Leftrightarrow(x+z)(x-z)=(1+y)(1-y)$.)
Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam do plano $\pi: x=2$ e do ponto $P=(-2,0,0)$. Que conjunto é este?
Ache os dois vetores no plano $xy$ perpendiculares a $4\vec{i}-3\vec{j}$ e de tamanho $10$.
$\pm (6\vec{i}+8\vec{j})$.
Reduza a equação $2x^2+3y+4z+4=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada por $yz=1$ e $x=0$ em torno do eixo $z$.
Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$. Se $r=1$ e $l$ é a reta de equação $3x+4y=5$ então mostre que $l$ é tangente a $\mathcal{C}$. Encontre o ponto de tangência.
Basta dividir ambos os lados da equação equação da reta dada e
confrontar com a afirmação vista no exercício anterior. Ou seja, a reta
$l$ tem equação $\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y=1$. Assim, pelo visto no
exercício anterior, vemos que $l$ é a reta tangente a $\mathcal{C}$ pelo
ponto $(3/5,4/5)$.
As equações a seguir representam as trajetórias retilíneas de duas partículas com velocidade uniforme. Determine se as trajetórias se interceptam. Em caso afirmativo, determine se há colisão entre as partículas.
- $\alpha(t) =(1+t,-2t,3-t)$ e $\beta(t) = (-2+t,6-2t,6-t)$.
- $\gamma(t) = (1+t,-2t,3-t)$ e $\delta(t) = (-1+t,4-2t,-3-t)$.
- $\varepsilon(t) = (1+t,-2t,3-t)$ e $\eta(t) =(6+t,-10-t,-2-t)$.
- $\theta(t) = (1+t,-2t,3-t)$ e $\lambda(t) = (6+2t,-10-2t,-2-2t)$.
- $\mu(t) =(1+t,-2t,3-t)$ e $\nu(t) = (5+t,-10-t,-2-t)$.
Mostre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio (Sugestão: Sejam $M$ e $N$ os pontos médios das duas diagonais. Mostre que $\overline{MN}=\vec{0}$.).
Considere o paralelogramo $ABCD$, de diagonais $AC$ e $DB.$ Seja $M$ o ponto médio de $AC.$ Vamos provar que $M$ é também ponto médio de $BD.$ Ora, $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MD}.$ Logo, $M$ é o ponto médio de $BD.$
Os seguintes pares de retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas ou concorrentes. Encontre uma equação geral do plano que as contém.
$$r_1:\;\begin{cases}y=2x-3\\z=-x+2\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \
\ r_2: \begin{cases}\text{ $\frac{x-1}{3}=\frac{z-1}{-1}$}\\
y=-1.\end{cases}$$
Para quais valores de $m$ os pontos $A=(m,1,2), B=(2,-2,-3), C=(5,-1,1)$ e $D=(3,-2,-2)$ são coplanares?
$m=\pm 4$
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica: hipérbole com assíntotas $y=\pm x$ e um ponto da hipérbole $P=(2,7)$.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
5&2&-3\\ 4&5&-4\\ 6&4&-4
\end{pmatrix}.
$
As raízes são: \(x=1\), \(x=2\) e \(x=3\).
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$, em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]
Resolver o sistema linear:
\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]
$y = \dfrac{-6 x}{5}, z = \dfrac{-4 x}{5}, t = \dfrac{3 x}{5}, \forall x \in \mathbb{R}$.
Verifique que a intersecção dos planos $\pi_1:x-y=0$, $\pi_2:x+z=0$ e $\pi_3:x-y+3z+3=0$ é um ponto. Modifique o coeficiente de $y$ na equação do plano $\pi_3$ para que a intersecção $\pi_1\cap\pi_2\cap\pi_3$ seja uma reta.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=16$.
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r\sqrt{\cos(2\theta)}=4$.
Que condições devem satisfazer os vetores $a$ e $b$ para que sejam válidas as seguintes relações?
$\|a + b \| = \|a - b \|$;
$\| a + b \| > \| a - b \|$;
$\| a + b \| < \| a - b \|$.
Considere as matrizes
\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}2 & -3 & -5\\-1 & 4 & 5\\1 & -3 & -4\end{array}\right) \text{, }B=\left(
\begin{array} [c]{rrr}-1 & 3 & 5\\1 & -3 & -5\\-1 & 3 & 5\end{array}\right) \text{ e }C=\left(
\begin{array}[c]{rrr} 2 & -2 & -4\\-1 & 3 & 4\\
1 & -2 & -3 \end{array}\right) .\]
- Mostre que $AB=BA=0$, $AC=A$ e $CA=C$.
- Use os resultados do item anterior para mostrar que $ACB=CBA$, $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ e $(A\pm B)^{2}=A^{2}+B^{2}$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t+2$, $y=2t-4$ e $z=1-t$.
O momento escalar ou torque sobre o ponto $P$ de uma força $\vec{F}$ aplicada a um ponto $Q$ é dado por $\|\vec{PQ} \times \vec{F}\|$. Uma força $\vec{F}$ com magnitude de $10 N$ é aplicada na direção $y$ positiva sobre o ponto $Q=(1,1,1)$ em um cubo com lados de tamanho $1m$. Determine o momento escalar de $\vec{F}$ sobre o ponto $P = (0,0,0)$. Faça um esboço do gráfico, indicando a força e o momento escalar.
Sejam os vetores $\vec{u}=(2,1,3)$, $\vec{v}=(0,1,-1)$, $\vec{w}=(4,5,3)$. Mostre que $\vec{u}, \vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares.
De fato, basta verificar que $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0$.
Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é simultaneamente ortogornal às retas $r_1$ e $r_2$:
$$A(3,2,-1),\;\;
r_1: \begin{cases} x=3\\ y=-1. \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \
r_2: \begin{cases} y=x-3\\ z=-2x+3. \end{cases}$$
$r:(x,y,z)=(3-t',2+t',-1).$
Encontre condições sobre o vetor $v=(a,b,c)$ para que exista uma reta na direção de $v$ que intercepte simultaneamente as retas $r$ e $s$:
$$r:\begin{cases} x=2 + t\\
y = 5 - t
\\z = 3 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ s:\begin{cases} x= t\\
y = 1 - t
\\z = -2 + t \end{cases}$$
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2+y^2+z^2=9z$.
Sejam $a,b,c$ três vetores não coplanares e denotemos por $[a,b,c]$ o produto misto $a\cdot(b\times c)$. Os vetores
$$a'=\frac{b\times c}{[a,b,c]},\; b'=-\frac{a\times c}{[a,b,c]},\; c'=\frac{a\times b}{[a,b,c]}$$
são chamados os vetores recíprocos aos vetores $a,b,c$.
Uma das utilidades dos vetores recíprocos consiste em encontrar as coordenadas de um vetor $v$ qualquer em termos dos vetores $a,b,c$. Isto é, queremos encontrar escalares $x,y,z$ tais que
$$ v=xa+yb+zc. $$
Mostre que, $$v = (v\cdot a')a \; + \; (v\cdot b')b \;+\; (v\cdot c')c.$$ Ou seja,
$$ x=v\cdot a', \; y=v\cdot b', \; z=v\cdot c'. $$
Mostre que se $a,b,c$ são três vetores unitários, dois a dois ortogonais e que satisfazem a regra da mão direita, então $a'=a$, $b'=b$ e $c'=c$ (ou seja, neste caso os vetores recíprocos de $a,b,c$ são eles próprios). Em particular, segue que $$v = (v\cdot a) a \; + \; (v\cdot b) b \;+\; (v\cdot c) c.$$
Verifique que se
$$ v=xa'+yb'+zc', $$
então $$v = (v\cdot a)a' \; + \; (v\cdot b)b' \;+\; (v\cdot c)c'.$$
Mostre que valem as relações
$$ a'\cdot a = b'\cdot b = c'\cdot c =1,$$
$$a'\cdot b =a'\cdot c = b'\cdot a = b'\cdot c = c'\cdot a = c'\cdot b = 0. $$
Em outras palavras, o produto escalar de vetores correspondentes é $1$, enquanto que o produto escalar de vetores não-correspondentes é $0$.
Reciprocamente, mostre que se
$$ A\cdot a = B\cdot b = C\cdot c =1,$$
$$A\cdot b = A\cdot c = B\cdot a = B\cdot c = C\cdot a = C\cdot b = 0, $$
então
$$ A=a', \; B=b', \; C=c'.$$
Conclua que os vetores recíprocos de $a',b',c'$ são exatamente $a,b,c$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]
Se de um ponto qualquer $R$ dentro de um paralelogramo $ABCD$ são traçados segmentos de reta paralelos aos lados, são formados quatro novos paralelogramos (isto é, o paralelogramo original é a união destes quatro paralelogramos menores). Mostre que as diagonais de quaisquer dois destes paralelogramos (que não sejam as diagonais que se interceptam no ponto $R$) se interceptam na reta suporte de uma das diagonais do paralelogramo original.
Verdadeiro ou Falso? Justifique.
- Se $A=\left(\begin{array}[c]{rr}-2 & 1\\3 & 2\end{array}\right) $, então $A^{2}=\left(\begin{array}[c]{rr} 4 & 1\\9 & 4\end{array}\right) $.
- $(A+B)^{t}=B^{t}+A^{t}.$
- Se $AB=0$, então $A=0$ ou $B=0$.
- Se $AB=0$, então $BA=0$.
- Se podemos efetuar o produto $AA$, então $A$ é uma matriz quadrada.
- $(-A)(-B)=-(AB).$
- Sejam $A$ e $B$ duas matrizes. Se $A=0$, então $BA$ sempre existe.
Falso, pois efetuando a multiplicação temos que
\[A^2=7I_2.\]
Verdadeiro. Não confundir com a transposta do produto.
Falso! Como contra-exemplos, podemos tomar:
\[A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad\text{e}\quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{array}\right).\] Note que \(AB=\mathbf{0}\), não sendo nenhuma delas nula.
Falso também. Ainda pegando os dois exemplos anteriores, note que
\[BA=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\-1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1&1\\0&0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{array}\right).\]
Verdadeiro. Supondo que \(A\) fosse \(m\times n\), como o produto \(A\cdot A\) existe, isso implica que devemos ter \(m=n\).
- Falso, pois
\[(-A)(-B)=[(-1)A][(-1B)]=(-1)[A(-B)]=(-1)[A(-1)B]=(-1)(-1)[AB]=AB.\] - Falso. Note que, para que exista \(BA\), o número de colunas de \(B\) dever ser igual ao número de linhas de \(A\) que, por sua vez, não tem nada a ver com ser nula. Por exemplo, considerando \(A\) como sendo uma matriz \(2\times 3\) nula e \(B\) uma matriz \(2\times 3\) qualquer, temos que o produto \(BA\) não fica definido.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por $r=9\sec\phi$.
Usando a definição, a equação dada fica: $\displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{81}{x^2}(x^2+y^2).$
Ache o ângulo entre duas retas no espaço que passam pela origem, no primeiro octante, sendo uma delas com ângulos diretores tais que $\cos\alpha_1=1/2$, $\cos\beta_1=\sqrt{3}/2$; e a outra com ângulos diretores tais que $\cos \alpha_2=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ e $\cos\beta_2=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ (Sugestão: cada par de retas forma um plano que contém um dos eixos coordenados -- por quê?).
$45^\circ$.
- Encontre o seu centro e seu raio.
- Encontre a equação do plano tangente à esfera e que passa pelo ponto $P=(2,1,4)\in S$.
Completando quadrados, temos que $(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=16$. Ou seja, a esfera tem centro $C=(2,1,0)$ e raio 4.
O plano tangente terá normal $n=P-C=(0,0,4)$ e passa por $P$ (enunciado). Logo, ele é dado por $\displaystyle z=4$.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
4&-2&2\\ -5&7&-5\\ -6&6&-4
\end{pmatrix}.
$
As raízes são: \(x=3\) e \(x=2\), esta última com multiplicidade dupla.
Encontre a equação da reta $r$ que passa por (1,-2,3), e tem vetor diretor $(-1,2,-3)$.
Parametricamente: $$ r: (1,-2,3) + t(-1,2,-3)\quad t\in\mathbb{R}.$$
Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]
$x_1 =\dfrac{-1}{4}, x_2 =\dfrac{7}{12}, x_3 =\dfrac{-1}{4}, \lambda = \dfrac{-11}{4}.$
A fim de esboçarmos uma hipérbole, precisamos indicar: centro, focos, vértices e assíntotas. Os pontos sobre a curva mais próximos do centro (sobre o eixo maior) são os vértices. Os vértices distam $a$ do centro e as assíntotas são da forma $y=\pm(\frac{a}{b}) x$ (se os focos estiverem sobre o eixo $y$) ou $y=\pm(\frac{b}{a}) x$ (se estiverem sobre o eixo $x$), onde $a^2+b^2=c^2$. A excentricidade de uma hipérbole é definida como $\frac{c}{a}$.
Esboce o gráfico de $25x^2-16y^2=400$.
Dê a equação da hipérbole com vértices $(0,\pm3)$ e excentricidade $e=5/3$.
Esboce o gráfico da curva $9x^2-y^2=-36$.
Sabendo-se que para toda matriz $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ com $\det(A)\neq 0$ existe uma matriz $\overline{A}$, também $n\times n$, tal que $\overline{A}A=I_n$, mostre que:
- se $B$ e $C$ são matrizes $n\times n$ tais que $BC=I_n$, então $CB=I_n$.
- se $\det(B)\neq 0$ ($B$ matriz $n\times n$), então existe uma única $B^{-1}$ tal que $BB^{-1}=B^{-1}B=I_n$.
Identifique a cônica descrita pela equação $16x^2+16y^2-16x+8y-59=0$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]
Esse sistema possui infinitas soluções.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t$, $y=t$ e $z=1-t^2$.
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]
$z = \dfrac{-3+x+4y}{5}, t =\dfrac{-4+13 x+7 y}{5}, \forall x, y \in \mathbb{R}.$
Mostre que o segmento que une os pontos médios de 2 lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e é igual a sua metade.
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right) =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$
Logo, $MN//AB$ e $\left\Vert \overrightarrow{MN}\right\Vert =\left\Vert\overrightarrow{AB}\right\Vert /2.$
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por $z^2\sin\theta=r^3$.
Determine, caso exista, uma reta que passa por $P$ e intercepta $r$ e $s$ nos pontos $A$ e $B$ de modo que os segmentos $AP$ e $BP$ sejam congruentes, nos seguintes casos:
- $P=(1,1,9)$, $r=\{ (0,-4,1)+t(2,1,0),t\in\mathbb{R}\}$ e $s=\{(0,-3,-3+t(1,0,2),t\in\mathbb{R}\}$
- $P=(1,2,3)$, $r=\{ t(1,0,1),t\in\mathbb{R}\}$ e $s=\{(1,1,1)+t(2,1,1),t\in\mathbb{R}\}$
Interprete geometricamente.
Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).
Se $A$ e $B$ são duas matrizes $n\times n$ e $AB=BA$, então $(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$ para todo número natural $p$.
Se $A$ e $B$ são matrizes $n\times n$ tais que $AB={\bf 0}$, então $BA={\bf 0}$.
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^4 - 3A^2 + 7A -I_n={\bf 0}$ então $A$ é invertível (isto é, $AB=BA=I_n$ para alguma matriz $B$, $n\times n$).
Dadas a equação da curva diretriz $x^2+z^2=1$, $y=0$ e um vetor $V=(4,1,0)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Qual é o vetor unitário na direção de $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$?
$\dfrac{x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$.
Reduza a equação $45x^2 + 54y^2 + 63z^2 - 36xy + 36yz - 24x - 24y + 6z + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $45x^2 + 54y^2 + 63z^2 - 36xy + 36yz - 24x - 24y + 6z + 1 = 0$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+KX+1=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ K=\begin{pmatrix}-24 & -24 & 6\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}45 & -18 & 0 \\-18 & 54 & 18 \\0 & 18 & 63\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}45-\lambda & -18 & 0 \\-18 & 54-\lambda & 18 \\0 & 18 & 63-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+162\lambda^2+-8019\lambda +118098.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $27$, $54$ e $81$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $27$ e $54$: $(A-27I) X = 0$ e $(A-54I)=0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas são $U_1=(-2/3,-2/3,1/3)$ e $U_2=(-2/3,1/3,-2/3)$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (1/3,-2/3,-2/3)$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $45x^2 + 54y^2 + 63z^2 - 36xy + 36yz - 24x - 24y + 6z + 1 = 0$ se transforma em:
$$\dfrac{(x'+17/27)^2}{796/2187}+\dfrac{(y'+1/27)^2}{796/4374}+\dfrac{(z'+2/81)^2}{796/6561}=1,$$
que é a equação de um elipsóide.
Demonstre que se $\alpha$ e $\beta$ são números reais tais que $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$, então $\alpha = 0$ e $\beta = 0$.
Qual a conclusão geométrica que podemos tirar do item acima?
- $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$ resulta no sistema cujas equações são: $2\alpha+3\beta=0$ e $3\alpha+2\beta=0$.
Resolvendo o sistema, obtemos $\alpha=\dfrac{-3}{2}\beta=\dfrac{-2}{3}\beta$ que só pode ser satisfeita se $\beta=0$. E, portanto, $\alpha=0$. - Podemos concluir que esses dois vetores são linearmente independentes, isso significa que eles tem direções distintas.
Considere a matriz $ A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$.
- Calcule o $det(A^n)$, para todo número natural $n$.
- Usando escalonamento encontre a matriz inversa $A^{-1}$.
- Como $\det(A)=-1$ e $\det(A^n)=\det(A)^n$, $\det(A)^n=(-1)^n$.
- $ A^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 2 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
Seja \[A=\left(\begin{array}[c]{rr}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right) : \]
- Encontre uma matriz $B$ tal que $B^{2}=A$ (isto é, $B$ é uma "raiz quadrada'' de $A$).
- Encontre todas as soluções da equação matricial $X^{2}=A$.
- $B= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right) . $
- Se $X= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$ $X^2=A \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right).$
Cujas 4 soluções são:
$X'= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right);$ $X''= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 1\\2 & -1\end{array}\right);$ $X'''= \left(\begin{array}[c]{cc}\sqrt{2} & -\sqrt{2}/2\\-\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{array}\right);$ $X''''= \left(\begin{array}[c]{cc}-\sqrt{2} & \sqrt{2}/2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{array}\right).$
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$, em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]
Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (10/3, 1,-1), B = (1, 9/2,-1) \text{ e } C = (1,-1, 5/6)$.
Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1), E = (3/2,-1, 10)$ e é paralelo ao eixo $z$.
Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $ \overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)
Ache a equação da reta tangente a $x^2+y^2=25$ no ponto $(-3,4)$.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=-2t-3$, $y=t+5$ e $z=4t-7$.
Identifique a cônica $5 x^2+12 x y= 1$ e seu parâmetros associados.
Em um sistema de coordenadas ortogonal, um detonador de bomba está localizado no ponto $P=(2,1,2)$. Para ativá-lo, é preciso acender a extremidade $A=(2,1,1)$ de uma haste de combustível paralela ao vetor $\vec{u}=(1,0,2)$, cuja extremidade $B$ toca o ponto inicial de um caminho de pólvora que segue em linha reta até o detonador. O fogo se propaga com velocidade unitária na haste e no caminho de pólvora e este está contido no plano $\pi : x+2y-z-2=0$. Mostre que a explosão ocorre entre $3$ e $4$ segundos após o início do processo.
Se uma esfera $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{a^2}=1$ de raio $a$ for comprimida na direção $z$, então a superfície resultante, chamada de esferóide oblato, tem uma equação da forma $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$, onde $c<a$. Mostre que o esferóide oblato tem um traço circular de raio $a$ no plano $xy$ e um traço elíptico no plano $xz$, com eixo maior de comprimento $2a$ ao longo do eixo $x$ e eixo menor de comprimento $2c$ ao longo do eixo $z$.
Ache os pontos de $r:x-1=2y=z$ que equidistam de $s=\{ (2,t,0),t\in\mathbb{R}\}$ e do eixo $x$.
Ache a esfera que tem centro na reta $r: \left\{ \begin{array}{c} x=2z-3 \\ y = z-1 \end{array} \right.$ e passa pelos pontos $(6,-1,3)$ e $(0,7,5)$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\sin^2\theta$, $y=\sin\theta\cos\theta$ e $z=\cos\theta$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\cos\theta$, $y=2\sin\theta$ e $z=3\theta$.
Mostre que a intersecção de um plano $\displaystyle by+cz+d=0$, em que $b^2+c^2=1$, com o cone $x^2+y^2=z^2$ é uma cônica que pode ser uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. (Sugestão: mude para um sistema de coordenadas $\{O,U_1,U_2,U_3\}$ tal que $U_1=\vec{i}=(1,0,0)$, $U_2=(0,b,c)$ e $U_3=(0,-c,b)$).
Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmações:
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço, com $v$ não nulo e $v\times u=v\times w$, então $u=w$.
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço então: $\mid u\cdot(v\times w) \mid=\mid v\cdot(u\times w) \mid=\mid w\cdot(v\times u) \mid=\mid v\cdot(w\times u) \mid$.
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço, então $u\times (v\times w)= (u\times v)\times w$.
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço, $u$ é não nulo e $u\times v=u\times w=\vec{0}$, então $v\times w=\vec{0}$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]
Esse sistema linear possui infinitas soluções.
Considere a reta $r=\{(x,y):2x-3y=1\}\subset\mathbb{R}^2$. Seja $B$ a base formada pelos vetores $(3,2)$ e $(1,0)$ e $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$ coordenadas definidas em $\mathbb{R}^2$ pela origem usual e pela base $B$. Ache a equação de $r$ nas coordenadas $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$.
Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata, uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata, e uma liga $L_3$ tem mesma quantidade de ouro e prata.
Escreva um sistema linear cuja solução dê a quantidade de gramas de cada liga necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com $60$ gramas de ouro e $40$ gramas de prata.
Este problema tem solução única? Justifique utilizando conceitos sobre sistemas lineares.
Determine a(s) solução(ões) do sistema linear.
- Se $x$, $y$ e $z$ designam as quantidades, em gramas, das ligas $L_1$, $L_2$ e $L_3$, respectivamente, o sistema pode ser escrito como a seguir
$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}0,2 x &+&0,65 y &+ &0,5 z & = &60\\0,8 x &+&0,35 y &+ &0,5 z & = &40\end{array} \right. $$ - Existem infinitas soluções para este problema. Por que?
- As soluções são dadas por $y=\dfrac{200}{3}+2x$, $z=\dfrac{100}{3}-3x$.
Como $x$, $y$ e $z$ representam pesos, a solução só fará sentido para $x,y,z \in \mathbb{R}^+$. Logo, é preciso que $x\leq\dfrac{100}{9}$ gramas.
Verifique que a reta $x-1=z-2 y=3$ é paralela ao plano $x+2y-z=3$ e encontre a distância perpendicular entre eles.
Escrevendo $z$ como parâmetro livre, obtemos que $v=(1,0,1)$ é um
vetor diretor da reta dada e, sendo $n=(1,2,-1)$ o vetor normal ao
plano, vemos que $v\cdot n=0$. Ou seja, a reta é paralela ao plano.
Tomando os pontos $p=(-1,3,0)$ sobre a reta e $p_1=(3,0,0)$ sobre o
plano, segue também que a distância procurada é dada por $$
\|\mathrm{proj}_{n}\overrightarrow{p_1p}\| = \sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(2,2,4)$ e é perpendicular ao plano $xOz$.
$r:(x,y,z)=(2,2+t,4);$
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]
$x_3 = \dfrac{-19+2 x1- 4 x2}{3}, x_4 = \dfrac{ 41 - 4 x_1 + 8 x_2}{3}, x_5 = \dfrac{5- x_1+2 x_2}{3}, \forall x_1, x_2\in \mathbb{R}$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&10&0&0\\ 11&12&0&0
\end{pmatrix}.
$
\(8\)
Mostre que a equação $x^2+y^2+2z^2+2xz-2yz=1$ representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.
Verifique se os pontos $A=(1,2,4), B=(-1,0,2), C=(0,2,2) \;\mbox{e}\; D=(-2,1,3)$ estão no mesmo plano ou não.
Não estão pois $\displaystyle \vec{AB}\cdot(\vec{BC}\times\vec{AD})=-8$.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]
O sistema não possui solução.
Qual é o valor de $c_{23}$ na multiplicação das matrizes abaixo?
\[\left(\begin{array}[c]{rr}1 & -2\\5 & -2\\-4 & 4\\-1 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}
[c]{rrrr}-5 & 1 & 5 & -4\\-2 & 5 & 2 & 2\end{array}
\right) =\left(\begin{array}[c]{cccc}c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}\\c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34}\\c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44}\end{array}\right) .\]
Note que, como o enunciado apenas pede o valor da entrada \(c_{23}\), basta multiplicar a linha \(2\) da primeira matriz pela coluna \(3\) da outra:
\[c_{23}=\left(\begin{array}{cc} 5 & -2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right) =
5\cdot5 -2\cdot2 =21.\]
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $9y^2-9x^2+6x=1$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Calcule os produtos:
- $\begin{pmatrix}\phantom{-}3 & 1\\ -1 &2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\phantom{-}0 & 5\\ -1 &6\end{pmatrix}$;
- $\begin{pmatrix}\phantom{-}3\\ -1\\ \phantom{-}2\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}2 & -6 & 7\end{pmatrix}$; - $\left(\begin{array}{ccc}1 & -4 & 5\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{c}\phantom{-}3\\ \phantom{-}4\\
-1\end{array}\right)$; - $A\cdot A^t$, onde $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1\end{pmatrix}$;
- $\begin{pmatrix}2& -4 & 6\\ 5 &\phantom{-}2 & 7 \\ 1& \phantom{-}0&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5& 0 & \phantom{-}0\\ 0 &2 & \phantom{-}0 \\ 0& 0&-1\end{pmatrix}$;
- $\begin{pmatrix}2&-1&3 \\ 0&\phantom{-}1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2&\phantom{-}1\\ \phantom{-}0&\phantom{-}2\\ \phantom{-}1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\ 3 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$;
- $\begin{pmatrix} \cos \alpha &- \sin \alpha \\ \sin \alpha & \phantom{-}\cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha& \phantom{-}\cos \alpha \\
\end{pmatrix}$.
- \[\left(\begin{array}{cc} -1 & 21 \\ -2 & 7 \end{array}\right);\]
- \[\left(\begin{array}{ccc} 6 & -18 & 21 \\ -2 &6 & -7 \\ 4 & -12 & 14 \end{array}\right);\]
- \(\displaystyle -18;\)
- \[\left(\begin{array}{cc} 14 & 10 \\ 10 & 14\end{array}\right);\]
- \[\left(\begin{array}{ccc} 10 & -8 & -6\\ 25 & 4 & -7\\ 5& 0 -4 \end{array}\right);\]
- \[\begin{pmatrix} -11 & 1\\ 4 &-2 \end{pmatrix};\]
- \[\begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & -\sin(2\alpha) \\ \sin(2\alpha) & \cos(2\alpha) \end{pmatrix}.\]
Encontre a equação de uma reta mediatriz do segmento de extremos $A = (1,1,1)$ e $B = (3,3,3)$.
O ponto médio do segmento é dado por $M=\dfrac{1}{2}(A+B)=(2,2,2)$.
Já para um vetor diretor, podemos escolher qualquer vetor que seja
ortogonal a $B-A=2(1,1,1)$. Por exemplo, tomando o vetor $(1,-1,0)$ como
diretor, teremos a seguinte forma paramétrica para uma mediatriz: $$
(2,2,2)+t(1,-1,0),\quad t\in\mathbb{R}.$$
Dado o ponto $P(5,2,3)$ e o plano $\pi:\;2x+y+z=0$, determinar:
- equações paramétricas da reta que passa por $P$ e é perpendicular a $\pi$;
- a projeção ortogonal de $P$ sobre o plano $\pi$;
- o ponto $P'$ simétrico de $P$ em relação a $\pi$;
- a distância de $P$ a o plano $\pi$.
- $r:(x,y,z)=(5+2t,2+t,3+t)$.
- $P_{\bot}=(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
- $P'=(-5,-3,-2)$.
- $5\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
Considere a forma quadrática $2x^2+8xy+2y^2+x+y-9=0$. Escreva-a numa base conveniente e identifique qual é a cônica e seus paramêtros associados.
Mostre que os vetores $a, b, c$, que satisfazem a relação $$a\times b \;+\; b\times c \;+\; c\times a\; = \;0$$ são coplanares.
Sejam $u = (2,-1,3)$, $v = (0,1,7)$ e $w = (1,4,5)$.
Mostre que existem dois números $\alpha$ e $\beta$ tais que $u\times(v\times w) = \alpha\,v + \beta\,w$.
Mostre que existem dois números $a$ e $b$ tais que $(u\times v)\times w = a\,u + b\,v$.
Suponha que o sistema de coordenadas $x'y'$ tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas $xy$ por um
ângulo de $30^\circ$. Use a rotação \begin{align*}x & = x'\cos\theta - y'\sin\theta, \\y & = x'\sin\theta + y'\cos\theta, \end{align*}
para encontrar as coordenadas $x'y'$ da curva $y=x^2$.
Usando a propriedade de que podemos trocar os sinais $\times$ e $\cdot$ em um produto misto, mais a fórmula do produto vetorial triplo: $$A\times(B\times C) = (A\cdot C)B - (A\cdot B)C,$$ mostre que $$(A\times B)\cdot (C\times D) = \det\left(\begin{array}{cc}A\cdot C & A\cdot D \\B\cdot C & B\cdot D \\\end{array}\right).$$
Mostre que se o gráfico polar de $r=f(\theta)$ for girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo $\alpha$, então $r=f(\theta-\alpha)$ é uma equação para a curva girada. (Sugestão: se $(r_0,\theta_0)$ for um ponto qualquer do gráfico original, então $(r_0,\theta_0+\alpha)$ é um ponto no gráfico girado.)
Dada uma matriz $A = CD$, onde $C^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 &3\end{array}\right]$ e $ D^{-1} =\left[\begin{array}{cr} 2 & 5 \\ 3 & -2\end{array}\right]$, resolva o sistema $AX = B$, sabendo que $B=\left[\begin{array}{c} -1 \\0 \end{array}\right]$.
Se $AX=B$ com $A=CD$, tem-se $CDX=B$.
Multiplicando a última expressão por $C^{-1}$ à esquerda: $C^{-1}CDX=C^{-1}B \Rightarrow I_2DX=C^{-1}B$ ou $DX=C^{-1}B$.
E então, multiplicando a expressão resultante por $D^{-1}$ à esquerda: $D^{-1}DX=D^{-1}C^{-1}B$ e $I_2X=D^{-1}C^{-1}B$ ou, equivalentemente, $X=D^{-1}C^{-1}B$.
Como $C^{-1}$ e $D^{-1}$ são dadas, basta realizar as multiplicações, obtendo-se $B=\left[\begin{array}{c} -11 \\7 \end{array}\right]$.
Encontre a equação da parábola que tem foco no ponto $F = (1,1)$ e tem reta diretriz com equação $y = -x - 2$.
Considere o subconjunto de vetores $\mathcal{B} =\{(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1)\}$.
- Mostre que $\mathcal{B}$ é uma base para $\mathbb{R}^{3}$.
- Encontre a matriz de mudança de coordenadas $A$ da base canônica $\{i,j,k\}$ de $\mathbb{R}^{3}$ para a base $\mathcal{B}$. Qual é matriz de mudança de coordenadas $A^{\prime}$ da base $\mathcal{B}$ para a base canônica?
- Quais são as coordenadas dos vetores canônicos $i,j$ e $k$ em relação à base $\mathcal{B}$?
- Se o ponto $P$ tem coordenadas $(1,-2,5)$ no sistema $\{O,i,j,k\}$, quais são as coordenadas de $P$ no sistema $\{O,\mathcal{B}\}$?
- Como eles são ortogonais dois a dois e dim $\!\mathbb{R}^{3}=3$, eles são L.I.
- $A^{\prime}=\left[\begin{array}[c]{rrr}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\-2 & 0 & 1\end{array}\right] ;A=(A^{\prime})^{-1}=\left[\begin{array}[c]{rrr}
\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3}\\\overset{}{\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2} & 0\\\overset{}{\frac{1}{3}} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right] $. - São as colunas de $A$, respectivamente: $\left(
\frac{1}{6},\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) ,\left( \frac{1}{6},-\frac{1}%
{2},\frac{1}{3}\right) $ e $\left( -\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}\right) $. - $\left( -\frac{11}{6},\frac{3}{2},\frac{4}{3}\right) $.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]
$z = 4 - 5 x - 2 y, t = 8 - 9 x - 5 y, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Determinar a equação reduzida da hipérbole com assíntotas $3y=\pm 2x $ e vértices $(\pm 10,0).$
Sejam $x$, $y$ os eixos cartesianos usuais do plano. Faça a mudança de variáveis $X = x - 2$ e $Y = y + 3$, que corresponde a mudarmos a origem para o ponto $\textbf{O} = (2,-3)$.
Dado o ponto $P=(1,4)$ no sistema $xy$, encontre as coordenadas de $P$ no sistema $XY$.
Dado o ponto $A=(2,1)$ no sistema $XY$, encontre as coordenadas de $A$ no sistema $xy$.
Sejam $a$, $b$, $c$, $d$ números reais tais que $ax+by+cz+d>0$ para quaisquer $x$, $y$, $z\in\mathbb{R}$. Mostre que $a=b=c=0$ e $d>0$.
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=( t^2-2t,t)$.
Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]
$x_3 = 2 - \dfrac{x_1- 9 x_2}{4} , x_4 = -\dfrac{5x_1-x_2}{4}, \lambda = 0, \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2
\end{pmatrix}.
$
$-(a - b)(a - c)(b - c)$
Reduza a equação $2xy + 2xz + 2yz - 6x - 6y - 4z = 9$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[r:(2,4,1) + t(1,-2,3), \ \ \ s:(-1,3,2) + s(4,-1,2) .\]
São concorrentes.
Reduza a equação $2x^2 + 30y^2 + 23z^2 + 72xz + 150 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
O trabalho $W$ realizado por uma força $\vec{F}$ sobre um objeto, agindo por uma distância $\vec{PQ}$, é dado por $W=\vec{F}\cdot\vec{PQ}$. Uma caixa é puxada horizontalmente por meio de uma força constante de $10N$ na direção do cabo e a um ângulo de $60^\circ$ com a horizontal. Qual é o trabalho realizado para mover a caixa ao longo de $2m$?
$$\vec{F} = (10\cos 60^\circ, 10 \sin 60^\circ) = (5,5\sqrt{3}).$$
Dessa forma o trabalho realizado é dado por:
$$W = \vec{F}\cdot\vec{PQ} = (5,5\sqrt{3}) \cdot(2,0) = 10 N \ m.$$
Para o par de retas $r$ e $r^{\prime}$ abaixo encontre o ponto de interseção, $r\cap r^{\prime}$, se existir. E nos casos em que a interseção é vazia decida se elas são paralelas ou reversas.
$r:$ $\left\{ \begin{array}{c} 3x-y-z=0 \\ 8x-2y-3z=-1\end{array} \right.$ e $r^{\prime}: \left\{ \begin{array}{c}x-3y+z=-3 \\ 3x-y-z=-5\end{array} \right. .$
Neste caso, a intersecção é vazia e as retas são paralelas. De fato, note que os vetores $(3,-1,-1)\times(8, -2, -3)=(1,1,2)$ e $(1, -3, 1)\times(3,-1,-1)=(4,4,8)$ são múltiplos entre si (linearmente dependentes).
Mostre que os dois lados não paralelos de um trapézio e a reta que liga os pontos médios dos lados paralelos são concorrentes.
Mostre que quaisquer que sejam $u$, $v$ e $w$ em $\mathbb{R}^2$, eles são linearmente dependentes.
Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$, com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$. Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$; para cada unidade de $p_2$, $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$; e para cada unidade de $p_3$, $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$.
Escreva um sistema linear que relacione as quantidades de $x$ unidades de $p_1$, $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$ que podem ser produzidas com $200$ unidades de $m_1$ e $300$ unidades de $m_2$.
Utilizando conhecimentos sobre sistemas lineares, responda se há apenas uma configuração possível de produção dos produtos $p_1$, $p_2$ e $p_3$. Determine esta(s) configuração(ões) e interprete.
- $$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}x &+& y &+ & z & = &200\\2x &+& y &+ &4 z & = &300\end{array} \right. $$
- Há infinitas configurações possíveis respeitando $y=\dfrac{500-2x}{3}$ e $z=\dfrac{100-x}{3}$ desde que $x,y,z \in\mathbb{I}^+$, logo $x\leq 100$.
Mostre que o plano tangente à esfera $x^2+y^2+z^2=r^2$ no ponto $(a,b,c)$ tem equação $ax+by+cz=r^2$.
Considere os seguintes vetores de $\mathbb{R}^{3}$: $U=(1,0,-1)$ e $V=(0,1,0)$.
- Determine a forma geral de um vetor perpendicular a $U$. Explique porque sua resposta contém duas variáveis livres.
- Determine (caso existam) as equações das retas que passam pelo ponto $(1,2,3)$, são perpendiculares ao vetor $U$ e fazem ângulo de $\dfrac{\pi}{3}$ com o vetor $V$.
- $(a,b,a)$.
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\sqrt{3} \\
y=2+\sqrt{2}t \\
z=3+\sqrt{3}t
\end{array}
\right. $ e $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\sqrt{3}t \\
y=2-\sqrt{2}t \\
z=3+\sqrt{3}t
\end{array}
\right. .$
Seja $M= \left( \begin{array}{cccc}a & 0 & b & 2\\a & a & 4 & 4\\0 & a & 2 & b\end{array}\right) $ a matriz ampliada (ou aumentad de um sistema linear. Para que valores de $a$ e $b$ o sistema admite:
- Solução única;
- Solução com uma variável livre;
- Solução com duas variáveis livres;
- Nenhuma solução.
Mostre que o segmento de reta que liga um vértice de um paralelogramo ao ponto médio de um dos lados opostos trissecta a diagonal (isto é, intercepta a diagonal em um ponto que a divide em dois segmentos, um tendo um terço do comprimento da diagonal e o outro tendo dois terços do comprimento da diagonal).
Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]
Esse sistema linear possui infinitas soluções.
Reduza a equação $3x^2-3y^2-5z^2-2xy-6xz-6yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Encontre a equação do plano $\pi$ que passa pelos pontos $A=(0,0,2)$, $B=(2,4,1)$ e $C=(-2,3,3)$
$\pi:7x+14z=28$
A área do triângulo $ABC$ é $\sqrt{6}$. Sabendo que $A = (2,1,0), \; B = (-1,2,1)$ e que o vértice $C$ está no eixo $Y$, encontre as coordenadas de $C$.
Como $C$ está sobre o eixo $Y$, vamos escrever $C=(0,y,0)$. Pela definição de área através do produto vetorial, segue que \begin{align*} 6 = \mathrm{area}^2 & = \frac{1}{4}\|(A-B)\times (C-B)\|^2 \\ & = \frac{1}{4}\|(3,-1,-1)\times (1,y-2,-1)\|^2 \\ & = \frac{1}{4}\|(y-1,2,3y-5)\|^2 \\ & = \frac{1}{4}\left( 10y^2-32 y+30\right). \end{align*} Ou seja, ficamos com $\displaystyle 10y^2-32y+6=0$, cujas raízes são $y=3$ e $y=\frac{1}{5}$. Portanto, podemos ter $C=(0,3,0)$ ou $C=(0,\dfrac{1}{5},0)$.
Mostre que um sistema de equações lineares homogêneo de $n$ equações e $n$ incógnitas admite solução(ões) não trivial(is) se e somente se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo.
Sejam $a,b,c$ três vetores não coplanares e denotemos por $[a,b,c]$ o produto misto $a\cdot(b\times c)$. Os vetores
$$ a'=\frac{b\times c}{[a,b,c]},\; b'=-\frac{a\times c}{[a,b,c]},\; c'=\frac{a\times b}{[a,b,c]} $$ são chamados os vetores recíprocos aos vetores $a,b,c$.
Mostre que
$$ [a',b',c']=\frac{1}{[a,b,c]}. $$
Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e seu comprimento é a média aritmética dos comprimentos das bases.
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM},$ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DM}.$ Portanto, $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}.$
Reduza a equação $-x^2-y^2-7z^2+16xy+8xz+8yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
O momento escalar ou torque sobre o ponto $P$ de uma força $\vec{F}$ aplicada a um ponto $Q$ é dado por $\|\vec{PQ} \times \vec{F}\|$. Uma força $\vec{F}$ com magnitude de $10 N$ é aplicada na direção $y$ positiva sobre o ponto $Q=(1,1,1)$ em um cubo com lados de tamanho $1m$. Determine o momento escalar de $\vec{F}$ sobre o ponto $P = (1,0,0)$. Faça um esboço do gráfico, indicando a força e o momento escalar.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+2y^2-4xy+y-1=0$.
Considere o plano com o sistema cartesiano canônico $xy$ e faça uma rotação de um ângulo $\theta$ obtendo um novo sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$. Seja $P$ um ponto do plano.
Se $P=(2,2)$ no sistema $xy$ e $\theta=\pi/3$, encontre as coordenadas de $P$ no sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$.
Se $P=(2,2)$ no sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$ e $\theta=\pi/3$, encontre as coordenadas de $P$ no sistema $xy$.
Transforme a equação $x^2+y^2=4$ para o sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$.
Suponha que $0<\theta <\pi/2$ e que $a=\tan\theta$ ($a$=tangente de $\theta$). Transforme a equação $y=ax$ para o sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$.
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}\cos x & \sin x \\ - \sin x & \cos x\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x\end{pmatrix}.\]
Demonstre que se $\alpha$ e $\beta$ são números reais tais que $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$, então $\alpha = 0$ e $\beta = 0$.
Qual a conclusão geométrica que podemos tirar do item acima?
- $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$ resulta no sistema cujas equações são: $2\alpha+3\beta=0$ e $3\alpha+2\beta=0$.
Resolvendo o sistema, obtemos $\alpha=\dfrac{-3}{2}\beta=\dfrac{-2}{3}\beta$ que só pode ser satisfeita se $\beta=0$. E, portanto, $\alpha=0$. - Podemos concluir que esses dois vetores são linearmente independentes, isso significa que eles tem direções distintas.
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}1 & 3 & -7 \\ 0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]
Na equação $18x^2+12xy+2y^2+94\frac{\sqrt{10}}{10}x-282\frac{\sqrt{10}}{10}y+94=0$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.
Dadas a equação da curva diretriz $4x^2+z^2+4z=0$, $y=0$ e um vetor $V=(4,1,0)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]
$x_2 =\dfrac{19-4x_1}{6}, x3 =\dfrac{3}{2}, \forall x_1 \in \mathbb{R}$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\sin\theta$, $y=\mathrm{cosec\,}\theta$ e $z=\cos\theta$.
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2+y^2+4z^2=16$.
Usando a definição, a equação dada fica: $\displaystyle r^2+4z^2=16$.
Considere a reta $r$ de equação \[
\frac{x-1}{2}\ =\ y-2\ =\ \frac{z-2}{3}
\] e considere o plano $\pi $ de equação $2x+y+z=-2$. Determine a equação do plano $\alpha $ que contém a reta $r$ e é perpendicular ao plano $\pi $.
$-x+2y=3.$
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $6x^2+3y^2-z^2=-2$ e esboce seu gráfico.
Dados três pontos $A = (2,1,3)$, $B = (5,-1,2)$ e $C = (1,2,-3)$, encontre um quarto ponto $D$ de forma que os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ sejam os vértices de um paralelogramo (Dica: Queremos $D$ de forma que $\overrightarrow{CD}$ seja paralelo a $\overrightarrow{AB}$ e tenha mesmo comprimento.).
$D=(4,4,-2)$
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $3x^2+y^2-2z^2=1$ e esboce seu gráfico.
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(4,0)$, $(0,3)$ e a origem.
Se uma esfera $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{a^2}=1$ de raio $a$ for comprimida na direção $z$, então a superfície resultante, chamada de esferóide oblato, tem uma equação da forma $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$, onde $c<a$. A rotação da Terra causa um achatamento nos pólos, portanto sua forma é freqüentemente modelada como um esferóide oblato em vez de uma esfera. Um dos modelos usados pelos satélites de posicionamento global é o Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS-84), que trata a Terra como uma esfera oblata, cujo raio equatorial é $6378,1370$ km e cujo raio polar (a distância do centro da Terra aos pólos) é $6356,5231$ km. Use o modelo WGS-84 para encontrar uma equação para a superfície da Terra em relação ao sistema de coordenadas com origem no centro de massa da Terra, eixo $z$ apontando para o pólo norte e plano $xy$ contendo o equador.
Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:
$$r:\begin{cases} x= 1 + 2t\\
y = -2 + 7t
\\z = -2 + 5t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=1.$$
Encontre o ponto $Q$ sabendo que o mesmo é a extremidade de um vetor com origem no ponto médio do segmento que liga os pontos $P_1=(1,1,3)$ e $P_2=(-1,1,1)$ e tem norma, direção e sentido do vetor $v=(-1,0,1)$.
$(−1,1,3)$.
Dado $v_1=(1,-2,1)$, determine vetores $v_2$ e $v_3$ de modo que os três sejam mutuamente ortogonais.
$v_2=(1,1,1)$ e $v_3=(1,0,-1).$
Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas $r: y=z=0$ e $l: x=y-1=0$. Que conjunto é este?
Considere o plano com o sistema cartesiano canônico $xy$ e faça uma rotação de um ângulo $\theta$, com $0\leq \theta \leq\pi/2$ obtendo o novo sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$. Seja $(*)$ a equação:
$$(*) \ \ \ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$,
com $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ números reais. Ao transformar $(*)$ para o sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$ obtemos:
$$(**) \ \ \ \overline{A} \overline{x}^2+\overline{B}\overline{x} \overline{y}+ \overline{C}\overline{y}^2+ \overline{D}\overline{x}+ \overline{E}\overline{y}+\overline{F}=0$$.
Mostre que:
\begin{align*} \overline{A} & = A\cos^2\theta+B\sin\theta\cos\theta+C\sin^2\theta, \\ \overline{B} & =-2A\sin\theta\cos\theta+B(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+2C\sin\theta\cos\theta,\\ \overline{C} & = A\sin^2\theta-B\sin\theta\cos\theta+C\cos^2\theta, \\ \overline{D} & = D\cos\theta+E\sin\theta, \\ \overline{E} & = E\cos\theta-D\sin\theta\;\;\;\;\; \text{e} \\ \overline{F} & = F. \end{align*}
Supondo $A>0$ e $F<0$, conclua, a partir de 1, que a equação $(*)$ representa uma circunferência de centro $(0,0)$ e raio $r=\sqrt{\frac{-F}{A}}$ se, e somente se, para todo $\theta$, tivermos que $A=\overline{A}$, $B=\overline{B}$, $C=\overline{C}$,
$D=\overline{D}$, $E=\overline{E}$ e $F=\overline{F}$.
Sejam
$M= \left( \begin{array}{cc}A & \frac{B}{2}\\\frac{B}{2}& C \\\end{array}\right)$, $\overline{M}= \left( \begin{array}{cc}\overline{A} & \frac{\overline{B}}{2}\\\frac{\overline{B}}{2}&\overline{C}\end{array}\right)$ e $R_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)$.
Mostre, a partir de 1, que $\overline{M}=R_{\theta}^{t}\cdot M\cdot R_{\theta}$ e, calculando o determinante dos dois lados da igualdade, conclua que $\Delta=B^2-4AC=\overline{B}^{2}-4\overline{A}\overline{C}$, qualquer que seja o ângulo $\theta$ (OBS: $\Delta$ é conhecido pelo nome de discriminante da equação $(*)$ e o item 3 está dizendo que ele é invariante por rotação).
Determine, se existir, os valores de $x$ para que o vetor $\textbf{v}=x\vec{i}+6\vec{k}$ seja paralelo ao produto vetorial de $\textbf{w}=\vec{i}+x\vec{j}+2\vec{k}$ por $\textbf{u}=2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$.
Um trecho de uma estrada passa sob três viadutos. Aproximadamente, a estrada pode ser considerada como pertencente ao plano $\pi: 5x+4y+20z-20=0$, e os viadutos têm seus pontos mais baixos nas retas: $r_1: X=(5,6,3)+t(4,0,-1)$, $r_2: X=(3,3,4)+t(0,5,-1)$ e $r_3=(2,6,4)+t(4,5,-2)$. As medidas são consideradas em metros. Determine aproximadamente a altura máxima dos veículos que podem trafegar na estrada.
Ache a equação do círculo tangente ao eixo $y$ na origem e com raio $r = a$.
$(x-a)^2+y^2=a^2$
Às vezes o gráfico de uma equação quadrática é uma reta, um par de retas ou até mesmo um único ponto. Nos referimos a tais gráficos como cônicas degeneradas. É também possível que a equação não seja satisfeita para nenhum valor real das variáveis, caso este no qual não existe um gráfico e dizemos tratar-se de uma cônica imaginária. Nos itens abaixo, identifique a cônica com a equação dada, dizendo se é degenerada ou imaginária. Quando possível, esboce também o gráfico.
$\displaystyle x^2-y^2=0$;
$\displaystyle x^2+2y^2+2=0$;
$\displaystyle 3x^2+y^2=0$.
Considere o plano $\pi : ax + by + cz = 0$. Encontre as coordenadas:
- da projeção ortogonal do vetor $(x,y,z)$ sobre o plano $\pi$;
- da reflexão do vetor $(x,y,z)$ em relação ao plano $\pi$.
Dada a reta $r:\;(x,y,z)=(3+t,1-2t,-1+2t)$, determinar as equações reduzidas das retas projeções de $r$ sobre os planos $xOy$ e $xOz$.
$r_{xOy}=(3+t',1-2t',0),\;r_{xOz}=(3+t,0,-1+2t)$
Encontre o ângulo entre os vetores $u=(2,1,0)$ e $v=(0,1,-1)$ e entre os vetores $w=(1,1,1)$ e $z=(0,-2,-2)$.
\(\arccos(\dfrac{\sqrt{10}}{10})\) e \(\arccos(-\sqrt{\dfrac{2}{3}})\), respectivamente.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]
Dados os pontos $A=(1,0,1)$, $B=(-1,1,1)$ e $C=(0,1,2)$.
Determine o ponto $D$ tal que $A$, $B$, $C$ e $D$ sejam os vértices consecutivos de um paralelogramo.
Determine o ponto médio entre $A$ e $C$ e o ponto médio entre $B$ e $D$.
- \( D=(2,0,2)\)
- \(\dfrac{1}{2}(A+C)=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}(B+D)\)
A Pirâmide de Quéops, também conhecida como Grande Pirâmide de Gizé, no Egito, tem o formato muito próximo de um tetraedro regular. Pesquise as suas medidas e utilizando o produto misto, calcule aproximadamente o volume interno da pirâmide. Defina o sistema de coordenadas e os três vetores do produto misto de forma a facilitar as contas.
Considere a quádrica $x^2 +(m+1)y^2 +mz^2-2yz+2xy+2x+2z+4 = 0$, calcule $m$ para que a quádrica seja um parabolóide hiperbólico e obtenha sua equação reduzida.
Considere a multiplicação de matrizes $3\times3$ abaixo, em que os pontos de interrogação representam coeficientes desconhecidos:
\[\left(\begin{array}[c]{rrr}9 & -8 & 4\\? & -7 & 2\\? & -4 & ?\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{rrr}-5 & -9 & ?\\? & 5 & ?\\4 & -8 & -7\end{array}\right) =\left(\begin{array}
[c]{ccc}c_{11} & c_{12} & c_{13}\\c_{21} & c_{22} & c_{23}\\c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{array}\right) .\]
Só é possível determinar um coeficiente da matriz produto. Qual é ele e qual é o seu valor?
Lembre-se que a multiplicação de matrizes é feita entre linhas 'vezes' colunas. Note que, na primeira matriz apenas a primeira linha está completada (não tem ?), enquanto na outra matriz apenas a segunda coluna não contém um símbolo ?. Assim, na matriz produto, apenas a entrada \(c_{12}\) estará bem-definida e seu valor será:
\[\left(\begin{array}{ccc} 9 & -8 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} -9 \\ 5 \\ -8 \end{array}\right) = -9^2- 8\cdot 5 -4\cdot 8 = -153.\]
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1+x_1y_1&1+x_1y_2 \\ 1+x_2y_1&1+x_2y_2
\end{pmatrix}.
$
$(x_1-x_2)(y_1-y_2)$.
Mostre que o segmento que une os pontos médios de 2 lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e é igual a sua metade.
Considere o triângulo $ABC,$ sendo $M$ o ponto médio do lado $AC$ e $N$ o do lado $BC.$ Assim, podemos escrever $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}.$
Portanto, concluímos que $MN//AB$ e $\left\Vert \overrightarrow{MN}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert .$
Determine um vetor $\vec{a}=(x,y,z)$ que satisfaça as seguintes equações:
$$\vec{a} \times \vec{j}=\vec{k}$$
$$\vec{a} {\cdot}(\vec{i}+2\vec{j})=0,$$
onde $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$ são os vetores da base canônica de $\mathbb{R}^3$.
Dados o plano $x-y+z=1$ e o ponto $P=(1,0,1)$, encontre o ponto $Q$ que é simétrico a $P$ em relação ao plano dado.
Seja $O$ a origem de um sistema de coordenadas no plano. Mostre que se $ABC$ é um triângulo qualquer, suas medianas se interceptam no ponto $$M=\frac{OA+OB+OC}{3}.$$
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $-x^2+ y^2+z^2=0$ e esboce seu gráfico.
Determine a curva definida pela intersecção das superfícies cilíndricas $x^2+z^2=1$ e $y^2=4x$.
Mostre que
$$ u\cdot(v\times w)=\|u\|\;\|v\|\;\|w\|\;\sqrt{ \det\left(\begin{array}{ccc} 1 & \cos(u,v) & \cos(u,w) \\ \cos(u,v) & 1 & \cos(v,w) \\ \cos(u,w) & \cos(v,w) & 1 \\\end{array}\right)}, $$
onde, por exemplo, $\displaystyle \cos(u,v)=\frac{u\cdot v}{\|u \|\|v\|}$.
(Dica: Verifique primeiro que, para um tetraedro cujos vértices têm coordenadas
$$ (x_1,y_1,z_1),\; (x_2,y_2,z_2),\; (x_3,y_3,z_3),\; (x_4,y_4,z_4), $$
o seu volume é dado por
$$ Vol=\frac{1}{6}\det\left(\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\\end{array}\right).$$
Encontre a equação da reta $r$ que passa por $(1,2,-1)$ e é paralela ao eixo $X$.
Ser paralela ao eixo $x$ nos diz que podemos tomar $(1,0,0)$ como um diretor. Assim, a reta pode ser descrita parametricamente como $$ r: (1,2,-1)+t(1,0,0)\quad t\in\mathbb{R}.$$
Considere a reta $r=\{(x,y):2x-3y=1\}\subset\mathbb{R}^2$. Seja $B$ a base formada pelos vetores $(3,2)$ e $(1,0)$ e $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$ coordenadas definidas em $\mathbb{R}^2$ pela origem usual e pela base $B$. Ache a equação de $r$ nas coordenadas $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$.
Identificar a cônica $4x^2+4xy+y^2-6x+3y+2=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Considere os planos $\alpha : x - y + z - 3=0$ e $\beta: 2m^{2}x - (m+1)y + 2z=0$.
- Determine $m$ para que os planos $\alpha$ e $\beta$ possam ser paralelos, concorrentes, e concorrentes ortogonais (Um $m$ para cada caso, se for possível).
- Para $m=-1$ encontre a equação da reta interseção entre $\alpha$ e $\beta$.
Dados os dois pontos $A=(x_1,y_1,z_1)$ e $B=(x_2,y_2,z_2)$, mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de $A$ e $B$ é um plano que passa pelo ponto médio do segmento $AB$ e é perpendicular à reta que contém $A$ e $B$.
Seja $C$ o lugar geométrico dos pontos $P = (x,y)$ de um plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem a equação $x^2-16y^2 + 8x +128y -256 = 0$.
Qual a natureza da cônica $C$?
Escrever a forma canônica da equação de $C$.
Caso $C$ seja uma elipse ou uma hipérbole, encontre os focos e a excentricidade. Caso seja uma hipérbole, encontre também as equações das retas assíntotas no sistema $xy$ original.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]
Esse sistema possui uma única solução.
Dado que os pontos médios dos lados do triângulo $ABC$ são $M=(0,1,3)$, $N=(3,-2,2)$ e $P=(1,0,2)$, determine a área do triângulo $ABC$.
Para o par de vetores $u=(2,0,0)$ e $v=(3,5,4)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.
$\textrm{proj}_{u}{v}=(3,0,0)$.
$v_1=(3,0,0)$ e $v_2=(0,5,4)$.
Verifique se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Usando operações de linha equivalência escalone as (encontre a forma escalonada das) que não estiverem na forma escalonada.
- $ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.,$
- $ \begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}. $
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$.
Usando a definição de coordenadas cartesianas, obtemos: $\displaystyle 2+\frac{5}{x-\sqrt{x^2+y^2}}=0. $
Ache as equações dos dois círculos tangentes a $2x-5y+1=0$ no ponto $(2,1)$ e com raio $r = 3$.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]
$x_2 =\dfrac{19-4x_1}{6}, x3 =\dfrac{3}{2}, \forall x_1 \in \mathbb{R}$.
Seja $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma função definida por $f(x,y) =(2x+y,x-y)$. Ache o(s) valor(es) de $\lambda$ para que a equação $f(x,y) = \lambda(x,y)$ possua solução $(x,y) \neq 0$.
$\lambda=\dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ou $\lambda=\dfrac{1 - \sqrt{13}}{2}$.
Dê uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:
parabolóide elíptico $x=5y^2+2z^2-10$;
parte do parabolóide elíptico $x=5y^2+2z^2-10$ que está em frente ao plano $yz$.
a). Como a superfície está na forma $x=f(y,z)$, podemos tomar $y$ e $z$ como parâmetros, obtendo assim o seguinte conjunto de equações paramétricas $$x=5u^2+2v^2-10, \quad y = u \ \textrm{e}\ z=v.$$ Ou seja, temos a representação paramétrica $$ \sigma(u,v)= (5u^2+2v^2-10,u,v), \quad u,v\in\mathbb{R}. $$ b). Trata-se de uma restrição da representação paramétrica anterior. Entretanto, como queremos apenas a parte da superfície em frente ao plano $yz$, consideramos $x\geq 0$. Ou seja, devemos considerar $5u^2+2v^2-10 \geq 0$ ou $5u^2+2v^2 \geq 10$.
Seja $(4,5)$ o ponto médio de um segmento de reta tal que uma extremidade é $(-1,2)$. Ache a outra extremidade.
$(9,8)$.
Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é simultaneamente ortogornal às retas $r_1$ e $r_2$: $A$ é a interseção de $r_1$ e $r_2$; $$r_1:\;x-2=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2:\;\begin{cases} x=1-y\\ z=2+2y. \end{cases}$$
$r:(x,y,z)=(-2+t',3-5t',2+2t').$
Dê equações paramétricas para a curva $y=x^2-x^4$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Seja $\vec{v}\ne 0$ um vetor do $\mathbb{R}^{3}$ e sejam $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ os ângulos que $\vec{v}$ faz com os eixos coordenados $X$, $Y$ e $Z$, respectivamente. Mostre que:
se $\|\vec{v}\| = 1$, então $\vec{v} = (\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma))$ (Dica: calcular os cossenos de $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ fazendo o produto escalar de $\vec{v}$ com os vetores de comprimento $1$ na direção dos eixos coordenados. Como é um vetor de comprimento $1$ na direção de $X$? Isto é, sobre o eixo $X$.).
para um vetor $\vec{v}$ qualquer, vale que $\vec{v} = \|\vec{v}\|(\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma))$.
$\cos^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\beta) + \cos^{2} (\gamma) = 1$.
Encontre a distância entre o plano $\pi: 2x+2y-z=6$ e o ponto $P=(2,2,-4)$.
Vamos utilizar o conceito de distância dado na referência R. J. Santos-Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Neste caso, precisamos tomar um ponto (arbitrário) sobre o plano. Vamos tomar $P_1=(3,0,0)$ em $\pi$. Assim, sendo $N=(2,2,-1)$ a normal ao plano, $$ d(P,\pi)=\|\mathrm{proj}_N\vec{P_1P}\|=2.$$
Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$, onde
\[
A = \left( \begin{array}{ccc}
2 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & -2 & 1
\end{array}\right) .\]
\(\lambda=-1\), \(2\) ou \(4\).
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica e fazer um esboço gráfico da mesma: parábola com vértice na origem e foco $F=(3,0).$
Dadas duas retas que se cortam, seja $L_2$ a reta de maior ângulo de inclinação $\phi_2$ e e $L_1$ a reta de menor ângulo de
inclinação $\phi_1$. Definimos o ângulo entre $L_1$ e $L_2$ por $\theta=\phi_2-\phi_1$. Prove os resultados abaixo.
Se $L_1$ e $L_2$ não são perpendiculares, então $$ \tan\theta = \dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2},$$ onde $L_1$ e $L_2$ têm inclinações $m_1$ e $m_2$.
Propriedade de Reflexão da Elipse: uma reta tangente a uma elipse em um ponto $P$ faz ângulos iguais com as retas que unem $P$ aos focos. (Sugestão: Introduza coordenadas de tal modo que a elipse seja descrita pela equação $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ e use o item 1.)
Propridedade de Reflexão da Hipérbole: Uma reta tangente à hipérbole em um ponto $P$ faz ângulos iguais com as retas que unem $P$ aos focos. ([)Sugestão: Introduza coordenadas de tal modo que hipérbole seja descrita pela equação $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ e use o item 1.)
- Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância $d$ entre os pontos $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}. $$ - Mostre que, se $0\leq \theta_1 < \theta_2 \leq \pi$ e se $r_1$ e $r_2$ forem positivos, então a área $A$ do triângulo com vértices $(0,0)$, $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ A= \dfrac{1}{2}r_1r_2\sin(\theta_2-\theta_1). $$ - Encontre a distância entre os focos cujas coordenadas polares são $(3,\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
- Encontre a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são $(0,0)$, $(1,5\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
Reduza a equação $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2y + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2y + 1 = 0$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+KX-6=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ K=\begin{pmatrix}0 & -2 & 0\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & -1 & 0 \\1 & 0 & 1\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 1 \\0 & -1-\lambda & 0 \\1 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+\lambda^2+2\lambda.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $0$, $2$ e $-1$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $0$ e $2$: $A X = 0$ e $(A-2I)=0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas são $U_1=(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$ e $U_2=(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (0,-1,0)$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2y + 1 = 0$ se transforma em:
$$\dfrac{(z'-1)^2}{2}-(y')2=1,$$
que é a equação de um cilindro hiperbólico.
Um roteador de internet sem fio é instalado de forma que o sinal chegue com mesma intensidade em qualquer ponto $(x,y)$ a uma distância $r$ do local de instalação $(a,b)$ (desconsiderando eventuais efeitos que possam diminuir a intensidade do sinal). Determine a equação do lugar geométrico no plano cartesiano tal que a internet possa ser utilizada sem problemas.
Sendo $\|u\|=3, \|v\|=4$ e $120^{\circ}$ o ângulo entre os vetores $u$ e $v$, calcule o volume do paralelepípedo determinado por $u\times v$, $u$ e $v$.
$108$
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=4\sin^2\theta$, $y=2\cos\theta$ e $z=2\sin\theta$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&1&-1\\ -1&0&1\\ -1&-1&0
\end{pmatrix}.
$
\(-1\)
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $\displaystyle 4x^2-4x+9y^2-18y=26$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(3,4)$, $(-1,2)$ e $(-2,4)$. Ache também seu centro, raio, e faça um esboço de seu gráfico.
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y) = (3t-1,4t+2)$.
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\-1 & 2 & 2\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}2/9 & 2/9 & -1/9 \\ 2/9 & -1/9 & 2/9 \\-1/9 & 2/9 & 2/9\end{pmatrix}.\]
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;\begin{cases} y=2x-3\\ z=-x+5 \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ r_2:\;\begin{cases}y=3x+7\\ z=x+1\end{cases}$$
As retas não são concorrentes.
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;\begin{cases}x=2+t\\ y=4-t\\ z=-t. \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ \begin{cases} y=6-x\\ z=2-x\end{cases}$$
As retas são coincidentes.
Identificar a cônica $x^2-3y^2-2xy -x-y=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Dado um plano qualquer com um sistema de coordenadas $xy$, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $3x^2-14y=0$. Esboce o gráfico.
Dois piolhos andam em trajetórias retilíneas no espaço. No instante $t$, as posições $(x,y,z)$ dos piolhos 1 e 2 são dadas pelas retas $r_1$ e $r_2$:
$$r_1: \ x=4-t, \ y=1+2t, \ z=2+t;$$
$$r_2: x=t, \ y=1+t, \ z=1+2t.$$
Suponha que a distância esteja em centímetros e o tempo em minutos.
Determine a distância entre os piolhos no instante $t=0$.
Use um recurso gráfico para fazer o gráfico da distância entre os piolhos como uma função do tempo de $t=0$ a $t=5$.
O que o gráfico nos diz sobre a distância entre os piolhos?
Quão perto ficam os piolhos?
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix}.\]
A inversa existirá desde que $a\neq 0$ ou $b\neq 0$, nesse caso será dada por \[\begin{pmatrix}\dfrac{a}{a^2+b^2} & \dfrac{-b}{a^2+b^2} \\ \dfrac{b}{a^2+b^2} & \dfrac{a}{a^2+b^2}\end{pmatrix}.\]
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica: elipse com vértices $A_1=(5,0), \, A_2=(-5,0), \, B_1=(0,2), \, B_2=(0, -2)$.
Determine o conjunto de todos os vetores do espaço que são paralelos ao vetor $(1,1,1)$.
Descreva o conjunto de todos os vetores do espaço que são ortogonais ao vetor $(1,0,-1)$.
Qual o significado geométrico dos conjuntos encontrados nos itens (a) e (b)?
Os seguintes pares de retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas ou concorrentes. Encontre uma equação geral do plano que as contém.
$$r_1:\;\begin{cases}x=1+2t\\
y=-2+3t\\ z=3-t\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2: \begin{cases}x=1+2t\\
y=-2-t\\ z=3+2t.\end{cases}$$
As retas são concorrentes em $P(1,-2,3)$; $\pi: 5x-6y-8z+7=0$.
Dados os vetores $a = (2,-3,6)$ e $b = (-1,2,-2)$, calcule as coordenadas do vetor $c$, bissetriz do ângulo formado pelos vetores $a$ e $b$, sabendo-se que $\|c \|= 3\sqrt{42}$.
Os únicos números reais cujos quadrados são eles próprios são $0$ e $1$. Ache todas as matrizes quadradas $A$, $2\times2$, tais que $A^{2}=A.$
Cujas soluções são:
$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{x-x^2}{y} & 1-x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & 0\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 &0\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$
Sejam
$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\1 & 0 & -1\\4 & -1 & 0\end{array}\right)$ e $X= \left( \begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)$.
Verifique que: $xA_1+yA_2+zA_3=AX$, sendo $A_j$ a $j$-ésima coluna de $A$, para $j=1$, 2, 3.
Verifique que a segunda coluna de $C=A^2$ é $C_2=-2A_1 - A_3$.
Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam $A$ uma matriz $m\times n$, $B$ uma matriz $n\times k$ e $C=AB$. Se $C_j$ é a $j$-ésima coluna de $C$, encontre $C_j$ em termos das $n$ colunas de $A$ e da $j$-ésima coluna de $B$.
Quais são os cossenos diretores da reta que passa pela origem no primeiro octante e que tem ângulos iguais com os três eixos coordenados?
$1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}$.
- Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (10, 1,-1)$, $B = (1, 9,-1) \text{ e } C = (1,-1, 5)$.
- Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1)$, $E = (3,-1, 10)$ e é paralelo ao eixo $z$.
- Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
- Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
- Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $\overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)
São dados quatro vértices, $A = (-2,-1,1)$, $B = (1,1,1)$, $D = (5,1,-1)$, e $E = (1,1,-1)$, de um paralelepípedo, cuja distribuição está esquematizada no desenho abaixo.
Determine as coordenadas do ponto $C$.
Encontrar o volume do paralelepípedo.
Determinar o valor da altura $h$ do paralelepípedo em relação à base $ABCD$.
Encontrar a equação do plano $\pi$ que contém a face do paralelepípedo onde está o vértice $E$ e é paralela à face $ABCD$.
Mostre a seguinte propriedade de Reflexão da Parábola: A reta tangente em um ponto $P$ da parábola faz ângulos iguais com a reta que passa por $P$ paralela ao eixo de simetria e com a reta que passa por $P$ e o foco. (Sugestão: Escolha os eixos coordenados de tal modo que a parábola tenha a equação $x^2=4py$.
Mostre que a reta tangente em $P(x_0,y_0)$ intersecta o eixo $y$ no ponto $Q(0,-y_0)$ e que é isósceles o triângulo cujos três vértices estão em $P$, $Q$ e o foco.
Identifique a cônica descrita pela equação $49x^2-42xy+9y^2+56x-24y+16=0$.
Sejam $A\in M_{2\times 3}$, $B\in M_{3\times 1}$ e $C\in M_{3\times 3}$. Quais dos produtos existem?
- $A\,B$;
- $B\,A$;
- $A\,B^t$;
- $A\,C$;
- $A\,C^t$;
- $A\,B\,C$;
- $A\,C\,B$.
Apenas os produtos 1, 3, 4, 5 e 7estão definidos.
Sabendo que $\| u \| = \sqrt{2}$, $\| v \| = \sqrt{3}$ e que $u$ e $v$ formam um ângulo de ${3\pi}/4$, determinar:
$| (2u-v)\cdot(u-2v)|$.
$\|u-2v\|$.
- $| (2u-v)\cdot(u-2v)|=10+5\sqrt{3}$.
- $\|u-2v\|=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
A reta $r$ passa pelo ponto $A(4,-3,-2)$ e é paralela à reta
$$\begin{cases} x=1+3t\\ y=2-4t\\ z=3-t. \end{cases}$$
Se $P(m,n,-5)\in r$, determinar $m$ e $n$.
$m=13,\;n=-15.$
Nesse sentido, podemos escrever a equação de $r$, pois temos um ponto $A(4,-3,-2)$ e sua direção:
$$\begin{cases} x=4+3\overline{t}\\ y=-3-4\overline{t}\\ z=-2-\overline{t} \end{cases}$$,
onde $\overline{t}$ é o parâmetro. Usamos $\overline{t}$ pois os parâmetros da reta $r$ são diferentes dos parâmetros da reta $s$. Assim, temos um valor de $z$ no ponto $P$, então podemos encontrar o valor de $\overline{t}$ correspondente, isto é, $-5=-2-\overline{t} \Longrightarrow \overline{t}=3.$ Substituindo, $ \overline{t}=3$ na equação obtida para a reta $r$, obtemos as coordenadas de $P$, isto é $m=4+3\overline{t} \Longrightarrow m=13$ e $n=-2-\overline{t}\Longrightarrow n=-15.$ Portanto, concluímos que os valores de $m=13$ e $n=-15$ e o ponto é dado por $P\left( 13,-15,5\right)$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\cos\theta$, $y=\cos^2\theta$ e $z=\sin\theta$.
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}+z^2=1$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Sejam
\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 1 & -1
\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrr}-2 & 0 & 1\\3 & 0 & 1
\end{array}\right) \text{, }C=\left(\begin{array}[c]{r}-1\\2\\4\end{array}\right) \text{ e }D=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & -1\end{array}\right) .\]
Encontre:
- $A+B$;
- $AC$;
- $BC$;
- $CD$;
- $DA$;
- $DB$;
- $-A$;
- $-D$.
\[A+B=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 0 \end{array}\right);\]
\[AC=\left(\begin{array}{c} 15 \\ -4 \end{array}\right);\]
\[ BC=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array}\right);\]
\[CD = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 4 & -2 \\ 8 & -4 \end{array}\right);\]
\[DA = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & 7 \end{array}\right);\]
\[ DB =\left(\begin{array}{ccc} -7 & 0 & 1 \end{array}\right);\]
\[ -A = \left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & 1 \end{array}\right);\]
\[ -D = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \end{array}\right).\]
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=(cos(t),tan(t))$.
Reduza a equação $4x^2+4y^2+9z^2+8xy+12xz+10x+y+4z+1=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Suponha que:
$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}a x &+& b y & = & 0\\c x &+& d y & = & 0 \end{array} \right. ,$$
sejam duas equações de retas, onde $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais.
O que significa, geometricamente, o fato de que os termos independentes são nulos?
Como estudar a existência/tipo de interseções entre essas duas retas usando sistemas lineares?
- Significa que ambas as retas passam pela origem do plano cartesiano. Afinal, ponto $(x,y)=(0,0)$ satisfaz ambas as equações do sistema.
- Posto que as duas retas passam pelas origem, esse tipo de sistema possui sempre ao menos uma solução, ponto de interseção das retas, a origem. Restando a possibilidade de, se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo, que as retas sejam coincidentes.
Considere três vetores do $\mathbb{R}^{3}$: $u = (1,0,-1)$, $v = (1,1,1)$ e $w = (x,y,z)$.
Se $w = (-1,-5,-9)$, mostre que existem escalares $a$ e $b$ tais que $w = au + bv$.
Ainda para $w = (-1,-5,-9)$, existem escalares $a', b'$ tais que $(a',b') \ne (a,b)$ e $w = a'u + b'v$?
Para todo $w$ existem escalares $a$ e $b$ tais que $w = au + bv$ como no item anterior?
Existe alguma relação entre as perguntas acima e o estudo de sistemas?
- $a=4$ e $b=-5$.
- Não.
- Não. Com apenas dois vetores não é possível gerar todos os vetores de $\mathbb{R}^3$. Por exemplo, não existem $\alpha$ e $\beta\in\mathbb{R}$ tais que $\alpha u + \beta v=(-1,5,9)$.
- Uma conclusão básica é que nem todo sistema de três equações e duas incógnitas terá solução. Mais conclusões são possíveis.
Suponha que o sistema de coordenadas $x'y'$ tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas $xy$ por um ângulo $\theta$. Explique como podemos encontrar as coordenadas $xy$ de um ponto cujas coordenadas $x'y'$ sejam conhecidas.
Mostre que, ao variar $a$, a equação polar
$$ r=a\sec\theta \quad(-\pi/2 < \theta < \pi/2 ) $$
descreve uma família de retas perpendiculares ao eixo polar.
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\; \begin{cases}\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4} \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ r_2:\; \begin{cases}x=-1+t\\ y=4-t\\ z=-8+3t\end{cases}$$
As retas não são concorrentes.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]
O sistema não possui solução.
Um quadrado $ABCD$ tem a diagonal $BD$ contida na reta $\displaystyle \begin{cases} x=1\\ y=z\end{cases}$. Sabendo que $A=(0,0,0)$, determine os vértices $B$, $C$ e $D$.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]
$z = 4 - 5 x - 2 y, t = 8 - 9 x - 5 y, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
Qual(is) das quádricas abaixo representa(m) uma superfície obtida pela rotação de uma parábola em torno do eixo z?
$ 6x^2+3y^2-z^2=-2$,
$z=4x^2+4y^2$,
$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{5}=1$,
$-x^2+ y^2+z^2=0$.
Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos $P(x,y,z)$ que estão eqüidistantes do ponto $(0,0,1)$ e do plano $z=-1$. Identifique a superfície.
Use o método de inversão por escalonamento para obter, se possível, a inversa das seguintes matrizes:
- $A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix} $;
- $B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $.
Mostre que se
$$u= u_a a + u_b b + u_c c,$$
$$v = v_a a + v_b b + v_c c,$$
$$w= w_a a + w_b b + w_c c,$$
então
$$u\cdot(v\times w)=\det\left(\begin{array}{ccc} u_a & u_b & u_c \\ v_a & v_b & v_c \\ w_a & w_b & w_c \\\end{array}\right)[a\cdot(b\times c)].$$
Se $a=i$, $b=j$ e $c=k$, como fica esta fórmula?
Responda verdadeiro ou falso, justifique suas respostas.
- Se $A^2 = -2\,A^4$, então $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2$.
- Se $A^t = -A^2$ e $A$ é não singular, então $\det A = -1$.
- Se $B = A\,A^t\,A^{-1}$, então $\det(A) = \det(B)$.
- $\det(A + B) = \det A + \det B$.
- Verdadeira, pois $A^2 = -2\,A^4 \Rightarrow -A^2 -2\,A^4=0$.
E $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2 \Leftrightarrow (I - 2\,A^2) (I+A^2)=I$ e $ (I+A^2) (I - 2\,A^2) =I$.
O que vale, visto que $(I - 2\,A^2) (I+A^2)=I+A^2- 2\,A^2- 2\,A^4=I-\,A^2- 2\,A^4=I-0=I$.
E $ (I+A^2) (I - 2\,A^2)=I- 2\,A^2+A^2- 2\,A^4=I-A^2- 2\,A^4=I-0=I$. - Falsa, pois $\det(A)\neq0$ e $A^t = -A^2 \Rightarrow \det(A^t)=\det(-A^2)$.
Mas $\det(A^t)=\det(A)$ e $\det(-A^2)=\det(-A)\det(A)=(-1)^n \det(A) \det(A)$, onde $n$ é a ordem da matriz $A$.
Logo $\det(A)=\det(A^t)=\det(-A^2)=(-1)^n\det(A)^2 \Rightarrow 1=(-1)^n \det(A) \Rightarrow \det(A)=(-1)^n$.
Portanto, se a matriz for de ordem par $\det(A)=1$ e se a matriz for de ordem ímpar $\det(A)=-1$. - Verdadeira.
$B = A\,A^t\,A^{-1} \Rightarrow \det(B)=\det(A)\det(A^t)\det(A^{-1})=\det(A) \det(A)\dfrac{1}{\det(A)}=\det(A)$. - Falsa, contra exemplo:
sejam $A$ e $B$ matrizes de ordem dois tais que $A=I$ e $B=2I$. Então $A+B=3I$. E $\det(A+B)=9$. Mas, como $\det(A)=1$ e $\det(B)=4$, $\det(A)+\det(B)=5\neq 9=\det(A+B)$.