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MA141 - Geometria Analítica
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Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata, uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata, e uma liga $L_3$ tem mesma quantidade de ouro e prata.
Escreva um sistema linear cuja solução dê a quantidade de gramas de cada liga necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com $60$ gramas de ouro e $40$ gramas de prata.
Este problema tem solução única? Justifique utilizando conceitos sobre sistemas lineares.
Determine a(s) solução(ões) do sistema linear.
- Se $x$, $y$ e $z$ designam as quantidades, em gramas, das ligas $L_1$, $L_2$ e $L_3$, respectivamente, o sistema pode ser escrito como a seguir
$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}0,2 x &+&0,65 y &+ &0,5 z & = &60\\0,8 x &+&0,35 y &+ &0,5 z & = &40\end{array} \right. $$ - Existem infinitas soluções para este problema. Por que?
- As soluções são dadas por $y=\dfrac{200}{3}+2x$, $z=\dfrac{100}{3}-3x$.
Como $x$, $y$ e $z$ representam pesos, a solução só fará sentido para $x,y,z \in \mathbb{R}^+$. Logo, é preciso que $x\leq\dfrac{100}{9}$ gramas.
Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata e uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata. Quanto gramas de cada liga são necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com quantidade igual de ouro e prata?
Serão necessárias aproximadamente 33.3333 gramas da liga $L_1$ e 66.6667 gramas da liga $L_2$.
Se de um ponto qualquer $R$ dentro de um paralelogramo $ABCD$ são traçados segmentos de reta paralelos aos lados, são formados quatro novos paralelogramos (isto é, o paralelogramo original é a união destes quatro paralelogramos menores). Mostre que as diagonais de quaisquer dois destes paralelogramos (que não sejam as diagonais que se interceptam no ponto $R$) se interceptam na reta suporte de uma das diagonais do paralelogramo original.
No tetraedro $ABCD$, seja $X$ um ponto tal que $\vec{AX}$ = $m\vec{XD}$. Determine os valores de $m$ para os quais os vetores $\vec{AX}+\vec{AC}$, $\vec{BX}+\vec{BC}$ e $(1-m)\vec{BC}+\vec{AB}$ sejam linearmente independentes.
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $5x^2+6xy+5y^2-8 = 0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Determine a área do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e inscrito na elipse com vértices $A_1=(10,0)$, $A_2=(-10,0)$, $B_1=(0,6)$, $B_2=(0, -6)$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&-2&3&2\\ 0&2&-1&1\\ 0&0&-1&1\\ 2&0&0&3
\end{pmatrix}.
$
\(14\)
Verifique se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Usando operações de linha equivalência escalone as (encontre a forma escalonada das) que não estiverem na forma escalonada.
- $ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.,$
- $ \begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}. $
O lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfaz a equação $\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=a^{2/3}$ é denominado esfera astroidal. Mostre que essa superfície pode ser representada parametricamente como \begin{align*} x& = a(\sin u\cos v)^3 \\ y& = a(\sin u\sin v)^3 \\ z & = a (\cos u)^3, \quad (0\leq u\leq \pi, \ 0\leq v\leq 2\pi). \end{align*} Tente esboçar o seu gráfico.
Reduza a equação $3x^2+y^2-2xy+2xz-2yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Sejam $P=(a,b, c)$ um ponto no espa\c co e $r$ a reta $\left\{ \begin{array}{c} x+y+2z=4 \\ x-2y+z=5\end{array} \right.$. Para cada par não nulo de n\'umeros reais, $m,\,n$, considere o plano:
$$\pi_{(m,n)}: (m+n)x+(m-2n)y+(2m+n)z=4m+5n.$$
Mostre que: $P\in r$ se e somente se $P\in \pi_{(m,n)}$, para todo par não nulo $(m,n)$.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $2xy=25$.
Apenas utilizando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=\dfrac{5}{\sqrt{\sin(2\theta)}}$, com $\displaystyle \theta\in(0,\pi)\cup (\pi,2\pi)$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]
$Y = (0, 0)^T$.
Não existe solução particular $X_o$ para esse sistema. Ou seja, o sistema linear não possui solução.
Sendo $A=(3,1)$ e $B=(3,-5),$ determinar os pontos $F$ e $G$ que dividem $AB$ em três segmentos de igual comprimento.
Calcular o comprimento de $\vec{AB}.$
$F=(3,-1)$ e $G=(3,-3)$
$|\vec{AB}|=6$
Dados os planos $\pi_1:x-y=0$, $\pi_2:x+y-z+1=0$ e $\pi_3:x+y+2z-2=0$, determine o plano que contém $\pi_1\cap\pi_2$ e é perpendicular a $\pi_3$.
Seja $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma função definida por $f(x,y) =(2x+y,x-y)$. Ache o(s) valor(es) de $\lambda$ para que a equação $f(x,y) = \lambda(x,y)$ possua solução $(x,y) \neq 0$.
$\lambda=\dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ou $\lambda=\dfrac{1 - \sqrt{13}}{2}$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\sin^2\theta$, $y=\sin\theta\cos\theta$ e $z=\cos\theta$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1+x_1y_1&1+x_1y_2 \\ 1+x_2y_1&1+x_2y_2
\end{pmatrix}.
$
$(x_1-x_2)(y_1-y_2)$.
Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que tem vetor diretor $v=(1,1,-1)$ e passa pelo ponto $P_o=(0,1,7)$.
Equação vetorial: $$ \vec{r}=P_0+tv =(0,1,7)+t(1,1,-1),\quad t\in\mathbb{R}. $$ Ou, ainda, $$ \begin{cases} x=t,\\y=1+t,\\z=7-t,\quad t\in\mathbb{R}.\end{cases} $$
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por $r=9\sec\phi$.
Usando a definição, a equação dada fica: $\displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{81}{x^2}(x^2+y^2).$
Seja $\ell$ a curva com equações paramétricas $x=a(1+t^2)/(1-t^2)$, $y=2bt/(1-t^2)$. Determine $\ell$.
Considere a multiplicação de matrizes $3\times3$ abaixo, em que os pontos de interrogação representam coeficientes desconhecidos:
\[\left(\begin{array}[c]{rrr}9 & -8 & 4\\? & -7 & 2\\? & -4 & ?\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{rrr}-5 & -9 & ?\\? & 5 & ?\\4 & -8 & -7\end{array}\right) =\left(\begin{array}
[c]{ccc}c_{11} & c_{12} & c_{13}\\c_{21} & c_{22} & c_{23}\\c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{array}\right) .\]
Só é possível determinar um coeficiente da matriz produto. Qual é ele e qual é o seu valor?
Lembre-se que a multiplicação de matrizes é feita entre linhas 'vezes' colunas. Note que, na primeira matriz apenas a primeira linha está completada (não tem ?), enquanto na outra matriz apenas a segunda coluna não contém um símbolo ?. Assim, na matriz produto, apenas a entrada \(c_{12}\) estará bem-definida e seu valor será:
\[\left(\begin{array}{ccc} 9 & -8 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} -9 \\ 5 \\ -8 \end{array}\right) = -9^2- 8\cdot 5 -4\cdot 8 = -153.\]
Considere a curva no espaço descrita pela espiral $S(t) = \left( \frac{\cos(t)}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{\sin(t)}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \right)$. Qual a relação entre esta curva e a hélice cilíndrica $H(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$? Esboce a imagem de $S$. Compare o movimento de uma partícula $p$ ao longo de $S$ com o movimento de uma outra partícula ao longo de $H$.
Identificar a cônica $x^2+4y^2+4xy-2x-4y-1=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos $P(x,y,z)$ que estão duas vezes mais afastados do plano $z=-1$ que do ponto $(0,0,1)$. Identifique a superfície.
Sejam $A,B$ e $C$ matrizes reais tais que $AB=AC$. Se existir uma matriz $Y$ tal que $YA=I$, onde $I$ é a matriz identidade, então podemos concluir que $B=C$?
Sim, pois se \(Y\) é uma inversa à esquerda de \(A\), então podemos multiplicar ambos os lados, à esquerda, da equação \(AB=BC\) e então teremos que
\[ B=IB=(YA)B=Y(AB)=Y(AC)=(YA)C=IC=C.\]
Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $u$, $v$ e $w$, dados por: $u=\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}$, $v=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$ e $w=\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$.
$|u\cdot(v\times w)|=|-20|=20$
Calcule a área de um triângulo cujos vértices são: $A= (2,-1,-3)$, $B = (1,2,-4)$ e $C = (3,-1,-2)$.
$\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|/2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Estabeleça as equações gerais dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos $xOy$ e $yOz$.
$x-y=0$
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)$.
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=2\sqrt{\cos(2\theta)}$, com $\theta\in[0,2\pi]$.
Seja $C$ o lugar geométrico dos pontos $P = (x,y)$ de um plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem a equação $9x^2-24xy+16y^2-34x-38y+51=0$.
Qual a natureza da cônica $C$?
Escrever a forma canônica da equação de $C$.
Caso $C$ seja uma elipse ou uma hipérbole, encontre os focos e a excentricidade. Caso seja uma hipérbole, encontre também as equações das retas assíntotas no sistema $xy$ original.
Ache a equação do círculo tangente ao eixo $y$ na origem e com raio $r = a$.
$(x-a)^2+y^2=a^2$
Sejam $U=\begin{bmatrix} c & 4 & 1 \\ 0 & d+1 & 3 \\ 0 & 0 & c^2-4 \end{bmatrix}$, $M=\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -4 & 9 & -3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ e $N=\begin{bmatrix} 1 & -5 & 4 \\ -2 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & -1 \end{bmatrix}$.
- Determine, se possível, $c$ e $d$ tais que $A=M\,U$ seja invertível;
- Determine, se possível, $c$ e $d$ tais que $B=N\,U$ seja invertível.
- Posto que $\det(M)=0$ e $\det(A)=\det(M)\det(U)$, não há valores de $c$ e $d$ tais que $A$ seja invertível.
- $\det(N)=40$, logo, se $\det(U)\neq0$, $B=NU$ será invertível, de novo porque $\det(B)=\det(N)\det(U)$. Os valores de $c$ e $d$ para os quais $\det(U)\neq$ são $c,\, d\in\mathbb{R}$ tais que $c\neq 0,$ $c\neq\pm 2$ e $d\neq -1$.
Mostre que a equação $y^6-x^2-z^2=0$ representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação da curva geratriz.
Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada por $9x^2+4y^2=36$ e $z=0$ em torno do eixo $y$.
Identifique o círculo $x^2+y^2-4x+6y=12$, dando o seu centro e raio.
Centro igual $(2,-3)$ e com raio $5$.
Sabemos que se $B$ é uma base de $R^3$ formada pelos vetores $U,V$ e $W$, então as leis de mudança de base entre a base usual e a base $B$ são $$ P_B = [U,V,W]^{-1}P\ \ {\rm e}\ \ P = [U,V,W]P_B$$ Determine a mudança de base entre a base $B$ e uma base $B^{\prime}$ distinta da usual.
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(4,-3,-2)$ e $B(3,3,4)$.
$r:(x,y,z)=(3-t,3+6t,4+6t).$
Encontre a equação da parábola que tem foco no ponto $F = (1,1)$ e tem reta diretriz com equação $y = -x - 2$.
Encontre a equação do plano $\pi$, sabendo que $C=(-5,1,2)\in \pi$ e $\pi$ é perpendicular à reta que passa pelos pontos $A=(2,2,-4)$ e $B=(7,-1,3)$.
Podemos tomar $B-A=(5,-3,7)$ como vetor normal ao plano e, sendo $(B-A)\cdot C=-25-3+14=-14$, segue que $$\pi:5x-3y+7z=-14.$$
Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$, com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$. Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$; para cada unidade de $p_2$, $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$; e para cada unidade de $p_3$, $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$.
Escreva um sistema linear que relacione as quantidades de $x$ unidades de $p_1$, $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$ que podem ser produzidas com $200$ unidades de $m_1$ e $300$ unidades de $m_2$.
Utilizando conhecimentos sobre sistemas lineares, responda se há apenas uma configuração possível de produção dos produtos $p_1$, $p_2$ e $p_3$. Determine esta(s) configuração(ões) e interprete.
- $$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}x &+& y &+ & z & = &200\\2x &+& y &+ &4 z & = &300\end{array} \right. $$
- Há infinitas configurações possíveis respeitando $y=\dfrac{500-2x}{3}$ e $z=\dfrac{100-x}{3}$ desde que $x,y,z \in\mathbb{I}^+$, logo $x\leq 100$.
Dada a superfície $4x^2+y^2+z^2=9$, identifique a cônica obtida ao fixar:
$x=0$;
$y=0$;
$z=1$.
Considere os pontos $A = (3,-2,8)$, $B = (0,0,2)$ e $C = (2,3,2)$.
Usando vetores, mostre que o triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ é retângulo (Dica: O lado $BA$ é paralelo ao vetor $\stackrel{\longrightarrow}{BA}$).
Determine o ponto $H$ na aresta $AC$ para o qual os segmentos $AC$ e $HB$ são ortogonais ($=$ perpendiculares).
Determine o vetor $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$. (Dica: $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$ é a projeção ortogonal de $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ sobre $\stackrel{\longrightarrow}{AC}$.)
Calcule a área do triângulo (Dica: área do triângulo = (1/2) de base $\times$ altura).
Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:
$$r:\begin{cases} x= 1 + 2t\\
y = -2 + 7t
\\z = -2 + 5t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=1.$$
Considere a forma quadrática $2x^2+8xy+2y^2+x+y-9=0$. Escrevendo-a numa base conveniente, determine:
qual o eixo que contém o(s) foco(s);
qual é a translação e a rotação associadas.
Os extremos de uma corda elástica com um nó em $K(x,y)$ são presos a um ponto fixo $A(a,b)$ e um ponto $P$ sobre a borda de um pneu de raio $r$ centrado em $(0,0)$. Conforme o pneu gira, $K$ traça uma curva $C$. Encontre a equação desta curva. Assuma que a corda permanece presa e estica uniformemente (ou seja, a razão $\alpha:=|KP|/|AP|$ é constante).
O momento escalar ou torque sobre o ponto $P$ de uma força $\vec{F}$ aplicada a um ponto $Q$ é dado por $\|\vec{PQ} \times \vec{F}\|$. Uma força $\vec{F}$ com magnitude de $10 N$ é aplicada na direção $y$ positiva sobre o ponto $Q=(1,1,1)$ em um cubo com lados de tamanho $1m$. Determine o momento escalar de $\vec{F}$ sobre o ponto $P = (1,0,1)$. Faça um esboço do gráfico, indicando a força e o momento escalar.
No triângulo $ABC$, tem-se $\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{AC}$ e $\vec{AQ}=\frac{1}{2}\vec{AC}.$ Expressar os vetores $\vec{BP}$ e $\vec{BQ}$ em funçãao de $\vec{BA}$ e $\vec{BC}.$
Identifique a cônica $3 x^2-12 x y+12 y^2+ 2 \sqrt{5} x+\sqrt{5} y=0$ e seu parâmetros associados.
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}1 & 3 & -7 \\ 0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]
Em cálculo de uma variável vemos que se $x_0$ é um extremo local (máximo ou mínimo) de uma função $f(x)$, então a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0$ é horizontal, ou seja, $f'(x_0)=0$.
Encontre uma relação similar entre um extremo local de uma função de duas variáveis e o plano tangente ao seu gráfico.
Use esta relação para encontrar os extremos locais da função $\displaystyle f(x,y)=-2xy$.
Verifique se sua resposta no item anterior está correta, primeiro achando uma mudança de coordenadas conveniente (rotação) e, em seguida, completando os quadrados em $f(x',y')$ de tal forma a identificar a quádrica resultante.
Reduza a equação $45x^2 + 54y^2 + 63z^2 - 36xy + 36yz - 24x - 24y + 6z + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $45x^2 + 54y^2 + 63z^2 - 36xy + 36yz - 24x - 24y + 6z + 1 = 0$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+KX+1=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ K=\begin{pmatrix}-24 & -24 & 6\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}45 & -18 & 0 \\-18 & 54 & 18 \\0 & 18 & 63\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}45-\lambda & -18 & 0 \\-18 & 54-\lambda & 18 \\0 & 18 & 63-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+162\lambda^2+-8019\lambda +118098.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $27$, $54$ e $81$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $27$ e $54$: $(A-27I) X = 0$ e $(A-54I)=0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas são $U_1=(-2/3,-2/3,1/3)$ e $U_2=(-2/3,1/3,-2/3)$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (1/3,-2/3,-2/3)$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $45x^2 + 54y^2 + 63z^2 - 36xy + 36yz - 24x - 24y + 6z + 1 = 0$ se transforma em:
$$\dfrac{(x'+17/27)^2}{796/2187}+\dfrac{(y'+1/27)^2}{796/4374}+\dfrac{(z'+2/81)^2}{796/6561}=1,$$
que é a equação de um elipsóide.
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(2,2,4)$ e é perpendicular ao plano $xOz$.
$r:(x,y,z)=(2,2+t,4);$
Reduza a equação $2x^2+2y^2-z^2+8xy-4xz-4yz=2 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Encontre a equação da parábola que tem foco no ponto $F = (1,1)$ e tem reta diretriz com equação $y = -x - 2$.
Seja $A$ uma matriz $2\times 2$ simétrica e $k$ um escalar. Mostre que o gráfico da equação quadrática $\textbf{x}^tA\textbf{x}=k$ é:
uma hipérbole se $k\neq 0$ e $\det A<0$;
uma elipse, círculo ou cônica imaginária se $k\neq 0$ e $\det>0$;
um par de retas ou uma cônica imaginária se $k\neq 0$ e $\det A=0$;
um par de retas ou um único ponto se $k=0$ e $\det A \neq 0$;
uma linha reta se $k=0$ e $\det A=0$.
[Dica: use o Teorema dos Eixos Principais.]
Considere as retas $r$ e $s$ dadas pelas equações:
\[
r:\ x\ =\ \frac{y}{2}\ =\ z, \ s:\left\{
\begin{array}{ccl}
x & = & -4+t \\
y & = & 2+2t \\
z & = & t , \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{onde}\ \ t\in \mathbb{R}
\end{array}
\right. \ \
\]
Determine a equação da reta paralela a $r$ e a $s$, contida no mesmo plano de $r$ e $s$ e que seja equidistante de $r$ e de $s$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=-2+t \\
y=1+2t \\
z=t
\end{array}
\right. $
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]
$Y=(0,0,0,0)^T$.
$X_o=(4,1,1,1)^T$.
$X_o+Y=(4,1,1,1)^T$.
Determine o conjunto de todos os vetores do espaço que são paralelos ao vetor $(1,1,1)$.
Descreva o conjunto de todos os vetores do espaço que são ortogonais ao vetor $(1,0,-1)$.
Qual o significado geométrico dos conjuntos encontrados nos itens (a) e (b)?
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+5x+y-9=0$.
Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:
$$r:\begin{cases} x= 1 + t\\
y = -2 - t
\\z = -1 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=2.$$
Considere a equação
$$x^{2} - 14 x y + y^{2} = 1.$$
Efetue a troca de variáveis $x = u \cos \theta + v\,\textrm{sen} \theta$ e $y = - u\, \textrm{sen} \theta + v \cos \theta$. Escolha, usando sua intuição ou fazendo as contas, $\theta$ de forma que a equação obtida em $u$ e $v$ seja a equação canônica de uma hipérbole. Explique o significado geométrico deste resultado e obtenha, nas coordenadas $x$ e $y$, as equações das retas que servem de assíntotas à tal hipérbole.
Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado quando o mesmo: representa o vetor $v=(-1,0,1)$ e sua origem é o ponto médio entre os pontos $P_1=(1,1,3)$ e $P_2=(-1,1,1)$.
$(-1,1,3)$
Quais são os cossenos diretores da reta que passa pela origem no primeiro octante e que tem ângulos iguais com os três eixos coordenados?
$1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}$.
Identifique a cônica descrita pela equação $x^2-6xy-7y^2+10x-30y+23=0$.
Reduza a equação $3x^2-3y^2-5z^2-2xy-6xz-6yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Resolva o sistema $A\,X=B$ usando o método de Gauss-Jordan, onde: $$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \text{ e } B=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$
Destaque as operações elementares usadas.
Vamos aplicar escalonamento sobre a matriz aumentada do sistema:
\begin{gather*}
\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1&\vdots & 1 \\ 2 & 1 & 0& \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 1 \end{pmatrix} \begin{array}{c} L_2-2L_1\rightarrow L_2\\ \sim \end{array}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & \vdots & 01 \\ 0 & 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 01 \end{pmatrix}
\begin{array}{c} L_3-L_2\rightarrow L_3 \\\sim \end{array}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0&0&-1&\vdots&2 \end{pmatrix} \\ \begin{array}{c} \\-L_3\leftrightarrow L_3 \\ \sim \\ L_3+L_1\rightarrow L_1 \end{array} \begin{pmatrix} 1& 0& 0&\vdots & -1\\ 0& 1& 2&\vdots & -1\\ 0& 0& 1&\vdots &-2 \end{pmatrix}
\begin{array}{c} L_2-2 L_3\rightarrow L_2 \\ \sim \end{array}
\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\vdots &-1 \\ 0 & 1& 0& \vdots& 3\\ 0& 0 & 1 &\vdots & -2 \end{pmatrix}. \end{gather*} Logo, a solução é dada por \(\displaystyle (-1,3,-2)^T\).
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{4}{2-3cos\theta}$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&10&0&0\\ 11&12&0&0
\end{pmatrix}.
$
\(8\)
As funções trigonométricas seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas, respectivamente, por
$$\cosh t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}\quad\text{e}\quad \sinh t\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}, \quad t\in\mathbb{R},$$
e vale a relação $\cosh^2 t-\sinh^2 t=1$.
Mostre que as equações paramétricas da hipérbole de equação $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ são $$ x=\pm a\cosh t, \quad y=b\sinh t.$$
Mostre que não existem funções contínuas $f_1$ e $f_2$ tais que a hipérbole possa ser escrita como $x=f_1(t)$ e $y=f_2(t)$.
$$ \left\{ \begin{array}{ccccccccc}a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& \ldots &+& a_{1n} x_n &=& b_1 \\a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& \ldots &+& a_{2n} x_n &=& b_2 \\\vdots && \vdots && && \vdots && \vdots \\a_{n1} x_1 &+& a_{n2} x_2 &+& \ldots &+&a_{nn} x_n &= &b_n \\ \end{array} \right.$$
pode ser escrito em forma matricial $Ax=b$, onde:
$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}.$$
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 6\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/5 & 0 \\0 & 0 & 1/6\end{pmatrix}.\]
Dados os pontos $A=(-2,3,4)$, $B=(3,2,5)$, $C=(1,-1,2)$ e $D=(3,2,-4)$, calcular $\textrm{proj}_{CD}{AB}$.
$\textrm{proj}_{CD}{AB}=\dfrac{1}{49}(2,3,-6)$.
Mostre que o segmento de reta que liga um vértice de um paralelogramo ao ponto médio de um dos lados opostos trissecta a diagonal (isto é, intercepta a diagonal em um ponto que a divide em dois segmentos, um tendo um terço do comprimento da diagonal e o outro tendo dois terços do comprimento da diagonal).
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$, em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix}.\]
A inversa existirá desde que $a\neq 0$ ou $b\neq 0$, nesse caso será dada por \[\begin{pmatrix}\dfrac{a}{a^2+b^2} & \dfrac{-b}{a^2+b^2} \\ \dfrac{b}{a^2+b^2} & \dfrac{a}{a^2+b^2}\end{pmatrix}.\]
Considere o plano com o sistema cartesiano canônico $xy$ e faça uma rotação de um ângulo $\theta$, com $0\leq \theta \leq\pi/2$ obtendo o novo sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$. Seja $(*)$ a equação:
$$(*) \ \ \ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$,
com $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ números reais. Ao transformar $(*)$ para o sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$ obtemos:
$$(**) \ \ \ \overline{A} \overline{x}^2+\overline{B}\overline{x} \overline{y}+ \overline{C}\overline{y}^2+ \overline{D}\overline{x}+ \overline{E}\overline{y}+\overline{F}=0$$.
Mostre que:
\begin{align*} \overline{A} & = A\cos^2\theta+B\sin\theta\cos\theta+C\sin^2\theta, \\ \overline{B} & =-2A\sin\theta\cos\theta+B(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+2C\sin\theta\cos\theta,\\ \overline{C} & = A\sin^2\theta-B\sin\theta\cos\theta+C\cos^2\theta, \\ \overline{D} & = D\cos\theta+E\sin\theta, \\ \overline{E} & = E\cos\theta-D\sin\theta\;\;\;\;\; \text{e} \\ \overline{F} & = F. \end{align*}
Supondo $A>0$ e $F<0$, conclua, a partir de 1, que a equação $(*)$ representa uma circunferência de centro $(0,0)$ e raio $r=\sqrt{\frac{-F}{A}}$ se, e somente se, para todo $\theta$, tivermos que $A=\overline{A}$, $B=\overline{B}$, $C=\overline{C}$,
$D=\overline{D}$, $E=\overline{E}$ e $F=\overline{F}$.
Sejam
$M= \left( \begin{array}{cc}A & \frac{B}{2}\\\frac{B}{2}& C \\\end{array}\right)$, $\overline{M}= \left( \begin{array}{cc}\overline{A} & \frac{\overline{B}}{2}\\\frac{\overline{B}}{2}&\overline{C}\end{array}\right)$ e $R_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)$.
Mostre, a partir de 1, que $\overline{M}=R_{\theta}^{t}\cdot M\cdot R_{\theta}$ e, calculando o determinante dos dois lados da igualdade, conclua que $\Delta=B^2-4AC=\overline{B}^{2}-4\overline{A}\overline{C}$, qualquer que seja o ângulo $\theta$ (OBS: $\Delta$ é conhecido pelo nome de discriminante da equação $(*)$ e o item 3 está dizendo que ele é invariante por rotação).
Sendo $A=(2,-5,3)$ e $B=(7,3,-1)$ vértices consecutivos de um paralelogramo $ABCD$ e $M=(4,-3,3)$ o ponto de interseção das diagonais, determine os vértices $C$ e $D$.
$C=(6,-1,3)$ e $D=(1,-9,7)$
Sejam
$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\1 & 0 & -1\\4 & -1 & 0\end{array}\right)$ e $X= \left( \begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)$.
Verifique que: $xA_1+yA_2+zA_3=AX$, sendo $A_j$ a $j$-ésima coluna de $A$ para $j=1$, 2, 3.
Usando 1. verifique que: a segunda coluna de $C=A^2$ é $C_2=-2A_1 - A_3$.
Tente generalizar o que foi feito em e para a seguinte situação: Sejam $A$ uma matriz $m\times n$, $B$ uma matriz $n\times k$ e $C=AB$. Se $C_j$ é a $j$-ésima coluna de $C$, encontre $C_j$ em termos das $n$ colunas de $A$ e da $j$-ésima coluna de $B$.
A mudança de coordenadas entre os sistemas $xy$ e $x_{1}y_{1}$ é feita através de uma matriz ortogonal $U$, como segue
\[ \begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{\,4}{5}} \\{\frac{\,-4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\quad \text{ e }\quad\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{-4}{5}} \\ {\frac{\,4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix},\quad \text{ lembrar que } U^{-1} = U^{t}.\]
Já a mudança entre os sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$ é dada por $X = x_{1}+1$, $Y = y_{1}+1$.
Encontre as coordenadas dos pontos $a_{1}$ e $b_{1}$ (Figura 1) nos sistemas $xy$ e $x_{1}y_{1}$.
Encontre as coordenadas dos pontos $c_{1}$, ,$d_{1}$, $\textbf{O}$, e $A_{2}$ (Figura 2) em relação aos eixos $xy$, $x_{1}y_{1}$ e $XY$.
Ache as equações dos dois círculos tangentes a $2x-5y+1=0$ no ponto $(2,1)$ e com raio $r = 3$.
Reduza a equação $2x^2+4yz-4x+2y+6z+5=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2z^2+5x+12y+12z+18=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Ache a equação do círculo com centro $(5,2)$ e passando pelo ponto $(2,3)$.
A equação do círculo é dada por $(x-5)^2+(y-2)^2=d^2$, onde $d$ é o seu raio. Como é dado um ponto sobre o mesmo, obtemos então que $d=\sqrt{(2-5)^2+(3-2)^2}=\sqrt{10}$.
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $\displaystyle 4y^2-4y-24x+9=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Considere a reta $r=\{(x,y):2x-3y=1\}\subset\mathbb{R}^2$. Seja $B$ a base formada pelos vetores $(3,2)$ e $(1,0)$ e $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$ coordenadas definidas em $\mathbb{R}^2$ pela origem usual e pela base $B$. Ache a equação de $r$ nas coordenadas $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$.
Encontre a distância perpendicular entre os planos (paralelos): $$ 4x-8y-z=9 \;\;\; \mbox{e}\;\;\;2x-4y-\frac{z}{2}=5.$$
O primeiro plano ($\pi_1$) tem normal, digamos, $n_1=(4,-8,-1)$ e
$p_1=(0,0,-9)$ é um ponto sobre o mesmo. Note também que $p_2=(0,0,-10)$
é um ponto sobre o outro plano ($\pi_2$). Assim, segue que $$
d(\pi_1,\pi_2)=d(\pi_1,p_2)=\|\mathrm{proj\,}_{n_1}(\vec{p_1p_2})\|=\frac{1}{9}.$$
Um próton é lançado ao longo da reta $y = \frac{1}{2} x$ em direção ao núcleo de um átomo localizado na origem. Se o próton é defletido em direção à linha $y = -\frac{1}{2} x$, ao longo de um trecho de hipérbole, dê a equação para a trajetória do próton.
O vetor $w$ é ortogonal aos vetores $u=(2,3,-1)$ e $v=(1,-2,3)$ e $w\cdot(2,-1,1) = -6$. Encontre $w$.
$w=(-3,3,3)$
Mostre que se as coordenadas dos quatro vértices de um tetraedro são
$$ (x_1,y_1,z_1),\; (x_2,y_2,z_2),\; (x_3,y_3,z_3),\; (x_4,y_4,z_4), $$
então o seu volume é dado por
$$ Vol=\frac{1}{6}\det\left(\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\\end{array}\right). $$
(Sugestão: Verifique primeiro que o volume do tetraedro é um sexto do volume do paralelepípedo determinados pelos seus vértices.)
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t+2$, $y=2t-4$ e $z=1-t$.
Forneça equações paramétricas para $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas equações paramétricas.
Considere a reta
\[
r:\left\{
\begin{array}{ccl}
x & = & 1 \\
y & = & -z
\end{array}
\right.
\]
e o ponto $A\ =\ (1,1,1)$. Determine a equação do plano $\pi $ que é paralelo à reta $r$, passa por $A$ e é tal que a sua reta normal pelo ponto $A$ seja perpendicular e concorrente com a reta $r$.
$y+z=2$
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+2y^2-4xy+y-1=0$.
Sejam $A$ e $B$ duas matrizes quadradas $n\times n$.
- Mostre que $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$.
- Suponha que:
$A= \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) \;\; \mbox{e}\;\;
B= \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right) $.
Verifique que $AB\neq BA$. Conclua que neste caso, $(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$. - Mostre que: Se $A$ e $B$ são duas matrizes quadradas $n\times n$, então $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, se e somente se, $AB=BA$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]
Esse sistema linear possui infinitas soluções.
Um navio ao mar está no ponto $A$ que está localizado a $60^\circ$ de longitude oeste e $40^\circ$ de latitude norte. O navio viaja ao ponto $B$ que está a $40^\circ$ de longitude oeste e $20^\circ$ de latitude norte. Supondo que a Terra seja uma esfera com raio de $6370$ Km, determine a menor distância que o navio pode pode viajar indo de $A$ para $B$, dado que a menor distância entre os dois pontos sobre uma esfera está ao longo do arco do círculo máximo que une os pontos. [Sugestão: usando o sistema de coordenadas esféricas, considere o ângulo entre os vetores do centro da Terra aos pontos $A$ e $B$. Se o termo "círculo máximo" lhe for estranho, consulte um dicionário.]
Identificar a cônica $x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Reduza a equação $2x^2+y^2-4xy-4yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Verifique se a equação $x^2+y^2+z^2-2x-4y+10=0$ descreve uma esfera. Em caso afirmativo, identifique o centro e o raio.
Completando quadrados, vemos que não descreve uma esfera.
Ache os dois vetores no plano $xy$ perpendiculares a $4\vec{i}-3\vec{j}$ e de tamanho $10$.
$\pm (6\vec{i}+8\vec{j})$.
Verifique se os seguintes pontos são colineares: $A=(1,0,1)$, $B=(2,2,0)$ e $C=(0,-2,2)$.
Os pontos são colineares.
Mostre que a equação $x^2+y^2-z^3=0$ representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação da curva geratriz.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t$, $y=2t^2$ e $z=3t^3$.
Seja $M= \left( \begin{array}{cccc}a & 0 & b & 2\\a & a & 4 & 4\\0 & a & 2 & b\end{array}\right) $ a matriz ampliada (ou aumentad de um sistema linear. Para que valores de $a$ e $b$ o sistema admite:
- Solução única;
- Solução com uma variável livre;
- Solução com duas variáveis livres;
- Nenhuma solução.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço então: mostre que $\langle u,v\times w\rangle = \langle v, w\times u\rangle = \langle w , v\times u\rangle$.
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Considere os seguintes vetores de $\mathbb{R}^{3}$: $U=(1,0,-1)$ e $V=(0,1,0)$.
- Determine a forma geral de um vetor perpendicular a $U$. Explique porque sua resposta contém duas variáveis livres.
- Determine (caso existam) as equações das retas que passam pelo ponto $(1,2,3)$, são perpendiculares ao vetor $U$ e fazem ângulo de $\dfrac{\pi}{3}$ com o vetor $V$.
- $(a,b,a)$.
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\sqrt{3} \\
y=2+\sqrt{2}t \\
z=3+\sqrt{3}t
\end{array}
\right. $ e $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\sqrt{3}t \\
y=2-\sqrt{2}t \\
z=3+\sqrt{3}t
\end{array}
\right. .$
Identifique a cônica descrita pela equação $49x^2-42xy+9y^2+56x-24y+16=0$.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
5&6&-3\\ -1&0&1\\ 1&2&1
\end{pmatrix}.
$
\(x=2\) é uma raíz tripla.
Verifique se os pontos $A=(1,2,4), B=(-1,0,2), C=(0,2,2) \;\mbox{e}\; D=(-2,1,3)$ estão no mesmo plano ou não.
Não estão pois $\displaystyle \vec{AB}\cdot(\vec{BC}\times\vec{AD})=-8$.
Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$ e $P=(x_1,y_1)$ um ponto no exterior da circunferência. Sejam também $P_2=(x_2,y_2)$, $P_3=(x_3,y_3)$ os pontos de $\mathcal{C}$ tais que as retas $l_2$ que passa por $P$ e $P_2$, e $l_3$ que passa por $P$ e $P_3$ são tangentes à circunferência. Então mostre que a reta (secante) que passa por $P_2$ e $P_3$ tem equação $x_1x+y_1y=r^2$. (Sugestão: encontre as equações das retas $l_2$ e $l_3$ e use o fato de que $P$ está em ambas.)
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 1-2t\\y &=& -1-t\\ z &=& 3 + 3t\end{array}\right., \ \ \
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 3+4s\\y &=& -4+2s\\ z &=& 1 + s\end{array}\right. .
\]
São reversas.
Encontre o ponto $Q$ sabendo que o mesmo é a extremidade de um vetor com origem no ponto médio do segmento que liga os pontos $P_1=(1,1,3)$ e $P_2=(-1,1,1)$ e tem norma, direção e sentido do vetor $v=(-1,0,1)$.
$(−1,1,3)$.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^3+y^3-6xy=0$.
Pela definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $$r=\frac{6\cos(\theta)\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)} \quad \theta\in[0,2\pi].$$
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&a\\ 1&b\
\end{pmatrix}.
$
\(b-a\)
Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que passa pelos pontos $A=(1,0,1)$ e $B=(2,3,1)$.
Um vetor diretor pode ser tomado como sendo um mútiplo de
$B-A=(1,3,0)$. Assim, a reta procurada terá a seguinte representação
vetorial $$\vec{r}= (1,0,1) + t(1,3,0),\quad t\in\mathbb{R}$$ ou,
parametricamente $$ \begin{cases} x=1+t, \\ y=3t,\\ z=1, \quad
t\in\mathbb{R}.\end{cases}$$
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $x^2+ y^2-z^2=0$ e esboce seu gráfico.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]
Decompor o vetor $w = (1,3,2)$ como soma de dois vetores $w = u + v$, onde $u$ é paralelo ao vetor $(0,1,3)$ e $v$ é ortogonal a $(0,1,3)$.
$u=(0,11/10,33/10)$ e $v=(1,9/10,-3/10)$.
Achar o ponto $N$, projeção ortogonal do ponto $P(3,-1,-4)$ no plano determinado pelos pontos $A(2,-2,3)$, $B(4,-3,-2)$ e $C(0,-4,5)$. Qual é o ponto simétrico de $P$ em relação a este plano?
$N=\left(\frac{18}{7},-\frac{17}{14},\frac{47}{14}\right),\;
P'=\left(\frac{15}{7},\frac{10}{7},-\frac{9}{14}\right)$
Usando a propriedade de que podemos trocar os sinais $\times$ e $\cdot$ em um produto misto, mais a fórmula do produto vetorial triplo: $$A\times(B\times C) = (A\cdot C)B - (A\cdot B)C,$$ mostre que $$(A\times B)\cdot (C\times D) = \det\left(\begin{array}{cc}A\cdot C & A\cdot D \\B\cdot C & B\cdot D \\\end{array}\right).$$
Dê equações paramétricas para a curva $y^2-8x-8y+8=0$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(3,-2,4)$ e é paralela ao eixo dos $x$.
$r:(x,y,z)=(3+t,-2,4);$
Seja $r$ a reta que passa pelo ponto $A(3,-2,4).$ Como a reta $r$ deve ser pararela aos eixos $x$, considere o vetor canônico $\left( 1,0,0\right)$, que por sinal será o vetor direção do eixo dos $x$ e consequentemente o vetor direção da reta $r$, pois é paralela ao eixo dos x e dado por $\ v=\overrightarrow{i}$. Nesse sentido, como temos um vetor direção e o ponto $A(3,-2,4)$, concluímos que as equações paramétricas são dadas por $$\begin{cases} x=3+t\\ y=-2\\ z=4. \end{cases}$$
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=(cos(t),tan(t))$.
A elipse $\ell$ tem focos $F_1=(1,2)$ e $F_2=(2,4)$ e vértices $A_1=(0,0)$ e $A_2=(3,6)$. Dê as equações paramétricas de $\ell$.
Nesta questão, todos os sistemas de coordenadas têm mesma origem $O$. Sejam $(x,y,z)$ coordenadas em relação à base usual $\{i,j,k\}$; $(u,v,w)$ coordenadas em relação à base $\beta =\{j,i,i-j+k\}$ e $(r,s,t)$ coordenadas em relação à base $\gamma =\{k,i-j,i+j\}$. Dado um ponto $P\in\mathbb{R}^3$, escrito na base $\beta$ como $P_{\beta} = (3,2,1)$, ache $P_{\gamma}$, isto é, $P$ na base $\gamma$.
Às vezes o gráfico de uma equação quadrática é uma reta, um par de retas ou até mesmo um único ponto. Nos referimos a tais gráficos como cônicas degeneradas. É também possível que a equação não seja satisfeita para nenhum valor real das variáveis, caso este no qual não existe um gráfico e dizemos tratar-se de uma cônica imaginária. Nos itens abaixo, identifique a cônica com a equação dada, dizendo se é degenerada ou imaginária. Quando possível, esboce também o gráfico.
$\displaystyle x^2+2xy+y^2=0$;
$\displaystyle x^2-2xy+y^2+2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y=0$;
$\displaystyle 2x^2+2xy+2y^2+2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y+6=0$.
Dada a superfície $4x^2+z^2-y^2=9$, identifique a cônica obtida ao fixar:
$x=0$;
$y=0$;
$z=1$.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica $(x(t),y(t))=(3\cos t,4\sin t)$, em $t=\pi/4$ e $7\pi/4$, sem eliminar o parâmetro.
Verifique suas respostas do item anterior eliminando o parâmetro e diferenciando uma função apropriada de $x$.
Reduza a equação $xz = 1$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $xz = 1$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX-1=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1/2 \\0 & 0 & 0 \\1/2 & 0 & 0\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 0 & 1/2 \\0 & -\lambda & 0 \\1/2 & 0 & -\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+\lambda/4.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $0$, $-1/2$ e $1/2$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $0$ e $1/2$: $A X = 0$ e $(A-1/2 I) X = 0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas consiste em $U_1=(0,1,0)$ e $U_2=(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $xz=1$ se transforma em:
$$\dfrac{(y')^2}{2}-\dfrac{(z')^2}{2}=1,$$
que é a equação de um cilindro hiperbólico.
Dadas a equação da curva diretriz $4x^2+z^2+4z=0$, $y=0$ e um vetor $V=(4,1,0)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Sendo $\|u\|=3, \|v\|=4$ e $120^{\circ}$ o ângulo entre os vetores $u$ e $v$, calcule:
$\|u+v\|,$
$\|u\times(v-u)\|.$
Reduza a equação $3x^2+3y^2+z^2-2xy-4x+2y+6z+5=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).
Se $A$ e $B$ são duas matrizes $n\times n$ e $AB=BA$, então $(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$ para todo número natural $p$.
Se $A$ e $B$ são matrizes $n\times n$ tais que $AB={\bf 0}$, então $BA={\bf 0}$.
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^4 - 3A^2 + 7A -I_n={\bf 0}$ então $A$ é invertível (isto é, $AB=BA=I_n$ para alguma matriz $B$, $n\times n$).
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $3x^2+y^2-2z^2=1$ e esboce seu gráfico.
Mostre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio (Sugestão: Sejam $M$ e $N$ os pontos médios das duas diagonais. Mostre que $\overline{MN}=\vec{0}$.).
Considere o paralelogramo $ABCD$, de diagonais $AC$ e $DB.$ Seja $M$ o ponto médio de $AC.$ Vamos provar que $M$ é também ponto médio de $BD.$ Ora, $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MD}.$ Logo, $M$ é o ponto médio de $BD.$
Mostre que, quando $b$ varia, a equação polar
$$ r=b\mathrm{\,cosec\,}\theta \quad(0 < \theta < \pi ) $$
descreve uma família de retas paralelas ao eixo polar.
Ache os pontos de $r:x-1=2y=z$ que equidistam de $s=\{ (2,t,0),t\in\mathbb{R}\}$ e do eixo $x$.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
\cos a& \sin a\\ -\sin a&\cos a
\end{pmatrix}.
$
\(\displaystyle \cos a\pm \sqrt{\cos^2a-1}\)
A reta $r$ passa pelo ponto $A(4,-3,-2)$ e é paralela à reta
$$\begin{cases} x=1+3t\\ y=2-4t\\ z=3-t. \end{cases}$$
Se $P(m,n,-5)\in r$, determinar $m$ e $n$.
$m=13,\;n=-15.$
Nesse sentido, podemos escrever a equação de $r$, pois temos um ponto $A(4,-3,-2)$ e sua direção:
$$\begin{cases} x=4+3\overline{t}\\ y=-3-4\overline{t}\\ z=-2-\overline{t} \end{cases}$$,
onde $\overline{t}$ é o parâmetro. Usamos $\overline{t}$ pois os parâmetros da reta $r$ são diferentes dos parâmetros da reta $s$. Assim, temos um valor de $z$ no ponto $P$, então podemos encontrar o valor de $\overline{t}$ correspondente, isto é, $-5=-2-\overline{t} \Longrightarrow \overline{t}=3.$ Substituindo, $ \overline{t}=3$ na equação obtida para a reta $r$, obtemos as coordenadas de $P$, isto é $m=4+3\overline{t} \Longrightarrow m=13$ e $n=-2-\overline{t}\Longrightarrow n=-15.$ Portanto, concluímos que os valores de $m=13$ e $n=-15$ e o ponto é dado por $P\left( 13,-15,5\right)$.
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 2-t\\y &=& 3+2t\\ z &=& 1 + t\end{array}\right., \ \ \
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 5-2s\\y &=& 2+4s\\ z &=& 1 + 2s\end{array}\right. .\]
São paralelas.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&1&-6&-2 \\ 4&7&4&4 \\ -2&-2&1&-2 \\ -4&-7&0&-1
\end{pmatrix}.
$
\(-27\)
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 1+2t\\y &=& -3-t\\ z &=& t\end{array}\right., \ \
\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 1/2+3/2s\\y &=& -1+s\\ z &=& 1/3s \end{array} \right. .
\]
São reversas.
O que acontece com a distância entre a diretriz e o centro de uma elipse se os focos permanecerem fixados e a excentricidade tender a $0$?
Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é simultaneamente ortogornal às retas $r_1$ e $r_2$: $A$ é a interseção de $r_1$ e $r_2$; $$r_1:\;x-2=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2:\;\begin{cases} x=1-y\\ z=2+2y. \end{cases}$$
$r:(x,y,z)=(-2+t',3-5t',2+2t').$
São dados quatro vértices, $A = (-2,-1,1)$, $B = (1,1,1)$, $D = (5,1,-1)$, e $E = (1,1,-1)$, de um paralelepípedo, cuja distribuição está esquematizada no desenho abaixo.
Determine as coordenadas do ponto $C$.
Encontrar o volume do paralelepípedo.
Determinar o valor da altura $h$ do paralelepípedo em relação à base $ABCD$.
Encontrar a equação do plano $\pi$ que contém a face do paralelepípedo onde está o vértice $E$ e é paralela à face $ABCD$.
Se uma esfera $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{a^2}=1$ de raio $a$ for comprimida na direção $z$, então a superfície resultante, chamada de esferóide oblato, tem uma equação da forma $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$, onde $c<a$. Mostre que o esferóide oblato tem um traço circular de raio $a$ no plano $xy$ e um traço elíptico no plano $xz$, com eixo maior de comprimento $2a$ ao longo do eixo $x$ e eixo menor de comprimento $2c$ ao longo do eixo $z$.
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y) = (3t-1,4t+2)$.
Uma corda da circunferência $x^2+y^2=25$ se encontra sobre a reta cuja equação é $x-7y+25=$. Qual o comprimento dessa corda?
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+(1/5)xy +y^2+2x+2y+2=0$.
Mostre que os ramos direito e esquerdo da hipérbole $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ podem ser representados parametricamente por
$$ x= a\sec t, \quad y=b\tan t, \quad(-\pi/2 < t < \pi/2) $$
$$ x= -a\sec t, \quad y=b\tan t, \quad(-\pi/2 < t < \pi/2). $$
Use um recurso gráfico para gerar ambos os ramos da hipérbole $x^2-y^2=1$ em um mesmo gráfico.
Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (10/3, 1,-1), B = (1, 9/2,-1) \text{ e } C = (1,-1, 5/6)$.
Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1), E = (3/2,-1, 10)$ e é paralelo ao eixo $z$.
Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $ \overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)
Sejam $a,b,c$ três vetores não coplanares e denotemos por $[a,b,c]$ o produto misto $a\cdot(b\times c)$. Os vetores
$$ a'=\frac{b\times c}{[a,b,c]},\; b'=-\frac{a\times c}{[a,b,c]},\; c'=\frac{a\times b}{[a,b,c]} $$ são chamados os vetores recíprocos aos vetores $a,b,c$.
Mostre que
$$ [a',b',c']=\frac{1}{[a,b,c]}. $$
Suponha que uma partícula $p$ tenha trajetória descrita pela curva $C(t) = (\cos(t), \sin(t), 0).$ Ou seja, $p$ se move ao longo de um círculo no plano $xy$. Seja $\epsilon >0$ um número real (pequeno). Podemos perturbar o movimento de $p$, no instante $t$, empurrando-a um pouco em alguma outra direção. Dada a curva $D(t) = \left(\cos\left(\frac{3}{2}t\right)\cos\left(t\right), \cos\left(\frac{3}{2}t\right)\sin\left(t\right), \sin\left(\frac{3}{2}t\right)\right)$, considere a nova trajetória "perturbada" $E(t) = C(t) + \epsilon D(t)$. Esboce $E(t)$ com $\epsilon = 1/4$ e com $t$ em radianos. Como muda a imagem (traço) da curva se trocarmos o fator $\frac{3}{2}$ por outro número, digamos, $\frac{5}{3}$ ou $\frac{8}{5}$? E se o coeficiente for irracional?
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo menor tem área de superfície
$$ S= 2\pi ab\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ln\dfrac{a+c}{b}\right), $$
onde $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
Considere os pontos $A = (4,3,-2)$, $B = (5,5,-1)$, $C = (6,4,-3)$ e $D = (7,6,0)$. Pede-se:
A equação do plano $\pi$ que passa por $A$, $B$ e $C$. Mostre também que $D$ não está em $\pi$.
As equações paramétricas da reta $r$ que passa por $D$ e é perpendicular ao plano $\pi$ (do item 1).
O ponto de interseção entre a reta $r$ (do item 2) e o plano $\pi$ (do item 1).
A distância do ponto $D$ ao plano $\pi$ (do item 1).
A área do triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ (área do triângulo $=1/2$ área do paralelogramo).
O volume do tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ e $D$. (Volume do tetraedro $= 1/6$ volume do paralelepípedo).
A altura do tetraedro $ABCD$.
Dica: Os itens 5 e 6 requerem produto vetorial. A solução baseada na geometria plana não é o propósito da geometria analítica.
Mostre que as duas diagonais do trapézio e a reta que passa pelos pontos médios dos lados paralelos são concorrentes.
Na equação $4x^2-20xy+25y^2-15x-6y=0$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.
Dados os pontos $A=(-3,2)$ e $B=(5,4)$:
Faça um esboço de $\vec{AB}$.
Calcule a distância de $A$ até $B$.
Ache o ponto médio entre $A$ e $B$.
Ache o vetor $\vec{BA}$.
Ache o ponto em $\vec{AB}$ cuja distância é 3 vezes maior de $A$ do que de $B$. Isto é, o ponto que divide $\vec{AB}$ na razão $3:1$ (existe outro ponto que está fora de $\vec{AB}$).
Ache o ponto em $\vec{AB}$ cuja coordenada $x$ é igual a $2$.
Ache o ponto em $\vec{AB}$ (extendido) cuja coordenada $y$ é igual a $5$.
Ache os pontos no eixo $x$ e no eixo $y$ que são equidistantes de $A$ e $B$.
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[(2,1,-1) + t(3,2,-1), \ \ \ \left\{\begin{array}{ccr}x &=& -1+2s\\y &=& 3s\\ z &=& 4 + 5s\end{array}\right. \]
São reversas.
Ache o ângulo entre duas retas no espaço que passam pela origem, no primeiro octante, sendo uma delas com ângulos diretores tais que $\cos\alpha_1=1/2$, $\cos\beta_1=\sqrt{3}/2$; e a outra com ângulos diretores tais que $\cos \alpha_2=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ e $\cos\beta_2=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ (Sugestão: cada par de retas forma um plano que contém um dos eixos coordenados -- por quê?).
$45^\circ$.
Considere a matriz $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & a \\ 2 & 2a-2 & -a-2& 3a-1 \\ 3 & a + 2 & -3 & 2a + 1 \end{bmatrix}.$$ Determine o conjunto solução do sistema $A\,X = B$, em que $B = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 6\end{bmatrix}^t$, para todos os valores de $a$.
Para $a=5$, o sistema não possui solução.
Para $a=1$, o sistema possui infinitas soluções com $x=2-w$, $y=z=1$ e $w\in\mathbb{R}$.
Para $a\neq 5$ e $a\neq 1$, $x = \dfrac{4a-11}{a-5}$, $y = \dfrac{4}{5-a}$, $z = \dfrac{4}{5-a}$, $w = \dfrac{1}{5-a}$.
Calcular $k$ de modo que a reta determinada por $A(1,-1,0)$ e $B(k,1,2)$ seja paralela ao plano
$$\pi:\;\begin{cases}x=1+3h\\ y=1+2h+t\\ z=3+3t \end{cases}$$
$k=3/2$
Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada por $yz=1$ e $x=0$ em torno do eixo $z$.
Mostre que o plano tangente à esfera $x^2+y^2+z^2=r^2$ no ponto $(a,b,c)$ tem equação $ax+by+cz=r^2$.
Dado um triângulo isósceles, mostre que a mediana relativa à base é a mediatriz (isto é, é perpendicular à base).
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}\Longrightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}\Longrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}.$
Também, temos que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=\left\Vert \overrightarrow{BM}\right\Vert ^{2}-
\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{MB}$.
Assim, concluímos que $\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{MB}=\left\Vert \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right) \right\Vert^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right) =\frac{1}{4}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}+\frac{1}{2}2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}=0$.
Mostre que se
$$u= u_a a + u_b b + u_c c,$$
$$v = v_a a + v_b b + v_c c,$$
$$w= w_a a + w_b b + w_c c,$$
então
$$u\cdot(v\times w)=\det\left(\begin{array}{ccc} u_a & u_b & u_c \\ v_a & v_b & v_c \\ w_a & w_b & w_c \\\end{array}\right)[a\cdot(b\times c)].$$
Se $a=i$, $b=j$ e $c=k$, como fica esta fórmula?
Sejam os vetores $\vec{u}=(2,1,3)$, $\vec{v}=(0,1,-1)$, $\vec{w}=(4,5,3)$. Mostre que $\vec{u}, \vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares.
De fato, basta verificar que $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0$.
Qual a distância de um ponto $(x,y)$ ao ponto $(c,0)$?
Qual a distância de um ponto $(x,y)$ ao ponto $(-c,0)$?
Use sua resposta anterior para obter a equação de uma elipse com focos $(c,0)$ e $(-c,0)$.
Simplifique sua equação o máximo possível. Isso exigirá certa manipulação algébrica mas, ao final, podemos obter uma forma simplificada para elipses deste tipo.
Quais são as intersecções desta elipse com os eixos $x$ e $y$?
Como muda a sua equação se os focos forem $(0,c)$ e $(0,-c)$?
Dê uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:
parabolóide elíptico $x=5y^2+2z^2-10$;
parte do parabolóide elíptico $x=5y^2+2z^2-10$ que está em frente ao plano $yz$.
a). Como a superfície está na forma $x=f(y,z)$, podemos tomar $y$ e $z$ como parâmetros, obtendo assim o seguinte conjunto de equações paramétricas $$x=5u^2+2v^2-10, \quad y = u \ \textrm{e}\ z=v.$$ Ou seja, temos a representação paramétrica $$ \sigma(u,v)= (5u^2+2v^2-10,u,v), \quad u,v\in\mathbb{R}. $$ b). Trata-se de uma restrição da representação paramétrica anterior. Entretanto, como queremos apenas a parte da superfície em frente ao plano $yz$, consideramos $x\geq 0$. Ou seja, devemos considerar $5u^2+2v^2-10 \geq 0$ ou $5u^2+2v^2 \geq 10$.
Ache o ângulo entre duas retas no espaço que passam pela origem, no primeiro octante, sendo uma delas com ângulos diretores $\alpha_1=45^\circ$, $\beta_1=45^\circ$; e a outra com ângulos diretores $\alpha_2=\beta_2=60^\circ$ (Sugestão: cada par de retas forma um plano que contém um dos eixos coordenados -- por quê?).
$45^\circ$.
Encontre a equação da reta $r$ que passa por $A=(2,1,-1)$ e é perpendicular à reta $s: (2,0,0) + t(3,1,-1)$.
Inicialmente, vamos determinar o ponto $P_0$ sobre $s$ tal que $(P_0-A)\cdot(3,1,-1)=0$. Para isso, temos que $(P_0-A)=(2+3t,t,-t)-(2,1,-1)=(3t,t-1,1-t)$. Segue que $$(P_0-A)\cdot(3,1,-1)=0\Longleftrightarrow 9t+(t-1)-(1-t)=0 \Longleftrightarrow 11t=2\Longleftrightarrow t=11/2.$$ Logo, $$ P_0-A=(\frac{6}{11},-\frac{9}{11},\frac{9}{11})=\frac{3}{11}(2,-3,3), $$ e podemos tomar o vetor $(2,-3,3)$ como diretor. Assim, a reta procurada pode ser descrita parametricamente por $$ r: (2,1,-1) + t(2,-3,3),\quad t\in\mathbb{R}.$$
Determine a reta $t$, contida no plano $\pi : x-y+z=0$, e que é concorrente com as retas
$$\begin{cases} x+2y+2z=2\\ x=y \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \begin{cases} z=x+2\\ y=0 \end{cases}$$
Usando escalonamento, podemos ver que a primeira reta irá intersectar o plano $\pi$ no ponto $A=(2/3,2/3,0)$. Da mesma forma, a segunda reta irá intersectar $\pi$ no ponto $B=(-1,0,1)$. Assim, $t$ será a reta contida em $\pi$ e que passa por $A$ e $B$. Ou seja, tomando $B-A=(-5/3,-2/3,1)$ como vetor diretor, então podemos escrever $t$ na forma vetorial como $$ t: (2/3,2/3,0)+s(-5/3,-2/3,1),\quad s\in\mathbb{R}, $$ ou ainda, em termos de componentes, $$\begin{cases} x=\frac{2}{3}-s\frac{5}{3}, \\ y=\frac{2}{3}-s\frac{2}{3},\\ s,\quad s\in\mathbb{R}.\end{cases}$$
Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $49x^2-9y^2=441$. Esboce também o gráfico.
Sabendo que o sistema
$ \left\{\begin{array}{rrrl}x&+y&+z&=1\\mx&+2y&+3z&=0\\m^2x&+4y&+9z&=1\end{array}\right.$
admite uma única solução, podemos concluir que $m$ pode assumir todos os valores no intervalo real:
- $[0,1]$
- $[1,2]$
- $[3,4)$
- $[0,4]$.
Qual é o valor de $c_{23}$ na multiplicação das matrizes abaixo?
\[\left(\begin{array}[c]{rr}1 & -2\\5 & -2\\-4 & 4\\-1 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}
[c]{rrrr}-5 & 1 & 5 & -4\\-2 & 5 & 2 & 2\end{array}
\right) =\left(\begin{array}[c]{cccc}c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}\\c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34}\\c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44}\end{array}\right) .\]
Note que, como o enunciado apenas pede o valor da entrada \(c_{23}\), basta multiplicar a linha \(2\) da primeira matriz pela coluna \(3\) da outra:
\[c_{23}=\left(\begin{array}{cc} 5 & -2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right) =
5\cdot5 -2\cdot2 =21.\]
Encontre a equação do plano $\pi$ que passa pelos pontos $A=(0,0,2)$, $B=(2,4,1)$ e $C=(-2,3,3)$
$\pi:7x+14z=28$
Ache a equação da esfera que passa pelos pontos $(0,0,1)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e cujo centro está no plano $x+y-z=0$.
Considere a reta $r$ e o plano $\pi$ de respectivas equações
\[
\frac{x}{2}\ =\ \frac{1-y}{4}\ =\ z-3, \]
\[ x+y+2z\ =\ 1.\]
Determine a equação paramétrica da reta $s$ que é igual a projeção ortogonal da reta $r$ sobre o plano $\pi$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=-1+2t \\
y=-4t \\
z=1+t
\end{array}
\right. .$
- Encontre a equação da reta $r$ que passa pelos pontos $A=(3,5,3)$ e $B=(1,1,1)$.
- Considere $s$ a reta $(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,2,1).$ Verifique se as retas $r$ e $s$ são paralelas, reversas ou concorrentes.
- Ache, se possível, uma equação geral do plano que contém as retas $r$ e $s$.
- Calcule a distância entre as retas $r$ e $s$.
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+2t \\
y=1+4t \\
z=1+2t
\end{array}
\right. $. - Paralelas.
- $3x-2y+z=2.$
- $\sqrt{\frac{7}{3}}.$
Mostre que um sistema linear homogêneo de $m$ equações e $n$ incógnitas sempre tem soluções não triviais se $m < n$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2t$, $y=4t^2$ e $z=t$.
Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$, onde
\[A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 3 & 0 \\
3 & 2 & -2 \end{array}\right). \]
As raízes são: \(\lambda=-2\), \(\lambda=1\) e \(\lambda=3\).
Identificar a cônica $x^2-3y^2-2xy -x-y=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Sejam $\vec{A}$, $\vec{B}$ e $\vec{C}$ vetores no plano, com $\|\vec{A}\|=3$, $\|\vec{B}\|=2$ e $\|\vec{C}\|=6$. O ângulo entre $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é de $60^\circ$ e $\vec{C}$ está sobre a bissetriz deste ângulo. Faça um esboço do gráfico desses três vetores. Qual combinação linear de $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é igual a $\vec{C}$?
$\vec{C} = 2/\sqrt{3} \vec{A} + \sqrt{3} \vec{B}$.
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 5\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}-5 & 2 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.\]
Determine um vetor $\vec{a}=(x,y,z)$ que satisfaça as seguintes equações:
$$\vec{a} \times \vec{j}=\vec{k}$$
$$\vec{a} {\cdot}(\vec{i}+2\vec{j})=0,$$
onde $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$ são os vetores da base canônica de $\mathbb{R}^3$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=4\sin^2\theta$, $y=2\cos\theta$ e $z=2\sin\theta$.
Um homem parado num ponto $Q=(x,y)$ ouve o estampido de um rifle localizado no ponto $P_1=(1000,0)$ e o som do projétil atingindo o alvo no ponto $P_2=(-1000,0)$ ao mesmo tempo. Se o projétil viaja a $2000$ pés/s e o som a $1100$ pés/s, ache uma equação relacionando $x$ e $y$.
Seja $O$ a origem de um sistema de coordenadas no plano. Mostre que se $ABC$ é um triângulo qualquer, suas medianas se interceptam no ponto $$M=\frac{OA+OB+OC}{3}.$$
Identificar a cônica $x^2+3y^2-2xy+3=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Reduza a equação $x^2+4y^2+9z^2-4xy+6xz-12yz+4x-8y+12z+4=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Sendo $A=(-2,3)\;\mbox{e}\; B=(6,-3)$ extremidades de um segmento, determinar:
Os pontos $C,\;D\;\mbox{e}\; E$ que dividem o segmento $AB$ em quatro partes de mesmo comprimento.
Os pontos $F\;\mbox{e}\; G$ que dividem o segmento $AB$ em três partes de mesmo comprimento.
Reduza a equação $4x^2-2y^2+z^2=1$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$\dfrac{x^2}{1/4} - \dfrac{y^2}{1/2} + z^2 = 1$: hiperbolóide de uma folha.
Mostre que as diagonais de um losango cortam-se mutuamente em seu ponto médio e que são ortogonais entre si.
- Ache $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) .\] - Mostre que não existem $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) . \] - Existem $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}
\right) ?\]
- $x=-4$; $ y=3$; $z=3$; $w=-2$.
- \[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}x & 0\\z & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) . \]
Mas $0=1$ é absurdo. - \[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}[c]{cc}x+y & x+y\\w+z & w+z\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}
\right) .\]
Portanto, o sistema é sobredeterminado e impassível de solução.
Identifique a cônica $5 x^2+12 x y= 1$ e seu parâmetros associados.
Dada a reta $r:\;(x,y,z)=(3+t,1-2t,-1+2t)$, determinar as equações reduzidas das retas projeções de $r$ sobre os planos $xOy$ e $xOz$.
$r_{xOy}=(3+t',1-2t',0),\;r_{xOz}=(3+t,0,-1+2t)$
Sabendo-se que para toda matriz $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ com $\det(A)\neq 0$ existe uma matriz $\overline{A}$, também $n\times n$, tal que $\overline{A}A=I_n$, mostre que:
- se $B$ e $C$ são matrizes $n\times n$ tais que $BC=I_n$, então $CB=I_n$.
- se $\det(B)\neq 0$ ($B$ matriz $n\times n$), então existe uma única $B^{-1}$ tal que $BB^{-1}=B^{-1}B=I_n$.
Reduza a equação $7x^2 + 7y^2 + 10z^2 - 2xy - 4xz + 4yz - 12x + 12y + 60z = 24$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica e fazer um esboço gráfico da mesma: hipérbole com focos no eixo $x$, assíntotas $y=\pm 2 x $ e o ponto $P=(5,6).$
Sejam $(x,y,z)$ coordenadas em relação ao sistema usual de $\mathbb{R}^3$, $S_0=\{O,i,j,k\}$. Considere o paralelepípedo $P$ com vértices $(0,0,0)$, $(3,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,1)$ (quais são os outros quatro?). Determine os vetores que representam as quatro diagonais de $P$. Escolha três deles e mostre que formam uma base de $R^3$. Chame esta base de $\beta =\{V_1,V_2,V_3\}$.
Identifique a cônica descrita pela equação $16x^2+16y^2-16x+8y-59=0$.
Determine a superfície dada pela representação paramétrica $\sigma(u,v) = (u, u\cos v, u\sin v)$.
Vamos, primeiro, escrever as equações paramétricas $x=u$, $y = u\cos v$ e $z=u\sin v$. Somando os quadrado de $y$ e $z$, temos $$ y^2 + z^2 = u^2\cos^2v+u^2\sin^2v= u^2(\cos^2v+\sin^2v)=u^2=x^2.$$ Assim, somos capazes de eliminar os parâmetros e então a equação em $x$, $y$ e $z$ fica dada por $x^2= y^2+z^2$. O prévio conhecimento da forma reduzida das superfícies quádricas nos permite dizer que se trata de um cone abrindo-se ao longo do eixo $x$.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+2x+y^2+2y+2=0$.
Sejam $a,b,c$ três vetores não coplanares e denotemos por $[a,b,c]$ o produto misto $a\cdot(b\times c)$. Os vetores
$$a'=\frac{b\times c}{[a,b,c]},\; b'=-\frac{a\times c}{[a,b,c]},\; c'=\frac{a\times b}{[a,b,c]}$$
são chamados os vetores recíprocos aos vetores $a,b,c$.
Uma das utilidades dos vetores recíprocos consiste em encontrar as coordenadas de um vetor $v$ qualquer em termos dos vetores $a,b,c$. Isto é, queremos encontrar escalares $x,y,z$ tais que
$$ v=xa+yb+zc. $$
Mostre que, $$v = (v\cdot a')a \; + \; (v\cdot b')b \;+\; (v\cdot c')c.$$ Ou seja,
$$ x=v\cdot a', \; y=v\cdot b', \; z=v\cdot c'. $$
Mostre que se $a,b,c$ são três vetores unitários, dois a dois ortogonais e que satisfazem a regra da mão direita, então $a'=a$, $b'=b$ e $c'=c$ (ou seja, neste caso os vetores recíprocos de $a,b,c$ são eles próprios). Em particular, segue que $$v = (v\cdot a) a \; + \; (v\cdot b) b \;+\; (v\cdot c) c.$$
Verifique que se
$$ v=xa'+yb'+zc', $$
então $$v = (v\cdot a)a' \; + \; (v\cdot b)b' \;+\; (v\cdot c)c'.$$
Mostre que valem as relações
$$ a'\cdot a = b'\cdot b = c'\cdot c =1,$$
$$a'\cdot b =a'\cdot c = b'\cdot a = b'\cdot c = c'\cdot a = c'\cdot b = 0. $$
Em outras palavras, o produto escalar de vetores correspondentes é $1$, enquanto que o produto escalar de vetores não-correspondentes é $0$.
Reciprocamente, mostre que se
$$ A\cdot a = B\cdot b = C\cdot c =1,$$
$$A\cdot b = A\cdot c = B\cdot a = B\cdot c = C\cdot a = C\cdot b = 0, $$
então
$$ A=a', \; B=b', \; C=c'.$$
Conclua que os vetores recíprocos de $a',b',c'$ são exatamente $a,b,c$.
Sejam $F_{1}$ e $F_{2}$ dois pontos fixos do plano que distam $8$ unidades um do outro. Ou seja, $\text{dist}(F_{1},F_{2}) = 8$.
Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos $P$ desse plano que satisfazem a condição:
\[ \text{dist}(P,F_{1}) + \text{dist}(P,F_{2}) = 10,\]
em cada um dos seguintes casos:
$F_{1} = (-c,0)$ e $F_{2} = (c,0)$, onde as coordenadas foram tomadas em relação ao sistema $xy$ da Figura 1 acima, e cada ponto $P$ tem coordenadas $(x,y)$ tomadas em relação a $\textbf{o}$.
$F_{1} = (-5,2)$ e $F_{2} = (3,2)$, onde as coordenadas foram tomadas em relação ao sistema $XY$ da Figura 2 acima, e cada ponto $P$ tem coordenadas $(X,Y)$ tomadas em relação a $\textbf{O}$.
$F_{1}$ e $F_{2}$ estão sobre o eixo $X$ do sistema $XY$ da Figura 2 acima, são simétricos em relação ao eixo $Y$, e cada ponto $P$ tem coordenadas $(x,y)$ tomadas em relação a $\textbf{o}$.
Resolver o sistema linear:
\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]
$y = \dfrac{-6 x}{5}, z = \dfrac{-4 x}{5}, t = \dfrac{3 x}{5}, \forall x \in \mathbb{R}$.
Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]
Esse sistema linear possui infinitas soluções.
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $9y^2-9x^2+6x=1$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Mostre que a equação $17x^2+2y^2+z^2-8xy-6xz-2=0$ representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.
$r:\dfrac{x+6}{2}=y+3=z+1$ e $S:x^2+y^2+z^2-4x+2y-4z+4=0$.
Dados dois vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$, e $\theta$ o ângulo entre eles, ache fórmulas para $\|\vec{A} + \vec{B}\|$ e $\|\vec{A} - \vec{B}\|$ (Sugestão: use a Lei dos Cossenos).
$\|\vec{A} + \vec{B}\|^2=\|\vec{A}\|^2+\|\vec{B}\|^2 +2\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos\theta$.
Dados: a esfera $\mathcal{S}$ de centro $C=(h,k,p)$ e raio $r$ e $P=(x_1,y_1,z_1)$ um ponto da esfera, mostre que: $\pi\cap \mathcal{S}=\{P\}$, onde $\pi$ é o plano que é normal ao vetor $\vec{CP}$ e passa por $P$. Tal plano é chamado de plano tangente à esfera por $P$.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
4&-2&2\\ -5&7&-5\\ -6&6&-4
\end{pmatrix}.
$
As raízes são: \(x=3\) e \(x=2\), esta última com multiplicidade dupla.
- Encontre o seu centro e seu raio.
- Encontre a equação do plano tangente à esfera e que passa pelo ponto $P=(2,1,4)\in S$.
Completando quadrados, temos que $(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=16$. Ou seja, a esfera tem centro $C=(2,1,0)$ e raio 4.
O plano tangente terá normal $n=P-C=(0,0,4)$ e passa por $P$ (enunciado). Logo, ele é dado por $\displaystyle z=4$.
Reduza a equação $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2y + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2y + 1 = 0$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+KX-6=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ K=\begin{pmatrix}0 & -2 & 0\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & -1 & 0 \\1 & 0 & 1\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 1 \\0 & -1-\lambda & 0 \\1 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+\lambda^2+2\lambda.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $0$, $2$ e $-1$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $0$ e $2$: $A X = 0$ e $(A-2I)=0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas são $U_1=(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$ e $U_2=(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (0,-1,0)$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2y + 1 = 0$ se transforma em:
$$\dfrac{(z'-1)^2}{2}-(y')2=1,$$
que é a equação de um cilindro hiperbólico.
Considere as retas $r$ e $s$ de respectivas equações
\[
r:\ \frac{x-2}{2}\ =\ y\ =\ z+1, \ s:\ x\ =\ y+1\ =\ z-
2
\]
- Verifique se as retas $r$ e $s$ são paralelas, concorrentes ou reversas.
- Determine a equação da reta $t$ perpendicular e concorrente com as retas $r$ e $s$.
- Calcule o ângulo e a distância entre as retas $r$ e $s$.
- Reversas.
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=-4 \\
y=-5-t \\
z=-2+t
\end{array}
\right. .$ - Ângulo $\left( r,s\right) =\arccos \frac{4}{\sqrt{18}} $; dist$(r,s)=\sqrt{8}.$
Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ e curva diretriz situada no plano $z=c$ com equação $f(x,y)=0$ é $$f(x_0+\dfrac{c-z_0}{z-z_0}(x-x_0), y_0+\dfrac{c-z_0)}{z-z_0}(y-y_0))=0. $$
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Mostre que para dois vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$, $\|\vec{A}\| - \|\vec{B}\| \leq \|\vec{A} \pm \vec{B}\| \leq \|\vec{A}\| + \|\vec{B}\|$. Em que condições vale a igualdade?
$\|\vec{A} - \vec{B}\|^2=\|\vec{A}\|^2+\|\vec{B}\|^2- 2\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos\theta$.
Considere três vetores do $\mathbb{R}^{3}$: $u = (1,0,-1)$, $v = (1,1,1)$ e $w = (x,y,z)$.
Se $w = (-1,-5,-9)$, mostre que existem escalares $a$ e $b$ tais que $w = au + bv$.
Ainda para $w = (-1,-5,-9)$, existem escalares $a', b'$ tais que $(a',b') \ne (a,b)$ e $w = a'u + b'v$?
Para todo $w$ existem escalares $a$ e $b$ tais que $w = au + bv$ como no item anterior?
Existe alguma relação entre as perguntas acima e o estudo de sistemas?
- $a=4$ e $b=-5$.
- Não.
- Não. Com apenas dois vetores não é possível gerar todos os vetores de $\mathbb{R}^3$. Por exemplo, não existem $\alpha$ e $\beta\in\mathbb{R}$ tais que $\alpha u + \beta v=(-1,5,9)$.
- Uma conclusão básica é que nem todo sistema de três equações e duas incógnitas terá solução. Mais conclusões são possíveis.
Mostre a seguinte propriedade de Reflexão da Parábola: A reta tangente em um ponto $P$ da parábola faz ângulos iguais com a reta que passa por $P$ paralela ao eixo de simetria e com a reta que passa por $P$ e o foco. (Sugestão: Escolha os eixos coordenados de tal modo que a parábola tenha a equação $x^2=4py$.
Mostre que a reta tangente em $P(x_0,y_0)$ intersecta o eixo $y$ no ponto $Q(0,-y_0)$ e que é isósceles o triângulo cujos três vértices estão em $P$, $Q$ e o foco.
- Mostre que $\mathcal{B}$ é uma base para $\mathbb{R}^{3}$.
- Encontre a matriz de mudança de coordenadas $A$ da base canônica $\{i,j,k\}$ de $\mathbb{R}^{3}$ para a base $\mathcal{B}$. Qual é matriz de mudança de coordenadas $A^{\prime}$ da base $\mathcal{B}$ para a base canônica?
- Quais são as coordenadas dos vetores canônicos $i,j$ e $k$ em relação à base $\mathcal{B}$?
- Se o ponto $P$ tem coordenadas $(1,-2,5)$ no sistema $\{O,i,j,k\}$, quais são as coordenadas de $P$ no sistema $\{O,\mathcal{B}\}$?
- Pois $\det\left[\begin{array}[c]{ccc}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] =2\neq0$.
- $A^{\prime}=\left[\begin{array}[c]{ccc}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] ;A=(A^{\prime})^{-1}=\left[\begin{array}[c]{rrr}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\-\overset{}{\frac{1}{2}} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\overset{}{\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] $.
- São as colunas de $A$, respectivamente: $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) ,\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) $ e $\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) $.
- $(-3,1,4).$
Mostre que não existe $x$ tal que os vetores $v=(x,2,3)$ e $u=(x,-2,3)$ sejam perpendiculares.
Para que $v$ e $u$ fossem perpendiculares, seria necessário haver $x$ tal que $v\cdot u= x^2-4+9=0$, ou seja, $x$ tal que $x^2=-5$. Mas não há $x\in \mathbb{R}$ que satisfaça essa equação.
Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam do plano $\pi: x=2$ e do ponto $P=(-2,0,0)$. Que conjunto é este?
Reduza a equação $2x^2+y^2+2z^2+2xy-2yz=1 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(a,0)$, $(b,0)$ e $(0,c)$. Ache também seu centro, raio, e faça um esboço de seu gráfico.
Mostre que o segmento que une os pontos médios de 2 lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e é igual a sua metade.
Considere o triângulo $ABC,$ sendo $M$ o ponto médio do lado $AC$ e $N$ o do lado $BC.$ Assim, podemos escrever $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}.$
Portanto, concluímos que $MN//AB$ e $\left\Vert \overrightarrow{MN}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert .$
Ache o ângulo entre duas retas no espaço que passam pela origem, no primeiro octante, sendo uma delas com ângulos diretores tais que $\cos \alpha_1=\cos \beta_1$, $\cos \gamma_1=1/3$; e a outra com ângulos diretores tais que $\cos \alpha_2=\cos \beta_2$, $\cos \gamma_2=1/4$ (Sugestão: cada par de retas forma um plano que contém um dos eixos coordenados -- por quê?).
$\cos^{-1} (1/4) - \cos^{-1} (1/3)$.
Considere a forma quadrática $2x^2+8xy+2y^2+x+y-9=0$. Escreva-a numa base conveniente e identifique qual é a cônica e seus paramêtros associados.
Sejam $\vec{OA}$ e $\vec{OB}$ dois vetores não colineares no espaço. Qual o conjunto dos pontos $P$ tais que $\vec{OP} = \lambda\vec{OA}+(1-\lambda)\vec{OB}$?
Trata-se da reta passando pelos pontos $A$ e $B$.
Identifique a cônica descrita pela equação $4x^2-12xy+9y^2-6x+9y-4=0$.
Se $(4,5)$ divide internamente um segmento de reta na razão $3:2$ e uma extremidade é $(-1,2)$, ache a outra extremidade.
$(22/3,7)$, $(23/2,19/2)$ (duas respostas internas).
Encontre ou mostre a impossibilidade de encontrar $\gamma\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle x^2+3y^2-2xy=\gamma$ represente uma elipse.
Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por $r=3\cos\theta$.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+y^2+(1/3)xy+6x+8y-5=0$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$, em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]
Seja $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma função definida por $f(x,y) = (2x+y,x-y)$. Ache o(s) valor(es) de $\lambda$ para que a equação $f(x,y) = \lambda(x,y)$ possua solução $(x,y) \neq 0$.
$\lambda=\dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ou $\lambda=\dfrac{1 - \sqrt{13}}{2}$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]
O sistema não possui solução.
Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos $P(x,y,z)$ que estão eqüidistantes do ponto $(0,0,1)$ e do plano $z=-1$. Identifique a superfície.
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(4,0)$, $(0,3)$ e a origem.
Para o par de vetores $u=(3,1,-3)$ e $v=(2,-3,1)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.
Posto que $u \cdot v=0$, $u$ e $v$ são ortogonais. Assim, a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ é zero. Nesse caso, $v_1=0$ e $v_2=v$.
Determine, caso exista, uma reta que passa por $P$ e intercepta $r$ e $s$ nos pontos $A$ e $B$ de modo que os segmentos $AP$ e $BP$ sejam congruentes, nos seguintes casos:
- $P=(1,1,9)$, $r=\{ (0,-4,1)+t(2,1,0),t\in\mathbb{R}\}$ e $s=\{(0,-3,-3+t(1,0,2),t\in\mathbb{R}\}$
- $P=(1,2,3)$, $r=\{ t(1,0,1),t\in\mathbb{R}\}$ e $s=\{(1,1,1)+t(2,1,1),t\in\mathbb{R}\}$
Interprete geometricamente.
Suponha que:
$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}a x &+& b y & = & 0\\c x &+& d y & = & 0 \end{array} \right. ,$$
sejam duas equações de retas, onde $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais.
O que significa, geometricamente, o fato de que os termos independentes são nulos?
Como estudar a existência/tipo de interseções entre essas duas retas usando sistemas lineares?
- Significa que ambas as retas passam pela origem do plano cartesiano. Afinal, ponto $(x,y)=(0,0)$ satisfaz ambas as equações do sistema.
- Posto que as duas retas passam pelas origem, esse tipo de sistema possui sempre ao menos uma solução, ponto de interseção das retas, a origem. Restando a possibilidade de, se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo, que as retas sejam coincidentes.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=2sen2\theta$.
Usando a relação entre coordenadas polares e rectangulares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle x^2+y^2=2\sin(2\arctan\dfrac{y}{x}), \quad x\neq 0.$
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]
Esse sistema possui infinitas soluções.
Sejam os pontos $A=(-1,-1,2),\;B=(2,1,1) \;\mbox{e}\;C=(m,-5,3)$.
Para que valores de $m$ o triângulo $ABC$ é retângulo em $A$?
Determinar o ponto $H$, pé da altura relativa ao vértice $A$.
Dado um plano qualquer com um sistema de coordenadas $xy$, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $4x^2+9y=144$. Esboce o gráfico.
Resolver o sistema linear:
\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]
$y = \dfrac{-6 x}{5}, z = \dfrac{-4 x}{5}, t = \dfrac{3 x}{5}, \forall x \in \mathbb{R}$.
Verifique se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Usando operações de linha equivalência escalone as (encontre a forma escalonada das) que não estiverem na forma escalonada.
- $ \begin{pmatrix}1&-2&-1&0\\1&\phantom{-}0&-1&1\\0&\phantom{-}1&\phantom{-}0&2\end{pmatrix}, $
- $ \begin{pmatrix}1&0&0&5&0\\0&1&0&2&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}. $
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2\sin^2t$, $y=\sin(2t)$ e $z=2\cos t$.
Determine a curva definida pela intersecção das superfícies cilíndricas $x^2+z^2=1$ e $y^2=4x$.
Para quais valores de $m$ os pontos $A=(m,1,2), B=(2,-2,-3), C=(5,-1,1)$ e $D=(3,-2,-2)$ são coplanares?
$m=\pm 4$
Tome $x'y'$ o sistema de eixos do plano que é a translação do sistema $xy$ para a nova origem $O'=(1,1)$, i.e., $ x'=x-1$ e $y'=y-1$.
Dado o ponto $P=(1,4)$ no sistema $xy$, encontre as coordenadas de $P$ no sistema $x'y'$.
Dado o ponto $A=(2,1)$ no sistema $x'y'$, encontre as coordenadas de $A$ no sistema $xy$.
Considere a reta $\mathcal{L}$ que no sistema $xy$ tem equação $2x - 3y + 4 = 0$. Qual seria a equação de $\mathcal{L}$ no sistema $x'y'$? Mudando-se a equação, muda-se $\mathcal{L}$ de lugar? O desenho muda?
Dada a curva $\mathcal{C}$, do plano, cujos pontos têm coordenadas $(x,y)$, no sistema $xy$, satisfazendo a equação $x^2-4x+y^2-6y=12$, encontre a equação que os pontos de $\mathcal{C}$ com coordenadas $(x',y')$ no sistema $x'y'$ devem satisfazer nas variáveis $x'y'$.
Em cálculo de uma variável vemos que se $x_0$ é um extremo local (máximo ou mínimo) de uma função $f(x)$, então a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0$ é horizontal, ou seja, $f'(x_0)=0$.
Encontre uma relação similar entre um extremo local de uma função de duas variáveis e o plano tangente ao seu gráfico.
Use esta relação para encontrar os extremos locais da função $\displaystyle f(x,y)=2x^2+2y^2-2x-6y+14$.
Verifique se sua resposta no item anterior está correta completando os quadrados em $f(x,y)$ e identificando a quádrica.
A equação $x^{2}=1$ possui apenas duas soluções reais: $x=1$ e $x=-1$. Ache todas as matrizes $2\times2$ que são soluções da equação matricial $X^{2}=I$, onde $I$ é a matriz identidade $2\times2$.
Cujas soluções são:
$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{1-x^2}{y} & -x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & -1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 &-1\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]
$x_3 = \dfrac{-19+2 x1- 4 x2}{3}, x_4 = \dfrac{ 41 - 4 x_1 + 8 x_2}{3}, x_5 = \dfrac{5- x_1+2 x_2}{3}, \forall x_1, x_2\in \mathbb{R}$.
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica e fazer um esboço gráfico da mesma: parábola com vértice na origem e foco $F=(3,0).$
Resolver o sistema linear:
\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]
Encontre um vetor $u$ que seja ortogonal aos vetores $(2,3,-1)$ e $(2,-4,6)$ tal que $\parallel u\parallel = 3\sqrt{3}$.
$u=\pm(-3,3,3)$.
Quais são os cossenos diretores de cada eixo coordenado?
$1,0,0$; $0,1,0$; $0,0,1$.
Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$, com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$. Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$; para cada unidade de $p_2$, $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$; e para cada unidade de $p_3$, $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$. Utilizando matrizes, determine quantas unidades de $m_1$ e $m_2$ são necessárias na produção de $x$ unidades de $p_1$, $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$.
Seja $A$ a matriz $2 \times 3$ tal que sua primeira linha contenha informações sobre $m_1$ e a segunda linha informações sobre $m_2$, e a primeira, segunda e terceira colunas informações sobre $p_1$, $p_2$ e $p_3$, respectivamente:
$$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix} \text{ e } X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$$
então a multiplicação $AX$ nos dá o vetor tal que a sua primeira linha seja a quantidade de $m_1$ necessária e sua segunda linha a quantidade de $m_2$:
$$AX=\begin{pmatrix} x+y+z \\ 2x+y+4z \end{pmatrix}.$$
Considere a quádrica $x^2 +(m+1)y^2 +mz^2-2yz+2xy+2x+2z+4 = 0$, calcule $m$ para que a quádrica seja um parabolóide hiperbólico e obtenha sua equação reduzida.
Reduza a equação $2x^2+y^2-4xy-4yz+12x+6y+6z=1 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Dados três pontos $A = (2,1,3)$, $B = (5,-1,2)$ e $C = (1,2,-3)$, encontre um quarto ponto $D$ de forma que os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ sejam os vértices de um paralelogramo (Dica: Queremos $D$ de forma que $\overrightarrow{CD}$ seja paralelo a $\overrightarrow{AB}$ e tenha mesmo comprimento.).
$D=(4,4,-2)$
Para o par de retas $r$ e $r^{\prime}$ abaixo encontre o ponto de interseção, $r\cap r^{\prime}$, se existir. E nos casos em que a interseção é vazia decida se elas são paralelas ou reversas.
$r:$ $(x,y,z) = (2,-3,-2) + t(4,-1,3) \;\;\;$ e $r^{\prime}:$ $\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y+z=-2 \\ x-y+2z=1\end{array} \right. .$
Usando escalonamento, podemos obter que a intersecção ocorre para $t=0$. Assim, o ponto de intersecção consiste em $(2,-3,-2)$.
Sejam $u=(1,-1,3)$ e $v=(3,-5,6)$ dois vetores. Encontre $\mathrm{proj}_{u+v} (2u-v)$.
$\dfrac{1}{133}(-88,132,-198)^T$
Identificar a cônica $8y^2+6xy-12x-26y+11=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\; \begin{cases}\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4} \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ r_2:\; \begin{cases}x=-1+t\\ y=4-t\\ z=-8+3t\end{cases}$$
As retas não são concorrentes.
O momento escalar ou torque sobre o ponto $P$ de uma força $\vec{F}$ aplicada a um ponto $Q$ é dado por $\|\vec{PQ} \times \vec{F}\|$. Uma força $\vec{F}$ com magnitude de $10 N$ é aplicada na direção $y$ positiva sobre o ponto $Q=(1,1,1)$ em um cubo com lados de tamanho $1m$. Determine o momento escalar de $\vec{F}$ sobre o ponto $P = (0,0,0)$. Faça um esboço do gráfico, indicando a força e o momento escalar.
Mostre que
$$ u\cdot(v\times w)=\|u\|\;\|v\|\;\|w\|\;\sqrt{ \det\left(\begin{array}{ccc} 1 & \cos(u,v) & \cos(u,w) \\ \cos(u,v) & 1 & \cos(v,w) \\ \cos(u,w) & \cos(v,w) & 1 \\\end{array}\right)}, $$
onde, por exemplo, $\displaystyle \cos(u,v)=\frac{u\cdot v}{\|u \|\|v\|}$.
(Dica: Verifique primeiro que, para um tetraedro cujos vértices têm coordenadas
$$ (x_1,y_1,z_1),\; (x_2,y_2,z_2),\; (x_3,y_3,z_3),\; (x_4,y_4,z_4), $$
o seu volume é dado por
$$ Vol=\frac{1}{6}\det\left(\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\\end{array}\right).$$
Seja $\vec{v}\ne 0$ um vetor do $\mathbb{R}^{3}$ e sejam $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ os ângulos que $\vec{v}$ faz com os eixos coordenados $X$, $Y$ e $Z$, respectivamente. Mostre que:
se $\|\vec{v}\| = 1$, então $\vec{v} = (\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma))$ (Dica: calcular os cossenos de $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ fazendo o produto escalar de $\vec{v}$ com os vetores de comprimento $1$ na direção dos eixos coordenados. Como é um vetor de comprimento $1$ na direção de $X$? Isto é, sobre o eixo $X$.).
para um vetor $\vec{v}$ qualquer, vale que $\vec{v} = \|\vec{v}\|(\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma))$.
$\cos^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\beta) + \cos^{2} (\gamma) = 1$.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]
$z = 4 - 5 x - 2 y, t = 8 - 9 x - 5 y, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;\begin{cases} y=2x-3\\ z=-x+5 \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ r_2:\;\begin{cases}y=3x+7\\ z=x+1\end{cases}$$
As retas não são concorrentes.
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $36x^2-24x+36y^2-36y+14=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Encontre condições sobre o vetor $v=(a,b,c)$ para que exista uma reta na direção de $v$ que intercepte simultaneamente as retas $r$ e $s$:
$$r:\begin{cases} x= 1 + t\\y = -2 - t\\z = 3 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ s:\begin{cases} x= 1 + 2t\\y = -2\\z = 3 + t \end{cases}$$
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de cartesianas para polares:
- $(7,7)$,
- $(1,-\sqrt{3})$,
- $(-3,-3\sqrt{3})$,
- $(0,7)$,
- $(0,-2)$.
Considere as matrizes
\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}2 & -3 & -5\\-1 & 4 & 5\\1 & -3 & -4\end{array}\right) \text{, }B=\left(
\begin{array} [c]{rrr}-1 & 3 & 5\\1 & -3 & -5\\-1 & 3 & 5\end{array}\right) \text{ e }C=\left(
\begin{array}[c]{rrr} 2 & -2 & -4\\-1 & 3 & 4\\
1 & -2 & -3 \end{array}\right) .\]
- Mostre que $AB=BA=0$, $AC=A$ e $CA=C$.
- Use os resultados do item anterior para mostrar que $ACB=CBA$, $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ e $(A\pm B)^{2}=A^{2}+B^{2}$.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmações:
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço, com $v$ não nulo e $v\times u=v\times w$, então $u=w$.
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço então: $\mid u\cdot(v\times w) \mid=\mid v\cdot(u\times w) \mid=\mid w\cdot(v\times u) \mid=\mid v\cdot(w\times u) \mid$.
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço, então $u\times (v\times w)= (u\times v)\times w$.
Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço, $u$ é não nulo e $u\times v=u\times w=\vec{0}$, então $v\times w=\vec{0}$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]
A mudança de coordenadas entre os sistemas $xy$ e $x_{1}y_{1}$ é feita através de uma matriz ortogonal $U$, como segue
\[ \begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{\,4}{5}} \\{\frac{\,-4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\quad \text{ e }\quad\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{-4}{5}} \\ {\frac{\,4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix},\quad \text{ lembrar que } U^{-1} = U^{t}.\]
Já a mudança entre os sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$ é dada por $X = x_{1}+1$, $Y = y_{1}+1$.
Encontre as equações das retas suporte do eixo $X$ e do eixo $Y$ em relação aos sistemas $x_{1}y_{1}$ e $xy$.
Encontre as equações das retas suporte do eixo $x_{1}$ e do eixo $y_{1}$ em relação ao sistema $xy$.
Seja $\mathcal{L}$ a reta cuja equação no sistema $xy$ é dada por $y = 2x + 1$. Encontre as equações de $\mathcal{L}$ em relação aos eixos $x_{1}y_{1}$ e $XY$.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]
O sistema não possui solução.
Encontre a equação do plano $\pi$ que é perpendicular ao plano $x+3y-z=7$ e contém os pontos $A=(2,0,5)$ e $B=(0,2,-1)$.
Consideremos os vetores $v_1=(1,3,-1)$ (normal ao plano
perpendicular) e $v_2=B-A=(-2,2,-6)$. Note que estes vetores estão
contidos no plano procurado e não são paralelos, com $v_1\times
v_2=(-16,8,8)$. Logo, o plano procurado pode ser descrito por $$\pi:
-16x+8y+8z=(-16,8,8)\cdot A=8\Longleftrightarrow -2x+y+z=1. $$
Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$.
\[
A = \left( \begin{array}{ccc}
2 & -2 & 3 \\
0 & 3 & -2 \\
0 & -1 & 2
\end{array}\right). \]
\[\lambda\in\{1,2,4\}\]
Sejam $A=(1,2,-1)$, $B=(5,0,1)$, $=C(2,-1,1)$ e $D=(6,1,-3)$ os vértices de um tetraedro. Calcule:
o volume deste tetraedro;
a sua altura relativa ao vértice $D$.
1. Os três vetores que determinam este tetraedro poderiam ser $
\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{AD}$. Como $ \overrightarrow{AB}$ $=\left( 4,-2,2\right) $, $\overrightarrow{AC}$ $ =\left( 1,-3,2\right) $ e $\overrightarrow{AD}$ $=\left( 5,-1,1\right) $ e $V_{T}=\frac{\left\vert \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right] \right\vert }{6}$, então
$\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]
=\left\vert
\begin{array}{ccc}
4 & -2 & 2 \\
1 & -3 & 2 \\
5 & -1 & 1
\end{array}
\right\vert =36$.
Assim, concluímos que o volume do tetradro é $V_{T}=\frac{\left\vert 36\right\vert }{6}=6$.
2 . Os vetores que determinam o tetraedro são $\overrightarrow{AB},$ $
\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{AD}.$ Sabemos que o volume do
tetraedro é dado por $V_{T}=\frac{A_{b}h}{6}$, onde $A_{b}$ é a área da base e $h$ é a altura. Como a área da base é um triângulo determinado pelos vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}, $ $A_{b}=\frac{\left\vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right\vert }{2}$.
Por outro lado, do cálculo vetorial temo que $V_{T}=\frac{\left\vert
\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]
\right\vert }{6}.$ Então, temos $\left\vert \left[ \overrightarrow{AB},
\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right] \right\vert =\left\vert
\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right\vert h$ $\Longrightarrow h=\frac{\left\vert \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right] \right\vert }{\left\vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right\vert }.$
Como $\overrightarrow{AB}$ $=\left( 4,-2,2\right) $, $\overrightarrow{AC}$ $
=\left( 1,-3,2\right) $e $\overrightarrow{AD}$ $=\left( 5,-1,1\right) $, temos $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right] =36$ e
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left\vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
4 & -2 & 2 \\
1 & -3 & 2
\end{array}
\right\vert =2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}-10\overrightarrow{k}.$
Logo, $\left\vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right\vert =2 \sqrt{35}$. Portanto, concluímos que $h=\frac{18\sqrt{35}}{35}$.
Determinar $u\cdot v$, sabendo que $\|u\times v\|=12$, $\|u\|=13$ e $v$ é unitário.
Usando que $\| u\times v\|=|u||v|\sin\theta$, obtemos que
$\sin\theta=\dfrac{12}{13}$, onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores
$u,v\in\mathbb{R}^3$. Por conseguinte, temos que
$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-(\dfrac{12}{13})^2}=\dfrac{5}{13}$.
Logo, $u\cdot v=|u||v|\cos\theta=13\cdot 1\dfrac{5}{13}=5$.
Mostre que os pontos em coordenadas polares $ \left(1,\frac{\pi}{3}\right)$, $ \left(\sqrt{3},\frac{\pi}{6}\right)$, e $\left(1,0\right)$ são vértices de um triângulo equilátero.
Suponha que os eixos coordenados estejam fixos, mas a posição $P(x,y)$ de um inseto é movida para uma nova posição $P'(x',y')$ através de uma rotação do ponto por um ângulo $\alpha$ em torno da origem. Naturalmente, nesta rotação o ponto $P$ estará sempre sobre um círculo fixo com centro na origem. Mostre que a nova posição do inseto será \begin{align*} x' & = x\cos\alpha - y\sin\alpha \\ y' & = x \sin\alpha + y\cos\alpha \end{align*}.
Sejam $\vec{u},\; \vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores. Sabendo que $\vec{u}$ é ortogonal a $\vec{v} - \vec{w}$ e $\vec{v}$ é ortogonal a $\vec{w} - \vec{u}$, verifique que $\vec{w}$ é ortogonal a $\vec{u} - \vec{v}$.
Como $\vec{u}\cdot(\vec{v}-\vec{w})=0$, temos que
$\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}$. Da mesma forma, como
$\vec{v}\cdot(\vec{w}-\vec{u})=0$, decorre que
$\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{u}$. Assim, usando a simetria do
produto interno euclidiano, segue que
$$
\vec{w}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}-\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}=0.$$
Encontre a equação da reta $r$ que passa pelos pontos $(-2,1,-3)$ e $(-4,0,2)$.
Um vetor diretor pode ser tomado pela diferença $(-4,0,2)-(-2,1,-3)=(-2,-1,5)$. Assim, temos a seguinte forma paramétrica $$ r: (-2,1,-3)+t(-2,-1,5)\quad t\in\mathbb{R}.$$
Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]
$x_3 = 2 - \dfrac{x_1- 9 x_2}{4} , x_4 = -\dfrac{5x_1-x_2}{4}, \lambda = 0, \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]
$x_2 = \dfrac{13-2 x_1}{5}, x_3 = \dfrac{1+x_1}{5}, x_4 = \dfrac{9-x_1}{5}, \forall x_1\in\mathbb{R}.$
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=(t^2-1,t^2+1)$.
Sejam $\vec{A}$, $\vec{B}$ e $\vec{C}$ vetores no plano, com $\|\vec{A}\|=2$, $\|\vec{B}\|=3$ e $\|\vec{C}\|=4$. O ângulo entre $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é de $120^\circ$, entre $\vec{A}$ e $\vec{C}$ é de $135^\circ$ e entre $\vec{B}$ e $\vec{C}$ é de $105^\circ$. Faça um esboço do gráfico desses três vetores. Qual combinação linear de $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é igual a $\vec{C}$?
$\vec{C} = -(\sqrt{2}+\sqrt{2/3})\vec{A} + -(4\sqrt{2})/(3\sqrt{3}) \vec{B}$.
Determinar os ângulos internos de um triângulo $ABC$, sendo$A=(3,-3,3)$, $B=(2,-1,2)$ e $C=(1,0,2)$.
Se $V$ é o vetor que satisfaz as condições:
$V$ é ortogonal aos vetores $(1,0,2)$ e $(-2,1,0);$
$\left\| V\right\| =\sqrt{21};$
o ângulo entre $V$ e o vetor $(0,1,2)$ é menor que $90^{\circ }.$
Encontre o ponto final do representante de $V$ que tem ponto inicial em $(9,0,-2)$.
$(11,4,-3)$.
As coordenadas esféricas estão relacionadas com as coordenadas em longitude e latitude usadas na navegação. Para ver como, vamos definir um sistema de coordenadas retangulares satisfazendo a regra da mão direita, com sua origem no centro da Terra, o seu eixo $z$ positivo passando pelo Pólo Norte e o seu eixo $x$ positivo passando pelo meridiano principal. Supondo a Terra uma esfera de raio $\rho=4000$ milhas, então cada ponto sobre a Terra tem coordenadas esféricas da forma $(4000,\theta,\phi)$, onde $\phi$ e $\theta$ determinam a latitude e a longitude do ponto. É comum especificar longitudes em graus leste ou oeste do meridiano principal e latitudes em graus norte ou sul do Equador. A cidade de New Orleans, nos EUA, está localizada a $90^\circ$ de longitude oeste e $30^\circ$ de latitude norte. Determine as coordenadas esféricas e retangulares associadas a esta localização (suponha que a distância esteja em milhas).
Uma longitude de $90^\circ$ oeste corresponde a $\theta=360^\circ-90^\circ=270^\circ$ ou $\theta=3\pi/2$ radianos; enquanto $30^\circ$ de latitude norte corresponde a $\phi=90^\circ-30^\circ=60^\circ$ ou $\phi=\pi/3$ radianos. Assim, as coordenadas esféricas $(\rho, \theta,\phi)$ de New Orleans são $(4000,3\pi/2,\pi/3)$. Para determinarmos as coordenadas rectangulares, aplicamos as fórmulas de conversão de esféricas para retangulares. Assim, obteremos \begin{align*} x &=4000\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{3\pi}{2}=4000\dfrac{\sqrt{3}}{2}(0)= 0\ \text{milhas} \\ y & = 4000\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{3\pi}{2}=4000\dfrac{\sqrt{3}}{2}(-1)=-2000\sqrt{3}\ \text{milhas} \\ z& = 4000\cos\dfrac{\pi}{3}=4000(\dfrac{1}{2})=2000\ \text{milhas}.\end{align*}
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A=\begin{pmatrix}
3&4\\ 5&2
\end{pmatrix}.
$
\(x=7\) ou \(x=-2\)
Uma piscina olímpica pode ser vista como um paralelepídeo. Pesquise as medidas padronizadas de uma piscina olímpica e e calcule, utilizando o produto misto, o volume de água utilizado para enchê-la. Defina o sistema de coordenadas e os três vetores do produto misto de forma a facilitar as contas.
Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$. Se $r=1$ e $l$ é a reta de equação $3x+4y=5$ então mostre que $l$ é tangente a $\mathcal{C}$. Encontre o ponto de tangência.
Basta dividir ambos os lados da equação equação da reta dada e
confrontar com a afirmação vista no exercício anterior. Ou seja, a reta
$l$ tem equação $\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y=1$. Assim, pelo visto no
exercício anterior, vemos que $l$ é a reta tangente a $\mathcal{C}$ pelo
ponto $(3/5,4/5)$.
Seja $T$ a temperatura em um ponto $(x,y,z)$ sobre a reta dada por $$x=t, y=1+t, z=3-2t.$$ A temperatura varia com o espaço de tal forma que $T=25 x^2 y z$. Utilize um recurso computacional para encontrar uma aproximação para a temperatura máxima na parte da reta que se estende do plano $xz$ ao plano $xy$.
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]
$z = \dfrac{-3+x+4y}{5}, t =\dfrac{-4+13 x+7 y}{5}, \forall x, y \in \mathbb{R}.$
Considere a matriz $ A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$.
- Calcule o $det(A^n)$, para todo número natural $n$.
- Usando escalonamento encontre a matriz inversa $A^{-1}$.
- Como $\det(A)=-1$ e $\det(A^n)=\det(A)^n$, $\det(A)^n=(-1)^n$.
- $ A^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 2 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
Dados os vetores $a = (2,-3,6)$ e $b = (-1,2,-2)$, calcule as coordenadas do vetor $c$, bissetriz do ângulo formado pelos vetores $a$ e $b$, sabendo-se que $\|c \|= 3\sqrt{42}$.
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas:
- $ (3,\frac{\pi}{4})$,
- $ (6,\frac{2\pi}{3})$,
- $ (-2,\frac{\pi}{6})$,
- $ (4,-36^{o})$,
- $ (-3,150^{o})$,
- $ (1,\frac{187\pi}{6})$,
- $ (-2,-\frac{16\pi}{3})$.
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$.
Encontre a equação do plano $\pi$ que passa pelo ponto $P=(3,1,2)$ e tem vetor normal $N=(1,2,-3)$.
$x+2y-3z=-1$
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica: hipérbole com assíntotas $y=\pm x$ e um ponto da hipérbole $P=(2,7)$.
O momento escalar ou torque sobre o ponto $P$ de uma força $\vec{F}$ aplicada a um ponto $Q$ é dado por $\|\vec{PQ} \times \vec{F}\|$. Uma força $\vec{F}$ com magnitude de $10 N$ é aplicada na direção $y$ positiva sobre o ponto $Q=(1,1,1)$ em um cubo com lados de tamanho $1m$. Determine o momento escalar de $\vec{F}$ sobre o ponto $P = (1,0,0)$. Faça um esboço do gráfico, indicando a força e o momento escalar.
Reduza a equação $2xy + z = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Um vetor no espaço tem dois de seus ângulos diretores dados: $\alpha=30^\circ$ e $\beta=60^\circ$. Ache o outro ângulo diretor e faça um esboço do vetor. Quantas respostas existem? (Sugestão: use as fórmulas de cosseno diretor).
$90^\circ$.
Seja \[A=\left(\begin{array}[c]{rr}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right) : \]
- Encontre uma matriz $B$ tal que $B^{2}=A$ (isto é, $B$ é uma "raiz quadrada'' de $A$).
- Encontre todas as soluções da equação matricial $X^{2}=A$.
- $B= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right) . $
- Se $X= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$ $X^2=A \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right).$
Cujas 4 soluções são:
$X'= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right);$ $X''= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 1\\2 & -1\end{array}\right);$ $X'''= \left(\begin{array}[c]{cc}\sqrt{2} & -\sqrt{2}/2\\-\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{array}\right);$ $X''''= \left(\begin{array}[c]{cc}-\sqrt{2} & \sqrt{2}/2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{array}\right).$
Estude o ângulo entre os vetores $\vec{i}$ e $\vec{j}$ no plano. Faça o mesmo no $\mathbb{R}^{3}$ em relação a $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$.
Escrevendo os vetores $u = x\vec{i} + y\vec{j}$ e $v = a\vec{i} + b\vec{j}$, verifique que $\langle u,v\rangle = xa\langle\vec{i},\vec{i}\rangle + yb\langle\vec{j},\vec{j}\rangle$. Faça um estudo semelhante no espaço $\mathbb{R}^{3}$.
Um trecho de uma estrada passa sob três viadutos. Aproximadamente, a estrada pode ser considerada como pertencente ao plano $\pi: 5x+4y+20z-20=0$, e os viadutos têm seus pontos mais baixos nas retas: $r_1: X=(5,6,3)+t(4,0,-1)$, $r_2: X=(3,3,4)+t(0,5,-1)$ e $r_3=(2,6,4)+t(4,5,-2)$. As medidas são consideradas em metros. Determine aproximadamente a altura máxima dos veículos que podem trafegar na estrada.
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $6x^2+3y^2-z^2=-2$ e esboce seu gráfico.
Mostre que se o gráfico polar de $r=f(\theta)$ for girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo $\alpha$, então $r=f(\theta-\alpha)$ é uma equação para a curva girada. (Sugestão: se $(r_0,\theta_0)$ for um ponto qualquer do gráfico original, então $(r_0,\theta_0+\alpha)$ é um ponto no gráfico girado.)
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2-2y^2+4xy-6=0$.
Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).
Se $A$ é matriz $n\times n$ e $A^2={\bf 0}$, então $A={\bf 0}$, onde ${\bf 0}$ é a matriz nula.
A única matriz $n\times n $ simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^{2}=I_n$, então $A=I_n$ ou $A=-I_n$ ($I_n$ é a matriz identidade $n\times n$).
- Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right)$ é não-nula e $A^2={\bf 0}$. - Falsa. Qualquer matriz diagonal é simétrica e anti-seimétrica ao mesmo tempo.
- Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
z & 1
\end{array}\right)$ é diferente de $I_2$ e de $-I_2$ mas $A^2=I_2$.
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\-1 & 2 & 2\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}2/9 & 2/9 & -1/9 \\ 2/9 & -1/9 & 2/9 \\-1/9 & 2/9 & 2/9\end{pmatrix}.\]
Um ponto $(x,y,z)$ se move tal que sua distância ao ponto $(3,2,4)$ é sempre $5$. Qual figura $(x,y,z)$ traça? Faça um esboço de uma parte dessa figura (um octante). Escreva uma equação simplificada que os pontos $(x,y,z)$ devem satisfazer.
Uma esfera com centro $(3,2,4)$, raio $5$, com equação $x^2+y^2+z^2-6x-4y-8z+4=0$.
Considere a reta $r$ e o plano $\pi $ de respectivas equações
\[
\frac{x-2}{2}\ =\ y-2\ =\ \frac{z-3}{3}\, \ \mathrm{e}, \ x+y+z\ =\ 1.
\]
Encontre uma equação paramétrica para a reta que é a projeção ortogonal de $r$ sobre $\pi$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=0 \\
y=1-t \\
z=t
\end{array}
\right. $
Mostre que o sistema linear:
$$ \left\{ \begin{array}{ccccc}a_{11} x &+& a_{12} y & = & b_1\\a_{21} x &+& a_{22} y & = & b_2 \end{array} \right.$$
pode ser escrito em forma matricial $AX=b$, onde:
$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}.$$
Um quadrado $ABCD$ tem a diagonal $BD$ contida na reta $\displaystyle \begin{cases} x=1\\ y=z\end{cases}$. Sabendo que $A=(0,0,0)$, determine os vértices $B$, $C$ e $D$.
Considere o hiperbolóide de uma folha $H$ dado pela equação $x^2+y^2=1+z^2$. Mostre que por cada um dos seus pontos passam duas retas inteiramente contidas na superfície $H$. Generalize para qualquer hiperbolóide de uma folha. (Sugestão: $x^2+y^2=1+z^2\Leftrightarrow(x+z)(x-z)=(1+y)(1-y)$.)
Reduza a equação $4x^2+6y^2+4z^2-4xz+1=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}+z^2=1$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $4x^2+9y=144$. Esboce também o gráfico.
Sejam $a$, $b$, $c$, $d$ números reais tais que $ax+by+cz+d>0$ para quaisquer $x$, $y$, $z\in\mathbb{R}$. Mostre que $a=b=c=0$ e $d>0$.
Seja $M= \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right)$.
- Mostre que: Se $A$ é uma matriz $2\times 2$ qualquer, então $AM=MA$, se e somente se, $A= \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right)$. - Mostre que se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$, então $A$ e $B$ comutam entre si, isto é, $AB=BA$.
- Seja $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)$, tal que $AM=MA$.
Deseja-se que $AM=\left( \begin{array}{cc}-b & a \\-d & c\end{array}\right)=MA= \left( \begin{array}{cc}c & b \\-a & -b\end{array}\right)$.
Logo, é necessário que $c=-b$ e $d=a$, de onde $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$. - Se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$, de acordo com o item anterior, $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$ e $B= \left( \begin{array}{cc}c & d \\-d & c\end{array}\right)$.
Calculando $AB$ e $BA$, obtém-se $AB= \left( \begin{array}{cc}ac-bd & ad+bc \\-bc-ad & -bd+ac\end{array}\right)=BA$ .
Às vezes o gráfico de uma equação quadrática é uma reta, um par de retas ou até mesmo um único ponto. Nos referimos a tais gráficos como cônicas degeneradas. É também possível que a equação não seja satisfeita para nenhum valor real das variáveis, caso este no qual não existe um gráfico e dizemos tratar-se de uma cônica imaginária. Nos itens abaixo, identifique a cônica com a equação dada, dizendo se é degenerada ou imaginária. Quando possível, esboce também o gráfico.
$\displaystyle x^2-y^2=0$;
$\displaystyle x^2+2y^2+2=0$;
$\displaystyle 3x^2+y^2=0$.
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(3,4)$, $(-1,2)$ e $(-2,4)$. Ache também seu centro, raio, e faça um esboço de seu gráfico.
Sejam a reta $r: \ x-1=y=z$ e os pontos $A(1,1,1)$ e $B(0,0,1)$. Encontre o ponto de $r$ que é equidistante de $A$ e $B$.
- Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância $d$ entre os pontos $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}. $$ - Mostre que, se $0\leq \theta_1 < \theta_2 \leq \pi$ e se $r_1$ e $r_2$ forem positivos, então a área $A$ do triângulo com vértices $(0,0)$, $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ A= \dfrac{1}{2}r_1r_2\sin(\theta_2-\theta_1). $$ - Encontre a distância entre os focos cujas coordenadas polares são $(3,\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
- Encontre a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são $(0,0)$, $(1,5\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]
Esse sistema possui infinitas soluções.
Dê equações paramétricas para o círculo centrado na origem de raio 1, indicando os domínios onde o parâmetro $t$ assume valores. Esboce suas parametrizações.
Considere a cônica definida pela equação $2xy+x-2=0.$
Determinar seu centro.
Classificar a cônica.
Esboçar seu gráfico.
Mostre que as três bissetrizes de um triângulo se interceptam em um único poto.
Considere o triângulo $ABC$ e bissetriz $B$ e $C$. Então eles cruzam no interior do triângulo que denotaremos por $O.$ Como $O$ está sobre a bissetriz de $B$, ele é equidistante de $AB$ e $BC.$ Mas também está na bissetriz de $C$ de forma que $O$ é equidistante de $AC$ e $BC.$ Assim, $O$ é equidistante aos três lados. Agora considere $\ AO.$ Como $AO$ divide o ângulo $\ BAC$ e passa no ponto (fora do vértice) equidistante de $AB$ e $AC$, será bissetriz de $BAC.$
Suponha que uma partícula se mova no espaço e tenha posição $H(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$ no instante $t$ (hélice cilíndrica). Esboce a trajetória da partícula. Qual a sua direção no instante $t$?
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=( t^2-2t,t)$.
Dados os pontos $A=(1,0,1)$, $B=(-1,1,1)$ e $C=(0,1,2)$.
Determine o ponto $D$ tal que $A$, $B$, $C$ e $D$ sejam os vértices consecutivos de um paralelogramo.
Determine o ponto médio entre $A$ e $C$ e o ponto médio entre $B$ e $D$.
- \( D=(2,0,2)\)
- \(\dfrac{1}{2}(A+C)=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}(B+D)\)
Dados $A=(4,8,11)$, $B=(-3,1,4)$ e $C=(2,3,-3)$, faça uma figura esquemática, verificando que os pontos formam um triângulo, e:
Ache os tamanhos dos três lados do triângulo.
Ache os pontos médios dos três lados.
Calcule a soma dos vetores $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ e $\vec{CA}$. Por que a soma é nula?
Ache o ponto em $AB$ cuja coordenada $y$ é $5$.
Ache os três pontos nos planos coordenados em $AB$ (extendidos).
Ache o ângulo entre $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$ (sugestão: use a Lei dos Cossenos).
Ache os dois pontos de trisecção em $BC$ (internamente).
Ache o tamanho da altura saindo de $B$ e oposta ao lado $AC$.
Calcule a área do triângulo $ABC$.
Ache o tamanho da reta que bissecta o ângulo em $C$ (sugestão: use $\cos \theta/2 = \sqrt{(1+\cos\theta)/2}$; use trigonometria de triângulos retângulos).
Ache o raio e o centro do círculo circunscrito ao triângulo (sugestão: a hipotenusa é o diâmetro).
Ache os três pontos $D$ tais que $ABCD$ é um paralelogramo.
Quais são os cossenos diretores do vetor de $(2,-3,5)$ a $(-1,1,-7$)?
$-3/13,4/13,-12/13$.
- Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (3, 1,-1), B = (1, 2,-1) \text{ e } C = (1,-1, 0)$.
- Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1), E = (2,-1,0)$ e é paralelo ao eixo $y$.
- Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
- Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
- Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $\overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)
Sendo $\|u\|=3, \|v\|=4$ e $120^{\circ}$ o ângulo entre os vetores $u$ e $v$, calcule o volume do paralelepípedo determinado por $u\times v$, $u$ e $v$.
$108$
Qual(is) das quádricas abaixo representa(m) uma superfície de rotação?
$ 3x^2+y^2-2z^2=1$,
$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{3}=1$,
$x^2+ y^2-z^2=0$.
Considere a cônica definida pela equação $x^2+xy-1=0.$
Determinar seu centro.
Classificar a cônica.
Esboçar seu gráfico.
Reduza a equação $5x^2+5y^2+3z^2-2xy+2xz+2yz+2x-y=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Resolver o sistema linear:\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]
$x_3 =\dfrac{11x_1+4x_2}{5}, x_4 = \dfrac{6 x_1-x_2}{5}, x_5 = \dfrac{21 x_1 + 9 x_2}{5}, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$.
Determine a equação do lugar geométrico dos pontos $P=(x,y,z)$ tais que a soma das distâncias de $P$ aos dois pontos $(2,0,0)$ e $(-2,0,0)$ é igual a $6$. Que lugar geométrico é este?
Identifique a cônica descrita pela equação$7x^2+6xy-y^2-2x+10y-9=0$.
Dadas duas retas que se cortam, seja $L_2$ a reta de maior ângulo de inclinação $\phi_2$ e e $L_1$ a reta de menor ângulo de
inclinação $\phi_1$. Definimos o ângulo entre $L_1$ e $L_2$ por $\theta=\phi_2-\phi_1$. Prove os resultados abaixo.
Se $L_1$ e $L_2$ não são perpendiculares, então $$ \tan\theta = \dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2},$$ onde $L_1$ e $L_2$ têm inclinações $m_1$ e $m_2$.
Propriedade de Reflexão da Elipse: uma reta tangente a uma elipse em um ponto $P$ faz ângulos iguais com as retas que unem $P$ aos focos. (Sugestão: Introduza coordenadas de tal modo que a elipse seja descrita pela equação $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ e use o item 1.)
Propridedade de Reflexão da Hipérbole: Uma reta tangente à hipérbole em um ponto $P$ faz ângulos iguais com as retas que unem $P$ aos focos. ([)Sugestão: Introduza coordenadas de tal modo que hipérbole seja descrita pela equação $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ e use o item 1.)
Um homem deseja construir uma ampulheta dispondo de $v$ m$^3$ de uma certa areia. Considerando que a ampulheta possa ser "modelada" como uma porção simétrica de uma superfície cônica, encontre a equação do cone, com abertura no eixo $z$, que contém essa ampulheta.
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $\displaystyle 9x^2-18x+9y^2-6y=10$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata e uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata. Quanto gramas de cada liga são necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com quantidade igual de ouro e prata?
Serão necessárias aproximadamente 33.3333 gramas da liga $L_1$ e 66.6667 gramas da liga $L_2$.
Mostre que, ao variar $a$, a equação polar
$$ r=a\sec\theta \quad(-\pi/2 < \theta < \pi/2 ) $$
descreve uma família de retas perpendiculares ao eixo polar.
Ache a equação do círculo com centro $(-2,5)$ e raio $r = 3$.
$(x+2)^2+(y-5)^2=9$, ou seja, $x^2+y^2+4x-10y+20=0$.
Determine, se existir, os valores de $x$ para que o vetor $\textbf{v}=x\vec{i}+6\vec{k}$ seja paralelo ao produto vetorial de $\textbf{w}=\vec{i}+x\vec{j}+2\vec{k}$ por $\textbf{u}=2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]
Responda verdadeiro ou falso, justifique suas respostas.
- Se $A^2 = -2\,A^4$, então $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2$.
- Se $A^t = -A^2$ e $A$ é não singular, então $\det A = -1$.
- Se $B = A\,A^t\,A^{-1}$, então $\det(A) = \det(B)$.
- $\det(A + B) = \det A + \det B$.
- Verdadeira, pois $A^2 = -2\,A^4 \Rightarrow -A^2 -2\,A^4=0$.
E $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2 \Leftrightarrow (I - 2\,A^2) (I+A^2)=I$ e $ (I+A^2) (I - 2\,A^2) =I$.
O que vale, visto que $(I - 2\,A^2) (I+A^2)=I+A^2- 2\,A^2- 2\,A^4=I-\,A^2- 2\,A^4=I-0=I$.
E $ (I+A^2) (I - 2\,A^2)=I- 2\,A^2+A^2- 2\,A^4=I-A^2- 2\,A^4=I-0=I$. - Falsa, pois $\det(A)\neq0$ e $A^t = -A^2 \Rightarrow \det(A^t)=\det(-A^2)$.
Mas $\det(A^t)=\det(A)$ e $\det(-A^2)=\det(-A)\det(A)=(-1)^n \det(A) \det(A)$, onde $n$ é a ordem da matriz $A$.
Logo $\det(A)=\det(A^t)=\det(-A^2)=(-1)^n\det(A)^2 \Rightarrow 1=(-1)^n \det(A) \Rightarrow \det(A)=(-1)^n$.
Portanto, se a matriz for de ordem par $\det(A)=1$ e se a matriz for de ordem ímpar $\det(A)=-1$. - Verdadeira.
$B = A\,A^t\,A^{-1} \Rightarrow \det(B)=\det(A)\det(A^t)\det(A^{-1})=\det(A) \det(A)\dfrac{1}{\det(A)}=\det(A)$. - Falsa, contra exemplo:
sejam $A$ e $B$ matrizes de ordem dois tais que $A=I$ e $B=2I$. Então $A+B=3I$. E $\det(A+B)=9$. Mas, como $\det(A)=1$ e $\det(B)=4$, $\det(A)+\det(B)=5\neq 9=\det(A+B)$.
Sejam $u$ e $v$ vetores no espaço. Mostre que
$(u+v)\times (u-v)=2v\times u$.
Se $u\times v$ é não nulo e $w$ é um vetor qualquer no espaço, então existem números reais $a, b$ e $c$ tais que $w=a(u\times v)+bu+cv$.
Se $u\times v$ é não nulo e $u$ é ortogonal a $v$, então $u\times (u\times v)$ é paralelo a $v$.
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo maior tem volume $\displaystyle V=\dfrac{4}{3}\pi ab^2$.
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo menor tem volume $\displaystyle V=\dfrac{4}{3}\pi a^2b$.
Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]
$x_3 = 2 - \dfrac{x_1- 9 x_2}{4} , x_4 = -\dfrac{5x_1-x_2}{4}, \lambda = 0, \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$.
Mostre que se $X\;\mbox{e}\; Y$ são dois vetores tais que $X+Y$ é ortogonal a $X-Y$, então $\left\|X\right\|\;=\;\left\|Y\right\|$.
$X+Y$ ortogonal a $X-Y$ $\Rightarrow$ $(X+Y)\cdot(X-Y)=0$.
$(X+Y)\cdot(X-Y)=0$ $\Rightarrow$ $X\cdot X-X\cdot Y+Y\cdot X - Y\cdot Y=0\Rightarrow X\cdot X- Y\cdot Y=0 \Rightarrow X\cdot X= Y\cdot Y\Rightarrow ||X||^2=||Y||^2$ e, pela não negatividade da norma, $||X||=||Y||$.
Quais dos seguintes objetos não podem ser associados a elipsóides, pelo aspecto da sua superfície externa?
Um ovo.
Um bola de rugby.
Uma câmara de ar.
Uma bola de futebol.
Um charuto.
O aspecto de uma bola de rugby lembra bastante o de um elipsóide, o que não ocorre com as demais opções.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=-2t-3$, $y=t+5$ e $z=4t-7$.
Reduza a equação $x^2+y^2+z^2-4xy-4xz-4yz=7 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Classifique a superfície $\displaystyle z^2-\dfrac{x^2}{36}-\dfrac{y^2}{25}=1$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Considere o plano com o sistema cartesiano canônico $xy$ e faça uma rotação de um ângulo $\theta$ obtendo um novo sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$. Seja $P$ um ponto do plano.
Se $P=(2,2)$ no sistema $xy$ e $\theta=\pi/3$, encontre as coordenadas de $P$ no sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$.
Se $P=(2,2)$ no sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$ e $\theta=\pi/3$, encontre as coordenadas de $P$ no sistema $xy$.
Transforme a equação $x^2+y^2=4$ para o sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$.
Suponha que $0<\theta <\pi/2$ e que $a=\tan\theta$ ($a$=tangente de $\theta$). Transforme a equação $y=ax$ para o sistema $\overline{x}$ $\overline{y}$.
Sejam $A=(-1,2,3)$, $M=(-1,3,2)$ e $N=(1,1,3)$. O triângulo $ABC$ tem ângulos $A=90^\circ$ e $B=30^\circ$ e os vértices $B$ e $C$ pertencem à reta $MN$. Encontre os vértices $B$ e $C$.
Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é simultaneamente ortogornal às retas $r_1$ e $r_2$:
$$A(3,2,-1),\;\;
r_1: \begin{cases} x=3\\ y=-1. \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \
r_2: \begin{cases} y=x-3\\ z=-2x+3. \end{cases}$$
$r:(x,y,z)=(3-t',2+t',-1).$
Seja $C$ o lugar geométrico dos pontos $P = (x,y)$ de um plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem a equação $x^2-16y^2 + 8x +128y -256 = 0$.
Qual a natureza da cônica $C$?
Escrever a forma canônica da equação de $C$.
Caso $C$ seja uma elipse ou uma hipérbole, encontre os focos e a excentricidade. Caso seja uma hipérbole, encontre também as equações das retas assíntotas no sistema $xy$ original.
A elipse $\ell$ tem focos $F_1=(1,2)$, $F_2=(2,4)$ e vértices $A_1=(0,0)$, $A_2=(3,6)$. Dê as equações paramétricas de $\ell$.
Mostre que os dois lados não paralelos de um trapézio e a reta que liga os pontos médios dos lados paralelos são concorrentes.
Encontre a equação de uma reta mediatriz do segmento de extremos $A = (1,1,1)$ e $B = (3,3,3)$.
O ponto médio do segmento é dado por $M=\dfrac{1}{2}(A+B)=(2,2,2)$.
Já para um vetor diretor, podemos escolher qualquer vetor que seja
ortogonal a $B-A=2(1,1,1)$. Por exemplo, tomando o vetor $(1,-1,0)$ como
diretor, teremos a seguinte forma paramétrica para uma mediatriz: $$
(2,2,2)+t(1,-1,0),\quad t\in\mathbb{R}.$$
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{6}{2-3sen\theta}$.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]
Sabendo que $\| u \| = \sqrt{2}$, $\| v \| = \sqrt{3}$ e que $u$ e $v$ formam um ângulo de ${3\pi}/4$, determinar:
$| (2u-v)\cdot(u-2v)|$.
$\|u-2v\|$.
- $| (2u-v)\cdot(u-2v)|=10+5\sqrt{3}$.
- $\|u-2v\|=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Provar, utilizando o produto escalar, que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.
Consideremos a semicircunferência de raio $R$ com centro na origem $O$ do sistema cartesiano e situada no semiplano $y\geq 0$. Sejam $A=(R,0)$, $B=(x,y)$ e $C=(-R,0)$ três pontos sobre esta semicircunferência, sendo $B$ um ponto qualquer tal que $x^2+y^2=R^2$. Assim, teremos que
\begin{multline*}\vec{CB}\cdot\vec{AB}=(B-C)\cdot(B-A)=(x+R,y)\cdot(x-R,y)= \\ =(x+R)(x-R)+y^2 =x^2-R^2+y^2=(x^2+y^2)-R^2=R^2-R^2=0.\end{multline*} Ou seja, o triângulo inscrito $ABC$ é retângulo no vértice $B$.
Considere a matriz diagonal $ A = diag\{a, b\},$ onde $a,b\in\mathbb{R}$, e seja $\Delta$ um triângulo com vértices $0$, $u$ e $v$, onde $u$ e $v$ são pontos na circunferência $S^1$ de equação $x^2+y^2=1$. Seja $A\Delta$ o triângulo
de vértices $0$, $A\cdot u$ e $A\cdot u$.
Mostre que os vértices $A\cdot u$ e $A\cdot v$ estão na elipse $E$ de equação $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.
Mostre que se $S(\Delta$) for a área de $\Delta$ e $S(A\Delta$) for a área de $A\Delta$, então $S(A\Delta)=abS(\Delta)=S(\Delta)\,\det A$.
Mostre que a relação do item anterior é preservada para qualquer polígono inscrito na circunferência.
Inspirando-se no processo clássico para o cálculo da área do círculo, pense na área da região limitada pela elipse $E$ como sendo
o limite das áreas dos polígonos inscritos em $E$, quando o lado maior tende a zero. Conclua que esta área é dada por $\pi ab$.
Encontre a equação da reta $r$ que passa por $(-3,2,-1)$ e é paralela à reta $s : \left\{\begin{array}{ccr}x &=& -3z-1\\ y &=& 4z + 3\end{array}\right.$.
Note que, como dada acima, $z$ aparece como parâmetro livre, tendo
$s$, portanto, vetor diretor $(-3,4,1)$. Assim, sendo $r$ paralela a
esta, então pode ser descrita, parametricamente, por $$ r:
(-3,2,-1)+t(-3,4,1), \quad t\in\mathbb{R}. $$
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{5}+\dfrac{z^2}{3}=1$ e esboce seu gráfico.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por $r=2\tan\theta$.
Usando a definição de coordenadas esféricas, a equação dada fica: $\displaystyle (x^2+y^2)(z^2-4)+z^4=0$.
Reduza a equação $4x^2+3y^2-z^2-12xy+4xz-8yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Identificar a cônica $4x^2+4xy+y^2-6x+3y+2=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).
Considere o subconjunto de vetores $\mathcal{B} =\{(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1)\}$.
- Mostre que $\mathcal{B}$ é uma base para $\mathbb{R}^{3}$.
- Encontre a matriz de mudança de coordenadas $A$ da base canônica $\{i,j,k\}$ de $\mathbb{R}^{3}$ para a base $\mathcal{B}$. Qual é matriz de mudança de coordenadas $A^{\prime}$ da base $\mathcal{B}$ para a base canônica?
- Quais são as coordenadas dos vetores canônicos $i,j$ e $k$ em relação à base $\mathcal{B}$?
- Se o ponto $P$ tem coordenadas $(1,-2,5)$ no sistema $\{O,i,j,k\}$, quais são as coordenadas de $P$ no sistema $\{O,\mathcal{B}\}$?
- Como eles são ortogonais dois a dois e dim $\!\mathbb{R}^{3}=3$, eles são L.I.
- $A^{\prime}=\left[\begin{array}[c]{rrr}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\-2 & 0 & 1\end{array}\right] ;A=(A^{\prime})^{-1}=\left[\begin{array}[c]{rrr}
\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3}\\\overset{}{\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2} & 0\\\overset{}{\frac{1}{3}} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right] $. - São as colunas de $A$, respectivamente: $\left(
\frac{1}{6},\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) ,\left( \frac{1}{6},-\frac{1}%
{2},\frac{1}{3}\right) $ e $\left( -\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}\right) $. - $\left( -\frac{11}{6},\frac{3}{2},\frac{4}{3}\right) $.
Reduza a equação $-x^2-y^2-7z^2+16xy+8xz+8yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Os únicos números reais cujos quadrados são eles próprios são $0$ e $1$. Ache todas as matrizes quadradas $A$, $2\times2$, tais que $A^{2}=A.$
Cujas soluções são:
$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{x-x^2}{y} & 1-x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & 0\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 &0\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$
Demonstre que se $\alpha$ e $\beta$ são números reais tais que $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$, então $\alpha = 0$ e $\beta = 0$.
Qual a conclusão geométrica que podemos tirar do item acima?
- $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$ resulta no sistema cujas equações são: $2\alpha+3\beta=0$ e $3\alpha+2\beta=0$.
Resolvendo o sistema, obtemos $\alpha=\dfrac{-3}{2}\beta=\dfrac{-2}{3}\beta$ que só pode ser satisfeita se $\beta=0$. E, portanto, $\alpha=0$. - Podemos concluir que esses dois vetores são linearmente independentes, isso significa que eles tem direções distintas.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
5&2&-3\\ 4&5&-4\\ 6&4&-4
\end{pmatrix}.
$
As raízes são: \(x=1\), \(x=2\) e \(x=3\).
Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é simultaneamente ortogornal às retas $r_1$ e $r_2$:
$$A(0,0,0),\;\;r_1:\;\frac{x}{2}=y=\frac{z-3}{2}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2:\;\begin{cases} x=3t\\ y=-t+1\\ z=2. \end{cases}$$
$r:(x,y,z)=(2t,6t,-5t).$
Mostre que todo sistema linear homogêneo (isto é, cujos termos independentes são todos iguais a zero) de três equações com quatro incógnitas possui uma infinidade de soluções.
Para o par de retas $r$ e $r^{\prime}$ abaixo encontre o ponto de interseção, $r\cap r^{\prime}$, se existir. E nos casos em que a interseção é vazia decida se elas são paralelas ou reversas.
$r:$ $(x,y,z) = (-1,-4,2) + t(2,-5,3)$ e
$r^{\prime}:$ $\frac{x-3}{2}=\frac{y+14}{5}=\frac{z-8}{-3} .$
Usando escalonamento, podemos verificar que a intersecção ocorre em $t=2$ e, logo, corresponde ao ponto $r\cap r'=(3,-14,8)$.
O trabalho $W$ realizado por uma força $\vec{F}$ sobre um objeto, agindo por uma distância $\vec{PQ}$, é dado por $W=\vec{F}\cdot\vec{PQ}$. Uma caixa é puxada horizontalmente por meio de uma força constante de $10N$ na direção do cabo e a um ângulo de $60^\circ$ com a horizontal. Qual é o trabalho realizado para mover a caixa ao longo de $2m$?
$$\vec{F} = (10\cos 60^\circ, 10 \sin 60^\circ) = (5,5\sqrt{3}).$$
Dessa forma o trabalho realizado é dado por:
$$W = \vec{F}\cdot\vec{PQ} = (5,5\sqrt{3}) \cdot(2,0) = 10 N \ m.$$
Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que passa pelo ponto $P_0=(1,-1,1)$, é paralela à reta $r^{\prime}: (x,y,z) = (1,0,1) + t(1,1,3/2)$ e ortogonal ao eixo $z$ .
Sabendo que $u\cdot(v\times w)=2$, calcular:
$u\cdot(w\times v)$.
$v\cdot(w\times u)$.
$(v\times w)\cdot u$.
$(u\times w)\cdot 3v$.
$u\cdot(2w\times v)$.
$(u+v)\cdot(u\times w)$.
Encontre a equação da reta $r$ que passa pelo ponto (-1,2,3) e é paralela a reta que passa por $(1,0,-1)$ e tem $(-2,1,-3)$ como vetor diretor.
Como é paralela à reta mencionada, então terá o vetor diretor em comum com aquela. Assim, a reta procurada é dada parametricamente como $$ r: (-1,2,3) + t(-2,1,-3)\quad t\in\mathbb{R}.$$
Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas):
\[r:(2,4,1) + t(1,-2,3), \ \ \ s:(-1,3,2) + s(4,-1,2) .\]
São concorrentes.
Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]
$x_1 =\dfrac{-1}{4}, x_2 =\dfrac{7}{12}, x_3 =\dfrac{-1}{4}, \lambda = \dfrac{-11}{4}.$
Seja $C$ o lugar geométrico dos pontos $P = (x,y)$ de um plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem a equação $3x^2+2xy+3y^2-6x-6y+1=0$.
Qual a natureza da cônica $C$?
Escrever a forma canônica da equação de $C$.
Caso $C$ seja uma elipse ou uma hipérbole, encontre os focos e a excentricidade. Caso seja uma hipérbole, encontre também as equações das retas assíntotas no sistema $xy$ original.
Qual é o vetor unitário na direção de $4\vec{i}-12\vec{j}+3\vec{k}$?
$\dfrac{4\vec{i}-12\vec{j}+3\vec{k}}{13}$.
Considere os planos $\alpha : x - y + z - 3=0$ e $\beta: 2m^{2}x - (m+1)y + 2z=0$.
- Determine $m$ para que os planos $\alpha$ e $\beta$ possam ser paralelos, concorrentes, e concorrentes ortogonais (Um $m$ para cada caso, se for possível).
- Para $m=-1$ encontre a equação da reta interseção entre $\alpha$ e $\beta$.
Mostre que se
$$u= u_a a + u_b b + u_c c,$$
$$v = v_a a + v_b b + v_c c,$$
$$w= w_a a + w_b b + w_c c,$$
então
$$(u\cdot v\times w)(a\cdot b\times c) = \det\left(\begin{array}{ccc} u\cdot a & u\cdot b & u\cdot c\\ v\cdot a & v\cdot b & v\cdot c\\ w\cdot a & w\cdot b & w\cdot c\\\end{array}\right).$$
Esta fórmula reduz o cálculo de dois determinantes (pois cada produto misto envolve o cálculo de um determinante) ao cálculo de um único.
Sugestão: Use a seguinte relação:
$$u\cdot(v\times w)=\det\left(\begin{array}{ccc} u_a & u_b & u_c \\ v_a & v_b & v_c \\ w_a & w_b & w_c \\\end{array}\right)[a\cdot(b\times c)].$$
Suponha que o sistema de coordenadas $x'y'$ tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas $xy$ por um ângulo $\theta$. Mostre que, para cada valor de $\theta$, a equação $x^2+y^2=r^2$ é transformada na equação $x'^2+y'^2=r^2$. Dê uma explicação geométrica.
Suponha que o sistema de coordenadas $x'y'$ tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas $xy$ por um ângulo $\theta$. Explique como podemos encontrar as coordenadas $xy$ de uma reta cuja equação nas coordenadas $x'y'$ seja conhecida.
Mostre que um sistema de equações lineares homogêneo de $n$ equações e $n$ incógnitas admite solução(ões) não trivial(is) se e somente se o determinante da matriz dos coeficientes for nulo.
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}-z=0$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Encontre a equação da reta $r$ que passa por $(1,2,-1)$ e é paralela ao eixo $X$.
Ser paralela ao eixo $x$ nos diz que podemos tomar $(1,0,0)$ como um diretor. Assim, a reta pode ser descrita parametricamente como $$ r: (1,2,-1)+t(1,0,0)\quad t\in\mathbb{R}.$$
Uma força $\vec{F} = (4,-6,1)$ N é aplicada a um ponto que se move uma distância de $15$ metros na direção e sentido do vetor $(1,1,1)$. Quanto trabalho foi realizado?
Reduza a equação $2x^2+3y+4z+4=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Que condições devem satisfazer os vetores $a$ e $b$ para que sejam válidas as seguintes relações?
$\|a + b \| = \|a - b \|$;
$\| a + b \| > \| a - b \|$;
$\| a + b \| < \| a - b \|$.
Dadas a equação da curva diretriz $x^2-y^2=1$, $z=0$ e um vetor $V=(0,2,-1)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Encontre a distância entre o plano $\pi: 2x+2y-z=6$ e o ponto $P=(2,2,-4)$.
Vamos utilizar o conceito de distância dado na referência R. J. Santos-Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Neste caso, precisamos tomar um ponto (arbitrário) sobre o plano. Vamos tomar $P_1=(3,0,0)$ em $\pi$. Assim, sendo $N=(2,2,-1)$ a normal ao plano, $$ d(P,\pi)=\|\mathrm{proj}_N\vec{P_1P}\|=2.$$
Se uma esfera $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{a^2}=1$ de raio $a$ for comprimida na direção $z$, então a superfície resultante, chamada de esferóide oblato, tem uma equação da forma $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$, onde $c<a$. A rotação da Terra causa um achatamento nos pólos, portanto sua forma é freqüentemente modelada como um esferóide oblato em vez de uma esfera. Um dos modelos usados pelos satélites de posicionamento global é o Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS-84), que trata a Terra como uma esfera oblata, cujo raio equatorial é $6378,1370$ km e cujo raio polar (a distância do centro da Terra aos pólos) é $6356,5231$ km. Use o modelo WGS-84 para encontrar uma equação para a superfície da Terra em relação ao sistema de coordenadas com origem no centro de massa da Terra, eixo $z$ apontando para o pólo norte e plano $xy$ contendo o equador.
Encontre ou mostre a impossibilidade de encontrar $\gamma\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle x^2+\gamma y^2-4xy+ \gamma x = \gamma$ represente uma parábola.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=e^t$, $y=e^{-t}$ e $z=t$.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=cos\theta$.
Calcule o determinante da matriz:
$\begin{pmatrix}
a+b&a+c \\ d+b&d+c
\end{pmatrix}. $
$\det\left(\begin{pmatrix}a+b&a+c \\ d+b&d+c\end{pmatrix}\right)=(c-b)(a-d). $
Use o método de inversão por escalonamento para obter, se possível, a inversa das seguintes matrizes:
- $A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix} $;
- $B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $.
Dado um plano qualquer com um sistema de coordenadas $xy$, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $49x^2-9y^2=441$. Esboce o gráfico.
Qual(is) das quádricas abaixo representa(m) uma superfície obtida pela rotação de uma parábola em torno do eixo z?
$ 6x^2+3y^2-z^2=-2$,
$z=4x^2+4y^2$,
$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{5}=1$,
$-x^2+ y^2+z^2=0$.
Na equação $18x^2+12xy+2y^2+94\frac{\sqrt{10}}{10}x-282\frac{\sqrt{10}}{10}y+94=0$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.
Considere o plano $\pi : ax + by + cz = 0$. Encontre as coordenadas:
- da projeção ortogonal do vetor $(x,y,z)$ sobre o plano $\pi$;
- da reflexão do vetor $(x,y,z)$ em relação ao plano $\pi$.
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2+y^2=9$.
Ache a esfera que tem centro na reta $r: \left\{ \begin{array}{c} x=2z-3 \\ y = z-1 \end{array} \right.$ e passa pelos pontos $(6,-1,3)$ e $(0,7,5)$.
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}-\dfrac{y^2}{25}+z=0$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Dados três pontos $A=(1,-5,8)$, $B=(5,2,4)$ e $C=(3,9,1)$, ache três pontos diferentes tais que cada um deles forma com $A,B,C$ um paralelogramo.
As equações a seguir representam as trajetórias retilíneas de duas partículas com velocidade uniforme. Determine se as trajetórias se interceptam. Em caso afirmativo, determine se há colisão entre as partículas.
- $\alpha(t) =(1+t,-2t,3-t)$ e $\beta(t) = (-2+t,6-2t,6-t)$.
- $\gamma(t) = (1+t,-2t,3-t)$ e $\delta(t) = (-1+t,4-2t,-3-t)$.
- $\varepsilon(t) = (1+t,-2t,3-t)$ e $\eta(t) =(6+t,-10-t,-2-t)$.
- $\theta(t) = (1+t,-2t,3-t)$ e $\lambda(t) = (6+2t,-10-2t,-2-2t)$.
- $\mu(t) =(1+t,-2t,3-t)$ e $\nu(t) = (5+t,-10-t,-2-t)$.
Para o par de retas $r$ e $r^{\prime}$ abaixo encontre o ponto de interseção, $r\cap r^{\prime}$, se existir. E nos casos em que a interseção é vazia decida se elas são paralelas ou reversas.
$r:$ $\left\{ \begin{array}{c} 3x-y-z=0 \\ 8x-2y-3z=-1\end{array} \right.$ e $r^{\prime}: \left\{ \begin{array}{c}x-3y+z=-3 \\ 3x-y-z=-5\end{array} \right. .$
Neste caso, a intersecção é vazia e as retas são paralelas. De fato, note que os vetores $(3,-1,-1)\times(8, -2, -3)=(1,1,2)$ e $(1, -3, 1)\times(3,-1,-1)=(4,4,8)$ são múltiplos entre si (linearmente dependentes).
Dois piolhos andam em trajetórias retilíneas no espaço. No instante $t$, as posições $(x,y,z)$ dos piolhos 1 e 2 são dadas pelas retas $r_1$ e $r_2$:
$$r_1: \ x=4-t, \ y=1+2t, \ z=2+t;$$
$$r_2: x=t, \ y=1+t, \ z=1+2t.$$
Suponha que a distância esteja em centímetros e o tempo em minutos.
Determine a distância entre os piolhos no instante $t=0$.
Use um recurso gráfico para fazer o gráfico da distância entre os piolhos como uma função do tempo de $t=0$ a $t=5$.
O que o gráfico nos diz sobre a distância entre os piolhos?
Quão perto ficam os piolhos?
Mostre que as medianas de um triângulo interceptam-se em um único ponto. Encontre a razão em que esse ponto divide cada mediana.
Tente generalizar o item (a) para tetraedros.
$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM},$ $\overrightarrow{BH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN},$ $\overrightarrow{CI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}.$
Assim, observe que
$\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}\right) =0.$
De maneira análoga, mostramos que $\overrightarrow{GH}=.$ Portanto,
concluímos que $G=H=I,$ e vale as propoções citadas acima.
b) Vamos mostrar que o centro de massa do tetraedro é a interseção das medianas. Sendo assim, seja o tetraedro $ABCD$. A mediana do tetraedro
é definida comos sendo o segmento que une um baricentro de uma das faces do tetraedro, com o seu vértice oposto.
Sejam $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, sendo respectivamente os baricentros das faces $DBC,$ $ABC,$ $ADC$ e $ADB.$
Observe que $\overrightarrow{D^{\prime }A}+\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{D^{\prime }C}=0,$ pois $\overrightarrow{D^{\prime }A}+
\overrightarrow{D^{\prime }B}=2\overrightarrow{D^{\prime }P},$ onde $P=\frac{A+B}{2}.$ Como $D^{\prime }$ é o baricentro do triângulo $ABC$, segue que $\overrightarrow{CD^{\prime }=}2\overrightarrow{D^{\prime }P}.$
Assim,
$\overrightarrow{D^{\prime }A}+\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{D^{\prime }C}=2\overrightarrow{D^{\prime }P}+\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{CD^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }C}=0.$
Seja $G$ o centro de massa do tetraedro. Uma propriedade dele, é que
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0.$
Assim,
$3\overrightarrow{GD^{\prime }}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{
AD^{\prime }}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BD^{\prime }}+
\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CD^{\prime }}=\overrightarrow{GA}+
\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}-\left( \overrightarrow{D^{\prime }A}+\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{D^{\prime }C}\right) =
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=- \overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DG}.$
Portanto, $3\overrightarrow{GD^{\prime }}=\overrightarrow{DG},$ ou seja, o centro de massa $G$ pertence ao segmento $\overrightarrow{DD^{\prime}}.$ De maneira análoga, mostramos que $G$ pertence aos segmentos $\overrightarrow{AA^{\prime }},$ $\overrightarrow{BB^{\prime }}, \overrightarrow{CC^{\prime }}.$ Ou seja, $G$ é o ponto de interseção das medianas.
Três tipos de suplementos alimentares estão sendo desenvolvidos. Para cada grama de ração, tem-se que:
i) O suplemento 1 tem $1$ unidade de vitamina A, $3$ unidades de vitamina B e $4$ unidades de vitamina C;
ii) O suplemento 2 tem $2$, $3$, e $5$ unidades das vitaminas A, B, e C, respectivamente;
iii) O suplemento 3 tem $3$ unidades das vitaminas A e C, e não contém vitamina B.
Se são necessárias $11$ unidades de vitamina A, $9$ de vitamina B, e $20$ de vitamina C,
Encontre todas as possíveis quantidades dos suplementos 1, 2, e 3, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada.
Qual o sistema homogêneo associado?
O sistema homogêneo associado aceita solução não nula?
Qual a relação entre a resposta dos itens anteriores?
Se o suplemento 1 custa $6$ reais por grama e os outros dois custam $1$, existe uma solução custando exatamente $10$ reais?
- Determine os coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$ da função polinomial $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, cujo gráfico passa pelos pontos $P_1=(0,10)$, $P_2=(1,7)$, $P_3=(3,-11)$ e $P_4=(4,-14)$.
- Determine coeficientes $a, b$ e $c$ da equação do círculo, $x^2+y^2+ax+by+c=0$, que passa pelos pontos $P_1=(-2,7)$, $P_2=(-4,5)$ e $P_3=(4,-3)$.
- $a = 1/6$, $b = -1$, $c = -13/6$, $d=10$.
- $a= -2$, $b = -4$, $c = -29$.
Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $u$, $v$ e $w$, dados por: $u=\overrightarrow{AB}$, $v=\overrightarrow{AC}$ e $w=\overrightarrow{AD}$, onde $A=(1,3,4)$, $B=(3,5,3)$, $C=(2,1,6)$ e $D=(2,2,5)$.
$u\cdot(v\times w)=1$
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{5}=1$ e esboce seu gráfico.
Considere o círculo $C$ de raio $1$ e centrado na origem do sistema usual de coordenadas do $\mathbb{R}^2$. Lembre-se que a equação de $C$ é $x^2+y^2=1$. Considere o sistema $\{ Q,i,j\}$, onde $Q=(-3,2)$. Ache a equação de $C$ no novo sistema de coordenadas.
Quais são os cossenos diretores da reta no plano $xy$ que faz $45^\circ$ com a origem?
$1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0$.
Encontre o ponto $Q$ do espaço tal que o vetor com origem no ponto $P=(1,0,1)$ e com extremidade em $Q$ tenha norma, direção e sentido iguais ao vetor $(1,-2,1)$.
$Q=(2,-2,2)$.
Justificar as afirmações abaixo:
$\vec{u} \cdot (\vec{u}\times \vec{v})=0,$ para quaisquer dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}.$
Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares, então este paralelogramo é um losango.
Sejam $a_{1},\, a_{2},\,a_{3},\,b_{1},\, b_{2},\,b_{3}$ seis números reais quaisquer. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz: \[ (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3})^{2} \le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}) (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}). \]
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;\begin{cases}x=2+t\\ y=4-t\\ z=-t. \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ \begin{cases} y=6-x\\ z=2-x\end{cases}$$
As retas são coincidentes.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
\sin\alpha&\cos\alpha&1\\ \sin\beta&\cos\beta&1\\ \sin\gamma&\cos\gamma&1
\end{pmatrix}.
$
$\sin(\alpha - \beta) - \sin(\alpha - \gamma) + \sin(\beta - \gamma)$
A cúbica retorcida $T(t) = (t, t^2, t^3)$ (e suas primas) aparece em geometria algébrica. Mostre que se $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais distintos, então os pontos $T(a)$, $T(b)$, $T(c)$ e $T(d)$ não pertencem a um único plano em $\mathbb{R}^3$. (Dica: primeiro resolva o problema correspondente para a parábola em $\mathbb{R}^2$.)
Dado que os pontos médios dos lados do triângulo $ABC$ são $M=(0,1,3)$, $N=(3,-2,2)$ e $P=(1,0,2)$, determine a área do triângulo $ABC$.
Considere os pontos $A=(1,1,0)$, $B=(3,2,-1)$, $C=(0,1,-2)$ e $D=(1,3,-1)$.
- Encontre as retas: $r_1$ contendo o segmento $AB$ e $r_2$ contendo o segmento $CD$. Determine a posição relativa desta retas.
- Use o produto misto para encontrar a equação do plano $\pi$ contendo o segmento $AB$ e que seja paralelo a $r_2$.
- Calcule as distâncias $d(\pi, r_2)$ e $d(r_1, r_2)$.
Sabendo que o ponto $P=(-3,m,n)$ pertence à reta que passa pelos pontos $A=(1,-2,4)$ e $B=(-1,-3,1)$, determine $m$ e $n$.
\(m=-4\) e \(n=-2\)
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=16$.
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r\sqrt{\cos(2\theta)}=4$.
Considere a reta $r=\{(x,y):2x-3y=1\}\subset\mathbb{R}^2$. Seja $B$ a base formada pelos vetores $(3,2)$ e $(1,0)$ e $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$ coordenadas definidas em $\mathbb{R}^2$ pela origem usual e pela base $B$. Ache a equação de $r$ nas coordenadas $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$.
Reduza a equação $2x^2+2y^2-4z^2-5xy-2xz-2x-2y+z=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]
$x_1 = -\dfrac{27}{7}, x_2=\dfrac{-5}{7}, x_3 =\dfrac{2}{7} , x_4 =\dfrac{16}{7}.$
Suponha que o sistema de coordenadas $x'y'$ tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas $xy$ por um ângulo $\theta$. Explique como podemos encontrar as coordenadas $xy$ de um ponto cujas coordenadas $x'y'$ sejam conhecidas.
Seja \[A=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & x^{2}\\2x-1 & 0\end{array}\right) .\]
Qual é o valor de $x$ para que tenhamos $A^{t}=A$?
\(x=1\)
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$.
\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]
Seja $\mathcal{C}$ a cônica cuja equação em relação ao sistema $xy$ é dada por $29x^2 + 24xy + 36y^2 + 22x + 96y = 115$. A mudança de coordenadas entre os sistemas $xy$ e $x_{1}y_{1}$ é feita através de uma matriz ortogonal $U$, como segue
\[ \begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{\,4}{5}} \\{\frac{\,-4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\quad \text{ e }\quad
\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{-4}{5}} \\ {\frac{\,4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix},\quad \text{ lembrar que } U^{-1} = U^{t}.\]
Já a mudança entre os sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$ é dada por $X = x_{1}+1$, $Y = y_{1}+1$.
Encontre a equação de $\mathcal{C}$ nos sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$.
Encontre as coordenadas dos vértices e dos focos de $\mathcal{C}$ nos três sistemas, $xy$,\,$x_{1}y_{1}$ e $XY$. Dica: Encontrar primeiro no sistema $XY$ e ir voltando.
Faça um esboço do desenho da cônica.
As equações dos lados de um triângulo são $9x+2y+13=0$, $3x+8y-47=0$ e $x-y-1=0$. Encontrar a equação da circunferência circunscrita a esse triângulo.
Mostre que a intersecção de um plano $\displaystyle by+cz+d=0$, em que $b^2+c^2=1$, com o cone $x^2+y^2=z^2$ é uma cônica que pode ser uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. (Sugestão: mude para um sistema de coordenadas $\{O,U_1,U_2,U_3\}$ tal que $U_1=\vec{i}=(1,0,0)$, $U_2=(0,b,c)$ e $U_3=(0,-c,b)$).
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=3z^2$.
Usando a definição de coordenadas cilíndricas, a equação dada fica: $\displaystyle r^2\cos(2\theta)=3z^2$.
Encontre a inversa da matriz abaixo (se existir):
\[\begin{pmatrix}\cos x & \sin x \\ - \sin x & \cos x\end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x\end{pmatrix}.\]
Dados o plano $x-y+z=1$ e o ponto $P=(1,0,1)$, encontre o ponto $Q$ que é simétrico a $P$ em relação ao plano dado.
Dadas as matrizes
\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & -3 & 2\\2 & 1 & -3\\4 & -3 & -1\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrrr}1 & 4 & 1 & 0\\2 & 1 & 1 & 1\\1 & -2 & 1 & 2\end{array}\right) \text{ e }C=\left(\begin{array}[c]{rrrr}2 & 1 & -1 & -2\\3 & -2 & -1 & -1\\2 & -5 & -1 & 0\end{array}\right) ,\]
mostre que $AB=AC$.
$AB=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right) $ e $AC=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right) $.
Mostre que a projeção no plano $yz$ da curva correspondente à intersecção das superfícies $x = 1 - y^{2}$ e $x = y^{2} + z^{2}$ é uma elipse. Explique bem seu raciocínio.
Os seguintes pares de retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas ou concorrentes. Encontre uma equação geral do plano que as contém.
$$r_1:\;\begin{cases}y=2x-3\\z=-x+2\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \
\ r_2: \begin{cases}\text{ $\frac{x-1}{3}=\frac{z-1}{-1}$}\\
y=-1.\end{cases}$$
Verifique se a equação $x^2-6x+y^2-4y+z^2+14z+58=0$ descreve uma esfera. Em caso afirmativo, identifique o centro e o raio.
Completamos quadrados para reescrevê-la como $\displaystyle (x-3)^2+(y-2)^2+(z+7)^2=4$. Ou seja, neste caso, a equação descreve uma esfera de raio $2$ e centro em $(3,2,-7)$.
Que condições devem satisfazer os vetores $a$ e $b$ para que o vetor $a+b$ divida o ângulo formado por eles em dois ângulos iguais?
Considere um paralelogamo de lados $a$ e $b.$ O vetor soma $a+b$ representa a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores $a$ e $b$. Caso os vetores $a$ e $b$ tenham módulos iguais, isto é, mesmo tamanho, o paralelogramo formado por esses vetores será um losango (todos os lados do paralelogramo terão a mesma medida), e a diagonal dividirá o ângulo entre os vetores $a$ e $b$ ao meio. Assim, teremos a igualdade entre dois ângulos $\alpha =\beta $ quando $\left\Vert a\right\Vert=\left\Vert b\right\Vert .$ Então, para que o vetor soma divida ao meio o ângulo entre os vetores $a$ e $b$, basta que $\left\Vert a\right\Vert =\left\Vert b\right\Vert .$
Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$ e $P=(x_1,y_1)$ um ponto em $\mathcal{C}$. Mostre que a equação da reta tangente à circunferência por $P$ é $x_1x+y_1y=r^2$. (Lembre que a reta tangente em $P$ sempre é perpendicular ao vetor $\vec{OP}$, com $O$ sendo o centro de $\mathcal{C}$.)
Um ponto $x=(x,y)$ qualquer sobre a reta tangente a $\mathcal{C}$ pelo ponto $P$ deverá satisfazer $(x-P)\cdot\overrightarrow{OP}=0$. Ou seja, $\vec{x}$ deverá cumprir $(x-x_1)x_1+(y-y_1)y_1=0$ pela condição de perpendicularidade. Como $P\in\mathcal{C}$, então $x_1^2+y_1^2=r^2$ e a condição anterior fica $\displaystyle xx_1+yy_1=r^2$.
Reduza a equação $3x^2+3z^2+4xy+8xz+4yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
0&a&0\\ b&c&d\\ 0&e&0
\end{pmatrix}.
$
\(0\)
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]
O sistema não possui solução.
Qual a equação da circunferência que passa pelos pontos $(1,2)$, $(3,4)$ e que tem centro sobre o eixo $y$?
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{3}{2+4cos\theta}$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
a&b&c\\ b&c&a\\ c&a&b
\end{pmatrix}.
$
$-a^3 - b^3 + 3 a b c - c^3$.
Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas $r: y=z=0$ e $l: x=y-1=0$. Que conjunto é este?
A Pirâmide de Quéops, também conhecida como Grande Pirâmide de Gizé, no Egito, tem o formato muito próximo de um tetraedro regular. Pesquise as suas medidas e utilizando o produto misto, calcule aproximadamente o volume interno da pirâmide. Defina o sistema de coordenadas e os três vetores do produto misto de forma a facilitar as contas.
Calcule o determinante da matriz: $\begin{pmatrix}
\sin\alpha&\cos\alpha \\ \sin\beta&\cos\beta
\end{pmatrix}.$
\(\displaystyle \sin(\alpha-\beta)\)
Reduza a equação $x^2+y+z^2=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$y=-(x^2+z^2)$: parabolóide elíptico.
Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$, onde
\[
A = \left( \begin{array}{ccc}
2 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & -2 & 1
\end{array}\right) .\]
\(\lambda=-1\), \(2\) ou \(4\).
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $4x^2-8x-9y^2+6y-68=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Mostre que quaisquer que sejam $u$, $v$ e $w$ em $\mathbb{R}^2$, eles são linearmente dependentes.
Para dois vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$, mostre que vale a Lei Distributiva: $m(\vec{A} + \vec{B})=m\vec{A}+m\vec{B}$ (Sugestão: mostre que $m\vec{A}+m\vec{B}$ está na mesma direção que $\vec{A}+\vec{B}$ e que $\|m\vec{A}+m\vec{B}\|$ é igual a $m$ vezes $\|\vec{A}+\vec{B}\|$). O que ocorre se $m$ for negativo?
Resolver o sistema linear:
\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica $x=t/2$, $y=t^2+1$ em $t=-1$ e $t=1$ sem eliminar o parâmetro.
Verifique suas respostas do item anterior eliminando o parâmetro e diferenciando uma função apropriada de $x$.
Sejam $\vec{u}=(2,1,3)$, $\vec{v}=(0,1,-1)$ e $\vec{w}=(4,5,3)$ vetores do espaço.
Calcule $\vec{u}+\vec{v} $ e $\vec{u}-2\vec{v}+3\vec{w}$.
Determine $a$ e $b$ tais que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$.
- $\vec{u}+\vec{v}=(2,1,2) $ e $\vec{u}-2\vec{v}+3\vec{w}=(14,14,14)$.
- $a=2$ e $b=3$.
Para o par de vetores $u=(1,1,1)$ e $v=(3,1,-1)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.
$\textrm{proj}_{u}{u}=u$.
$v_1=u$; $v_2=(2,0,-2).$
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}-z^2=1$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Para o par de vetores $u=(1,2,-2)$ e $v=(3,-2,1)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.
$\textrm{proj}_{u}{v}=\dfrac{-1}{3}(1,2,-2)$.
$v_1=\dfrac{-1}{3}(1,2,-2)$.
$v_2=\dfrac{1}{3}(10,-4,1)$.
Esboce a figura correspondente às seguintes equações polares:
- $r = 1$,
- $r = 9$,
- $\theta = \frac{\pi}{2}$,
- $\theta^{2} = \frac{\pi^{2}}{16}$.
Dê equações paramétricas para a curva $y=x^2-x^4$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica e fazer um esboço gráfico da mesma: elipse com vértices $A_1=(10,0), \, A_2=(-10,0), \, B_1=(0,6), \, B_2=(0, -6).$
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $\displaystyle 4x^2-4x+9y^2-18y=26$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Demonstre que se $\alpha$ e $\beta$ são números reais tais que $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$, então $\alpha = 0$ e $\beta = 0$.
Qual a conclusão geométrica que podemos tirar do item acima?
- $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$ resulta no sistema cujas equações são: $2\alpha+3\beta=0$ e $3\alpha+2\beta=0$.
Resolvendo o sistema, obtemos $\alpha=\dfrac{-3}{2}\beta=\dfrac{-2}{3}\beta$ que só pode ser satisfeita se $\beta=0$. E, portanto, $\alpha=0$. - Podemos concluir que esses dois vetores são linearmente independentes, isso significa que eles tem direções distintas.
Classifique a superfície $\displaystyle \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}-z^2=0$ como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+3y^2+4xy+4y-4=0$.
Dadas a equação da curva diretriz $y^2=4x$, $z=0$ e um vetor $V=(1,-1,1)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Reduza a equação $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz - 2yz + x - y + z + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
2&-2&0\\ -2&3&-2\\
0&-2&4
\end{pmatrix}.
$
\(x=0\), \(x=3\) e \(x=6\)
Sejam $u=(-1,1,1)$ e $v=(2,0,1)$ dois vetores. Encontre os vetores $w$ que são paralelos ao plano determinado por $O$, $u$ e $v$, perpendiculares a $v$ e tais que $u\cdot w=7$.
Os vetores $\vec{w}$ são da forma:
$\vec{w}=\left(-\frac{7}{3},\frac{14}{3},0\right)^T+\lambda\left(1/3,-2/3,1\right)^T$, $\lambda\in\mathbb{R}$
Um roteador de internet sem fio é instalado de forma que o sinal chegue com mesma intensidade em qualquer ponto $(x,y)$ a uma distância $r$ do local de instalação $(a,b)$ (desconsiderando eventuais efeitos que possam diminuir a intensidade do sinal). Determine a equação do lugar geométrico no plano cartesiano tal que a internet possa ser utilizada sem problemas.
Verifique que a intersecção dos planos $\pi_1:x-y=0$, $\pi_2:x+z=0$ e $\pi_3:x-y+3z+3=0$ é um ponto. Modifique o coeficiente de $y$ na equação do plano $\pi_3$ para que a intersecção $\pi_1\cap\pi_2\cap\pi_3$ seja uma reta.
Seja o sistema linear $AX = B$, onde
\[A=\begin{pmatrix}1&\phantom{-}2&-3\\3&-1&\phantom{-}5\\1&\phantom{-}1&a^{2}-16\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}4\\2\\a+14\end{pmatrix}.\]
Determine o valor (ou valores) de $a$ para que o sistema tenha solução única.
Exitem valores de $a$ para os quais o sistema tem infinitas soluções?
Exitem valores de $a$ para os quais o sistema não tem solução?
Dada uma matriz $A = CD$, onde $C^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 &3\end{array}\right]$ e $ D^{-1} =\left[\begin{array}{cr} 2 & 5 \\ 3 & -2\end{array}\right]$, resolva o sistema $AX = B$, sabendo que $B=\left[\begin{array}{c} -1 \\0 \end{array}\right]$.
Se $AX=B$ com $A=CD$, tem-se $CDX=B$.
Multiplicando a última expressão por $C^{-1}$ à esquerda: $C^{-1}CDX=C^{-1}B \Rightarrow I_2DX=C^{-1}B$ ou $DX=C^{-1}B$.
E então, multiplicando a expressão resultante por $D^{-1}$ à esquerda: $D^{-1}DX=D^{-1}C^{-1}B$ e $I_2X=D^{-1}C^{-1}B$ ou, equivalentemente, $X=D^{-1}C^{-1}B$.
Como $C^{-1}$ e $D^{-1}$ são dadas, basta realizar as multiplicações, obtendo-se $B=\left[\begin{array}{c} -11 \\7 \end{array}\right]$.
Dados os pontos $A = (2,3,0), \; B = (4,0,1)$ e $C = (0,1,2)$ no $\mathbb{R}^{3}$, determine:
O comprimento do lado $AB$.
A medida do ângulo entre os lados $BA$ e $BC$.
A área do triângulo $ABC$.
O comprimento da altura do triângulo $ABC$ relativa ao vértice $A$.
As coordenadas do ponto no lado $AC$ por onde passa a perpendicular a esse lado que contém o ponto $B$.
Desenhe o triângulo $ABC$ no espaço $\mathbb{R}^{3}$.
Mostre que o segmento que une os pontos médios de 2 lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e é igual a sua metade.
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right) =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$
Logo, $MN//AB$ e $\left\Vert \overrightarrow{MN}\right\Vert =\left\Vert\overrightarrow{AB}\right\Vert /2.$
Considere o sistema linear:
$$ \left\{ \begin{array}{rcrcrcc}a x &+& b y &+& cz & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b)y &+& (\alpha c) z & = & d \\(\beta a) x &+& (\beta b)y &+& (\beta c) z & = & e\end{array} \right. ,$$
onde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $\alpha$ e $\beta$ são números reais.
Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e=\beta c$, o sistema tem infinitas soluções em função de um único parâmetro real.
Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e\neq\beta c$, ou, se $d\neq\alpha c$ e $e=\beta c$, o sistema tem infinitas soluções em função de dois parâmetros reais.
Mostre que, se $d\neq\alpha c$ e $e\neq\beta c$, o sistema tem solução única.
Reduza a equação $-2x^2+4y^2+6z^2+2xy+6xz+6yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Sejam
$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\1 & 0 & -1\\4 & -1 & 0\end{array}\right)$ e $X= \left( \begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)$.
Verifique que: $xA_1+yA_2+zA_3=AX$, sendo $A_j$ a $j$-ésima coluna de $A$, para $j=1$, 2, 3.
Verifique que a segunda coluna de $C=A^2$ é $C_2=-2A_1 - A_3$.
Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam $A$ uma matriz $m\times n$, $B$ uma matriz $n\times k$ e $C=AB$. Se $C_j$ é a $j$-ésima coluna de $C$, encontre $C_j$ em termos das $n$ colunas de $A$ e da $j$-ésima coluna de $B$.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1
\end{pmatrix}.
$
As raízes são: \(x=-1\) (simples) e \(x=1\) (dupla).
Reduza a equação $z^2 + 4xy + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $z^2 + 4xy + 1 = 0$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+1=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 \\2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 2 & 0 \\2 & -\lambda & 0 \\0 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+\lambda^2+4\lambda-4.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $1$, $2$ e $-2$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $1$ e $2$, $(A-I) X = 0$ e $(A-2I) X = 0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas consiste em $U_1=(0,0,1)$ e $U_2=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $z^2 + 4xy + 1 = 0$ se transforma em:
$$-(x')^2-\dfrac{(y')^2}{1/2}+\dfrac{(z')^2}{1/2}=1,$$
que é a equação de um hipérbolóide de duas folhas.
Mostre que o vetor $\displaystyle p=b-\frac{a\cdot b}{a\cdot a}\;a$ é perpendicular ao vetor $a$.
$\displaystyle p\cdot a=b\cdot a-\frac{a\cdot b}{a\cdot a}\;a\cdot a=b\cdot a-\frac{a\cdot b}{||a||^2}||a||^2=b\cdot a-a\cdot b\,\frac{||a||^2}{||a||^2}=b\cdot a-a\cdot b=0$.
Encontre condições sobre o vetor $v=(a,b,c)$ para que exista uma reta na direção de $v$ que intercepte simultaneamente as retas $r$ e $s$:
$$r:\begin{cases} x=2 + t\\
y = 5 - t
\\z = 3 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ s:\begin{cases} x= t\\
y = 1 - t
\\z = -2 + t \end{cases}$$
Suponha que o sistema de coordenadas $x'y'$ tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas $xy$ por um
ângulo de $30^\circ$. Use a rotação \begin{align*}x & = x'\cos\theta - y'\sin\theta, \\y & = x'\sin\theta + y'\cos\theta, \end{align*}
para encontrar as coordenadas $x'y'$ da curva $y=x^2$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\cos\theta$, $y=2\sin\theta$ e $z=3\theta$.
Seja $(4,5)$ o ponto médio de um segmento de reta tal que uma extremidade é $(-1,2)$. Ache a outra extremidade.
$(9,8)$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\sin\theta$, $y=\mathrm{cosec\,}\theta$ e $z=\cos\theta$.
Qual é o lugar geométrico de todas as retas que passam pela origem com ângulo diretor em relação ao eixo $z$ $\gamma=30^\circ$?
Um cone sobre o eixo $z$.
Encontre condições sobre o vetor $v=(a,b,c)$ para que exista uma reta na direção de $v$ que intercepte simultaneamente as retas $r$ e $s$:
$$r:\begin{cases} x= 2 + t\\y = 5 - t\\z = 3 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ s:\begin{cases} x= t\\y = 1 - t\\z = -2 \end{cases}$$
Forneça equações paramétricas para o ramo positivo da curva $9x^2-4y^2+90x+32y+125=0$, indicando valores para o parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$.
Usando a definição de coordenadas cartesianas, obtemos: $\displaystyle 2+\frac{5}{x-\sqrt{x^2+y^2}}=0. $
Qual é o vetor unitário na direção de $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$?
$\dfrac{x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$.
Um roteador de internet sem fio é instalado de forma que o sinal
chegue com mesma intensidade em qualquer ponto $(x,y)$ a uma distância
de $10$m do local de instalação $(0,0)$ (desconsiderando eventuais efeitos
que possam diminuir a intensidade do sinal). Um outro roteador (nas mesmas condições), é instalado na posição $(20,0)$. Um terceiro roteador deve ser colocado de forma que o sinal chegue a uma maior área possível, ao mesmo tempo que fique próximo dos outros dois roteadores. Determine os dois pontos no plano cartesiano tais que este novo roteador possa ser instalado.
A fim de esboçarmos uma hipérbole, precisamos indicar: centro, focos, vértices e assíntotas. Os pontos sobre a curva mais próximos do centro (sobre o eixo maior) são os vértices. Os vértices distam $a$ do centro e as assíntotas são da forma $y=\pm(\frac{a}{b}) x$ (se os focos estiverem sobre o eixo $y$) ou $y=\pm(\frac{b}{a}) x$ (se estiverem sobre o eixo $x$), onde $a^2+b^2=c^2$. A excentricidade de uma hipérbole é definida como $\frac{c}{a}$.
Esboce o gráfico de $25x^2-16y^2=400$.
Dê a equação da hipérbole com vértices $(0,\pm3)$ e excentricidade $e=5/3$.
Esboce o gráfico da curva $9x^2-y^2=-36$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]
Esse sistema possui infinitas soluções.
No processo de escalonamento de um sistema linear, se uma linha se anular, mostre que ela era uma combinação linear das outras.
Mostre que o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem uma equação da forma $f(x,y)=0$ ou $f(x,z)=0$ ou $f(y,z)=0$ representa uma superfície cilíndrica que tem retas geratrizes paralelas ao eixo cuja variável não aparece na equação. Equação esta que é também a equação da curva diretriz no plano coordenado correspondente às variáveis que aparecem na equação.
Determinar o ângulo entre a reta que passa por $A(3,-1,4)$ e $B(1,3,2)$ e a sua projeção ortogonal no plano $xy$.
$\theta=\arccos \left(\frac{5}{\sqrt{30}}\right)$
Reduza a equação $144x^2+100y^2+81z^2-216xz-540x-720z=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $4x^2-8x-9y^2+6y-36z+3=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$9z-2=(x-1)^2-\dfrac{(3y-3)^2}{4}$: parabolóide hiperbólico.
Mostre que quaisquer vetores $a, b, c$ satisfazem a relação $$(a\times b)\cdot(c\times d)\;+\;(a\times c)\cdot(d\times b)\;+\;(a\times d)\cdot(b\times c)=0.$$
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Reduza a equação $4x^2+y^2-8z^2+4xy-4xz+8yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Mostre que por cada ponto do parabolóide hiperbólico $z=x^2-y^2$ passam duas retas inteiramente contidas nele.
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]
$Y = x_1 \left(1, \dfrac{-2}{3}, 0\right)^T$, $\forall x_1\in\mathbb{R}$.
$X_o = \left(0, \dfrac{19}{6},\dfrac{ 3}{2}\right)^T$.
$X_o + Y = \left(x_1, \dfrac{19}{6}-\dfrac{2 x_1}{3},\dfrac{ 3}{2}\right)^T$, $\forall x_1\in\mathbb{R}$.
Sejam
\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 1 & -1
\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrr}-2 & 0 & 1\\3 & 0 & 1
\end{array}\right) \text{, }C=\left(\begin{array}[c]{r}-1\\2\\4\end{array}\right) \text{ e }D=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & -1\end{array}\right) .\]
Encontre:
- $A+B$;
- $AC$;
- $BC$;
- $CD$;
- $DA$;
- $DB$;
- $-A$;
- $-D$.
\[A+B=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 0 \end{array}\right);\]
\[AC=\left(\begin{array}{c} 15 \\ -4 \end{array}\right);\]
\[ BC=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array}\right);\]
\[CD = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 4 & -2 \\ 8 & -4 \end{array}\right);\]
\[DA = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & 7 \end{array}\right);\]
\[ DB =\left(\begin{array}{ccc} -7 & 0 & 1 \end{array}\right);\]
\[ -A = \left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & 1 \end{array}\right);\]
\[ -D = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \end{array}\right).\]
Na equação $9x^2-4xy+6y^2=30$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.
Considere o polinômio $p(\lambda)=\det(A-\lambda I_3)$, em que$$ A= \left[\begin{array}{ccc} a & d/2 & e/2 \\ d/2 & b & f/2 \\ e/2 & f/2 & c \end{array}\right]. $$
Sejam $\alpha$ e $\beta$ raízes reais (pois $A$ é simétrica) distintas de $p(\lambda)$. Mostre que se $X_1$ é solução de $(A-\alpha I_2)X=\vec{0}$ e $X_2$ é solução de $(A-\beta I_2)X=\vec{0}$, então $X_1$ e $X_2$ são ortogonais. (Sugestão: Mostre que $\alpha X_1\cdot X_2=\beta X_1\cdot X_2$)
Mostre que se $p(\lambda)$ tem raízes reais distintas, então sempre existe uma matriz $Q$ tal que $$ Q^tAQ = \left[\begin{array}{ccc} a' & 0 & 0 \\ 0 & b' & 0 \\ 0 & 0 & c' \end{array}\right]. $$ Conseqüentemente, a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$ transforma a equação $$ ax^2+by^2 + cz^2 + dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0 $$ na equação $$a'x'^2+b'y'^2+c'z'^2+g'x'+h'y'+i'z + j=0, $$ onde os termos "cruzados" $xy$, $xz$ e $yz$ são eliminados.
Os vetores $(1,1,0,-1),(1,2,1,3),(1,1,-9,2),(16,-13,1,3)$ formam uma base para $\mathbb{R}^{4}$?
Sim, porque são 4 vetores linearmente independentes, e dim $\mathbb{R}^{4}=4$.
Reduza a equação $4x^2+4y^2+9z^2+8xy+12xz+10x+y+4z+1=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Encontre o ângulo entre os vetores $u=(2,1,0)$ e $v=(0,1,-1)$ e entre os vetores $w=(1,1,1)$ e $z=(0,-2,-2)$.
\(\arccos(\dfrac{\sqrt{10}}{10})\) e \(\arccos(-\sqrt{\dfrac{2}{3}})\), respectivamente.
Dadas a equação da curva diretriz $x^2+z^2=1$, $y=0$ e um vetor $V=(4,1,0)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Uma viga metálica fina, com extremidades nas coordenadas $A=(-1,4,7)$ e $B=(3,-2,-1)$, deve ser dividida em duas partes iguais. Determine o ponto $C$ que realiza esta divisão.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]
Esse sistema possui uma única solução.
Reduza a equação $x^2+y^2+4z^2-2xy-4xz+6x+12y+18z=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado quando o mesmo: representa o vetor $v=(1,-2,1)$ e sua origem é o ponto $P=(1,0,1)$.
$(2,-2,2)$.
Verifique que a reta $x-1=z-2 y=3$ é paralela ao plano $x+2y-z=3$ e encontre a distância perpendicular entre eles.
Escrevendo $z$ como parâmetro livre, obtemos que $v=(1,0,1)$ é um
vetor diretor da reta dada e, sendo $n=(1,2,-1)$ o vetor normal ao
plano, vemos que $v\cdot n=0$. Ou seja, a reta é paralela ao plano.
Tomando os pontos $p=(-1,3,0)$ sobre a reta e $p_1=(3,0,0)$ sobre o
plano, segue também que a distância procurada é dada por $$
\|\mathrm{proj}_{n}\overrightarrow{p_1p}\| = \sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Sejam $A$ uma matriz $n\times m$, ${\bf 0}$ a matriz nula $m\times 1$ e $B$ uma matriz $m\times 1$.
- Sabendo que $Y_{1}$ e $Y_{2}$ são duas matrizes $m\times 1$ que são soluções do sistema $AX = {\bf 0}$ e que $a$ e $b$ são dois números reais, mostre que $Y_{3} = aY_{1} + bY_{2}$ também é solução do sistema $AX = {\bf 0}$.
- Sabendo que $X_{1}$ e $X_{2}$ são duas matrizes $m\times 1$, que são soluções do sistema $AX = B$, mostre que $X_{3} = X_{1} - X_{2}$ é uma solução do sistema $AX = {\bf 0}$.
- Sabendo que $U$ e $V$ são duas matrizes $m\times 1$ onde $U$ é uma solução do sistema $AX = {\bf 0}$ e $V$ é uma solução do sistema $AX = B$ mostre que $Z = U + V$ também é solução do sistema $AX = B$.
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $z=4x^2+4y^2$ e esboce seu gráfico.
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{6}{3+sen\theta}$.
Considere o ponto $A=(3,4,-2)$ e a reta $ r:\left\{
\begin{array}{ccc}
x & \;=\; & 1+t \\
y & \;=\; & 2-t \\
z & \;=\; & 4+2t
\end{array}
\right. $, onde $t\in \mathbb{R}.$
- Escreva a equação do plano $\pi $ perpendicular a $r$ que passa por $A$.
- Determine a reta que passa por $A$ e é perpendicular a $r$.
- $x-y+2z=-5.$
- $\left\{
\begin{array}{l}
x=3-4t \\
y=4 \\
z=-2+2t
\end{array}
\right. .$
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;\begin{cases} y=2x-3\\ z=-x-10. \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ r_2:\; \begin{cases}y=3x+7\\ z=x+1\end{cases}$$
As retas não são concorrentes.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]
$x_2 =\dfrac{19-4x_1}{6}, x3 =\dfrac{3}{2}, \forall x_1 \in \mathbb{R}$.
Determine o plano que passa pelos pontos $P=(1,1,-1)$ e $Q=(2,1,1)$ e que dista $1$ da reta $r=\{ (1,0,2)+t(1,0,2),t\in\mathbb{R}\}$.
A hipérbole $\ell$ tem focos $F_1$, $F_2$ e vértices $A_1$, $A_2$. Encontrar equações paramétricas de $\ell$ se
$F_1=(2,0)$, $F_2=(8,0)$, $A_1=(3,0)$, $A_2=(7,0)$;
$F_1=(0,0)$, $F_2=(4,8)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(3,6)$.
Resolver o sistema linear:\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]
$x_3 =\dfrac{11x_1+4x_2}{5}, x_4 = \dfrac{6 x_1-x_2}{5}, x_5 = \dfrac{21 x_1 + 9 x_2}{5}, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]
$x_1 = -\dfrac{27}{7}, x_2=\dfrac{-5}{7}, x_3 =\dfrac{2}{7} , x_4 =\dfrac{16}{7}.$
Encontre as equações vetoriais e paramétricas para a reta $r$ que é perpendicular ao plano $2x-y+2z=4$ e passa pelo ponto de interseção das retas $r_1$ e $r_2$ dadas por: $$
r_1: \left\{\begin{array}{ccr}
x&=&t \\ y&=&2+t \\ z&=&1+t
\end{array}\right.,\,\,\, t\in \mathbb{R} \;\;\;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\;\;\;
r_2:\left\{\begin{array}{ccr}
x&=&-1+2s \\ y&=&1+s \\ z&=&0
\end{array}
\right.,\;\;s\in \mathbb{R}.$$
Usando escalonamento, obtemos que o ponto de intersecção ocorre para os valores $s=0$ e $t=-1$ dos respectivos parâmetros. Ou seja, as retas $r_1$ e $r_2$ se intersectam no ponto $(-1,1,0)$. Como $r$ é perpendicular ao plano, então podemos tomar a normal $(2,-1,2)$ como um vetor diretor. Portanto, a reta procurada pode ser descrita vetorialmente como $$\vec{r}=(-1,1,0)+t(2,-1,2),\quad t\in\mathbb{R},$$ ou ainda, parametricamente, como sendo $$\begin{cases} x=-1+2t,\\y=1-t,\\z=2t,\quad t\in\mathbb{R}. \end{cases}$$
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(-2,3,4)$ e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos $x$ e dos $y$.
$r:(x,y,z)=(-2,3,4+t);$
Dê equações paramétricas para a curva $y=x^3-x^2$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Ache o ângulo entre duas retas no espaço que passam pela origem, no primeiro octante, sendo uma delas com ângulos diretores $\alpha_1=\beta_1=60^\circ$; e a outra com ângulos diretores tais que $\cos \alpha_2=\cos \beta_2=1/2\sqrt{2}$ (Sugestão: cada par de retas forma um plano que contém um dos eixos coordenados -- por quê?).
$15^\circ$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\cos\theta$, $y=\cos^2\theta$ e $z=\sin\theta$.
- Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (10, 1,-1)$, $B = (1, 9,-1) \text{ e } C = (1,-1, 5)$.
- Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1)$, $E = (3,-1, 10)$ e é paralelo ao eixo $z$.
- Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
- Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
- Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $\overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)
Um vetor no espaço tem dois de seus ângulos diretores dados: $\alpha=45^\circ$ e $\beta=120^\circ$. Ache o outro ângulo diretor e faça um esboço do vetor. Quantas respostas existem? (Sugestão: use as fórmulas de cosseno diretor).
$60^\circ$, $120^\circ$. Existem duas respostas.
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2+y^2+4z^2=16$.
Usando a definição, a equação dada fica: $\displaystyle r^2+4z^2=16$.
Reduza a equação $2x^2 + 30y^2 + 23z^2 + 72xz + 150 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Identifique a quádrica definida pela equação reduzida $-x^2+ y^2+z^2=0$ e esboce seu gráfico.
Ache as retas tangentes ao círculo $x^2+y^2=4x$ que passam pelo ponto $(3,2)$.
Sejam $u = (2,-1,3)$, $v = (0,1,7)$ e $w = (1,4,5)$.
Mostre que existem dois números $\alpha$ e $\beta$ tais que $u\times(v\times w) = \alpha\,v + \beta\,w$.
Mostre que existem dois números $a$ e $b$ tais que $(u\times v)\times w = a\,u + b\,v$.
Seja $ABCD$ um tetraedro e $P$ um ponto qualquer dentro dele. Ligue os vértices $A, B,C,D$ até o ponto $P$ e prolongue as linhas até que elas interceptem as faces opostas nos pontos $A',B',C',D'$, respectivamente. Mostre que vale a seguinte relação: $$\frac{PA'}{AA'}+\frac{PB'}{BB'}+\frac{PC'}{CC'}+\frac{PD'}{DD'}=1.$$
Dada a superfície $4x^2+y^2-z=0$, identifique a cônica obtida ao fixar:
$x=0$;
$y=0$;
$z=1$.
Dado o ponto $P(5,2,3)$ e o plano $\pi:\;2x+y+z=0$, determinar:
- equações paramétricas da reta que passa por $P$ e é perpendicular a $\pi$;
- a projeção ortogonal de $P$ sobre o plano $\pi$;
- o ponto $P'$ simétrico de $P$ em relação a $\pi$;
- a distância de $P$ a o plano $\pi$.
- $r:(x,y,z)=(5+2t,2+t,3+t)$.
- $P_{\bot}=(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
- $P'=(-5,-3,-2)$.
- $5\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&1&-1\\ -1&0&1\\ -1&-1&0
\end{pmatrix}.
$
\(-1\)
Identifique a cônica descrita pela equação $4x^2-4xy+y^2-2x+y+15=0$.
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;(x,y,z)=(2,4,1)+t(1,-2,3)\ \ \ {\rm e} \ \ \ \ r_2:\;(x,y,z)=(-1,2,5)+t(4,3,-2)$$
As retas não são concorrentes.
Ache a equação do círculo com centro $C=(3,-2)$ tangente a $2x-y=0$.
Visto que seu centro é dado, nos basta então encontrar seu raio. Para isso, vamos determinar o ponto de tangencia, digamos, $P=(x_1,y_1)$. Você pode notar, inicialmente, que a reta dada passa pela origem e tem diretor $\vec{v}=(1,2)$. Assim, devemos ter que $\displaystyle (P-C)\cdot\vec{v}=0$, ou seja, $(x_1-3,y_1+2)\cdot (1,2)=0\Longrightarrow x_1+2y_1=-1$. Por outro lado, como $P$ é um ponto da reta
dada, deve cumprir sua equação. Enfim, $P$ pode ser obtido pelo sisteminha $$\begin{cases} x_1+2y_1=-1,
\\ 2x_1-y_1=0, \end{cases}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1&2 & \vdots & -1 \\ 2 & -1 & \vdots & 0 \end{array}\right)
\begin{array}{c} {}\\ \sim \\ {}\end{array} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \vdots & -1 \\ 0& -5 & \vdots & 2\end{array}\right). $$ Donde obtemos a solução $$ x_1=\frac{1}{5} \quad\text{e}\quad y_1=-\frac{2}{5}. $$ Segue que o raio é dado então por $r=\|P-c\|=2\sqrt{\dfrac{13}{5}}$. Portanto, a equação procurada do círculo é dada por $$ (x-3)^2+(y+2)^2=\frac{52}{5}.$$
Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]
Esse sistema linear possui infinitas soluções.
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica: elipse com vértices $A_1=(5,0), \, A_2=(-5,0), \, B_1=(0,2), \, B_2=(0, -2)$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.
\[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]
Esse sistema possui infinitas soluções.
A resultante de $n$ forças $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ (que podem ser representadas por vetores) é dada pela soma $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\ldots,\vec{F_n}$. A magnitude de uma força $\vec{F}$ é dada pela norma $\|\vec{F}\|$. Dadas as forças na figura abaixo, determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo $x$ positivo (sugestão: use a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos).
Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e seu comprimento é a média aritmética dos comprimentos das bases.
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM},$ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DM}.$ Portanto, $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}.$
Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:
$$r:\begin{cases} x - 2y = 4\\
3y + z = -8\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=0.$$
Determinar a equação reduzida da hipérbole com assíntotas $3y=\pm 2x $ e vértices $(\pm 10,0).$
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
$$r_1:\;\begin{cases}x=2-t\\ y=3-5t\\ z=6-6t. \end{cases}\ \ \ {\rm e } \ \ \ \begin{cases}x=-3+6h\\ y=1+7h\\ z=-1+13h\end{cases}$$
$P=(3,8,12)$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
a&b&c&d\\ -b&a&d&-c\\ -c&-d&a&b\\ -d&c&-b&a
\end{pmatrix}.
$
$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2$
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2-y^2-4x+2y+2=0$.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]
$x_2 = \dfrac{13-2 x_1}{5}, x_3 = \dfrac{1+x_1}{5}, x_4 = \dfrac{9-x_1}{5}, \forall x_1\in\mathbb{R}.$
Calcule o cosseno do ângulo entre a diagonal de um cubo e suas arestas.
Consideraremos o cubo com arestas paralelas aos eixos coordenados. Sejam a origem $\left( 0,0,0\right) $ e os pontos $\left( k,0,0\right) ,\left(
0,k,0\right) $ e $\left( 0,0,k\right) $ quatro vértices do cubo. Considere agora o vetor diagonal, isto é, o vetor $\overline{d}$ obtido considerando a origem e o vértice oposto $\left( k,k,k\right) $. Então, o ângulo $\theta $ entre o vetor diagonal e a aresta $u_{x}=\left(k,0,0\right) $ é obtido como segue:
$\overline{d}.u_{x}=\left( k,k,k\right) .\left( k,0,0\right) =\left\vert
\overline{d}\right\vert .\left\vert \overline{u_{x}}\right\vert \cos \theta ,
$ $k^{2}=\sqrt{3k^{2}}k\cos \theta .$
Logo, $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}},$ e $\theta =arc\cos \left( \frac{1}{
\sqrt{3}}\right) ,$ onde escolhemos a determinação do $\arccos $ em $
\left( 0,\pi \right) $. Os ângulos com as arestas são iguais. Observe que o ângulo obtido é sempre independente da escolha de $k.$
Mostre que a equação $x^2+y^2+2z^2+2xz-2yz=1$ representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.
Encontre a equação da reta $r$ que passa por (1,-2,3), e tem vetor diretor $(-1,2,-3)$.
Parametricamente: $$ r: (1,-2,3) + t(-1,2,-3)\quad t\in\mathbb{R}.$$
Um silo com formato cônico de raio $r=1$ m e altura $h=2$ m é preenchido com trigo em $70\%$ de sua capacidade.
Quanto mais de trigo podemos colocar a fim de preenchê-lo completamente?
Na equação $x^2-y^2+2\sqrt{3}xy+6x=0$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.
Uma viga metálica fina, com extremidades nas coordenadas $A=(2,5,3)$ e
$B=(1,1,0)$, deve ser dividida em três partes iguais. Determine os
pontos $C$ e $D$ que realizam esta divisão.
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]
$z = 4 - 5 x - 2 y, t = 8 - 9 x - 5 y, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
Mostre que os vetores $a, b, c$, que satisfazem a relação $$a\times b \;+\; b\times c \;+\; c\times a\; = \;0$$ são coplanares.
Em um sistema de coordenadas ortogonal, um detonador de bomba está localizado no ponto $P=(2,1,2)$. Para ativá-lo, é preciso acender a extremidade $A=(2,1,1)$ de uma haste de combustível paralela ao vetor $\vec{u}=(1,0,2)$, cuja extremidade $B$ toca o ponto inicial de um caminho de pólvora que segue em linha reta até o detonador. O fogo se propaga com velocidade unitária na haste e no caminho de pólvora e este está contido no plano $\pi : x+2y-z-2=0$. Mostre que a explosão ocorre entre $3$ e $4$ segundos após o início do processo.
Dê equações paramétricas para o círculo centrado em $(h,k)$ e de raio 1, indicando o domínio onde o parâmetro $t$ assume valores. Esboce suas parametrizações.
Calcule os produtos:
- $\begin{pmatrix}\phantom{-}3 & 1\\ -1 &2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\phantom{-}0 & 5\\ -1 &6\end{pmatrix}$;
- $\begin{pmatrix}\phantom{-}3\\ -1\\ \phantom{-}2\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}2 & -6 & 7\end{pmatrix}$; - $\left(\begin{array}{ccc}1 & -4 & 5\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{c}\phantom{-}3\\ \phantom{-}4\\
-1\end{array}\right)$; - $A\cdot A^t$, onde $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1\end{pmatrix}$;
- $\begin{pmatrix}2& -4 & 6\\ 5 &\phantom{-}2 & 7 \\ 1& \phantom{-}0&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5& 0 & \phantom{-}0\\ 0 &2 & \phantom{-}0 \\ 0& 0&-1\end{pmatrix}$;
- $\begin{pmatrix}2&-1&3 \\ 0&\phantom{-}1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2&\phantom{-}1\\ \phantom{-}0&\phantom{-}2\\ \phantom{-}1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\ 3 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$;
- $\begin{pmatrix} \cos \alpha &- \sin \alpha \\ \sin \alpha & \phantom{-}\cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha& \phantom{-}\cos \alpha \\
\end{pmatrix}$.
- \[\left(\begin{array}{cc} -1 & 21 \\ -2 & 7 \end{array}\right);\]
- \[\left(\begin{array}{ccc} 6 & -18 & 21 \\ -2 &6 & -7 \\ 4 & -12 & 14 \end{array}\right);\]
- \(\displaystyle -18;\)
- \[\left(\begin{array}{cc} 14 & 10 \\ 10 & 14\end{array}\right);\]
- \[\left(\begin{array}{ccc} 10 & -8 & -6\\ 25 & 4 & -7\\ 5& 0 -4 \end{array}\right);\]
- \[\begin{pmatrix} -11 & 1\\ 4 &-2 \end{pmatrix};\]
- \[\begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & -\sin(2\alpha) \\ \sin(2\alpha) & \cos(2\alpha) \end{pmatrix}.\]
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $y^2+x^2+3xy-10x-10y+5=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Verifique se os seguintes pontos são colineares: $A=(3,1,4)$, $B=(2,7,1)$ e $C=(0,1,5)$.
Os pontos não são colineares.
Sejam $A\in M_{2\times 3}$, $B\in M_{3\times 1}$ e $C\in M_{3\times 3}$. Quais dos produtos existem?
- $A\,B$;
- $B\,A$;
- $A\,B^t$;
- $A\,C$;
- $A\,C^t$;
- $A\,B\,C$;
- $A\,C\,B$.
Apenas os produtos 1, 3, 4, 5 e 7estão definidos.
Reduza a equação $3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz - 4y = 6$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz - 4y = 6$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+KX-6=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ K=\begin{pmatrix}0 & -4 & 0\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}3 & 0 & -1 \\0 & 2 & 0 \\-1 & 0 & 3\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 & -1 \\0 & 2-\lambda & 0 \\-1 & 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+8\lambda^2-20\lambda+16.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $2$ e $4$, sendo $2$ uma raiz dupla. Considere o sistema linear referente à raiz $2$: $(A-2I) X = 0$. Duas soluções de norma unitária desse sistema são $U_1=(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$ e $U_2=(0,1,0)$. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (-1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz - 4y = 6$ se transforma em:
$$\dfrac{(x')^2}{4}+\dfrac{(y'-1)^2}{4}+\dfrac{(z')^2}{2}=1,$$
que é a equação de um elipsóide.
Encontre a equação geral do plano que contém os pontos $A=(1,0,0)$, $B=(1,5,-2)$ e é paralelo ao vetor $(1,-1,1)$. Determine a distância de $C=(1,-1,1)$ ao plano encontrado e a área do triângulo formado pelos vértices $A$, $B$ e $C$.
Identifique o círculo $x^2+y^2-2x-4y+5=0$, dando o seu centro e raio.
Ao completarmos quadrados, ficamos com $(x-1)^2+(y-2)^2=0$. Trata-se de um único ponto (círculo degenerado), a saber, o ponto $(1,2)$.
Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por $A(4,-3,-2)$ e tem a direção de $3i\;-\;2j$.
$r:(x,y,z)=(4+3t,-3-2t,-2)$.
Considere as retas $r$ e $r^{\prime}$ dadas por:
$r$: $x=0$, $y=2+t$ e $z=1+t$ $r^{\prime}$: $ x-2=z+1$ e $y=3$.
- Mostre que $r$ e $r^{\prime}$ são reversas.
- Encontre dois planos paralelos $\pi$ e $\alpha$ tais que $r\subset \pi$ e $r^{\prime}\subset \alpha$. Pergunta: Podem existir outros planos com as propriedades de $\pi$ e $\alpha$?
- Encontre a distância entre os planos $\pi$ e $\alpha$ do item anterior.
- Encontre $P$ em $r$ e $Q$ em $r^{\prime}$ tais que a reta que passa por $P$ e $Q$ seja perpendicular a $r$ e $r^{\prime}$.
Resolver o sistema linear em função do parâmetro $\lambda$:
\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]
$x_1 =\dfrac{-1}{4}, x_2 =\dfrac{7}{12}, x_3 =\dfrac{-1}{4}, \lambda = \dfrac{-11}{4}.$
Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado quando o mesmo: representa o vetor $v=(1,1,1)$ e sua extremidade é o ponto $P=(1,1,1)$.
$(0,0,0)$.
Diga qual é a cônica obtida pela intersecção do cone
$$x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$$
com o plano
$$x - y + z\;\sqrt{2/3} = 5 \sqrt{2/3} .$$
Explique seu raciocínio.
Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $3x^2+5y^2+4x-2y-10=0$.
Considere o sistema linear:
$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}a x &+& b y & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b) y & = & d\end{array} \right. ,$$
onde $a$, $b$, $c$, $d$, $\alpha$ são números reais.
Mostre que, se $d=\alpha c$, o sistema tem infinitas soluções em função de um parâmetro $\lambda$ real, dadas por: $x=\dfrac{c-b\lambda}{a}$ e $y=\lambda$.
Mostre que, se $d \neq \alpha c$, o sistema não admite solução.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2\cos\theta$, $y=2\sin\theta$ e $z=2\theta$.
Decompor o vetor $\vec{w} = (-1,-3,-2)$ como soma de dois vetores $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$, onde $\vec{u}$ é paralelo ao vetor $(0,1,3)$ e $\vec{v}$ é ortogonal a $(0,1,3)$ (Dica: $u$ pode ser escolhido como a projeção de $\vec{w}$ sobre $(0,1,3)$).
$\vec{u}=\left(0,-\frac{9}{10},-\frac{27}{10}\right)^T$ e $\vec{w}=\left(-\sqrt{\frac{10}{59}},-\frac{21}{\sqrt{590}},\frac{7}{\sqrt{590}}\right)^T$
Considere as retas $r=\{ (1,1,0)+t(0,1,1), t\in\mathbb{R}\}$ e $s:\frac{x-1}{2}=y=z$. Sejam $A$ o ponto de intersecção de $s$ e $\pi : x-y+z=2$; $B$ e $C$ as intersecções de $r$ com os planos coordenados $xz$ e $xy$ respectivamente. Calcule a área do triângulo $ABC$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
Resolver o sistema linear:
\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]
$x_2 =\dfrac{19-4x_1}{6}, x3 =\dfrac{3}{2}, \forall x_1 \in \mathbb{R}$.
Dado $v_1=(1,-2,1)$, determine vetores $v_2$ e $v_3$ de modo que os três sejam mutuamente ortogonais.
$v_2=(1,1,1)$ e $v_3=(1,0,-1).$
Reduza a equação $3x^2+4y^2+z^2-12x-8y-2z+16=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$\dfrac{(x-2)^2}{1/3}+\dfrac{(y-1)^2}{1/4}+(z-1)^2=1$: elipsóide.
Verdadeiro ou Falso? Justifique.
- Se $A=\left(\begin{array}[c]{rr}-2 & 1\\3 & 2\end{array}\right) $, então $A^{2}=\left(\begin{array}[c]{rr} 4 & 1\\9 & 4\end{array}\right) $.
- $(A+B)^{t}=B^{t}+A^{t}.$
- Se $AB=0$, então $A=0$ ou $B=0$.
- Se $AB=0$, então $BA=0$.
- Se podemos efetuar o produto $AA$, então $A$ é uma matriz quadrada.
- $(-A)(-B)=-(AB).$
- Sejam $A$ e $B$ duas matrizes. Se $A=0$, então $BA$ sempre existe.
Falso, pois efetuando a multiplicação temos que
\[A^2=7I_2.\]
Verdadeiro. Não confundir com a transposta do produto.
Falso! Como contra-exemplos, podemos tomar:
\[A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad\text{e}\quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{array}\right).\] Note que \(AB=\mathbf{0}\), não sendo nenhuma delas nula.
Falso também. Ainda pegando os dois exemplos anteriores, note que
\[BA=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\-1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1&1\\0&0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{array}\right).\]
Verdadeiro. Supondo que \(A\) fosse \(m\times n\), como o produto \(A\cdot A\) existe, isso implica que devemos ter \(m=n\).
- Falso, pois
\[(-A)(-B)=[(-1)A][(-1B)]=(-1)[A(-B)]=(-1)[A(-1)B]=(-1)(-1)[AB]=AB.\] - Falso. Note que, para que exista \(BA\), o número de colunas de \(B\) dever ser igual ao número de linhas de \(A\) que, por sua vez, não tem nada a ver com ser nula. Por exemplo, considerando \(A\) como sendo uma matriz \(2\times 3\) nula e \(B\) uma matriz \(2\times 3\) qualquer, temos que o produto \(BA\) não fica definido.
Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
\[
\begin{array}{lccccc}
& \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} &
\text{Tinta} & \text{Tijolo}\\
\text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\
\text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\
\text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13
\end{array}
\]
Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual e o custo total do material empregado?
- As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
- O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
- O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.
A hipérbole $\ell$ tem focos $F_1$ e $F_2$ e vértices $A_1$ e $A_2$. Encontrar equações paramétricas de $\ell$ se
$F_1=(2,0)$, $F_2=(8,0)$, $A_1=(3,0)$, $A_2=(7,0)$;
$F_1=(0,0)$, $F_2=(4,8)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(3,6)$.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por $z^2\sin\theta=r^3$.
Seja $\pi $ o plano que contém as retas
\[
r_{1}:\left\{
\begin{array}{ccc}
x & \;=\; & 2t \\
y & \;=\; & t \\
z & \;=\; & 2-t
\end{array}
\right. \mathrm{onde}\ \;\;t\in \Bbb{R}\;\;\;\;\ \ \ \ \ \ \mathrm{e}\ \ \ \
\ \ \;\;r_{2}:\left\{
\begin{array}{ccc}
z & \;= & \;2 \\
x & \;= & y
\end{array}
\right.
\]
- Determine a equação de $\pi $.
- Escreva o vetor $\vec{V}=2\vec{\imath}+1\vec{\jmath}+2\vec{k}$ como a soma de 2 vetores $\vec{U_{1}}$ e $\vec{U_{2}}$, sendo $\vec{U_{1}}$ paralelo a $\pi $ e $\vec{U_{2}}$ ortogonal a $\pi $.
- $x-y+z=2.$
- $\overrightarrow{U}_{1}=(1,2,1)$ e $\overrightarrow{U}_{2}=(1,-1,1).$
Suponha que $u_1,\ldots, u_n$ gerem $\mathbb{R}^n$. Mostre que dados vetores quaisquer em $\mathbb{R}^n$, $u_{n+1}, \ldots, u_m$, então $u_1, \ldots, u_n, u_{n+1}, \ldots, u_m$ geram $\mathbb{R}^n$.
Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $3x^2-14y=0$. Esboce também o gráfico.
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2+y^2+z^2=9z$.
Reduza a equação $2xy + 2xz + 2yz - 6x - 6y - 4z = 9$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
-2&2&-2\\2&1&-4\\ -2&-4&1
\end{pmatrix}.
$
$x_1=-3$, $x_2=-3$, $x_3=6$.
Sejam $x$, $y$ os eixos cartesianos usuais do plano. Faça a mudança de variáveis $X = x - 2$ e $Y = y + 3$, que corresponde a mudarmos a origem para o ponto $\textbf{O} = (2,-3)$.
Dado o ponto $P=(1,4)$ no sistema $xy$, encontre as coordenadas de $P$ no sistema $XY$.
Dado o ponto $A=(2,1)$ no sistema $XY$, encontre as coordenadas de $A$ no sistema $xy$.
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]
Esse sistema linear não possui solução.
Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
\[
\begin{array}{lccccc}
& \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} &
\text{Tinta} & \text{Tijolo}\\
\text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\
\text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\
\text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13
\end{array}
\]
Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual é o custo total do material empregado?
- As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
- O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
- O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.
Use o processo de inversão (Gauss-Jordan) para obter a inversa da matriz $A$ e verifique que a matriz obtida é de fato a inversa de $A$, onde: $$ A = \begin{bmatrix} 6 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
Use um recurso computacional para investigar como a família de curvas polares $r=1+a\cos(n\theta)$ é afetada pela mudança nos valores de $a$ e $n$, sendo $a$ um número real positivo e $n$ um inteiro positivo.
Mostre que: se um triângulo tem duas medianas iguais então ele é isósceles.
Seja o triângulo $\ ABC$, $M$ o ponto médio de $\overrightarrow{BN}$ e $N$ o de $\overrightarrow{AC}.$ Seja também $P$ a interseção de $\overrightarrow{BN}$ e $\overrightarrow{AM},$ e por hipótese, temos $\left\Vert \overrightarrow{BN}\right\Vert =\left\Vert\overrightarrow{AM}
\right\Vert .$ Observe que os triângulos $NPM$ e $APB$ são isósceles. Observe também que como $\overrightarrow{MN}$ é paralelo a $\overrightarrow{AB}$ os ângulos $N\widehat{P}A$ e $M\widehat{P}B$ são iguais. Assim, pela lei dos cossenos, temos
$\left\Vert \overrightarrow{AN}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PA}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PB}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \overrightarrow{BM}\right\Vert ^{2}$
Como, $2\left\Vert \overrightarrow{AN}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{AC}\right\Vert $e $2\left\Vert \overrightarrow{BM}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert ,$ então $\left\Vert \overrightarrow{AN}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert ,$ e portanto, o triângulo é isósceles.
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]
$z = \dfrac{-3+x+4y}{5}, t =\dfrac{-4+13 x+7 y}{5}, \forall x, y \in \mathbb{R}.$
Obtenha o plano que contém a reta $r = \{ (1,1,0)+t(2,1,2), t\in\mathbb{R}\}$ e é paralelo à reta $s:\frac{x+1}{2}=y=z+3$.
Um vetor diretor para a reta $s$ é dado por $v_s=(2,1,0)$. Já para
$r$, $v_r=(2,1,2)$ é o vetor diretor. Fazendo $v_r\times v_s=(-1,2,3)$
obtemos, dessa forma, um vetor normal ao plano procurado. Como esse
plano deve conter o ponto $(1,1,0)$, então o mesmo pode ser descrito
como: $$(x-1,y-1,z)\cdot(-1,2,3)=0\Longleftrightarrow -x+2y+3z=-1.$$
Seja $X_{o}$ uma solução particular de um sistema $AX = B$, e $Y$ a solução geral do sistema homogêneo associado, $AX = {\bf 0}$. Temos então que $X_{o} + Y$ é a solução geral do sistema $AX = B$.
Encontre as soluções gerais do sistema homogêneo associado ao sistema linear a seguir. Encontre também a solução geral do sistema da forma $X_{o} + Y$.
\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]
$Y = x_ 1\left ( 1,0, \dfrac {11} {5}, \dfrac {6} {5},\dfrac {21} {5} \right)^T+x_2\left ( 0,1, \dfrac {4} {5}, \dfrac {-1} {5},\dfrac {9} {5} \right)^T$, $\forall x_1, x_2\in\mathbb {R}$.
Existe alguma reta paralela a $r=\{ (0,1,1)+t(1,-1,-1), t\in\mathbb{R}\}$, contida no plano $\pi : x-2y+3z-1=0$? Por quê?
Sim, pois o vetor diretor de $r$ está contido no plano $\pi$, haja visto que $(1,-1,-1)\cdot(1,-2,3)=0$. De outra forma, podemos deduzir (como?) que $v_1=(2,1,0)$ e $v_2=(-3,0,1)$ formam um par gerador para $\pi$ e que o vetor diretor da reta $r$ pode ser escrito como combinação deste par. Ou seja, se escalonarmos a matriz cujas linhas são estes três vetores, então obteremos uma linha nula na forma escalonada reduzida.
Como é afetado o formato de uma hipérbole quando sua excentricidade tende a $1$? E quando tende a $+\infty$? Esboce algumas figuras para ilustrar suas conclusões.
Em cálculo de uma variável vemos que se $x_0$ é um extremo local (máximo ou mínimo) de uma função $f(x)$, então a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0$ é horizontal, ou seja, $f'(x_0)=0$.
Encontre uma relação similar entre um extremo local de uma função de duas variáveis e o plano tangente ao seu gráfico.
Use esta relação para encontrar os extremos locais da função $f(x,y)=x^2+y^2-2x-6y+14$.
Verifique se sua resposta no item anterior está correta completando os quadrados em $f(x,y)$ e identificando a quádrica.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2
\end{pmatrix}.
$
$-(a - b)(a - c)(b - c)$
Forneça equações paramétricas para $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas equações paramétricas.
Dados o ponto $A(3,4,-2)$ e a reta
$$r:\;\begin{cases}x=1+t\\ y=2-t\\ z=4+2t\end{cases},$$
- determinar as equações paramétricas da reta que passa por $A$ e é perpendicular a $r$,
- calcular a distância de $A$ a $r$,
- determinar o ponto simétrico de $A$ em relação a $r$.
- $\begin{cases}
x=3-4t\\
y=4\\
z=-2+2t
\end{cases}$; - $2\sqrt{5}$;
- $A'=(-5,4,2)$
Dada a reta $r = \left\{\begin{array}{rcl}x &=& 1+m\lambda\\y &=& 2+n\lambda\\ z &=& 1+(n-1)\lambda\end{array}\right.$, determine, se possível, $m$ e $n$ em cada um dos seguintes casos:
- $r$ é paralela ao eixo $Y$;
- $r$ é paralela ao plano $XY$;
- $r$ passa pela origem.
- Devemos ter $m=0$ e $n=1$.
- Para este caso: $n=1$ e $m$ pode ser qualquer.
- $m=1$ e $n=2$.
Reduza a equação $3x^2+y^2+z^2+4yz+12x+2y-2z+9=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Seja $\ell$ a curva com equações paramétricas: $x=\dfrac{a(1+t^2)}{(1-t^2)}$ e $y=\dfrac{2bt}{(1-t^2)}$. Determine $\ell$.
Para o par de vetores $u=(2,0,0)$ e $v=(3,5,4)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.
$\textrm{proj}_{u}{v}=(3,0,0)$.
$v_1=(3,0,0)$ e $v_2=(0,5,4)$.
Verifique se os seguintes pontos são colineares: $A=(0,1,-1)$, $B=(1,2,0)$ e $C=(0,2,1)$.
Os pontos não são colineares.
Reduza a equação $x^2+z^2-xy+xz+yz-2x+2y-2z+1=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Seja o triângulo de vértices $A(-1,4,-2),\; B(3,-3,6)$ e $C(2,-1,4)$. Escrever as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado $AB$ e pelo vértice oposto $C$.
$r:\begin{cases}x=2+2t\\ y=-1-3t\\ z=4+4t.\end{cases}$
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo maior tem área de superfície
$$ S= 2\pi ab\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}\arcsin\dfrac{c}{a}\right), $$
onde $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
Seja $Q$ um retângulo centrado na origem, cujo lado maior mede o triplo do lado menor. Sabendo que um dos vértices de $Q$ é $V_1=(1,2)$ e que o vértice $V_2$, consecutivo a $V_1$ no sentido trigonométrico (anti-horário), é tal que $V_1V_2$ é um lado menor, determine os outros vértices de $Q$.
Tomando o ângulo $\theta=\widehat{V_10V_2}$, temos que $V_2 = R_{\theta}(V_1)$, onde $$R_\theta=\left(\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) $$ denota a rotação por um ângulo $\theta$ (Fig.). Sendo $P$ o ponto médio do segmento $V_1V_2$, vamos ter que $\dfrac{\theta}{2}=\widehat{POV_2}$. Sendo $V_1V_2$ um lado menor e dada a relação entre os lados (enunciado), segue que $|OP|=3|PV_2|$. Assim, o triângulo retângulo $OPV_2$ nos fornece que $$ \sin\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{|PV_2|}{|OV_2|} \quad\text{e}\quad \cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{|OP|}{|OV_2|}=\dfrac{3|PV_2|}{|OV_2|}=3\sin\dfrac{\theta}{2}, $$ o que juntamente com a relação fundamental $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, resulta em $\sin^2\dfrac{\theta}{2}+9\sin^2\dfrac{\theta}{2}=1$. Ou seja, temos que $$ \sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{10} \quad\mathrm{e}\quad\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}.$$ Conseqüentemente, temos que $$\cos\theta= \cos(2\dfrac{\theta}{2})=\cos^2\dfrac{\theta}{2}-\sin\dfrac{\theta}{2}= \dfrac{4}{5}\quad \text{e}$$ $$\sin\theta= \sin(2\dfrac{\theta}{2})= 2\cos\dfrac{\theta}{2}\sin\dfrac{\theta}{2}= \dfrac{3}{5} .$$ Assim, $$ V_2 = R_{\theta}(V_1)=\left(\begin{array}{cc} \dfrac{4}{5} & -\dfrac{3}{5} \\ \dfrac{3}{5} & \dfrac{4}{5} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rcl} -\dfrac{2}{5} &,&\dfrac{11}{5} \end{array}\right). $$ Finalmente, como $V_3=R_{\pi}(V_1)$, $V_4=R_{\pi}(V_2)$, $cos\pi=-1$ e $\sin\pi=0$, obtemos que $$V_3=-V_1=(-1,-2) \quad \text{e}\quad V_4=-V_2=(\dfrac{2}{5},-\dfrac{11}{5}).$$
Seja $a$ o semi-eixo maior da órbita de um planeta em torno do Sol, e seja $T$ o seu período. Pelas Leis de Kepler, a órbita é elíptica com o Sol em um dos focos, e $T=a^{3/2}$. Mostre que se $T$ for medido em dias e $a$ em quilômetros, então $\displaystyle T=(365\times 10^{-9})\left(\dfrac{a}{150}\right)^{3/2}$.
Use o resultado do item anterior para encontrar o período do planeta Mercúrio, em dias, dado que o seu semi-eixo maior é $a=57,95\times 10^6$ km.
Escolha um sistema de coordenadas polares com o Sol no pólo e encontre uma equação para a órbita de Mercúrio naquele sistema de coordenadas, dado que a excentricidade da órbita é $e=0,206$.
Use um recurso gráfico computacional para gerar a órbita de Mercúrio a partir da equação obtida no item 3.
A área do triângulo $ABC$ é $\sqrt{6}$. Sabendo que $A = (2,1,0), \; B = (-1,2,1)$ e que o vértice $C$ está no eixo $Y$, encontre as coordenadas de $C$.
Como $C$ está sobre o eixo $Y$, vamos escrever $C=(0,y,0)$. Pela definição de área através do produto vetorial, segue que \begin{align*} 6 = \mathrm{area}^2 & = \frac{1}{4}\|(A-B)\times (C-B)\|^2 \\ & = \frac{1}{4}\|(3,-1,-1)\times (1,y-2,-1)\|^2 \\ & = \frac{1}{4}\|(y-1,2,3y-5)\|^2 \\ & = \frac{1}{4}\left( 10y^2-32 y+30\right). \end{align*} Ou seja, ficamos com $\displaystyle 10y^2-32y+6=0$, cujas raízes são $y=3$ e $y=\frac{1}{5}$. Portanto, podemos ter $C=(0,3,0)$ ou $C=(0,\dfrac{1}{5},0)$.
Calcule o determinante da matriz:
$
\begin{pmatrix}
a&b\\ -b&a
\end{pmatrix}.
$
\(a^2+b^2\)
Resolver o sistema linear: \[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]
$x_3 = \dfrac{-19+2 x1- 4 x2}{3}, x_4 = \dfrac{ 41 - 4 x_1 + 8 x_2}{3}, x_5 = \dfrac{5- x_1+2 x_2}{3}, \forall x_1, x_2\in \mathbb{R}$.
Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$.
\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]
Encontre a equação da reta $r$ que passa por $(1,-2,3)$, é concorrente com a reta $\left\{\begin{array}{ccr}x &=& 2 + 3t\\ y &=& 1 + 2t\\z &=& -1\end{array}\right.$ e tem vetor diretor ortogonal ao vetor $(1,-3,1)$.
Encontre a equação do plano $\pi$ que é perpendicular a cada um dos planos $x-y-2z=0$ e $2x+y-4z-5=0$ e contém o ponto $A=(4,0,-2)$.
$$\pi: 2x+z=6$$
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t$, $y=t$ e $z=1-t^2$.
Dado um plano qualquer com um sistema de coordenadas $xy$, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $3x^2-14y=0$. Esboce o gráfico.
Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $x^2+3xy+y^2=2$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Sejam $u$ e $v$ dois vetores de comprimentos iguais. Mostre que para quaisquer números $a$ e $b$, os vetores $au+bv$ e $av+bu$ têm o mesmo comprimento. Interprete o resultado.
Ache a equação da reta tangente a $x^2+y^2=25$ no ponto $(-3,4)$.
Seja $A$ uma matriz $2\times 2$ real com autovalores complexos $\lambda=a\pm bi$ tais que $b\neq 0$ e $|\lambda|=1$. Mostre que toda trajetória do sistema dinâmico $\textbf{x}_{k+1}=A\textbf{x}_k$ está sobre uma elipse. [Dica: use que se $\textbf{v}$ é um autovetor associado a $\lambda=a-bi$, então a matriz $P=[ \textrm{Re}\,\textbf{v}\quad \textrm{Im}\,\textbf{v}]$ é invertível e temos que $\displaystyle A=P\left[\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right]P^{-1}$. Ponha $\displaystyle B=(PP^t)^{-1}$. Mostre que a equação quadrática $\textbf{x}^tB\textbf{x}=k$ define uma elipse para todo $k>0$, e prove que se $\textbf{x}$ está sobre esta elipse, então $A\textbf{x}$ também estará.]
Dados os dois pontos $A=(x_1,y_1,z_1)$ e $B=(x_2,y_2,z_2)$, mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de $A$ e $B$ é um plano que passa pelo ponto médio do segmento $AB$ e é perpendicular à reta que contém $A$ e $B$.
Encontre $\lambda \in \mathbb{R}$ para que $v_1=(2 \lambda,1)$, $v_2=(\lambda + 1, \lambda + 1)$:
- Sejam paralelos;
- Não sejam paralelos;
- $v_1$ e $v_2$ formem uma base para $\mathbb{R}^2$.
- $\lambda=-1$ ou $\lambda=1/2$.
- $\lambda\neq -1$ ou $\lambda\neq 1/2$.
- $\lambda\neq -1$ ou $\lambda\neq 1/2$.
- Determine todas as matrizes $D$, $2\times 2$ e diagonais, que satisfazem: $DB=BD$ para toda matriz, $2\times 2$, $B$.
- Determine todas as matrizes $A$, $2\times 2$, que satisfazem: $AB=BA$ para toda matriz $B$, $2\times 2$.
- Tente generalizar a) e b) para matrizes $n\times n$.
Considere a reta $r$ de equação \[
\frac{x-1}{2}\ =\ y-2\ =\ \frac{z-2}{3}
\] e considere o plano $\pi $ de equação $2x+y+z=-2$. Determine a equação do plano $\alpha $ que contém a reta $r$ e é perpendicular ao plano $\pi $.
$-x+2y=3.$
Sejam $A=(2,1,2)$, $B=(1,0,0)$ e $C=(1+\sqrt 3,\sqrt 3,-\sqrt 6)$ três pontos no espaço. Calcule os ângulos do triângulo $ABC$, e os comprimentos da mediana e da altura que saem do vértice $A$.
Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
\[
\begin{array}{lccccc}
& \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} &
\text{Tinta} & \text{Tijolo}\\
\text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\
\text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\
\text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13
\end{array}
\]
Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual é o custo total do material empregado?
- As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
- O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
- O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.
Os seguintes pares de retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas ou concorrentes. Encontre uma equação geral do plano que as contém.
$$r_1:\;\begin{cases}x=1+2t\\
y=-2+3t\\ z=3-t\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2: \begin{cases}x=1+2t\\
y=-2-t\\ z=3+2t.\end{cases}$$
As retas são concorrentes em $P(1,-2,3)$; $\pi: 5x-6y-8z+7=0$.
Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e
$
A = \begin{pmatrix}
0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0
\end{pmatrix}.
$
$x_1=-1$, $x_2=1$, $x_3=1$.