Mudança de variável (Regra da Substituição)
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Calcule a seguinte integral:
$\int{\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}dx}.$
Calcule a integral $ \int_{4}^{9}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx$.
Uma cultura de bactérias cresce na taxa de $3e^{0,2t}$ por hora com $t$ em horas e $o\leq t\leq 20$.
- Quantas bactérias novas estarão na cultura depois de cinco horas?
- Quantas bactérias são introduzidas da sexta a décima quarta horas?
- Para que valor aproximado de $t$ a cultura conterá 150 bactérias novas?
Calcule a integral a seguir:
$\int{\frac{9r^2\ dr}{\sqrt{1-r^3}}}$
O terremoto de 1952 em Assam teve uma magnitude de 8,7 na escala Richter - a maior registrada até então. Se o maior terremoto em dado ano tem tem magnitude $R$, então a energia $E$ (em Joules) liberada por todos os terremotos naquele ano é estimada pela fórmula
$E=9,13 \times 10^{12} \int_{0}^{R}e^{1,25x}dx$.
Determine $E$ se $R=8$.
Calcule a seguinte integral:
$ \int_{-\infty}^{e^4}\frac{\ln (x)}{x}dx$.
Calcule a integral a seguir:
$\int{\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^{1/3}}{\sqrt{x}}dx}$
Calcule a seguinte integral:
$\int{e^{\sqrt{3x+9}}dx}$.
Calcule a integral $\displaystyle \int (5x-1)^2 \, dx$ elevando ao quadrado e depois integrando as potências de $x$.
Calcule agora a integral utilizando a substituição $u=5x-1$.
As duas respostas obtidas são iguais? São equivalentes de alguma forma? Justifique.
Calcule a integral $\int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x}dx.$
A respiração tem um ciclo rítmico que consiste em períodos alternados de inalação e exalação. Em condições normais, um adulto tem um ciclo em média a cada $5$ segundos. Denotando por $V$ o volume de ar nos pulmões no instante $t$, a taxa de fluxo é dada por $\dfrac{dV}{dt}$.
Se a taxa máxima de fluxo é $0,6$ L$/$seg, encontre valores de $a$ e $b$ para que a fórmula $\dfrac{dV}{dt}=a \sin (bt)$ modele a respiração com os dados acima.
Utilize a expressão obtida para estimar a quantidade de ar inalada durante um ciclo completo de respiração.
A velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $v=ds/dt = 6\sin2t\ m/s$ para qualquer $t$. Se $s=0$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=\pi/2\ s$.
Calcule a seguinte integral:
$\int \cos ^{3}xdx.$
A aceleração de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $a=d^2s/dt^2 = \pi^2\sin\pi t\ m/s^2$ para qualquer $t$. Se $s=0$ e $v=8m/s$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=1\ s$.
Calcule a seguinte integral:
$ \int_0^{2\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{16-x^2}}dx$.
Suponha que uma população de piolhos parasitas de aves, representada por $p$, é estimada no começo do ano de $2015$ em $100 000$ em uma certa região. Um modelo matemático de crescimento da população assume que a taxa de crescimento (em milhares) após $t$ anos é dada por
$$p'(t)=(4+0,15t)^{3/2}.$$
Faça uma estimativa para o número de piolhos para o início do ano de 2025.
Calcule a integral $\displaystyle \int (1+ \sin t)^9 \cos t \, dt$, utilizando a substituição $u=1+\sin t$.
Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{y} e^{\sqrt{y}}}$.
Se $f$ for contínua e $\int_{0}^{9}f\left( x\right) dx=9$, calcule $\int_{0}^{3}xf\left( x^{2}\right) dx.$