Teorema do Confronto, do Valor Intermediário e de Weierstrass
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Seja $g$ uma função contínua em $[-3,7]$, sendo que $g(0) = 0$ e $g(2) = 25$. Existe um valor $-3<c<7$ tal que $g(c) = 15$? Por quê?
Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário. Na realidade, é possível ser ainda mais preciso e afirmar não só que um valor $c$ existe em $(3,7)$, mas ainda que existe um valor $x$ contido em $(0,2)$.
Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua no intervalo $\left[2,6 \right]$ com $f(2)=3$ e $f(6)=5$. Use o Teorema de Weierstrass e o Teorema do Valor Intermediário pra mostrar que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.
Use o Teorema do Confronto para calcular $\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sqrt{x} \,e^{\sin\left( \pi/x\right) }\text{.}$
Lembre-se de justificar porque o Teorema do Confronto pode ser útil.
Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.
Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.
Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.
Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.
O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:
- $f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
- $f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
- $f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).
Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = e^x - 2$ no intervalo $[0.65,0.7]$.
A raiz aproximada é $x=0.69$.
Os intervalos utilizados são:
$[0.65,0.7] \quad [0.675,0.7] \quad [0.6875,0.7]$
$[0.6875,0.69375]\quad [0.690625,0.69375]$
Use o teorema do valor intermediário para mostrar que $f(x)=4x^3-6x^2+3x-4$ possui um zero no intervalo $[1,2]$.
Como $f(1) = -3 < 0$ e $f(2) = 10 > 0$, temos que a função $f$ muda de sinal no intervalo $[1,2]$, e portanto, pelo teorema do valor intermediário, $f$ possui um zero nesse intervalo.
Mostre que toda equação polinomial de grau ímpar, tem pelo menos uma raiz real.
Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ contínua e tal que $f(x).f(f(x))=1$, para todo $x$. Se $f(1000)=999$, calcule $f(500)$.
Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.
Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.
Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.
Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.
O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:
- $f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
- $f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
- $f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).
Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = \cos x -\sin x$ no intervalo $[0.7,0.8]$.
A raiz aproximada é $x=0.78$.
Os intervalos utilizados são:
$[0.7,0.8] \quad [0.75,0.8] \quad [0.775,0.8]$
$[0.775,0.7875]\quad [0.78125,0.7875]$
(Alguns passos a mais mostrariam que $0.79$ é melhor, dado que a raiz é $\pi/4 \approx 0.78539$.)
Seja $f$ uma função contínua em $[1,5]$, sendo que $f(1) = -2$ e $f(5) = -10$. Existe um valor $1<c<5$ tal que $f(c) = -9$? Por quê?
Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário.
Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.
Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.
Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.
Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.
O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:
- $f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
- $f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
- $f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).
Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = x^2+2x-4$ no intervalo $[1,1.5]$.
A raiz aproximada é $x=1.23$.
Os intervalos utilizados são:
$[1,1.5] \quad [1,1.25] \quad [1.125,1.25]$
$[1.1875,1.25]\quad [1.21875,1.25]\quad [1.234375,1.25]$
$[1.234375,1.2421875]\quad [1.234375,1.2382813]$.
Seja $h$ uma função definida em $[-1,1]$, sendo que $h(-1) = -10$ e $h(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $h(c) = 0$? Por quê?
Não é possível dizer: O Teorema do Valor Intermediário só se aplica para funções contínuas, e nada foi afirmado sobre a continuidade de $h$.
Sejam $f$ uma função contínua num intervalo $I$, $a$ e $b$ valores em $I$. Se $f(a)$ e $f(b)$ são valores com sinais contrários, mostre que a equação $f(x)=0$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $\left[a,b\right]$.
Determine todas as funções contínuas $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tais que $f(x+y)=f(x)f(y)$ para quaisquer x, y reais.
Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua que satisfaz as seguintes propriedades:
- $f(n)=0$, para todo inteiro $n$;
- Se $f(a)=0$ e $f(b)=0$ então $f \left(\frac{a+b}{2} \right)$.
Mostre que $f(x)=0$, para todo real $x$.
Calcule o limite a seguir:
$\lim\limits_{x \to -\infty } e^x \sin(x)$
Observe que $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ e, portanto, como $e^x \geq 0$, $-e^x \leq e^x \sin(x) \leq e^x$.
Como $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ e $\lim\limits_{x \to -\infty} -e^x = 0$, então, pelo Teorema do Confronto temos $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x \sin(x) = 0$
Mostre que a equação
\begin{equation*}
x^{26}+x^{2}-320=0
\end{equation*}
possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.
Enuncie e demonstre o Teorema do Confronto.
Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação $\tan x= 2-4x$ possui uma solução no intervalo $\bigl(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigr).$
Prove que a única função contínua $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfaz $f(f(f(x)))=x$ é a função identidade $f(x)=x$. (Sugestão: Prove que se uma função é injetiva e contínua então ela é monótona).
Seja $f:[a,b] \to [a,b]$ uma função contínua. Prove que $f$ possui um ponto fixo, ou seja, algum valor de $x$ tal que $f(x)=x$.
Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua tal que, para todo real x, tenhamos $f(f(f(x))) = x^2 + 1$. Prove que $f$ é par.
Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função derivável cuja derivada é sempre positiva e tal que $f(0)=1$ e $f(4)=2$. Use o TVM para mostrar que $f(2) \neq 2$.
Use o Teorema do Confronto para demonstrar que $\lim\limits_{x \to 0} \cos{x} = 1$.
Verifique que a equação $x^{179}+\frac{163}{1+x^2+\sin^2x}=119$ possui pelo menos uma solução.
Mostre que $f(x) = \cos x - \frac{x}{10}$ tem pelo menos dois zeros em $[0, 2\pi]$.
Seja $f$ uma função contínua em $[-1,1]$ sendo que $f(-1) = -10$ e $f(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $f(c) = 11$? Por quê?
Não se pode dizer. O Teorema do Valor Intermediário apenas se aplica, neste caso, para valores entre $-10$ e $10$; como $11$ não pertence a este intervalo, o teorema não nos permite afirmar nada sobre a possibilidade da existência de $c$.
Sejam $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funções contínuas tais que $f(a)<g(a)$ e $f(b)>g(b)$. Mostre que existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c)=g(c)$.
Mostre que existe um número real que é igual a soma de seu cubo e de seu quadrado mais um. Justifique sua resposta.
Mas $f\left( -2\right) =\left( -2\right)^{3}+\left( -2\right) ^{2}-\left( -2\right) +1=-1$ e $f\left( 0\right)=1$.
Como $f\left( x\right) $ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $-2<x<0$ tal que $f\left( x\right) =0$.
Resolução Alternativa:
Uma vez definida $f(x)$, pode-se ver que $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right)=+\infty$ e $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left( x\right) =-\infty $. Como $f\left( x\right)$ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $x$ tal que $f\left(x\right) =0$.
Mostre que a equação
\begin{equation*}
x^{26}+x^{2}-320=0
\end{equation*}
possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.
Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é o Método da Bissecção.
Suponha que estamos interessados em encontrar as raízes de uma função contínua $f(x)$. O Método da Bissecção é uma alternativa que pode resultar em boas aproximações para as raízes, após sucessivas aplicações do método.
Para iniciar o método, precisamos encontrar dois valores $a$ e $b$ tais que $f(a) \cdot f(b) < 0$.
Sem perda de generalidade, vamos assumir $f(a) < 0$, $f(b) > 0$ e $a<b$. O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor $c$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(c) = 0$. O teorema não afirma nada a respeito da localização de $c$ dentro do intervalo, apenas que ele existe.
O Método da Bissecção é, portanto, uma maneira sistemática de obter este valor $c$. Seja $d=\frac{a+b}{2}$ o meio do intervalo. Existem três possibilidades:
- $f(d) = 0 $ - Por sorte, encontramos a raiz e não é necessário prosseguir com o método.
- $f(d) < 0$ - Como $f(b)>0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[d,b]$. Este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
- $f(d) > 0$ - Como $f(a)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[a,d]$. Novamente, este intervalo tem metade do tamanho do intervalo original, então estamos mais próximos de obter uma boa aproximação para a raiz.
O Método da Bissecção é a aplicação sucessiva dos passos descritos até que se esteja próximo o suficiente da raiz de $f(x)$ para a aplicação desejada. Nota-se que para o caso em que $f(a)>0$ e $f(b)<0$ o método ainda funciona, mas no caso 2 o intervalo escolhido seria $[a,d]$ e no caso e $[d,b]$ (por quê?).
Utilize o Método da Bissecção para encontrar as raízes de $f(x) = \sin x - 1/2$ no intervalo $[0.5,0.55]$.
A raiz aproximada é $x=0.52$.
Os intervalos utilizados são:
$[0.5,0.55] \quad [0.5,0.525] \quad [0.5125,0.525]$
$[0.51875,0.525]\quad [0.521875,0.525]$.
Determine um intervalo de comprimento $\pi/2$ cuja equação $$2x^3+3x^2-\sqrt{|\cos(x)|}=0$$ admita uma solução real.