LISTA DE DISCIPLINAS

Propriedades dos limites

Selecione os exercícios por

Dificuldade

Categoria

Outros

Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.


91   

Mostre $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}$ não existe.


1702   

  1. Prove que se $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=l$ e $b\neq 0 $, então $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(bx)}{x}=bl$. Dica: Escreva $\dfrac{f(bx)}{x}=b\dfrac{f(bx)}{bx}$.

  2. O que acontece se $b=0$?

  3. O item 1. nos permite determinar $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2x)}{x}$ em termos de $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}$. Determine este limite de um outro modo.


92   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-2x-3}{x^2-4x+3}$.



$2$


79   

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} x = c$.


96   

Calcule os limites:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\log _{\frac{1}{3}}x$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln \dfrac{x^{2}-1}{x-1}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$



101   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow -1}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+1}{x+1}}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^{2}-1}$



1311   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$, onde $n$ é qualquer número natural.


1704   

  1. Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos da função $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$, vide exercício ID 1703, e veja o que acontece.

  2. Você esperaria que um problema similar ocorresse nos arredores de $x=0$ para a função $f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}$? Verifique se tal ocorre. Vide questão ID 958.


686   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{3x^{3}+2}\right) $.


76   

Dê exemplo de duas funções, $f$ e $g$, para ilustrar que se $g(x)\le f(x)$ para todo $x$ suficientemente próximo de $a$, então $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\le\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$.


95   

Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens. 

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$





688   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$.


81   

Suponha que você tenha as seguintes informações sobre duas funções $f$ e $g$:

  1. $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = 0$

  2. $\lim\limits_{x\to 1} g(x) = 0$

  3. $\lim\limits_{x\to 1} f(x)/g(x) = 2$

O que você pode dizer sobre o valor de $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ quando $x \approx 1$?


93   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to -1} \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+5}$.



$3/2$


1703   

Uma fonte de imprecisão nos cálculos feitos por computadores é a {\it subtração catastrófica}. Tal erro ocorre quando dois números aproximadamente iguais são subtraídos, e o resultado é usado como parte de outro cálculo.
Um exemplo: $(0,123456789012345-0,123456789012344)\times 10^{15}=1$.
Mas, na calculadora, obteríamos zero como resposta a esse cálculo pois ela armazena apenas 14 dígitos e os 14 primeiros dígitos são idênticos. Por vezes, pode-se evitar a subtração catastrófica fazendo um rearranjo algébrico das fórmulas. De todo modo, o melhor é estar atento à sua ocorrência, portanto, tome cuidado para resolver este exercício.


  1. Seja $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$. Faça uma conjectura sobre o limite de $f$ quando $x \to 0^+$ calculando $f$ nos pontos $x=0,1$, $0,01$, $0,001$, $0,0001$.

  2. Calcule $f$ nos pontos $x=0,00001$, $0,000001$, $0,0000001$, $0,00000001$, $0,000000001$, $0,0000000001$, e faça outra conjectura.

  3. Que falha isso revela sobre o uso da evidência numérica para fazer conjecturas sobre limites?

  4. Se você dispuser de um sistema de computação algébrica, um programa que pode efetuar cálculos numéricos ou simbólicos, use-o para mostrar que o valor exato desse limite é $\dfrac{1}{6}$. (Aqui, eu não posso pedir para calcular o limite à mão, de fato?)


90   

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}.$


687   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{-x^{4}-2x+1}{2x^{4}+2x+3}$.


59   

Explique, usando propriedades de limites, porque $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}\not = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 2} (x^2-4)}{\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x-2)}$.

Note que somente podemos usar as propriedades de limite quando um limite existe e é finito. Além disso, lembre-se que limites que recaem na expressão indeterminada "$\frac{0}{0}$", podem existir ou não. Calcule os seguintes limites.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$

  2. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^2-2x}-\frac{x}{x-2}\right)$

  4.  $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\sqrt{t^2+4}-2}{t^2}$


58   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -3}\frac{1-x}{\sqrt{x^2+2}}$.



Como a função está definida em $x=-3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$\lim\limits_{x\rightarrow -3}\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{1-(-3)}{\sqrt{(-3)^2+2}} = \dfrac{4}{\sqrt{11}}$.


683   

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$.


85   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi/6} cos(sec x)$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \ln(1+x)$


1307   

O limite $\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3(1+\sin x)$ existe? Explique.


1312   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\ln\left(\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}\right)$, onde $n$ é qualquer número natural.


1310   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{8}-p^{8}}{x-p}$.


99   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 4}\sqrt{x}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$
  4. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$



87   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2-10 x+16}{x^2-x-2}$

  2. $\lim\limits_{x\to-2} \frac{x^2-5 x-14}{x^2+10 x+16}$

  3. $\lim\limits_{x\to-1} \frac{x^2+9 x+8}{x^2-6 x-7}$



  1. $-2$
  2. $-3/2$
  3. $-7/8$


80   

O que significa dizer, em termos de limites, que uma função é "bem comportada"?


57   

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sqrt x$.


$0$.


86   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to6} \frac{x^2-4 x-12}{x^2-13 x+42}$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \frac{x^2+2 x}{x^2-2 x}$

  3. $\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+6 x-16}{x^2-3 x+2}$



  1. $-8$

  2. $-1$

  3. $10$


89   

Calcule os seguintes limites:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow p} \frac{\sin \left(x^{2}-p^{2}\right) }{x-p}$
  2. $\lim\limits_{y\rightarrow 3} \frac{\sin \left(y^{2}-9\right) }{y-3}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 4} \frac{\cos \left(x^{2}-16\right) }{x-4}$

83   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi} \frac{3x+1}{1-x}$

  2. $\lim\limits_{x\to\pi} \frac{x^2+3x+5}{5x^2-2x-3}$

  3. $\lim\limits_{x\to\pi} \left(\frac{x-3}{x-5}\right)^7$



82   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to3} x^2-3x+7$

  2. $\lim\limits_{x\to3} x^3-3x-7$



  1. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^2-3x+7 = 3^2 - 3.3 + 7 = 7$.
  2. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^3-3x+7 = 3^3 - 3.3 - 7 = 11$.


61   

Considere a função $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2x &\text{ se} x\ne -1\\0&\text{ se } x=-1\end{array}\right.$.

  1. Trace o gráfico de $f$.

  2. Usando limites laterais, determine se o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -1}f(x)$ existe ou não.


1701   

  1. Prove que $\lim_{x\to a}f(x)=l$ se, e somente se, $\lim_{x\to a}[f(x)-l]=0$. Sugestão: Primeiro, compreenda por qual razão a afirmação anterior é óbvia; então dê uma prova formal.

  2. Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to a}f(x-a)$.

  3. Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}f(x^3)$.

  4. Dê um exemplo em que $\lim_{x\to 0}f(x^2)$ existe, mas $\lim_{x\to 0}f(x)$ não existe.


1309   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$.


98   

Calcule os limites:
  1. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( x^{2}+5xh^{2}\right) $
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{1/x-1/2}{x-2}$



88   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to p}\frac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$



$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\to p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p} &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x^2-p^2)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x+p)(x-p)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} (x^2+p^2)(x+p) \\ &=& (p^2 + p^2)(p+p) \\ &=& 4p^3. \end{array}$


97   

Calcule os limites:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}$
  3. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

84   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi/4} \cos x\sin x$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \ln x$

  3. $\lim\limits_{x\to3} 4^{x^3-8x}$


685   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$.


77   

Seja $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x-4} &\text{ se } x>4\\8-2x&\text{ if } x<4\end{array}\right.$.

Decida se $\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x)$ existe. Se o limite não existe, explique.


100   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(1\right) }{x-1}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\ 2x-1 & \text{se }x>1 \end{array} \right. $
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(2\right) }{x-2}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x & \text{se }x\geq 2 \\ x^{2}/2 & \text{se }x<2 \end{array} \right. $
  3. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$, com $f\left( x\right) =x^{2}-3x$ e $f\left( x\right) =1/x$



78   

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} b = b$.


682   

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$.


1308   

Mostre que existem funções $f(x)$, $g(x)$ com  $\lim_{x\rightarrow p} f(x) = \lim_{x\rightarrow p} g(x) =0,$ tais que $\lim_{x\rightarrow p} (f(x)/g(x)) =\lambda$, onde $\lambda$ assume qualquer valor em $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$. Escolha o ponto $p$ como achar mais conveniente.


94   

Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$



Seja $u=x-3$. Temos que $u$ tende a $0$ por valores positivos se $x$ tende a $3$ por valores maiores do que $3$. Logo, \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}=\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}\text{.} \end{equation*} Mas dado $M>0$, temos que se $0<u<\dfrac{5}{M},$ então $M<\dfrac{5}{u}$ e temos que, por definição, $\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}=\infty $.


684   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}$.


1306   

Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}$ ou prove que não existe.



Racionalizando e aplicando diferença de quadrados temos:
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} =
 \frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}.
\end{equation*}
Logo,
$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}.$