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| MA111 - Cálculo I | Limite e continuidade | Propriedades dos limites

Propriedades dos limites

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1703   

Uma fonte de imprecisão nos cálculos feitos por computadores é a {\it subtração catastrófica}. Tal erro ocorre quando dois números aproximadamente iguais são subtraídos, e o resultado é usado como parte de outro cálculo.
Um exemplo: $(0,123456789012345-0,123456789012344)\times 10^{15}=1$.
Mas, na calculadora, obteríamos zero como resposta a esse cálculo pois ela armazena apenas 14 dígitos e os 14 primeiros dígitos são idênticos. Por vezes, pode-se evitar a subtração catastrófica fazendo um rearranjo algébrico das fórmulas. De todo modo, o melhor é estar atento à sua ocorrência, portanto, tome cuidado para resolver este exercício.


  1. Seja $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$. Faça uma conjectura sobre o limite de $f$ quando $x \to 0^+$ calculando $f$ nos pontos $x=0,1$, $0,01$, $0,001$, $0,0001$.

  2. Calcule $f$ nos pontos $x=0,00001$, $0,000001$, $0,0000001$, $0,00000001$, $0,000000001$, $0,0000000001$, e faça outra conjectura.

  3. Que falha isso revela sobre o uso da evidência numérica para fazer conjecturas sobre limites?

  4. Se você dispuser de um sistema de computação algébrica, um programa que pode efetuar cálculos numéricos ou simbólicos, use-o para mostrar que o valor exato desse limite é $\dfrac{1}{6}$. (Aqui, eu não posso pedir para calcular o limite à mão, de fato?)

101   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow -1}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+1}{x+1}}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^{2}-1}$


89   

Calcule os seguintes limites:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow p} \frac{\sin \left(x^{2}-p^{2}\right) }{x-p}$
  2. $\lim\limits_{y\rightarrow 3} \frac{\sin \left(y^{2}-9\right) }{y-3}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 4} \frac{\cos \left(x^{2}-16\right) }{x-4}$

1310   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{8}-p^{8}}{x-p}$.

85   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi/6} cos(sec x)$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \ln(1+x)$

683   

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x^{2}-1}$.

86   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to6} \frac{x^2-4 x-12}{x^2-13 x+42}$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \frac{x^2+2 x}{x^2-2 x}$

  3. $\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+6 x-16}{x^2-3 x+2}$


  1. $-8$

  2. $-1$

  3. $10$

686   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{3x^{3}+2}\right) $.

687   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{-x^{4}-2x+1}{2x^{4}+2x+3}$.

92   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-2x-3}{x^2-4x+3}$.


$2$

80   

O que significa dizer, em termos de limites, que uma função é "bem comportada"?

81   

Suponha que você tenha as seguintes informações sobre duas funções $f$ e $g$:

  1. $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = 0$

  2. $\lim\limits_{x\to 1} g(x) = 0$

  3. $\lim\limits_{x\to 1} f(x)/g(x) = 2$

O que você pode dizer sobre o valor de $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ quando $x \approx 1$?

90   

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}.$

688   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$.

87   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to2} \frac{x^2-10 x+16}{x^2-x-2}$

  2. $\lim\limits_{x\to-2} \frac{x^2-5 x-14}{x^2+10 x+16}$

  3. $\lim\limits_{x\to-1} \frac{x^2+9 x+8}{x^2-6 x-7}$


  1. $-2$
  2. $-3/2$
  3. $-7/8$

59   

Explique, usando propriedades de limites, porque $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}\not = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 2} (x^2-4)}{\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x-2)}$.

Note que somente podemos usar as propriedades de limite quando um limite existe e é finito. Além disso, lembre-se que limites que recaem na expressão indeterminada "$\frac{0}{0}$", podem existir ou não. Calcule os seguintes limites.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$

  2. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^2-2x}-\frac{x}{x-2}\right)$

  4.  $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\sqrt{t^2+4}-2}{t^2}$

682   

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$.

684   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}$.

93   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to -1} \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+5}$.


$3/2$

1308   

Mostre que existem funções $f(x)$, $g(x)$ com  $\lim_{x\rightarrow p} f(x) = \lim_{x\rightarrow p} g(x) =0,$ tais que $\lim_{x\rightarrow p} (f(x)/g(x)) =\lambda$, onde $\lambda$ assume qualquer valor em $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$. Escolha o ponto $p$ como achar mais conveniente.

96   

Calcule os limites:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\log _{\frac{1}{3}}x$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln \dfrac{x^{2}-1}{x-1}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$


58   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -3}\frac{1-x}{\sqrt{x^2+2}}$.


Como a função está definida em $x=-3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$\lim\limits_{x\rightarrow -3}\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{1-(-3)}{\sqrt{(-3)^2+2}} = \dfrac{4}{\sqrt{11}}$.

78   

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} b = b$.

1702   

  1. Prove que se $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=l$ e $b\neq 0 $, então $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(bx)}{x}=bl$. Dica: Escreva $\dfrac{f(bx)}{x}=b\dfrac{f(bx)}{bx}$.

  2. O que acontece se $b=0$?

  3. O item 1. nos permite determinar $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2x)}{x}$ em termos de $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}$. Determine este limite de um outro modo.

1704   

  1. Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos da função $f(x)=\dfrac{x-\sin x}{x^3}$, vide exercício ID 1703, e veja o que acontece.

  2. Você esperaria que um problema similar ocorresse nos arredores de $x=0$ para a função $f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}$? Verifique se tal ocorre. Vide questão ID 958.

84   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi/4} \cos x\sin x$

  2. $\lim\limits_{x\to0} \ln x$

  3. $\lim\limits_{x\to3} 4^{x^3-8x}$

95   

Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens. 

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$



1701   

  1. Prove que $\lim_{x\to a}f(x)=l$ se, e somente se, $\lim_{x\to a}[f(x)-l]=0$. Sugestão: Primeiro, compreenda por qual razão a afirmação anterior é óbvia; então dê uma prova formal.

  2. Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to a}f(x-a)$.

  3. Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}f(x^3)$.

  4. Dê um exemplo em que $\lim_{x\to 0}f(x^2)$ existe, mas $\lim_{x\to 0}f(x)$ não existe.

100   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(1\right) }{x-1}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\ 2x-1 & \text{se }x>1 \end{array} \right. $
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f\left( x\right) -f\left(2\right) }{x-2}$, onde $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x & \text{se }x\geq 2 \\ x^{2}/2 & \text{se }x<2 \end{array} \right. $
  3. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$, com $f\left( x\right) =x^{2}-3x$ e $f\left( x\right) =1/x$


98   

Calcule os limites:
  1. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( x^{2}+5xh^{2}\right) $
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{1/x-1/2}{x-2}$


1306   

Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}$ ou prove que não existe.


Racionalizando e aplicando diferença de quadrados temos:
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} =
 \frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}.
\end{equation*}
Logo,
$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}.$

76   

Dê exemplo de duas funções, $f$ e $g$, para ilustrar que se $g(x)\le f(x)$ para todo $x$ suficientemente próximo de $a$, então $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\le\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$.

88   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to p}\frac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$


$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\to p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p} &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x^2-p^2)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x+p)(x-p)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} (x^2+p^2)(x+p) \\ &=& (p^2 + p^2)(p+p) \\ &=& 4p^3. \end{array}$

99   

Calcule e justifique os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 4}\sqrt{x}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}$
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$
  4. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{\left| x-1\right| }{x-1}$


57   

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sqrt x$.

$0$.

61   

Considere a função $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2x &\text{ se} x\ne -1\\0&\text{ se } x=-1\end{array}\right.$.

  1. Trace o gráfico de $f$.

  2. Usando limites laterais, determine se o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -1}f(x)$ existe ou não.

1312   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\ln\left(\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}\right)$, onde $n$ é qualquer número natural.

94   

Calcule o limite a seguir. Justifique as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}$


Seja $u=x-3$. Temos que $u$ tende a $0$ por valores positivos se $x$ tende a $3$ por valores maiores do que $3$. Logo, \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{5}{x-3}=\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}\text{.} \end{equation*} Mas dado $M>0$, temos que se $0<u<\dfrac{5}{M},$ então $M<\dfrac{5}{u}$ e temos que, por definição, $\lim\limits_{u\rightarrow 0^{+}}\dfrac{5}{u}=\infty $.

1311   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$, onde $n$ é qualquer número natural.

97   

Calcule os limites:
  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}$
  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}$
  3. $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

1307   

O limite $\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3(1+\sin x)$ existe? Explique.

83   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to\pi} \frac{3x+1}{1-x}$

  2. $\lim\limits_{x\to\pi} \frac{x^2+3x+5}{5x^2-2x-3}$

  3. $\lim\limits_{x\to\pi} \left(\frac{x-3}{x-5}\right)^7$


77   

Seja $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x-4} &\text{ se } x>4\\8-2x&\text{ if } x<4\end{array}\right.$.

Decida se $\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x)$ existe. Se o limite não existe, explique.

91   

Mostre $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}$ não existe.

1309   

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$.

685   

Calcule o limite justificando as passagens.

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{-x^{3}+2}{4x^{2}+89}$.

79   

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} x = c$.

82   

Calcule os limites:

  1. $\lim\limits_{x\to3} x^2-3x+7$

  2. $\lim\limits_{x\to3} x^3-3x-7$


  1. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^2-3x+7 = 3^2 - 3.3 + 7 = 7$.
  2. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
    $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^3-3x+7 = 3^3 - 3.3 - 7 = 11$.