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| MA111 - Cálculo I | Limite e continuidade | Limites no infinito e Assíntotas horizontais

Limites no infinito e Assíntotas horizontais

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48   

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

  1. Se $ \lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 5$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.

  2. $\infty/0$ não é uma forma indeterminada.

  1. Verdadeira

  2. Verdadeira

724   

Calcule o limite:


$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

$-\infty$.

32   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+3}\right)$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+3}\right)$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty } \left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\right)$

  1. $0$
  2. $-\infty$
  3. $0$

729   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right) $.

$-\infty$.

730   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\log _{3}x$.

$\infty$.

1712   

  1. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N,+\infty)$, os valores da função $f(x)=1/x^2$ estejam no máximo a $0,1$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

  2. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(N,+\infty)$, os valores da função $f(x)=x/(x+1)$ estejam no máximo a $0,01$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

  3. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo $(-\infty,N)$, os valores da função $f(x)=1/x^3$ estejam no máximo a $0,001$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

  4. Seja $N$ um número positivo tal que, para cada $x$ no intervalo  $(-\infty,N)$, os valores da função $f(x)=x/(x+1)$ estejam no máximo a $0,001$ unidade de $L=0$. Encontre $N$.

42   

Determine todas as assíntotas horizontais da função $f(x) = \frac{x^2-1}{-x^2-1}$.

$y=-1$.

725   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }3^{x}$.

$\infty$.

731   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\ln \dfrac{x}{x+1}$.

$0$

40   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\log _{3}x$.

$\infty$.

34   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{3}-6x-3}{6x^{2}+28x+2}$.

  $\infty$

55   

Sabemos que limites que tomam a forma indeterminada ``$\infty-\infty$" exigem um pouco mais de trabalho para serem calculados. Calcule, de forma adequada, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{2x^2-7}-x\right)$.

30   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{4}-2x+1}{4x^{4}+2x+3}$.

$5/4$

6   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 5+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\right)$.

$5$

1711   

É possível mostrar que, sob certas condições, a velocidade $v(t)$ de uma gota de chuva caindo no instante $t$ é:

$$v(t) = v^\star \left(1-\exp\left(-\dfrac{gt}{v} \right)\right),$$

onde $g$ é a aceleração da gravidade e $v^\star$ é a velocidade final da gota.

  1. Calcule a velocidade para um tempo muito grande, isto é, calcule $\displaystyle \lim_{t \to \infty} v(t)$.

  2. Considerando $v^\star = 1$m$/$s e $g=9,8$m$/$s$^2$, faça o gráfico de $v(t)$. Quanto tempo levará para a velocidade da gota atingir $99\%$ de sua velocidade final?

52   

Construa os gráficos das funções indicadas e calcule os limites:

  1. $ f(x)=x^2$ quando $x\rightarrow\infty$

  2. $ h(x)=3x^5$  quando $x\rightarrow -\infty$

  3. $g(y)=\tan^{-1}(y)$ quando $y\rightarrow\infty$

  4. $f(x)=\frac{1}{x}$  quando $x\rightarrow -\infty$

  5. $f(x)=\frac{1}{x^7}$  quando $x\rightarrow \infty$

  6. $f(x)=\frac{1}{x^{-2}}$  quando $x\rightarrow \infty$

1709   

Encontre os seguintes limites em termos do número $\alpha = \displaystyle \lim_{n \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$.

  1. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x}$.

  2. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)$.

39   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right)$.

$\infty$.

49   

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

$f(x) = \frac{1}{e^x+1}$

fig_assintotas_horizontais_21.png

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$

  3. $\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)$

  4. $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$

728   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{1-2^{x}}{1-3^{x}}$.

$0$.

44   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to e} \ln x$, em que $e$ é o número de Euler.

$1$.

54   

Calcule os seguintes limites. Pode ser útil usar a relação de inversão que há em relação às funções logarítmicas e exponenciais (isto é, $\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x$) e/ou gráficos.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log_3 x$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\ln x$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}e^x$

37   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }3^{x}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 2^{x}-3^{x}\right)$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 0,27\right) ^{x}$

1. $\infty$.

2. $-1$.

3. $0$.

33   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 5-3x+4x^{2}-x^{3}\right)$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{5x^{3}-6x-3}{6x^{3}+2}$

  1. $-\infty$
  2. $5/6$

1710   

  1. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo $30$g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de $25$ L$/$min. Considerando o tempo $t$ em minutos, mostre que a concentração de sal $C$ em função de $t$ (em gramas por litro) é dada por:$$C(t) = \dfrac{30 t}{200+t}.$$

  2. O que acontece com a concentração para um tempo muito grande, isto é, para $t \to \infty$?

47   

O gráfico da função $f(x)=\frac{x^3+2x^2+1}{5-x^2}$ possui alguma assíntota horizontal?

Não possui.

38   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{1-2^{x}}{1-3^{x}}$.

$0$.

46   

Sabendo que $\lim\limits_{x\to2} f(x) = 3$ e $\lim\limits_{x\to2} g(x) = -1$, calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\to2}(f+g)(x)$

  2. $\lim\limits_{x\to2}(fg)(x)$

  3. $\lim\limits_{x\to2}(f/g)(x)$

  4. $\lim\limits_{x\to2}f(x)^{g(x)}$

1713   

O gráfico a seguir representa o número de indivíduos de uma população ao longo do tempo.

  1. Pode-se dizer que há uma assíntota horizontal para essa população? Justifique.

  2. O que essa assíntota representa em termos biológicos? (Isto é, qual a interpretação da assíntota em função da população?)

fig_assintotas_populacao.png

31   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt[3]{3x^{3}+2x-1}}{\sqrt{x^{2}+x+4}}$.

  $\sqrt[3]{3}$

726   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 2^{x}-3^{x}\right) $.

$-\infty$.

727   

Calcule o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 0,27\right) ^{x}$.

$0$.

51   

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

$f(x) = \cos (x)$

fig_assintotas_horizontais_23.png

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$

53   

Calcule os limites indicados dividindo o numerador e o denominador por uma potência conveniente de $x$. Como esses limites se relacionam com as mais altas potências do numerador e do denominador?

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^4-2}{3x^4-x^3+1}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{2x^6-2x+1}}{x^3-x^2+2}$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{x^2-3}}{x+1}$

35   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\dfrac{5-x}{2x+3}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+3}$

  1.   $-1/2$
  2.   $0$

45   

A função $f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2-1 & & x < 3 \\x+5 & & x\geq 3 \end{array}\right.$ é contínua em todo o seu domínio? Justifique.

Sim, é. O único ponto em que não poderia  (inicialmente) ser contínua é em $x=3$. Todavia, temos $\lim\limits_{x\to 3^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=f(3)=8$.

43   

Considere a função $f(x) = 2^x+10$. Calcule os seguintes limites e, depois, discuta se a função $f(x)$ tem assíntotas horizontais.

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$.

  2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$.

1. $10$.

2. $\infty$

Possui assíntota horizontal de equação $y=10$,

1708   

Defina ``$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = l$''.

  1. Ache $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{a_n x^n + \ldots + a_0}{b_m x^m + \ldots + b_0}$.

  2. Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} -f(x)$.

  3. Mostre que $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

36   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{3}+2}\right)$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+2}\right)$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( x-\sqrt{x+2}\right)$

  1.   $-\infty$
  2. $0$
  3. $\infty$

41   

Calcule os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)  ^{x+2}$

  2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right) ^{x}  $

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( \dfrac{x+2}{x+1}\right)  ^{x}$

56   

Verifique se os seguintes limites existem. Explique.

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}2^{1/x}$.

  2. $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\sin x$.

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 2^-}\tan^{-1}\left(\frac{1}{2x-4}\right)$.

50   

Avalie os seguintes limites de acordo com o gráfico da função:

  $f(x) = x^2\sin (\pi x)$

fig_assintotas_horizontais_22.png

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$

  2. $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$

723   

Calcule o limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

$-2$.