Limite e continuidade

63

Calcule, quando existirem, os seguintes limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{ \left( x-2\right) ^{3}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{ 3-x}-1}$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\sqrt{3x+4}-\sqrt{3x}.$

66

Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} \cos x & x\leq 0 \\ x^2+3x+1 & x>0 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$.

1

1789

Prove que a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x, & \text{se x é racional}\\
-x, & \text{se x é irracional}
\end{array}\right.$ é contínua em $0$.

1286

Seja $f:I \rightarrow \mathbb{R}$, contínua, onde I é um intervalo fechado qualquer. Prove que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.

69

Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x \rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $ \lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.

70

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.
Se $ \lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 5$, então estamos implicitamente afirmando que o limite em questão existe.
Se $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$, então $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \infty$.
Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então $f$ tem uma assíntota vertical em $x=5$.
$\infty/0$ não é uma forma indeterminada.

Falsa.
Verdadeira
Falsa
Verdadeira
Verdadeira

75

Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais da função $ f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-5x+11}}{4x-7}$.

67

Mostre que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) =L$ se e somente se $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left( f\left( x\right) -L\right) =0$.

Suponha que $f\left( x\right) \leq g\left( x\right) $ para todo $x$. Demonstre que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) \leq \lim\limits_{x\rightarrow p}g\left( x\right) $ sempre que os limites existirem.
Suponha agora que $f\left( x\right) <g\left( x\right) $ para todo $x$. Podemos afirmar que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) <\lim\limits_{x\rightarrow p}g\left( x\right) $ sempre que os limites existirem?

1302

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $f:\mathbb{R\rightarrow R},$ da por:
\[
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}+\lambda x\mbox{ se }x\leq 1 \\
\left( \lambda x\right) ^{2}-1=\lambda ^{2}x^{2}-1\mbox{ se }x>1
\end{array}
\right. \mbox{.}
\]

1287

Determine os intervalos para os quais a função
\begin{equation*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+1\text{ se }x\leq0\\ \cos x\text{ se }0<x<1\\ x^{2}+1\text{ se }1\leq x \end{array} \right. \end{equation*} é contínua. Justifique sua resposta.

As funções $x^{2}+1$ e $\cos x$ são ambas contínuas e por isto $f\left( x\right) $ é contínua para todo $x\neq0,1$. É necessário verificar a continuidade nos pontos $x=0$ e $x=1$.

Para $x=0$ temos que $\lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\left( x^{2}+1\right) =1$ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\cos x=1$, logo $f\left( x\right) $ é contínua em $x=0$, pois ambos oslimites laterais existem, são iguais e coincidem com o valor da função no ponto.

Para $x=1$ temos que $\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\cos x=\cos\left( 1\right) $ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(x^{2}+1\right) =2$, e como $\cos\left( 1\right) \neq2$ temos que $f\left(x\right) $ não é contínua em $x=1$, pois apesar dos limites laterais existirem estes são distintos.

73

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função $f(x)=\frac{-3 x^2-9 x-6}{5 x^2-10 x-15}$.

Assíntota horizontal em $y=-3/5$; assíntota vertical em $x=3$.

1517

Prove que a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x, & \text{se x é racional} \\
-x, & \text{se x é irracional}
\end{array}\right.$ é contínua em $0$.

72

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função

$f(x)=\frac{2 x^2-2 x-4}{x^2+x-20}$.

Assíntota horizontal em $y=2$; assíntotas verticais em $x=-5$ e $x=4$.

1304

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função

\begin{equation*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+cx\text{ se }x\leq1\\ \left( cx\right) ^{2}-1=c^{2}x^{2}-1\text{ se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \end{equation*}

1285

Quais das seguintes funções f têm descontinuidade removível em $a$? Se a descontinuidade for removível em $a$, encontre a função $g$ que é igual a $f$ para $x\neq a$ e contínua em $a$.

$f(x)=\frac{x^{2}+2x-8}{x+2}$, $a=-2$.
$f(x)=\frac{x-7}{\vert x-7 \vert}$, $a=7$.
$f(x)=\frac{3- \sqrt{x}}{9-x}$, $a=9$.

1790

Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ e suponha que exista $M>0$ tal que $|f(x)-f(p)|\leq M|x-p|$ para todo $x$. Prove que $f$ é contínua em $p$.

60

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas ou forneça um contra exemplo.

Se $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\infty $ e $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0$, então $ \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } =\infty $.
Sejam $p\left( x\right) $ e $q\left( x\right) $ polinômios de grau $m$ e $n$ respectivamente. Se $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{p\left( x\right) }{q\left( x\right) }=0$, então $m\geq n$.
Se $\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f\left( x\right) g\left( x\right) \right) $ existe, então $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) $ existem e $\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f\left( x\right) g\left( x\right) \right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \left( \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \right) .$
Se $f\left( x\right) $ e $g\left( x\right) $ são contínuas em $a$, então $\left( f+g\right) \left( x\right) $ também é contínua em $a$.

678

Encontre as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de $f(x)=\sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2-1}}$.

65

Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2-x+1 & x\leq 3 \\ 2x+1 & x>3 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 3} f(x)$.

7

71

Construa uma função com uma assíntota vertical em $x=5$ e uma assíntota horizontal em $y=5$.

68

Suponha que para todo $x$, $\left| f\left( x\right) \right| \leq x^{4}$. Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x\right) }{x}.$

1518

Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ e suponha que exista $M>0$ tal que $|f(x)-f(p)|\leq M|x-p|$ para todo $x$. Prove que $f$ é contínua em $p$.

64

Considere a função $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x+2 & x\leq 2 \\ 3x-5 & x>2 \end{array}\right.$. Mostre que $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$ não existe.

74

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função

$f(x)=\frac{x^2+x-12}{7 x^3-14 x^2-21 x}$.

Assíntota horizontal em $y=0$; assíntotas verticais em $x=-1$ e $x=0$.

1303

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $g: \left( 0,\pi\right)\mathbb{\rightarrow R},$ dada por
\[
g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{c}
\tan \left( x\right) \mbox{ se }x\neq \dfrac{\pi }{2} \\
\lambda \mbox{ se }x = \dfrac{\pi }{2}
\end{array}
\right.
\]

62

Calcule, quando existirem, os seguintes limites (caso um limite tenda a $\pm \infty $ justifique a resposta):

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{\left( x-2\right) ^{3}}$
$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\dfrac{5x^{5}+7x^{2}+3x+\pi }{\sqrt{7}x^{5}+4x+2}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{3}\cos \left( \frac{1}{x}\right)e^{x^{2}+1}$

1284

Admitindo-se que $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ existe, prove que
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}f(a+h).$

1283

Sejam $f$ e $g$ funções contínuas. Demonstre que $h(x)=\max(f(x),g(x))$ é contínua.

679

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo $t$ ):$\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right) ,$ onde a constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a solução dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?