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60   

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas ou forneça um contra exemplo.

  1.    Se $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\infty $ e $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0$, então $  \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }  =\infty $. 

  2.    Sejam $p\left( x\right) $ e $q\left( x\right) $ polinômios de grau $m$ e $n$ respectivamente. Se $\lim\limits_{x\rightarrow \infty  }\dfrac{p\left( x\right) }{q\left( x\right) }=0$, então $m\geq n$.

  3.    Se $\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f\left( x\right)  g\left( x\right) \right) $ existe, então $\lim\limits_{x\rightarrow   a}f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) $   existem e $\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f\left( x\right) g\left(   x\right) \right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right)  \right) \left( \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \right) .$

  4.   Se $f\left( x\right) $ e $g\left( x\right) $ são contínuas em $a$, então $\left( f+g\right) \left( x\right) $ também é contínua em $a$.



1303   

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $g: \left( 0,\pi\right)\mathbb{\rightarrow R},$ dada por
  \[
  g\left( x\right) =\left\{
  \begin{array}{c}
  \tan \left( x\right) \mbox{ se }x\neq \dfrac{\pi }{2} \\
  \lambda \mbox{ se }x =  \dfrac{\pi }{2}
  \end{array}
  \right.
  \]


1304   

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função

\begin{equation*} f\left(  x\right)  =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+cx\text{ se }x\leq1\\ \left(  cx\right)  ^{2}-1=c^{2}x^{2}-1\text{ se }x>1 \end{array} \right.  \text{.} \end{equation*}


1302   

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $f:\mathbb{R\rightarrow R},$ da por:
  \[
  f\left( x\right) =\left\{
  \begin{array}{c}
  x^{2}+\lambda x\mbox{ se }x\leq 1 \\
  \left( \lambda x\right) ^{2}-1=\lambda ^{2}x^{2}-1\mbox{ se }x>1
  \end{array}
  \right. \mbox{.}
  \]


71   

Construa uma função com uma assíntota vertical em $x=5$ e uma assíntota horizontal em $y=5$.


74   

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função

  $f(x)=\frac{x^2+x-12}{7 x^3-14 x^2-21 x}$.


 Assíntota horizontal em $y=0$; assíntotas verticais em $x=-1$ e $x=0$.



1517   

Prove que a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x, & \text{se x é racional} \\
-x, & \text{se x é irracional}  
\end{array}\right.$ é contínua em $0$.


1285   

Quais das seguintes funções f têm descontinuidade removível em $a$? Se a descontinuidade for removível em $a$, encontre a função $g$ que é igual a $f$ para $x\neq a$ e contínua em $a$.


$f(x)=\frac{x^{2}+2x-8}{x+2}$, $a=-2$.
$f(x)=\frac{x-7}{\vert x-7 \vert}$, $a=7$.
$f(x)=\frac{3- \sqrt{x}}{9-x}$, $a=9$.



69   

Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x \rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $ \lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.


1286   

Seja $f:I \rightarrow \mathbb{R}$, contínua, onde I é um intervalo fechado qualquer. Prove que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.



75   

Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais da função $ f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-5x+11}}{4x-7}$.


1284   

Admitindo-se que $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ existe, prove que
  $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}f(a+h).$


1283   

Sejam $f$ e $g$ funções contínuas. Demonstre que $h(x)=\max(f(x),g(x))$ é contínua.


63   

Calcule, quando existirem, os seguintes limites:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{  \left( x-2\right) ^{3}}$

  2.  $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{  3-x}-1}$

  3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\sqrt{3x+4}-\sqrt{3x}.$


72   

 Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função

  $f(x)=\frac{2 x^2-2 x-4}{x^2+x-20}$.


Assíntota horizontal em $y=2$; assíntotas verticais em $x=-5$ e $x=4$.


67   

Mostre que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) =L$ se e somente se $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left( f\left( x\right) -L\right) =0$.

  1.  Suponha que $f\left( x\right) \leq g\left( x\right) $ para todo $x$.   Demonstre que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) \leq   \lim\limits_{x\rightarrow p}g\left( x\right) $ sempre que os limites   existirem.

  2.  Suponha agora que $f\left( x\right) <g\left( x\right) $ para todo $x$. Podemos afirmar que $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right)   <\lim\limits_{x\rightarrow p}g\left( x\right) $ sempre que os limites  existirem?


73   

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função  $f(x)=\frac{-3 x^2-9 x-6}{5 x^2-10 x-15}$.


 Assíntota horizontal em $y=-3/5$; assíntota vertical em $x=3$.


679   

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo $t$ ):$\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right) ,$ onde a constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a solução dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?


65   

 Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2-x+1 & x\leq 3 \\ 2x+1 & x>3 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 3} f(x)$.


7


66   

Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} \cos x & x\leq 0 \\ x^2+3x+1 & x>0 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$.


1


1287   

Determine os intervalos para os quais a função
  \begin{equation*} f\left(  x\right)  =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+1\text{ se }x\leq0\\ \cos x\text{ se }0<x<1\\ x^{2}+1\text{ se }1\leq x \end{array} \right. \end{equation*} é contínua. Justifique sua resposta.




As funções $x^{2}+1$ e $\cos x$ são ambas contínuas e por isto $f\left(  x\right)  $ é contínua para todo $x\neq0,1$. É necessário verificar a continuidade nos pontos $x=0$ e $x=1$.

Para $x=0$ temos que $\lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\left(  x^{2}+1\right)  =1$ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\cos x=1$, logo $f\left(  x\right)  $ é contínua em $x=0$, pois ambos oslimites laterais existem, são iguais e coincidem com o valor da função no ponto.

Para $x=1$ temos que $\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\cos x=\cos\left(  1\right)  $ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(x^{2}+1\right)  =2$, e como $\cos\left(  1\right)  \neq2$ temos que $f\left(x\right)  $ não é contínua em $x=1$, pois apesar dos limites laterais existirem estes são distintos.


68   

Suponha que para todo $x$, $\left| f\left( x\right) \right| \leq x^{4}$. Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x\right) }{x}.$


64   

Considere a função $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x+2 & x\leq 2 \\ 3x-5 & x>2 \end{array}\right.$. Mostre que $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$ não existe.


1790   

Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ e suponha que exista $M>0$ tal que $|f(x)-f(p)|\leq M|x-p|$ para todo $x$. Prove que $f$ é contínua em $p$.


678   

Encontre as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de $f(x)=\sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2-1}}$.


1518   

Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ e suponha que exista $M>0$ tal que $|f(x)-f(p)|\leq M|x-p|$ para todo $x$. Prove que $f$ é contínua em $p$.


1789   

Prove que a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x, & \text{se x é racional}\\
-x, & \text{se x é irracional}
\end{array}\right.$ é contínua em $0$.



62   

Calcule, quando existirem, os seguintes limites (caso um limite tenda a $\pm \infty $ justifique a resposta):

  1.   $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{\left( x-2\right) ^{3}}$

  2.    $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\dfrac{5x^{5}+7x^{2}+3x+\pi }{\sqrt{7}x^{5}+4x+2}$

  3.    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{3}\cos \left( \frac{1}{x}\right)e^{x^{2}+1}$


70   

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas:

  1. Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então estamos implicitamente afirmando que o    limite em questão existe.

  2.  Se $ \lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 5$, então estamos implicitamente afirmando que o     limite em questão existe.

  3.  Se $ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$, então $ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \infty$.

  4.  Se $ \lim\limits_{x\to 5} f(x) = \infty$, então $f$ tem uma assíntota vertical em $x=5$.

  5.  $\infty/0$ não é uma forma indeterminada.


  1.  Falsa.

  2. Verdadeira

  3. Falsa

  4. Verdadeira

  5. Verdadeira