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Definição de função contínua

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129   

Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ a função definida por \begin{equation*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} x^{2}, & \text{se }x\leq 1 \\ 2x-1, & \text{se }x>1 \end{array} \right. , \end{equation*} e defina $g\left( x\right) =\lim\limits_{x \rightarrow h}\dfrac{f \left(x+h \right) -f \left( x\right) }{h}$. 
Mostre que $g\left( x\right) $ é contínua.



Observe que para $x<1$ temos que 

\begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left( x+h\right) ^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2hx+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( 2x+h\right) =2x. \end{eqnarray*} 

Já para $x>1$ temos que 

\begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( x+h\right) -1\right] - \left[ 2x-1\right] }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2. \end{eqnarray*} 


Para $x=1$ temos que 

\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( 1+h\right) -1 \right] -1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2 \\ \lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{\left( 1+h\right) ^{2}-1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{2h+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\left( 2+h\right) =2. \end{eqnarray*} 


 Temos então que $g$ é bem definida também no ponto $x=1$ e, de modo geral, $g$ pode ser expressa por \begin{equation*} g\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} 2x & \text{se }x\leq 1 \\ 2 & \text{se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \end{equation*} 


Como as funções $h\left( x\right) =2x$ e $p\left( x\right) \equiv 2$ são contínuas, temos que $g\left( x\right) $ é contínua para todo $x\neq 1$. 


Além disto, como $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 1}2x=2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}g\left( x\right) $, segue que $\lim\limits_{x\rightarrow 1}g\left(x\right) =2$. Mas como $g\left( 1\right) =2$, segue que a função $ g\left( x\right) $ também é contínua no ponto $x=1$.


116   

Responda os seguintes itens:
  1. Calcule $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2}{x} - 5\cos(\frac{1}{x^2+2x})}{-\frac{5}{x} + 2\cos(\frac{1}{x^2+2x})}$.

  2. Existe algum número real $a$ tal que a função $f(x) = \left\{\begin{array}{ccl}\displaystyle\frac{\frac{2}{x} - 5\cos(\frac{1}{x^2+2x})}{-\frac{5}{x} + 2\cos(\frac{1}{x^2+2x})},& \mbox{se} & x\neq 0\\ a, & \mbox{se} & x=0 \end{array} \right.$ seja contínua?


755   

Dê um exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$ que não seja contínua em $0$ mas que $\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}f\left( x\right) .$


756   

Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.


107   

Mostre que a função $f\left( x\right) =x^{n}$ é contínua em seu domínio.



O domínio da função é $\mathbb{R}$. Logo, para $x \in \mathbb{R}$, temos:

$\lim_\limits{x \to a} x^n = a^n$

e

$f(a) = a^n$.

Isto é, $\lim_\limits{x \to a} f(x) = f(a)$, e portanto a função é contínua.


130   

Mostre que  função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x^2}$ é contínua em seu domínio.


754   

É possível que uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
  seja tal que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left(x\right)$ e ao mesmo tempo não seja contínua em $2$? Justifique e/ou dê um exemplo.


121   

De acordo com o gráfico de $f(x)$, avalie a continuidade da função em $x=0$

fig_def_cont_1.png


$f$ é contínua em $x=0$.


114   

Dê um exemplo de uma função que seja contínua em todos os pontos da reta, exceto nos pontos da forma $k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.


$f(x)=1$, se $x=k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$; $f(x)=0$, caso contrário.


757   

  Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ a função
  definida por
  \begin{equation*}
  f\left( x\right) =\left\{
  \begin{array}{cc}
  x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\
  2x-1 & \text{se }x>1
  \end{array}
  \right. ,
  \end{equation*}
  e defina $g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow h}\dfrac{f\left(
  x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$. Mostre que $g\left( x\right) $ é contínua.


144   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ h(t) = \cos t$.


  $(-\infty,\infty)$


105   

Determine os valores de $c$ que tornam contínua a função \[ f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+cx,\text{ se }x\leq1\\ \left( cx\right) ^{2}-1=c^{2}x^{2}-1,\text{ se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \]

Justifique sua resposta.


$c=-1$ ou $c=2$.


137   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ g(x) = \sqrt{x^2-4}$.



$(-\infty,-2]\cup [2,\infty)$


141   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

  $ g(x) = \frac{1}{1+x^2}$.


$(-\infty,\infty)$


140   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

$ g(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$.


  $(-1,1)$


1715   

Se você investir $1000$ reais em uma aplicação que paga $7$% de juros compostos em $n$ vezes por ano, então em $10$ anos sua aplicação terá no total $1000(1+0,07/n)^{10n}$ reais.

  1. Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta trimestralmente ($n=4$)?

  2. Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ($n=12$)?

  3. Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se a taxa de juros é composta mensalmente ($n=365$)?

  4. Pesquise a taxa de juros paga pela poupança, e o período em que ela é composta. Calcule a quantidade de dinheiro que você terá se investir uma certa quantia de dinheiro (pense no dinheiro você tem disponível para investir) em $1$, $2$, $5$ e $10$ anos com essa taxa e período de composição. Interprete os resultados pensando em seu futuro!

  5. Quanto dinheiro você terá em $10$ anos se os juros forem compostos continuamente, isto é, se $n\to\infty$?


132   

 Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

  $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}  1,  & & \text{se } x=0\\  \frac{\sin x}{x}, & &\text{se } x>0  \end{array}\right.$

  1.  $x=0$
  2.  $x=\pi$


  1. Sim.
  2. Sim.


112   

Suponha que $\left| f\left( x\right) -f\left( 1\right) \right| \leq \left( x-1\right) ^{2}$. Demonstre que $f\left( x\right) $ é contínua em $1$.


125   

Dê um exemplo de uma função $f(x)$ para a qual $\ \lim\limits_{x\to 0} f(x)$ não exista.


$f(x)=1, x \neq 0$; $f(0)=2$.


131   

Dê um exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$ que não seja contínua em $2$ mas que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left( x\right) .$


146   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ f(x) = \sin(e^x+x^2)$.


$(-\infty,\infty)$


134   

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

  $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
\frac{x^2+5x+4}{x^2+3x+2}, & &  \text{se } x\neq -1\\
3, & &\text{se }  x=-1
\end{array}\right.$

  1. $x=-1$
  2. $x=10$


  1. Sim.
  2. Sim.


145   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ f(k) = \sqrt{1-e^k}$.


$(-\infty,0]$


113   

Considere a função real de variável real definida por \begin{align*}
f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-tg x} \end{align*}
  1. Determine o domínio de $f$.
  2. Estude $f$ quanto a continuidade.

103   

Considere a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} a-x, & \text{se } x<-1 \\ x, & \text{se } -1\leq x<1 \\ \dfrac{2}{x}+b, & \text{se } 1\leq x \end{array} \right. . \end{align*}

  1. Encontre os limites laterais a direita e a esquerda de $f$ nos pontos $1$ e $-1.$
  2. Determine os valores de $a$ e $b$ que tornam $f$ contínua em toda a reta.
  3. Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left(x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\;\infty }f\left( x\right) $.


1528   

Conforme $x$ aumenta, tanto $1/x$ quanto $1/(ln\ x)$ tendem a zero. Dada a função: $f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{1/(ln\ x)}$ avalie $f(x)$ para valores cada vez maiores de $x$. Qual o padrão observado? Com o auxílio de recursos computacionais, observe o gráfico de $f(x)$ para valores grandes de $x$.

Sugestão: Procure, no site, o exercício 1527. Compare os resultados obtidos.


119   

Dê exemplo de uma função $f$ que seja descontínua, mas tal que $|f|$ seja contínua.


133   

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

  $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
  x^3-x,  & & \text{se } x<1\\
x-2, & & \text{se } x\geq 1
\end{array}\right.$

  1.  $x=0$.
  2. $x=1$.



  1. Sim.
  2. Não: Os limites pela direita e pela esquerda não são iguais em $x=1$.


142   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ f(x) = e^x$.



  $(-\infty,\infty)$


109   

Mostre que a função $f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-8}{x-2}, & \text{se }x\neq 2 \\ 12, & \text{se }x=2 \end{array}\right. $ é contínua em seu domínio.


753   

  Responda os itens:

  1.   Dada $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina (em termos de $\varepsilon $  e $\delta $) $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) =L.$ Ilustre elaborando um gráfico para uma função genérica.
  2.   Qual é a condição sobre esse limite para que a função seja contínua?


1526   

É verdade que, ao se esticar um elástico puxando-o por suas extremidades em direções opostas, algum ponto do elástico permanecerá em sua posição inicial? Justifique sua resposta.


104   

Determine os valores para os quais a função \begin{align*} f(x) =\left\{ \begin{array} [c]{c} x^{2}+1,\text{ se }x\leq0 \\ \cos x, \text{ se } 0<x<1 \\ x^{2}+1, \text{ se }1 \leq x \end{array} \right.\end{align*} é contínua. Justifique sua resposta.




115   

Considere uma função contínua $\phi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que

 \[ \forall \quad {x \in \mathbb{R}},\quad \phi(x)\geq x^2.\]


Mostre que existe $a\geq 0$ tal que $\left[a,+\infty\right[$ é o contradomínio de $\phi$.


143   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ g(s) = \ln s$.


  $(0,\infty)$


123   

Classifique a veracidade das afirmações a seguir
  1. Se $f$ é contínua em $[0,1)$ e $[1,2)$, então $f$ é contínua em $[0,2)$.
  2. A soma de funções contínuas também é contínua
  3. Se $f$ é contínua em $[a,b]$, então $\lim_{x\to a^-}f(x) = f(a)$.



  1. Falso
  2. Verdadeiro
  3. Falso

106   

Mostre, usando a definição, que a função $f\left( x\right) =ax+b$ é contínua em seu domínio.


124   

Classifique a veracidade das afirmações a seguir
  1. Se $f$ é contínua em $c$, então $\lim_{x\to c^+}f(x) = f(c)$.
  2. Se $f$ é contínua em $c$, então $\lim_{x\to c}f(x)$ existe.
  3. Se $f$ é definida em um intervalo aberto contendo $c$, e $ \lim_{x\to c}f(x)$ existe, então $f$ é contínua em $c$.

  1. Verdadeiro
  2. Verdadeiro
  3. Falso


135   

Para a função a seguir, responda se a mesma é contínua nos pontos abaixo (e, caso não o seja, justifique)

  $ f(x) = \left\{\begin{array}{ccc}
 \frac{x^2-64}{x^2-11 x+24}, & &  \text{se } x\neq 8\\
5, & & \text{se } x=8
\end{array}\right.$

  1. $x=0$
  2. $x=8$


  1. Sim.
  2. Não. $\lim_{x\to 8} f(x) = 16/5 \neq f(8) = 5$.


139   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $ f(t) = \sqrt{5t^2-30}$.


 $(-\infty,-\sqrt{6}]\cup [\sqrt{6},\infty)$


111   

Mostre, usando a definição, que a função dada por $f(x) = 3x$ é contínua para todo $x$ real.


138   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

   $ h(k) = \sqrt{1-k}+\sqrt{k+1}$.


$[-1,1]$


128   

Descreva três situações nas quais $\displaystyle \lim\limits_{x\to c}f(x)$ não existe.




A função pode tender a valores diferentes pela esquerda e pela direita, a função pode crescer de maneira ilimitada, ou a função pode oscilar em torno de um valor.


752   

Dada uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina sua continuidade no ponto $p\in \mathbb{R}.$


126   

Seja $f(x)= \left\{\begin{array}{ccc} x^2-5, & &\text{se } x<5 \\ 5x, & &\text{se } x \geq 5 \end{array}\right.$.
Calcule:
  1. $ \lim\limits_{x\to 5^-} f(x)$
  2. $ \lim\limits_{x\to 5^+} f(x)$
  3. $ \lim\limits_{x\to 5} f(x)$
  4. $f(5)$
  5. $f$ é contínua em $x=5$?

1. $20$.

2. $25$.

3. Não existe.

4. $25$

5. Não.


108   

Mostre que a função $f\left( x\right) =\sqrt[n]{x}$ é contínua em seu domínio.


118   

Dê um exemplo para mostrar que o produto de uma função contínua por uma função descontínua, pode ser uma função contínua.


127   

A afirmação: $`` \lim\limits_{x\rightarrow p^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow p^-} f(x)\Rightarrow f \mbox{ contínua em } p. "$  é verdadeira ou falsa?  Justifique.



É falsa. Só seria verdadeira se o valor dos limites laterais fosse igual a $f(p)$.


117   

Prove que se $f$ e $g$ são ambas funções contínuas, então $f+g$ é contínua.


136   

Para a função a seguir, dê os intervalos nos quais ela é contínua:

 $f(x) = x^2-3x+9$.


$(-\infty,\infty)$


102   

Mostre que a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-4x}{x^{2}-4}, & \text{se } x\neq \pm 2 \\ 2, & \text{se } x=2 \\ -3, & \text{se } x=-2 \end{array} \right. \end{align*} é contínua em todos os pontos, com exceção do ponto $x=-2$.


120   

Seja $f$ uma função contínua e decrescente em $\left[a,b\right]$. Mostre que $f$ tem uma inversa decrescente em $\left[f(b),f(a)\right]$.


1527   

Uma das propriedades da potenciação é que $a^0=1$, $\forall a \neq 0$. Além disso, também sabe-se que $0^n=0,\quad \forall n>0$. A extensão destas regras para incluir, respectivamente, $a=0$ e $n=0$ levam a resultados conflitantes quanto ao valor de $0^0$(O que não implica em contradição, dado que as propriedades não foram estabelecidas para $a=0$ e $n=0$).

Sendo assim, avalie $x^x$ para $x=0,1;0,01;0,001;\ldots$. Qual o padrão observado? Com o auxílio de recursos computacionais, observe o gráfico de $y=x^x$ para valores positivos de $x$, se aproximando da origem. Para qual valor a função parece convergir para $x=0$?

Sugestão: Procure, no site, o exercício 1528. Compare os resultados obtidos.


122   

De acordo com o gráfico de $f(x)$, avalie a continuidade da função em $x=0$. 


fig_def_cont_2.png


$f$ não é contínua em $x=0$.


110   

Mostre que a função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x}$ é contínua em seu domínio.