Teorema Fundamental do Cálculo
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Sendo $n$ um número positivo, mostre que
$$\displaystyle \int_{-1}^1 x^n \, dx = \left. \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right |_{-1}^1.$$
Se $n$ for um número negativo diferente de $-1$, esta expressão continua válida?
Derive a função $g\left( x\right) = \int_{\tan x}^{x^{4}}\dfrac{u^{2}+1}{\sqrt{u^{2}+2u}}du$.
Use o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia para calcular a derivada da função $f(x)=\int_1^{\sin x}e^{t^2} dt$. Indique claramente a justificativa de cada passagem e, em seguida, calcule $f'(\pi)$.
Seja $F(x)$ tal que $F(x)=\displaystyle \int_{\pi/4}^x \cos 2t \, dt$.
Use alguma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar $F'(x)$.
Confira se seu resultado anterior foi correto integrando e diferenciando.
Demonstre que se $k$ é uma constante positiva, então a área entre o eixo $x$ e um arco da curva $y=\sin kx$ é $2/k$.
Derive a função $f\left( x\right) = \int_{x^{2}}^{e^{3x}}\cos t\sin tdt$.
Se $f(8)=12$, $f'(x)$ é contínua e ${ \int_1^8 f'(x)dx=30}$, determine o valor de $f(1)$.
Se $ F(x)= { \int_1^xf(t)dt}$ e $ f(t)={ \int_{x^2}^1\frac{\sqrt{1+u^4}}{u}du}$, determine $F''(2)$.
Enuncie e demonstre o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.
Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de l'Hospital para calcular o limite abaixo, justificando claramente sua resolução.
\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}\right)
\end{equation*}
O custo marginal da impressão de um pôster quando $x$ pôsteres são impressos é
$\frac{dc}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ reais.
Determine $c(100)-c(1)$, ou seja, a soma do custo dos pôsteres 2-100.
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada da função $g(x)={ \int_x^{x^2}\cos (t^2)dt}$.
Derive a função $q\left( x\right) = \int_{e^{-2x}}^{\mathrm{tg}x}e^{\theta }\cos \theta d\theta$.
Derive a função $h\left( x\right) = \int_{\cos 5x}^{x^{7/3}}e^{r}\left( r^{2}+1\right) dr$.
Derive a função $p\left( x\right) = \int_{2x^{-5}}^{\sin 3x}\left( v^{3}-2\right) \cos vdv$.