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Primitiva

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1113   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = \sin x$ e $f(0)= 2$



  $-\cos x+3$


1331   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. $f(x)=x^n$

  2. $f(x)=sen(x)$


634   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \sin x-\cos x+x^{5},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}


1110   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = 3x+2$ e $f(0)= 7$


 $\frac{3 x^2}{2}+7 x+7$


632   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 9e^{3x}+\cos x+x^{6},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =2\text{ .} \end{equation*}


1102   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (t^2+3)(t^3-2t)\  dt$


$t^6/6+t^4/4-3t^2+C$


1090   

É mais correto se referir a uma antiderivada de $f(x)$ ou a antiderivada de $f(x)$?


O correto é uma antiderivada, já que existem infinitas antiderivadas para uma dada função.


1105   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int e^\pi\  dx$


$e^\pi x+C$


1108   

 Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:

  $f'(x) = 5e^x$ e $f(0)= 10$


$5e^x+5$


1106   

O que é um problema de valor inicial?




1112   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(x) = 5$ e $f'(0)= 7$, $f(0) = 3$


  $5/2x^2+7x+3$


1111   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = 4x^3-3x^2$ e $f(-1)= 9$


  $x^4-x^3+7$


1107   

Este problema busca analisar o porquê de
  \begin{equation*}
    \int{\frac{1}{x}\ dx} = ln\left|x\right| + C
  \end{equation*}

  1. Qual o domínio de $y = ln\ x$?
  2. Calcule $\frac{d}{dx}(ln\ x)$
  3. Qual o domínio de $y = ln(-x)$?
  4. Calcule $\frac{d}{dx}\left(ln(-x)\right)$
  5. Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.



1649   

Um foguete decola da superfície terrestre com uma aceleração constante de $20m/s^2$. Qual será sua velocidade 1 minuto depois?


1095   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \frac{1}{3t^2}\  dt$


  $-1/(3t)+C$


1650   

Um carro está em uma rodovia a uma velocidade constante de $60mi/h$ quando vê um acidente a frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 242 pés?


1333   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4$

  2. $f(x)=1+x+x^2+\ldots +x^{1000000}$


  1. $F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$
  2. $F(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{x^1000001}{1000001}$

630   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que:
\begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \cos 2x+6x+4,\;f\,^{\prime }\left(0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .}\end{equation*}



Primeiramente, calcula-se a integral indefinida

$f\,^\prime(x)=\int  \left(\cos 2x+6x+4\right)\,dx = 3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+C_1$

Pelo dado do enunciado $f\, ^\prime(0)=2$.  Avaliando a expressão acima para $x=0$, vê-se que $C_1=2$. Para obter $f(x)$, calcula-se novamente a integral indefinida:

$f(x)=\int \left(3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+2\right)\,dx =x^3+2 x^2+2 x-\frac{\cos ^2(x)}{2}+C_2 $

De acordo com o enunciado, $f(0)=0$. Assim, obtém-se $C_2=\frac{1}{2}$.


1750   

Considere $y=f(x)$, para $x$ real, sendo $f$ derivável até a segunda ordem e tal que, para todo $x$, $f''(x)+f(x)=0$. Seja $g$ uma função tal que $g(x)=f'(x) \sin x - f(x) \cos x$. Mostre que $g$ é constante.


633   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 12\sin 2x+\cos 3x+1,\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}


1104   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \frac{5^t}{2}\  dt$


  $\frac{5^t}{2\ln 5}+C$


1098   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\  dx$



$2\sqrt{x}+C$


1114   

Encontre $f(\theta)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(\theta) = \sin \theta$ e $f'(\pi)= 2$, $f(\pi) = 4$


  $\theta-\sin (\theta)-\pi +4$


1101   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (2t+3)^2\  dt$


  $4/3t^3+6t^2+9t+C$


1093   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (10x^2-2)\ dx$


  $10/3x^3-2x+C$


1094   

 \item Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int  dt$



  $t+C$


631   

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f^{\prime \prime }\left( x\right)  = \dfrac{1}{x^{2}}+8e^{2x}+2,\;f^{\prime }\left( 2\right) =4e^{4}\text{ e }f\left( 1\right) =2e^{2}\text{.} \end{equation*}


1109   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = 7^x$ e $f(2)= 1$


$7^x/\ln 7 + 1-49/\ln 7$


1099   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (\sec x\tan x + \csc x\cot x)\  dx$


  $\sec x - \csc x+C$


1115   

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(x) = 24x^2+2^x-\cos x$ e $f'(0)= 5$, $f(0) = 0$


$\frac{2 x^4 \ln ^2(2)+2^x+x \ln 2) (\ln 32-1)+\ln
     ^2(2) \cos (x)-1-\ln ^2(2)}{\ln ^2(2)}$



1103   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int 5e^\theta\  d\theta$


  $5e^\theta+C$


1088   

Defina o termo antiderivada com suas próprias palavras.


A antiderivada de uma função $f$ é uma função $F$ cuja derivada é a função $f$ original.


1096   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int x^8\ dx$


$1/9x^9+C$


1092   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int 3x^3\ dx$


 $3/4x^4+C$


1091   

A antiderivada de uma função aceleração é a função _________.





Velocidade. A taxa de variação com a qual a velocidade varia de acordo com o tempo é, justamente, a aceleração.


1332   

Determine uma primitiva para cada uma das funções:

  1. $f(x)=cosx$

  2. $f(x)=tgx$


1089   

Use suas próprias palavras para definir o significado de $\int{f(x)}\ dx$.


O símbolo $\int{f(x)}\ dx$ é chamado integral indefinida de $f$ e corresponde ao conjunto de todas as antiderivadas da função $f$.


1749   

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função derivável, tal que $f'(x)=\alpha f(x)$ para todo $x$ e sendo $\alpha$ uma constante diferente de zero. Mostre que existe uma constante $k$ tal que, para todo $x$:

$$f(x) = k e^{\alpha x}$$


1100   

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \sec^2\theta\  d\theta$


 $\tan \theta+C$


1097   

 Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \sin\theta\  d\theta$


$-\cos \theta+C$