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Função logarítmica

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1260

Resolva a equação $e^{ax}=Ce^{bx}$ , onde $a\neq b$ .

Usando as propriedades básicas da função exponencial temos que:
$\begin{align*} e^{ax} & =Ce^{bx}\\ & \Leftrightarrow e^{-ax}e^{ax}=e^{-ax}Ce^{bx}\\ & \Leftrightarrow1=Ce^{(b-a)x}\\ & \Leftrightarrow\frac{1}{C}=e^{(b-a)x}\\ & \Leftrightarrow\ln\left( \frac{1}{C}\right) =\ln\left( e^{(b-a)x}\right) =\left( b-a\right) x\\ & \Leftrightarrow\frac{-\ln C}{b-a}=\frac{\ln C}{a-b}=x \end{align*}$

934

Calcule:

$log_3 (36) +log_3 (6)$
$8^{\frac {2} {3}}+\sqrt{100}+2^{2^3}+2^{(2^3)}$

1507

Demonstre que $x^{ln(2)}=2^{ln(x)}$ utilizando propriedades de logaritmos e exponenciais. Utilizando recursos computacionais, observe os gráficos das duas funções, assim como a diferença entre elas. Qual seria uma explicação para o comportamento observado no gráfico de $f(x)=x^{ln(2)}-2^{ln(x)}$ ?

1510

Se $(ln\ x)/x = (ln\ 2)/2$ , é necessário que $x=2$ ? Se $(ln\ x)/x=-2ln\ 2$ , é necessário que $x=\frac{1}{2}$ ? Justifique suas respostas.

1511

O quociente $(log_4\ x)/(log_2\ x)$ possui um valor constante. Qual valor é este?

929

Calcule, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

$log_2 (1024)+sen^2(40)+cos^2(40)$
$log_\pi [sen(30^0)+cos(60^0)]$

933

Calcule:

$log_2 (8)$

$log_3 (27)$

$\log_2(8) = x$
$2^x = 8$
$2^x = 2^3$
$x = 3$ .
$\log_3(27) = x$
$3^x = 27$
$3^x = 3^3$
$x = 3$ .

1508

Uma droga é administrada por via intravenosa para combater a dor. A função
$f(t)=90-52\ ln(1+t), \quad 0 \leq t\leq4$
fornece o número de unidades da droga que permanecem no corpo após $t$ horas.

Qual foi o número inicial de unidades administradas?
Quanto estará presente após $2$ horas?
Esboce o gráfico de $f(t)$

1509

Utilizando a aproximação $ln\ 2 \approx 0,7$ , pode-se derivar uma regra popular, conhecida como regra dos 70, que diz: "Para estimar quantos anos uma determinada quantia em dinheiro dobre ao ser investida a uma porcentagem $r$ composta continuamente, divida $r$ por $70$ ". Por exemplo, uma quantia em dinheiro investida a $7\%$ dobrará em cerca de $70/7=10$ anos. Se, em vez disso, você quiser que ela dobre em $5$ anos, deve investí-la a $70/5=14\%$ . Mostre a dedução da regra dos 70.

931

Esboce o gráfico das funções $f(x) = \log_2 x$ e $f(x) = \log_\frac{1}{2} x$ num mesmo sistema cartesiano. Qual relação você observa entre os gráficos? Explique.

935

A intensidade $I$ de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de $I=0$ até $I=8,9$ para o maior terremoto conhecido. $I$ é dado pela fórmula $I=\dfrac{2}{3} log {\left(\dfrac{E}{E_0}\right)}$ , em que $E$ é a energia liberada pelo terremoto em quilowatt-hora e $E_0=7 \times 10^{-3}$ kwh.

Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
Aumentando uma unidade na intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?

930

Calcule, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

$log_6 (36) +log_3 (6^4)$
$8^{\frac {2} {3}}+\sqrt{log_2 (16)}+2^{2^3}+(2^2)^{3}$

932

Seja $a>0$ . Esboce o gráfico das funções $f(x) = \log_a x$ e $f(x) = \log_\frac{1}{a} x$ num mesmo sistema cartesiano. Qual relação você observa entre os gráficos? Explique.

1648

Mostre que $\pi^e < e^\pi$ . Sugestão: Analise a função $ln(x)/x$ .

Pelas propriedades do logaritmo, podemos escrever:

$ln(e^\pi)=\pi$

e

$ln(\pi^e) = e\ ln(\pi)$

Como

$\pi > e$ , pode-se escrever

$\pi = ae,\ a > 1$ . Assim, a primeira equação pode ser escrita como:

$ln(e^\pi)=ae$

E a segunda equação como:

$ln(\pi^e) = e\ ln(a\ e) = e\ ln(a)ln(e)=e\ ln(a)$

Assim, podemos escrever a razão entre as equações como:

$\frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a}$

Analisando a equação

$ln(x)/x$ , vemos que para

$x>1$ ela é estritamente decrescente, dado que em

$x=1$ o denominador é igual a um e o numerador igual a zero e como

$\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}$ e

$\frac{d(x)}{dx}=1$ , o denominador cresce mais rapidamente para

$x>1$ . Assim, como

$a>1$ , sabemos que:

$\frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a} < 1$

Portanto:

$ln(\pi^e) < ln(e^\pi)$

Como

$\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}>0$ para

$x>0$ , a função logaritmo é monotônica no intervalo desejado, e portanto podemos concluir que:

$\pi^e < e^\pi$

1259

Resolva a equação $\ln\left( x^{2}+2x+1\right) =3$ .

Como a função exponencial é estritamente monótona, temos que $\ln\left( x^{2}+2x+1\right) =3$ se, e somente se, $e^{\ln\left(x^{2}+2x+1\right) }=x^{2}+2x+1=e^{3}$ . Mas $x^{2}+2x+1=\left( x+1\right) ^{2}$ . Logo $\ln\left( x^{2}+2x+1\right) =3\Leftrightarrow\left( x+1\right)^{2}=e^{3}\Leftrightarrow x+1=\pm e^{3/2}\Leftrightarrow x=\pm e^{3/2}-1$ .

1512

Sejam $f(x)=log_x(2)$ e $g(x)=log_2(x)$ :

Utilize a propriedade de quociente de logaritmos para expressar $f(x)$ e $g(x)$ em termos de logaritmos naturais.
Com o auxílio de recursos computacionais, compare os gráficos de $f(x)$ e $g(x)$ .