Função logarítmica
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Utilizando a aproximação $ln\ 2 \approx 0,7$, pode-se derivar uma regra popular, conhecida como regra dos 70, que diz: "Para estimar quantos anos uma determinada quantia em dinheiro dobre ao ser investida a uma porcentagem $r$ composta continuamente, divida $r$ por $70$". Por exemplo, uma quantia em dinheiro investida a $7\%$ dobrará em cerca de $70/7=10$ anos. Se, em vez disso, você quiser que ela dobre em $5$ anos, deve investí-la a $70/5=14\%$. Mostre a dedução da regra dos 70.
Calcule, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.
- $log_2 (1024)+sen^2(40)+cos^2(40)$
- $log_\pi [sen(30^0)+cos(60^0)]$
Esboce o gráfico das funções $f(x) = \log_2 x $ e $ f(x) = \log_\frac{1}{2} x$ num mesmo sistema cartesiano. Qual relação você observa entre os gráficos? Explique.
Calcule:
- $log_3 (36) +log_3 (6)$
- $8^{\frac {2} {3}}+\sqrt{100}+2^{2^3}+2^{(2^3)}$
Mostre que $\pi^e < e^\pi$. Sugestão: Analise a função $ln(x)/x$.
$
ln(e^\pi)=\pi
$
e
$
ln(\pi^e) = e\ ln(\pi)
$
Como $\pi > e$, pode-se escrever $\pi = ae,\ a > 1$. Assim, a primeira equação pode ser escrita como:
$
ln(e^\pi)=ae
$
E a segunda equação como:
$
ln(\pi^e) = e\ ln(a\ e) = e\ ln(a)ln(e)=e\ ln(a)
$
Assim, podemos escrever a razão entre as equações como:
$
\frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a}
$
Analisando a equação $ln(x)/x$, vemos que para $x>1$ ela é estritamente decrescente, dado que em $x=1$ o denominador é igual a um e o numerador igual a zero e como $\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}$ e $\frac{d(x)}{dx}=1$, o denominador cresce mais rapidamente para $x>1$. Assim, como $a>1$, sabemos que:
$
\frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a} < 1
$
Portanto:
$
ln(\pi^e) < ln(e^\pi)
$
Como $\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}>0$ para $x>0$, a função logaritmo é monotônica no intervalo desejado, e portanto podemos concluir que:
$\pi^e < e^\pi$
Sejam $f(x)=log_x(2)$ e $g(x)=log_2(x)$:
- Utilize a propriedade de quociente de logaritmos para expressar $f(x)$ e $g(x)$ em termos de logaritmos naturais.
- Com o auxílio de recursos computacionais, compare os gráficos de $f(x)$ e $g(x)$.
Resolva a equação $\ln\left( x^{2}+2x+1\right) =3$.
Como a função exponencial é estritamente monótona, temos que $\ln\left( x^{2}+2x+1\right) =3$ se, e somente se, $e^{\ln\left(x^{2}+2x+1\right) }=x^{2}+2x+1=e^{3}$. Mas $ x^{2}+2x+1=\left( x+1\right) ^{2}$. Logo $\ln\left( x^{2}+2x+1\right) =3\Leftrightarrow\left( x+1\right)^{2}=e^{3}\Leftrightarrow x+1=\pm e^{3/2}\Leftrightarrow x=\pm e^{3/2}-1$.
A intensidade $I$ de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de $I=0$ até $I=8,9$ para o maior terremoto conhecido. $I$ é dado pela fórmula $I=\dfrac{2}{3} log {\left(\dfrac{E}{E_0}\right)}$, em que $E$ é a energia liberada pelo terremoto em quilowatt-hora e $E_0=7 \times 10^{-3}$ kwh.
- Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
- Aumentando uma unidade na intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?
O quociente $(log_4\ x)/(log_2\ x)$ possui um valor constante. Qual valor é este?
Demonstre que $x^{ln(2)}=2^{ln(x)}$ utilizando propriedades de logaritmos e exponenciais. Utilizando recursos computacionais, observe os gráficos das duas funções, assim como a diferença entre elas. Qual seria uma explicação para o comportamento observado no gráfico de $f(x)=x^{ln(2)}-2^{ln(x)}$?
Se $(ln\ x)/x = (ln\ 2)/2$, é necessário que $x=2$? Se $(ln\ x)/x=-2ln\ 2$, é necessário que $x=\frac{1}{2}$? Justifique suas respostas.
Uma droga é administrada por via intravenosa para combater a dor. A função
$f(t)=90-52\ ln(1+t), \quad 0 \leq t\leq4$
fornece o número de unidades da droga que permanecem no corpo após $t$ horas.
- Qual foi o número inicial de unidades administradas?
- Quanto estará presente após $2$ horas?
- Esboce o gráfico de $f(t)$
Resolva a equação $e^{ax}=Ce^{bx}$, onde $a\neq b$.
Usando as propriedades básicas da função exponencial temos que:
\begin{align*}
e^{ax} & =Ce^{bx}\\
& \Leftrightarrow e^{-ax}e^{ax}=e^{-ax}Ce^{bx}\\
& \Leftrightarrow1=Ce^{(b-a)x}\\
& \Leftrightarrow\frac{1}{C}=e^{(b-a)x}\\
& \Leftrightarrow\ln\left( \frac{1}{C}\right) =\ln\left( e^{(b-a)x}\right)
=\left( b-a\right) x\\
& \Leftrightarrow\frac{-\ln C}{b-a}=\frac{\ln C}{a-b}=x
\end{align*}
Seja $a>0$. Esboce o gráfico das funções $f(x) = \log_a x $ e $ f(x) = \log_\frac{1}{a} x$ num mesmo sistema cartesiano. Qual relação você observa entre os gráficos? Explique.
Calcule, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.
- $log_6 (36) +log_3 (6^4)$
- $8^{\frac {2} {3}}+\sqrt{log_2 (16)}+2^{2^3}+(2^2)^{3}$
Calcule:
- $log_2 (8)$
- $log_3 (27)$
- $\log_2(8) = x$
$2^x = 8$
$2^x = 2^3$
$x = 3$. - $\log_3(27) = x$
$3^x = 27$
$3^x = 3^3$
$x = 3$.