Tangentes e derivadas
Newton, Leibniz e Usain Bolt
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Por que estudamos cálculo differencial? Criado por Sal Khan.
Derivada de \(\displaystyle e^{\cos x}\cos(e^x)\)
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Sal aplica a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciar a função \(\displaystyle e^{\cos x}\cos(e^x)\). Criado por Sal Khan.
Derivada de \(\sin(\ln(x^2))\)
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Derivadas disfarçadas
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Sal reinterpreta uma elaborada expressão limite como sendo \(5\) vezes a derivada de \(\mathrm{log}(x)\), em \(x=2\). Desta forma, ele consegue avaliar o limite usando regras de derivação, em vez de calculá-lo diretamente usando a definição de limite (o que seria complicado!).
Links de exercícios online: (1) referentes a esta micro-aula, e
(2) desafio de diferenciação.
Derivada como inclinação de curva
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Sal resolve alguns problemas onde ele interpreta a derivada da função num ponto como sendo a inclinação da curva, ou a reta tangente à curva naquele ponto.
Link de exercícios online referentes a esta micro-aula: (1).
Derivada e a direção de uma função
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Derivada como o coeficiente angular de uma reta tangente
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Sal resolve alguns problemas onde o passo importante consiste em usar que a derivada de uma função num ponto como sendo a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no mesmo ponto.
Link de exercícios online referentes a esta micro-aula: (1).
Interpretando derivadas (desafio)
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Dado que \(f(-2)=3\) e \(f'(x)\leq 7\), Sal encontra o maior valor possível para \(f(10)\). Criado por Sal Khan.
Inclinação da tangente como taxa de variação instantânea
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Sal encontra a taxa de variação média de uma curva sobre vários intervalos e usa uma delas para aproximar a inclinação da reta tangente à curva. Criado por Sal Khan.
Aproximando taxa de variação instantânea com retas secantes
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Sal aproxima a taxa de variação instantânea de lojas por ano de uma popular rede de cafés. Criado por Sal Khan.
Aproximando taxa de variação instantânea com taxa de variação média
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Sal aproxima a velocidade instantânea de um motociclista. Criado por Sal Khan.
Coeficiente angular de uma reta secante à curva
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Qual é a inclinação de uma reta passando por dois pontos sobre uma curva? Esta reta é chamada reta "secante". Criado por Sal Khan.
Inclinação de retas secantes: diferença arbitrária
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Sal encontra a inclinação da reta secante ao gráfico da função \(x\mapsto \ln(x)\) entre os pontos \((2,\ln 2)\) e \((2+h,\ln(2+h))\).
Inclinação de retas secantes: ponto arbitrário
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Sal encontra a inclinação da reta secante ao gráfico de \(x\mapsto \ln(x)\) entre os pontos \((e,1)\) e \((x,\ln x)\). Criado por Sal Khan.
Link de exercícios online referentes a esta micro-aula: (1).
Retas secantes (com simplificação): diferença qualquer
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Sal descobre, e simplifica, a expressão para a inclinação da reta secante ao gráfico de \(y=2x^2+1\) entre \(x=4\) e \(x=4+h\).
Retas secantes (com simplificação): ponto qualquer
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Sal encontra, e simplifica, a expressão para a inclinação da reta secante ao gráfico de \(y=2x^2+5x\) entre os pontos \(x=3\) e \(x=t\).
Link de exercícios online referentes a esta micro-aula: (1).
Inclinação de reta secante: desafio
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Sal resolve um problema desafiador envolvendo inclinações de secantes a uma curva. Criado por Sal Khan.
Inclinação de reta secante: outro desafio
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Sal reinterpreta uma expressão como inclinação de uma reta secante a um gráfico entre um ponto específico e outro ponto qualquer sobre o mesmo. Criado por Sal Khan.
Derivada como um limite
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Sal chega a uma definição formal de derivada considerando esta como sendo o limite da inclinação de retas secantes que aproximam uma reta tangente ao gráfico. Criado por Sal Khan.
Derivada como um limite: aproximação numérica
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Sal relaciona a derivada de uma função com sua taxa de variação média sobre intervalos que se tornam arbitrariamente pequenos.
Link de exercícios online referentes a esta micro-aula: (1).
Formas alternativa e oficial da derivada
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Sal introduz duas formas de escrever a expressão do limite para a derivada de uma função num ponto. Criado por Sal Khan.
Derivada de \(\ln(x)\) como um limite
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Já basta de coisas abstratas, vamos ver agora com que se parecem, na prática, as formas alternativa e formal de derivada. Criado por Sal Khan.
Interpretando um limite para encontrar a derivada descrita pelo mesmo
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Sal interpreta uma expressão limite para descobrir que a mesma descreve a derivada da função \(f(x)=x^3\) no ponto \(x=5\). Criado por Sal Khan.
Link de exercícios online referentes a esta micro-aula: (1).
A derivada de \(x^2\) em \(x=3\) usando a definição formal
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Sal encontra a expressão limite para a derivada de \(f(x)=x^2\), no ponto \(x=3\), e então o calcula. Criado por Sal Khan.
A derivada de \(x^2\) num ponto qualquer usando a definição formal
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Sal encontra a expressão limite que define a derivada de \(f(x)=x^2\), num ponto \(x\) qualquer, e então a simplifica numa expressão menor. Adiantando: ao final esta fica igual a \(2x\). Criado por Sal Khan.
Calculando uma expressão limite para a derivada de uma função linear
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Sal encontra a expressão limite para a derivada de \(f(x)=x^2\), no ponto \(x=3\), e então a calcula. Criado por Sal Khan.
Calculando a expressão limite para a derivada de \(\cos(x)\) num ponto de mínimo
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Sal interpreta uma expressão limite como sendo a derivada de \(\cos(x)\) em \(x=\pi\) e então a calcula. Criado por Sal Khan.
Calculando o limite para a derivada de uma função (gráfico)
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A derivada de uma contante é \(0\)
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Sal introduz a "regra da constante", segunda a qual a derivada de \(f(x)=k\) (para qualquer constante \(k\)) é \(f'(x)=0\). Ele também justifica essa regra algebricamente.
Equação de reta tangente
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Sal descobre a equação da reta tangente à curva \(y=\dfrac{e^x}{2+x^3}\) no ponto \((1,\dfrac{e}{3})\). Criado por Sal Khan.
Equação de reta normal
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Sal acha a equação da reta normal à curva \(y=\dfrac{e^x}{x^2}\) no ponto \((1,e)\). Criado por Sal Khan.
Link de exercícios online sobre retas tangente e normal: (1).
Encontrando a inclinação da reta tangente com diferenciação implícita
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Sal acha a inclinação da reta tangente à curva \(x^2+(y-x)^3=28\), em \(x=1\), usando diferenciação implícita. Criado por Sal Khan.