Fórmula de Taylor
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Verifique que, para todo $x>0$, verificam-se as desigualdades:
- $e^{x}>x+1;$
- $\cos x>1-\dfrac{x^{2}}{2};$
- $\sin x<x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}.$
Escreva o número $\sin 1/2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-20}$.
Mostre que se $f''(a)$ existe, então $f''(a) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - 2f(a) + f(a-h)}{h^2}.$ (Sugestão: use o polinômio de Taylor $P_{2,a}(x)$ com $x=a+h$ e com $x=a-h$).
Conclua que $\dfrac{f(a+h) - 2f(a) + f(a-h)}{h^2}$ é uma boa aproximação para $f''(a)$, para $h$ pequeno.
Sabendo que a posição de uma partícula em função do tempo $x(t)$ é tal que $x(0)=2$, $x(1)=4$ e $x(2)=5$, utilizando a fórmula acima obtenha uma aproximação para a aceleração da partícula entre os tempos $t=0$ e $t=2$. (Escolha apropriadamente os valores de $a$ e $h$).
Escreva o número $\sin 1$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-17}$.
Escreva o polinômio $p(x)=x^2-4x-9$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?)
Seja
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin(x)}{x}, &\text{ se } x\neq0,\\1, &\text{ se } x=0\end{array}\right..$$
Começando com o polinômio de Taylor de ordem $2n+1$ para $\sin x$, junto com a estimativa para o termo de resto $R_{n,1}(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-a){n+1}$, mostre que:
$$f(x) = \left( 1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!} + R_{2n,0,f}(x) \right),$$
onde:
$$|R_{2n,0,f}(x)| \leq \dfrac{|x|^{2n+1}}{(2n+2)!}.$$
Escreva o polinômio $p(x)=x^4-12x^3+44x^2+2x+1$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?)
Escreva o número $e$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-4}$.
Escreva o número $e^2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-5}$.
Mostre que o polinômio de Taylor de $f(x)=\sin(x^2)$ de grau $4n+2$ em $0$ é:$$x^2-\dfrac{x^6}{3!}+\dfrac{x^{10}}{5!}-\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.$$ Dica: se $p$ é o polinômio de Taylor de grau $2n+1$ para $\sin$ em $0$, então $\sin x=P(x) + R(x)$, onde $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{R(x)}{x^{2n+1}}=0$. O que isto implica em $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{R(x^2)}{x^{4n+2}}$?
Calcule $f^{(k)}(0)$ para todo $k$.
Em geral, se $f(x)=g(x^m)$, calcule $f^{(k)}(0)$ em termos das derivadas de $g$ em $0$.
Escreva o número $\sin 2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-12}$.
Considere a função $f(x)=\sin x.$
- Escreva o polinômio de Taylor de $f(x)$ até a terceira ordem.
- Usando o polinômio de Taylor, encontre o valor do seguinte limite: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x+2x}{3x^5}.$